精品解析：河北省秦皇岛市实验中学2024-2025学年高一下学期7月期末考试数学试题

秦皇岛市实验中学2024-2025学年度第二学期期末考试 高一年级数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列运算结果为纯虚数的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示，是水平放置的的直观图，且，，则的面积是（ ） A B. C. D. 3. 若是关于的方程的一个根，则（ ） A 1 B. C. 2 D. 4. 已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，对于下列四个命题： ①；②； ③；④． 其中正确命题的个数有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 5. 如图，在正方体中，则与所成角为（ ） A. B. C. D. 6. 为了调查老师对微课堂了解程度，某市拟采用分层抽样的方法从，，三所中学抽取60名教师进行调查，已知，，三所学校中分别有180，270，90名教师，则从学校中应抽取的人数为（ ） A. 10 B. 12 C. 18 D. 24 7. 已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥底面直径为（ ） A. 6 B. 3 C. 12 D. 8. 正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 若复数满足(其中是虚数单位)，则（ ） A. B. 实部是2 C. 的虚部是 D. 复数的共轭复数在复平面内对应的点在第一象限 10. 如图，在正方体中，，分别是，的中点，为线段上的动点(不含端点).则下列结论中正确的是（ ） A. 平面 B. 为中点时 C. 为中点时异面直线与所成的角为 D. 棱锥的体积为定值 11. 某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险：戊，重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理赔，该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图： 用样本估计总体，以下四个选项正确的是（ ） A. 30~41周岁参保人数最多 B. 随着年龄的增长人均参保费用越来越少 C. 30周岁以上的参保人数约占总参保人数20% D. 丁险种最受参保人青睐 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数对应的点的坐标为，则的虚部为________. 13. 一组数据按从大到小的顺序排列为8，7，x，4，4，1，若该组数据的中位数是众数的倍，则该组数据的第60百分位数是____. 14. 在正三棱锥中，，正三棱锥的体积是，则正三棱锥外接球的表面积是___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知复数. （1）若是纯虚数，求； （2）若，求. 16. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E为的中点． （1）求证：AC1//平面BDE； （2）当点F在棱DD1的中点时，求证：平面//平面BDE． 17. 如图，已知点为所在平面外一点，平面，，于，于，求证： （1） 平面； （2）. 18. 某高校举行了一次环保知识竞赛，共有900名学生参加，为了解本次竞赛成绩的情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计.请你根据尚未完成的频率分布表和频率分布直方图，解答下列问题： 分组 频数 频率 [50，60) 4 0.08 [60，70) 0.16 [70，80) 10 [80，90) 16 032 [90，100] 合计 50 （1）填充频率分布表的空格(将答案直接填在表格内); （2）补全频率分布直方图; （3）若成绩在[80，100]内的学生获得环保纪念勋章，请估计该校获得环保纪念勋章的学生有多少人. 19. 已知点P是边长为2的菱形ABCD所在平面外一点，且点P在底面ABCD上的射影是AC与BD的交点O，已知，是等边三角形. （1）求证：; （2）求点D到平面PBC的距离; （3）若点E是线段AD上的动点，设直线PE与平面PBC所成的角为，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 秦皇岛市实验中学2024-2025学年度第二学期期末考试 高一年级数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列运算结果为纯虚数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的乘法法则将选项当中的每个复数计算化简，求得结果，再根据纯虚数的定义，可得选项. 【详解】，， ， ， 通过比较可以知道，只有为纯虚数， 故选：D. 【点睛】本题考查复数的乘法运算和纯虚数的定义，属于基础题. 2. 如图所示，是水平放置的的直观图，且，，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜二测画法的规则得出边长再计算求解. 【详解】因为，， 所以， 则的面积是. 故选：D. 3. 若是关于的方程的一个根，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数相等即可解决. 【详解】因为是关于的方程的一个根， 所以，即， 故， 所以 ，且， 故. 故选：A. 4. 已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，对于下列四个命题： ①；②； ③；④． 其中正确命题的个数有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】A 【解析】 【分析】根据线、面位置关系结合线、面平行的判定定理分析判断. 【详解】对于①：因为面面平行判定定理要求相交，若没有，则可能相交，故①错误； 对于②：因为线面平行的判定定理要求，若没有，则可能，故②错误； 对于③：根据线、面位置关系可知：//，或异面，故③错误； 对于④：根据线、面位置关系可知：//，或异面，故④错误； 故选：A. 5. 如图，在正方体中，则与所成角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，根据定义，得到即为与所成角，即可求解. 【详解】如图所示：连接， 由正方体的性质可得，，则即为与所成角， 又，所以. 故选：C. 6. 为了调查老师对微课堂的了解程度，某市拟采用分层抽样的方法从，，三所中学抽取60名教师进行调查，已知，，三所学校中分别有180，270，90名教师，则从学校中应抽取的人数为（ ） A. 10 B. 12 C. 18 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】按照分层抽样原则，每部分抽取的概率相等，按比例分配给每部分，即可求解. 【详解】，，三所学校教师总和为540，从中抽取60人， 则从学校中应抽取的人数为人. 故选:A. 【点睛】本题考查分层抽样抽取方法，按比例分配是解题的关键，属于基础题. 7. 已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥底面直径为（ ） A. 6 B. 3 C. 12 D. 【答案】A 【解析】 【详解】设圆锥的底面半径为，高为，则母线长为， 则圆锥的侧面积为， 故表面积为，得①， 又底面圆周长等于侧面展开半圆的弧长，故， 即，得②， 联立①②得：，，则圆锥底面直径为6． 故答案为：A． 8. 正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由四棱台的几何特征算出该几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式即可得解. 【详解】作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图， 因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2， 所以该棱台的高， 下底面面积，上底面面积， 所以该棱台的体积. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 若复数满足(其中是虚数单位)，则（ ） A. B. 的实部是2 C. 的虚部是 D. 复数的共轭复数在复平面内对应的点在第一象限 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据复数的乘除求出z，然后由模的计算公式及复数的有关概念，复数的几何意义，逐一分析求解即可． 【详解】解：由已知， 所以，所以A正确; z的实部是2，所以B正确; z的虚部是−1，所以C错误; ，在复平面内对应点的坐标为，在第一象限，所以D正确． 故选：ABD． 10. 如图，在正方体中，，分别是，的中点，为线段上的动点(不含端点).则下列结论中正确的是（ ） A. 平面 B. 为中点时 C. 为中点时异面直线与所成的角为 D. 棱锥的体积为定值 【答案】ABD 【解析】 【分析】作出图形，由线面平行的判定定理判断A，线面垂直的判定定理及性质判断B，由异面直线所成角的解法判断C，由点G到平面的距离为定值，由三棱锥体积公式判断D． 【详解】如图，，则，平面，平面，， 则有平面，故A正确； 设CD中点为M，若G为BC中点，则有 平面， 则平面，又平面， 则，因为，所以，故B正确； 设正方体棱长为2，取中点为N，连接，因为， 所以异面直线与所成的角即为， 因为为中点，在正方体中，易得, 所以角，故C错误； 易知平面，则点G到平面的距离为定值， 所以三棱锥体积为定值，故D正确. 故选:ABD. 11. 某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险：戊，重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理赔，该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图： 用样本估计总体，以下四个选项正确的是（ ） A. 30~41周岁参保人数最多 B. 随着年龄的增长人均参保费用越来越少 C. 30周岁以上的参保人数约占总参保人数20% D. 丁险种最受参保人青睐 【答案】AD 【解析】 【分析】根据选项逐一对相应的统计图进行分析判断即可. 【详解】对A：由扇形图可知，31～41周岁的参保人数最多，故选项A正确； 对B：由折线图可知，随着年龄的增长人均参保费用越来越多，故选项B错误； 对C：由扇形图可知，30周岁以上的参保人数约占总参保人数的80%，故选项C错误； 对D：由柱状图可知，丁险种参保比例最高，故选项D正确. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数对应的点的坐标为，则的虚部为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数几何意义得，再利用复数的虚部概念即可得到答案. 【详解】复数在复平面内对应的点的坐标为， 所以，则其虚部为. 故答案为： 13. 一组数据按从大到小的顺序排列为8，7，x，4，4，1，若该组数据的中位数是众数的倍，则该组数据的第60百分位数是____. 【答案】6 【解析】 【分析】先根据中位数是众数的倍，求出，然后根据百分位数的定义可求得结果. 【详解】因为数据1，4，4，，7，8(其中)的中位数为，众数为4， 所以，得， 因为， 所以这组数据的第60百分位数是6; 故答案为：6 14. 在正三棱锥中，，正三棱锥的体积是，则正三棱锥外接球的表面积是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据体积求得锥体高度，利用正弦定理求出底面所在的圆的半径，结合勾股定理求得外接球的半径，即可求出其表面积． 【详解】如图所示，设点为的外心，则平面，由 ， 则三棱锥的外接球的球心在直线上.设其外接球的半径为， 由正弦定理得，在Rt中，， 由勾股定理得，即， 解得.正三棱锥外接球的表面积是. 故答案为： . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知复数. （1）若是纯虚数，求； （2）若，求. 【答案】（1）；（2）或1-2i. 【解析】 【详解】分析：（1）根据纯虚数的定义得到，解不等式组即得a的值.(2)由题得，解之得a的值，再求. 详解：（1）若是纯虚数， 则， 所以 （2）因为， 所以， 所以或. 当时，， 当时，. 点睛：（1）本题主要考查复数的概念、复数的模和共轭复数，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的运算能力.(2) 复数为纯虚数不要把下面的b≠0漏掉了. 16. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E为的中点． （1）求证：AC1//平面BDE； （2）当点F在棱DD1的中点时，求证：平面//平面BDE． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）连接交于，通过三角形中位线证得，由此证得平面； （2）先证出四边形为平行四边形，再由线面平行的判定定理及面面平行的判定定理，证得平面平面. 【小问1详解】 设，连, ∵、为别为、的中点, ∴， 又平面，平面， ∴平面. 【小问2详解】 ∵点为棱中点，为的中点． ∴且 ∴为平行四边形， ∴， 又平面，平面. ∴平面. 又平面，且 ，平面， ∴平面平面. 17. 如图，已知点为所在平面外一点，平面，，于，于，求证： （1） 平面； （2）. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由平面，得，结合利用线面垂直的判定定理可证得结论； （2）由（1）可得，结合可证得平面，则，再结合可证得平面，进而可证得. 【小问1详解】 证明：因为平面，平面， 所以， 因为，所以， 因为，平面， 所以平面； 【小问2详解】 证明：由（1）得平面， 因为平面，所以， 因为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以. 18. 某高校举行了一次环保知识竞赛，共有900名学生参加，为了解本次竞赛成绩的情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计.请你根据尚未完成的频率分布表和频率分布直方图，解答下列问题： 分组 频数 频率 [50，60) 4 0.08 [60，70) 0.16 [70，80) 10 [80，90) 16 0.32 [90，100] 合计 50 （1）填充频率分布表的空格(将答案直接填在表格内); （2）补全频率分布直方图; （3）若成绩在[80，100]内的学生获得环保纪念勋章，请估计该校获得环保纪念勋章的学生有多少人. 【答案】（1）表格见解析 （2）作图见解析 （3）504 【解析】 【分析】（1）利用频率、频数和样本容量关系即可完成此表格； （2）利用表中数据计算出这个分数段对应的矩形高度即可完成频率分布直方图. （3）先找出成绩分及以上对应的分数段的频率，再用该频率乘以总人数即可得到. 小问1详解】 由频率分布表，可知样本容量为50， 故成绩在[60,70)的频数为， 成绩在[70,80)的频率为， 成绩在[90,100]的频数为， 频率为， 故频率分布表为： 分组 频数 频率 [50，60) 4 0.08 [60，70) 8 0.16 [70，80) 10 0.20 [80，90) 16 0.32 [90，100] 12 024 合计 50 1 【小问2详解】 频率分布直方图如图所示： 【小问3详解】 样本中成绩在[80,100]的频率为0.32 + 0.24 = 0.56， 所以估计该校获得环保纪念勋章的学生人数为900×0.56 = 504. 19. 已知点P是边长为2的菱形ABCD所在平面外一点，且点P在底面ABCD上的射影是AC与BD的交点O，已知，是等边三角形. （1）求证：; （2）求点D到平面PBC的距离; （3）若点E是线段AD上的动点，设直线PE与平面PBC所成的角为，求的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）由题可得平面，故，根据菱形的性质可得，再根据线面垂直的判定定理与性质定理即可证明； （2）根据题干数据结合即可求解； （3）由线面平行的判定定理可得平面，可得到平面的距离即为到平面的距离，过作垂线平面交于点，可得，由，可得结论., 【小问1详解】 ∵点在底面上的射影是与的交点， ∴平面， ∵平面，∴， ∵四边形为菱形，∴， ∵， 平面，∴平面， ∵平面，∴； 【小问2详解】 由题意可得、与都是边长为2的等边三角形， ，， ，， ， 设点到平面的距离为， 由得， 即，解得， 故点到平面的距离为. 【小问3详解】 设直线与平面所成的角为， ，平面，平面， 平面， 到平面的距离即为到平面的距离. 过作垂线平面交于点，则， 此时， 由（2）易知，， ， 则的边上的高为， ，而， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $