精品解析：贵州省黔西南布依族苗族自治州2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023-2024学年贵州省黔西南州八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 银行是现代金融业的主体，是国民经济运转的枢纽，下列银行标志图案是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 2. 二次根式有意义的条件( ) A. B. C. D. 3. 双人漫步机是一种有氧运动器材，通过进行心血管健康的有氧运动，如慢跑、快走等，可以增强人体的心肺功能，降低血压、改善血糖．这种设计应用的几何原理是( ) A. 三角形的稳定性 B. 两点之间线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 垂线段最短 4. 如图，四边形中，对角线相交于点O，下列条件能判定这个四边形是平行四边形的是( ) A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 下列因式分解正确的是( ) A. B. C. D. 6. 在中，斜边，则的值为（ ） A 15 B. 25 C. 50 D. 无法计算 7. 下面是2024年丽江市某周发布的最高温度：16℃，，，，，，．关于这组数据，下列说法正确的是（ ） A. 中位数是24 B. 众数是24 C. 平均数是20 D. 方差是9 8. 下列各式正确的是( ) A. B. C. D. 9. 某生物兴趣小组观察一种植物的生长情况，得到这种植物的高度（厘米）与观察时间（天）的函数关系图象如图所示．照此计算，该植物的高度超过厘米至少需要经过( ) A. 天 B. 天 C. 天 D. 天 10. 满足下列条件的中，不是直角三角形的是( ) A. B. C. D. 11. 如图，在中，，点D，E分别是，的中点，连接，在上有一点F，且，连接，若，则的长为( ) A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 12. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边落在x轴的正半轴上，且点，，直线以每秒1个单位长度的速度向右平移，经过( )秒该直线可将平行四边形的面积平分． A. 3 B. C. 5 D. 6 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分． 13. 为迎接2024年体育中考，甲、乙两位同学参加男生1000米跑训练，体育老师根据训练成绩算出他们的成绩的方差分别为，，则________（填“甲”或“乙”）的成绩较稳定． 14. 如图，庭院中有两棵树，小鸟要从一棵高10m的树顶飞到一棵高4m的树顶上，两棵树相距8m，则小鸟至少要飞______米． 15. 如图所示，一次函数与的交点坐标为，则不等式的解集为______． 16. 在四边形中，对角线和交于点O，且，，，则的最小值是______． 三、解答题：本题共9小题，共98分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. (1)计算： (2)阅读下面这位同学的计算过程，并完成任务． 先化简，再求值：，其中， 解：原式…第一步 …第二步 …第三步 …第四步 当，时，原式…第五步 任务： ①第一步运算用到的乘法公式是______； ②以上步骤从第______步开始出现了错误，错误的原因是______； ③请写出正确的解答过程． 18. 如图，点A，F，C，D在一条直线上，，， （1）求证：； （2）若，，求AD的长． 19. 中华传统文化以儒家、佛家、道家三家之学为支柱，包括思想、文字、语言，之后是六艺，也就是：礼、乐、射、御、书、数，再后是生活富足之后衍生出来的书法、音乐、武术、曲艺、棋类、节日、民俗等．传统文化与我们的生活息息相关．某校为了解七、八年级学生对中国传统文化知识的掌握情况，从两个年级中各随机抽取10名学生进行测试，并对测试成绩（百分制）进行收集、整理和分析． 数据收集： 七年级：59，90，92，85，80，67，88，85，97，79； 八年级：57，95，80，96，83，69，92，78，66，83． 数据整理： 年级 成绩（分） 七年级 1 1 2 4 2 八年级 1 2 2 2 3 数据分析： 平均数 中位数 众数 七年级 85 a 八年级 b 83 请根据如表信息，回答下列问题： （1）补全表中数据：______，______； （2）萌萌同学参加了测试，他说：“这次测试我得了82分，在我们年级属于中游略偏上！”，你推测萌萌同学可能是______（填“七”或“八”）年级的学生． （3）假如该校七年级1000名学生均参加了本次测试，请你估计该校七年级学生本次测试成绩在80分以上（不包括80分）的人数． （4）为了丰富同学们的中国传统文化，请你提出一条合理化建议． 20. 如图，每个小正方形的边长都为1 （1）求四边形的面积与周长； （2）是直角吗？ 21. 二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题： （1）已知，则的值为______； （2）若x，y为实数，且，求的值． 22. 端午节主要风俗有挂钟道像、赛龙舟、饮用雄黄酒、吃五毒饼、咸蛋、粽子等，在端午节来临之际，某单位准备购买粽子和咸蛋共30盒分发给员工回家过节．其中粽子比咸蛋每盒贵20元． （1）若用700元购买咸蛋与用900元购买粽子的数量相同，求粽子和咸蛋每盒的价格； （2）在(1)条件下，若购买咸蛋数量不超过粽子数量的2倍，如何购买才能使总费用最少？ 23. 如图，，平分，且交于点，交于点，连接，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）如图，若交于点，且，，求菱形的边长． 24. 如图，直线：经过点，与y轴交于点B，已知，点P是线段上一动点(可与点B，D重合)；直线：为常数经过点P，交于点 （1）求直线函数表达式； （2）当时，求点C坐标； （3）在点P的移动过程中，直接写出k的取值范围． 25. 探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组学习正方形以后做了以下探究：在正方形中，E，F为平面内两点． 【初步感知】 （1）如图1，当点E在边上时，，且B，C，F三点共线．请写出与的数量关系______； 【深入探究】 （2）如图2，当点E在正方形外部时，，，E，C，F三点共线．若，，求长； 【拓展运用】 （3）如图3，当点E在正方形外部时，，，，且D，F，E三点共线，猜想并证明，，之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年贵州省黔西南州八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 银行是现代金融业的主体，是国民经济运转的枢纽，下列银行标志图案是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项符合题意； 故选：． 2. 二次根式有意义的条件( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：B 3. 双人漫步机是一种有氧运动器材，通过进行心血管健康的有氧运动，如慢跑、快走等，可以增强人体的心肺功能，降低血压、改善血糖．这种设计应用的几何原理是( ) A. 三角形的稳定性 B. 两点之间线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 垂线段最短 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，正确掌握三角形的这一性质是解题的关键．根据三角形具有稳定性解答即可． 【详解】解：双人漫步机采用如图所示三角形支架方法固定， 这种方法应用的几何原理：三角形的稳定性． 故选：A． 4. 如图，四边形中，对角线相交于点O，下列条件能判定这个四边形是平行四边形的是( ) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】此题重点考查平行四边形的判定，正确理解与运用平行四边形的判定定理是解题的关键．根据平行四边形的判定定理依次进行证明即可． 【详解】解：，， 四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形， 由，不能判定这个四边形是平行四边形， 故A不符合题意； ，， 四边形是平行四边形， 故B符合题意； 由，，不能证明与全等， 不能证明与相等，可与相等， 不能证明与平行， 由，不能判定这个四边形是平行四边形， 故C不符合题意； ，， 四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形， 由，不能判定这个四边形是平行四边形， 故D不符合题意， 故选：B． 5. 下列因式分解正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的定义和因式分解的方法是解决本题的关键．利用因式分解的定义，逐个分析得结论． 【详解】解：A．从左往右是整式乘法不是因式分解，故选项A不符合题意； B．从左往右是整式的因式分解，且分解正确，故选项B符合题意； C．从左往右不是因式分解，故选项C不符合题意； D．，从左往右不是整式的因式分解，故选项D不符合题意． 故选：B． 6. 在中，斜边，则的值为（ ） A. 15 B. 25 C. 50 D. 无法计算 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，先由勾股定理求得，即可求得的值． 【详解】解：∵在中，斜边， ∴， ∴， 故选：C． 7. 下面是2024年丽江市某周发布的最高温度：16℃，，，，，，．关于这组数据，下列说法正确的是（ ） A. 中位数是24 B. 众数是24 C. 平均数是20 D. 方差是9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中位数、众数、平均数、方差，根据中位数、众数、平均数、方差的求法逐项判断即可． 【详解】解：将数据按从小到大排列为：、、、、、、， 故中位数为：，故A选项错误，不符合题意； 众数是，故B选项正确，符合题意； 平均数为，故C错误，不符合题意； 方差是：，故D选项错误，不符合题意； 故选：B． 8. 下列各式正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，立方根，平方根，根据二次根式的性质、立方根、平方根的定义逐项计算即可作出判断．熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：B． 9. 某生物兴趣小组观察一种植物的生长情况，得到这种植物的高度（厘米）与观察时间（天）的函数关系图象如图所示．照此计算，该植物的高度超过厘米至少需要经过( ) A. 天 B. 天 C. 天 D. 天 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，求出植物的高度（厘米）与观察时间（天）的函数解析式，再求出时，对应的x的值，根据函数的增减性即可解答，解题的关键是熟练掌握一次函数的应用． 【详解】解：根据题意设植物的高度（厘米）与观察时间（天）的函数解析式为， 将，代入得： ， 解得， 故解析式为， 将代入，解得， ∵，故随的增大而增大， 故该植物的高度超过厘米至少需要经过天． 故选：． 10. 满足下列条件的中，不是直角三角形的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的判定，三角形的内角和，勾股定理逆定理，根据直角三角形的判定逐项判断即可，掌握勾股定理逆定理及直角三角形的定义是解题的关键． 【详解】解：、，， ∴， 不是直角三角形，符合题意； 、，， ∴， ∴是直角三角形，不符合题意； 、，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，不符合题意； 、∵， ∴设，，， ∵， ∴； ∴是直角三角形，不符合题意； 故选：． 11. 如图，在中，，点D，E分别是，的中点，连接，在上有一点F，且，连接，若，则的长为( ) A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线的性质求出DF，进而求出DE，再根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：， ， 点D是的中点，， ， ， ， 点D，E分别是，的中点， 是的中位线， ， 故选：C． 12. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边落在x轴的正半轴上，且点，，直线以每秒1个单位长度的速度向右平移，经过( )秒该直线可将平行四边形的面积平分． A 3 B. C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质、用待定系数法求一次函数解析式、一次函数的图象与几何变换，首先连接、，交于点D，当经过D点时，该直线可将的面积平分，然后计算出过D且平行直线的直线解析式，从而可得直线要向下平移6个单位，进而可得答案． 【详解】解：连接、，交于点D，当经过D点时，该直线可将的面积平分， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， 设的解析式为，且直线平行于， ∴， ∵直线经过点， ∴的解析式为， 把代入得，， 解得， 在直线上，当时，， 解得， ∵， ∴直线要向右平移3个单位， ∴经过3秒该直线可将平行四边形的面积平分， 故选：A． 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分． 13. 为迎接2024年体育中考，甲、乙两位同学参加男生1000米跑训练，体育老师根据训练成绩算出他们的成绩的方差分别为，，则________（填“甲”或“乙”）的成绩较稳定． 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查了方差的意义．熟记方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定是解答此题的关键． 根据方差的定义，方差越小数据越稳定． 【详解】解：，方差小的为甲， 成绩比较稳定的是甲． 故答案为：甲． 14. 如图，庭院中有两棵树，小鸟要从一棵高10m的树顶飞到一棵高4m的树顶上，两棵树相距8m，则小鸟至少要飞______米． 【答案】10 【解析】 【分析】根据勾股定理求出AB的长即可． 本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，过点作 ∵ ∴四边形矩形 ∴ ∴， 在中，由勾股定理得， ， 则小鸟至少要飞， 故答案为：10． 15. 如图所示，一次函数与的交点坐标为，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，理解数形结合思想是解题的关键．根据一次函数与一元一次不等式的关系求解． 【详解】解：由图象得：不等式的解集为：， 故答案为：． 16. 在四边形中，对角线和交于点O，且，，，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，构造平行四边形是解题关键．以为邻边构造，再利用含的得，，再利用勾股定理得最后利用三角形三边关系计算即可． 【详解】解：以为邻边构造，过C作， ， ， ， ， ， ， 最小值， 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共98分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. (1)计算： (2)阅读下面这位同学的计算过程，并完成任务． 先化简，再求值：，其中， 解：原式…第一步 …第二步 …第三步 …第四步 当，时，原式…第五步 任务： ①第一步运算用到的乘法公式是______； ②以上步骤从第______步开始出现了错误，错误的原因是______； ③请写出正确的解答过程． 【答案】（1）；（2）①完全平方公式 ；② 二  括号前是“-”，去掉括号后，括号内的第二项和第三项都没有变号；③过程见解析 【解析】 【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答； （2）先利用完全平方公式计算括号里，再算括号外，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解：（1） ； （2）①第一步运算用到的乘法公式是完全平方公式， 故答案为：完全平方公式； ②以上步骤从第二步开始出现了错误，错误原因是括号前是“-”，去掉括号后，括号内的第二项和第三项都没有变号， 故答案为：二；括号前是“-”，去掉括号后，括号内的第二项和第三项都没有变号； ③正确的解答过程如下： 当，时，原式． 【点睛】本题考查了整式的混合运算-化简求值、实数的混合运算、算术平方根、完全平方公式、零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 18. 如图，点A，F，C，D在一条直线上，，， （1）求证：； （2）若，，求AD的长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质得出，，再根据证明即可； （2）根据全等三角形的性质推出，即可得出结果． 【小问1详解】 证明：， ，， 在与中， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）知，， ， ， ． 19. 中华传统文化以儒家、佛家、道家三家之学为支柱，包括思想、文字、语言，之后是六艺，也就是：礼、乐、射、御、书、数，再后是生活富足之后衍生出来的书法、音乐、武术、曲艺、棋类、节日、民俗等．传统文化与我们的生活息息相关．某校为了解七、八年级学生对中国传统文化知识的掌握情况，从两个年级中各随机抽取10名学生进行测试，并对测试成绩（百分制）进行收集、整理和分析． 数据收集： 七年级：59，90，92，85，80，67，88，85，97，79； 八年级：57，95，80，96，83，69，92，78，66，83． 数据整理： 年级 成绩（分） 七年级 1 1 2 4 2 八年级 1 2 2 2 3 数据分析： 平均数 中位数 众数 七年级 85 a 八年级 b 83 请根据如表信息，回答下列问题： （1）补全表中数据：______，______； （2）萌萌同学参加了测试，他说：“这次测试我得了82分，在我们年级属于中游略偏上！”，你推测萌萌同学可能是______（填“七”或“八”）年级的学生． （3）假如该校七年级1000名学生均参加了本次测试，请你估计该校七年级学生本次测试成绩在80分以上（不包括80分）的人数． （4）为了丰富同学们的中国传统文化，请你提出一条合理化建议． 【答案】（1）85，； （2）八； （3）估计该校七年级学生本次测试成绩在80（分）以上的人数约为600人； （4）多阅读中国传统文化知识相关书籍（答案不唯一）． 【解析】 【分析】本题考查统计表、中位数、众数，用样本估计总体，熟练掌握中位数、众数的定义，用样本估计总体的方法是解题的关键． （1）根据中位数与众数的含义可得答案； （2）根据中位数的意义可得答案； （3）先求出七年级学生本次测试成绩在80分以上的人数，再用1000乘以七年级学生本次测试成绩在80分以上的人数所占的比例即可； （4）提出合理建议即可． 【小问1详解】 解：将八年级对中国传统文化知识的掌握情况成绩从小到大排列得：57，66，69，78，80，83，83，92，95，96，． 中间的数是80，83，所以中位数， 七年级数据中，数据85出现两次，出现次数最多，所以这组数据的众数是85，即a的值为85， 故答案为：85，； 【小问2详解】 解：∵七年级的中位数为分，八年级的中位数为分， 而“这次测试萌萌得了83分，我们年级属于中游略偏上！”， ∴萌萌同学可能是八年级的学生； 故答案为：八； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校七年级学生本次测试成绩在80分以上的人数约为600人． 【小问4详解】 解：建议是：多阅读中国传统文化知识相关书籍． 20. 如图，每个小正方形的边长都为1 （1）求四边形的面积与周长； （2）是直角吗？ 【答案】（1）， （2）是，理由如下 【解析】 【分析】（1）用四边形所在的矩形减去周围三角形面积得出答案，利用勾股定理可以得出四边形的周长； （2）连接，求得的长，根据、、三边长之间的关系可得出结果． 【小问1详解】 解：四边形的面积为：， 根据勾股定理可得：， ， ， ， 四边形的周长为：； 【小问2详解】 解：是直角，理由如下： 连接如图所示： 由（1）可得， ， 根据勾股定理得， 可以得到， 故是直角． 【点睛】本题考查了勾股定理以及勾股定理得逆定理，正确应用勾股定理是解题的关键． 21. 二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题： （1）已知，则的值为______； （2）若x，y为实数，且，求的值． 【答案】（1） （2）7或3 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，绝对值的非负性，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． （1）根据二次根式有意义的条件，绝对值的非负性求得a，b的值，然后代入中计算即可； （2）根据二次根式有意义的条件求得x，y的值后代入中计算即可． 【小问1详解】 解：， ∴，， 解得：，， 那么， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意可得，， 则， 那么， 则或， 那么或， 即的值是7或3． 22. 端午节主要风俗有挂钟道像、赛龙舟、饮用雄黄酒、吃五毒饼、咸蛋、粽子等，在端午节来临之际，某单位准备购买粽子和咸蛋共30盒分发给员工回家过节．其中粽子比咸蛋每盒贵20元． （1）若用700元购买咸蛋与用900元购买粽子的数量相同，求粽子和咸蛋每盒的价格； （2）在(1)的条件下，若购买咸蛋数量不超过粽子数量的2倍，如何购买才能使总费用最少？ 【答案】（1）粽子每盒的价格为90元，咸蛋每盒的价格为70元； （2）购买咸蛋20盒，粽子10盒时，总费用最少 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，（1）设粽子每盒的价格为x元，则咸蛋每盒的价格为元，根据用700元购买咸蛋与用900元购买粽子的数量相同，列出分式方程，解分式方程即可； （2）设购买咸蛋为m盒，则购买粽子为盒，根据购买咸蛋数量不超过粽子数量的2倍，列出一元一次不等式，解不等式得出，再设总费用为w元，列出一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论． 【小问1详解】 解：设粽子每盒的价格为x元，则咸蛋每盒的价格为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：粽子每盒的价格为90元，咸蛋每盒的价格为70元； 【小问2详解】 解：设购买咸蛋为m盒，则购买粽子为盒， 由题意得：， 解得：， 设总费用为w元， 则， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w最小， 此时，， 答：购买咸蛋20盒，粽子10盒时，总费用最少． 23. 如图，，平分，且交于点，交于点，连接，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）如图，若交于点，且，，求菱形的边长． 【答案】（1）见解析； （2）菱形的边长为 【解析】 【分析】（）由题意可得四边形是平行四边形，由平行线的性质和角平分线的定义可证，即可得结论； （）由菱形的性质可得，，，由直角三角形斜边上的中线性质可得，由勾股定理可求的长，即可求解； 本题考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的判定，直角三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的边长为． 24. 如图，直线：经过点，与y轴交于点B，已知，点P是线段上一动点(可与点B，D重合)；直线：为常数经过点P，交于点 （1）求直线的函数表达式； （2）当时，求点C的坐标； （3）在点P的移动过程中，直接写出k的取值范围． 【答案】（1）直线的函数表达式为； （2）点C的坐标为； （3）的取值范围是或且 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求得； （2）解析式联立成方程组，解方程组即可求得； （3）把，分别代入求得k的值，然后根据图象即可求得． 【小问1详解】 解：设直线的函数表达式为， ∵直线经过， ∴， 解得：， ∴直线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：当时，则直线：， 联立得， 解得：， 则点C的坐标为； 【小问3详解】 解：∵， ∴直线过点， ∵点P是线段上一动点， ∴， ∵两条直线相交， ∴， 对于直线， 令，则， ∴， 把代入得，， 解得：； 把代入得，， 解得； ∴取值范围是或且． 25. 探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组学习正方形以后做了以下探究：在正方形中，E，F为平面内两点． 【初步感知】 （1）如图1，当点E在边上时，，且B，C，F三点共线．请写出与的数量关系______； 【深入探究】 （2）如图2，当点E在正方形外部时，，，E，C，F三点共线．若，，求的长； 【拓展运用】 （3）如图3，当点E在正方形外部时，，，，且D，F，E三点共线，猜想并证明，，之间的数量关系． 【答案】（1）；（2）的长为；（3），证明见解析． 【解析】 【分析】（1）由正方形和的条件，根据证明，即可得到结论； （2）类似（1）证明，可得，，利用勾股定理求出长度，用，即可求解； （3）连接对角线，交于点O，连接，证明，再证明得到，和，间对应关系，利用和中勾股定理转换边长即可解出，，之间的关系． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 由可知：， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ， ，， ， ，， ∴， 在与中， ， ， ，， 在中，根据勾股定理：， ， ， 即：的长为； （3）， 证明：如图，连接对角线，交于点O，连接， 在正方形中，， ， ∴，则， ∴，， ∵，即：， ∴，即：， 由（2）的方法同理可证明：， ，， 在中，由勾股定理：， ， 在中，由勾股定理：， 在中，由勾股定理：， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，解题的关键是对勾股定理的熟练变形运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$