第六单元 比的认识 暑假预习（讲义）-2025-2026学年六年级上册数学北师大版

第六单元 比的认识 暑假预习讲义 思维导图 知识梳理 知识点一、比的意义 1.两个数相除，又叫做这两个数的比。例如，6÷3可以写成6:3，读作“6比3”，表示6与3的比。 【要点诠释】 1.比的本质： 比表示的是两个数之间的一种数量关系，这种关系通过相除来体现。它不是一个具体的数值，而是对两个数量进行比较的一种方式。 2.比的构成： 一个完整的比由三部分组成：前项、比号“:”和后项。在“6:3”中，6是前项，“:”是比号，3是后项。 3.比值： 比的前项除以后项所得的商，叫做比值。例如，6:3的比值是6÷3=2。比值是一个具体的数，可以是整数、小数或分数。 4.比与除法、分数的联系与区别： （1）联系： 比的前项相当于除法中的被除数、分数中的分子；比号相当于除法中的除号、分数中的分数线；比的后项相当于除法中的除数、分数中的分母；比值相当于除法中的商、分数的分数值。 （2）例如：6:3 = 6 ÷ 3 = (分数形式，读作三分之六，注意与比的区别) （3）区别： 除法是一种运算；分数是一个数；比是表示两个数的关系。 知识点二、比的各部分名称 1.在一个比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。例如，在15:5 = 3中，15是前项，5是后项，3是比值。 【要点诠释】 1.明确区分： 必须清楚分辨比的前项和后项，不能混淆。它们的位置是固定的，交换位置后，比的意义就改变了（除非前项和后项相等）。例如，3:4和4:3是不同的比。 2.比值的求解： 求比值的方法就是用前项除以后项。 3.比值的形式： 比值可以是整数（如3:1=3）、小数（如1:2=0.5）或分数（如2:3=）。比值不带单位（除非比本身带有相同的单位且表示具体意义，如路程比等，但通常比值是一个抽象的数）。 知识点三、比的基本性质 1.比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。这叫做比的基本性质。例如，2:3 = (2×2):(3×2) = 4:6，比值都是；8:12 = (8÷4):(12÷4) = 2:3，比值都是。 【要点诠释】 1.“同时”和“相同的数”： 性质中强调“同时”对前项和后项进行操作，并且乘或除以的是“相同的数”。 2.“0除外”： 这是非常重要的一点。因为0不能做除数，所以比的前项和后项不能同时乘或除以0。否则，比的后项可能会变成0，这是没有意义的。 3.作用： 比的基本性质是化简比的依据。通过它可以把复杂的比化成最简单的整数比。 知识点四、化简比 1.根据比的基本性质，把一个比化成最简形式，即比的前项和后项都是整数，并且它们的最大公因数是1（互质数），这样的比叫做最简整数比。这个过程叫做化简比。 【要点诠释】 1.化简目标： 化简比的结果必须是一个“比”，且是最简整数比（前项、后项为互质数）。 2.化简方法： （1）整数比化简： 找出前项和后项的最大公因数，然后同时除以这个最大公因数。 例如：18:12，最大公因数是6，(18÷6):(12÷6)=3:2。 （2）分数比化简： 可以先把比的前项和后项同时乘两个分母的最小公倍数，转化成整数比，再进行化简；或者用前项除以后项，商用最简分数表示，再转化成比的形式。 例如：():() = ( × 15):( × 15) = 10:12 = 5:6 (先乘最小公倍数15)；或者 () ÷ () = () × () = = = 5:6。 （3）小数比化简： 先把比的前项和后项同时扩大相同的倍数（如10倍、100倍等），使它们都变成整数，再按照整数比的方法进行化简。 例如：0.7:0.8 = (0.7×10):(0.8×10) = 7:8；1.25:0.5 = (1.25×100):(0.5×100) = 125:50 = 5:2。 3.与求比值的区别： 化简比的结果是一个比，而求比值的结果是一个数。例如，12:8化简比是3:2，求比值是或1.5。 知识点五、求比值 1.求比值就是用比的前项除以比的后项，所得的商即为比值。 【要点诠释】 1.计算方法： 比值 = 前项 ÷ 后项。 2.结果形式： 比值可以是整数、小数或最简分数。 例如：5:1的比值是5÷1=5（整数）；2:5的比值是2÷5=0.4（小数）或（分数）。 3.与化简比的区别： （1）化简比关注的是比的形式，结果必须是一个最简的整数比（有前项、比号、后项）。 （2）求比值关注的是比的结果，是一个具体的数值（可以是整数、小数、分数）。 例如：对于6:4，化简比是3:2，求比值是（或1.5）。 知识点六、比的应用（按比例分配） 1.比的应用最常见的是“按比例分配”问题。即把一个数量按照一定的比来进行分配，求各部分数量是多少。例如：学校把300本图书按照2:3的比例分配给五年级和六年级，求五、六年级各分得多少本。 【要点诠释】 1.解题步骤（以例子说明）： （1）第一步：求出总份数。 2:3，总份数为 2 + 3 = 5（份）。 （2）第二步：求出一份的量。 总数 ÷ 总份数 = 一份的量。300 ÷ 5 = 60（本/份）。 （3）第三步：求出各部分的量。 一份的量 × 各部分对应的份数 = 各部分的量。 （4）五年级：60 × 2 = 120（本） （5）六年级：60 × 3 = 180（本） 2.关键： 理解各部分量与总数量之间的关系，找准对应的份数。 3.其他应用： 比还可以应用于解决一些与速度、路程、工作效率、浓度等相关的简单实际问题，关键是找到题目中隐含的比的关系。例如，当时间相同时，速度比等于路程比。 巩固练习 一、填空题 1． 热干面是武汉市的一种特色小吃，妈妈网购了5袋热干面共花了18.5元，总价与数量最简单的整数比是　 　，比值是　 　，这个比值表示　 　。 2．：0.375化成最简整数比是　 　；2吨：250 千克的比值是　 　。 3．把4：7的前项乘8，要使比值不变，后项应变成　 　；若把前项加上8，要使比值不变，后项应变成　 　。 4．　 　∶　 　＝　 　%＝　 　（填小数）。 5．有一个两位数，十位上的数字与个位上的数字比是1：3，十位上的数字加上6，就和个位上的数字相等。这个两位数是　 　。 6．已知大圆与小圆半径之比为5∶4，则它们的周长比是　 　，面积之比是　 　。 7．甲、乙两车分别从A、B两地同时相对开出，甲车10小时行完全程，乙车12小时行完全程。4小时后甲、乙两车所行路程比是　 　。 8．某车间职工人数在 40~50之间，其中男职工人数和女职工人数的比是5：6，这个车间有男职工　 　人， 女职工　 　人。 9．在一场篮球比赛中，甲队全场共得了98分，上半场和下半场所得分数的比是3：4．甲队下半场得了　 　分。 10．一个三角形的三个内角的度数比是2：3：4，其中最小的角是　 　度。按角进行分类，这是一个　 　三角形。 二、选择题 11．六(2)班有45名同学，其中男生和女生的人数比不可能是(　　)。 A．7：2 B．3：2 C．5：3 D．5：4 12． 一个比的前项是6，比值是 ，这个比的后项是 (　　)。 A． B．10 C． D． 13．如果4：6的前项乘2，要使比值不变，后项应该(　　)。 A．乘2 B．除以2 C．增加8 D．增加12 14．一个等腰三角形的周长为 180 cm，其中两边之比为2∶5，腰长为(　　)cm。 A．40 B．75 C．40或75 D．无法确定 15．甲、乙、丙三个数的比是，如果它们的平均数是30，那么乙数是（　　）。 A．10 B．15 C．30 D．45 三、判断题 16．既可以看作一个分数，也可以看作一个比，还可以看成一个比值。(　　) 17．六(1)班与六(2)班进行足球比赛，结果六(1)班以2：0获胜，可见，比的后项可以为0。(　　) 18．6kg：7kg的比值是。(　　) 19．梨子和橙子的单价比是2：3，梨子的单价只能是2元，橙子的单价只能是3元。(　　) 20．我国的《国旗法》规定：国旗长和宽的比是3：2。如果一面国旗的长是240厘米，那么宽是160厘米。(　　) 四、计算题 21．化简比。 3.2：0.16 0.2t：240kg 22．求比值。 2.4：1.8 0.45t：200kg 五、操作题 23．按要求作图。 （1）把方格图中的梯形分成三个三角形，使这三个三角形的面积比为1：2：3。 （2）在梯形右边画一个面积是9cm2 的三角形，使它的底和高的比是2：1。 六、解决问题 24．六年级的同学和带队老师共190人参观博物馆，其中带队老师有8人。男同学和女同学的人数比是3：4，参观博物馆的男同学和女同学各有多少人？ 25．李丽先往240mL 的柠檬原汁中加了400mL 水后，发现调制说明中写有“当柠檬原汁与水的比是3：7时，口感最佳”。请你帮李丽判断：为使口感最佳，应该往已调制的柠檬水中加水还是加柠檬原汁？应该加多少？ 26．中国空间站“天和”号核心舱全长16.6m，它由节点舱、生活控制舱和资源舱组成，三个舱的长度比是1：3：1，生活控制舱的长度是多少米？ 27．一块锌铜合金原来的质量是 840 克。现在要将这块合金按锌铜1：2的质量比重新熔铸，还需添加120克铜。原来这块合金中的锌、铜各有多少克？ 28．陈明和赵东为了响应国家鼓励大学生创业的号召，陈明出资40000元，赵东出资50000元，两人合伙开了一家儿童书店。经过一年的辛勤劳动，书店共获利36000元。按出资比例分配，两人分别应该获利多少元？ 29．一根长480厘米的铁丝，将其剪成12截，正好焊接成一个长方体框架。这个长方体框架的长、宽、高之比是3：3：2。在这个长方体框架外面糊上一层彩纸，这个长方体的体积是多少？ 30．某筑路队修一条公路，第一天修了全长的 ，第二天与第一天所修长度的比是3：2，两天后还剩120米没修，这条公路全长多少米？ 参考答案 1．37：10；3.7；每袋热干面的价格 2．16：27；8 3．56；21 4．28；25；80；0.8 5．39 6．5∶4；25∶16 7．6：5 8．20；24 9．56 10．40；锐角 11．C 12．B 13．A 14．B 15．C 16．正确 17．错误 18．错误 19．错误 20．正确 21．解： ：=×=2：3 3.2：0.16=(3.2×100)：(0.16×100)=(320÷16)：(16÷16)=20：1 0.2t：240kg=200：240=5：6 22．∶ ＝÷ ＝ 3.5∶ ＝3.5÷ ＝4.9 2.4∶1.8 ＝2.4÷1.8 ＝ 0.45t∶200kg ＝450kg∶200kg ＝450÷200 ＝ 23．（1）解： （2）解：底和高的比=6：3=2：1 24．解： (190-8)÷(3+4)×3 =182÷7×3 =26×3 =78(人) 190-8-78=104(人) 答：参观博物馆的男同学和女同学各有78人、104人。 25．解：240÷3×7=560(mL) 560-400 =160(mL) 答：为使口感最佳，应该往已调制的柠檬水中加水，应该加160mL。 26．解：16.6× =16.6× =9.96(米) 答：生活控制舱的长度是9.96米。 27．解：锌含量：(克) 铜含量：840-320=520(克) 答：原来这块合金中的锌、铜各有320克、520克。 28．解：40000：50000=4：5 36000÷(4+5)= 4000(元) 陈明： 4000×4=16000(元) 赵东： 4000×5=20000(元) 答：按出资比例分配，陈明应该获利16000元，赵东应该获利20000元。 29．解：480÷4÷(3+3+2) =120÷8 =15(厘米) (15×3)×(15×3)×(15×2) =45×45×30 =60750(cm3) 答：这个长方体的体积是60750立方厘米。 30．解：第二天修了全长的：÷= 120÷（1--） =120÷（1--） =120÷ =240（米） 答：这条公路全长240米。 学科网（北京）股份有限公司 $$