专题5.5 拓展二：三角形中线，角平分线专题(高考高频考点）(2大题型+4大方法）-【练透核心考点】备战2026年高考数学一轮重难点题型狂飙特训（新教材新高考）

第06讲 拓展三：三角形中线，角平分线专题 目录 题型一：重点考查三角形中线问题 1 方法一：三角形中线向量化 1 方法二：角形式（） 3 题型二：重点考查三角形角平分线问题 7 方法一：等面积法 7 方法二：角形式（） 9 温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头 题型一：重点考查三角形中线问题 方法一：三角形中线向量化 典型例题 例题1．（2024·广东广州·模拟预测）在中，角、、的对边分别为、、，若，，的平分线的长为，则边上的中线的长等于（    ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高二下·江苏南京·期中）已知在中，角的对边分别为． (1)求的值； (2)若是的中点，，求的值． 例题3．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知的内角所对的边分别为，，，且． (1)求角的大小； (2)若的面积为，中线，求． 例题4．（24-25高三上·北京朝阳·开学考试）在△中，内角的对边分别为． (1)求； (2)若△的面积为，求边上的中线的长． 精练核心考点 1．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)证明：. (2)已知C为钝角，记. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若BD为AC边上的中线，求的取值范围. 2．（23-24高一下·山东聊城·期中）在中，内角，，的对边分别为，，，． (1)若，证明：； (2)若，是的中线，求的最大值． 3．（23-24高二上·安徽亳州·开学考试）在中，角的对边分别为，且，． (1)求； (2)求边上中线长的取值范围． 方法二：角形式（） 典型例题 例题1．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知的内角的对边分别为，且边上中线长为1，则最大值为（    ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高一下·江苏连云港·期中）射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，光从点出发，平面内四个点经过中心投影之后的投影点分别为．对于四个有序点，若，，定义比值叫做这四个有序点的交比，记作． (1)若点分别是线段的中点，求； (2)当时称为调和点列，若，求值； (3)已知，且，点为线段的中点，，，求 例题3．（23-24高一下·福建龙岩·期中）已知的三个内角的对边分别是，且满足． (1)求角的值； (2)若角的角平分线交于，且，边上的中线交于点，且，求的面积． 例题4．（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，. (1)求角； (2)若，边上的中线，求边的长. 精练核心考点 1．（2024·全国·模拟预测）已知在中，角所对的边分别为，，是的中点，若，则的最大值为 ． 2．（23-24高三上·辽宁·阶段练习）已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点M在边AB上，，，且，______． 在①CM为的一条中线；②CM为的一条角平分线；③CM为的一条高线 这三个条件中任选一个，补充在上面的横线中，并进行解答． (1)求边长AB； (2)若外接圆的面积为，内切圆的面积为，求的值． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 3．（23-24高三上·广东深圳·期末）在中，角，，对边分别为，，，且，. (1)求； (2)若，边上中线，求的面积. 4．（23-24高三上·江苏南通·开学考试）在中，点在边上，，． (1)若是的角平分线，求； (2)若是边上的中线，且，求． 题型二：重点考查三角形角平分线问题 方法一：等面积法 典型例题 例题1．（24-25高二上·云南曲靖·期末）在中，三个内角A,B,C所对边分别为a,b,c，的角平分线为CM交AB于M且,,，则线段（   ） A． B． C．2 D． 例题2．（23-24高一下·山东临沂·期中）在中，已知的角平分线，则的正弦值为 ． 例题3．（2024·重庆·模拟预测）在中，内角所对的边分别为．已知． (1)求角的大小； (2)若的角平分线与边相交于点，，求的周长． 例题4．（24-25高三上·山东德州·期中）已知中的三个角的对边分别为，且满足. (1)求； (2)若的角平分线交于，，求面积的最小值. 例题5．（23-24高一下·广东惠州·期末）已知有下面三个条件： ①；②；③； 请从这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题：在中，角所对的边分别是，，，且________. (1)求角A的大小； (2)若是的角平分线，且，，求线段的长. 精练核心考点 1．（24-25高一下·江苏宿迁·阶段练习）△ABC中， AB=3，AC=2，∠BAC=60°， 中线AM长为m，角平分线AD的长为n，则 2．（24-25高一下·山东枣庄·阶段练习）已知在中，． (1)求的大小； (2)若角的角平分线交边于点，，的周长为15，求的长． 3．（24-25高二上·重庆·期中）在中，，，为，，的对边，. (1)求； (2)若为的角平分线，交于点，，，求的面积. 4．（23-24高一下·贵州遵义·期末）已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 (1)求角B； (2)若点D在上，为的角平分线，，求的最小值． 5．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）的内角的对边分别为，满足. (1)求； (2)的角平分线与交于点，求的最小值. 方法二：角形式（） 典型例题 例题1．（2025高一下·全国·专题练习）在中， 是的角平分线， 且交于. 已知， 则 . 例题2．（24-25高三上·山东·阶段练习）下面问题的条件①，②，③，④有多余，现请你在①，④中删去一个，并将剩下的三个作为条件解答这个问题． 已知中，是边的中点，你删去的条件是_____请写出用剩余条件解答本题的过程． (1)求的长； (2)的平分线交于点，求的长． 注：如果选择删去条件①和条件④分别解答，按第一个解答计分． 精练核心考点 1．（24-25高三上·山东泰安）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，点D在射线AC上，满足. (1)求； (2)设的角平分线与直线AC交于点E，求证：. 2．（2024高三·全国·专题练习）记的内角的对边分别为．已知． (1)若，证明：是等腰三角形； (2)若，角的平分线交于，且，求． 3．（2025·四川·模拟预测）在①；②这两个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的横线上，并给出解答． 注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 已知中，角的对边分别为，点D为边的中点，，且________． (1)求a的值； (2)若的平分线交于点E，求的周长． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 拓展三：三角形中线，角平分线专题 目录 题型一：重点考查三角形中线问题 1 方法一：三角形中线向量化 1 方法二：角形式（） 8 题型二：重点考查三角形角平分线问题 18 方法一：等面积法 18 方法二：角形式（） 28 温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头 题型一：重点考查三角形中线问题 方法一：三角形中线向量化 典型例题 例题1．（2024·广东广州·模拟预测）在中，角、、的对边分别为、、，若，，的平分线的长为，则边上的中线的长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二倍角的余弦公式、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、平面向量数量积的定义及辨析 【分析】由设，可得的值，进而可求得的值，结合余弦定理可得，由可求得，即可求得结果. 【详解】由题意知，设，则，如图所示， 由可得， 整理得，即， 又因为，所以， 所以，所以， 在中，由余弦定理得，所以， 由是边上的中线，得 . 所以，中线长. 故选：A 例题2．（24-25高二下·江苏南京·期中）已知在中，角的对边分别为． (1)求的值； (2)若是的中点，，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、用定义求向量的数量积 【分析】（1）由三角恒等变换可得，进而求得，可求； （2）由余弦定理可得，进而结合，两边平方，可求得，进而可求得. 【详解】（1）在，，所以， 由， 即， 所以，在中，，所以， 因此，即； （2）由余弦定理得，即有①， 由是中点得， 两边平方有， 即有②， 联立①②解得， 所以． 例题3．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知的内角所对的边分别为，，，且． (1)求角的大小； (2)若的面积为，中线，求． 【答案】(1) (2) 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用正弦定理边角互化，利用两角和的正弦公式化简，转化为三角函数求角； （2）首先根据三角形的面积公式，求得，，根据中线向量关系，可得，再根据余弦定理即可求得. 【详解】（1）在中，，则， 因为， 则， 由正弦定理得：， 所以， 所以， 又，得，所以，即， 由，解得. （2）因为的面积为， 所以， 由（1）知，故， 因为为中线，即为中点， 则，又， 则，所以， 解得， 由余弦定理得， 所以. 例题4．（24-25高三上·北京朝阳·开学考试）在△中，内角的对边分别为． (1)求； (2)若△的面积为，求边上的中线的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、已知数量积求模 【分析】（1）由正弦定理角化边，结合余弦定理进行求解即可； （2）根据三角形面积公式，结合平面向量加法的几何意义、数量积的运算进行求解即可. 【详解】（1）因为，由正弦定理得，因为， 由余弦定理得：， 又，所以． （2）由，所以， 由（1），所以， 因为为边上的中线，所以， 则 ，即. 故边上的中线的长为. 精练核心考点 1．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)证明：. (2)已知C为钝角，记. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若BD为AC边上的中线，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ）；（ⅱ）． 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、已知数量积求模 【分析】（1）先由正弦定理将条件化为，然后利用余弦定理化简即可证明. （2）（ⅰ）根据三角形三边关系列不等式求解即可； （ⅱ）根据中线关系得，结合数量积的运算律及将化为，根据二次函数的性质求解范围即可. 【详解】（1）由，可得， 由余弦定理可知，所以. （2）（ⅰ）由，可得，． 根据三角形三边关系，知即 则解得， 所以的取值范围为． （ⅱ）因为BD为AC边上的中线，所以， 则， 所以． 令，则，因为在上单调递增， 所以，故的取值范围为． 2．（23-24高一下·山东聊城·期中）在中，内角，，的对边分别为，，，． (1)若，证明：； (2)若，是的中线，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围、数量积的运算律 【分析】（1）由正弦定理得，再根据余弦定理有，两者联立即可证明； （2）首先利用基本不等式和余弦定理得，再利用向量中线长定理有，则可求出的最大值. 【详解】（1）由正弦定理得，即，即， 由余弦定理知和， 得，即， 即，因为，所以. （2）因为，，所以， 故，当且仅当，即时等号成立， 故； 由是的中线，得， 即得 ， 即得，故的最大值为. 3．（23-24高二上·安徽亳州·开学考试）在中，角的对边分别为，且，． (1)求； (2)求边上中线长的取值范围． 【答案】(1)6 (2). 【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）由已知条件，利用正弦定理边化角化简可得角B，利用正弦定理化简求得，又，可得结果； （2）根据余弦定理结合基本不等式可得，设边上的中点为D， 因为，利用向量数量积运算可得边上中线的取值范围. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 整理得， 且，则，可得，即， 且，则， 由正弦定理，其中为的外接圆半径， 可得，， 又因， 所以. （2）在中，由余弦定理，即， 则，当且仅当时，等号成立， 可得，即 设边上的中点为D， 因为， 则 ， 即，所以边上中线长的取值范围为. 方法二：角形式（） 典型例题 例题1．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知的内角的对边分别为，且边上中线长为1，则最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】余弦定理解三角形、基本不等式求积的最大值 【分析】根据两角互补余弦值之和等于0，然后分别在三角形中利用余弦定理求出两角的余弦，列出方程求出，然后利用基本不等式求出最值即可. 【详解】由题意得， 所以， 又，且D是的中点，所以， 在中，， 在中，， 所以， 即，得，当且仅当取等号， 故选：A 例题2．（24-25高一下·江苏连云港·期中）射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，光从点出发，平面内四个点经过中心投影之后的投影点分别为．对于四个有序点，若，，定义比值叫做这四个有序点的交比，记作． (1)若点分别是线段的中点，求； (2)当时称为调和点列，若，求值； (3)已知，且，点为线段的中点，，，求 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、向量数乘的有关计算 【分析】（1）由射影几何学新定义可得； （2）由射影几何学新定义结合调和点列可得； （3）方法一，由射影几何学新定义结合正余弦定理可得； 方法二，由射影几何学新定义结合三角形的面积公式和余弦定理可得. 【详解】（1）由条件可得，，则，所以． （2）由知，两点分属线段内外分点， 不妨设，， 则，， 由知：， 则，即，即． （3）方法一：由，可得，即，所以， 又点B为线段的中点，即，所以， 又，所以，，， 又已知，所以． 设，，由，得， 即，解得，① 在中，由正弦定理可得，得②， 在中，由正弦定理可得，得③， 又， ②③得，即④， 由①④解得，（负值舍去），即，， 所以． 方法二：因为，所以， 设，则， 又B为线段的中点，所以， 又已知，，所以， 所以，得，所以，， 由， 得， 所以， 设，则， 由，互补得， 即， 解得，所以，， 所以 例题3．（23-24高一下·福建龙岩·期中）已知的三个内角的对边分别是，且满足． (1)求角的值； (2)若角的角平分线交于，且，边上的中线交于点，且，求的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）根据正弦定理与余弦定理，结合题意化简得到，得到，即可求解； （2）利用角的平分线的性质，以及，结合向量的数量积的运算性质，列出方程求得的值，进而求得三角形的面积. 【详解】（1）解：在中，由正弦定理可得，即， 因为，可得， 即， 又由余弦定理可得，可得，即， 因为，所以. （2）解：因为为角的角平分线，所以， 在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， 又因为，所以， 因为，所以，即， 因为为中线，所以， 即， 即，所以，， 所以的面积为. 例题4．（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，. (1)求角； (2)若，边上的中线，求边的长. 【答案】(1) (2)，或，. 