第13讲 二元一次方程组的应用 （知识清单+10大题型+好题必刷） 核心知识点与常见题型通关讲解练【暑假预习】2025-2026学年七年级上册数学（沪科版2024）

第13讲 二元一次方程组的应用 （知识清单+10大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 方案问题(二元一次方程组的应用) 题型二 行程问题(二元一次方程组的应用) 题型三 数字问题(二元一次方程组的应用) 题型四 年龄问题(二元一次方程组的应用) 题型五 分配问题(二元一次方程组的应用) 题型六 销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 题型七 几何问题(二元一次方程组的应用) 题型八 图表信息题(二元一次方程组的应用) 题型九 古代问题(二元一次方程组的应用) 题型十 其他问题(二元一次方程组的应用) 知识清单 知识点1．由实际问题抽象出二元一次方程 （1）由实际问题列方程是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系． （2）一般来说，有2个未知量就必须列出2个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符． （3）找等量关系是列方程的关键和难点．常见的一些公式要牢记，如利润问题，路程问题，比例问题等中的有关公式． 知识点2．二元一次方程的应用 二元一次方程的应用 （1）找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）挖掘题目中的关系，找出等量关系，列出二元一次方程． （4）根据未知数的实际意义求其整数解． 知识点3．由实际问题抽象出二元一次方程组 （1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系． （2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符． （3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法： ①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系． 知识点4．二元一次方程组的应用 （一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解． （5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． （二）设元的方法：直接设元与间接设元． 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程． 题型练习 【题型一】方案问题(二元一次方程组的应用) 【例1】在某学校举行的课间“桌面操”比赛中，为奖励表现突出的班级，学校计划用260元钱购买A、B、C三种奖品，A种每个10元，B种每个20元，C种每个30元，在C种奖品只能购买3个或4个且钱全部用完的 情况下（注：每种方案中都有三种奖品），共有多少种购买方案（    ） A．12种 B．13种 C．14种 D．15种 【举一反三】 1．（22-23七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）小明在文化用品超市购买单价为2元的签字笔和单价为3元的笔记本，一共花了元，则购买方案有 种． 2．（24-25七年级上·安徽淮北·期末）中国新能源汽车正处在快速发展阶段，产销量和出口量均居世界第一，某汽车销售公司针对市场情况，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解购进辆型和辆型汽车需要万元，辆型和辆型汽车需要万元． (1)求两种型号的汽车每辆的进价各是多少万元？ (2)该公司准备用正好万元购进这两种型号的汽车，请你帮助该公司设计部门，写出有哪几种购买方案． (3)若销售两种型号的汽车每辆分别可获得利润万元和万元，在（2）方案中如果全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少万元？ 3．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）某蔬菜种植基地向内地某城市运送114吨蔬菜，计划租用甲、乙两种车型货车运输该批蔬菜，已知关于该两种车型货车运输此类蔬菜有以下运输信息： 甲型车（满载） 乙型车（满载） 运货总量 2辆 3辆 42吨 3辆 4辆 58吨 根据以上信息，解答下列问题： (1)求1辆甲型车和1辆乙型车都装满货物一次可分别运输此类蔬菜多少吨？ (2)若蔬菜种植基地管理人员打算租用甲乙两种货车一次运完且恰好每辆车都装满此类蔬菜： ①请你帮该蔬菜种植基地管理人员设计租车方案； ②若甲型车每辆需租金1000元/次，乙型车每辆需租金1200元/次．请你帮他们算算，最少租车费是多少元？ 此时租车方案是什么？ 【题型二】行程问题(二元一次方程组的应用) 【例2】（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）甲、乙两人分别在A、B两地，以各自的速度同时出发．如果相向而行，两人后相遇；如果同向而行，两人后相遇；问甲从A地到B地需要（   ）． A． B． C．或 D．或 【举一反三】 1．从甲地到乙地有一段长x km的上坡与一段长y km的平路．如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需54min，从乙地到甲地需42min．根据题意，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 2．从甲地到乙地有一段上坡路与一段平路，如果上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从甲地到乙地需要36分钟，从乙地到甲地需要24分钟，甲地到乙地全程是多少？根据题意，老师给出的方程组为，则方程组中x表示 ． 3．某体育场的环行跑道长400m，甲、乙分别以一定的速度练习徒步和骑自行车．如果反向而行，那么他们每隔30s相遇一次．如果同向而行，那么每隔90s乙就追上甲一次．甲、乙的速度分别是多少？ 【题型三】数字问题(二元一次方程组的应用) 【例3】 一个两位数的两个数字之和为10，两个数字之差为6，求这个两位数，此题的解有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 【举一反三】 1．甲乙两个两位数，若把甲数放在乙数的左边，组成的四位数是乙数的151倍；若把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小1089．求这两个两位数？如果设甲数为x，乙数为y．则得方程组( ) A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，一行的三个数，列的三个数，斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则的值为 ． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和3倍大7；如果交换十位上的数与个位上的数，所得新两位数比原两位数2倍小1，求这个两位数． 【题型四】年龄问题(二元一次方程组的应用) 【例4】 学生问老师：“您今年多大了”老师风趣地说：“我像你这么大的时候，你才出生，你到我这么大时，我已经36岁了，”那么老师和学生的年龄分别是（    ） A．24、12 B．24、11 C．25、11 D．26、10 【举一反三】 1．（2024七年级·全国·竞赛）小强问他的数学老师今年多少岁了，数学老师说：“我像你这么大时，你才1岁．你到我这么大时，我就40岁了．”那么数学老师今年的岁数是 岁． 2． 甲对乙说：“我像你这样大岁数的那年，你的岁数等于我今年的岁数的一半；当你到我这样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7岁．”则今年甲的年龄为 岁， 乙的年龄为 岁． 3．已知甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，求甲、乙现在的年龄的差． 【题型五】分配问题(二元一次方程组的应用) 【例5】 某工厂有名工人，每个工人每天能加工6个型零件或者3个型零件，其中某产品每套由4个型零件和3个型零件配套组成，现将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套，现50天恰好完成1200套产品的生产任务，则的值为（    ） A．30 B．40 C．50 D．60 【举一反三】 1．我国民间流传着许多趣味算题，它们多以顺口溜的形式流传．例如：一群老头去赶集，半路买了一堆梨，一人一个多一梨，一人两个少两梨，请问君子知道否，几个老头几个梨？若设有x个老头，y个梨，则可列方程组（　　） A． B． C． D． 2．某学校课后兴趣小组在开展手工制作活动中，美术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面．已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为 ． 3．如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸板，且长方形的宽与正方形的边长相等．现有150张正方形硬纸片和300张长方形硬纸片，可制作甲、乙两种纸盒各多少个？ 【题型六】销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【例6】小明恰用元买笔记本和中性笔，一个笔记本2元，一个中性笔3元（两种都要至少买一件），那么他有几种购买的方案（　　） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 【举一反三】 1．（2024·安徽·一模）某学校为了打造“书香校园”，丰富师生的业余文化生活，计划采购，两种图书，已知采购2本种图书和3本种图书共需110元，采购1本种图书和5本种图书共需160元，则，两种图书的单价分别为（    ） A．10元、30元 B．30元、10元 C．25元、20元 D．60元、20元 2．（2024七年级上·全国·专题练习）大刚和小亮到同一家超市购买水果，大刚买苹果和梨，共花了26元；小亮买苹果和梨，共花了11元．设苹果的售价为，梨的售价，则可列二元一次方程组为 ． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）2024年10月30日，神舟十九号载人飞船发射取得圆满成功．某航天模型销售店看准商机，准备推出“神舟”和“天宫”两种模型．已知1个“神舟”模型和3个“天宫”模型的进价共150元；3个“神舟”模型和2个“天宫”模型的进价共240元．求每个“神舟”和“天宫”模型的进价各为多少元？ 【题型七】几何问题(二元一次方程组的应用) 【例7】（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）如图是7块形状大小相同的长方形墙砖组成的电视墙．若该电视墙的长度为，则该电视墙的周长为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）在长方形中放入大小完全相同的个小长方形，相关数据如图所示，则所有阴影部分的面积和为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·全国·期末）如图，长方形含有3个正方形，①号和②号一样大，若长方形的长为，宽为，则③号正方形的边长为 ． 3．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）某学校开发一块试验田作为劳动教育实践基地，通过初步设计，由大小形状完全相同的8块小长方形试验田组成，如图所示，经测量，该实践基地的宽为80米． (1)求小长方形的长和宽； (2)求该实践基地的面积． 【题型八】图表信息题(二元一次方程组的应用) 【例8】（24-25七年级上·全国·期末）在的方格中填数，要求每行每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，若填在图中的数字如图，则，的值是（      ） 3 2 A．， B．， C．， D．， 【举一反三】 1．《乌鸦喝水》的故事我们都听过，聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，喝到了水．根据如图信息，若放入一个钢珠可以使液面上升厘米，当在玻璃桶内同时放入相同数量的小球和钢珠时，水面上升到厘米，则的整数值有（    ）个． A． B． C． D． 2．把1—9这九个数填入方格中，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，这便构成了一个“三阶幻方”．它源于我国古代的“洛书”．如图是仅可以看到部分数值的“三阶幻方”，则的值为 ． 3．（23-24七年级上·安徽安庆·阶段练习）为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了“阶梯价格”制度，即每月用电量在一档的部分按元/度收费，超出一档的部分按b元/度收费，超出二档的部分按元/度收费，具体收费标准如下表所示： 阶梯 电量（单位：度） 电费价格 一档 元度 二档 元度 三档 元度 (1)已知小明家5月份用电度，缴纳电费元，6月份用电度，缴纳电费元，请你根据以上数据，求出表格中的a，b的值． (2)7月份开始用电增多，小明家缴纳电费元，求小明家7月份的用电量． 【题型九】古代问题(二元一次方程组的应用) 【例9】（24-25七年级上·安徽亳州·期末）我国古代数学著作《增删算法统宗》中有一首诗，其大意是：今有绢与布40定，卖得680贯钱，若……，……欲问绢布有多少，分开把价算，若人算得无差错，你的名字城镇到处扬．若设有绢定，布定，可列出符合题意的方程组，根据已有信息，题中用“……，……”表示的缺失条件应为（   ） A．4定绢价50贯，3定布价90贯 B．4定绢价90贯，3定布价50贯 C．4定布价90贯，3定绢价50贯 D．4定布价50贯，3定绢价90贯 【举一反三】 1．（22-23七年级上·安徽滁州·期中）增删算法统宗记载：“今有直田用较除，一百二十步无余．长阔相和该一百，问公三事几何如？”译文：有一块长方形田地，它的面积除以长与宽之差刚好步，长与宽之和等于步．试问这块田地的长、宽及长宽之差分别是多少？设这块田地的长为步，宽为步，则下面所列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 2．在中国古代数学专著《九章算术》中，二元一次方程组是通过算筹摆放的，如图中各行从左到右列出的三组算筹分别表示未知数x、y的系数和相应的常数项．如图1表示的方程组为，则图2表示的方程组为 ． 3．《九章算术》是中国古代数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中方程术是其最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有牛三、羊一，直金七两；牛二、羊三，直金八两．问：牛、羊各直金几何？”译文：“假设有3头牛、1只羊，值金7两；2头牛、3只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？” 【题型十】其他问题(二元一次方程组的应用) 【例10】（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）李老师逛超市时看中一套碗，她将碗叠成一列（如图），测量后发现：用2个碗叠放时总高度为，用4个碗叠放时总高度为．若将8个碗叠成一列能放入消毒柜，则这个消毒柜的内置高度至少有（） A． B． C． D． 【举一反三】 1．如图，两只猫在同一桌子附近玩，根据图中的数据，桌子的高度是（ ）．    A．100 B．110 C．120 D．125 2．（24-25七年级上·全国·期末）张老师用88元钱购买了甲、乙两种奖品，甲种奖品每件12元，乙种奖品每件8元，其中甲种奖品比乙种奖品少一件，则甲种奖品购买了 件，乙种奖品购买了 件． 3．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）南方某市出租车计费标准如下框，赵亮上周坐了两次出租车，一次里程千米 ，车费元，另一次里程千米，车费87.5元． (1)画示意图可以帮助我们理清数量间的关系，请把下面的示意图补充完整； (2)列方程组求解，． 好题必刷 一、单选题 1．一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，求这个两位数．设个位数字为，十位数字为，所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 2．A、B两地相距420千米，一辆小汽车和一辆客车同时从A、B两地相向开出，经过2小时相遇．相遇时，小汽车比客车多行驶70千米，设小汽车和客车的平均速度分别为千米/时和千米/时，则下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 3．七年级一班的同学去电影院看电影，接受正能量教育．已知该电影甲种票每张35元，乙种票每张25元，七年级一班的42名同学购买电影票共用去1350元；求甲、乙两种票各买了多少张？设甲种票买了x张，乙种票买了y张，则下列方程组中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．《算法统宗》中记载了这样一个问题，其大意是：个和尚分个馒头，大和尚人分个馒头，小和尚人分个馒头．问大、小和尚各有多少人？设大和尚有人，小和尚有人，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 5．《孙子算经》中有一道题，原文是：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？小伟同学准备用二元一次方程组解决这个问题，他已列出一个方程是，则符合题意的另一个方程是（    ） A． B． C． D． 6．爸爸、妈妈、我、妹妹，四人今年的年龄之和是101岁，爸爸比妈妈大1岁，我比妹妹大6岁，十年前，我们一家的年龄之和是63岁，今年爸爸的年龄是（    ） A．38岁 B．39岁 C．40岁 D．41岁 7．我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数、琎价各几何？”意思是：一起去买琎（一种像玉的石头），每个人出两，则多4两；每个人出两，则不足3两．问人数、琎的价格分别是多少？如果设人数x人，琎的价格为y两，那么可列成的方程组为（    ） A． B． C． D． 8．《九章算术》中记载这样一个问题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．问绳长、井深各几何？”题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问绳长和井深各多少尺？若设绳长、井深分别为x、y尺，则符合题意的方程组是（　　） A． B． C． D． 9．作业本中有这样一道题：“小明去郊游，上午8时30分从家中出发，先走平路，然后登山，中午12时到达山顶，原地休息后沿原路返回，正好下午3时到家．若他平路每小时走，登山每小时走，下山每小时走，求小明家到山顶的路程．”小李查看解答时发现答案中的方程组中有污损：则答案中另一个方程应为（    ） A． B． C． D． 10．小明去文具店购买了笔和本子共5件，已知两种文具的单价均为正整数且本子的单价比笔的单价贵．在付账时，小明问是不是27元，但收银员却说一共48元，小明仔细看了看后发现自己将两种商品的单价记反了．小明实际的购买情况是（    ） A．1支笔，4本本子 B．2支笔，3本本子 C．3支笔，2本本子 D．4支笔，1本本子 二、填空题 11．要用20张白卡纸做长方体包装盒，准备把这些白卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面，已知每张白卡纸可以做侧面2个或做底面3个，如果4个侧面可以和2个底面做成一个包装盒．设有x张白卡纸做侧面，y张白卡纸做底面，依题意可列方程组 ． 12．利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度．首先按图①的方式放置，再按图②的方式放置．则根据其平面示意图测量的数据，可得桌子的高度为 ． 13．一名学生问老师：“你今年多大了？”老师风趣地说“我像你这样大的时候，你才2岁；你到我这么大时，我已经38岁了”，则今年老师的岁数是 ． 14．有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货22吨，5辆大货车与2辆小货车一次可以运货25吨，则4辆大货车与3辆小货车一次可以运货 吨． 15．小明家准备装修一套新房，若甲、乙两家装修公司合作需6周完成，装修费用为5.2万元；若甲公司单独做4周，剩下的由乙公司做，还需9周完成，此时装修费用为4.8万元．若小明只选甲公司单独完成，则他需要付给甲公司装修费用 万元． 16．某人沿电车路线骑车，每隔12分钟有一辆车从后面超过，每4分钟有车迎面驶来，若人、车的速度不变，则每隔 分钟有车从车站开出． 17．小明为全班六一儿童节的活动准备奖品，A奖品每个2元，B奖品每个7元，购买A奖品个，B奖品个，共76元． （1）若，则 ； （2）若同时购买两种奖品，则小明共有 种不同的选购方案． 18．我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有黄金九枚，白银十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”译文为：现有一袋黄金9枚，一袋白银11枚，这两袋的重量恰好相等．若两袋中交换1枚黄金和1枚白银，则原来装黄金的袋子比原来装白银的袋子轻13两，问黄金和白银1枚各重几两． 答∶1枚黄金重 两；1枚白银重 两． 三、解答题 19．某学校举行“疫情防控”宣传活动，故购买A、B两种奖品以鼓励积极参与的学生．经市场调查发现，若购买A种6件、B种1件，共需100元；若购买A种5件、B种2件，共需88元． (1)A、B两种奖品每件各多少元? (2)学校决定现要购买A种奖品8件、B种奖品15件，那么总费用是多少元？ 20．列方程解应用题：2021年3月28日10时，随着洛阳地铁号线首发列车缓缓始离牡丹广场站，标志着洛阳地铁号线正式开通运营，古都洛阳正式迈入“地铁时代”，成为中西部地区首个开通地铁的非省会城市．已知号线采用按里程分段计价的票制，其中全程最高票价为元，学生可享受半价．周日，七年级某班师生共人从始发站“红山”乘地铁至终点站“杨湾”，感受“地铁速度”，其中学生均购半价票，单程共付车票费用元．求他们购买全价票与半价票各多少张？ 21．六年级同学乘车去参观，如果每辆车坐45人，则15人没有座位；如果每辆车坐60人，则恰好空出一辆汽车，请问：一共有多少学生？ 22．列方程组解古算题：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．甲、乙持钱各几何？” 题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50．如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50．甲、乙两人各带了多少钱？ 23．已知一辆快车长，一辆慢车长，若两车同向而行，快车从追上慢车到离开慢车共用；若两车相向而行，快车从与慢车相遇到离开慢车共用．求两车的速度． 24．某中学组织300位学生到铜鼓岭和航天发射基地开展研学活动（每位学生仅能选择其中一个地点），到铜鼓岭的人数比到航天发射基地的人数的2倍少3，到两地研学的人数各是多少？ 25．如图所示的是一个最简单的二阶幻圆的模型．有以下要求：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等．求图中从左到右两空白圆圈内应填写的数字． 26．为奖励优秀学生，某校准备购买一批文具袋和圆规作为奖品， 已知购买 1 个文具 袋和 2 个圆规需 21 元， 购买 2 个文具袋和 3 个圆规需 39 元 . (1)求文具袋和圆规的单价 . (2)学校准备购买文具袋 20 个， 圆规若干， 文具店给出两种优惠方案： 方案一：一个文具袋还送 1 个圆规 . 方案二：购买圆规 10 个以上时， 超出 10 个的部分按原价的八折优惠，文具袋不打折 . ①设购买圆规 m(m ≥ 20)个，则选择方案一的总费用为________，选择方案二的总费用为________. ②若学校购买圆规 100 个 ，则选择哪种方案更合算？请说明理由 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 二元一次方程组的应用 （知识清单+10大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 方案问题(二元一次方程组的应用) 题型二 行程问题(二元一次方程组的应用) 题型三 数字问题(二元一次方程组的应用) 题型四 年龄问题(二元一次方程组的应用) 题型五 分配问题(二元一次方程组的应用) 题型六 销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 题型七 几何问题(二元一次方程组的应用) 题型八 图表信息题(二元一次方程组的应用) 题型九 古代问题(二元一次方程组的应用) 题型十 其他问题(二元一次方程组的应用) 知识清单 知识点1．由实际问题抽象出二元一次方程 （1）由实际问题列方程是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系． （2）一般来说，有2个未知量就必须列出2个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符． （3）找等量关系是列方程的关键和难点．常见的一些公式要牢记，如利润问题，路程问题，比例问题等中的有关公式． 知识点2．二元一次方程的应用 二元一次方程的应用 （1）找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）挖掘题目中的关系，找出等量关系，列出二元一次方程． （4）根据未知数的实际意义求其整数解． 知识点3．由实际问题抽象出二元一次方程组 （1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系． （2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符． （3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法： ①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系． 知识点4．二元一次方程组的应用 （一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解． （5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． （二）设元的方法：直接设元与间接设元． 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程． 题型练习 【题型一】方案问题(二元一次方程组的应用) 【例1】在某学校举行的课间“桌面操”比赛中，为奖励表现突出的班级，学校计划用260元钱购买A、B、C三种奖品，A种每个10元，B种每个20元，C种每个30元，在C种奖品只能购买3个或4个且钱全部用完的 情况下（注：每种方案中都有三种奖品），共有多少种购买方案（    ） A．12种 B．13种 C．14种 D．15种 【答案】C 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】有两个等量关系：购买A种奖品钱数+购买B种奖品钱数+购买C种奖品钱数=260；C种奖品个数为3或4个，设两个未知数，得出二元一次方程，根据实际含义确定解． 【详解】设购买A种奖品m个，购买B种奖品n个， 当C种奖品个数为3个时 根据题意得 整理得 都是正整数， 当C种奖品个数为4个时 根据题意得 整理得 都是正整数， 有种购买方案 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解.要注意题中未知数的取值必须符合实际意义． 【举一反三】 1．（22-23七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）小明在文化用品超市购买单价为2元的签字笔和单价为3元的笔记本，一共花了元，则购买方案有 种． 【答案】 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设购买签字笔只，笔记本本，根据题意列出二元一次方程，故可求解． 【详解】设购买签字笔只，笔记本本，根据题意可得 正整数解为或或 故购买方案有3种， 故答案为： 【点睛】本题主要考查二元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找到数量关系列方程求解． 2．（24-25七年级上·安徽淮北·期末）中国新能源汽车正处在快速发展阶段，产销量和出口量均居世界第一，某汽车销售公司针对市场情况，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解购进辆型和辆型汽车需要万元，辆型和辆型汽车需要万元． (1)求两种型号的汽车每辆的进价各是多少万元？ (2)该公司准备用正好万元购进这两种型号的汽车，请你帮助该公司设计部门，写出有哪几种购买方案． (3)若销售两种型号的汽车每辆分别可获得利润万元和万元，在（2）方案中如果全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少万元？ 【答案】(1)型汽车进价为万元，型汽车进价为万元 (2)有3中购买方案，分别是第一种方案：型汽车购买辆，型汽车购买辆；第二种方案：型汽车购买辆，型汽车购买辆；第三种方案：型汽车购买辆，型汽车购买辆 (3)第三种方案的利润最大，最大利润为万元 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，理解数量关系，正确列式是解题的关键． （1）设型汽车进价为万元，型汽车进价为万元，由此列式求解即可； （2）设型汽车购买了辆，型汽车购买了辆，由此列式，并根据题意，代入合适的值计算并比较即可求解； （3）根据各种方案的情况，分别计算出各自的利润进行比较即可． 【详解】（1）解：设型汽车进价为万元，型汽车进价为万元， ∴， 解得，； ∴型汽车进价为万元，型汽车进价为万元； （2）解：设型汽车购买了辆，型汽车购买了辆， ∴，整理得，， ∵为正整数， ∴是的倍数， 当时，，不符合题意， 当时，，不符合题意， 当时，，符合题意，则， 当时，，不符合题意， 当时，，不符合题意， 当时，，不符合题意， 当时，，符合题意，则， 当时，，不符合题意， 当时，，不符合题意， 当时，，不符合题意， 当时，，符合题意，则， 当时，，不符合题意， 当时，，不符合题意， 当时，，不符合题意， 综上所述，符合题意的有3中购买方案，分别是第一种方案：型汽车购买辆，型汽车购买辆；第二种方案：型汽车购买辆，型汽车购买辆；第三种方案：型汽车购买辆，型汽车购买辆； （3）解：由（2）可得，共有3种购买方案， 第一种方案：型汽车购买辆，型汽车购买辆， 第二种方案：型汽车购买辆，型汽车购买辆， 第三种方案：型汽车购买辆，型汽车购买辆， ∵销售两种型号的汽车每辆分别可获得利润万元和万元， ∴第一种方案的利润为：（万元）， 第二种方案的利润为：（万元）， 第三种方案的利润为：（万元）， ∵， ∴第三种方案的利润最大，最大利润为万元． 3．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）某蔬菜种植基地向内地某城市运送114吨蔬菜，计划租用甲、乙两种车型货车运输该批蔬菜，已知关于该两种车型货车运输此类蔬菜有以下运输信息： 甲型车（满载） 乙型车（满载） 运货总量 2辆 3辆 42吨 3辆 4辆 58吨 根据以上信息，解答下列问题： (1)求1辆甲型车和1辆乙型车都装满货物一次可分别运输此类蔬菜多少吨？ (2)若蔬菜种植基地管理人员打算租用甲乙两种货车一次运完且恰好每辆车都装满此类蔬菜： ①请你帮该蔬菜种植基地管理人员设计租车方案； ②若甲型车每辆需租金1000元/次，乙型车每辆需租金1200元/次．请你帮他们算算，最少租车费是多少元？ 此时租车方案是什么？ 【答案】(1)1辆甲型车和1辆乙型车一次分别可以运蔬菜6吨，10吨； (2)①有三种租车方案：甲型车租4辆，乙型车租9辆；甲型车租9辆，乙型车租6辆；甲型车租14辆，乙型车租3辆；②当租用型车4辆，型车9辆时，租车费最少为元； 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，有理数混合计算的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设1辆甲型车和1辆乙型车一次分别可以运蔬菜吨，吨，然后根据表格所给数据列出方程组求解即可； （2）①设计划同时租用甲型车辆，乙型车辆，根据题意可得，然后求出a、b的范围结合a、b是正整数即可得到答案；②根据①所求代入进行求解即可． 【详解】（1）设1辆甲型车和1辆乙型车一次分别可以运蔬菜吨，吨， 根据题意得：， 解得：， 答：1辆甲型车和1辆乙型车一次分别可以运蔬菜6吨，10吨； （2）解：①设计划同时租用甲型车辆，乙型车辆， ， 则有； 为正整数， ∴只能为3的倍数， ∴ ，9，4， 有三种租车方案：甲型车租4辆，乙型车租9辆；甲型车租9辆，乙型车租6辆；甲型车租14辆，乙型车租3辆； ②甲型车每辆需租金1000元次，型车每辆需租金1200元次， 当，，租车费用为：（元）； 当，，租车费用为：（元）； 当，，租车费用为：（元）． 当租用型车4辆，型车9辆时，租车费最少． 【题型二】行程问题(二元一次方程组的应用) 【例2】（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）甲、乙两人分别在A、B两地，以各自的速度同时出发．如果相向而行，两人后相遇；如果同向而行，两人后相遇；问甲从A地到B地需要（   ）． A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是分情况讨论． 设A、B两地之间的距离为s，甲的速度为x，乙的速度为y，根据题意列出二元一次方程组求解即可． 【详解】设A、B两地之间的距离为s，甲的速度为x，乙的速度为y 根据题意得，或 解得或 ∴甲从A地到B地需要或． 故选：C． 【举一反三】 1．从甲地到乙地有一段长x km的上坡与一段长y km的平路．如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需54min，从乙地到甲地需42min．根据题意，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】去乙地时的路程和回来时是相同的，去时的上坡路回来时是下坡路，平路不变，已知上下坡的速度和平路速度，根据去时和回来时的时间关系，可列出方程组． 【详解】解：设坡路长x km，平路长y km， 由题意得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系列方程组． 2．从甲地到乙地有一段上坡路与一段平路，如果上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从甲地到乙地需要36分钟，从乙地到甲地需要24分钟，甲地到乙地全程是多少？根据题意，老师给出的方程组为，则方程组中x表示 ． 【答案】从甲地到乙地的上坡路程 【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设从甲地到乙地的上坡路为，平路为，根据保持上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从甲地到乙地用36分钟，从乙地到甲地用24分钟即可列出方程组，据此解答即可． 【详解】 解：设从甲地到乙地的上坡路为，平路为， 依题意得， 方程组中x表示从甲地到乙地的上坡路程， 故答案为：从甲地到乙地的上坡路程． 【点睛】根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组． 3．某体育场的环行跑道长400m，甲、乙分别以一定的速度练习徒步和骑自行车．如果反向而行，那么他们每隔30s相遇一次．如果同向而行，那么每隔90s乙就追上甲一次．甲、乙的速度分别是多少？ 【答案】甲的速度是 m/s，乙的速度是m/s ． 【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】利用题中的等量关系有：①反向而行，则两人30秒共走400m；②同向而行，则80秒乙比甲多跑400m，进而得出方程组求出即可． 【详解】解：设甲的速度是xm/s，乙的速度是ym/s． 根据题意可得：①根据反向而行，得方程为30（x+y）＝400； ②根据同向而行，得方程为90（y﹣x）＝400． 那么列方程组 ， 解得： ， 答：甲的速度是m/s，乙的速度是m/s． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，本题要注意追及问题和相遇问题不同的求解方法是解题关键． 【题型三】数字问题(二元一次方程组的应用) 【例3】 一个两位数的两个数字之和为10，两个数字之差为6，求这个两位数，此题的解有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 【答案】C 【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设这个两位数为，依题意，则或，解方程组即可求解． 【详解】解：设这个两位数为，依题意，则或， 解得：或， 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键． 【举一反三】 1．甲乙两个两位数，若把甲数放在乙数的左边，组成的四位数是乙数的151倍；若把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小1089．求这两个两位数？如果设甲数为x，乙数为y．则得方程组( ) A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设甲数为x，乙数为y．根据题意，列出二元一次方程组即可求解． 【详解】解：设甲数为x，乙数为y．根据题意，得方程组 ， 故选A． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意是解题的关键． 2．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，一行的三个数，列的三个数，斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则的值为 ． 【答案】0 【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据每一行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都相等，列出二元一次方程组，解方程组，即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， ， 故答案为：0． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和3倍大7；如果交换十位上的数与个位上的数，所得新两位数比原两位数2倍小1，求这个两位数． 【答案】 【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查二元一次方程组解实际应用，熟练掌握二元一次方程组是解题的关键．根据题意列出方程组进行解题即可． 【详解】解：设原两位数十位上的数是，个位上的数是， 则 解得． 答：所求的两位数是． 【题型四】年龄问题(二元一次方程组的应用) 【例4】 学生问老师：“您今年多大了”老师风趣地说：“我像你这么大的时候，你才出生，你到我这么大时，我已经36岁了，”那么老师和学生的年龄分别是（    ） A．24、12 B．24、11 C．25、11 D．26、10 【答案】A 【知识点】年龄问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设老师现在的年龄是岁，学生现在的年龄是岁，抓住年龄差不变，根据此等量关系可列方程组求解． 【详解】解：设老师现在的年龄是岁，学生现在的年龄是岁， 由题意可得：， 解得：． 故老师现在的年龄是24岁，学生现在的年龄是12岁． 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是知道年龄差是不变的量从而可列方程求解． 【举一反三】 1．（2024七年级·全国·竞赛）小强问他的数学老师今年多少岁了，数学老师说：“我像你这么大时，你才1岁．你到我这么大时，我就40岁了．”那么数学老师今年的岁数是 岁． 【答案】27 【知识点】年龄问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用．设数学老师今年岁，小强今年岁，根据题意，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设数学老师今年岁，小强今年岁，由题意，得： ，解得：， ∴数学老师今年岁； 故答案为：27． 2． 甲对乙说：“我像你这样大岁数的那年，你的岁数等于我今年的岁数的一半；当你到我这样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7岁．”则今年甲的年龄为 岁， 乙的年龄为 岁． 【答案】 28 21 【知识点】年龄问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设今年甲的年龄为x岁，乙的年龄为y岁，则甲比乙大岁，然后根据题意列出方程组求解即可． 【详解】解：设今年甲的年龄为x岁，乙的年龄为y岁，则甲比乙大岁， 由题意得：， 解得：， 即今年甲的年龄为28岁，乙的年龄为21岁， 故答案为：28，21． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找出合适的等量关系列出方程组是解题的关键． 3．已知甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，求甲、乙现在的年龄的差． 【答案】5岁． 【知识点】年龄问题(二元一次方程组的应用) 【分析】假设甲、乙现在的年龄分别是x岁和y岁，利用年龄差不变可以列出等式构造二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：假设甲现在的年龄是x岁，乙现在的年龄是y岁，由题意可得： 即由此可得：， ∴，即甲比乙大5岁． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用中的年龄问题，理解年龄差不会随年龄的变化而变化是解本题的关键． 【题型五】分配问题(二元一次方程组的应用) 【例5】 某工厂有名工人，每个工人每天能加工6个型零件或者3个型零件，其中某产品每套由4个型零件和3个型零件配套组成，现将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套，现50天恰好完成1200套产品的生产任务，则的值为（    ） A．30 B．40 C．50 D．60 【答案】B 【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组．设安排x名工人加工型零件，则安排名工人加工B型零件，根据每天加工的零件正好配套，50天恰好完成1200套，列出出关于二元一次方程组，解之可得出m的值即可求出结论． 【详解】解：设安排x名工人加工A型零件，则安排名工人加工B型零件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 则工厂有40名工人， 故选：B． 【举一反三】 1．我国民间流传着许多趣味算题，它们多以顺口溜的形式流传．例如：一群老头去赶集，半路买了一堆梨，一人一个多一梨，一人两个少两梨，请问君子知道否，几个老头几个梨？若设有x个老头，y个梨，则可列方程组（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组在古代问题中的应用，明确题意，正确列出二元一次方程组是解答本题的关键． 根据题意列出二元一次方程组，即可作答． 【详解】解：根据题意有：， 故选：C． 2．某学校课后兴趣小组在开展手工制作活动中，美术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面．已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为 ． 【答案】12 【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，读懂题意、找出合适的等量关系、列出方程组是解答本题的关键． 设用x张卡纸做侧面，用y张卡纸做底面，则做出侧面的数量为个，底面的数量为个，然后根据底面数量是侧面数量的2倍列出方程组求解即可． 【详解】解：设用x张卡纸做侧面，用y张卡纸做底面，则做出侧面的数量为个，底面的数量为个， 由题意得：，解得： ， ∴用6张卡纸做侧面，用8张卡纸做底面，则做出侧面的数量为12个，底面的数量为24个，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为12个． 故答案为12． 3．如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸板，且长方形的宽与正方形的边长相等．现有150张正方形硬纸片和300张长方形硬纸片，可制作甲、乙两种纸盒各多少个？ 【答案】可以做成甲乙两种小盒各30个，60个． 【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设可以做成甲乙两种小盒各x个，y个，根据将300张长方形硬纸片和150张正方形硬纸片全部用于制作这两种小盒列出方程组求解即可． 【详解】解：设可以做成甲乙两种小盒各x个，y个， 由题意得，， 解得， 答：可以做成甲乙两种小盒各30个，60个． 【题型六】销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【例6】小明恰用元买笔记本和中性笔，一个笔记本2元，一个中性笔3元（两种都要至少买一件），那么他有几种购买的方案（　　） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 【答案】B 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．熟练掌握二元一次方程组是解题的关键． 设买笔记本个，中性笔个，且，，为正整数，依题意得，，即，然后求解作答即可． 【详解】解：设买笔记本个，中性笔个，且，，为正整数， 依题意得，， 解得，， ∴当时，； 当时，； 当时，； 综上所述，共有3种购买的方案， 故选：B． 【举一反三】 1．（2024·安徽·一模）某学校为了打造“书香校园”，丰富师生的业余文化生活，计划采购，两种图书，已知采购2本种图书和3本种图书共需110元，采购1本种图书和5本种图书共需160元，则，两种图书的单价分别为（    ） A．10元、30元 B．30元、10元 C．25元、20元 D．60元、20元 【答案】A 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设，两种图书的单价分别为元，元，根据题意列出方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：设，两种图书的单价分别为元，元，根据题意得， 解得： 即，两种图书的单价分别为10元、30元， 故选：A． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）大刚和小亮到同一家超市购买水果，大刚买苹果和梨，共花了26元；小亮买苹果和梨，共花了11元．设苹果的售价为，梨的售价，则可列二元一次方程组为 ． 【答案】 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，读懂情意，找出数量关系是解答关键． 设苹果的售价为，梨的售价，根据 【详解】解：设苹果的售价为，梨的售价，根据大刚买苹果和梨，共花了26元；小亮买苹果和梨，共花了11元列出方程求解． 则． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）2024年10月30日，神舟十九号载人飞船发射取得圆满成功．某航天模型销售店看准商机，准备推出“神舟”和“天宫”两种模型．已知1个“神舟”模型和3个“天宫”模型的进价共150元；3个“神舟”模型和2个“天宫”模型的进价共240元．求每个“神舟”和“天宫”模型的进价各为多少元？ 【答案】每个“神舟”模型的进价为60元，每个“天宫”模型的进价为30元 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用、准确找出等量关系，列出二元一次方程是解题的关键； 设每个“神舟”模型的进货价格为x元，每个“天宫”模型的进货价格为y元，根据1个“神舟”模型和3个“天宫”模型的进价共150元；3个“神舟”模型和2个“天宫”模型的进价共240元，列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设每个“神舟”模型的进价为x元，每个“天宫”模型的进价为y元， 由题意得 解得． 答：每个“神舟”模型的进价为60元，每个“天宫”模型的进价为30元． 【题型七】几何问题(二元一次方程组的应用) 【例7】（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）如图是7块形状大小相同的长方形墙砖组成的电视墙．若该电视墙的长度为，则该电视墙的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设一块小长方形的长为，宽为，根据题意，得，解方程组后解答即可． 本题考查了方程组的应用，熟练掌握解方程组是解题的关键． 【详解】解：设一块小长方形的长为，宽为， 根据题意，得， 解方程组，得． 故该电视墙的周长为． 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）在长方形中放入大小完全相同的个小长方形，相关数据如图所示，则所有阴影部分的面积和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，设小长方形的长、宽分别为，，依题意得，然后求解即可，解题关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解． 【详解】解：设小长方形的长、宽分别为，， 依题意得，解得， ∴小长方形的长、宽分别为，， ∴所有阴影部分的面积和为， 故选：． 2．（24-25七年级上·全国·期末）如图，长方形含有3个正方形，①号和②号一样大，若长方形的长为，宽为，则③号正方形的边长为 ． 【答案】/2厘米 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，表示出大长方形长和宽是解题的关键．设正方形①号的边长为，正方形③号的边长为，再根据长方形的长为，宽为，得到方程组解出a、b，即可求出结论． 【详解】解：设正方形①号的边长为，正方形③号的边长为，则正方形②的边长为， 长方形的长为，宽为， ， 解得：， 则③号正方形的边长为， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）某学校开发一块试验田作为劳动教育实践基地，通过初步设计，由大小形状完全相同的8块小长方形试验田组成，如图所示，经测量，该实践基地的宽为80米． (1)求小长方形的长和宽； (2)求该实践基地的面积． 【答案】(1)小长方形的长和宽分别为60米，20米 (2)该实践基地的面积为 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设小长方形的长为，宽为，根据图形的摆放建立方程组，再解方程组求出、的值，从而可得大长方形的长与宽，然后根据长方形的面积公式即可得．关键是根据题意找到等量关系式． 【详解】（1）解：设小长方形的长为米，宽为米， 由题意得：， 解得． 答：小长方形的长和宽分别为60米，20米； （2）解：大长方形的长为米，宽为80米， 所以大长方形的面积． 答：该实践基地的面积为． 【题型八】图表信息题(二元一次方程组的应用) 【例8】（24-25七年级上·全国·期末）在的方格中填数，要求每行每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，若填在图中的数字如图，则，的值是（      ） 3 2 A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【知识点】图表信息题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是仔细审题，根据题意列出方程组，难度一般．根据每行每列及对角线上三个方格中的数字和都相等，可得出方程组，解出即可． 【详解】解：由题意可知， 解得 故选：B． 【举一反三】 1．《乌鸦喝水》的故事我们都听过，聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，喝到了水．根据如图信息，若放入一个钢珠可以使液面上升厘米，当在玻璃桶内同时放入相同数量的小球和钢珠时，水面上升到厘米，则的整数值有（    ）个． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】图表信息题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程的知识，解题的关键是根据题意，得一个小球上升，设同时放入个小球和钢珠，水位上升到厘米，则，即可． 【详解】由题意得，一个小球上升， ∴设同时放入个小球和钢珠，水位上升到厘米， ∴， 整理得：， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴整数值可以取：，，，． 故选：C． 2．把1—9这九个数填入方格中，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，这便构成了一个“三阶幻方”．它源于我国古代的“洛书”．如图是仅可以看到部分数值的“三阶幻方”，则的值为 ． 【答案】 【知识点】图表信息题(二元一次方程组的应用) 【分析】由题意列出方程求解即可得. 【详解】解：由题意，得， 解得， ∴x-y=1-9=-8， 故答案为：-8. 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意找出等量关系式是解决问题的关键. 3．（23-24七年级上·安徽安庆·阶段练习）为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了“阶梯价格”制度，即每月用电量在一档的部分按元/度收费，超出一档的部分按b元/度收费，超出二档的部分按元/度收费，具体收费标准如下表所示： 阶梯 电量（单位：度） 电费价格 一档 元度 二档 元度 三档 元度 (1)已知小明家5月份用电度，缴纳电费元，6月份用电度，缴纳电费元，请你根据以上数据，求出表格中的a，b的值． (2)7月份开始用电增多，小明家缴纳电费元，求小明家7月份的用电量． 【答案】(1)a的值为，b的值为 (2)度 【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用)、图表信息题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）根据“小明家5月份用电度，缴纳电费元，6月份用电度，缴纳电费元”，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设小明家7月份用电量为x度，根据7月份小明家缴纳电费元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：依题意得：， 解得：． 答：a的值为，b的值为． （2）解：若一个月用电量为度，电费为（元）， ∵， ∴小明家7月份用电量超过度． 设小明家7月份用电量为x度， 依题意得：， 解得：． 答：小明家7月份的用电量为度． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 【题型九】古代问题(二元一次方程组的应用) 【例9】（24-25七年级上·安徽亳州·期末）我国古代数学著作《增删算法统宗》中有一首诗，其大意是：今有绢与布40定，卖得680贯钱，若……，……欲问绢布有多少，分开把价算，若人算得无差错，你的名字城镇到处扬．若设有绢定，布定，可列出符合题意的方程组，根据已有信息，题中用“……，……”表示的缺失条件应为（   ） A．4定绢价50贯，3定布价90贯 B．4定绢价90贯，3定布价50贯 C．4定布价90贯，3定绢价50贯 D．4定布价50贯，3定绢价90贯 【答案】B 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，古代数学问题，根据题意列出方程组是解题的关键． 设有绢定，布定，根据方程组中求解即可． 【详解】设有绢定，布定，可列出符合题意的方程组 ∵ ∴题中用“……，……”表示的缺失条件应为4定绢价90贯，3定布价50贯． 故选：B． 【举一反三】 1．（22-23七年级上·安徽滁州·期中）增删算法统宗记载：“今有直田用较除，一百二十步无余．长阔相和该一百，问公三事几何如？”译文：有一块长方形田地，它的面积除以长与宽之差刚好步，长与宽之和等于步．试问这块田地的长、宽及长宽之差分别是多少？设这块田地的长为步，宽为步，则下面所列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】由“长方形田地的面积除以长与宽之差刚好步，长与宽之和等于步”即可得出方程组，此题得解． 【详解】设这块田地的长为步，宽为步， 依题意得：． 故选：． 【点睛】此题考查了由实际问题抽象出方程组，找准等量关系，正确列出方程组是解题的关键． 2．在中国古代数学专著《九章算术》中，二元一次方程组是通过算筹摆放的，如图中各行从左到右列出的三组算筹分别表示未知数x、y的系数和相应的常数项．如图1表示的方程组为，则图2表示的方程组为 ． 【答案】 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】观察图1可知：根据相应的常数项的算筹左边的一横代表10，右边上边的一横代表5，一竖代表1，结合图2即可得出图2所表示的方程组． 【详解】解：依题意，得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 3．《九章算术》是中国古代数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中方程术是其最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有牛三、羊一，直金七两；牛二、羊三，直金八两．问：牛、羊各直金几何？”译文：“假设有3头牛、1只羊，值金7两；2头牛、3只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？” 【答案】每头牛值金两，每只羊值金两 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设每头牛值金两，每只羊值金两，根据等量关系式：3头牛价钱+1只羊价钱=7两，2头牛价钱+3只羊价钱=8两，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设每头牛值金两，每只羊值金两， 可列方程组， 解得：，， 答：每头牛值金两，每只羊值金两． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意找出题目中的等量关系式，是解题的关键． 【题型十】其他问题(二元一次方程组的应用) 【例10】（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）李老师逛超市时看中一套碗，她将碗叠成一列（如图），测量后发现：用2个碗叠放时总高度为，用4个碗叠放时总高度为．若将8个碗叠成一列能放入消毒柜，则这个消毒柜的内置高度至少有（） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设一个碗的高度为，增加一个碗高度增加，根据用2只碗叠放时总高度为，用4只碗叠放时总高度为．列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题． 【详解】解：设一个碗的高度为，增加一个碗高度增加， 由题意得： 解得： 个碗叠成一列高度为， 即将8个碗叠成一列正好能放入消毒柜，则这个消毒柜的高度至少有， 故选：C． 【举一反三】 1．如图，两只猫在同一桌子附近玩，根据图中的数据，桌子的高度是（ ）．    A．100 B．110 C．120 D．125 【答案】D 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设出桌子的高度、猫躺着的高度、猫坐着的高度，根据图示列方程组，即可求解． 【详解】解：设桌子的高度为，猫躺着的高度为x，猫坐着的高度为y， 由题意知， 两式相加，得：， 解得， 即桌子的高度是， 故选D． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是设出未知数，正确列出方程组． 2．（24-25七年级上·全国·期末）张老师用88元钱购买了甲、乙两种奖品，甲种奖品每件12元，乙种奖品每件8元，其中甲种奖品比乙种奖品少一件，则甲种奖品购买了 件，乙种奖品购买了 件． 【答案】 4 5 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据张老师购买了甲种奖品x件，则购买了乙种奖品件，再利用总价＝单价×数量，列出关于x的一元一次方程，求解即可，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键 【详解】设张老师购买了甲种奖品x件，则购买了乙种奖品件． 根据题意，得， 解得， ∴， ∴甲种奖品购买了4件，乙种奖品购买了5件， 故答案为：4，5． 3．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）南方某市出租车计费标准如下框，赵亮上周坐了两次出租车，一次里程千米 ，车费元，另一次里程千米，车费87.5元． (1)画示意图可以帮助我们理清数量间的关系，请把下面的示意图补充完整； (2)列方程组求解，． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）根据题意即可得到答案； （2）根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解：如图， （2）解：根据题意列方程组得，， 解得：． 好题必刷 一、单选题 1．