专题03 方程与不等式（三大考点，50题）（福建专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题03 方程与不等式（三大考点，50题） 考点01：一元一次方程 1．（2024·福建·中考真题）今年我国国民经济开局良好，市场销售稳定增长，社会消费增长较快，第一季度社会消费品零售总额120327亿元，比去年第一季度增长，求去年第一季度社会消费品零售总额．若将去年第一季度社会消费品零售总额设为亿元，则符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列一元一次方程，解题的关键是理解题意，找出等量关系，根据今年第一季度社会消费品零售总额120327亿元，比去年第一季度增长，列出方程即可． 【详解】解：将去年第一季度社会消费品零售总额设为亿元，根据题意得： ， 故选：A． 2．（2022·福建·中考真题）推理是数学的基本思维方式，若推理过程不严谨，则推理结果可能产生错误． 例如，有人声称可以证明“任意一个有理数都等于0”，并证明如下： 设任意一个有理数为，令， 等式两边都乘以，得① 等式两边都减，得② 等式两边分别分解因式，得③ 等式两边都除以，得④ 等式两边都减，得⑤ 所以任意一个有理数都等于0． 以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是 ． 【答案】④ 【分析】本题考查因式分解的应用，等式的性质，根据等式的性质，等式两边同时除以一个不为0的数，等式仍然成立，得到第④步出现错误． 【详解】解：∵， ∴， ∴的两边不能除以； 故出现错误的是第④步； 故答案为：④ 3．（2025·福建泉州·模拟预测）某工厂投入20万元购进了一批设备投入生产，该厂又接到新的订单，要扩大生产规模，需再次采购一批相同的设备，已知采购数量与第一次相同，但采购单价比第一次降低0.5万元，总费用降低了．设每次采购数量为x件，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据设每次采购数量为x件，采购单价比第一次降低0.5万元，以及总费用降低了等条件信息，进行列式，即可作答． 【详解】解：∵工厂投入20万元购进了一批设备投入生产，采购单价比第一次降低0.5万元，总费用降低了．设每次采购数量为x件， ∴， 故选：B． 4．（2025·福建南平·二模）农场将刚采摘的荔枝装箱，若每箱装22千克，余10千克荔枝；若每箱装25千克，余2个空箱，问共有多少个果箱？设共有个果箱，则符合条件的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了利用一元一次方程解决实际问题，解题的关键是找准等量关系． 根据题意，根据两种装箱方式荔枝的质量是相等的可列出方程． 【详解】解：设共有个果箱，根据题意得， 故选：C． 5．（2025·福建泉州·二模）在阅读课上，老师把一批文学名著分给某班学生阅读，若每人分3本，则剩余22本；若每人分4本，则还缺少26本．求该班学生多少人？设该班有学生x人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元一次方程．设这个班有学生人，根据“每人分3本，则剩余22本；若每人分4本，则还缺少26本”，由此列出方程即可． 【详解】解：设这个班有学生人， 由题意得，， 故选：B． 6．（2025·福建·一模）某商店销售进价为元和元的，两种商品，其中商品的利润率为，商品的利润率为．当售出的商品的数量比商品的数量少时，该商店获得的总利润率为．则与的数量关系是（   ）（利润率利润成本） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系．设商品的数量为，则商品的数量为，推出商品的单件利润为，商品的单件利润为，根据题意列方程即可求解． 【详解】解：设商品的数量为，则商品的数量为， 商品的单件利润为， B商品的单件利润为， 总利润：， 总成本：， 根据题意得：， 整理得：，   故选：A． 7．（2025·福建·模拟预测）最近，重庆八中号召所有老师锻炼身体，初三年级的王老师和周老师就约着从壹江城沿北滨路一直匀速跑到大剧院，已知他们的速度不同，王老师先跑一段路程后，周老师开始出发，当周老师超出王老师一定距离后他就停下来等候王老师，两人相遇后继续以原来的速度跑向大剧院，如图是两人在跑步过程中各自所走的路程（米）与王老师出发的时间（分钟）之间的函数图象，则王老师和周老师在第一次相遇时，周老师跑了 米． 【答案】 【分析】本题考查了函数图象与一元一次方程的应用，先由函数图象求出王老师、周老师的速度；设周老师跑了a分钟第一次和王老师相遇，根据相遇列出一元一次方程，即可求解． 【详解】解：由题意可得，王老师的速度为：（米/分钟）， 周老师的速度为：（米/分钟）； 设周老师跑了a分钟第一次和王老师相遇， 由题意得：， 解得，， ∴王老师和周老师在第一次相遇时，周老师跑了：（米）， 故答案为：． 8．（2025·福建泉州·一模）下表是友谊商场某品牌电脑的记账单，其中进价一栏被墨迹污染，则该品牌电脑的进价是 元． 进价（商品的进货价格） 标价（商品的预售价格） 6800元 折扣 8折 利润（实际销售后的利润） 440元 【答案】5000 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设该品牌电脑的进价是x元，利用利润=标价×折扣率-进价，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设该品牌电脑的进价是x元， 根据题意得：， 解得：， ∴该品牌电脑的进价是5000元． 故答案为：5000． 9．（2025·福建宁德·二模）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，根据去括号，移项合并同类项，系数化为1求解即可． 【详解】解：． ． ． ． 考点02：一元二次方程 10．（2025·福建·中考真题）为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，先用x表示出矩形的另一条边长，利用矩形的面积公式，列出方程即可． 【详解】解：设矩形的一边长为x米，则另一边长为米，由题意，得： ； 故选：C． 11．（2021·福建·中考真题）某市2018年底森林覆盖率为63%．为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力开展植树造林活动，2020年底森林覆盖率达到68%，如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，那么，符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设年平均增长率为x，根据2020年底森林覆盖率＝2018年底森林覆盖率乘，据此即可列方程求解． 【详解】解：设年平均增长率为x，由题意得： ， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，列出方程即可． 12．（2025·福建厦门·三模）如图，一钢球从长的斜面顶端由静止开始沿斜面下滚，呈匀加速运动状态，速度每秒增加．（提示：本题中，距离平均速度时间，，其中是开始时的速度，是秒时的速度．）则钢球从斜面顶端滚到底端的时间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由题意可知，，，，则，然后列出，然后求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键 【详解】解：由题意可知，，，， ∴， ∴， 解得：（负值已舍去）， 故选：． 13．（2025·福建福州·三模）一种药品原价每盒16元，经过两次涨价后每盒25元．设两次涨价的百分率都为x，则x满足（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的增长率问题，根据一种药品原价每盒16元，经过两次涨价后每盒25元．进行列式，即可作答． 【详解】解：∵一种药品原价每盒16元，经过两次涨价后每盒25元．设两次涨价的百分率都为x， ∴， 故选：C 14．（2025·福建泉州·二模）某校积极响应“双减”政策要求，分阶段缩减作业时长．已知该校七年级下学期学生平均每天书面作业时长为150分钟，经两次调整后，作业时长降至90分钟．设两次调整中每次的平均下降率为x，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设两次调整中每次的平均下降率为x，该校七年级下学期学生平均每天书面作业时长为150分钟，经两次调整后，作业时长降至90分钟．即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设根据题意得：． 故选：B． 15．（2025·福建泉州·三模）某药品连续两次降价，每盒药零售价由86元降为40元．若两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设每次降价的百分率为x，根据该药品连续两次降价，每盒药零售价由86元降为40元，列出方程即可． 【详解】解：设每次降价的百分率为x，根据题意得： ， 故选：C． 16．（2025·福建·一模）2025年1月，福建新一轮以旧换新活动新增手机等数码产品购新补贴，将手机、平板电脑（含学习机）、智能手表手环等3类数码产品纳入补贴范围，最高补贴500元．某款学习机经过两次降价，单价由2400元降为1944元．若两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为，则符合题意的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列一元二次方程，找准等量关系是解题关键．设每次降价的百分率为，根据两次降价后的单价原来的单价列出方程即可得． 【详解】解：由题意可列方程为， 故选：B． 17．（2025·福建三明·二模）下列方程有两个不相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是根的判别式，解题关键是熟练掌握根的判别式． 结合根的判别式对选项进行逐一判断即可得解． 【详解】解：选项，即，此时，该方程有两个不相等实数根，符合题意，选项正确； 选项，，此时，该方程无实数根，不符合题意，选项错误； 选项，即，此时，该方程有两个相等实数根，不符合题意，选项错误； 选项，，此时，该方程无实数根，不符合题意，选项错误． 故选：． 18．（2025·福建厦门·二模）保障国家粮食安全是一个永恒的话题，任何时候这根弦都不能松．某农科实验基地大力开展种子实验，让农民得到高产、易发芽的种子，该农科实验基地两年前有81种农作物，经过两年不断的努力，现已培育出100种农作物种子．若这两年培育新品种数量平均年增长率为x，则列出符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据增长率问题的等量关系，列出方程，进行判断即可． 【详解】解：由题意，； 故选D． 19．（2025·福建福州·三模）若是方程的根，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，先由一元二次方程根的定义得到，再将整体代入求解即可得到答案．熟记一元二次方程根的定义是解决问题的关键． 【详解】解：是方程的根， ，即， ， 故答案为：． 20．（2025·福建漳州·二模）“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图1，将等腰三角形纸片沿图中的虚线剪成四块图形，这四块图形恰好能拼成一个面积为16的正方形（如图2），则该等腰三角形底边上的高为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了图形的剪拼、等腰三角形的性质、正方形的性质，解决本题的关键是利用转化思想．等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，能拼成一个没有缝隙的正方形和矩形，设根据题意， ，解出，再求出正方形的边长与等腰三角形的底边上的高的比，再根据正方形的边长为4，即可求出答案． 【详解】解：如图，等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，能拼成一个没有缝隙的正方形和矩形， 根据题意，得， ， 解得，（负值舍去）， 正方形的边长与等腰三角形的底边上的高的比为： ． ∵正方形的边长为 ∴等腰三角形的底边上的高为： 故答案为：． 21．（2025·福建三明·二模）《燕几图》是北宋文字学家、书法家、书学理论家黄伯思所编著的杂纂丛书，其中“燕几”即宴几，如图．书中名称为“回文”的一套燕几的拼合方式如图所示，共包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，且每张桌面的宽都相等，若该燕几的面积为，则这些桌面的宽度为 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程的实际应用，解题关键是正确理解题意并列出合适的一元二次方程． 这些桌面的宽度为，结合图用含的代数式表示出三种桌子的长度后列出方程，求解即可． 【详解】解：设：这些桌面的宽度为， 则由图可得，小桌的长为，中桌的长为，长桌的长为， 有， 解得， ， ， 即这些桌面的宽度为． 故答案为：． 22．（2025·福建龙岩·二模）第十四届国际数学教育大会（）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共个基本数字，八进制数换算成十进制数是：，表示的举办年份． (1)把八进制数换算成十进制数是_________； (2)小聪设计了一个进制数，换算成十进制数是，求的值． 【答案】(1)； (2)的值为． 【分析】本题考查了有理数的运算以及一元二次方程的应用等知识，根据题意列出关于的一元二次方程是解题的关键． （）根据八进制换算成十进制的方法即可作答； （）根据进制换算成十进制的方法可列出关于的一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解： 故答案为：； （2）解：由题意得，， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴的值为． 23．（2025·福建泉州·二模）“集合”是数学中一个基本概念，指一组互不相同的对象的全体．例如，装有三枚不同颜色小球的袋子可视为一个集合．集合中的元素没有顺序之分，如{苹果，香蕉}与{香蕉，苹果}是同一个集合；集合中的元素彼此不重复，如需写成，重复元素被视为一个元素．若有限集合（，k为正整数）中的元素满足，则称S为“平衡集合”． (1)判断：集合是否是“平衡集合”，并说明理由； (2) 、是两个不同的正数，且是“平衡集合”，求证：、至少有一个大于2． 【答案】(1)是“平衡集合”，理由见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程的根与系数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据“平衡集合”的定义，进行作答即可； （2）结合、是两个不同的正数，且是“平衡集合”，得，设，则，解得，，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，，， ∵ ∴是“平衡集合”； （2）解：∵、是两个不同的正数，且是“平衡集合”， ∴， 设， 根据根与系数关系可知，相当于方程的两根， 则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴、至少有一个大于2． 24．（2025·福建莆田·二模）已知a，b，c均为正数，满足如下三个条件： ①，②，③． (1)小明探究发现结论：， 证明如下：由①②，得④ 由④③，得． 小红探究发现结论：， 证明如下：由①②，得④， 请你将小红的证明过程补充完整； (2)请你利用小明和小红发现的结论或者按照自己的思路，求出a和c的值． 【答案】(1)见解析； (2)，． 【分析】本题主要考查了解分式方程，解一元二次方程，分式的四则运算，正确理解题意是解题的关键． （1）由，得，进而推出，再根据题意即可证明结论； （2）先证明，再由得到，解方程求出a的值，进而求出c的值即可． 【详解】（1）证明：由①②，得④， 由，得， ∴ ∴， 又∵， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴，即， 解得：或（舍去）， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 25．（2025·福建泉州·一模）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程有两个实数根； (2)若为整数，该方程的两个实数根是否可以都为正整数？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)存在整数，使得该方程的两个实数根均为正整数，见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一元二次方程的解法，利用一元二次方程的根的判别式判断方程的根的情况是解题的关键． （1）根据根的判别式解答即可；． （2）首先求出一元二次方程的两根，一根为1，一根为，只需要求出是正整数时m的值即可． 【详解】（1）证明：∵ ． ∴该方程有两个实数根． （2）解：存在整数，使得该方程的两个实数根均为正整数，理由如下： 由求根公式，得：， 即，， ∵为整数，且该方程的两个实数根均为正整数， ∴必为正整数， ∴或， 即当或时，该方程的两个实数根均为正整数． 考点03：不等式与不等式组 26．（2025·福建·中考真题）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求不等式的解集，在数轴上表示解集，先求出不等式的解集，定边界，定方向，表示出不等式的解集即可． 【详解】解：， ， ， ∴； 在数轴上表示如图： 故选C． 27．（2025·福建·中考真题）若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负，即，解不等式即可确定x的取值范围，进而选出正确选项． 【详解】解：要使在实数范围内有意义， 需满足被开方数， 解得． ∴符合． 故选：D． 28．（2022·福建·中考真题）不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大；同小取小；大小小大中间找，大大小小找不到，确定不等式组的解集． 【详解】解：由，得：， 由，得：， 则不等式组的解集为， 故选：C． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是解题的基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解题的关键． 29．（2024·福建·中考真题）不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，通过移项，未知数系数化为1，求解即可解． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 30．（2023·福建·中考真题）解不等式组： 【答案】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①，得． 解不等式②，得． 所以原不等式组的解集为． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键． 31．（2021·福建·中考真题）解不等式组： 【答案】 【分析】分别求出不等式组中各不等式的解集，再取公共部分即可． 【详解】解：解不等式， ， 解得:． 解不等式， ， 解得：． 所以原不等式组的解集是：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是：准确解出各个不等式的解集，再取公共部分即可． 32．（2025·福建福州·三模）若，则下列不等式变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质，解题关键是掌握不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：A、不等式两边同时乘以可得，，不等式变形错误，不符合题意； B、不等式两边同时乘以可得，，不等式变形正确，符合题意； C、不等式两边同时可得，，则与不能确定大小，不等式变形错误，不符合题意； D、不等式两边取倒数，若，则，则不等式变形错误，不符合题意； 故选：B． 33．（2025·福建福州·二模）若某不等式的解集为，则该解集在数轴上的表示是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了利用数轴表示不等式的解集，大于向右，小于向左，带等号是实心圈，不带等号是空心圈．根据数轴表示不等式解集的方法判断即可． 【详解】解：不等式组的解集为，则其解集在数轴上表示为 ， 故选：D． 34．（2025·福建莆田·三模）不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，先移项再合并同类项，得，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为： 35．（2025·福建泉州·三模）若用七巧板组成的凸多边形，则其边数最大不超过 ． 【答案】8 【分析】本题考查考查了多边形内角和，一元一次不等式，根据七巧板可得能构成的最大内角为度，再列一元一次不等式即可解答，熟练利用相关知识点是解题的关键． 【详解】解：如图， ，七巧板中所有角度为， 能构成的最大内角为度 设边为， 则可得 解得， 所以其边数最大不超过， 故答案为：． 36．（2025·福建宁德·二模）不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，解一元一次不等式的依据是不等式的基本性质，首先根据不等式的基本性质一，不等式的两边同时加上可得：，再根据不等式的基本性质二，不等式两边同时除以得：． 【详解】解：， 不等式两边同时加上可得：， 不等式两边同时除以得：． 故答案为：． 37．（2025·福建泉州·二模）某食品零售店计划购进100千克软糖，第一次购进A软糖m千克，进价为每千克12元；第二次购进B软糖千克，进价为每千克18元；现将两种软糖混合后以每千克15元出售，若商店售完这些软糖能够盈利，且正整数m是10的倍数，则m的值可以是 （只要写出一个满足条件的m即可） 【答案】60 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用．根据商店售完这些软糖能够盈利，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，结合为正整数且正整数m是10的倍数，可得出m的值，任取其一即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 又∵为正整数，且正整数m是10的倍数， ∴m可以为60，70，80，90． 故答案为：60（答案不唯一）． 38．（2025·福建龙岩·一模）不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查求不等式的解集，移项，合并，系数化1，求出不等式的解集即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 39．（2025·福建三明·一模）不等式的正整数解的个数有 个． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，无理数的估算，求出解集是解答本题的关键．首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出正整数解得个数． 【详解】解：， ∴正整数解为：，有个， 故答案为：． 40．（2025·福建福州·三模）解不等式组：． 【答案】 【分析】本题考查求不等式组的解集，分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集． 【详解】解： 由①，得：； 由②，得：； ∴不等式组的解集为：． 41．（2025·福建泉州·二模）已知a，b，c为有理数，且多项式能够写成的形式． (1)求的值． (2)若a，b，c为整数，且，试求a，b，c的值． 【答案】(1)12 (2)，， 【分析】此题考查的是整式的除法，多项式除以多项式． （1）由于是的一个因式，，则说明当时，，从而得到关于a，b，c的两个等式，对两个等式变形，可得； （2）由结合，即可求出的范围，但是a，c为大于1的正整数，且，可求出，从而求出、． 【详解】（1）解：， 根据题意得：是的一个因式， ∴，即，是方程的解， ∴， 得：， 即的值为12； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵a，c为大于1的正整数， ∴，4，5，6，7，但，a也是正整数， ∴，， 将，代入①得，， 解得． 42．（2025·福建三明·二模）解不等式组，并写出它的整数解． 【答案】不等式组解集为，整数解为； 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，正确求解不等式是解题的关键；分别求出两个不等式的解集，再求出两个解集的公共部分得不等式组的解集，最后求出整数解即可． 【详解】解： 解不等式①，得：； 解不等式②，得：； 则不等式组的解集为：，其整数解分别为：． 43．（2025·福建福州·二模）为设计一类推理型模型，已知购进2片型芯片和1片型芯片共需7万元，购进1片型芯片和2片型芯片共需5万元．若某公司计划投入205万元购进两种型号的芯片共100片，求型芯片最多购进多少片？ 【答案】52片 【分析】设型芯片单价为万元，型芯片单价为万元，得到， 确定价格，后建立不等式解答即可． 本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式的应用，熟练掌握解方程组，解不等式是解题的关键． 【详解】解：设型芯片单价为万元，型芯片单价为万元， 依题意得 ， 解得， 型芯片单价为3万元，型芯片单价为1万元， 设购进型芯片片，则购进型芯片片， ， 解得， 芯片为整数， 型芯片最多购进52片． 44．（2025·福建泉州·二模）近年来，低空经济与农业的携手，带来了革命性的变革．南安作为福建省低空经济先行示范区，创新应用无人机运输“蓬华脐橙”，打造“低空经济县域第一城”的目标已初见成效．已知无人机每小时运输脐橙的重量是人工挑担的5倍，且一台无人机运输6000斤脐橙的时间比一个果农挑担运输2000斤少2小时（休息时间不计）． (1)求每小时一台无人机运输脐橙的重量和一个果农挑担的重量． (2)为赶上当日新鲜快递发货，果园需在3小时内紧急运输22000斤脐橙．现有两台无人机可用，若每个果农挑担效率相同，则至少还需多少果农挑担？ 【答案】(1)一个果农每小时挑担的重量为400斤，一台无人机运输脐橙的重量为2000斤 (2)果园至少还需要9个果农挑担 【分析】本题考查了分式方程的应用，不等式的应用． （1）设一个果农每小时挑担的重量为x斤，则一台无人机运输脐橙的重量为5x斤，根据“一台无人机运输6000斤脐橙的时间比一个果农挑担运输2000斤少2小时”列分式方程，求解即可； （2）设果园还需要y个人挑担，根据题意列一元一次不等式，即可求解． 【详解】（1）解：设一个果农每小时挑担的重量为x斤，则一台无人机运输脐橙的重量为5x斤，由题意得： ， 解得： 经检验：是原方程的解，且符合题意 ∴， 答：一个果农每小时挑担的重量为400斤，一台无人机运输脐橙的重量为2000斤； （2）解：设果园还需要y个人挑担，由题意得： ， 解得：， ∵y为正整数， ∴y的最小值为9． 答：果园至少还需要9个果农挑担． 45．（2025·福建漳州·二模）已知实数a，b，c满足． (1)求证：； (2)若，且，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． （1）根据题意可得，结合已知得倒，由不等式的性质可得，即可证明； （2）根据，得到，结合（1）中，求出，再根据，求出，进而得到，结合，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 46．（2025·福建三明·二模）解不等式：，并把不等式的解集表示在数轴上． 【答案】，见解析 【分析】按照解不等式的基本步骤解答即可． 本题考查了解不等式，熟练掌握解题的基本步骤是解题的关键． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 这个不等式的解集在数轴上表示如下： 47．（2025·福建南平·二模）某中学七年级师生在学校大礼堂分为A，B，C，D四个方阵观看“新生军训文艺汇演”，演出结束，礼堂内师生有组织、有秩序地尽快疏散撤离．方阵A的师生从A号门往安全出口1撤离；方阵B的师生从B号门往安全出口1撤离，当方阵B的第一个人行进至A号门时，需等待方阵A的最后一人离开A号门满足间距后，队伍再继续行进；方阵D，C撤离方式类比方阵A，B，如图所示．假设疏散撤离时： ①所有人员排成单列行进； ②队列中人员的间隔是均匀的； ③队列匀速地撤离礼堂； ④礼堂内各方阵最后一个人到达安全出口处即为完全撤离； ⑤忽略门的宽度及学生在礼堂内排成单列的时间． (1)若每个方阵均有40人，撤离时人与人之间的间距为0.75米，队伍行进的速度为1.5米/秒． ①求方阵A所有人员完全撤离的时间； ②求方阵B所有人员完全撤离的时间． (2)如图，每个方阵均有人，撤离时人与人之间的间距为米，队伍行进的速度为米/秒，求礼堂内各方阵最后一个人完全撤离的时间． 【答案】(1)①方阵A所有人员完全撤离的时间为27.5秒；②方阵B所有人员完全撤离的时间为47.5秒 (2) 【分析】本题考查了不等式的实际应用； （1）①方阵A所有人员队列长度加上即为撤离行驶的路程，再除以撤离速度即可； ②先判断方阵B（同理方阵C）的第一个人到达A号门的时候，方阵A的最后一个人是否离开A号门0.75米，再求方阵B所有人员完全撤离的时间． （2）先判断方阵B（同理方阵C）的第一个人到达A号门的时候，方阵A的最后一个人是否离开A号门0.75米，再求方阵B所有人员完全撤离的时间，即为礼堂内各方阵最后一个人完全撤离的时间． 【详解】（1）解：①因为撤离时人与人之间的间距为0.75米，队伍行进的速度为1.5米/秒，考虑方阵A（同理方阵D）师生的撤离，该方阵最后一个人到达安全出口1即为完全撤离，所用时间为： （秒） 答：方阵A所有人员完全撤离的时间为27.5秒； ②需判断方阵B（同理方阵C）的第一个人到达A号门的时候，方阵A的最后一个人是否离开A号门0.75米 因为，所以方阵的第一个人到达A号门的时候，方阵A的最后一人离开A号门还没有0.75米，此时需等待方阵A的最后一人离开A号门0.75米，队伍再继续行进，这时方阵B所有人员完全撤离所用时间为： （秒） 答：方阵B所有人员完全撤离的时间为47.5秒； （2）解：设礼堂内各方阵最后一个人到达安全出口处所用时间为秒，因为每个方阵有人，撤离时人与人之间的间距为米，队伍行进的速度为米秒，先考虑方阵A师生的撤离，该方阵最后一个人达到安全出口1即为完全撤离，所用时间为； 方阵B最后一个人达到安全出口1所用时间为， 在所有人员排成单列行进撤离的假设下，分两种情况： 情况一： 当方阵B的第一个人到达A号门的时候，方阵A的最后一个人不影响方阵B师生的撤离，这种情形出现的条件是，这时两个方阵的人员完全撤离所用时间为： ； 情况二： 当方阵B的第一个人行进至A号门时，方阵A的最后一人离开A号门还没有米，此时需等待方阵A的最后一人离开A号门米时，队伍再继续行进，这种情形出现的条件是，这时两个方阵内的人员完全撤离所用时间为： ， 综上，． 48．（2025·福建泉州·一模）解不等式组：． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，先分别解出不等式组中的每一个不等式，再由不等式组解集的求法：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解求出解集即可得到答案．熟练掌握一元一次不等式解集的求法，熟记不等式组解集的求法是解决问题的关键． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， 不等式组的解集为． 49．（2025·福建厦门·二模）在某年厦门市的中考体育考试中，球类项目通过抽考确定为篮球运球绕杆往返．为了有效提升学生的篮球专项技能，某校为学生们制定了以下训练计划：首先，要求每位学生完成活动一和活动二的训练，随后进行活动三． 活动一：篮球单手运球往返跑动． 活动二：篮球双手交替运球往返跑动． 活动规则如下：请参照图1，从起跑线开始运球，抵达折返线m后返回起跑线．在此过程中，若篮球不慎掉落，参与者必须捡起篮球并返回至掉落点继续进行运球跑． 活动三：篮球运球绕杆往返跑动． 活动规则如下：沿图2规定路线运球绕杆往返跑． (1)已知小刚在活动一中速度为，在活动二中速度为．小刚在活动一中球未掉落，但在进行活动二时，由于双手交替运球技巧不够熟练导致球掉落，平均每次掉落额外花费了4秒．若小刚想在28秒内完成两项活动，则在活动二中篮球最多能掉落几次？ (2)假设活动三路线的总长度为36米，小红和小强依次完成活动三．小强表示：“我们两个一共用了30秒．”小红则说：“如果我用和你一样多的时间，我只能跑完米．”请计算这两位同学各自用了多少秒来完成他们的跑步部分． 【答案】(1)2次 (2)小红同学跑了16秒．小强同学跑了14秒． 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元二次方程的实际应用，正确理解题意列出不等式和方程是解题的关键． （1）设在活动二中篮球掉落x次，根据活动一和活动二完成的时间加上因为篮球掉落额外增加的时间不超过28秒列出不等式求解即可； （2）设小红跑了秒，则小强跑了秒，根据小红的说法建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设在活动二中篮球掉落x次， 由题意得，， 解得， ∵x为整数， ∴x的最大值为2， 答：在活动二中篮球最多能掉落2次； （2）解：设小红跑了秒，则小强跑了秒， ， 方程两边同乘，得，解得， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为， ， 答：小红同学跑了16秒．小强同学跑了14秒． 50．（2025·福建三明·一模）解不等式组： 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题关键．先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 则不等式组的解集为． 七、 试卷第28页，共29页 试卷第29页，共29页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 方程与不等式（三大考点，50题） 考点01：一元一次方程 1．（2024·福建·中考真题）今年我国国民经济开局良好，市场销售稳定增长，社会消费增长较快，第一季度社会消费品零售总额120327亿元，比去年第一季度增长，求去年第一季度社会消费品零售总额．若将去年第一季度社会消费品零售总额设为亿元，则符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 2．（2022·福建·中考真题）推理是数学的基本思维方式，若推理过程不严谨，则推理结果可能产生错误． 例如，有人声称可以证明“任意一个有理数都等于0”，并证明如下： 设任意一个有理数为，令， 等式两边都乘以，得① 等式两边都减，得② 等式两边分别分解因式，得③ 等式两边都除以，得④ 等式两边都减，得⑤ 所以任意一个有理数都等于0． 以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是 ． 3．（2025·福建泉州·模拟预测）某工厂投入20万元购进了一批设备投入生产，该厂又接到新的订单，要扩大生产规模，需再次采购一批相同的设备，已知采购数量与第一次相同，但采购单价比第一次降低0.5万元，总费用降低了．设每次采购数量为x件，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·福建南平·二模）农场将刚采摘的荔枝装箱，若每箱装22千克，余10千克荔枝；若每箱装25千克，余2个空箱，问共有多少个果箱？设共有个果箱，则符合条件的方程是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·福建泉州·二模）在阅读课上，老师把一批文学名著分给某班学生阅读，若每人分3本，则剩余22本；若每人分4本，则还缺少26本．求该班学生多少人？设该班有学生x人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·福建·一模）某商店销售进价为元和元的，两种商品，其中商品的利润率为，商品的利润率为．当售出的商品的数量比商品的数量少时，该商店获得的总利润率为．则与的数量关系是（   ）（利润率利润成本） A． B． C． D． 7．（2025·福建·模拟预测）最近，重庆八中号召所有老师锻炼身体，初三年级的王老师和周老师就约着从壹江城沿北滨路一直匀速跑到大剧院，已知他们的速度不同，王老师先跑一段路程后，周老师开始出发，当周老师超出王老师一定距离后他就停下来等候王老师，两人相遇后继续以原来的速度跑向大剧院，如图是两人在跑步过程中各自所走的路程（米）与王老师出发的时间（分钟）之间的函数图象，则王老师和周老师在第一次相遇时，周老师跑了 米． 8．（2025·福建泉州·一模）下表是友谊商场某品牌电脑的记账单，其中进价一栏被墨迹污染，则该品牌电脑的进价是 元． 进价（商品的进货价格） 标价（商品的预售价格） 6800元 折扣 8折 利润（实际销售后的利润） 440元 9．（2025·福建宁德·二模）解方程：． 考点02：一元二次方程 10．（2025·福建·中考真题）为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 11．（2021·福建·中考真题）某市2018年底森林覆盖率为63%．为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力开展植树造林活动，2020年底森林覆盖率达到68%，如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，那么，符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 12．（2025·福建厦门·三模）如图，一钢球从长的斜面顶端由静止开始沿斜面下滚，呈匀加速运动状态，速度每秒增加．（提示：本题中，距离平均速度时间，，其中是开始时的速度，是秒时的速度．）则钢球从斜面顶端滚到底端的时间是（    ） A． B． C． D． 13．（2025·福建福州·三模）一种药品原价每盒16元，经过两次涨价后每盒25元．设两次涨价的百分率都为x，则x满足（   ） A． B． C． D． 14．（2025·福建泉州·二模）某校积极响应“双减”政策要求，分阶段缩减作业时长．已知该校七年级下学期学生平均每天书面作业时长为150分钟，经两次调整后，作业时长降至90分钟．设两次调整中每次的平均下降率为x，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 15．（2025·福建泉州·三模）某药品连续两次降价，每盒药零售价由86元降为40元．若两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（    ） A． B． C． D． 16．（2025·福建·一模）2025年1月，福建新一轮以旧换新活动新增手机等数码产品购新补贴，将手机、平板电脑（含学习机）、智能手表手环等3类数码产品纳入补贴范围，最高补贴500元．某款学习机经过两次降价，单价由2400元降为1944元．若两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为，则符合题意的方程是（   ） A． B． C． D． 17．（2025·福建三明·二模）下列方程有两个不相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 18．（2025·福建厦门·二模）保障国家粮食安全是一个永恒的话题，任何时候这根弦都不能松．某农科实验基地大力开展种子实验，让农民得到高产、易发芽的种子，该农科实验基地两年前有81种农作物，经过两年不断的努力，现已培育出100种农作物种子．若这两年培育新品种数量平均年增长率为x，则列出符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 19．（2025·福建福州·三模）若是方程的根，则代数式的值是 ． 20．（2025·福建漳州·二模）“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图1，将等腰三角形纸片沿图中的虚线剪成四块图形，这四块图形恰好能拼成一个面积为16的正方形（如图2），则该等腰三角形底边上的高为 ． 21．（2025·福建三明·二模）《燕几图》是北宋文字学家、书法家、书学理论家黄伯思所编著的杂纂丛书，其中“燕几”即宴几，如图．书中名称为“回文”的一套燕几的拼合方式如图所示，共包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，且每张桌面的宽都相等，若该燕几的面积为，则这些桌面的宽度为 ． 22．（2025·福建龙岩·二模）第十四届国际数学教育大会（）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共个基本数字，八进制数换算成十进制数是：，表示的举办年份． (1)把八进制数换算成十进制数是_________； (2)小聪设计了一个进制数，换算成十进制数是，求的值． 23．（2025·福建泉州·二模）“集合”是数学中一个基本概念，指一组互不相同的对象的全体．例如，装有三枚不同颜色小球的袋子可视为一个集合．集合中的元素没有顺序之分，如{苹果，香蕉}与{香蕉，苹果}是同一个集合；集合中的元素彼此不重复，如需写成，重复元素被视为一个元素．若有限集合（，k为正整数）中的元素满足，则称S为“平衡集合”． (1)判断：集合是否是“平衡集合”，并说明理由； (2) 、是两个不同的正数，且是“平衡集合”，求证：、至少有一个大于2． 24．（2025·福建莆田·二模）已知a，b，c均为正数，满足如下三个条件： ①，②，③． (1)小明探究发现结论：， 证明如下：由①②，得④ 由④③，得． 小红探究发现结论：， 证明如下：由①②，得④， 请你将小红的证明过程补充完整； (2)请你利用小明和小红发现的结论或者按照自己的思路，求出a和c的值． 25．（2025·福建泉州·一模）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程有两个实数根； (2)若为整数，该方程的两个实数根是否可以都为正整数？请说明理由． 考点03：不等式与不等式组 26．（2025·福建·中考真题）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 27．（2025·福建·中考真题）若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（    ） A． B． C．0 D．2 28．（2022·福建·中考真题）不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 29．（2024·福建·中考真题）不等式的解集是 ． 30．（2023·福建·中考真题）解不等式组： 31．（2021·福建·中考真题）解不等式组： 32．（2025·福建福州·三模）若，则下列不等式变形正确的是（　　） A． B． C． D． 33．（2025·福建福州·二模）若某不等式的解集为，则该解集在数轴上的表示是（    ） A． B． C． D． 34．（2025·福建莆田·三模）不等式的解集是 ． 35．（2025·福建泉州·三模）若用七巧板组成的凸多边形，则其边数最大不超过 ． 36．（2025·福建宁德·二模）不等式的解集是 ． 37．（2025·福建泉州·二模）某食品零售店计划购进100千克软糖，第一次购进A软糖m千克，进价为每千克12元；第二次购进B软糖千克，进价为每千克18元；现将两种软糖混合后以每千克15元出售，若商店售完这些软糖能够盈利，且正整数m是10的倍数，则m的值可以是 （只要写出一个满足条件的m即可） 38．（2025·福建龙岩·一模）不等式的解集是 ． 39．（2025·福建三明·一模）不等式的正整数解的个数有 个． 40．（2025·福建福州·三模）解不等式组：． 41．（2025·福建泉州·二模）已知a，b，c为有理数，且多项式能够写成的形式． (1)求的值． (2)若a，b，c为整数，且，试求a，b，c的值． 42．（2025·福建三明·二模）解不等式组，并写出它的整数解． 43．（2025·福建福州·二模）为设计一类推理型模型，已知购进2片型芯片和1片型芯片共需7万元，购进1片型芯片和2片型芯片共需5万元．若某公司计划投入205万元购进两种型号的芯片共100片，求型芯片最多购进多少片？ 44．（2025·福建泉州·二模）近年来，低空经济与农业的携手，带来了革命性的变革．南安作为福建省低空经济先行示范区，创新应用无人机运输“蓬华脐橙”，打造“低空经济县域第一城”的目标已初见成效．已知无人机每小时运输脐橙的重量是人工挑担的5倍，且一台无人机运输6000斤脐橙的时间比一个果农挑担运输2000斤少2小时（休息时间不计）． (1)求每小时一台无人机运输脐橙的重量和一个果农挑担的重量． (2)为赶上当日新鲜快递发货，果园需在3小时内紧急运输22000斤脐橙．现有两台无人机可用，若每个果农挑担效率相同，则至少还需多少果农挑担？ 45．（2025·福建漳州·二模）已知实数a，b，c满足． (1)求证：； (2)若，且，求的值． 46．（2025·福建三明·二模）解不等式：，并把不等式的解集表示在数轴上． 47．（2025·福建南平·二模）某中学七年级师生在学校大礼堂分为A，B，C，D四个方阵观看“新生军训文艺汇演”，演出结束，礼堂内师生有组织、有秩序地尽快疏散撤离．方阵A的师生从A号门往安全出口1撤离；方阵B的师生从B号门往安全出口1撤离，当方阵B的第一个人行进至A号门时，需等待方阵A的最后一人离开A号门满足间距后，队伍再继续行进；方阵D，C撤离方式类比方阵A，B，如图所示．假设疏散撤离时： ①所有人员排成单列行进； ②队列中人员的间隔是均匀的； ③队列匀速地撤离礼堂； ④礼堂内各方阵最后一个人到达安全出口处即为完全撤离； ⑤忽略门的宽度及学生在礼堂内排成单列的时间． (1)若每个方阵均有40人，撤离时人与人之间的间距为0.75米，队伍行进的速度为1.5米/秒． ①求方阵A所有人员完全撤离的时间； ②求方阵B所有人员完全撤离的时间． (2)如图，每个方阵均有人，撤离时人与人之间的间距为米，队伍行进的速度为米/秒，求礼堂内各方阵最后一个人完全撤离的时间． 48．（2025·福建泉州·一模）解不等式组：． 49．（2025·福建厦门·二模）在某年厦门市的中考体育考试中，球类项目通过抽考确定为篮球运球绕杆往返．为了有效提升学生的篮球专项技能，某校为学生们制定了以下训练计划：首先，要求每位学生完成活动一和活动二的训练，随后进行活动三． 活动一：篮球单手运球往返跑动． 活动二：篮球双手交替运球往返跑动． 活动规则如下：请参照图1，从起跑线开始运球，抵达折返线m后返回起跑线．在此过程中，若篮球不慎掉落，参与者必须捡起篮球并返回至掉落点继续进行运球跑． 活动三：篮球运球绕杆往返跑动． 活动规则如下：沿图2规定路线运球绕杆往返跑． (1)已知小刚在活动一中速度为，在活动二中速度为．小刚在活动一中球未掉落，但在进行活动二时，由于双手交替运球技巧不够熟练导致球掉落，平均每次掉落额外花费了4秒．若小刚想在28秒内完成两项活动，则在活动二中篮球最多能掉落几次？ (2)假设活动三路线的总长度为36米，小红和小强依次完成活动三．小强表示：“我们两个一共用了30秒．”小红则说：“如果我用和你一样多的时间，我只能跑完米．”请计算这两位同学各自用了多少秒来完成他们的跑步部分． 50．（2025·福建三明·一模）解不等式组： 七、 试卷第28页，共29页 试卷第29页，共29页 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