全国新高考数学核心考点解读讲义：利用导数求切线方程——2026届高三数学一轮复习

全国新高考数学核心考点解读----利用导数求切线方程 一．考点解读 （一）．历年真题考查情况：从2020年至2025年的新高考全国Ⅰ卷和Ⅱ卷来看，利用导数求过某点或在某点的切线问题，全国Ⅰ卷6年中考了5年，全国Ⅱ卷6年中考了4年，其中2022年各考了2个题目，难度以中档或中档偏易为主.说明切线问题在高中数学中的无可撼动的核心地位，是命题专家的心头肉掌中宝，未来必定在每年的高考试题中继续大方光彩.具体试题分布情况如下表所示： 新高考全国Ⅰ卷 新高考全国Ⅱ卷 2020年 第21题第1小题 第22题第1小题 2021年 第7题 第16题 2022年 第10题和第15题 第9题和第14题 2023年 2024年 第13题 第16题第1小题 2025年 第12题 （二）．历年真题常考题型 题型一：求曲线的切线方程 题型二：已知切线方程求参数值或范围 题型三：两曲线的公切线问题 题型四：切线条数问题 题型五：切线的综合应用 （三）备考建议 预计曲线的切线问题在未来的全国卷中仍为核心考点，基本出现在选择题和填空题或解答题第一小题中，难度以中等难度为主，大家务必要深刻理解导数的几何意义的本质，领会命题专家的命题意图，就可以在试场以最快的速度拿下该考点. 二．真题再现 题型一：求曲线的切线方程 例1．（多选）（2022年新高考全国II卷数学第9题）已知函数的图像关于点中心对称，则（    ） A．在区间单调递减 B．在区间有两个极值点 C．直线是曲线的对称轴 D．直线是曲线的切线 例2．（多选）（2022年新高考全国I卷数学第10题）已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 例3．（2024年新高考全国Ⅱ卷数学第16题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； 例4．（2022年全国高考Ⅱ卷）曲线过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________． 题型二：已知切线方程求参数值 例5．（2025（2020年新高考全国Ⅰ卷数学第12题））若直线是曲线的切线，则 . 例6．（2022年新高考全国Ⅰ卷第14题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________． 题型三：两曲线的公切线问题 例7．（2024年新高考全国Ⅰ卷数学第13题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 题型四：切线条数问题 例8．（2021年全国新高考I卷数学第7题）若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 题型五：切线的综合应用 例9．（2021年新高考全国II卷数学第16题）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是 ． 例10．（2020年新高考全国Ⅰ卷数学第21题）已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； 3． 专项训练 1．（2021·全国甲卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为 ． 2．（2023·全国甲卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·全国甲卷·高考真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 4．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程． 5．（2022·全国甲卷·高考真题）已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线． (1)若，求a； 5．（2021·北京·高考真题）已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； 6．（2021·全国乙卷·高考真题）已知函数． （2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标． 7．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域是，导函数，设是曲线在点处的切线． (1)求的最大值； (2)当时，证明：除切点A外，曲线在直线的上方； 学科网（北京）股份有限公司 $$ 全国新高考数学核心考点解读----利用导数求切线方程 一．考点解读 （一）．历年真题考查情况：从2020年至2025年的新高考全国Ⅰ卷和Ⅱ卷来看，利用导数求过某点或在某点的切线问题，全国Ⅰ卷6年中考了5年，全国Ⅱ卷6年中考了4年，其中2022年各考了2个题目，难度以中档或中档偏易为主.说明切线问题在高中数学中的无可撼动的核心地位，是命题专家的心头肉掌中宝，未来必定在每年的高考试题中继续大方光彩.具体试题分布情况如下表所示： 新高考全国Ⅰ卷 新高考全国Ⅱ卷 2020年 第21题第1小题 第22题第1小题 2021年 第7题 第16题 2022年 第10题和第15题 第9题和第14题 2023年 2024年 第13题 第16题第1小题 2025年 第12题 （二）．历年真题常考题型 题型一：求曲线的切线方程 题型二：已知切线方程求参数值或范围 题型三：两曲线的公切线问题 题型四：切线条数问题 题型五：切线的综合应用 （3） 备考建议 预计曲线的切线问题在未来的全国卷中仍为核心考点，基本出现在选择题和填空题或解答题第一小题中，难度以中等难度为主，大家务必要深刻理解导数的几何意义的本质，领会命题专家的命题意图，就可以在试场以最快的速度拿下该考点. 二．真题再现 题型一：求曲线的切线方程 例1．（多选）（2022年新高考全国II卷数学第9题）已知函数的图像关于点中心对称，则（    ） A．在区间单调递减 B．在区间有两个极值点 C．直线是曲线的对称轴 D．直线是曲线的切线 【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出． 【详解】由题意得：，所以，， 即， 又，所以时，，故． 对A，当时，，由正弦函数图象知在上是单调递减； 对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点； 对C，当时，，，直线不是对称轴； 对D，由得：， 解得或, 从而得：或, 所以函数在点处的切线斜率为， 切线方程为：即． 故选：AD． 例2．（多选）（2022年新高考全国I卷数学第10题）已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 【分析】利用极值点的定义可判断A，结合的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D. 【详解】由题，，令得或， 令得， 所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确； 因，，， 所以，函数在上有一个零点， 当时，，即函数在上无零点， 综上所述，函数有一个零点，故B错误； 令，该函数的定义域为，， 则是奇函数，是的对称中心， 将的图象向上移动一个单位得到的图象， 所以点是曲线的对称中心，故C正确； 令，可得，又， 当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误. 故选：AC. 例3．（2024年新高考全国Ⅱ卷数学第16题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； 【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程； 【详解】（1）当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. 例4．（2022年全国高考Ⅱ卷）曲线过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________． 【答案】 【详解】[方法一]：化为分段函数，分段求 分和两种情况，当时设切点为，求出函数导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得； 解： 因为， 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；故答案为：； [方法二]：根据函数的对称性，数形结合 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；因为是偶函数，图象为： 所以当时的切线，只需找到关于y轴的对称直线即可. [方法三]：因为， 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 故答案为：；. 题型二：已知切线方程求参数值 例5．（2025（2020年新高考全国Ⅰ卷数学第12题））若直线是曲线的切线，则 . 【分析】法一：利用导数的几何性质与导数的四则运算求得切点，进而代入曲线方程即可得解；法二：利用导数的几何性质与导数的四则运算得到关于切点与的方程组，解之即可得解. 【详解】法一：对于，其导数为， 因为直线是曲线的切线，直线的斜率为2， 令，即，解得， 将代入切线方程，可得， 所以切点坐标为， 因为切点在曲线上， 所以，即，解得. 故答案为：. 法二：对于，其导数为， 假设与的切点为， 则，解得. 故答案为：. 例6．（2022年新高考全国Ⅰ卷第14题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________． 【答案】 【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围. 【详解】∵，∴， 设切点为,则,切线斜率, 切线方程为：, ∵切线过原点，∴, 整理得：, ∵切线有两条，∴,解得或, ∴的取值范围是, 故答案为： 题型三：两曲线的公切线问题 例7．（2024年新高考全国Ⅰ卷数学第13题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点为，求出，利用公切线斜率相等求出，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解. 【详解】由得，， 故曲线在处的切线方程为； 由得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 切线方程为， 根据两切线重合,所以，解得. 故答案为： 题型四：切线条数问题 例8．（2021年全国新高考I卷数学第7题）若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果； 解法二：画出曲线的图象，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线. 【详解】在曲线上任取一点，对函数求导得， 所以，曲线在点处的切线方程为，即， 由题意可知，点在直线上，可得， 令，则. 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 所以，， 由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则， 当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：    由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点. 故选：D. 解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.    故选：D. 题型五：切线的综合应用 例9．（2021年新高考全国II卷数学第16题）已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是 ． 【分析】结合导数的几何意义可得，结合直线方程及两点间距离公式可得，，化简即可得解. 【详解】由题意，，则， 所以点和点，, 所以， 所以， 所以， 同理, 所以. 故答案为： 例10．（2020年新高考全国Ⅰ卷数学第21题）已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； 【分析】（1）利用导数的几何意义求出在点切线方程，即可得到坐标轴交点坐标，最后根据三角形面积公式得结果； 【详解】（1），，. ，∴切点坐标为(1,1+e), ∴函数在点(1,f(1)处的切线方程为,即, 切线与坐标轴交点坐标分别为, ∴所求三角形面积为． 3． 专项训练 1．（2021·全国甲卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为 ． 【答案】 【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可． 【详解】由题，当时，，故点在曲线上． 求导得：，所以． 故切线方程为． 故答案为：． 2．（2023·全国甲卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方程即可求解. 【详解】设曲线在点处的切线方程为， 因为， 所以， 所以 所以 所以曲线在点处的切线方程为. 故选：C 3．（2024·全国甲卷·高考真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点处的切线方程，即可得其与坐标轴的交点坐标，即可得其面积. 【详解】， 则， 即该切线方程为，即， 令，则，令，则， 故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积. 故选：A. 4．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程． 【分析】（1）由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可； 【详解】（1）当时，， 则， 据此可得， 所以函数在处的切线方程为，即. 5．（2022·全国甲卷·高考真题）已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线． (1)若，求a； 【分析】（1）先由上的切点求出切线方程，设出上的切点坐标，由斜率求出切点坐标，再由函数值求出即可； 【详解】（1）由题意知，，，，则在点处的切线方程为， 即，设该切线与切于点，，则，解得，则，解得； 5．（2021·北京·高考真题）已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； 【分析】（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程； 【详解】（1）当时，，则，，， 此时，曲线在点处的切线方程为，即； 6．（2021·全国乙卷·高考真题）已知函数． （2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标． 【分析】(2)首先求得导数过坐标原点的切线方程，然后将原问题转化为方程求解的问题，据此即可求得公共点坐标. 【详解】 (2)由题意可得：，， 则切线方程为：， 切线过坐标原点，则：, 整理可得：，即：， 解得：，则， 切线方程为：, 与联立得， 化简得,由于切点的横坐标1必然是该方程的一个根，是的一个因式，∴该方程可以分解因式为 解得, ， 综上，曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为和. 7．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域是，导函数，设是曲线在点处的切线． (1)求的最大值； (2)当时，证明：除切点A外，曲线在直线的上方； 【分析】（1）利用导数判断其单调性，即可求出最大值； （2）求出直线的方程，再构造函数，只需证明其最小值（或者下确界）大于零即可； 【详解】（1）设，， 由可得，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以的最大值为. （2）因为，所以直线的方程为，即， 设，， 由（1）可知，在上单调递增，而， 所以，当时，，单调递减， 当时，，单调递增，且， 而当时，，所以总有，单调递增 故，从而命题得证； 学科网（北京）股份有限公司 $$