一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，求这个两位数．设个位数字为，十位数字为，所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设个位数字为，十位数字为，根据“一个两位数的十位数字与个位数字的和是8”和“把这个两位数加上18，结果恰好成为数字对调后组成的两位数”列出方程组即可． 【详解】解：设个位数字为，十位数字为， 由题意得，， 故选：B 【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，找到两个等量关系是解题的关键． 2．A、B两地相距420千米，一辆小汽车和一辆客车同时从A、B两地相向开出，经过2小时相遇．相遇时，小汽车比客车多行驶70千米，设小汽车和客车的平均速度分别为千米/时和千米/时，则下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意列出方程组即可． 【详解】解：设小汽车和客车的平均速度分别为千米/时和千米/时， 根据题意得：， 故选：D． 【点睛】题目主要考查二元一次方程组的应用，理解题意是解题关键． 3．七年级一班的同学去电影院看电影，接受正能量教育．已知该电影甲种票每张35元，乙种票每张25元，七年级一班的42名同学购买电影票共用去1350元；求甲、乙两种票各买了多少张？设甲种票买了x张，乙种票买了y张，则下列方程组中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据实际问题，列方程组，根据甲种票每张35元，乙种票每张25元，七年级一班的42名同学购买电影票共用去1350元，列出方程组即可． 【详解】解：设甲种票买了x张，乙种票买了y张，由题意，得：； 故选B． 4．《算法统宗》中记载了这样一个问题，其大意是：个和尚分个馒头，大和尚人分个馒头，小和尚人分个馒头．问大、小和尚各有多少人？设大和尚有人，小和尚有人，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意，建立等量关系是解题关键． 根据题意列方程组即可． 【详解】解：根据题意列方程组得，， 故选： A． 5．《孙子算经》中有一道题，原文是：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？小伟同学准备用二元一次方程组解决这个问题，他已列出一个方程是，则符合题意的另一个方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，列出方程组即可得出结果． 【详解】解：设木长为x，绳子长 y， 根据题意，得：， 故选：A． 6．爸爸、妈妈、我、妹妹，四人今年的年龄之和是101岁，爸爸比妈妈大1岁，我比妹妹大6岁，十年前，我们一家的年龄之和是63岁，今年爸爸的年龄是（    ） A．38岁 B．39岁 C．40岁 D．41岁 【答案】C 【分析】由题意得：妹妹今年的年龄为8岁，我今年的年龄为14岁，设妈妈今年的年龄为x岁，爸爸今年的年龄为y岁，再由题意：一家四口人的年龄加在一起是101岁，爸爸比妈妈大1岁，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：现在一家四口人的年龄之和应该比十年前全家人年龄之和多40岁， 但实际上（岁），说明十年前妹妹没出生， 则妹妹今年的年龄为（岁），我的年龄为（岁）， 设妈妈今年的年龄为x岁，爸爸今年的年龄为y岁， 由题意得：， 解得：， 即爸爸今年的年龄为40岁， 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 7．我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数、琎价各几何？”意思是：一起去买琎（一种像玉的石头），每个人出两，则多4两；每个人出两，则不足3两．问人数、琎的价格分别是多少？如果设人数x人，琎的价格为y两，那么可列成的方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等量关系人出半，盈四；人出少半，不足三列方程组即可． 【详解】解：由题意知，可列方程为： 故选B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用．解题的关键在于理解题意． 8．《九章算术》中记载这样一个问题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．问绳长、井深各几何？”题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问绳长和井深各多少尺？若设绳长、井深分别为x、y尺，则符合题意的方程组是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设绳长为x尺，根据水井的深度不变，得出关于x的一元一次方程即可解答． 【详解】解：若设绳长、井深分别为x、y尺， 则符合题意的方程组是， 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题关键． 9．作业本中有这样一道题：“小明去郊游，上午8时30分从家中出发，先走平路，然后登山，中午12时到达山顶，原地休息后沿原路返回，正好下午3时到家．若他平路每小时走，登山每小时走，下山每小时走，求小明家到山顶的路程．”小李查看解答时发现答案中的方程组中有污损：则答案中另一个方程应为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】略 10．小明去文具店购买了笔和本子共5件，已知两种文具的单价均为正整数且本子的单价比笔的单价贵．在付账时，小明问是不是27元，但收银员却说一共48元，小明仔细看了看后发现自己将两种商品的单价记反了．小明实际的购买情况是（    ） A．1支笔，4本本子 B．2支笔，3本本子 C．3支笔，2本本子 D．4支笔，1本本子 【答案】A 【分析】设购买了笔x件，购买了本子(5-x)件，本子的单价为a元，笔的单价为b元，分类讨论解方程即可． 【详解】解：设购买了笔x件，购买了本子(5-x)件，本子的单价为a元，笔的单价为b元，列方程组得 ， 当x=1时，原方程组为，解得，符合题意； 当x=2时，原方程组为，解得，不符合题意，舍去； 当x=3时，原方程组为，解得，不符合题意，舍去； 当x=4时，原方程组为，解得，不符合题意，舍去； 故选：A． 【点睛】本题考查了含参数的二元一次方程组的应用，解题关键是理解题意，找出等量关系，列出方程组，分类讨论解方程组． 二、填空题 11．要用20张白卡纸做长方体包装盒，准备把这些白卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面，已知每张白卡纸可以做侧面2个或做底面3个，如果4个侧面可以和2个底面做成一个包装盒．设有x张白卡纸做侧面，y张白卡纸做底面，依题意可列方程组 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列二元一次方程组，理解题意，弄清题中的数量关系并正确列出方程组是解题的关键． 依据题意列出方程组即可． 【详解】解：依据题意可列方程组如下： ， 故答案为：． 12．利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度．首先按图①的方式放置，再按图②的方式放置．则根据其平面示意图测量的数据，可得桌子的高度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据题意正确列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：设桌子的高度为，长方体的长比宽多， 根据题意得：， 解得： 故答案为： ． 13．一名学生问老师：“你今年多大了？”老师风趣地说“我像你这样大的时候，你才2岁；你到我这么大时，我已经38岁了”，则今年老师的岁数是 ． 【答案】26 【分析】设今年老师的岁数是x岁，学生的岁数是y岁，根据学生今年年龄减年龄差等于2，老师今年年龄加年龄差等于38，列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设今年老师的岁数是x岁，学生的岁数是y岁， 依题意得：， 解得：． 故答案为：26． 【点睛】本题考查二元一次方程组，设出恰当的未知数，准确抓住数量关系列出方程组是解题的关键． 14．有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货22吨，5辆大货车与2辆小货车一次可以运货25吨，则4辆大货车与3辆小货车一次可以运货 吨． 【答案】23.5 【分析】设每辆大货车一次可以运货x吨，每辆小货车一次可以运货y吨，根据“3辆大货车与4辆小货车一次可以运货22吨，5辆大货车与2辆小货车一次可以运货25吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，再整体求得（4x+3y）即可得出结论． 【详解】解：设每辆大货车一次可以运货x吨，每辆小货车一次可以运货y吨， 依题意，得：， 两式相加得8x+6y=47， ∴4x+3y=23.5(吨) ， 故答案为：23.5． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 15．小明家准备装修一套新房，若甲、乙两家装修公司合作需6周完成，装修费用为5.2万元；若甲公司单独做4周，剩下的由乙公司做，还需9周完成，此时装修费用为4.8万元．若小明只选甲公司单独完成，则他需要付给甲公司装修费用 万元． 【答案】6 【分析】设甲公司的工作效率为x，乙公司的工作效率为y，根据题意列出方程组可求得两个公司的工作效率；再设甲一周的装修费是m万元，乙一周的装修费是n万元，根据题意列出方程组即可求解． 【详解】解：设甲公司的工作效率为x，乙公司的工作效率为y． 依题意列方程组，得， 解这个方程组，得， 所以，甲公司单独做需10周，乙公司单独做需15周； 设甲一周的装修费是m万元，乙一周的装修费是n万元． 依题意列方程组，得， 解这个方程组，得， 甲单独做的装修费：×10=6（万元）， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解决本题的关键是根据题意找到等量关系． 16．某人沿电车路线骑车，每隔12分钟有一辆车从后面超过，每4分钟有车迎面驶来，若人、车的速度不变，则每隔 分钟有车从车站开出． 【答案】 【分析】根据题意可知，汽车12分钟行驶的路程与某人12分钟骑车的路程之差正好是两辆汽车之间的距离，汽车4分钟行驶的路程与某人4分钟骑车的路程之和也正好是两辆汽车之间的距离，从而可以列出方程，然后即可求得每隔几分钟有车从车站开出． 【详解】解：设人的速度为x，车的速度为y， 由题意可得，12y﹣12x＝4x+4y， 解得x＝0.5y， 即两辆车之间的距离为4x+4y＝4×0.5y+4y＝2y+4y＝6y， 故每隔6y÷y＝6分钟有车从车站开出， 故答案为：6． 【点睛】本题考查二元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，求出每相邻两辆车之间的间隔时间． 17．小明为全班六一儿童节的活动准备奖品，A奖品每个2元，B奖品每个7元，购买A奖品个，B奖品个，共76元． （1）若，则 ； （2）若同时购买两种奖品，则小明共有 种不同的选购方案． 【答案】 8 5 【分析】（1）根据题意可得A奖品的总价格为，B奖品的总价格为，故可得，把代入方程，即可解答； （2）将变形为，根据实际意义可得为正整数，即可解答． 【详解】解：（1）根据题意可列方程， 当时，可得方程，解得， 故答案为：8； （2）将变形为， 为正整数， 观察式子，可得只能取偶数，且， 可解得，，，，， 故有5种不同的选购方案， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了二元一次方程的实际应用，根据为正整数来思考是解题的关键． 18．我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有黄金九枚，白银十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”译文为：现有一袋黄金9枚，一袋白银11枚，这两袋的重量恰好相等．若两袋中交换1枚黄金和1枚白银，则原来装黄金的袋子比原来装白银的袋子轻13两，问黄金和白银1枚各重几两． 答∶1枚黄金重 两；1枚白银重 两． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，理解题意，弄清熟练关系是解题关键．设1枚黄金重两，1枚白银重两，根据题意列出二元一次方程组并求解，即可获得答案． 【详解】解：设1枚黄金重两，1枚白银重两， 根据题意，可得， 解得， 即1枚黄金重两，1枚白银重两． 故答案为：；． 三、解答题 19．某学校举行“疫情防控”宣传活动，故购买A、B两种奖品以鼓励积极参与的学生．经市场调查发现，若购买A种6件、B种1件，共需100元；若购买A种5件、B种2件，共需88元． (1)A、B两种奖品每件各多少元? (2)学校决定现要购买A种奖品8件、B种奖品15件，那么总费用是多少元？ 【答案】(1)A种奖品16元/件，B种奖品4元/件 (2)188元 【分析】（1）由题意可知两条等量关系分别为：6×A奖品价格+1×B奖品价格=100，5×A奖品价格+2×B奖品价格=88，根据等量关系列出二元一次方程组求解即可； （2）根据：总价=单价×数量，分别求出A，B两种奖品的总价，相加即可． 【详解】（1）解：设A种奖品x元/件，B种奖品y元/件， 由题意可列方程： ， 由①得：， 将③代入②中得：， 解得：， 答：A种奖品16元/件，B种奖品4元/件． （2）由题意得：（元）， 答：总费用为188元． 【点睛】本题考查用二元一次方程组解决实际问题，能够根据题意列出等量关系是解题的关键． 20．列方程解应用题：2021年3月28日10时，随着洛阳地铁号线首发列车缓缓始离牡丹广场站，标志着洛阳地铁号线正式开通运营，古都洛阳正式迈入“地铁时代”，成为中西部地区首个开通地铁的非省会城市．已知号线采用按里程分段计价的票制，其中全程最高票价为元，学生可享受半价．周日，七年级某班师生共人从始发站“红山”乘地铁至终点站“杨湾”，感受“地铁速度”，其中学生均购半价票，单程共付车票费用元．求他们购买全价票与半价票各多少张？ 【答案】购买全价票张，半价票张． 【分析】可设购买全价票张，半价票张，根据题意列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：购买全价票张，半价票张，根据题意得： 解得： 答：购买全价票张，半价票张． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，设出变量，根据题意列出二元一次方程组是解题的关键． 21．六年级同学乘车去参观，如果每辆车坐45人，则15人没有座位；如果每辆车坐60人，则恰好空出一辆汽车，请问：一共有多少学生？ 【答案】一共有240名学生． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设一共有x名学生，y辆车，根据“如果每辆车坐45人，则15人没有座位；如果每辆车坐60人，则恰好空出一辆汽车”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设一共有x名学生，y辆车， 依题意，得：， 解得：． 答：一共有240名学生． 22．列方程组解古算题：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．甲、乙持钱各几何？” 题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50．如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50．甲、乙两人各带了多少钱？ 【答案】甲带钱，乙带钱25． 【分析】设甲带钱x，乙带钱y，利用等量关系“甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50．如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50．”列方程组求解即可． 【详解】解：设甲带钱x，乙带钱y，根据题意， 得， ①×2得：③， ③-②得：， 把代入③得， ∴． 【点睛】本题考查列二元一次方程组解应用题，掌握列二元一次方程组解应用题步骤与解法，抓住等量关系是解题关键． 23．已知一辆快车长，一辆慢车长，若两车同向而行，快车从追上慢车到离开慢车共用；若两车相向而行，快车从与慢车相遇到离开慢车共用．求两车的速度． 【答案】快车速度为，慢车速度为 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设快车的速度为，慢车的速度为，根据同向行驶快车比慢车多行驶的距离是快车车长，相向行驶时，从相遇到离开，两车所走距离之和为两车车身之和，从而列出方程组求解即可． 【详解】解：设快车的速度为，慢车的速度为， 由题意得，， 解得：． 答：快车的速度为，慢车的速度为． 24．某中学组织300位学生到铜鼓岭和航天发射基地开展研学活动（每位学生仅能选择其中一个地点），到铜鼓岭的人数比到航天发射基地的人数的2倍少3，到两地研学的人数各是多少？ 【答案】到铜鼓岭研学的人数为199人，到航天发射基地研学的人数为101人 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，设到铜鼓岭研学的人数为x人，到航天发射基地研学的人数为y人，总人数为300位，到铜鼓岭的人数比到航天发射基地的人数的2倍少3，据此列方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：设到铜鼓岭研学的人数为x人，到航天发射基地研学的人数为y人， 由题意，得， 解得， 答：到铜鼓岭研学的人数为199人，到航天发射基地研学的人数为101人． 25．如图所示的是一个最简单的二阶幻圆的模型．有以下要求：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等．求图中从左到右两空白圆圈内应填写的数字． 【答案】填写的数字分别为2，9 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设图中从左到右两空白圆圈内应填写的数字分别为x，y，根据：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设题图中从左到右两空白圆圈内应填写的数字分别为x，y． 根据题意，得：， 整理，得， 解得：， 故题图中从左到右两空白圆圈内应填写的数字分别为2，9． 26．为奖励优秀学生，某校准备购买一批文具袋和圆规作为奖品， 已知购买 1 个文具 袋和 2 个圆规需 21 元， 购买 2 个文具袋和 3 个圆规需 39 元 . (1)求文具袋和圆规的单价 . (2)学校准备购买文具袋 20 个， 圆规若干， 文具店给出两种优惠方案： 方案一：一个文具袋还送 1 个圆规 . 方案二：购买圆规 10 个以上时， 超出 10 个的部分按原价的八折优惠，文具袋不打折 . ①设购买圆规 m(m ≥ 20)个，则选择方案一的总费用为________，选择方案二的总费用为________. ②若学校购买圆规 100 个 ，则选择哪种方案更合算？请说明理由 . 【答案】(1)文具袋的单价为15元，圆规的单价为3元； (2)①（3m+240）元；（2.4m+306）元；②选择方案一更合算，理由见解析． 【分析】（1）设文具袋的单价为x元，圆规的单价为y元，根据“购买1个文具袋和2个圆规需21元，购买2个文具袋和3个圆规需39元”，即可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）①根据总价=单价×数量结合两种优惠方案，可得出当购买m个圆规时，选择方案一及选择方案二所需费用； ②代入m=100，分别求出选择两个方案所需总费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）设文具袋的单价为x元，圆规的单价为y元， 依题意，得：， 解得：． 答：文具袋的单价为15元，圆规的单价为3元． （2）①设购买圆规m个，选择方案一的总费用为：20×15+3（m-20）=3m+240（元）； 选择方案二的总费用为：20×15+10×3+3×80%（m-10）=2.4m+306（元） 故答案为：（3m+240）元；（2.4m+306）元． ②当m=100时，3m+240=540，2.4m+306=546， ∵540＜546， ∴选择方案一更合算． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、列代数式以及代数式求值，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）①根据各数量之间的关系，用含m的代数式表示出选择方案一及方案二所需总费用；②代入m=100，分别求出选择两个方案所需总费用. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$