【知识点】已知三角函数值求角、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】（1）由正弦定理得到，再由余弦定理得到，故，结合，从而求出； （2）根据及余弦定理得到，再由得到，结合余弦定理得到，，求出的长. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得：， 因为，所以， 即， 因为， 所以； （2）因为， 由余弦定理知：， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， 故， 解得：，或，. 精练核心考点 1．（2024·全国·模拟预测）已知在中，角所对的边分别为，，是的中点，若，则的最大值为 ． 【答案】 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】根据正弦定理及两角差的正弦公式可得，，再利用余弦定理可得，进而得到，再根据基本不等式求解即可. 【详解】由， 根据正弦定理得，， 即，所以． 又因为，， 所以，所以． 在中，，① 在中，，② 因为，所以， ①②可得，又因为，所以， 即，所以， 令，则，即，解得， 又因为，所以，当且仅当时，等号成立， 则的最大值为． 故答案为：. 2．（23-24高三上·辽宁·阶段练习）已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点M在边AB上，，，且，______． 在①CM为的一条中线；②CM为的一条角平分线；③CM为的一条高线 这三个条件中任选一个，补充在上面的横线中，并进行解答． (1)求边长AB； (2)若外接圆的面积为，内切圆的面积为，求的值． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2)． 【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理求外接圆半径、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）由正弦定理结合三角恒等变换可得，若选择①：，利用余弦定理结合可得，在中，利用余弦定理运算求解；若选择②：因为，利用余弦定理可得，根据勾股定理结合等腰三角形分析求解；若选择③：根据勾股定理结合等腰三角形分析求解. （2）利用正弦定理求外接圆的半径，利用等面积法求内切圆的半径，进而可得结果. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 由倍角公式可得，则， 又因为，则， 所以，即． 且，则，可得， 又因为，所以． 若选择①：若CM为的中线，设， 由余弦定理可得，， 因为，可得， 即，整理得，可知， 又因为，解得或（舍去）， 所以； 若选择②：若CM为的角平分线，则， 在中，由余弦定理得，即， 可知，即，可知， 所以； 若选择③：若CM为的高线，则， 则，即，则， 可知，可知 所以． （2）设外接圆的半径为R，由正弦定理可得，解得， 所以， 由题意可知：，所以的周长， 所以的面积． 设内切圆的半径为r，则，解得， 可得，所以． 3．（23-24高三上·广东深圳·期末）在中，角，，对边分别为，，，且，. (1)求； (2)若，边上中线，求的面积. 【答案】(1) (2) 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）由正弦定理和已知可得，利用三角函数的平方关系可得答案； （2）法一：在和中，由余弦定理可得，，求出代入三角形面积公式可得答案；法二：由得，，求出由可得答案；法三：作交于，则，，由余弦定理可得，代入三角形面积公式计算可得答案. 【详解】（1）由正弦定理有， 因为，有， 因为，故，； （2）法一：在和中，， 因为，，则， 因为，所以， 所以； 法二：因为，所以， 有， 因为，所以， 所以； 法三：如图，作交于，则是的中点， 所以，，， 即，解得， 所以. 4．（23-24高三上·江苏南通·开学考试）在中，点在边上，，． (1)若是的角平分线，求； (2)若是边上的中线，且，求． 【答案】(1) (2). 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】（1）在和中，分别利用正弦定理即可得的值； （2）利用余弦定理即可求解． 【详解】（1）解：点在边上，，．是的角平分线， 在和中，由正弦定理可得，； ，， ． （2）解：因为是边上的中线， 设，， ，， ， ，化简可得，解得或（舍去）， ． 题型二：重点考查三角形角平分线问题 方法一：等面积法 典型例题 例题1．（24-25高二上·云南曲靖·期末）在中，三个内角A,B,C所对边分别为a,b,c，的角平分线为CM交AB于M且,,，则线段（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、求15°等特殊角的正弦 【分析】由余弦定理求出，再由，代入三角形的面积公式即可得出答案. 【详解】由余弦定理可得：， 因为，所以， 因为为的角平分线，所以， 且， ， 则， 可得：. 故选：B. 例题2．（23-24高一下·山东临沂·期中）在中，已知的角平分线，则的正弦值为 ． 【答案】 【知识点】二倍角的正弦公式、三角形面积公式及其应用 【分析】由三角形的等面积法，可得，的值，进而求出的值． 【详解】因为，，的角平分线， 由等面积可得， 即， 即， ，因为， 所以，， 所以． 故答案为：． 例题3．（2024·重庆·模拟预测）在中，内角所对的边分别为．已知． (1)求角的大小； (2)若的角平分线与边相交于点，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形面积公式及其应用、三角恒等变换的化简问题、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，在由三角恒等变换公式化简，即可求出，从而得解； （2）根据等面积法得到，再由余弦定理得到，即可求出，从而求出周长. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， ， ， ， ，即， 即， ∴． 又， ； （2）因为的角平分线与边相交于点， 所以，即， 所以，所以， 又由余弦定理，即， 所以，解得或（舍去）， 所以. 例题4．（24-25高三上·山东德州·期中）已知中的三个角的对边分别为，且满足. (1)求； (2)若的角平分线交于，，求面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）利用正弦定理将角化边，化简后求解即可； （2）根据角平分线性质，得，再利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为，所以由正弦定理得， 又因为，所以， 即，又，所以； （2），即， 化简得， 所以， 所以所以， 当且仅当时取“=”， 所以，所以面积的最小值为. 例题5．（23-24高一下·广东惠州·期末）已知有下面三个条件： ①；②；③； 请从这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题：在中，角所对的边分别是，，，且________. (1)求角A的大小； (2)若是的角平分线，且，，求线段的长. 【答案】(1) (2) 【知识点】用定义求向量的数量积、正弦定理边角互化的应用、余弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）选择①：利用三角形的面积公式和向量的数量积的运算公式，求得，得到，即可求解；选择②：由正弦定理化简得到，得到，即可求解；选择③，化简得到,即，由余弦定理求得，即可求解； （2）根据题意结合，列出方程，即可求解. 【详解】（1）选择①：由，可得， 即，即， 因为，所以； 选择②：因为②，由正弦定理得， 可得， 因为，可得，所以， 即，可得， 因为，可得，所以； 选择③：由，可得, 又由正弦定理得，再由余弦定理得， 因为，所以. （2）若是的角平分线，则， 且，即， 解得. 精练核心考点 1．（24-25高一下·江苏宿迁·阶段练习）△ABC中， AB=3，AC=2，∠BAC=60°， 中线AM长为m，角平分线AD的长为n，则 【答案】 【知识点】数量积的运算律、三角形面积公式及其应用 【分析】中线用向量即可求的值；角平分线用即可求的值. 【详解】AM为中线，则，则，则， AD为角平分线，则，即， 得， 则 故答案为： 2．（24-25高一下·山东枣庄·阶段练习）已知在中，． (1)求的大小； (2)若角的角平分线交边于点，，的周长为15，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】余弦定理解三角形、用和、差角的正弦公式化简、求值、三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式计算可得； （2）利用余弦定理求出，再由及面积公式计算可得. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 即， 又，所以，所以， 又，所以； （2）因为，， 由余弦定理得， 即，解得. 为角的角平分线，， ∵， ∴， ∴，得. 3．（24-25高二上·重庆·期中）在中，，，为，，的对边，. (1)求； (2)若为的角平分线，交于点，，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【知识点】余弦定理解三角形、辅助角公式、三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）根据条件，利用正弦定理边转角得到，再利用辅助角公式和特殊角的三角函数值，即可求角； （2）根据条件，利用等面积法，得到，再利用余弦定理得，联立求出，即可求解. 【详解】（1）由，得到， 又，所以，即，得到， 又，所以，解得. （2）因为，，所以， 又，得到， 在中，由余弦定理得到， 又，所以，解得(舍负)，所以， 故的面积为. 4．（23-24高一下·贵州遵义·期末）已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 (1)求角B； (2)若点D在上，为的角平分线，，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）利用正弦定理进行角换边，再结合余弦定理即可得到答案； （2）根据面积法得，再利用乘“1”法即可得到最小值. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理可得，即， 又因为，则， 因为，所以. （2）因为 所以， 因为，所以， 所以，即， 所以， 当且仅当时，取得最小值. 5．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）的内角的对边分别为，满足. (1)求； (2)的角平分线与交于点，求的最小值. 【答案】(1) (2)． 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、二倍角的正弦公式、三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由二倍角公式计算可得； （2）由等面积法得到，再由乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】（1）由得， 由正弦定理得，即， 由，所以，化简得， 所以，所以. （2）由， 得， 即，得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为． 方法二：角形式（） 典型例题 例题1．（2025高一下·全国·专题练习）在中， 是的角平分线， 且交于. 已知， 则 . 【答案】 【知识点】图形的性质、余弦定理解三角形 【分析】根据角平分线性质定理可得，设，由余弦定理可得关于m的方程，求得m的值，可得答案. 【详解】由题意是的角平分线，， 由角平分线的性质知：， 设， 因为，则，则, 所以，整理得，解得或（舍）. 所以,. 故答案为： 例题2．（24-25高三上·山东·阶段练习）下面问题的条件①，②，③，④有多余，现请你在①，④中删去一个，并将剩下的三个作为条件解答这个问题． 已知中，是边的中点，你删去的条件是_____请写出用剩余条件解答本题的过程． (1)求的长； (2)的平分线交于点，求的长． 注：如果选择删去条件①和条件④分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)条件选择见解析，； (2). 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）删①：设，， 在和中，分别应用余弦定理列出方程，通过解方程即可求出的长； 删④：设，在和中，分别应用余弦定理，求出和的值，根据即可求出的长； （2）根据，利用三角形的面积公式即可求出的长． 【详解】（1）删①：设，， 在中，由余弦定理，得， 在中，由余弦定理，得， 联立，解得，，所以，； 删④：设， 在中，由余弦定理，得， 在中，由余弦定理，得， ∵， 所以，解得，所以； （2）由（1）知删①和删④都能得出，， ， 因为， 所以 所以. 精练核心考点 1．（24-25高三上·山东泰安）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，点D在射线AC上，满足. (1)求； (2)设的角平分线与直线AC交于点E，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】几何图形中的计算、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）利用正弦定理化角为边由表示，利用余弦定理求出即可求出； （2）分别在和中利用正弦定理表示，化简整理可得. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 因为，由正弦定理得，即，则， 由余弦定理得， 则，因为，所以； （2）如图，， 在中，，， 在中，，则， ，， 所以, ， 所以. 2．（2024高三·全国·专题练习）记的内角的对边分别为．已知． (1)若，证明：是等腰三角形； (2)若，角的平分线交于，且，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、正弦定理解三角形、二倍角的余弦公式 【分析】（1）由正弦定理边化角，再结合三角恒等变形，得到，从而得到角的关系，即可证明； （2）方法一：首先根据（1）的过程，以及（2）的条件，可得，从而根据角的关系，以及边的关系，在中，表示正弦定理，转化为求解三角方程，即可求解； 方法二：根据角平分线定理，得，再根据，代入余弦定理，结合条件，即可求解. 【详解】（1）根据正弦定理，， 由得或 所以或， 又因为，所以， 故不成立，所以，又，所以． 即是等腰三角形． （2）方法一： 由（1）及可得，，所以，． 在中，． 在中，由正弦定理得，所以． 而， 所以，解得（负舍）． 方法二： 因为，所以，． 由角平分线定理得，得，即． 由（1）知，，又平分，所以，所以． 因为，所以， 即， 即， 整理得，将代入，得，即， 所以． 3．（2025·四川·模拟预测）在①；②这两个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的横线上，并给出解答． 注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 已知中，角的对边分别为，点D为边的中点，，且________． (1)求a的值； (2)若的平分线交于点E，求的周长． 【答案】(1)2 (2) 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）选①，利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简可得B，再利用余弦定理即可求得答案； 选②，设，则，分别在中和在中，由余弦定理列出等式即可求得答案； （2）结合（1）的结论，利用三角形面积求出，利用余弦定理求得的长，即可得答案. 【详解】（1）若选①：由可得, 又, 故, 而，故， 又，所以； 设，则，    在中，由余弦定理得, 即， 在中，由余弦定理得, 即，和联立解得， 则； 若选②：，设，则， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 因为，所以， 即，解得， 故. （2）由（1）可知，选①可得；选②可得，则， 故由， 可得， 解得， 故在中，， 即, 故的周长为. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$