精品解析：2025年河北省保定市高碑店市中考数学三模试卷

2025年河北省保定市高碑店市中考数学三模试卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列代数式中，表示“x与1的和的相反数”的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在直线中，可能与直线平行的是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 3. 不等式的解集如图所示，则a的值为（ ） A. B. 3 C. D. 2 4. 若，则“□”中的运算符号是（ ） A. B. C. D. 5. 某部门四名员工月工资都为5000元，后来又来了一名新员工，月工资为4800元，这五名员工工资与原来四名员工工资比较，方差（ ） A. 变大了 B. 变小了 C. 没有变化 D. 无法确定 6. 剪纸是我国传统民间艺术之一．嘉嘉将一张圆形纸片按图3的流程进行操作，即先沿虚线对折两次，再沿虚线剪开，则展开后的剪纸形状是（ ） A. B. C. D. 7. 甲、乙两人进行一分钟跳绳练习，结束后，甲说：“我的跳绳个数加你的跳绳个数的刚好等于220个”；乙说：“我的跳绳个数加你的跳绳个数的刚好也等于220个”．设甲的跳绳个数为x个，乙的跳绳个数为y个，下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图1是多媒体上展示的一道数学题，淇淇的部分作图过程如图2所示，接下来淇淇以点C为圆心，长为半径作弧交射线于点D，连接，则四边形即为所求．对于淇淇得到的四边形，下列说法正确的是（ ） A. 四边形一定是平行四边形 B. 当时，四边形一定是矩形 C. 四边形一定不是平行四边形 D. 当时，四边形是平行四边形 9. 如图，点A，C在不完整的数轴上，对应的数分别为a，c，原点与点A，C均不重合．若，则方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 两根之和为 10. 下列图形分别为正方形、圆、扇形、等边三角形（相关数据如图所示），长度为1的线段可以在图形的内部及边界通过移转（即平移或旋转），自由地从竖放移转到横放，且图形面积最小的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，平面直角坐标系内有正六边形，，，若的图象使得正六边形的六个顶点分布在它的两侧，每侧各三个点，则的整数值的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 12. 如图，矩形中，，点E在边上从点C向点B运动（含端点），作四边形关于直线对称的四边形，点D，C的对应点分别为点，，连接交于点O． 甲：点E不可能落在上； 乙：点，运动路径的长度比始终为． 下列说法正确是（ ） A. 甲对，乙错 B. 甲错，乙对 C. 甲、乙都错 D. 甲、乙都对 二、填空题（本大题共4个小题，13～15小题每空3分，16小题第一个空2分，第二个空1分，共12分） 13. 计算：＝_____． 14. 若，则______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线为函数的图象，抛物线为函数的图象，与轴交于点，与轴交于点，当时，为______． 16. 如图，某正多边形花坛的边沿被树冠挡住了大部分，为其中一边，点为两条邻边延长线的交点，测得，． （1）该正多边形的边数为______； （2）该正多边形的面积为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，利用计算机小程序做数学游戏： 第一步，点击“数字小助手”随机生成一个整数； 第二步，点击“运算百宝箱”依次弹出两张不同的运算卡片； 第三步，对第一步中生成的整数，按照第二步中弹出的卡片内容依次进行计算． 例如：第一步，点击“数字小助手”生成整数3； 第二步，点击“运算百宝箱”依次弹出卡片和； 第三步，计算． （1）若第一步中生成的整数为5，第二步中弹出的卡片依次为和，请完成第三步的计算； （2）若第一步中生成的整数为，第二步中弹出的卡片依次为和，第三步的计算结果是一个正数，求的最小整数值． 18. 如图，甲、乙两个图形都由长方形或正方形拼成，边长数据如图所示． （1）若甲、乙两图外轮廓周长相等，求x的值； （2）求甲图的面积（用含x的代数式表示）； （3）若甲图的面积比乙图的面积大1，求乙图的面积． 19. 学生会进行学生餐厅满意度调查活动，随机抽取40名同学做满意度评分（共0，1，2，3，4，5六个分值，分值越高满意度越高），他们将收集到数据整理成如图所示的统计图． （1）直接写出这40名同学满意度分数的众数、中位数． （2）学校规定：满意度分数的平均数低于3.5分，则需对服务质量进行整改．请通过计算，判断学校餐厅是否需要整改． （3）为提升餐厅的服务质量，学校准备从给0分和1分的四名同学中随机选两名同学作为代表，用列表或画树状图的方法，求两人都是给1分同学的概率． 20. 某排水口如图1所示，嘉嘉作出示意图如图2，排水管横截面为，水面为，测得为，她查阅资料得知该排水管的内径为（的直径为）．（参考数据：，） （1）水面的最大深度为______． （2）几天后水位上涨，排水管横截面如图3，水面宽度为． ①求水位上涨的高度． ②按规定，排水口水流横截面积（阴影部分）大于排水管横截面积的时需要清淤．请通过计算，判断现在是否需要清淤． 21. 嘉嘉在几何画板软件上做数学实验：如图，在平面直角坐标系中，取，构造直线． （1）求直线的解析式． （2）嘉嘉将直线在轴下方的部分沿轴翻折，得到射线，取，线段以每秒个单位长度的速度沿射线方向匀速运动，运动时间为秒． ①点运动到点的初始位置时，用时______秒． ②求点运动到线段上时的坐标； ③直接写出仅有一个点在内部（含角的两边）时的取值范围． 22. 淇淇家想在某小区购买一套在建住宅，但拟购单元楼正南方有一栋已建好的高楼可能影响采光，淇淇想用所学知识帮家里选合适的楼层．她收集数据并画出示意图如图1，为南面单元楼的北面墙，为未建好的拟购单元楼的南面墙，楼北面为开阔地带，过点的太阳光线落在楼的点处，楼为33层，楼规划18层，每层均为，楼间距为，该小区所在纬度为．（楼层和楼板的厚度忽略不计；参考数据：，） [知识链接：冬至日正午太阳高度角（当地纬度），即正午太阳光线与地面的夹角] （1）淇淇家如果想在冬至日正午有太阳直射光，则淇淇家可以买第几层楼？ （2）综合考虑后淇淇家买在了10层，某天正午刚好有太阳光线照在她家落地窗的下沿处，如图2，请推算此时的太阳高度角和本单元楼照在地面上的影子的长． 23. “投壶”是古人宴会时的一种娱乐游戏，参与者需站在一定距离外，将箭矢投入壶中，以投入的数量和方式计算得分．嘉嘉体验了投壶游戏后作出示意图如图1，以投壶者所站位置为原点，地面为轴，为个单位长度建立平面直角坐标系，投掷过程中箭矢前端点的运动路径可看作抛物线的一部分，点从点处出手，矩形为壶，，，． （1）如图1，，若点为抛物线的顶点，，且抛物线经过点． ①求抛物线的解析式； ②若点最终落在上，求此时的长； ③竖直提高点出手位置（点），使点落在上（不含边界），求的取值范围． （2）如图2，调整出手的力度和角度，使抛物线在点处到达最高点．若点经过点正上方处，直接写出点在点正上方的距离（用含的式子表示）． 24. 如图1，中，，D为边上一点（不与端点重合），沿折叠使点B落在点E处，交于点F，连接． （1）如图1，当时， ①求证：； ②求的长度． （2）如图2，当时，求的长度． （3）如图3，当D为中点时，直接写出的长度． （4）在（1）的条件下，将的点C在边上滑动到点M，点F随之在边上滑动到点N，点A的对应点为点P，如图4，直接写出点B与点P的最大距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年河北省保定市高碑店市中考数学三模试卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列代数式中，表示“x与1的和的相反数”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式，相反数的定义，先表示出x与1的和，再根据相反数的定义可得答案． 【详解】解：∵x与1的和是， ∴x与1的和的相反数为， 故选B． 2. 如图，在直线中，可能与直线平行的是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行的概念．根据图形进行判断即可． 【详解】解：直线都与直线相交，直线可能与直线平行， 故选：D． 3. 不等式的解集如图所示，则a的值为（ ） A. B. 3 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解不等式、解集的表示．根据数轴表示的不等式解集，与不等式的解集对比即可得到答案． 【详解】解：由题意，得解集为． ∵， 则， ， ， 故选B． 4. 若，则“□”中的运算符号是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的运算法则．根据单项式乘法法则逆推即可判断出正确选项． 【详解】解：， ∴与的积为， 故选C． 5. 某部门四名员工的月工资都为5000元，后来又来了一名新员工，月工资为4800元，这五名员工工资与原来四名员工工资比较，方差（ ） A. 变大了 B. 变小了 C. 没有变化 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【命题立意】本题主要考查了方差的本质．核心素养表现为数据观念． 根据方差的定义即可得出答案． 【详解】原工资都为5000元，方差为0，第五名员工工资为4800元，波动变大，方差变大了， 故选A． 6. 剪纸是我国传统民间艺术之一．嘉嘉将一张圆形纸片按图3的流程进行操作，即先沿虚线对折两次，再沿虚线剪开，则展开后的剪纸形状是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称图形的特点是解题的关键．根据轴对称的性质，观察选项中右下角的图是否符合图3最右边的图即可得出答案． 【详解】解：A、中右下角的图符合图3最右边的图，符合题意； B、中右下角的图不符合图3最右边的图，不符合题意； C、中右下角的图不符合图3最右边的图，不符合题意； D、中右下角的图不符合图3最右边的图，不符合题意； 故选：A． 7. 甲、乙两人进行一分钟跳绳练习，结束后，甲说：“我的跳绳个数加你的跳绳个数的刚好等于220个”；乙说：“我的跳绳个数加你的跳绳个数的刚好也等于220个”．设甲的跳绳个数为x个，乙的跳绳个数为y个，下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程（组）的相关应用，根据题意列出方程组，整理和解方程组即可得到答案． 【详解】解：由题意，可列方程组为． 得， 化简得， 解得， 故选：D． 8. 如图1是多媒体上展示的一道数学题，淇淇的部分作图过程如图2所示，接下来淇淇以点C为圆心，长为半径作弧交射线于点D，连接，则四边形即为所求．对于淇淇得到的四边形，下列说法正确的是（ ） A. 四边形一定是平行四边形 B. 当时，四边形一定是矩形 C. 四边形一定不是平行四边形 D. 当时，四边形是平行四边形 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定、矩形的判定、尺规作图、角平分线的性质、等腰三角形的性质．核心素养表现为推理能力和空间观念．先证明，，进而得出，按作图要求得出四边形可能是平行四边形，得出结论． 【详解】解：平分． ， ， ， ， ．以点为圆心，长为半径作弧交射线于点，点会有两个位置，右侧点可以使四边形为平行四边形，左侧的点使四边形为梯形， 四边形可能是平行四边形． 当时，点仅会有一个位置，故四边形一定是矩形， 故选B． 9. 如图，点A，C在不完整的数轴上，对应的数分别为a，c，原点与点A，C均不重合．若，则方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 两根之和为 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离、一元二次方程根的判别式、绝对值的意义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据，得到为负数，为正数，进而得到，结合两根之和为即可得到正确答案． 【详解】解：根据题意可知，， ，， 为负数，为正数， ，异号， ， ， 方程有两个不相等的实数根，两根之和为， 故选：B． 10. 下列图形分别为正方形、圆、扇形、等边三角形（相关数据如图所示），长度为1的线段可以在图形的内部及边界通过移转（即平移或旋转），自由地从竖放移转到横放，且图形面积最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了对正方形、圆、扇形、等边三角形的理解和面积计算，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意可知C选项长度为1的线段不可以在图形内竖放，然后再分别计算A、B、D选项图形的面积比较即可． 【详解】解：A、边长为1，所以长度为1的线段可在图形内自由地从竖放移转到横放，其面积为1； B、其直径为1，所以长度为1线段可在图形内自由地从竖放移转到横放，其面积为； C、长度为1的线段不可以在图形内竖放； D、长度为1的线段可先旋转到边上，再通过平移和旋转即可在图形内从竖放移转到横放，其边长为，所以面积为； 故选：D． 11. 如图，平面直角坐标系内有正六边形，，，若的图象使得正六边形的六个顶点分布在它的两侧，每侧各三个点，则的整数值的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】先求得正六边形的边长，再通过正六边形的内角和求得，连接，作于，通过等腰三角形三线合一和勾股定理，求得，表示出点的坐标，当过点时，；当过点时，，从而推出，然后得到的整数值的个数． 【详解】解：， ， 多边形是正六边形， ，其内角和为， ， 连接，作于，如图所示： ，，， ，， ， ， ， ， ． 当过点时，； 当过点时，； ， 则可取5，6，7，8，共4个整数值， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正六边形的性质、点的坐标与线段长度的关系、反比例函数系数的性质、勾股定理、等腰三角形三线合一，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 12. 如图，矩形中，，点E在边上从点C向点B运动（含端点），作四边形关于直线对称的四边形，点D，C的对应点分别为点，，连接交于点O． 甲：点E不可能落在上； 乙：点，运动路径的长度比始终为． 下列说法正确的是（ ） A. 甲对，乙错 B. 甲错，乙对 C. 甲、乙都错 D. 甲、乙都对 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、的圆周角所对的弦是直径、弧长计算，由，那么点O在以为直径的半圆上，该半圆与没有交点，而点E在上，点O与点E不会重合，即点E不可能落在上；从点E在点C位置开始，点，运动路径的长度为以点A为圆心，分别以，为半径的弧长，且与转过的角度相等，那么点，运动路径的长度比始终保持与一致，据此即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， 由题意可得：， ∴， ∴点O在以为直径的半圆上，该半圆与没有交点，而点E在上， ∴点O与点E不会重合，即点E不可能落在上，故甲对； 由题意可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 从点E在点C位置开始，点运动路径的长度为以点A为圆心，分别以为半径的弧长，且与转过的角度相等， ∵， ∴点运动路径的长度比始终为，故乙对； 故选：D． 二、填空题（本大题共4个小题，13～15小题每空3分，16小题第一个空2分，第二个空1分，共12分） 13. 计算：＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】先化简二次根式，再合并同类二次根式，即可. 【详解】 = = 故答案是：. 【点睛】本题主要考查二次根式的减法运算，把二次根式化为最简二次根式，是解题的关键. 14. 若，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，准确的运算是解题的关键．把原方程两边乘以去分母化为整式方程即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ． 故答案为：6． 15. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线为函数的图象，抛物线为函数的图象，与轴交于点，与轴交于点，当时，为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、解一元二次方程．核心素养表现为抽象能力、运算能力和推理能力． 将抛物线化为顶点式得到的中点为，即，再代入抛物线即可求解． 【详解】解：， ∴的中点为， ∵时，为的中点， ∴， ∵在的图象上， ， 解得或（舍）． 故答案为：4. 16. 如图，某正多边形花坛的边沿被树冠挡住了大部分，为其中一边，点为两条邻边延长线的交点，测得，． （1）该正多边形的边数为______； （2）该正多边形的面积为______． 【答案】 ①. 8 ②. ## 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形的外角和、等角对等边、勾股定理、二次根式运算． （1）根据题意得到正多边形的外角，由即可求解； （2）根据正多边形的性质得到，该正多边形的面积由此即可求解． 【详解】解：（1）， 正多边形的外角， 边数． （2）如图， ∴， ∴， ， ， 该正多边形的面积 ． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17 如图，利用计算机小程序做数学游戏： 第一步，点击“数字小助手”随机生成一个整数； 第二步，点击“运算百宝箱”依次弹出两张不同的运算卡片； 第三步，对第一步中生成的整数，按照第二步中弹出的卡片内容依次进行计算． 例如：第一步，点击“数字小助手”生成整数3； 第二步，点击“运算百宝箱”依次弹出卡片和； 第三步，计算． （1）若第一步中生成的整数为5，第二步中弹出的卡片依次为和，请完成第三步的计算； （2）若第一步中生成的整数为，第二步中弹出的卡片依次为和，第三步的计算结果是一个正数，求的最小整数值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数运算、解不等式．核心素养表现为运算能力和推理能力． （1）根据程序列式计算即可； （2）根据程序得到，求出，得到的最小整数值为． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解：由题意，得， ， 的最小整数值为． 18. 如图，甲、乙两个图形都由长方形或正方形拼成，边长数据如图所示． （1）若甲、乙两图的外轮廓周长相等，求x的值； （2）求甲图的面积（用含x的代数式表示）； （3）若甲图的面积比乙图的面积大1，求乙图的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了求长方形的周长和面积、整式的乘法运算、解一元二次方程．核心素养表现为抽象能力和运算能力． （1）根据长方形的周长公式列式计算即可求解； （2）利用长方形的面积公式列式即可； （3）根据，得到，解一元二次方程即可求解． 【小问1详解】 解：由题意，得， 解得； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：由题意，得， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∵， ∴， ∴． 19. 学生会进行学生餐厅满意度调查活动，随机抽取40名同学做满意度评分（共0，1，2，3，4，5六个分值，分值越高满意度越高），他们将收集到的数据整理成如图所示的统计图． （1）直接写出这40名同学满意度分数的众数、中位数． （2）学校规定：满意度分数的平均数低于3.5分，则需对服务质量进行整改．请通过计算，判断学校餐厅是否需要整改． （3）为提升餐厅的服务质量，学校准备从给0分和1分的四名同学中随机选两名同学作为代表，用列表或画树状图的方法，求两人都是给1分同学的概率． 【答案】（1）众数为4分，中位数为4分 （2）需要整改 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了众数、中位数、求平均数、求随机事件概率，体会数学在解决实际问题中的作用．核心素养表现为数据观念和运算能力． （1）根据众数，中位数的定义求解即可； （2）根据平均数的计算方法得到满意度分数，再进行判定即可； （3）用列表或画树状图的方法把所有等可能结果表示出来，再根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：0分的人数有1人，1分的人数有3人，2分的人数有6人，3分的人数有9人，4分的人数有11人，5分的人数有10人， ∴满意度分数众数为4分，中位数为第20，21位的平均数，即分． 【小问2详解】 解：满意度的平均数 ． ， 学校餐厅需要整改． 【小问3详解】 解：设给0分的同学为，给1分的同学为．列表如下： - - - - 共12种等可能的结果，两人都是给1分的同学有6种结果， 两人都是给1分的同学）． 20. 某排水口如图1所示，嘉嘉作出示意图如图2，排水管横截面为，水面为，测得为，她查阅资料得知该排水管的内径为（的直径为）．（参考数据：，） （1）水面的最大深度为______． （2）几天后水位上涨，排水管横截面如图3，水面宽度为． ①求水位上涨的高度． ②按规定，排水口水流横截面积（阴影部分）大于排水管横截面积的时需要清淤．请通过计算，判断现在是否需要清淤． 【答案】（1）20 （2）①；②不用清淤 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理、弓形面积计算、解直角三角形有关计算，掌握弓形面积计算方法是解题的关键． （1）过点作于点，由垂径定理可得，再利用勾股定理计算出，进而求出，即为所求； （2）①过点作于点，同（1）利用垂径定理和勾股定理求解；②根据，且，可得，再计算出弓形面积，与作差，即可判断是否需要清淤． 【小问1详解】 解：如图1，过点作于点，交于点，连接． 由题意得， ， ， 水面的最大深度为． 故答案为：20； 【小问2详解】 ①如图2，过点作于点，连接，． 由题意得， ， 水位上涨的高度为． ② ，且， ， ， ， ， ， 不用清淤． 21. 嘉嘉在几何画板软件上做数学实验：如图，在平面直角坐标系中，取，构造直线． （1）求直线的解析式． （2）嘉嘉将直线在轴下方的部分沿轴翻折，得到射线，取，线段以每秒个单位长度的速度沿射线方向匀速运动，运动时间为秒． ①点运动到点的初始位置时，用时______秒． ②求点运动到线段上时的坐标； ③直接写出仅有一个点在内部（含角的两边）时的取值范围． 【答案】（1） （2）①2；②；③或 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式及其相关应用、两直线交点的相关问题．核心素养表现为模型观念和推理能力． （1）运用待定系数法即可求解； （2）①根据题意得到，由（秒），即可求解；②运用待定系数法得到直线的解析式为，联立方程求解即可；③由②得，点运动到线段上时的坐标为，则秒后点运动到上，由①得点运动到点的初始位置时，用时2秒，则，即秒后点运动到上，运用待定系数法得到直线，则直线与的交点为，结合图形分析即可求解． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为． ， ， 解得， 直线的解析式为． 【小问2详解】 解：①， ， （秒）． 故答案为：2； ②， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得，， 直线的解析式为， 联立直线和直线的解析式，得， 解得， 点运动到线段上时的坐标为． ③或． 由②得，点运动到线段上时的坐标为， ∴秒后点运动到上， 由①得点运动到点的初始位置时，用时2秒， ∴，即秒后点运动到上， ∵直线在轴下方的部分沿轴翻折，得到射线，， ∴当时，， ∴点在直线上，则点在上， 又点在上， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得，， 得直线， 故联立直线和直线的解析式，得， 解得， 直线与的交点为， ， 到秒，都在内部，秒后点运动到上，再过2秒，即秒后点运动到上， 或． 22. 淇淇家想在某小区购买一套在建住宅，但拟购单元楼正南方有一栋已建好的高楼可能影响采光，淇淇想用所学知识帮家里选合适的楼层．她收集数据并画出示意图如图1，为南面单元楼的北面墙，为未建好的拟购单元楼的南面墙，楼北面为开阔地带，过点的太阳光线落在楼的点处，楼为33层，楼规划18层，每层均为，楼间距为，该小区所在纬度为．（楼层和楼板的厚度忽略不计；参考数据：，） [知识链接：冬至日正午太阳高度角（当地纬度），即正午太阳光线与地面的夹角] （1）淇淇家如果想在冬至日正午有太阳直射光，则淇淇家可以买第几层楼？ （2）综合考虑后淇淇家买在了10层，某天正午刚好有太阳光线照在她家落地窗的下沿处，如图2，请推算此时的太阳高度角和本单元楼照在地面上的影子的长． 【答案】（1）18层 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，核心素养表现为几何直观、推理能力和应用意识． （1）如图1，过点作于点，则，，所以，由此即可求解； （2）如图2，过点作于点，由题意得，则，根据，即，即可求解． 【小问1详解】 解：如图1，过点作于点，则， 冬至日正午太阳高度角， ， ， ， ， ， ，即17层及以下没有直射光， 淇淇家可以买第18层楼． 【小问2详解】 解：如图2，过点作于点， 由题意得，则， ， ，即此时的太阳高度角的正切值为， ， 此时太阳高度角为， ，即， ， 即本单元楼照在地面上的影子的长为． 23. “投壶”是古人宴会时的一种娱乐游戏，参与者需站在一定距离外，将箭矢投入壶中，以投入的数量和方式计算得分．嘉嘉体验了投壶游戏后作出示意图如图1，以投壶者所站位置为原点，地面为轴，为个单位长度建立平面直角坐标系，投掷过程中箭矢前端点的运动路径可看作抛物线的一部分，点从点处出手，矩形为壶，，，． （1）如图1，，若点为抛物线的顶点，，且抛物线经过点． ①求抛物线的解析式； ②若点最终落在上，求此时的长； ③竖直提高点的出手位置（点），使点落在上（不含边界），求的取值范围． （2）如图2，调整出手的力度和角度，使抛物线在点处到达最高点．若点经过点正上方处，直接写出点在点正上方的距离（用含的式子表示）． 【答案】（1）①；②；③ （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、求拖物线与直线的交点、代数式运算、含参函数求参数范围．核心素养表现为抽象能力、推理能力和模型观念． （1）①运用待定系数法求解即可；②根据自变量的值求函数值的计算即可；③根据函数值求自变量的值即可； （2）根据题意得到抛物线解析式为，抛物线过点，则，抛物线解析式为，且抛物线过，，当时，代入计算即可． 小问1详解】 解：①由题意，得抛物线的解析式为， 又抛物线过点， ， ， 抛物线的解析式为． ②抛物线的解析式为， 当时，，即， ． ③由②可得抛物线经过点， 要经过点， ， 抛物线经过点时，， ， 当时，点落在上． 【小问2详解】 解：． 顶点， 抛物线解析式为， 抛物线过点， ， ， 抛物线解析式为，且抛物线过， ， ， 当时， ， ， 点在点正上方处． 24. 如图1，中，，D为边上一点（不与端点重合），沿折叠使点B落在点E处，交于点F，连接． （1）如图1，当时， ①求证：； ②求的长度． （2）如图2，当时，求的长度． （3）如图3，当D为中点时，直接写出的长度． （4）在（1）的条件下，将的点C在边上滑动到点M，点F随之在边上滑动到点N，点A的对应点为点P，如图4，直接写出点B与点P的最大距离． 【答案】（1）①见解析；②； （2）； （3）； （4）点B与点P的最大距离为．理由见解析． 【解析】 【分析】（1）①根据题意得到，结合平行线的判定即可求解；②由勾股定理得到，由，可得EF的值，根据即可求解； （2）如图1，过点D作于点G，设，则，由此即可求解； （3）连接，延长交于点Q，由折叠可得，Q为中点，则，设，由勾股定理得到，由此列式求解即可； （4）如图所示，作的外接圆，过点O作于点H，过点P作延长线于点G，连接，则四边形是矩形，则，由（1）②得，则，当点B，O，P在同一直线上时，点B与点P的距离最大，最大值为，由此即可求解． 【小问1详解】 ①证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴； ②解：在直角三角形中，， 由勾股定理得：， 当时，， ∴． 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：如图1，过点D作于点G， ∵， ∴设，则． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：的长度为；理由如下： 如图2，连接，延长交于点Q， ∵D为中点，沿折叠使点B落在点E处， ∴，Q为中点， ∴． 设， ∵，， ∴， ∴， 解得， ∴； 【小问4详解】 解：点B与点P的最大距离为．理由如下： 由（1）可得，当时，，则， 如图4，作的外接圆，过点O作于点H，过点P作延长线于点G，连接， ∵， ∴四边形是矩形，则， 由（1）②得， ∴． ∵，则， ∴， ∴， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ∴， 在直角三角形中，由勾股定理得： ， ∵当点B，O，P在同一直线上时，点B与点P的距离最大，最大值为， ∴最大距离为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，平行线的判定，折叠的性质，矩形的性质和判定，解直角三角形，确定最大值是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $