精品解析： 广东省湛江市雷州市八中教育集团2024--2025学年中考三模数学试题

2025年雷州市八中集团中考模拟考试 数学试卷 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，用正、负数来表示具有相反意义的量．若气温上升记作，则气温下降记作（ ） A. B. C. D. 2. 下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 2025年1月26日，合肥2024年经济数据正式出炉，全市生产总值同比增长，高于全国个百分点，总量亿元．“亿”用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 4. 2024广东3·15消费维权打假论坛在广州举行，本次论坛四大分会场“非遗文化分论坛”、“美妆直播分论坛”、“家装行业分论坛”和“食品行业分论坛”同时进行，若某记者随机选择一场分论坛进行报道，则选中“非遗文化分论坛”的概率是（ ） A. B. C. D. 1 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，直线，直线，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 分式方程的解是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在菱形中，，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线，交于点E，连接，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，反比例函数的图象经过点，连接并延长，交双曲线于点C．以为对角线作正方形，点B在第四象限，过点A，O，B作弧．则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与x轴交于两点，点B的坐标为，抛物线的对称轴为直线．点在轴下方抛物线上，轴，交外接圆于点，的长度为（ ） A. B. C. 1 D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 因式分解：__________． 12. 若关于x的一元二次方程无实数根，则k的取值范围是______． 13. 如图，在的圆内接正五边形中，过点D作交于点F，则的度数为_______． 14. 若一个多边形的内角和是900º，则这个多边形是_____边形． 15. 把一块含60°角的三角板按图方式摆放在平面直角坐标系中，其中60°角的顶点B在x轴上，斜边与x轴的夹角，若，当点A，C同时落在一个反比例函数图象上时，B点的坐标为______． 三、解答题（每小题7分，共21分） 16. 先化简，再求值：，其中. 17. 如图，在中 ，，平分交于点D （1）请用无刻度的直尺和圆规作，使得，且射线在线段左侧，交于点E（保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）的条件下判断与的数量关系，并证明． 18. 劳动教育具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值，有利于学生树立正确的劳动价值观．某学校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了m名学生在某个休息日做家务的劳动时间作为样本，并绘制了以下不完整的频数分布表和扇形统计图．根据题中已有信息，解答下列问题： 劳动时间t（单位：小时） 频数 12 a 26 16 4 （1）　　， ； （2）若该校学生有640人，试估计劳动时间在范围的学生有多少人？ （3）劳动时间在范围的4名学生中有男生2名，女生2名，学校准备从中任意抽取2名交流劳动感受，求抽取的2名学生恰好是二名女生的概率. 四、解答题（每小题9分，共27分） 19. 某校计划购买两种书架，已知购买1个种书架比购买1个种书架的价格高，用18000元购买种书架的数量比用9000元购买种书架的数量多6个． （1）每个种书架、每个种书架的价格分别是多少元？ （2）该校计划购买、两种书架共20个，且种书架数量不少于种书架数量的．设购买种书架个，为使购买书架总费用（单位：元）最低，应购买种书架和种书架各多少个？购买书架的总费用最低为多少元？ 20. 【阅读与思考】： 整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：． 我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行． 像这种借助画十字交叉图分解系数，帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”． 例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为． （1）请同学们认真观察和思考，用“十字相乘法”分解因式：________； 【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式： （2）①________；②________； 【探究与拓展】 ①类比我们已经知道：． 反过来，就得到：． （3）请你仔细体会上述方法并尝试下面进行分解因式：①________； ②若、均为整数，且、满足，求的值． 21. 项目式学习 项目背景 中庙又名忠庙、太姥庙，位于安徽巢湖市的中庙镇，古时因“中庙”居巢州、庐州的中间，所得地名，也就有了“中庙寺”的寺名，如图1所示．某学校数学兴趣小组在详细研究了中庙的结构设计后，想用所学知识测量这座庙的高度，其示意图如图2所示．为了更好地测量中庙的高度，小组需完成两个任务． 图示及说明 如图2所示，在垂直地面的这座庙侧方有一平台广场，小明在平台广场A处测得庙顶端的仰角为，，走上侧边阶梯，阶梯的坡度，阶梯的坡面长度为． 任务1 （1）求阶梯的垂直高度，即点到直线的距离；（结果保留整数） 任务2 （2）求这座庙的高度．（结果保留整数） 参考数据 ，，， 五、解答题（13+14分，共27分） 22. 如图，是的切线，切点为B，点A在⊙O上，且，连接并延长交于点C，交直线于点D，连接． （1）证明：是的切线； （2）证明：； （3）若，，求线段的长． 23. 如图，已知二次函数的图象与轴交于、两点（点在点左侧），与轴交于点，连接并延长交抛物线的对称轴于点，点是抛物线上的一个动点，其横坐标满足，设直线． （1）当点的坐标为时， ①求二次函数的解析式； ②当最大时，求的值； ③在②的条件下，连接交于点，求的值． （2）当最大时，是否是定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年雷州市八中集团中考模拟考试 数学试卷 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，用正、负数来表示具有相反意义的量．若气温上升记作，则气温下降记作（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，正负数是一对具有相反意义的量，把气温上升用正数表示，那么气温下降用负数表示，据此求解即可． 【详解】解：若气温上升记作，则气温下降记作， 故选：C． 2. 下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义就可以选出答案． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、是中心对称图形，符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查中心对称图形的定义：把一个图形绕某个点旋转180︒，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 3. 2025年1月26日，合肥2024年经济数据正式出炉，全市生产总值同比增长，高于全国个百分点，总量亿元．“亿”用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：亿， 故选：． 4. 2024广东3·15消费维权打假论坛在广州举行，本次论坛四大分会场“非遗文化分论坛”、“美妆直播分论坛”、“家装行业分论坛”和“食品行业分论坛”同时进行，若某记者随机选择一场分论坛进行报道，则选中“非遗文化分论坛”的概率是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，直接根据概率公式（概率所求情况数与总情况数之比）计算即可． 【详解】解：从“非遗文化分论坛”、“美妆直播分论坛”、“家装行业分论坛”和“食品行业分论坛”四场论坛随机选择一个论坛有4种情况，选中“非遗文化分论坛”的只有一种情况， 选中“非遗文化分论坛”的概率是． 故选：B． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方，单项式乘以单项式，单项式除以单项式，合并同类项，解题关键是熟悉上述知识，并能熟练运用求解． 利用幂的乘方运算法则可以判断A；利用单项式乘以单项式计算可以判断B；利用单项式除以单项式计算可以判断C；利用合并同类项法则可以判断D． 【详解】解：，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； 没有同类项，不能合并，故D错误． 故选：C ． 6. 如图，直线，直线，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质及垂直的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据平行线的性质及垂直的意义可进行求解． 【详解】解：如图所示， ∵直线，， ∴， ∵直线， ∴． ∴． 故选：A． 7. 分式方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键，注意验根．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：， 去分母，得， 移项、合并同类项，得， 检验：把代入， ∴分式方程的解为， 故选：B． 8. 如图，在菱形中，，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线，交于点E，连接，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，由垂直平分线的性质和等腰直角三角形的性质，得，再得，利用勾股定理即可求出的长度． 【详解】解：连接，如图： 由作图痕迹可知，垂直平分， ∴， ∴， ∴， 在等腰中，， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，则 ； 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确得到． 9. 如图，反比例函数的图象经过点，连接并延长，交双曲线于点C．以为对角线作正方形，点B在第四象限，过点A，O，B作弧．则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由反比例函数的图象经过点，求得反比例函数的表达式为；根据正方形的性质得到点是四边形的中心，连接，得到，，求得所对圆心角的度数为，根据勾股定理得到所在圆的半径为；设所在圆的圆心为，与轴交于，与轴交于，连接，求得，根据全等三角形的判定得到，根据三角形的面积公式和扇形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的表达式为； ∵四边形是正方形，为对角线，， ∴点O是四边形的中心， 连接， ∴， ∴，为所在圆的直径， ∴所对圆心角的度数为， ∵， ∴， ∴所在圆的半径为； 设所在圆的圆心为E，与x轴交于F，与x轴交于G，连接， ∴，， ∵， ∴， ∵弓形的面积扇形的面积三角形的面积， ∴图中阴影部分的面积之和半圆的面积弓形的面积． 故选：A． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，扇形面积的计算，勾股定理，圆周角定理，待定系数法求函数的解析式，正确地识别图形是解题的关键． 10. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与x轴交于两点，点B的坐标为，抛物线的对称轴为直线．点在轴下方抛物线上，轴，交外接圆于点，的长度为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出抛物线的解析式为，如图：设的外接圆的圆心为，连接、、，，作，则，，根据轴对称的性质、坐标系内点坐标的规律、两点间距离公式可得；再结合勾股定理可得，整理后可得，然后说明，最后由并代入相关结论即可解答． 【详解】解：∵抛物线与x轴交于两点，点B的坐标为，抛物线的对称轴为直线， ∴， 由题意可得：，解得：， ∴抛物线的解析式为：， 如图：设的外接圆的圆心为，连接、、，，作，则，， ∵，且A、B两点关于直线对称， ∴点在直线上， 设， ∵， ∴轴， ∴， 设且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵且， ∴， ∴，， ∵， ∴， 整理得：， ∵， ∴，即， 由∵， ∴ ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查求二次函数解析式、二次函数的性质、外接圆的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式完成二次分解即可． 【详解】解：． 12. 若关于x的一元二次方程无实数根，则k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据根的判别式即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是掌握当时，方程没有实数根． 13. 如图，在的圆内接正五边形中，过点D作交于点F，则的度数为_______． 【答案】##18度 【解析】 【分析】本题考查圆内接正多边形，三角形内角和，连接，，根据圆内接正五边形，得到，，则，得到，根据等腰三角形得到，再由得到，最后根据三角形内角和求解即可． 【详解】解：连接，， ∵在的圆内接正五边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 若一个多边形的内角和是900º，则这个多边形是_____边形． 【答案】七 【解析】 【分析】根据多边形的内角和公式，列式求解即可． 【详解】设这个多边形是边形，根据题意得， ， 解得． 故答案为七． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键． 15. 把一块含60°角的三角板按图方式摆放在平面直角坐标系中，其中60°角的顶点B在x轴上，斜边与x轴的夹角，若，当点A，C同时落在一个反比例函数图象上时，B点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】设反比例函数解析式为，过点A，C分别作轴，轴，垂足分别为D，E，解，求出，再根据反比例函数的性质求解即可． 【详解】解：设反比例函数解析式为，点A，C分别作轴，轴，垂足分别为D，E，如图， 在中，， ∴， ∴， 在中，∠， ∴∠， ∴， ∴， ∵∠ ∴ 在中，∠， ∴， ∴， ∴， 设，则 ∴， ∴ ∵A，C均在反比例函数图象上， ∴ 解得，即， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，正确表示出点A和点C的坐标是解答本题的关键． 三、解答题（每小题7分，共21分） 16. 先化简，再求值：，其中. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，根据分式混合运算进行计算化简，再代入已知值计算． 【详解】解：原式 ， 原式． 17. 如图，在中 ，，平分交于点D （1）请用无刻度的直尺和圆规作，使得，且射线在线段左侧，交于点E（保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）的条件下判断与的数量关系，并证明． 