第12章 函数与一次函数（高效培优单元测试·强化卷）数学沪科版2024八年级上册

第12章 函数与一次函数单元测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．把直线y=2x-1向下平移1个单位，平移后直线得关系式为（   ） A．y=2x-2 B．y=2x+1 C．y=2x D．y=2x+2 2．如图，关于x，y的方程组的解是（      ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，已知函数（），则下列图象可能是该函数的是（   ） A． B． C． D． 4．点不在下列函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 5．一次函数上有两点和，则与的大小（   ） A． B． C． D．无法确定 6．函数中，自变量x的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 7．点在第一象限，且，点A的坐标为，若的面积为16，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 8．货车和轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向而行，轿车出发后休息，直至与货车相遇后，以原速度继续行驶，设两车出发时间为（单位：），货车、轿车与甲地的距离为（单位：），（单位：），图中的线段、折线分别表示，与之间的函数关系．那么两车出发（   ）小时后相距． A．2小时 B．2.5或4.5小时 C．2.25或4.75小时 D．2.25或4.25小时 9．下列关于一次函数y=kx+b(k<0，b<0)的说法，错误的是(      ) A．图像经过第二，三，四象限； B．y随x的增大而减小 C．当时，y>0 D．图像与y轴交于(0，b) 10．若直线与直线的交点在第一象限，则b的取值范围是（   ） A． B． C．b<-2或 D．b>2 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．函数自变量x的取值范围是 ． 12．与直线平行，且截距为的直线表达式为 ． 13．如图所示，正比例函数与一次函数相交于点P，则方程组的解为 ． 14．一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示与之间的函数关系，则： （1）慢车的速度为 ； （2）图中点的坐标为 ． 三.解答题（本大题共9题，满分90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．若与x+1成正比例，且x=1是y=5，求y与x的函数表达式． 16．已知一次函数的图象经过点，两点．求这个一次函数的表达式． 17．直线：过点和，直线：和y轴交于点B和直线交于C点． (1)求两条直线交点C的坐标及的面积； (2)x取何值时，． 18．已知正比例函数． (1)k为何值时，函数的图象经过第一、三象限； (2)k为何值时，函数值y随自变量x的增大而减小． 19．如图，直线分别交x轴，y轴于两点，直线分别交y轴，x轴于，B两点，直线相交于点E，已知点E的横坐标为4．    (1)方程组的解是 ，不等式组的解集是 ； (2)求直线与x，y轴围成的四边形的面积． 20．已知一次函数的图象经过点．    (1)求这个一次函数的解析式，并画出该函数的图象； (2)若该一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，求的面积． 21．如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形实心铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在乙槽底面上）．现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度与注水时间之的关系如图2．根据图像提供的信息，解答下列问题： (1)图2中折线表示_________槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段表示_________槽中水的深度与注水时间之间的关系（以上两空填“甲”或“乙”），槽中铁块的高度是_________； (2)注水多长时间时，甲、乙两个水槽中水的深度相同； 22．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，直线、分别与轴交于点、． (1)求点和点的坐标； (2)若直线上存在一点，使得，求点的坐标． 23．某电脑经销商，今年二，三月份型和型电脑的销售情况，如下表所示： 型（台） 型（台） 利润（元） 二月份 15 20 4500 三月份 20 10 3500 （1）直接写出每台型电脑和型电脑的销售利润分别为____________； （2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中型电脑的进货量不超过型电脑的2倍．设购进型电脑台，这100台电脑的销售总利润为元． ①求与的关系式； ②该商店购进型、型各多少台，才能使销售利润最大？ （3）实际进货时，厂家对型电脑出厂价下调元，且限定商店最多购进型电脑60台．若商店保持两种电脑的售价不变，请你以上信息及（2）中的条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12章 函数与一次函数单元测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．把直线y=2x-1向下平移1个单位，平移后直线得关系式为（   ） A．y=2x-2 B．y=2x+1 C．y=2x D．y=2x+2 【答案】A 【分析】根据函数平移规律“上加下减”来解答即可． 【详解】解：根据平移的规律，将直线y=2x-1向下平移1个单位后得到的直线解析式为： y=2x-1-1，即y=2x-2， 故选：A． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“左加右减、上加下减”的平移规律是解答此题的关键． 2．如图，关于x，y的方程组的解是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数图象可得：直线与直线的交点坐标为：，从而可得方程组的解． 【详解】解：由函数图象可得：直线与直线的交点坐标为：， 即方程组的解为， ∴关于x，y的方程组的解是． 故选：D． 【点睛】本题考查的是利用一次函数的图象求解二元一次方程组的解，掌握数形结合的方法解题是关键． 3．在平面直角坐标系中，已知函数（），则下列图象可能是该函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象和图象上点的坐标特征，根据可判断函数的增减性以及与y轴的交点，从而可得正确选项． 【详解】解：∵， ∴函数y随x的增大而增大，， ∴函数y与y轴交于负半轴， 当时，， 观察各选项，只有选项B符合题意， 故选：B． 4．点不在下列函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，把分别代入各个选项，看求得的函数值是否等于2即可． 【详解】解：A．当时，，∴点在函数图象上； B．当时，，∴点在函数图象上；     C．当时，，∴点在函数图象上；     D．当时，，∴点不在函数图象上； 故选D． 5．一次函数上有两点和，则与的大小（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，属于基础题型，熟练掌握一次函数的性质是关键．根据一次函数图象的性质可知：y随x的增大而减小，然后比较这两点的横坐标即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数中，， ∴y随x的增大而减小， ∵一次函数上有两点和，其中， ∴， 故选：A． 6．函数中，自变量x的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，根据被开方数是非负数且分母不等于零列式求解即可． 【详解】解：由题意，得 且， 解得且 ． 故选D． 7．点在第一象限，且，点A的坐标为，若的面积为16，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意画出图形，根据三角形的面积公式即可得出关于的函数关系式，把代入函数关系即可得出的值，进而得出的值． 【详解】解：已知和， ． ， ， ， 当时，， 解得． ， ， 即； 故选：C． 【点睛】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键． 8．货车和轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向而行，轿车出发后休息，直至与货车相遇后，以原速度继续行驶，设两车出发时间为（单位：），货车、轿车与甲地的距离为（单位：），（单位：），图中的线段、折线分别表示，与之间的函数关系．那么两车出发（   ）小时后相距． A．2小时 B．2.5或4.5小时 C．2.25或4.75小时 D．2.25或4.25小时 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的实际应用．根据题意先分别求出段函数解析式，再利用相距作减法列出一元一次方程即可得到本题答案． 【详解】解：设：段直线解析式为， 把代入中得：， 解得：， ∴， 当时，， ∴点的坐标为：， 设段直线解析式为， 把代入中得： ，解得：， ∴， ∵轿车再休息前行驶，休息后按原速度行驶， ∴轿车行驶后需， ∴点的坐标为， 设段直线解析式为， 把代入中得： ，解得：， ∴， ∵两车相距分两种情况： ①当轿车休息前与货车相距时，有：，解得， ②当轿车休息后与货车相距时，有：，解得：， 综上所述：两车出发h或h时，两车相距． 故选：C． 9．下列关于一次函数y=kx+b(k<0，b<0)的说法，错误的是(      ) A．图像经过第二，三，四象限； B．y随x的增大而减小 C．当时，y>0 D．图像与y轴交于(0，b) 【答案】C 【分析】根据一次函数的性质解答即可. 【详解】∵k<0，b<0， ∴图象经过第二，三，四象限；y随x的增大而减小； 当y=0时，得kx+b=0，解得x=，∴当时，y<0, 当x=0时，y=b，∴函数图象与y轴交点坐标为（0，b）， 故选：C. 【点睛】此题考查一次函数的性质，一次函数图象所经过的象限，增减性，图象与坐标轴的交点坐标，正确掌握一次函数的性质是解题的关键. 10．若直线与直线的交点在第一象限，则b的取值范围是（   ） A． B． C．b<-2或 D．b>2 【答案】D 【分析】根据两条直线的交点就是两解析式联立得到的方程组的解，解方程得出交点坐标，再根据象限确定坐标的符号，即可得出答案． 【详解】解：∵直线与直线有交点， ∴ 解得： ∵交点在第一象限， ∴ ∴ 故选：D 【点睛】本题考查了直线的交点的问题，联立方程组解方程，关键是根据象限确定方程组解的符号，得出不等式组． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．函数自变量x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据分式的分母不为0列式计算即可． 【详解】解：由题意得，， 解得，， 故答案为： 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，掌握分式的分母不为0是解题的关键． 12．与直线平行，且截距为的直线表达式为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了两条直线相交或平行的问题，要注意利用一次函数平行系数的特点，求出未知数． 两个一次函数的图象平行，则一次项系数一定相同，又其截距是，则解析式即可求得． 【详解】解：设一次函数的表达式为， ∵两直线平行， ∴， ∵其截距是， ∴， 故直线的表达式为：． 故答案为：． 13．如图所示，正比例函数与一次函数相交于点P，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解与直线交点坐标的关系．数形结合是解题的关键． 由题意知，点P的横坐标为1，当时，，即；由图象可知，的解为两直线交点的横纵坐标，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，点P的横坐标为1， 当时，，即； 由图象可知，的解为， 故答案为：． 14．一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示与之间的函数关系，则： （1）慢车的速度为 ； （2）图中点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用函数图象解决实际问题，利用图象得出正确信息是解题的关键． （1）由图象可知，甲乙两地之间的距离为，慢车用了走完全程，即可求解； （2）根据题意求出两车的速度和，再求出快车的速度，由点的含义表示快车到达乙地时两车间的距离，求出快车到达乙地的时间和慢车在相同时间内走的路程即可得出答案． 【详解】解：（1）由图象可知，甲乙两地之间的距离为，慢车用了走完全程， ∴慢车的速度为：， 故答案为：； （2）由题意可知，当两车行驶时，两车相遇，两车距离为， ∴两车的速度和为， ∴快车的速度为， ∵点的含义表示快车到达乙地时两车间的距离， ∴， ∴慢车行驶走的路程为， ∴点， 故答案为：． 三.解答题（本大题共9题，满分90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．若与x+1成正比例，且x=1是y=5，求y与x的函数表达式． 【答案】 【分析】根据正比例函数的定义设，然后把x、y的值代入求出k的值，再整理即可得解． 【详解】解：由与x+1成正比例， 所以设： 把代入得： 所以：y与x的函数表达式： 即 【点睛】本题考查了正比例函数的定义，利用待定系数法求一次函数解析式，注意利用正比例函数的定义设出函数关系式是解题的关键． 16．已知一次函数的图象经过点，两点．求这个一次函数的表达式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，根据题意设解析式为，待定系数法求解析式，即可求解． 【详解】解：设解析式为，将点，代入得， 解得：， ∴这个一次函数的表达式． 17．直线：过点和，直线：和y轴交于点B和直线交于C点． (1)求两条直线交点C的坐标及的面积； (2)x取何值时，． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查待定系数法求解析式，一次函数与一元一次方程组，一次函数与一元一次不等式组． （1）把点A，D的坐标代入直线：，求出k和b的值，从而得到直线的解析式．解直线和直线的解析式组成的方程组，即可得到交点C的坐标．根据三角形的面积公式即可求的的面积． （2）由得，求解即可． 【详解】（1）∵直线：过点和， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 解方程组得， ∴点C的坐标为， 把代入直线：，得， ∴点B的坐标为， 如图所示，过点C作轴于点N， ∵，，， ∴，， ∴． （2）∵，， ∴当时，， 解得：． 18．已知正比例函数． (1)k为何值时，函数的图象经过第一、三象限； (2)k为何值时，函数值y随自变量x的增大而减小． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了正比例函数，熟练掌握正比例函数的增减性，函数图象所经过的象限与正比例系数之间的关系，是解决问题的关键． （1）当正比例系数大于0时，函数图象经过一、三象限，则有，求解就能确定k的范围； （2）当正比例系数小于0时，y随x的增大而减小，则有，求解就能确定k的范围． 【详解】（1）∵函数的图象经过一、三象限， ∴， 解得． 故当时，函数的图象经过一、三象限． （2）∵y随x的增大而减小， ∴， 解得． 故当时，y随x的增大而减小． 19．如图，直线分别交x轴，y轴于两点，直线分别交y轴，x轴于，B两点，直线相交于点E，已知点E的横坐标为4．    (1)方程组的解是 ，不等式组的解集是 ； (2)求直线与x，y轴围成的四边形的面积． 【答案】(1)， (2)11 【分析】(1)利用待定系数法求得直线的解析式，得到点E的坐标，再利用待定系数法求得直线的解析式，据此利用数形结合即可求解； (2)先求得点，，再利用即可求解． 【详解】（1）解：∵直线分别交x轴，y轴于两点， ∴，解得， ∴直线， ∵点E的横坐标为4，且在直线上， ∴， ∴点， ∴方程组的解是， 同理，可求得直线的解析式为， 令，则； ∴点， 不等式组的解集是； 故答案为：，； （2）解：对于直线， 令，则；令，则； ∴点，， ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，解决该题型题目时，充分利用数形结合是解题的关键． 20．已知一次函数的图象经过点．    (1)求这个一次函数的解析式，并画出该函数的图象； (2)若该一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，求的面积． 【答案】(1)，函数图象见解析 (2)4 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，画一次函数图象，求一次函数与坐标轴围成的图形面积： （1）先利用待定系数法求出一次函数解析式，再画出对应的函数图象即可； （2）先求出A、B的坐标，再根据进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入中得：， ∴， ∴一次函数解析式为， 函数图象如下所示：    （2）解：在中，当时，，当时，， ∴， ∴， ∴． 21．如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形实心铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在乙槽底面上）．现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度与注水时间之的关系如图2．根据图像提供的信息，解答下列问题： (1)图2中折线表示_________槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段表示_________槽中水的深度与注水时间之间的关系（以上两空填“甲”或“乙”），槽中铁块的高度是_________； (2)注水多长时间时，甲、乙两个水槽中水的深度相同； 【答案】(1)乙；甲；14 (2) 【分析】（1）根据图像分析可知水深减少的图像为甲槽的，水深增加的为乙槽的，并水深之后增加的变慢，即可得到铁块的高度； （2）分别求出两个水槽中y与x的函数关系式，令y相等即可得到水位相等的时间． 【详解】（1）解：折线表示乙槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段表示甲槽中水的深度与注水时间之间的关系，槽中铁块的高度是． 故答案为：乙；甲；14． （2）解：设线段的解析式分别为，， 经过点和，经过点和， ，， 解得：，， 线段的解析式分别为： 和， 令， 解得， 当注水时，甲、乙两个水槽中水的深度相同． 【点睛】本题主要考查的是用一次函数解决实际问题，掌握待定系数法是解题的关键． 22．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，直线、分别与轴交于点、． (1)求点和点的坐标； (2)若直线上存在一点，使得，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题主要考查了一次函数的综合应用，待定系数法求解析式，三角形的面积等知识点， （1）待定系数法求出直线m和直线n的函数解析式，求出B和点C坐标即可得解； （2）由（1）得：直线解析式为，求得，设，然后分当P在延长线时和当P在延长线时两种情况即可求解； 熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵直线m：与直线交于点， ∴， 解得， ∴直线m解析式为，直线n解析式为， 由得：，由得：， ∴，， （2）∵，， ∴， ∴， 由（1）得：直线解析式为， 设，， 如图，当P在延长线时， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； 如图，当P在延长线时， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：或， 当时， (舍)， ∴； 综上可知：点P的坐标为或． 23．某电脑经销商，今年二，三月份型和型电脑的销售情况，如下表所示： 型（台） 型（台） 利润（元） 二月份 15 20 4500 三月份 20 10 3500 （1）直接写出每台型电脑和型电脑的销售利润分别为____________； （2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中型电脑的进货量不超过型电脑的2倍．设购进型电脑台，这100台电脑的销售总利润为元． ①求与的关系式； ②该商店购进型、型各多少台，才能使销售利润最大？ （3）实际进货时，厂家对型电脑出厂价下调元，且限定商店最多购进型电脑60台．若商店保持两种电脑的售价不变，请你以上信息及（2）中的条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案． 【答案】（1）100元，150元；（2）①y=-50x+15000；②购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大；（3）①当0＜m＜50时，购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大；②m=50时，购进A型电脑数量满足34≤x≤60的整数时，均获得最大利润；③当50＜m＜80时，购进60台A型电脑和40台B型电脑的销售利润最大． 【分析】（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；根据题意列出方程组求解， （2）①据题意得，y=-50x+15000， ②利用不等式求出x的范围，又因为y=-50x+15000是减函数，所以x取34，y取最大值， （3）据题意得，y=（100+m）x+150（100-x），即y=（m-50）x+15000，分三种情况讨论，①当0＜m＜50时，y随x的增大而减小，②m=50时，m-50=0，y=15000，③当50＜m＜80时，m-50＞0，y随x的增大而增大，分别进行求解． 【详解】解：（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元； 根据题意得, 解得 故答案是： 100元，150元． （2）①据题意得，y=100x+150（100-x）， 即与的关系式为y=-50x+15000， ②据题意得，100-x≤2x， 解得x≥， ∵y=-50x+15000，-50＜0， ∴y随x的增大而减小， ∵x为正整数， ∴当x=34时，y取最大值，则100-x=66， 即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大． （3）据题意得，y=（100+m）x+150（100-x）， 即y=（m-50）x+15000，≤x≤60，且x为整数， 分三种情况讨论： ①当0＜m＜50时，y随x的增大而减小， ∴当x=34时，y取最大值， 即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大． ②m=50时，m-50=0，y=15000， ∵≤x≤60，且x为整数， ∴34≤x≤60，且x为整数， 即商店购进A型电脑数量满足34≤x≤60的整数时，均获得最大利润； ③当50＜m＜80时，m-50＞0，y随x的增大而增大， ∴当x=60时，y取得最大值． 即商店购进60台A型电脑和40台B型电脑的销售利润最大． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，二元一次方程组及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据一次函数的增减性质进行判断． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$