专题01 有理数的运算技巧（专项训练）数学沪教版2024六年级上册

专题01 有理数的运算技巧 目录 A题型建模・专项突破 题型一、凑整法 1 题型二、拆项法 4 题型三、裂项法 7 题型四、巧用分配律 10 题型五、倒数法 13 B综合攻坚・能力跃升 题型一、凑整法 1.阅读下面的解题过程，并解决问题． 计算：． 解：原式 ． (1)第①步经历了哪些转变：_____，体现了数学中的转化思想，为了计算简便，第②步应用了哪些运算律：_______． (2)根据以上解题技巧进行计算：． 【答案】(1)去括号，省略加号；加法交换律、结合律 (2) 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题考查有理数的知识，解题的关键是掌握有理数的加减运算，运用有理数的加减运算进行计算，即可． （1）根据有理数的加减运算步骤，进行计算，即可； （2）根据（1）中的运算法则，进行计算，即可． 【详解】（1）由解题过程可知，第①步去括号，省略加号；第②步运用加法交换律、结合律计算， 故答案为：去括号，省略加号；加法交换律、结合律． （2） ． 2．（24-25六年级上·上海·期中）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)11 【详解】（1）解： ； （2）解： 3．（24-25六年级上·上海·阶段练习）计算： 【答案】 【知识点】有理数加法运算律、有理数的加减混合运算 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，加法运算律，掌握相关运算法则是解题关键．结合加法交换律和结合律计算即可． 【详解】解： ． 4．（24-25六年级上·上海普陀·期中）计算：． 【答案】 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题考查了有理数的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据有理数的加减运算法则计算即可． 【详解】解： ． 5．（24-25六年级上·上海宝山·期末）计算：． 【答案】6 【知识点】有理数的减法运算 【分析】本题考查有理数的减法运算，根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 6．（23-24六年级下·上海普陀·期中）计算： 【答案】 【知识点】有理数加法运算律、有理数的加减混合运算 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，有理数的加法交换律和结合律，熟练掌握有理数的加减混合运算及有理数的加法的运算律是解题的关键．根据有理数加法的运算律，将能凑整的数先凑整，得到，再进一步计算，即得答案． 【详解】解：原式． ． 题型二、拆项法 7．阅读下题的计算方法． 计算：． 解：原式 ． 上面这种解题方法叫拆项法． 按此方法计算：． 【答案】 【知识点】有理数加减中的简便运算 【分析】按照题目中的拆项法解答即可． 【详解】原式 ． 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，读懂题意、掌握解法是关键． 8.用拆项法计算：． 【答案】1 【知识点】有理数加减中的简便运算 【分析】本题考查了有理数的加法，拆项法是解题关键．根据拆项法，可把整数结合在一起，分数结合在一起，再根据有理数的加法，可得答案． 【详解】解：原式 9.用拆项法计算：． 【答案】 【知识点】有理数加法运算、有理数加法运算律 【分析】本题考查了有理数的加法交换律及结合律，熟练掌握有理数的加法交换律及结合律是解题的关键，把变形为，再利用有理数的加法法则求解即可． 【详解】解：原式 ． 10.用拆项法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【知识点】有理数加减中的简便运算 【分析】本题考查了有理数的加法，把有关的数正确的拆项是解决问题的关键． （1）根据拆项法把拆成，把拆成，再根据有理数的加法进行计算即可； （2）根据拆项法把拆成，把拆成，再根据有理数的加法进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 11.用拆项法计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数加法运算律 【分析】本题考查了有理数加法的运算法则和运算律，熟练掌握运算法则和运算律是解题的关键． （1）先将各带分数拆分成一个整数与真分数的和，再利用有理数加法的交换律与结合律进行计算即可得； （2）先将各带分数拆分成一个整数与真分数的和，再利用有理数加法的交换律与结合律进行计算即可得； 【详解】（1） ， ； （2） ， ． 题型三、裂项法 12.请你观察： ；；；… ； ； 以上方法称为“裂项相消求和法”． 请类比完成： (1)求的值； (2)计算：的值． (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】有理数四则混合运算、数字类规律探索 【分析】本题主要考查了有理数混合运算； （1）根据裂项相消可得结果； （2）仿照解析（1）采用裂项的方法进行解答即可； （3）根据裂项相消可得结果； 解题的关键是熟练掌握裂项的方法，准确计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 13.用裂项法求和 (1)______； (2)______； (3)计算：的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】与实数运算相关的规律题 【分析】（1）根据题意，对式子进行裂项，求解即可； （2）根据题意，对式子进行裂项，求解即可； （3）根据题意，对式子中的每一项进行裂项，然后求解即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． 【点睛】此题考查了与实数有关的运算，解题的关键是理解题意，正确的对每一项进行裂项，然后求解． 14.用裂项法求和：．（写出解题过程） 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【详解】， ， ， ， 15.用裂项法求和 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】数字类规律探索、有理数四则混合运算 【分析】本题考查了数字的变化类，找到变化规律是解题的关键． （1）根据题中的方法，进行“裂项——消项”法简化运算； （2）根据题中的方法，进行“裂项——消项”法简化运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型四、巧用分配律 16．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）计算：． 【答案】 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用乘法分配律计算即可． 【详解】解：原式 17．（24-25六年级上·上海黄浦·期末）用简便方法计算：． 【答案】 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查了有理数的运算，变形后利用乘法分配律计算即可． 【详解】解： ． 18．（24-25六年级上·上海宝山·期末）计算：． 【答案】 【知识点】有理数乘法运算律、有理数四则混合运算 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数运算律和相关运算法则．先用乘法分配律计算，再算括号内，后算加减即可． 【详解】解： ． 19．（24-25六年级上·上海·阶段练习）简便计算： 【答案】13 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数乘法运算律，准确计算．根据乘法运算律进行计算即可． 【详解】解： ． 20．（24-25六年级上·上海杨浦·阶段练习）计算： 【答案】 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查有理数的混合运算，利用乘法分配律计算即可． 【详解】解： ． 21．（24-25六年级上·上海·阶段练习）计算：． 【答案】 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查了有理数的乘法运算律，根据乘法分配律进行计算即可求解． 【详解】解： 22．（24-25六年级上·上海·阶段练习）计算：． 【答案】 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查了有理数的乘法，根据乘法分配律进行计算即可求解． 【详解】解：原式 23．（24-25六年级上·上海金山·期中）计算： 【答案】0 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题主要考查有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘法分配律是解题的关键；因此此题可根据有理数的乘法分配律进行求解 【详解】解：原式 题型五、倒数法 24．（23-24六年级上·上海虹口·期中）请阅读下题的解法，再计算． 例题  计算： 解：设， 则 = 所以，即 按照例题解法，请计算：． 【答案】 【知识点】有理数的除法运算、有理数乘法运算律 【分析】本题主要考查了有理数的除法，看懂例题的解法是解决问题的关键． 首先看懂例题的做法，先计算出的倒数的结果，再算出原式结果即可． 【详解】解：设， 则 = ， 所以，即． 25.阅读以下材料，完成相关的填空和计算． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则__________； (2)计算：； (3)根据以上信息可知＝________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了倒数的定义，有理数的除法运算，利用分配率进行有理数的运算等知识． （1）根据倒数的定义即可求解； （2）先将除法运算化为乘法运算，再利用分配率进行计算即可求解； （3）根据倒数的定义即可求解． 【详解】（1）解：根据倒数的定义，若若，则． 故答案为：； （2）解： ； （3）解：因为， 所以． 故答案为： 26.阅读下面材料： 计算： 解法①： 原式 ； 解法②： 原式 ； 解法三： 原式的倒数为 ， 故原式． (1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法_____是错误的（填序号） (2)在正确的解法中，你认为解法______比较简便．（填序号） 请你进行简便计算：． 【答案】(1)① (2)③； 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算和分配律、倒数等知识，熟练掌握相关运算法则和运算律是解题的关键． （1）解法①中，除法当中的除式不能进行加减法分解，故解法①错误； （2）解法三运用了倒数的知识使得运算比较简便；先计算原式的倒数，再转化为原式即可． 【详解】（1）解：三种解法得出的结果不同，解法①是错误的． 故答案为：①； （2）解：在正确的解法中，解法③比较简便． 故答案为：③； 原式的倒数为 ， ∴原式． 27.计算： (1)前后两部分之间存在着什么关系？ (2)先计算哪部分比较简单?请给予解答； (3)利用（1）中的关系，直接写出另一部分的结果； (4)根据上述分析，求出原式的结果． 【答案】(1)前后两部分互为倒数 (2)先计算后面的部分比较简单，解答过程见解析 (3)另一部分的结果为 (4) 【分析】（1）根据倒数的定义：乘积为1的两个数互为倒数，即可； （2）把后面部分的除法化为乘法，根据乘法分配律，进行计算，根据分母均为36的公因数，故先算后面部分，较方便； （3）根据第二问的结果，倒数的关系，即可； （4）根据第二问，第三问的结果，进行有理数的加减，即可． （1）解：∵乘积为1的两个数互为倒数 ∴前后两部分互为倒数． （2）解：计算应先通分，然后化除法为乘法，最后进行计算； 计算，先化除法为乘法，然后根据乘法分配律，进行加减计算； ∴先计算后面部分比较方便 计算如下： ． （3）解：∵前后两部分互为倒数，后面部分： ∴前面部分：． （4）解： ． 【点睛】本题考查有理数的知识，解题的关键是掌握倒数的定义，有理数除法的运算法则，乘法分配律等． 1．（24-25六年级上·上海崇明·期末）计算： 【答案】0 【知识点】有理数加减中的简便运算 【分析】本题考查了有理数加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； 根据有理数加减运算法则即可解答； 【详解】解：原式 ． 2．（24-25六年级上·上海·期中）计算：． 【答案】 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题主要考查了有理数的运算，掌握有理数的运算法则是解题的关键，应用运算律会使计算简便，根据乘法分配律计算即可． 【详解】解：原式 ． 3．（24-25六年级上·上海·期中）计算：． 【答案】 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查了有理数的混合运算，先处理积的符号，然后根据逆用乘法分配律进行计算即可求解． 【详解】解：原式 ． 4．用简便方法计算： (1) (2)． 【答案】(1)； (2) 【知识点】有理数四则混合运算、有理数乘法运算律 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （1）直接逆用乘法的分配律进行简便运算即可； （2）把原式化为，再利用分配律进行简便运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】题目主要考查有理数的乘法运算律，根据题意直接计算即可． （1）利用乘法运算律求解即可； （2）利用乘法运算律求解即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 6.（1）①用简便的方法计算：； ②上述简便方法运用到的运算律是：______、______； （2）在计算时，没办法直接用上述方法简便运算，需要把各个数进行拆项，再运用运算律简便运算． ①请你把进行拆项：____________；____________； ②用拆项法简便计算：． 【答案】（1）①；②加法交换律、加法结合律；（2）①17，；；②1 【知识点】有理数加减中的简便运算 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算： （1）①先把原式变形为，再计算求解即可；②观察解题过程可知用到了加法交换律、加法结合律； （2）①把带分数拆解成整数加分数的形式即可；②先把原式的带分数拆解成整数加分数的形式，再把整数和分数分别合在一起计算求解即可． 【详解】解：（1）① ． ； ②由解题过程可知用到了加法交换律、加法结合律； （2）①； 故答案为：17，；； ②原式 ． 7.请你观察：，，，…… ； ；…… 以上方法称为“裂项相消求和法”，请类比完成： (1) ； (2) ； (3)计算：的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】有理数四则混合运算、数字类规律探索 【分析】（1）参照所给的方法进行求解即可； （2）参照所给的方法进行求解即可； （3）根据所给的式子，由，据此把其余各项进行转化即可求解． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） 【点睛】本题主要考查规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，解答的关键是对裂项相消求和法的理解与应用． 8.阅读下列材料：计算：． 解法1思路：原式；对吗？答：____________． 解法2提示：先计算原式的倒数：，故原式等于300． (1)请你用解法2的方法计算：； (2)现在这个题简单了吧！来吧！试试吧！ 【答案】(1)不对；； (2) 【分析】本题考查了有理数的除法运算，解题的关键是熟练掌握有理数的除法运算法则． 有理数的除法不满足分配率，故解法1不对； （1）先计算原式的倒数，然后即可求解； （2）先计算出的值，再求出的倒数，即可得到原式的值，然后求和即可求解． 【详解】（1）解：因为有理数的除法不满足分配律，故解法1不对； 故答案为：不对； ∵ ， ∴； （2）∵ ， ∴， ∴ 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 有理数的运算技巧 目录 A题型建模・专项突破 题型一、凑整法 1 题型二、拆项法 3 题型三、裂项法 4 题型四、巧用分配律 5 题型五、倒数法 6 B综合攻坚・能力跃升 题型一、凑整法 1.阅读下面的解题过程，并解决问题． 计算：． 解：原式 ． (1)第①步经历了哪些转变：_____，体现了数学中的转化思想，为了计算简便，第②步应用了哪些运算律：_______． (2)根据以上解题技巧进行计算：． 2．（24-25六年级上·上海·期中）计算： (1)． (2)． 3．（24-25六年级上·上海·阶段练习）计算： 4．（24-25六年级上·上海普陀·期中）计算：． 5．（24-25六年级上·上海宝山·期末）计算：． 6．（23-24六年级下·上海普陀·期中）计算： 题型二、拆项法 7．阅读下题的计算方法． 计算：． 解：原式 ． 上面这种解题方法叫拆项法． 按此方法计算：． 8.用拆项法计算：． 9.用拆项法计算：． 10.用拆项法计算： (1)； (2)． 11.用拆项法计算 (1)； (2)． 题型三、裂项法 12.请你观察： ；；；… ； ； 以上方法称为“裂项相消求和法”． 请类比完成： (1)求的值； (2)计算：的值． (3)求的值． 13.用裂项法求和 (1)______； (2)______； (3)计算：的值． 14.用裂项法求和：．（写出解题过程） 15.用裂项法求和 (1)； (2)． 题型四、巧用分配律 16．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）计算：． 17．（24-25六年级上·上海黄浦·期末）用简便方法计算：． 18．（24-25六年级上·上海宝山·期末）计算：． 19．（24-25六年级上·上海·阶段练习）简便计算： 20．（24-25六年级上·上海杨浦·阶段练习）计算： 21．（24-25六年级上·上海·阶段练习）计算：． 22．（24-25六年级上·上海·阶段练习）计算：． 23．（24-25六年级上·上海金山·期中）计算： 题型五、倒数法 24．（23-24六年级上·上海虹口·期中）请阅读下题的解法，再计算． 例题  计算： 解：设， 则 = 所以，即 按照例题解法，请计算：． 25.阅读以下材料，完成相关的填空和计算． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则__________； (2)计算：； (3)根据以上信息可知＝________． 26.阅读下面材料： 计算： 解法①： 原式 ； 解法②： 原式 ； 解法三： 原式的倒数为 ， 故原式． (1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法_____是错误的（填序号） (2)在正确的解法中，你认为解法______比较简便．（填序号） 请你进行简便计算：． 27.计算： (1)前后两部分之间存在着什么关系？ (2)先计算哪部分比较简单?请给予解答； (3)利用（1）中的关系，直接写出另一部分的结果； (4)根据上述分析，求出原式的结果． 1．（24-25六年级上·上海崇明·期末）计算： 2．（24-25六年级上·上海·期中）计算：． 3．（24-25六年级上·上海·期中）计算：． 4．用简便方法计算： (1) (2)． 5．计算： (1)； (2)． 6.（1）①用简便的方法计算：； ②上述简便方法运用到的运算律是：______、______； （2）在计算时，没办法直接用上述方法简便运算，需要把各个数进行拆项，再运用运算律简便运算． ①请你把进行拆项：____________；____________； ②用拆项法简便计算：． 7.请你观察：，，，…… ； ；…… 以上方法称为“裂项相消求和法”，请类比完成： (1) ； (2) ； (3)计算：的值． 8.阅读下列材料：计算：． 解法1思路：原式；对吗？答：____________． 解法2提示：先计算原式的倒数：，故原式等于300． (1)请你用解法2的方法计算：； (2)现在这个题简单了吧！来吧！试试吧！ 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$