【答案】（1） 即为所作： （2） ， 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图—作一个角等于已知角，平行线的判定，平行线分线段成比例定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）根据尺规作一个角等于已知角的方法即可作图； （2）证明出，再根据平行线分线段成比例定理即可求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 劳动教育具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值，有利于学生树立正确的劳动价值观．某学校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了m名学生在某个休息日做家务的劳动时间作为样本，并绘制了以下不完整的频数分布表和扇形统计图．根据题中已有信息，解答下列问题： 劳动时间t（单位：小时） 频数 12 a 26 16 4 （1）　　， ； （2）若该校学生有640人，试估计劳动时间在范围的学生有多少人？ （3）劳动时间在范围的4名学生中有男生2名，女生2名，学校准备从中任意抽取2名交流劳动感受，求抽取的2名学生恰好是二名女生的概率. 【答案】（1）80，22 （2）160人 （3） 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图、频数分布表、用样本估计总体、画树状图或列表法求概率，读懂题意是解答的关键． （1）根据劳动时间在范围的频数除以其所占的百分比求解m值，再用m值减去其他劳动范围内的频数可求解a值； （2）用该校总人数乘以样本中劳动时间在范围所占的比例求解即可； （3）画树状图得到所有的等可能的结果，再找出满足条件的结果，进而利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，，， 故答案为：80，22； 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计劳动时间在范围的学生有160人； 【小问3详解】 解：画树状图，如图： 共有12种等可能的结果，其中抽取的2名学生恰好是两名女生的有2种， ∴抽取的2名学生恰好是二名女生的概率为． 四、解答题（每小题9分，共27分） 19. 某校计划购买两种书架，已知购买1个种书架比购买1个种书架的价格高，用18000元购买种书架的数量比用9000元购买种书架的数量多6个． （1）每个种书架、每个种书架的价格分别是多少元？ （2）该校计划购买、两种书架共20个，且种书架数量不少于种书架数量的．设购买种书架个，为使购买书架总费用（单位：元）最低，应购买种书架和种书架各多少个？购买书架的总费用最低为多少元？ 【答案】（1）每个种书架、每个种书架的价格分别是1200元、1000元 （2）A书架购买8个，B书架购买12个，购买书架的总费用最低为21600元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用及一次函数的应用，理解题意，根据数量关系列出方程、不等式与函数式是解题的关键． （1）设每个种书架的价格为x元，则每个种书架的价格为元，根据等量关系：用18000元购买种书架的数量比用9000元购买种书架的数量多6个，列出分式方程，再求解并检验即可； （2）由题意购买B种书架个，由不等关系可求得a的范围；根据费用列出W关于a的一次函数关系，即可求得最小值． 【小问1详解】 解：设每个种书架的价格为x元，则每个种书架的价格为元， 由题意得：， 解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意， 则每个种书架的价格为（元）； 答：每个种书架、每个种书架的价格分别是1200元、1000元； 【小问2详解】 解：由题意购买B种书架个， 则， 解得：； 而，其中， 当时，W随a的增大而增大， 当时，W取得最小值21600； 此时； 答：A书架购买8个，B书架购买12个，购买书架的总费用最低为21600元． 20. 【阅读与思考】： 整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：． 我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行． 像这种借助画十字交叉图分解系数，帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”． 例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为． （1）请同学们认真观察和思考，用“十字相乘法”分解因式：________； 【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式： （2）①________；②________； 【探究与拓展】 ①类比我们已经知道：． 反过来，就得到：． （3）请你仔细体会上述方法并尝试下面进行分解因式：①________； ②若、均为整数，且、满足，求的值． 【答案】（1）；（2）①；②；（3）①；② 【解析】 【分析】本题考查十字相乘法进行因式分解，理解“十字相乘法”的内涵是正确解答的关键． （1）利用如图1、图2，仿图3的“十字”可以对进行因式分解； （2）①利用如图1、图2的“十字”可以对进行因式分解；②利用如图1、图2的“十字”可以对进行因式分解； （3）①利用题中的“十字”可以对多项式进行因式分解；②利用如解析图所示的“十字”可以对多项式进行因式分解为，然后结合有理数的乘法运算分析求解即可． 【详解】解：（1）， ∴， ∴， 故答案为：． （2）①∵ ∴； ②∵ ∴， ∴， 故答案为：； （3）①根据题意得： ∴， 故答案为：； ②， ∴， ∴， ∵、均为整数， ∴为奇数，不能为3的倍数， ∴当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴． 21. 项目式学习 项目背景 中庙又名忠庙、太姥庙，位于安徽巢湖市的中庙镇，古时因“中庙”居巢州、庐州的中间，所得地名，也就有了“中庙寺”的寺名，如图1所示．某学校数学兴趣小组在详细研究了中庙的结构设计后，想用所学知识测量这座庙的高度，其示意图如图2所示．为了更好地测量中庙的高度，小组需完成两个任务． 图示及说明 如图2所示，在垂直地面的这座庙侧方有一平台广场，小明在平台广场A处测得庙顶端的仰角为，，走上侧边阶梯，阶梯的坡度，阶梯的坡面长度为． 任务1 （1）求阶梯的垂直高度，即点到直线的距离；（结果保留整数） 任务2 （2）求这座庙的高度．（结果保留整数） 参考数据 ，，， 【答案】（1）阶梯的垂直高度，即点到直线的距离约为13米；（2）米 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、解直角三角形、勾股定理和三角函数的应用的知识，掌握以上知识是解题的关键； （1）分别延长和交于点，过点作，交于点，根据坡度，得到，在中，根据勾股定理即可求解； （2）在中，通过三角函数求得，然后在根据矩形的性质即可求解 【详解】解：（1）分别延长和交于点，过点作，交于点， ∴ ∴四边形是矩形， ∴ 阶梯的坡度，即， ∴设，则， 在中，，即， 解得（米）， 答：阶梯的垂直高度，即点到直线的距离约为米． （2）解：在中，， ∴（米）． 由题易得，四边形为矩形， ∴米， ∴（米）． 答：这座塔的高度约为米． 五、解答题（13+14分，共27分） 22. 如图，是的切线，切点为B，点A在⊙O上，且，连接并延长交于点C，交直线于点D，连接． （1）证明：是的切线； （2）证明：； （3）若，，求线段的长． 【答案】（1） 证明：如图1，连接， ∵是的切线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵点A在上， ∴是的切线； （2） 证明：如图2，连接，, ∴ ∴ ∵是的切线， ∴即 ∵是的直径， ∴ ∴ ∴ ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）连接，判定，从而得到，即可得证； （2）连接，根据弦切角等于所夹弧所对的圆周角推出判定的条件，判定相似后根据相似三角形的性质即可推出结论； （3）先解直角三角形，求出，再根据锐角三角函数的定义和已知条件求出的长，再根据勾股定理即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：在中，， 设，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，． 【点睛】本题主要考查圆的切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识点，深入理解题意解决问题的关键． 23. 如图，已知二次函数的图象与轴交于、两点（点在点左侧），与轴交于点，连接并延长交抛物线的对称轴于点，点是抛物线上的一个动点，其横坐标满足，设直线． （1）当点的坐标为时， ①求二次函数的解析式； ②当最大时，求的值； ③在②的条件下，连接交于点，求的值． （2）当最大时，是否是定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 【答案】（1）①；②；② （2）是定值 【解析】 【分析】（1）①先求得点，根据点的坐标为时，得出：，即可得出解析式； ②根据解析式求得，，进而求得直线的解析式为，得出，进而根据点是抛物线上的一个动点，其横坐标满足，当与抛物线相切于对称轴右侧时，最大时，联立抛物线解析式与直线，令判别式为0，求得； ③由②可得，得出直线的解析式为，联立直线的解析式为，求得，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，根据平行线分线段成比例得出，即可求解； （2）同（1）的方法求解，即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象与轴交于点， 当时，，则 点的坐标为时， ∴， 解得： ∴二次函数的解析式为：； ②∵对称轴为直线， 当时，， 解得： ∴， 设直线的解析式为，代入，得， 解得；， ∴直线的解析式为， ∵是与的交点， ∴当时，， ∴， 点是抛物线上的一个动点，其横坐标满足，当与抛物线相切于对称轴右侧时，最大时， 由直线，代入得， ∴ ∴直线 由抛物线解析式 联立消去得， ∴ ∴ 解得：（舍去）或 ∴ 即 ③由②可得 由直线，，得出直线的解析式为 由，的坐标为，得出直线的解析式为， 联立 解得： ∴ 如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别为 ∴ ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵二次函数的图象与轴交于点， 当时，，则 对称轴为直线， 当时，， 解得： ∴， 又，设直线的解析式为，代入，得， 解得；， ∴直线的解析式为， ∵是与的交点， ∴当时， ∴ 当与抛物线相切于对称轴左侧时，最大时， 点是抛物线上的一个动点，其横坐标满足， 由直线，代入得， ∴ ∴直线 由抛物线解析式 联立消去得， ∴ ∴ 解得：或（舍去） ∵ ∴ 即是定值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $