精品解析：贵州省黔西南州2024-2025学年下学期期末考试八年级数学试卷

贵州省黔西南州2024-2025学年下学期期末考试八年级数学试卷 （本试题共6页，共三大题，满分150分，考试时间为120分钟） 考生注意： 1．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域．书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、选择题（每题3分，共36分，以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答） 1. 如下字体的四个汉字中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形，熟练掌握轴对称图形是解题的关键．根据轴对称的定义判断即可． 【详解】解：根据轴对称的定义， 是轴对称图形， 故选D． 2. 下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的定义，根据算术平方根的定义，逐一分析各选项的正确性． 【详解】A．，但选项结果为，错误． B． ，平方与算术平方根互为逆运算，结果正确． C．的被开方数为负数，无意义，错误． D．，算术平方根结果非负，是4的平方根，错误． 故选B． 3. 如图，直线，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．利用平行线的性质求出∠4的度数，然后利用三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵ ∴． 故选C． 4. 第8个全国近视防控宣传教育月的主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”．我校积极响应，开展视力检查．某班41名同学视力检查数据如下表： 视力 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 人数 1 4 4 5 11 8 5 3 这41名同学视力检查数据的中位数是（ ） A. 4.6 B. 4.7 C. 4.8 D. 4.9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中位数的计算．中位数是将数据从小到大排列后，位于中间位置的数．对于奇数个数据，中位数是第个数． 【详解】共有41名同学，中位数为第21个数据．按视力从小到大累加人数： 视力4.3：1人，累计1人 视力4.4：4人，累计人 视力4.5：4人，累计人 视力4.6：5人，累计人 视力4.7：11人，累计人 第21个数据落在视力4.7的范围内，因此中位数为4.7． 故选B． 5. 如图，的对角线与相交于点，若，则的长是（ ） A. 5 B. C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，平行四边形的性质，利用平行四边形的性质求解，再利用勾股定理求解，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选B． 6. 下列各点中，在函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征．将各选项的横坐标代入函数解析式，计算对应的y值，若与选项中的纵坐标一致，则该点在图象上． 【详解】解：对于每个选项，将x代入，验证y值是否匹配： A.当时，，与点的y值一致，符合题意． B.当时，，但点的y值为3，不匹配． C.当时，，与点的y值4不符． D.当时，，与点的y值1不符． 综上，只有选项A满足条件． 故选A． 7. 如图中，，则的长是（ ） A. 7 B. 3 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么．根据勾股定理求解即可． 【详解】解；∵， ∴． 故选C． 8. 在如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A，B两点对应的实数分别是和，则点C所对应的实数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴、数轴上两点的距离、轴对称，熟练掌握数轴的性质是解题关键．设点所对应的实数是，根据和数轴的性质建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设点所对应的实数是， 由题意得：， 解得， 故选：D． 9. 如图所示，在矩形中，已知于，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的性质．根据矩形的性质求出，得出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴（负值舍去） 故选A． 10. 如图，已知某菱形花坛的边长是8，，则花坛面积是（ ） A. B. C. 32 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质，含角的直角三角形的性质，根据题意可求出，根据，可求出，根据菱形的性质可得，根据含角的直角三角形的性质求出，由勾股定理求出，然后求出对角线的长即可求解． 【详解】解：∵菱形花坛的边长是8，， ∴，， ∵， ∴， 设交于点， ∴在中，，， ∴， ∴ ∴， ∴花坛面积是． 故选：． 11. 将四个图1中的直角三角形，分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图2中阴影部分的面积为（　　） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】设直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，斜边为c．根据面积法可得，图2中，图3中，联立这两个式子，即可求得的值，即阴影部分的面积． 【详解】由图2可知，大正方形的面积，图3中小正方形的面积，设直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，斜边为c， 则由图2可得， 即①， 由图3可得， 即②， 联立①和②可得， ， ∴图2中阴影部分的面积为13， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和完全平方公式，掌握用面积法解题是解题的关键． 12. 如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰直角ABC，使∠BAC＝90°，如果点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，那么表示y与x的函数关系的图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先作出合适的辅助线，再证明△ADC和△AOB的关系，即可建立y与x的函数关系，从而确定函数图像． 【详解】解：由题意可得：OB＝x，OA＝1，∠AOB＝90°，∠BAC＝90°，AB＝AC，点C的纵坐标是y， 作AD∥x轴，作CD⊥AD于点D，如图所示： ∴∠DAO＋∠AOD＝180°， ∴∠DAO＝90°， ∴∠OAB＋∠BAD＝∠BAD＋∠DAC＝90°， ∴∠OAB＝∠DAC， 在△OAB和△DAC中， ∴△OAB≌△DAC（AAS）， ∴OB＝CD， ∴CD＝x， ∵点C到x轴的距离为y，点D到x轴的距离等于点A到x的距离1， ∴y＝x＋1（x＞0）． 故选：A． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，明确题意、建立相应的函数关系式是解答本题的关键． 二、填空题（每题4分，共16分） 13. 化简：_______． 【答案】3 【解析】 【详解】解：． 14. 如图所示，在直角中，，，，边上的垂直平分线交边于点E，交边于点D，连接，则的周长为______． 【答案】17 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质．利用勾股定理求出，然后根据线段垂直平分线的性质得到，最后根据三角形的周长公式计算可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长为 ， ∴的周长为17． 故答案为：17． 15. 中国结，象征着中华民族的历史文化与精神．小明家有一中国结挂饰，他想求两对边的距离，利用所学知识抽象出如图所示的菱形，测得，直线交两对边于，则的长为______． 【答案】####4.8 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，根据菱形的性质得到，，根据勾股定理得到，根据菱形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，是等边三角形，，点是边上的一点，且，点是直线上一动点，连接，以为腰作等腰，且使，连接，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】通过作辅助线构造直角，利用证得得到，结合等边三角形性质及直角三角形性质求出相关线段长度，再根据垂线段最短确定的最小值． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，过点作于点， 则， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形，，， ∴，，， ∵在含有的直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半， ∴，， 在中， ， ∵， ∴， ∴， ∴当点运动时，点与直线的距离始终为， ∴当时，的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质及垂线段最短；掌握通过辅助线构造全等三角形转化线段关系并利用垂线段最短求最值是解题的关键． 三、解答题（本大题共9题，共计98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 先化简，再求值：，其中． 以下是一位同学的化简过程： 解：原式 第一步 第二步 第三步 （1）这位同学的化简过程从第______步开始出错； （2）写出完整的解答过程． 【答案】（1）二 （2）， 【解析】 【分析】本题考查整式的化简求值， （1）根据整式混合运算顺序和运算法则计算即可判断； （2）先根据完全平方公式和平方差公式将原式化简，合并后得到最简结果，再把的值代入计算即可； 解题的关键是掌握相应的运算法则、公式和运算顺序． 【小问1详解】 解：这位同学的化简过程从第二步开始出错，去括号没有变号， 故答案为：二； 【小问2详解】 ， 当时，原式． 18. 某校科技社团在七、八年级学生（七年级有400名学生、八年级有600名学生）中开展了“航天梦”航空航天知识竞赛活动，并各随机抽取了20名同学的成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组，A．；B．；．；D．） 下面给出了部分信息： 七年级20名学生的竞赛成绩是：61，66，99，85，70，92，100，62，79，69，61，76，71，75，71，79，71，72，71，99． 八年级20名学生的竞赛成绩在B组中的数据是：70，70，70，70，71，72． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 八年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图 年级 七年级 八年级 平均数 76.45 73 中位数 71.5 x 众数 y 70 根据以上信息，解答下列问题： （1）______；______；______； （2）你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握航空航天知识更好？请说明理由； （3）估计全校七、八年级航空航天竞赛成绩在80分及以上的共有多少人？ 【答案】（1）70，71，40 （2） 七年级，理由如下： 七年级竞赛成绩的平均分，中位数，众数均高于八年级， 七年级学生掌握航空航天知识更好； （3）人 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图、中位数和众数、用样本估计总体． （1）先求得八年级的A组人数，然后除以总人数即可求出m；并得到中位数位于B组，再将B组数据从小到大排列，进而求得第10和第11个数据的平均数即为中位数x值；找到七年级成绩中出现次数最多的数据即为众数y； （2）根据表中数据如平均数、中位数、众数等分析解答即可； （3）用各年级总人数乘以该年级优秀率求出七、八年级的优秀人数和即可． 【小问1详解】 解：抽样调查中八年级A组的人数为：（人）， ∴， ∴， 八年级的中位数在B组，为，即， 七年级20名学生的竞赛成绩中出现最多的是71， ∴， 故答案为：70，71，40； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：各自抽查的20名同学中，七年级成绩大于或等于80分的学生有5人，八年级有（人）， （人）． 答：估计全校七、八年级航空航天竞赛成绩在80分及以上的共有人． 19. 在春天来临之际，八（1）班和八（2）班的同学计划在学校劳动实践基地种植蔬菜；如图，点C是自来水管的位置，点A和点B分别表示八（1）班和八（2）班实践基地的位置，两处相距3米，两处相距4米，两处相距5米；为了更好的使用自来水灌溉，八（1）班和八（2）班在图纸上设计了两种水管铺设方案： 八（1）班方案：沿线段铺设2段水管； 八（2）班方案：过点C作于点D，沿线段铺设3段水管； （1）求证：； （2）从节约水管的角度考虑，你会选择哪个班的铺设方案？为什么？ 【答案】（1） 证明：,， ∴， ∴为直角三角形， ∴； （2） 选用八（1）班方案，理由如下： 方案一所需水管长度为：（米）； 方案二所需水管长度如下： 由（1）得，且，由等面积法可得， （米）， （米）； ∵， ∴方案一所用的水管少， 故选用八（1）班方案． 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，等面积法求线段的长度等内容，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理判定直角三角形． （1）利用勾股定理的逆定理进行判定即可； （2）利用等面积法求出线段的长度，分别将两个方案所需水管长度求出，然后进行比较选择即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 有一进水管与出水管的容器，从某时刻开始4min内只进水不出水，在随后的8min内既进水又出水，每分的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y．单位：L．与时间x．单位：分．之间的关系如图所示： （1）当0≤x≤4时，求y随x变化的函数关系式； （2）当4＜x≤12时，求y与x的函数解析式； （3）每分钟进水、出水各是多少升？ 【答案】（1）y＝5x （0≤x≤4）； （2）y＝x+15 （4≤x≤12）； （3）每分钟进水、出水各是5升、升 【解析】 【分析】（1）当0≤x≤4时，设y随x变化的函数解析式为y=ax．将（4，20）代入，利用待定系数法即可求出对应的函数关系式； （2）当4＜x≤12时，设y随x变化的函数解析式为y=kx+b．将（4，20）、（12，30）代入，利用待定系数法即可求出对应的函数关系式； （3）每分钟的进水量根据前4分钟的图象求出，出水量根据后8分钟的水量变化求解． 【小问1详解】 解：设y＝ax． ∵图象过（4，20）， ∴4a＝20， ∴a＝5． ∴y随x变化的函数关系式为y＝5x （0≤x≤4）； 【小问2详解】 解：设y＝kx+b． ∵图象过（4，20）、（12，30）， ∴，解得：， ∴y与x的函数解析式为y＝x+15 （4≤x≤12）； 【小问3详解】 解：根据图象，每分钟进水20÷4＝5升， 设每分钟出水m升，则 5×8﹣8m＝30﹣20， 解得：m＝， ∴每分钟进水、出水各是5升、升． 【点睛】此题考查了一次函数的应用，正确理解题意，利用待定系数法求出函数的解析式是解题的关键． 21. 根据所给素材，完成相应任务． 玩转三角尺 活动 背景 在某次数学探究活动中，李老师拿出一副斜边长都为2的三角尺，如图1所示．其中，为直角，，把两直角顶点重合（点A与点F重合于点O），旋转三角尺进行探究活动 素材1 小明同学的探究结果如图2所示，D，O，C三点在一条直线上． 素材2 小聪同学的探究结果如图3所示，，连结，发现四边形的对边． 素材3 李老师提出问题：如图4，在上述操作过程（），与的面积比是否为定值？ 解决问题 任务1 （1）根据图2，直接写出线段的长为______． 任务2 （2）根据图3帮助小聪同学写出的推导过程． 任务3 （3）请你解答李老师的问题，并说明理由． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）定值，见解析 【解析】 【分析】（）在中，利用直角三角形的性质求得，在中，利用等腰直角三角形和勾股定理求得即可，由求解； （）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，即可； （）作于，交延长线于，证明，得到，然后由三角形面积公式计算出 ，从而得出结论． 【详解】解：（）在中，，，， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （）∵（已知）， （已知）， ∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， ∴ （）与的面积比是定值，理由： 作于，交延长线于，如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴与的面积比是定值． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 22. 某校利用五一劳动节组织学生参加社会实践活动，各年级师生参加的人数分别为：七年级100人，八年级80人，九年级140人，师生一起乘坐客车前往实践基地，下面是张老师和小强、小明同学有关租车问题的对话． 张老师：“客运公司有两种型号的客车可供租用，A型客车每辆租金300元，B型客车每辆租金200元．” 小强：“七年级租用2辆A型客车和1辆B型客车恰好坐满．” 小明：“八年级租用1辆A型客车和2辆B型客车恰好坐满．” 根据以上对话，解答下列问题： （1）分别求每辆A型客车和B型客车坐满后的载客人数； （2）因司机紧缺，客运公司只能给九年级师生安排5辆客车，要使九年级每位师生都有座位，九年级应租用两种客车各多少辆才能使租金最少？最少租金为多少元？ 【答案】（1）每辆型客车坐满后的载客人数为40人，每辆型客车坐满后的载客人数为20人； （2）九年级租用2辆型客车，3辆型客车所需的租金最少，最少为1200元． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组以及一次函数的应用，理解题意，弄清熟练关系是解题关键． （1）设每辆型客车坐满后的载客人数为人，每辆型客车坐满后的载客人数为人，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设九年级租用型客车辆，则租用型客车辆，租金为元，先根据题意列出关于的一元一次不等式组，求出的取值范围，再表示出，结合一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设每辆型客车坐满后的载客人数为人，每辆型客车坐满后的载客人数为人， 根据题意，可得，解得， 答：每辆型客车坐满后的载客人数为40人，每辆型客车坐满后的载客人数为20人； 【小问2详解】 设九年级租用型客车辆，则租用型客车辆，租金为元， 根据题意，可得， 解得， ∵租金， 又∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，取最小值，最小值为（元）， 此时（辆）， 答：九年级租用2辆型客车，3辆型客车所需的租金最少，最少为1200元． 23. 如图1所示，有若干张正方形和长方形卡片，其中A型卡片、B型卡片分别是边长为a、b的正方形，C型卡片是长为a、宽为b的长方形，且它的一条对角线长为c（如图1中的虚线）． （1）【操作一】若用若干张图1中的卡片拼成一个边长为的正方形，则需要A型卡片__________张，B型卡片__________张，C型卡片__________张； （2）【操作二】将两张C型卡片沿如图1所示虚线剪开后，拼成如图2所示的正方形，请借助于图2中阴影部分面积的两种表达方式，探索a、b、c满足的数量关系，写出你的结论并证明； （3）【操作三】如图3，将2张A型卡片和2张B型卡片无叠合的置于长为，宽为的长方形中．若图2中阴影部分的面积为4，图3中阴影的部分面积为15，记每张A型、B型、C型卡片的面积分别为、、，求的值． 【答案】（1）1；9；6 （2），理由见解析 （3）13 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式应用，关键能够分割图形，了解各个部分组成，便可表示各个类型的数量，善用整体代入法，表示出相应部分面积，利用整体代入法求解． （1）根据完全平方公式把化简即可解答； （2）求出阴影部分图形的面积即可； （3）利用图2中阴影部分的面积为4，图3中阴影的部分面积为15，得到，，利用整体代入法进而求得答案． 【小问1详解】 解：∵， 故需要A型卡片1张，B型卡片9张，C型卡片6张； 故答案为：1；9；6； 【小问2详解】 解：，理由如下： 图②阴影部分图形的面积可表示为： 或， ， ， ； 【小问3详解】 解：图2中阴影部分的面积为4， ， 图3中阴影的部分面积为15， ， ∴， ∴． 24. 自行车尾灯由许多很小的角反射器组成，在汽车大灯的照射下，自行车尾灯能反射出明亮的光，为骑行者提供额外的安全保障，如图1．角反射器的基本原理是光的反射定律，即入射光线、反射光线和法线都位于同一平面内，且反射角等于入射角．根据光的反射定律，在图2中，．角反射器通常由两个相互垂直的平面镜组成，这样的结构使得无论光线从哪个方向入射，经过两次反射后，都能沿着与入射光线相反的方向反射回去，如图3． 以角反射器的直角顶点为坐标原点，两个平面镜分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系如图4． 已知入射光线所在直线经x轴上A点反射到达y轴上的B点，再经B点反射出的光线所在直线为． （1）证明：； （2）若的函数表达式为，求的函数表达式； （3）如图5，在中，若，．以为腰作等腰，使，过点作交于点，交轴于点，连接，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） （3）1 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，直角三角形的性质，平行线的判定等等，熟知相关知识是解题的关键。 （1）根据题意可得，由三角形内角和定理可得，则由平角的定义可证明，则可证明； （2）设直线交y轴于C，则，可证明，得到；求出，可得，根据，可设直线的解析式为，则，即可得到直线的解析式为； （3）由题意可得，则由三线合一定理可得，证明是等边三角形， 得到，点F为的中点，则． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，设直线交y轴于C，则， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 在中，当时，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴可设直线的解析式为，则， ∴直线的解析式为； 【小问3详解】 解：∵以为腰作等腰，使， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴点F为的中点， 又∵， ∴． 25. 综合与实践：折纸中的数学 折纸是我国传统的民间艺术，也是同学们喜欢的手工活动之一，幸运星、纸飞机、千纸鹤、密信等折纸活动在生活中都是广为流传的，通过折纸我们可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，折纸往往从矩形纸片开始，下面就让我们带着数学的眼光来探究一下有关矩形纸片的折叠问题，看看折叠矩形纸片蕴含着哪些丰富的数学知识． （1）折纸1：如图1，在一张矩形纸片上任意画一条线段AB，将纸片沿线段AB折叠（如图2） 问题1：重叠部分的的形状是______． A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 问题2：若，则点到的距离为______． （2）折纸2：如图3，矩形纸片，点为边上一点，将沿着直线折叠，使点的对应点落在边上，请仅用无刻度的尺子和圆规在图3中找出点的位置（保留作图痕迹，不写作法）． （3）折纸3：如图4，矩形纸片，若点为射线BC上一点，将沿着直线AM折叠，折叠后点的对应点为，当点恰好落在BC的垂直平分线上时，补全图形，求BM的长． 【答案】（1）C， （2） 点的位置如下图所示； （3） 如图所示， 如图所示， 的长为或 【解析】 【分析】（1）问题1：利用翻折的性质和矩形的性质即可得出等腰三角形；问题2：利用等腰三角形的性质和勾股定理求出高，利用三角形面积公式求解即可； （2）利用角平分线的作法作图，即以点为圆心，以长为半径作弧交于点，作的平分线，交于点； （3）根据题意分两种情况进行讨论，当点落在矩形外部时，利用翻折的性质和线段垂直平分线的性质，表示出相关线段的长度，利用勾股定理得出，可得，然后设，则，在中利用勾股定理列方程，求出，再由即可得出答案；当点落在矩形内部时，同上述思路即可得出答案． 【小问1详解】 解：问题1：如图2所示， 由翻折的性质可得，， ， ， ， 是等腰三角形， 故选：C； 问题2：如图所示，过点作交于点， ， 由勾股定理得，， ， 点到的距离为， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①当点落在矩形外部时，设的垂直平分线交于点，交于点，则， 由题意，得，，，， ，， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， 即， ； ②当点落在矩形内部时，设的垂直平分线交于点，交于点，则，， 同①，可得， ， 的长为或． 【点睛】本题主要考查了矩形和翻折的结合，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，尺规作图——角平分线，线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握以上性质，并掌握分类讨论的数学思想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵州省黔西南州2024-2025学年下学期期末考试八年级数学试卷 （本试题共6页，共三大题，满分150分，考试时间为120分钟） 考生注意： 1．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域．书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、选择题（每题3分，共36分，以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答） 1. 如下字体的四个汉字中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 第8个全国近视防控宣传教育月的主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”．我校积极响应，开展视力检查．某班41名同学视力检查数据如下表： 视力 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 人数 1 4 4 5 11 8 5 3 这41名同学视力检查数据的中位数是（ ） A. 4.6 B. 4.7 C. 4.8 D. 4.9 5. 如图，的对角线与相交于点，若，则的长是（ ） A. 5 B. C. D. 6 6. 下列各点中，在函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图中，，则的长是（ ） A. 7 B. 3 C. 1 D. 2 8. 在如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A，B两点对应的实数分别是和，则点C所对应的实数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图所示，在矩形中，已知于，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知某菱形花坛的边长是8，，则花坛面积是（ ） A. B. C. 32 D. 11. 将四个图1中的直角三角形，分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图2中阴影部分的面积为（　　） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 12. 如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰直角ABC，使∠BAC＝90°，如果点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，那么表示y与x的函数关系的图像大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题4分，共16分） 13. 化简：_______． 14. 如图所示，在直角中，，，，边上的垂直平分线交边于点E，交边于点D，连接，则的周长为______． 15. 中国结，象征着中华民族的历史文化与精神．小明家有一中国结挂饰，他想求两对边的距离，利用所学知识抽象出如图所示的菱形，测得，直线交两对边于，则的长为______． 16. 如图，是等边三角形，，点是边上的一点，且，点是直线上一动点，连接，以为腰作等腰，且使，连接，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共9题，共计98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 先化简，再求值：，其中． 以下是一位同学的化简过程： 解：原式 第一步 第二步 第三步 （1）这位同学的化简过程从第______步开始出错； （2）写出完整的解答过程． 18. 某校科技社团在七、八年级学生（七年级有400名学生、八年级有600名学生）中开展了“航天梦”航空航天知识竞赛活动，并各随机抽取了20名同学的成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组，A．；B．；．；D．） 下面给出了部分信息： 七年级20名学生的竞赛成绩是：61，66，99，85，70，92，100，62，79，69，61，76，71，75，71，79，71，72，71，99． 八年级20名学生的竞赛成绩在B组中的数据是：70，70，70，70，71，72． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 八年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图 年级 七年级 八年级 平均数 76.45 73 中位数 71.5 x 众数 y 70 根据以上信息，解答下列问题： （1）______；______；______； （2）你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握航空航天知识更好？请说明理由； （3）估计全校七、八年级航空航天竞赛成绩在80分及以上的共有多少人？ 19. 在春天来临之际，八（1）班和八（2）班的同学计划在学校劳动实践基地种植蔬菜；如图，点C是自来水管的位置，点A和点B分别表示八（1）班和八（2）班实践基地的位置，两处相距3米，两处相距4米，两处相距5米；为了更好的使用自来水灌溉，八（1）班和八（2）班在图纸上设计了两种水管铺设方案： 八（1）班方案：沿线段铺设2段水管； 八（2）班方案：过点C作于点D，沿线段铺设3段水管； （1）求证：； （2）从节约水管的角度考虑，你会选择哪个班的铺设方案？为什么？ 20. 有一进水管与出水管的容器，从某时刻开始4min内只进水不出水，在随后的8min内既进水又出水，每分的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y．单位：L．与时间x．单位：分．之间的关系如图所示： （1）当0≤x≤4时，求y随x变化的函数关系式； （2）当4＜x≤12时，求y与x的函数解析式； （3）每分钟进水、出水各是多少升？ 21. 根据所给素材，完成相应任务． 玩转三角尺 活动 背景 在某次数学探究活动中，李老师拿出一副斜边长都为2的三角尺，如图1所示．其中，为直角，，把两直角顶点重合（点A与点F重合于点O），旋转三角尺进行探究活动 素材1 小明同学的探究结果如图2所示，D，O，C三点在一条直线上． 素材2 小聪同学的探究结果如图3所示，，连结，发现四边形的对边． 素材3 李老师提出问题：如图4，在上述操作过程（），与的面积比是否为定值？ 解决问题 任务1 （1）根据图2，直接写出线段的长为______． 任务2 （2）根据图3帮助小聪同学写出的推导过程． 任务3 （3）请你解答李老师的问题，并说明理由． 22. 某校利用五一劳动节组织学生参加社会实践活动，各年级师生参加的人数分别为：七年级100人，八年级80人，九年级140人，师生一起乘坐客车前往实践基地，下面是张老师和小强、小明同学有关租车问题的对话． 张老师：“客运公司有两种型号的客车可供租用，A型客车每辆租金300元，B型客车每辆租金200元．” 小强：“七年级租用2辆A型客车和1辆B型客车恰好坐满．” 小明：“八年级租用1辆A型客车和2辆B型客车恰好坐满．” 根据以上对话，解答下列问题： （1）分别求每辆A型客车和B型客车坐满后的载客人数； （2）因司机紧缺，客运公司只能给九年级师生安排5辆客车，要使九年级每位师生都有座位，九年级应租用两种客车各多少辆才能使租金最少？最少租金为多少元？ 23. 如图1所示，有若干张正方形和长方形卡片，其中A型卡片、B型卡片分别是边长为a、b的正方形，C型卡片是长为a、宽为b的长方形，且它的一条对角线长为c（如图1中的虚线）． （1）【操作一】若用若干张图1中的卡片拼成一个边长为的正方形，则需要A型卡片__________张，B型卡片__________张，C型卡片__________张； （2）【操作二】将两张C型卡片沿如图1所示虚线剪开后，拼成如图2所示的正方形，请借助于图2中阴影部分面积的两种表达方式，探索a、b、c满足的数量关系，写出你的结论并证明； （3）【操作三】如图3，将2张A型卡片和2张B型卡片无叠合的置于长为，宽为的长方形中．若图2中阴影部分的面积为4，图3中阴影的部分面积为15，记每张A型、B型、C型卡片的面积分别为、、，求的值． 24. 自行车尾灯由许多很小的角反射器组成，在汽车大灯的照射下，自行车尾灯能反射出明亮的光，为骑行者提供额外的安全保障，如图1．角反射器的基本原理是光的反射定律，即入射光线、反射光线和法线都位于同一平面内，且反射角等于入射角．根据光的反射定律，在图2中，．角反射器通常由两个相互垂直的平面镜组成，这样的结构使得无论光线从哪个方向入射，经过两次反射后，都能沿着与入射光线相反的方向反射回去，如图3． 以角反射器的直角顶点为坐标原点，两个平面镜分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系如图4． 已知入射光线所在直线经x轴上A点反射到达y轴上的B点，再经B点反射出的光线所在直线为． （1）证明：； （2）若的函数表达式为，求的函数表达式； （3）如图5，在中，若，．以为腰作等腰，使，过点作交于点，交轴于点，连接，求的值． 25. 综合与实践：折纸中的数学 折纸是我国传统的民间艺术，也是同学们喜欢的手工活动之一，幸运星、纸飞机、千纸鹤、密信等折纸活动在生活中都是广为流传的，通过折纸我们可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，折纸往往从矩形纸片开始，下面就让我们带着数学的眼光来探究一下有关矩形纸片的折叠问题，看看折叠矩形纸片蕴含着哪些丰富的数学知识． （1）折纸1：如图1，在一张矩形纸片上任意画一条线段AB，将纸片沿线段AB折叠（如图2） 问题1：重叠部分的的形状是______． A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 问题2：若，则点到的距离为______． （2）折纸2：如图3，矩形纸片，点为边上一点，将沿着直线折叠，使点的对应点落在边上，请仅用无刻度的尺子和圆规在图3中找出点的位置（保留作图痕迹，不写作法）． （3）折纸3：如图4，矩形纸片，若点为射线BC上一点，将沿着直线AM折叠，折叠后点的对应点为，当点恰好落在BC的垂直平分线上时，补全图形，求BM的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $