离心率讲义-2026届高三数学一轮复习（新高考）

全国新高考数学核心考点解读----离心率 一．考点解读 （一）．历年真题考查情况：从2020年至2025年的新高考全国Ⅰ卷和Ⅱ卷来看，离心率，全国Ⅰ卷6年中考了5年，全国Ⅱ卷6年中考了4年，基本以选择、填空题为主，大多数年份以中档或偏易题为主，只有少数年份出现在选填的压轴位置，如果出现在解答题中，那么把离心率作为求椭圆或双曲线标准方程的已知条件.说明离心率在高中数学中的绝对主力的核心地位，未来必定在每年的高考试题中继续年年考查.具体试题分布情况如下表所示： 新高考全国Ⅰ卷 新高考全国Ⅱ卷 2020年 第22题 第21题 2021年 第21题 2022年 第16题 2023年 第5题和第13题 第13题和第21题 2024年 第12题和第16题 2025年 第3题和第18题 第11题和第16题 （二）．历年真题常考题型 题型一：由离心率定义求离心率 题型二：已知离心率求椭圆或双曲线方程 题型三：由图形的几何性质求离心率 题型四：离心率的综合应用 （3） 备考建议 预计离心率及相关关问题在未来的全国卷中仍为核心考点，基本出现在选择题和填空题或解答题，难度以中等难度为主，要么求椭圆离心率，要么求双曲线离心率.求离心率有好多方法，尤其要重视具体问题中图形的平面几何性质的应用.从6年的试题中我们可以发现，圆、椭圆、双曲线、抛物线这四个考点一定都考的，如果解答题考直线与椭圆，那么选择填空题必考双曲线，反之亦然.所以说，高考命题没有规律也是有规律的. 二．真题再现 题型一：由离心率定义求离心率 例1．（2025年新高考全国Ⅰ卷第3题） 若双曲线C的虚轴长为实轴长的倍，则C的离心率为（ ） A． B． 2 C． D． 【详解】设双曲线的实轴，虚轴，焦距分别为， 由题知，， 于是，则， 即. 故选：D 例2．（2024年新高考全国Ⅰ卷数学第12题）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为 ． 【详解】由题可知三点横坐标相等，设在第一象限，将代入 得，即，故，， 又，得，解得，代入得， 故，即，所以. 故答案为： 题型二：已知离心率求椭圆或双曲线方程 例3．（2025年新高考全国Ⅰ卷第18题） 设椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，． （1）求椭圆C的标准方程； 【小问1详解】 由题可知,，所以，解得， 故椭圆C的标准方程为； 例4．（2024年新高考全国Ⅰ卷数学第16题）已知和为椭圆上两点. (1)求C的离心率; 【详解】（1）由题意得，解得， 所以. 例5．（2023年新高考全国Ⅰ卷数学第1题）设椭圆的离心率分别为．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答. 【详解】由，得，因此，而，所以. 故选：A 例6．（2023年新高考全国Ⅱ卷数学第21题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为． (1)求C的方程； 【详解】（1）设双曲线方程为，由焦点坐标可知， 则由可得，， 双曲线方程为. 例7．（2021年全国新高考II卷数学第13 题）若双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程 . 【详解】解：由题可知，离心率，即， 又，即，则， 故此双曲线的渐近线方程为. 故答案为：. 例8．（2021年全国新高考Ⅱ卷数学第21题）已知椭圆C的方程为，右焦点为，且离心率为． （1）求椭圆C的方程； 【详解】（1）由题意，椭圆半焦距且，所以， 又，所以椭圆方程为； 例9．（2021·新高考全国Ⅱ卷第16题）已知椭圆的离心率为，长轴长为4． （1）求C的方程； 【详解】 因为长轴长为4，故，而离心率为，故， 故，故椭圆方程为：. 例10．（2020年新高考全国卷Ⅰ数学第22题）已知椭圆C：的离心率为，且过点． （1）求的方程： 【详解】（1）由题意可得：，解得：， 故椭圆方程为：. 例11．（2020年新高考全国卷Ⅱ数学第21题）已知椭圆C：过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为 ， （1）求C的方程； 【详解】(1)由题意可知直线AM的方程为：，即. 当y=0时，解得，所以a=4， 椭圆过点M(2，3)，可得， 解得b2=12. 所以C的方程：. 题型三：由图形的几何性质求离心率 例12．【多选】（2021·新高考全国Ⅱ卷第11题） 双曲线的左、右焦点分别是，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M、N两点，且，则（ ） A. B. C. C离心率为 D. 当时，四边形的面积为 【详解】不妨设渐近线为，在第一象限，在第三象限， 对于A，由双曲线的对称性可得为平行四边形，故， 故A正确； 对于B，方法一：因为在以为直径的圆上，故且， 设，则，故，故， 由A得，故即，故B错误； 方法二：因为，因为双曲线中，， 则，又因为以为直径的圆与的一条渐近线交于、，则， 则若过点往轴作垂线，垂足为，则，则点与重合，则轴，则， 方法三：在利用余弦定理知，， 即，则， 则为直角三角形，且，则，故B错误； 对于C，方法一：因为，故， 由B可知， 故即， 故离心率，故C正确； 方法二：因为，则，则，故C正确； 对于D，当时，由C可知，故， 故，故四边形为， 故D正确， 故选：ACD. 题型四：离心率的综合应用 例13．（2023年新高考全国Ⅰ卷数学第16题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ． 【详解】方法一： 依题意，设，则， 在中，，则，故或（舍去）， 所以，，则， 故， 所以在中，，整理得， 故. 方法二: 依题意，得，令， 因为，所以，则， 又，所以，则， 又点在上，则，整理得，则， 所以，即， 整理得，则，解得或， 又，所以或（舍去），故. 故答案为：. 例14．（2022年新高考全国Ⅰ卷数学第16题）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是 ． 【详解】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：， 判别式， ∴， ∴ ， 得， ∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为. 故答案为：13. 3． 专项训练 1．（2025·北京·高考真题）双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【详解】由得，，所以， 即，所以， 故选：B． 2．（2025·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（   ） A．2 B．5 C． D． 【详解】根据题意可设，双曲线的半焦距为，，则， 过作轴的垂线l，过作l的垂线，垂足为A，显然直线为抛物线的准线， 则， 由双曲线的定义及已知条件可知，则， 由勾股定理可知， 易知，即， 整理得，∴，即离心率为2. 故选： 3．（2024·全国·高考甲卷）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（    ） A．4 B．3 C．2 D． 【详解】由题意，设、、， 则，，， 则，则.故选：C. 4．（2022·全国甲卷·高考真题）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【详解】[方法一]：设而不求 设，则 则由得：， 由，得， 所以，即， 所以椭圆的离心率，故选A. [方法二]：第三定义 设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知： 故， 由椭圆第三定义得：， 故 所以椭圆的离心率，故选A. 5．【多选】（2022·全国乙卷·高考真题）双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【详解】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用 情况一   M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为B， 所以，因为，所以在双曲线的左支， ，， ，设，由即，则， 选A 情况二 若M、N在双曲线的两支，因为，所以在双曲线的右支， 所以，， ，设， 由，即，则， 所以，即， 所以双曲线的离心率 选C [方法二]：答案回代法 特值双曲线 ， 过且与圆相切的一条直线为， 两交点都在左支,， ， 则， 特值双曲线， 过且与圆相切的一条直线为， 两交点在左右两支，在右支，， ， 则， [方法三]： 依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为， 若分别在左右支， 因为，且，所以在双曲线的右支， 又，，， 设，， 在中，有， 故即， 所以， 而，，，故， 代入整理得到，即， 所以双曲线的离心率 若均在左支上， 同理有，其中为钝角，故， 故即， 代入，，，整理得到：， 故，故， 6．(2021年高考全国乙卷)设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是(　　) A． B． C． D． 【解析】：设，由，因为，，所以 ， 因为，当，即时，，即，符合题意，由可得，即； 当，即时，，即，化简得，，显然该不等式不成立．故选：C． 7．(2021年全国甲卷)已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为 (　　) A． B． C． D． 【解析】：因为，由双曲线的定义可得， 所以，；因为,由余弦定理可得，整理可得，所以， 7．(2022年高考全国乙卷数学(理))双曲线C的两个焦点为，以C的轴为直径的圆记为D．过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为 (　　) A． B． C． D． 【解析】：依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为， 若分别在左右支，因为，且，所以在双曲线的右支，又，，， 设，，在中，有， 故即， 所以，而，，，故，代入整理得到，即， 所以双曲线的离心率 8．(2021高考天津)已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A．B两点，交双曲线的渐近线于C．D两点，若．则双曲线的离心率为 (　　) A． B． C．2 D．3 【解析】：设双曲线与抛物线的公共焦点为，则抛物线的准线为， 令，则，解得，所以, 又因为双曲线的渐近线方程为，所以， 所以，即，所以，所以双曲线的离心率．故选：A． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 全国新高考数学核心考点解读----离心率 一．考点解读 （一）．历年真题考查情况：从2020年至2025年的新高考全国Ⅰ卷和Ⅱ卷来看，离心率，全国Ⅰ卷6年中考了5年，全国Ⅱ卷6年中考了4年，基本以选择、填空题为主，大多数年份以中档或偏易题为主，只有少数年份出现在选填的压轴位置，如果出现在解答题中，那么把离心率作为求椭圆或双曲线标准方程的已知条件.说明离心率在高中数学中的绝对主力的核心地位，未来必定在每年的高考试题中继续年年考查.具体试题分布情况如下表所示： 新高考全国Ⅰ卷 新高考全国Ⅱ卷 2020年 第22题 第21题 2021年 第21题 2022年 第16题 2023年 第5题和第13题 第13题和第21题 2024年 第12题和第16题 2025年 第3题和第18题 第11题和第16题 （二）．历年真题常考题型 题型一：由离心率定义求离心率 题型二：已知离心率求椭圆或双曲线方程 题型三：由图形的几何性质求离心率 题型四：离心率的综合应用 （3） 备考建议 预计离心率及相关关问题在未来的全国卷中仍为核心考点，基本出现在选择题和填空题或解答题，难度以中等难度为主，要么求椭圆离心率，要么求双曲线离心率.求离心率有好多方法，尤其要重视具体问题中图形的平面几何性质的应用.从6年的试题中我们可以发现，圆、椭圆、双曲线、抛物线这四个考点一定都考的，如果解答题考直线与椭圆，那么选择填空题必考双曲线，反之亦然.高考命题没有规律也是有规律的. 二．真题再现 题型一：由离心率定义求离心率 例1．（2025年新高考全国Ⅰ卷第3题） 若双曲线C的虚轴长为实轴长的倍，则C的离心率为（ ） A． B． 2 C． D． 例2．（2024年新高考全国Ⅰ卷数学第12题）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为 ． 题型二：已知离心率求椭圆或双曲线方程 例3．（2025年新高考全国Ⅰ卷第18题） 设椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，． （1）求椭圆C的标准方程； 例4．（2024年新高考全国Ⅰ卷数学第16题）已知和为椭圆上两点. (1)求C的离心率; 例5．（2023年新高考全国Ⅰ卷数学第1题）设椭圆的离心率分别为．若，则（    ） A． B． C． D． 例6．（2023年新高考全国Ⅱ卷数学第21题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为． (1)求C的方程； 例7．（2021年全国新高考II卷数学第13 题）若双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程 . 例8．（2021年全国新高考Ⅱ卷数学第21题）已知椭圆C的方程为，右焦点为，且离心率为． （1）求椭圆C的方程； 例9．（2021·新高考全国Ⅱ卷第16题）已知椭圆的离心率为，长轴长为4． （1）求C的方程； 例10．（2020年新高考全国卷Ⅰ数学第22题）已知椭圆C：的离心率为，且过点． （1）求的方程： 例11．（2020年新高考全国卷Ⅱ数学第21题）已知椭圆C：过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为 ， （1）求C的方程； 题型三：由图形的几何性质求离心率 例12．【多选】（2021·新高考全国Ⅱ卷第11题） 双曲线的左、右焦点分别是，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M、N两点，且，则（ ） A. B. C. C离心率为 D. 当时，四边形的面积为 题型四：离心率的综合应用 例13．（2023年新高考全国Ⅰ卷数学第16题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ． 例14． （2022年新高考全国Ⅰ卷数学第16题）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是 ． 3． 专项训练 1．（2025·北京·高考真题）双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·天津·高考真题）双曲线的左、右焦点分别为，以右焦点为焦点的抛物线与双曲线交于第一象限的点P，若，则双曲线的离心率（   ） A．2 B．5 C． D． 3．（2024·全国·高考甲卷）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（    ） A．4 B．3 C．2 D． 4．（2022·全国甲卷·高考真题）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．【多选】（2022·全国乙卷·高考真题）双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．(2021年高考全国乙卷)设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是(　　) A． B． C． D． 7．(2021年全国甲卷)已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为(　　) A． B． C． D． 7．(2022年高考全国乙卷数学(理))双曲线C的两个焦点为，以C的轴为直径的圆记为D．过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为 (　　) A． B． C． D． 8．(2021高考天津)已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A．B两点，交双曲线的渐近线于C．D两点，若．则双曲线的离心率为(　　) A． B． C．2 D．3 学科网（北京）股份有限公司 $$