精品解析：2025年河南省驻马店市遂平县三校联考三模数学试题

2025年河南省驻马店市遂平县三校联考三模数学试题 注意事项： 1．本试卷共8页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列四个数中，最小有理数是（ ） A. B. C. 0 D. 1 2. 2025年4月22日，影片《哪吒之魔童闹海》全球票房突破157亿元．数据“157亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图的蒙古包可以近似看成是圆锥和圆柱组成的几何体，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 在下列各式中，结果是无理数的是（ ） A. B. C. D. 5. 不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 6. 图1为《天工开物》记载的用于舂（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，图2为其平面示意图．已知于点与水平线MN相交于点，若，则的度数为（ ） A B. C. D. 7. 如图，菱形中，，为边上一点，且，折叠菱形使点B与点P重合，展开后得到折痕，分别与交于点．则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 8. 有5个外观完全相同的密封且不透明的试剂瓶，分别装有稀硫酸、稀盐酸、碳酸钠、氯化钠、氢氧化钾五种溶液．小东从这5个试剂瓶中随机抽取2个，则均能使酚酞溶液变红的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，四边形ABCD内接于，，连接，若平分，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 下面是某数学小组利用软件绘制的函数的部分图象，根据学习函数的经验判断正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写一个次数为4的单项式：___________． 12. 如图是甲、乙两地2月份连续六天的日平均气温，则甲、乙两地这6天日平均气温的方差大小关系为___________．（填“”“”或“”） 13. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为___________． 14. 如图，将置于第一象限内，一次函数的图象经过中点，将沿射线平移，当点的对应点与点M重合时，则点A的对应点坐标为___________． 15. 如图，在平行四边形ABCD中，为边的中点，M为平面内一点，且之间的距离为1，连接，将线段以点A为中心逆时针旋转，得到线段，连接．若，则的最小值为___________，最大值为___________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 河南某校在4月12日“世界航天日”期间举办了航天主题知识测试．为了了解学生的掌握情况，现从七年级和八年级中各随机抽取20名学生的成绩进行分析（满分100分，90分及以上为优秀），分为A，B，C，D四个等级：． 信息一：七年级成绩为： 信息二：八年级等级C的成绩为：81，82，83，82，82． 两组数据的平均数、中位数、众数、优秀率如下表： 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 76 b 八年级 a 82 八年级学生测试成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题； （1）_________，_________； （2）通过以上数据分析，你认为哪个年级的成绩更好？说明理由； （3）为提高优秀率，请你提出一条合理化建议． 18. 如图，是中线． （1）请用无刻度的直尺和圆规在上取点E，使得；（保留作图痕迹，不写作法） （2）连接，若点A到直线的距离是1，求点B到直线的距离． 19. 民桥位于河南省信阳市浉河区，横贯浉河，是信阳重要交通枢纽，也是河南省唯一的一座独塔斜拉式桥梁．某数学兴趣小组进行测量民桥主塔高度的实践活动，淇淇、萍萍两位同学分别制定了不同的测量方案，并完成了实地测量，测量方案与数据如下表： 课题 测量民桥主塔高度 测量方案 淇淇的方案 萍萍的方案 测量示意图 测量数据 说明 民桥主塔的高为，所有点在同一竖直平面内，图中，测角仪垂直于水平地面，测角仪的高度． 请任选一种方案计算民桥主塔高度．（结果精确到1m．参考数据：，） 20. 如图，反比例函数图象经过点，已知经过点B，且与y轴相切于点，连接交于点D．点P为上一动点． （1）求反比例函数的表达式； （2）求的长； （3）直接写出面积的最大值． 21. 某小区为方便业主电动汽车充电，准备购买两种型号的充电桩，已知A型充电桩的单价比B型少0.5万元，购买一台A型充电桩与一台B型充电桩共需要花费5.5万元． （1）求两种型号充电桩的单价； （2）小区准备采购两种型号的充电桩共m台，商家提供了两种购买方案： 方案一 方案二 两种型号的充电桩分别按单价的九折销售 两种型号的充电桩分别按单价的八八折销售，但小区自行承担1.2万元的运费． ①若小区准备购买的12台A型充电桩和n台B型充电桩，两种方案的最终费用相同，直接写出的值； ②当时，若选择方案二购买充电桩，且购买A型充电桩的数量不超过B型充电桩数量的，请设计费用最省的购买方案． 22. 如图，在平面直角坐标系中，正方形与抛物线有交点． （1）若其中一个交点为． ①求a的值； ②求抛物线与x轴的交点坐标； （2）若点，抛物线的图象与正方形的边有两个交点，求a的取值范围． 23. 综合与实践 如图，在中，，点M为边上不与端点重合的一个动点，过点M作于点D，过点B作，交的延长线于点E，连接，过点M作，交于点N． （1）初步探究 如图1，，四边形形状是____________；线段与的数量关系是____________； （2）类比探究 如图2，， ①写出图中与相等角，并说明理由； ②求证：； （3）拓展应用 当时，直接用含n的代数式表示的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年河南省驻马店市遂平县三校联考三模数学试题 注意事项： 1．本试卷共8页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列四个数中，最小的有理数是（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据有理数的比较大小的方法：正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小绝对值大的反而小，即可得出最小的数． 【详解】解：，， ∵， ∴， 则最小的有理数是， 故选：B． 2. 2025年4月22日，影片《哪吒之魔童闹海》全球票房突破157亿元．数据“157亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的概念，熟悉科学记数法的概念是解题的关键． 将157亿转换为科学记数法，需将其表示为的形式，其中，为整数． 【详解】157亿即，． 故选：D． 3. 如图的蒙古包可以近似看成是圆锥和圆柱组成的几何体，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据俯视图的定义去判断即可． 本题考查了几何体的俯视图，熟练掌握俯视图的定义是解题的关键． 【详解】解：该几何体的俯视图是： ． 故选：B． 4. 在下列各式中，结果是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】计算出各个选项中式子的正确结果，然后观察，即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：，为无理数，故选项A符合题意； ，为有理数，故选项B不符合题意； ，为有理数，故选项C不符合题意； ，为有理数，故选项D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查二次根式的加减乘除运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 5. 不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，按照解不等式组的方法求解即可，掌握解一元一次不等式组的方法是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得： ， ∴不等式组的解集为：， 故选：D． 6. 图1为《天工开物》记载的用于舂（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，图2为其平面示意图．已知于点与水平线MN相交于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用垂直的定义和对顶角相等结合已知条件得出、的度数，再利用四边形的内角和为即可求解．本题主要考查了垂直的定义、对顶角相等和四边形的内角和的知识点，解题的关键是通过已知条件找到各角之间的角度关系，利用四边形的内角和为即可求解． 【详解】，， ， （对顶角相等）， 在四边形中， ，， ， ， ， 则的度数为150°． 故选：A． 7. 如图，菱形中，，为边上一点，且，折叠菱形使点B与点P重合，展开后得到折痕，分别与交于点．则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图所示，过点P作交的延长线于点E，由菱形得到，，求出，，设，则，，由折叠得，，根据勾股定理求解即可． 【详解】如图所示，过点P作交的延长线于点E ∵四边形是菱形 ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 设，则， 由折叠得， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴的长为． 故选：B． 【点睛】此题考查了菱形的性质，含30度角直角三角形的性质，勾股定理和折叠的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 8. 有5个外观完全相同的密封且不透明的试剂瓶，分别装有稀硫酸、稀盐酸、碳酸钠、氯化钠、氢氧化钾五种溶液．小东从这5个试剂瓶中随机抽取2个，则均能使酚酞溶液变红的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查的是用列举法或列表法或树状图法求概率．准确列出事件的所有结果是解题的关键； 根据题意列出所有等可能情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】酚酞遇碱性溶液变红，五种溶液中，只有碳酸钠和氢氧化钾可使酚酞变红． 从这5个试剂瓶中随机抽取2个，共有10种等可能结果，列举如下： 稀硫酸和稀盐酸，稀硫酸和碳酸钠，稀硫酸和氯化钠，稀硫酸和氢氧化钾，稀盐酸和碳酸钠， 稀盐酸和氯化钠，稀盐酸和氢氧化钾，碳酸钠和氯化钠，碳酸钠和氢氧化钾，氯化钠和氢氧化钾， 其中均能使酚酞溶液变红的只有碳酸钠和氢氧化钾这一种，其概率为， 故选：C． 9. 如图，四边形ABCD内接于，，连接，若平分，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形面积计算，圆周角定理，角平分线的定义，由圆周角定理和角平分线的定义可得的度数，再根据扇形面积计算公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故选：A． 10. 下面是某数学小组利用软件绘制的函数的部分图象，根据学习函数的经验判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查从函数图象获取信息，由图象可得，当时，即可判断． 【详解】解： 由图象可得，当时，， 又当时，， ∴， ∴． 故选：C 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写一个次数为4的单项式：___________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了单项式的次数：单项式中所有字母指数的和；据此写出一个4次单项式即可． 【详解】解：次数为4的单项式可以是； 故答案为：（答案不唯一）． 12. 如图是甲、乙两地2月份连续六天的日平均气温，则甲、乙两地这6天日平均气温的方差大小关系为___________．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查方差的意义，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则它与其平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了折线统计图．根据折线统计图可知：乙地的平均气温波动较小． 【详解】解：观察平均气温统计图可知：乙地的日平均气温波动较小，甲地的日平均气温波动较大； 故甲地的日平均气温的方差大于乙地的日平均气温的方差， 则， 故答案为：． 13. 若关于x一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据方程的系数结合根的判别式，可得出，解之即可得出的值． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得：， 故答案为：． 14. 如图，将置于第一象限内，一次函数的图象经过中点，将沿射线平移，当点的对应点与点M重合时，则点A的对应点坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平移的规律，点的坐标，线段的中点，先理解题意，把代入，得，即，再结合，且是的中点，得出点A的坐标为，因为将沿射线平移，当点的对应点与点重合，得出平移规律，运用平移规律得出点A的对应点坐标，即可作答． 【详解】解：∵一次函数的图象经过中点， ∴把代入， 得， ∴， ∵，且是的中点， ∴， ∴， ∴点A的坐标为 ∵将沿射线平移，点对应点与点重合， ∴平移规律是向左平移个单位，向下平移个单位， ∵点A的坐标为 故， 即点A的对应点坐标为， 故答案为：． 15. 如图，在平行四边形ABCD中，为边的中点，M为平面内一点，且之间的距离为1，连接，将线段以点A为中心逆时针旋转，得到线段，连接．若，则的最小值为___________，最大值为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】连接，将绕点旋转，得到，连接，证明，得到，进而得到在以点为圆心，为半径的圆上，进而得到，进行求解即可． 【详解】解：连接，将绕点旋转，得到，连接， 则：， ∵，点为的中点， ∴， ∴， ∵将线段以点A为中心逆时针旋转，得到线段， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴在以点为圆心，为半径的圆上运动， ∴， 即：， ∴的最小值为；最大值为：； 故答案为：， 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，斜边上的中线，点到圆上一点的最值，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，确定点的轨迹是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题考查了分式混合运算，零指数幂、负整数指数幂，算术平方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简零指数幂，负整数指数幂，算术平方根，再加减运算，即可作答； （2）先通分括号内的分式减法，再运算除法，化简得，即可作答． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 河南某校在4月12日“世界航天日”期间举办了航天主题知识测试．为了了解学生的掌握情况，现从七年级和八年级中各随机抽取20名学生的成绩进行分析（满分100分，90分及以上为优秀），分为A，B，C，D四个等级：． 信息一：七年级成绩为： 信息二：八年级等级C的成绩为：81，82，83，82，82． 两组数据的平均数、中位数、众数、优秀率如下表： 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 76 b 八年级 a 82 八年级学生测试成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题； （1）_________，_________； （2）通过以上数据分析，你认为哪个年级的成绩更好？说明理由； （3）为提高优秀率，请你提出一条合理化建议． 【答案】（1）；75 （2）八年级的测试成绩更好，理由见解析 （3）详见解析 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图，中位数，众数，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据众数、中位数的定义求解即可； （2）根据平均数、中位数、众数的意义解答即可； （3）根据优秀率解答即可． 【小问1详解】 解：八年级C等级，D等级的人数共有为， ∴八年级的中位数在C等级， ∵八年级等级C的成绩为：81，82，82，82，83， ∴， ∵七年级成绩中75出现的次数最多， ∴； 故答案为：；75 【小问2详解】 解：八年级的测试成绩更好．因为八年级成绩的平均数、中位数、众数、优秀率均比七年级的大， 所以八年级的测试成绩更好； 【小问3详解】 解：定期对学生进行相关知识的培训． 18. 如图，是的中线． （1）请用无刻度的直尺和圆规在上取点E，使得；（保留作图痕迹，不写作法） （2）连接，若点A到直线的距离是1，求点B到直线的距离． 【答案】（1）图见解析 （2）点到直线CE的距离是1 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，求三角形的高，尺规作图—作与已知角相等的角，平行线分线段成比例定理，熟知相关知识是解题的关键。 （1）根据作与已知角相等的角的尺规作图方法作图即可； （2）由三角形中线的定义得到，证明，得到，即，则，据此可得点到直线的距离是1． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：是的中线， ， ∵，， ， ， 即， ， 又∵和同底，点A到直线的距离是1， 点到直线的距离是1． 19. 民桥位于河南省信阳市浉河区，横贯浉河，是信阳重要交通枢纽，也是河南省唯一的一座独塔斜拉式桥梁．某数学兴趣小组进行测量民桥主塔高度的实践活动，淇淇、萍萍两位同学分别制定了不同的测量方案，并完成了实地测量，测量方案与数据如下表： 课题 测量民桥主塔高度 测量方案 淇淇的方案 萍萍的方案 测量示意图 测量数据 说明 民桥主塔的高为，所有点在同一竖直平面内，图中，测角仪垂直于水平地面，测角仪的高度． 请任选一种方案计算民桥主塔高度．（结果精确到1m．参考数据：，） 【答案】民桥主塔高度为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质；理解题意，正确求解是关键． 选淇淇的方案：延长交于点，则四边形为矩形，；设，在中，得，在中利用正切函数求得，由建立方程即可求解： 选萍萍的方案：设交于G，则得四边形和四边形是矩形，得，；设，在中，得，在中利用正切函数求得，由建立方程即可求解： 【详解】解：选淇淇的方案： 如图，延长交于点， 由题意知，，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴； 设， 在中，， ； 在中，， ； ， ， 即， 解得； ． 选萍萍的方案： 如图，设交于G， ∵， ∴四边形和四边形是平行四边形， ∵， 即， ∴四边形和四边形是矩形， ∴，； 设， 在中，， ∴， ∴； 在中，， ∴ ∴； ∵， ∴， 解得：， 答：民桥主塔高度为． 20. 如图，反比例函数图象经过点，已知经过点B，且与y轴相切于点，连接交于点D．点P为上一动点． （1）求反比例函数的表达式； （2）求的长； （3）直接写出面积的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与圆的综合应用，切线的性质，熟练掌握切线的性质，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）连接，得到轴，进而求出点坐标，求出半径的长，勾股定理求出的长，线段的和差关系求出的长； （3）由题意，当为的直径时，的面积最大，进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵反比例函数图象经过点， ∴， ∴； 【小问2详解】 连接， ∵与y轴相切于点， ∴轴， ∴， ∵点在反比例函数上， ∴， ∴， ∴，， ∵交于点D， ∴， ∴； 【小问3详解】 作轴，由（2）可知，的半径为， 则：， ∴， ∴当轴，且最大时，最大， ∴当为的直径时，此时轴，且的值最大为， ∵， ∴面积的最大值． 21. 某小区为方便业主电动汽车充电，准备购买两种型号的充电桩，已知A型充电桩的单价比B型少0.5万元，购买一台A型充电桩与一台B型充电桩共需要花费5.5万元． （1）求两种型号充电桩的单价； （2）小区准备采购两种型号的充电桩共m台，商家提供了两种购买方案： 方案一 方案二 两种型号的充电桩分别按单价的九折销售 两种型号的充电桩分别按单价的八八折销售，但小区自行承担1.2万元的运费． ①若小区准备购买12台A型充电桩和n台B型充电桩，两种方案的最终费用相同，直接写出的值； ②当时，若选择方案二购买充电桩，且购买A型充电桩的数量不超过B型充电桩数量的，请设计费用最省的购买方案． 【答案】（1）A、B两种型号充电桩的单价分别是2.5万元、3万元 （2）①10 ②最省钱的购买方案是购买A型充电桩11台，B型充电桩9台 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）①找准等量关系，正确列出一元一次方程；②根据各数量之间的关系，找出w关于a的函数关系式． （1）设A型充电桩的单价为x万元，B型充电桩的单价为y万元，根据“A型充电桩的单价比B型少0.5万元，购买一台A型充电桩与一台B型充电桩共需要花费5.5万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）①根据两种方案的最终费用相同，可列出关于n的一元一次方程，解之即可得出结论； ②设购买a台A型充电桩，台B型充电桩，总费用为w万元，利用总价=单价×数量，可找出w关于a的函数关系式，由购买A型充电桩的数量不超过B型充电桩数量的，可列出关于a的一元一次不等式，解之可得出a的取值范围，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：设A、B两种型号的充电桩的单价分别是x、y万元， 根据题意得， 解得： 答：A、B两种型号充电桩的单价分别是2.5万元、3万元； 【小问2详解】 解：① ， 解得：， 答：的值为10； ②设购买A型充电桩台，则购买B型充电桩台，购买充电桩的总费用为万元， 购买A型充电桩的数量不超过B型充电桩数量的， ， 解得． 的取值范围为，且为正整数， 根据题意，可得， ， 随的增大而减小， 当时，有最小值，此时． 答：最省钱的购买方案是购买A型充电桩11台，B型充电桩9台 22. 如图，在平面直角坐标系中，正方形与抛物线有交点． （1）若其中一个交点为． ①求a的值； ②求抛物线与x轴的交点坐标； （2）若点，抛物线的图象与正方形的边有两个交点，求a的取值范围． 【答案】（1）①；②抛物线与轴的交点坐标为 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，正方形的性质等知识，掌握以上性质是解题的关键． （1）①运用待定系数法求解即可； ②由①得，令，即，解方程即可； （2）根据正方形的性质求出点A的坐标为，再把和代入，求出的值即可得出结论． 【小问1详解】 解：①把点代入中， 得 解得 ②由题意得抛物线的表达式为． 令，即， 解得，． 抛物线与轴的交点坐标为 【小问2详解】 解：点， ， 点的坐标为， 拋物线开口向下， 将点代入得，解得． 将点代入得，解得． 抛物线图象与正方形的边有两个交点，的取值范围是 23. 综合与实践 如图，在中，，点M为边上不与端点重合的一个动点，过点M作于点D，过点B作，交的延长线于点E，连接，过点M作，交于点N． （1）初步探究 如图1，，四边形的形状是____________；线段与的数量关系是____________； （2）类比探究 如图2，， ①写出图中与相等的角，并说明理由； ②求证：； （3）拓展应用 当时，直接用含n的代数式表示的值． 【答案】（1）矩形； （2）①，理由见解析；②详见解析 （3）． 【解析】 【分析】（1）利用有三个角是直角的四边形是矩形判定四边形是矩形；证明是等腰直角三角形，可以推出； （2）①利用等角的余角相等推出；②利用正切函数的定义求得，再求得，，再利用正切函数的定义求解即可； （3）求得，设，证明，用表示出，，根据，列式求得，据此求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形； ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：矩形，； 【小问2详解】 解：①∵， ∴， ∴，即； ②∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 整理得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质．证明是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$