专题07 函数（湖南专用）-【好题汇编】三年（2023-2025）中考数学真题分类汇编

专题07 函数 考点01 平面直角坐标系与函数 1．（2025•湖南）在平面直角坐标系中，将点向右平移个单位长度到处，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（2025•湖南）甲、乙两人在一次100米赛跑比赛中，路程（米）与时间（秒）的函数关系如图所示，填 （“甲”或“乙”）先到终点： 3．（2023•娄底）函数y的自变量x的取值范围是 　 　． 4．（2023•岳阳）函数y中，自变量x的取值范围是 　 　． 5．（2023•永州）小明观察到一个水龙头因损坏而不断地向外滴水，为探究其漏水造成的浪费情况，小明用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面装水，每隔一分钟记录量筒中的总水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如表的一组数据： 时间t （单位：分钟） 1 2 3 4 5 … 总水量y （单位：毫升） 7 12 17 22 27 … （1）探究：根据上表中的数据，请判断和y＝kt+b（k，b为常数）哪一个能正确反映总水量y与时间t的函数关系？并求出y关于t的表达式； （2）应用： ①请你估算小明在第20分钟测量时量筒的总水量是多少毫升？ ②一个人一天大约饮用1500毫升水，请你估算这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用多少天． 考点02 一次函数 1．（2024•长沙）对于一次函数y＝2x﹣1，下列结论正确的是（　　） A．它的图象与y轴交于点（0，﹣1） B．y随x的增大而减小 C．当时，y＜0 D．它的图象经过第一、二、三象限 2．（2023•长沙）下列一次函数中，y随x的增大而减小的函数是（　　） A．y＝2x+1 B．y＝x﹣4 C．y＝2x D．y＝﹣x+1 3．（2023•郴州）第11届中国（湖南）矿物宝石国际博览会在我市举行，小方一家上午9：00开车前往会展中心参观．途中汽车发生故障，原地修车花了一段时间．车修好后，他们继续开车赶往会展中心．以下是他们家出发后离家的距离s与时间的函数图象．分析图中信息，下列说法正确的是（　　） A．途中修车花了30min B．修车之前的平均速度是500m/min C．车修好后的平均速度是80m/min D．车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的1.5倍 4．（2023•益阳）关于一次函数y＝x+1，下列说法正确的是（　　） A．图象经过第一、三、四象限 B．图象与y轴交于点（0，1） C．函数值y随自变量x的增大而减小 D．当x＞﹣1时，y＜0 5．（2023•娄底）将直线y＝2x+1向右平移2个单位后所得图象对应的函数表达式为（　　） A．y＝2x+5 B．y＝2x+3 C．y＝2x﹣2 D．y＝2x﹣3 6．（2023•郴州）在一次函数y＝（k﹣2）x+3中，y随x的增大而增大，则k的值可以是 　 　（任写一个符合条件的数即可）． 7．（2023•湘西州）2023年“地摊经济”成为社会关注的热门话题，“地摊经济”有着启动资金少、管理成本低等优点，特别是在受到疫情冲击后的经济恢复期，“地摊经济”更是成为许多创业者的首选，甲经营了某种品牌小电器生意，采购2台A种品牌小电器和3台B种品牌小电器，共需要90元；采购3台A种品牌小电器和1台B种品牌小电器，共需要65元．销售一台A种品牌小电器获利3元，销售一台B种品牌小电器获利4元． （1）求购买1台A种品牌小电器和1台B种品牌小电器各需要多少元？ （2）甲用不小于2750元，但不超过2850元的资金一次性购进A、B两种品牌小电器共150台，求购进A种品牌小电器数量的取值范围． （3）在（2）的条件下，所购进的A、B两种品牌小电器全部销售完后获得的总利润不少于565元，请说明甲合理的采购方案有哪些？并计算哪种采购方案获得的利润最大，最大利润是多少？ 8．（2023•湘潭）我国航天事业发展迅速，2023年5月30日9时31分，神舟十六号载人飞船成功发射．某玩具店抓住商机，先购进了1000件相关航天模型玩具进行试销，进价为50元/件． （1）设每件玩具售价为x元，全部售完的利润为y元．求利润y（元）关于售价x（元/件）的函数表达式； （2）当售价定为60元/件时，该玩具销售火爆，该店继续购进一批该种航天模型玩具，并从中拿出这两批玩具销售利润的20%用于支持某航模兴趣组开展活动，在成功销售完毕后，资助经费恰好10000元，请问该商店继续购进了多少件航天模型玩具？ 9．（2023•湘西州）如图（1）所示，小明家、食堂、图书馆在同一条直线上食堂离小明家0.6km，图书馆离小明家0.8km．小明从家出发，匀速步行了8min去食堂吃早餐；吃完早餐后接着匀速步行了3min去图书馆读报；读完报以后接着匀速步行了10min回到家．图（2）反映了这个过程中，小明离家的距离y与时间x之间的对应关系． 请根据相关信息解答下列问题： （1）填空： ①食堂离图书馆的距离为 　0.2　km； ②小明从图书馆回家的平均速度是 　0.08　km/min； ③小明读报所用的时间为 　30　min． ④小明离开家的距离为时，小明离开家的时间为 　26或　min． （2）当0≤x≤28时，请直接写出y关于x的函数解析式． 10．（2023•株洲）某花店每天购进16支某种花，然后出售，如果当天售不完，那么剩下的这种花进行作废处理．该花店记录了10天该种花的日需求量（n为正整数，单位：支），统计如下表： 日需求量n 13 14 15 16 17 18 天数 1 1 2 4 1 1 （1）求该花店在这10天中出现该种花作废处理情形的天数； （2）当n＜16时，日利润y（单位：元）关于n的函数表达式为：y＝10n﹣80；当n≥16时，日利润为80元． ①当n＝14时，问该花店这天的利润为多少元？ ②求该花店这10天中日利润为70元的日需求量的频率． 考点03 反比例函数 1．（2025•湖南）对于反比例函数，下列结论正确的是（   ） A．在在该函数的图象上 B．该函数的图象分别位于第二、第四象限 C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小 2．（2023•怀化）已知压力F（N）、压强P（Pa）与受力面积S（m2）之间有如下关系式：F＝PS．当F为定值时，如图中大致表示压强P与受力面积S之间函数关系的是（　　） A． B． C． D． 3．（2023•怀化）如图，反比例函数y（k＞0）的图象与过点（﹣1，0）的直线AB相交于A、B两点．已知点A的坐标为（1，3），点C为x轴上任意一点．如果S△ABC＝9，那么点C的坐标为（　　） A．（﹣3，0） B．（5，0） C．（﹣3，0）或（5，0） D．（3，0）或（﹣5，0） ． 4．（2023•湘潭）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A是反比例函数y（k≠0）图象上的一点，过点A分别作AM⊥x 轴于点M，AN⊥y轴于点N，若四边形AMON的面积为2．则k的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1 5．（2023•张家界）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在AB上，且ADAB，反比例函数y（k＞0）的图象经过点D及矩形OABC的对称中心M，连接OD，OM，DM．若△ODM的面积为3，则k的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（2023•湘西州）如图，点A在函数y（x＞0）的图象上，点B在函数y（x＞0）的图象上，且AB∥x轴，BC⊥x轴于点C，则四边形ABCO的面积为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（2023•邵阳）如图，矩形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在反比例函数y（k≠0）的图象上，点B的坐标为（2，4），则点E的坐标为（　　） A．（4，4） B．（2，2） C．（2，4） D．（4，2） 8．（2023•永州）已知点M（2，a）在反比例函数的图象上，其中a，k为常数，且k＞0，则点M一定在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9．（2023•株洲）下列哪个点在反比例函数的图象上？（　　） A．P1（1，﹣4） B．P2（4，﹣1） C．P3（2，4） D． 10.（2024•湖南）在一定条件下，乐器中弦振动的频率f与弦长l成反比例关系，即f（k为常数，k≠0）．若某乐器的弦长l为0.9米，振动频率f为200赫兹，则k的值为 　 　． 11．（2023•长沙）如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数y（k为常数，k＞0，x＞0）的图象上，过点A作x轴的垂线，垂足为B，连接OA．若△OAB的面积为，则k＝　 　． 12．（2023•湘潭）如图，点A的坐标是（﹣3，0），点B的坐标是（0，4），点C为OB中点．将△ABC绕着点B逆时针旋转90°得到△A′BC′． （1）反比例函数y的图象经过点C′，求该反比例函数的表达式； （2）一次函数图象经过A、A′两点，求该一次函数的表达式． 13．（2023•岳阳）如图，反比例函数y（k为常数，k≠0）与正比例函数y＝mx（m为常数，m≠0）的图象交于A（1，2），B两点． （1）求反比例函数和正比例函数的表达式； （2）若y轴上有一点C（0，n），△ABC的面积为4，求点C的坐标． 14．（2023•常德）如图所示，一次函数y1＝﹣x+m图象与反比例函数图象相交于点A和点B（3，﹣1）． （1）求m的值和反比例函数解析式； （2）当y1＞y2时，求x的取值范围． 15．（2023•株洲）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC为正方形，其中点A、C分别在x轴负半轴，y轴负半轴上，点B在第三象限内，点A（t，0），点P（1，2）在函数 的图象上． （1）求k的值； （2）连接BP、CP，记△BCP的面积为S，设T＝2S﹣2t2，求T的最大值． 16．（2023•衡阳）如图，正比例函数yx的图象与反比例函数y（x＞0）的图象相交于点A． （1）求点A的坐标． （2）分别以点O、A为圆心，大于OA一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点B和点C，作直线BC，交x轴于点D．求线段OD的长． 17．（2023•郴州）在实验课上，小明做了一个试验．如图，在仪器左边托盘A（固定）中放置一个物体，在右边托盘B（可左右移动）中放置一个可以装水的容器，容器的质量为5g．在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘B与点C的距离x（cm）（0＜x≤60），记录容器中加入的水的质量，得到下表： 托盘B与点C的距离x/cm 30 25 20 15 10 容器与水的总质量y1/g 10 12 15 20 30 加入的水的质量y2/g 5 7 10 15 25 把上表中的x与y1各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的y1关于x的函数图象． （1）请在该平面直角坐标系中作出y2关于x的函数图象； （2）观察函数图象，并结合表中的数据： ①猜测y1与x之间的函数关系，并求y1关于x的函数表达式； ②求y2关于x的函数表达式； ③当0＜x≤60时，y1随x的增大而 　减小　（填“增大”或“减小”），y2随x的增大而 　减小　（填“增大”或“减小”），y2的图象可以由y1的图象向 　下　（填“上”或“下”或“左”或“右”）平移得到． （3）若在容器中加入的水的质量y2（g）满足19≤y2≤45，求托盘B与点C的距离x（cm）的取值范围． 考点4 二次函数 1．（2023•衡阳）已知m＞n＞0，若关于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解为x1，x2（x1＜x2），关于x的方程x2+2x﹣3﹣n＝0的解为x3，x4（x3＜x4）．则下列结论正确的是（　　） A．x3＜x1＜x2＜x4 B．x1＜x3＜x4＜x2 C．x1＜x2＜x3＜x4 D．x3＜x4＜x1＜x2 2．（2023•岳阳）若一个点的坐标满足（k，2k），我们将这样的点定义为“倍值点”．若关于x的二次函数y＝（t+1）x2+（t+2）x+s（s，t为常数，t≠﹣1）总有两个不同的倍值点，则s的取值范围是（　　） A．s＜﹣1 B．s＜0 C．0＜s＜1 D．﹣1＜s＜0 3．（2023•邵阳）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线y＝ax2+4ax+3（a是常数，a≠0）上的点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线x＝﹣2；②点（0，3）在抛物线上；③若x1＞x2＞﹣2，则y1＞y2；④若y1＝y2，则x1+x2＝﹣2，其中，正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2023•娄底）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论： ①abc＜0； ②4a﹣2b+c＞0； ③a﹣b＞m（am+b）（m为任意实数）； ④若点（﹣3，y1）和点（3，y2）在该图象上，则y1＞y2； 其中正确的结论是（　　） A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 5．（2023•株洲）如图所示，直线l为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴，则下列说法正确的是（　　） A．b恒大于0 B．a，b同号 C．a，b异号 D．以上说法都不对 （多选）6．（2023•湘潭）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点（3，0），则下列结论中正确的是（　　） A．a＞0 B．c＞0 C．b2﹣4ac＜0 D．9a+3b+c＝0 7．（2023•娄底）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（1，0）、点B（3，0），与y轴相交于点C，点D在抛物线上，当CD∥x轴时，CD＝　　． 8．（2023•郴州）已知抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有且只有一个交点，则m＝　　． 9．（2023•益阳）我们在学习一次函数、二次函数图象的平移时知道：将一次函数y＝2x的图象向上平移1个单位得到y＝2x+1的图象；将二次函数y＝x2+1的图象向左平移2个单位得到y＝（x+2）2+1的图象，若将反比例函数y的图象向下平移3个单位，如图所示，则得到的图象对应的函数表达式是 　 　． 10．（2025•长沙）我们约定：当满足，且时，称点与点为一对“对偶点”．若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”．请你根据该约定，解答下列问题： (1)请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）： ①函数（k是非零常数）的图象上存在无数对“对偶点”；（    ） ②函数一定不是“对偶函数”；（    ） ③函数的图象上至少存在两对“对偶点”．（    ） (2)若关于x的一次函数与（都是常数，且）均是“对偶函数”，求这两个函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形的面积之和； (3)若关于x的二次函数是“对偶函数”，求实数a的取值范围． 11．（2025•湖南）如图，已知二次函数的图象过点，连接点，，，是此二次函数图象上的三个动点，且，过点作轴交线段于点． (1)求此二次函数的表达式； (2)如图1，点、在线段上，且直线、都平行于轴，请你从下列两个命题中选择一个进行解答： ①当时，求证：； ②当时，求证：； (3)如图，若，，延长交轴于点，射线、分别与轴交于点，，连接，分别在射线、轴上取点、（点在点的右侧），且，．记，试探究：当为何值时，有最大值？并求出的最大值． 12．（2024•长沙）已知四个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）都在关于x的函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象上． （1）当A，B两点的坐标分别为（﹣1，﹣4），（3，4）时，求代数式2024a+1012b的值； （2）当A，B两点的坐标满足a2+2（y1+y2）a+4y1y2＝0时，请你判断此函数图象与x轴的公共点的个数，并说明理由； （3）当a＞0时，该函数图象与x轴交于E，F两点，且A，B，C，D四点的坐标满足：2a2+2（y1+y2）a0，2a2﹣2（y3+y4）a0．请问是否存在实数（m＞1），使得AB，CD，m•EF这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为1：2：3？若存在，求出m的值和此时函数的最小值；若不存在，请说明理由（注：m•EF表示一条长度等于EF的m倍的线段）． 13．（2024•湖南）已知二次函数y＝﹣x2+c的图象经过点A（﹣2，5），点P（x1，y1），Q（x2，y2）是此二次函数的图象上的两个动点． （1）求此二次函数的表达式； （2）如图1，此二次函数的图象与x轴的正半轴交于点B，点P在直线AB的上方，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D，连接AC，DQ，PQ．若x2＝x1+3，求证：的值为定值； （3）如图2，点P在第二象限，x2＝﹣2x1，若点M在直线PQ上，且横坐标为x1﹣1，过点M作MN⊥x轴于点N，求线段MN长度的最大值． 14．（2023•张家界）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，6）．点D为线段BC上的一动点． （1）求二次函数的表达式； （2）如图1，求△AOD周长的最小值； （3）如图2，过动点D作DP∥AC交抛物线第一象限部分于点P，连接PA，PB，记△PAD与△PBD的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值． 15．（2023•郴州）已知抛物线y＝ax2+bx+4与x轴相交于点A（1，0），B（4，0），与y轴相交于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求的值； （3）如图2，取线段OC的中点D，在抛物线上是否存在点Q，使tan∠QDB？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 16．（2023•益阳）某企业准备对A，B两个生产性项目进行投资，根据其生产成本、销售情况等因素进行分析得知：投资A项目一年后的收益yA（万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：yAx，投资B项目一年后的收益yB（万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：yBx2+2x． （1）若将10万元资金投入A项目，一年后获得的收益是多少？ （2）若对A，B两个项目投入相同的资金m（m＞0）万元，一年后两者获得的收益相等，则m的值是多少？ （3）2023年，我国对小微企业施行所得税优惠政策．该企业将根据此政策获得的减免税款及其他结余资金共计32万元，全部投入到A，B两个项目中，当A，B两个项目分别投入多少万元时，一年后获得的收益之和最大？最大值是多少万元？ 17．（2023•衡阳）如图，已知抛物线y＝ax2﹣2ax+3与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，连接AC，过B、C两点作直线． （1）求a的值． （2）将直线BC向下平移m（m＞0）个单位长度，交抛物线于B′、C′两点．在直线B′C′上方的抛物线上是否存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线B′C′的距离最大．若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． （3）抛物线上是否存在点P，使∠PBC+∠ACO＝45°，若存在，请求出直线BP的解析式；若不存在，请说明理由． 18．（2023•怀化）如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣8与x轴交于A（﹣4，0）、B（2，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的函数表达式及顶点坐标； （2）点P为第三象限内抛物线上一点，作直线AC，连接PA、PC，求△PAC面积的最大值及此时点P的坐标； （3）设直线l1：y＝kx+k交抛物线于点M、N，求证：无论k为何值，平行于x轴的直线l2：y上总存在一点E，使得∠MEN为直角． 19．（2023•岳阳）已知抛物线Q1：y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B两点，交y轴于点C（0，3）． （1）请求出抛物线Q1的表达式． （2）如图1，在y轴上有一点D（0，﹣1），点E在抛物线Q1上，点F为坐标平面内一点，是否存在点E，F使得四边形DAEF为正方形？若存在，请求出点E，F的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图2，将抛物线Q1向右平移2个单位，得到抛物线Q2，抛物线Q2的顶点为K，与x轴正半轴交于点H，抛物线Q1上是否存在点P，使得∠CPK＝∠CHK？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 20．（2023•邵阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+c经过点A（﹣2，0）和点B（4，0），且与直线l：y＝﹣x﹣1交于D、E两点（点D在点E的右侧），点M为直线l上的一动点，设点M的横坐标为t． （1）求抛物线的解析式． （2）过点M作x轴的垂线，与抛物线交于点N．若0＜t＜4，求△NED面积的最大值． （3）抛物线与y轴交于点C，点R为平面直角坐标系上一点，若以B、C、M、R为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点R的坐标． 21．（2023•湘西州）如图（1），二次函数y＝ax2﹣5x+c的图象与x轴交于A（﹣4，0），B（b，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣4）． （1）求二次函数的解析式和b的值． （2）在二次函数位于x轴上方的图象上是否存在点M，使？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图（2），作点A关于原点O的对称点E，连接CE，作以CE为直径的圆．点E′是圆在x轴上方圆弧上的动点（点E′不与圆弧的端点E重合，但与圆弧的另一个端点可以重合），平移线段AE，使点E移动到点E′，线段AE的对应线段为A′E′，连接E′C，A′A，A′A的延长线交直线E′C于点N，求的值． 22．（2023•益阳）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝a（x+2）（a＞0）与x轴交于点A，与抛物线E：y＝ax2交于B，C两点（B在C的左边）． （1）求A点的坐标； （2）如图1，若B点关于x轴的对称点为B′点，当以点A，B′，C为顶点的三角形是直角三角形时，求实数a的值； （3）定义：将平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为整数的点叫作格点，如（﹣2，1），（2，0）等均为格点．如图2，直线l与抛物线E所围成的封闭图形即阴影部分（不包含边界）中的格点数恰好是26个，求a的取值范围． 、 23．（2023•娄底）如图，抛物线y＝x2+bx+c过点A（﹣1，0）、点B（5，0），交y轴于点C． （1）求b，c的值． （2）点P（x0，y0）（0＜x0＜5）是抛物线上的动点． ①当x0取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值； ②过点P作PE⊥x轴，交BC于点E，再过点P作PF∥x轴，交抛物线于点F，连接EF，问：是否存在点P，使△PEF为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 24．（2023•长沙）我们约定：若关于x的二次函数y1＝a1x2+b1x+c1与y2＝a2x2+b2x+c2同时满足（b2+b1）2+|c2﹣a1|＝0，（b1﹣b2）2023≠0，则称函数y1与函数y2互为“美美与共”函数．根据该约定，解答下列问题： （1）若关于x的二次函数y1＝2x2+kx+3与y2＝mx2+x+n互为“美美与共”函数，求k，m，n的值； （2）对于任意非零实数r，s，点P（r，t）与点Q（s，t）（r≠s）始终在关于x的函数y1＝x2+2rx+s的图象上运动，函数y2与y1互为“美美与共”函数． ①求函数y2的图象的对称轴； ②函数y2的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由； （3）在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数y1＝ax2+bx+c与它的“美美与共”函数y2的图象顶点分别为点A，点B，函数y1的图象与x轴交于不同两点C，D，函数y2的图象与x轴交于不同两点E，F．当CD＝EF时，以A，B，C，D为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围；若不请说明理由． 25．（2023•湘潭）如图，二次函数y＝x2+bx+c 的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，其中B（1，0），C（0，3）． （1）求这个二次函数的表达式； （2）在二次函数图象上是否存在点P，使得S△PAC＝S△ABC？点P与点B不重合．若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由； （3）点Q是对称轴l上一点，且点Q的纵坐标为a，当△QAC是锐角三角形时，求a的取值范围． 26．（2023•常德）如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D．O为坐标原点，． （1）求二次函数的表达式； （2）求四边形ACDB的面积； （3）P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若∠ACO＝∠PBC，求P点的坐标． 27．（2023•永州）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）经过点F（0，5）， 顶点坐标为（2，9），点P（x1，y1）为抛物线上的动点，PH⊥x轴于H，且． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，直线OP：交BF于点G，求的最大值； （3）如图2，四边形OBMF为正方形，PA交y轴于点E，BC交FM的延长线于C，且BC⊥BE，PH＝FC，求点P的横坐标． 28．（2023•株洲）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）． （1）若a＝1，c＝﹣1，且该二次函数的图象过点（2，0），求b的值； （2）如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，该二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜0＜x2，点D在⊙O上且在第二象限内，点E在x轴正半轴上，连接DE，且线段DE交y轴正半轴于点F，． ①求证：． ②当点E在线段OB上，且BE＝1．⊙O的半径长为线段OA的长度的2倍，若4ac＝﹣a2﹣b2，求2a+b的值． 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 函数 考点01 平面直角坐标系与函数 1．（2025•湖南）在平面直角坐标系中，将点向右平移个单位长度到处，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由平移方式确定点的坐标 【分析】本题主要考查点的平移，掌握平移规律是关键． 根据平面直角坐标系中点的平移规律，向右平移时横坐标增加，纵坐标不变，即可解题． 【详解】解：点向右平移3个单位长度，横坐标需加3，即，纵坐标2保持不变， ∴平移后的点坐标为， 故选：B． 2．（2025•湖南）甲、乙两人在一次100米赛跑比赛中，路程（米）与时间（秒）的函数关系如图所示，填 （“甲”或“乙”）先到终点： 【答案】甲 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题考查函数图象的应用，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题． 从函数图象可知甲乙跑完全程的时间，即可确定答案． 【详解】解：根据图象可得甲到达终点用时秒，乙到达终点用时秒， ∴甲先到达终点， 故答案为：甲． 3．（2023•娄底）函数y的自变量x的取值范围是 　x≥﹣1　． 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案． 【解答】解：由题意得：x+1≥0， 解得：x≥﹣1， 故答案为：x≥﹣1． 【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 4．（2023•岳阳）函数y中，自变量x的取值范围是 　x≠2　． 【分析】根据分母不为0可得：x﹣2≠0，然后进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得：x﹣2≠0， 解得：x≠2， 故答案为：x≠2． 【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握分母不为0是解题的关键． 5．（2023•永州）小明观察到一个水龙头因损坏而不断地向外滴水，为探究其漏水造成的浪费情况，小明用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面装水，每隔一分钟记录量筒中的总水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如表的一组数据： 时间t （单位：分钟） 1 2 3 4 5 … 总水量y （单位：毫升） 7 12 17 22 27 … （1）探究：根据上表中的数据，请判断和y＝kt+b（k，b为常数）哪一个能正确反映总水量y与时间t的函数关系？并求出y关于t的表达式； （2）应用： ①请你估算小明在第20分钟测量时量筒的总水量是多少毫升？ ②一个人一天大约饮用1500毫升水，请你估算这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用多少天． 【分析】（1）根据上表中的数据，可知y与t成一次函数关系，根据点的坐标利用待定系数法即可求出该函数关系式； （2）①当t＝20时，求出y的值即可； ②当t＝24×60＝1440分钟时，求出y的值，即可求出答案． 【解答】解：（1）根据上表中的数据，y＝kt+b（k，b为常数）能正确反映总水量y与时间t的函数关系， ∵当t＝1时，y＝7，当t＝2时，y＝12， ∴， ∴， ∴y＝5t+2； （2）①当t＝20时，y＝100+2＝102， 即估算小明在第20分钟测量时量筒的总水量是102毫升； ②当t＝24×60＝1440分钟时，y＝5×1440+2＝7202（毫升）， 当t＝0时，y＝2， ∴144（天）， 答：估算这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用144天． 【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 考点02 一次函数 1．（2024•长沙）对于一次函数y＝2x﹣1，下列结论正确的是（　　） A．它的图象与y轴交于点（0，﹣1） B．y随x的增大而减小 C．当时，y＜0 D．它的图象经过第一、二、三象限 【分析】根据一次函数的性质即可作答． 【解答】解：A．当x＝0时，y＝﹣1，则它的图象与y轴交于点（0，﹣1），故本选项符合题意； B．y随x的增大而增大，故本选项不符合题意； C．当时，y＞0，故本选项不符合题意； D．它的图象经过第一、三、四象限，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点评】本题主要考查一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 2．（2023•长沙）下列一次函数中，y随x的增大而减小的函数是（　　） A．y＝2x+1 B．y＝x﹣4 C．y＝2x D．y＝﹣x+1 【分析】根据一次函数的增减性与系数的关系分别判断即可． 【解答】解：在一次函数y＝2x+1中， ∵2＞0， ∴y随着x增大而增大， 故A不符合题意； 在一次函数y＝x﹣4中， ∵1＞0， ∴y随着x增大而增大， 故B不符合题意； 在一次函数y＝2x中， ∵2＞0， ∴y随着x增大而增大， 故C不符合题意； 在一次函数y＝﹣x+1中， ∵﹣1＜0， ∴y随着x增大而减小， 故D符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． 3．（2023•郴州）第11届中国（湖南）矿物宝石国际博览会在我市举行，小方一家上午9：00开车前往会展中心参观．途中汽车发生故障，原地修车花了一段时间．车修好后，他们继续开车赶往会展中心．以下是他们家出发后离家的距离s与时间的函数图象．分析图中信息，下列说法正确的是（　　） A．途中修车花了30min B．修车之前的平均速度是500m/min C．车修好后的平均速度是80m/min D．车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的1.5倍 【分析】根据图象即可判断A选项，根据“路程÷时间＝速度”即可判断B和C选项，进一步可判断D选项． 【解答】解：由图象可知，途中修车时间是9：10到9：30共花了20min， 故A不符合题意； 修车之前的平均速度是6000÷10＝600（m/min）， 故B不符合题意； 车修好后的平均速度是（13200﹣6000）÷8＝900（m/min）， 故C不符合题意； 900÷600＝1.5， ∴车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的1.5倍， 故D符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查了一次函数的应用，理解一次函数图象上各点的含义是解题的关键． 4．（2023•益阳）关于一次函数y＝x+1，下列说法正确的是（　　） A．图象经过第一、三、四象限 B．图象与y轴交于点（0，1） C．函数值y随自变量x的增大而减小 D．当x＞﹣1时，y＜0 【分析】根据一次函数的性质逐个进行分析判断即可做出选择． 【解答】解：∵一次函数y＝x+1中，k＞0，b＞0， ∴图象经过第一、二、三象限， 故A不正确； 当x＝0时，y＝1， ∴图象与y轴交于点（0，1）， 故B正确； ∵一次函数y＝x+1中，k＞0， ∴函数值y随自变量x的增大而增大， 故C不正确； ∵当x＝﹣1时，y＝0，函数值y随自变量x的增大而增大， ∴当x＞﹣1时，y＞0， 当x＜﹣1时，y＜0， 故D不正确； 故选：B． 【点评】本题主要考查一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解决问题的关键． 5．（2023•娄底）将直线y＝2x+1向右平移2个单位后所得图象对应的函数表达式为（　　） A．y＝2x+5 B．y＝2x+3 C．y＝2x﹣2 D．y＝2x﹣3 【分析】根据函数图象平移的法则进行解答即可． 【解答】解：直线y＝2x+1向右平移2个单位后所得图象对应的函数解析式为y＝2（x﹣2）+1， 即y＝2x﹣3． 故选：D． 【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键． 6．（2023•郴州）在一次函数y＝（k﹣2）x+3中，y随x的增大而增大，则k的值可以是 　3（答案不唯一）　（任写一个符合条件的数即可）． 【分析】由y随x的增大而增大，利用一次函数的性质可得出k﹣2＞0，解之即可得出k的值，再取其内的任意一值即可得出结论． 【解答】解：∵在一次函数y＝（k﹣2）x+3的图象中，y随x的增大而增大， ∴k﹣2＞0， 解得：k＞2． ∴k值可以为3． 故答案为：3（答案不唯一）． 【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键． 7．（2023•湘西州）2023年“地摊经济”成为社会关注的热门话题，“地摊经济”有着启动资金少、管理成本低等优点，特别是在受到疫情冲击后的经济恢复期，“地摊经济”更是成为许多创业者的首选，甲经营了某种品牌小电器生意，采购2台A种品牌小电器和3台B种品牌小电器，共需要90元；采购3台A种品牌小电器和1台B种品牌小电器，共需要65元．销售一台A种品牌小电器获利3元，销售一台B种品牌小电器获利4元． （1）求购买1台A种品牌小电器和1台B种品牌小电器各需要多少元？ （2）甲用不小于2750元，但不超过2850元的资金一次性购进A、B两种品牌小电器共150台，求购进A种品牌小电器数量的取值范围． （3）在（2）的条件下，所购进的A、B两种品牌小电器全部销售完后获得的总利润不少于565元，请说明甲合理的采购方案有哪些？并计算哪种采购方案获得的利润最大，最大利润是多少？ 【分析】（1）列方程组即可求出两种风扇的进价， （2）列一元一次不等式组求出取值范围即可， （3）再求出利润和自变量之间的函数关系式，根据函数的增减性确定当自变量为何值时，利润最大，由关系式求出最大利润． 【解答】解：（1）设A、B型品牌小电器每台的进价分别为x元、y元，根据题意得： ， 解得：， 答：A、B型品牌小电器每台进价分别为15元、20元． （2）设购进A型品牌小电器a台， 由题意得：， 解得30≤a≤50， 答：购进A种品牌小电器数量的取值范围30≤a≤50． （3）设获利为w元，由题意得：w＝3a+4（150﹣a）＝﹣a+600， ∵所购进的A、B两种品牌小电器全部销售完后获得的总利润不少于565元， ∴﹣a+600≥565， 解得：a≤35， ∴30≤a≤35， ∵w随a的增大而减小， ∴当a＝30台时获利最大，w最大＝﹣30+600＝570元， 答：A型30台，B型120台，最大利润是570元． 【点评】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组解法和应用以及一次函数的图象和性质等知识，搞清这些知识之间的相互联系是解决问题的前提和必要条件． 8．（2023•湘潭）我国航天事业发展迅速，2023年5月30日9时31分，神舟十六号载人飞船成功发射．某玩具店抓住商机，先购进了1000件相关航天模型玩具进行试销，进价为50元/件． （1）设每件玩具售价为x元，全部售完的利润为y元．求利润y（元）关于售价x（元/件）的函数表达式； （2）当售价定为60元/件时，该玩具销售火爆，该店继续购进一批该种航天模型玩具，并从中拿出这两批玩具销售利润的20%用于支持某航模兴趣组开展活动，在成功销售完毕后，资助经费恰好10000元，请问该商店继续购进了多少件航天模型玩具？ 【分析】（1）根据每件的利润×件数＝总利润求解即可； （2）设该商店继续购进了m件航天模型玩具，根据资助经费恰好10000元，列方程，求解即可． 【解答】解：（1）y＝1000（x﹣50）＝1000x﹣50000； （2）设该商店继续购进了m件航天模型玩具， （60﹣50）（1000+m）×20%＝10000， 解得m＝4000， 答：该商店继续购进了4000件航天模型玩具． 【点评】本题考查了一次函数的应用，理解题意并根据题意建立相应关系式是解题的关键． 9．（2023•湘西州）如图（1）所示，小明家、食堂、图书馆在同一条直线上食堂离小明家0.6km，图书馆离小明家0.8km．小明从家出发，匀速步行了8min去食堂吃早餐；吃完早餐后接着匀速步行了3min去图书馆读报；读完报以后接着匀速步行了10min回到家．图（2）反映了这个过程中，小明离家的距离y与时间x之间的对应关系． 请根据相关信息解答下列问题： （1）填空： ①食堂离图书馆的距离为 　0.2　km； ②小明从图书馆回家的平均速度是 　0.08　km/min； ③小明读报所用的时间为 　30　min． ④小明离开家的距离为时，小明离开家的时间为 　26或　min． （2）当0≤x≤28时，请直接写出y关于x的函数解析式． 【分析】（1）{a}①由图象中的数据，可以直接写出食堂离小明家的距离和小明从家到食堂用的时间；②根据图象中的数据，用路程除以时间即可得解；③用58减去28即可得解；④设小明离开家的距离为时，小明离开家的时间为x min，分小明去时和小明返回时两种情况构造一元一次方程求解即可； （2）根据图象中的数据，利用待定系数法分别求出当0≤x≤8、8＜x＜25和25≤x≤28时三段对应的函数解析式即可． 【解答】解：（1）①0.8﹣0.6＝0.2（km）， ∴小食堂离图书馆的距离为0.2km， 故答案为：0.2； ②根据题意，68﹣58＝10（min）， ∴小明从图书馆回家的平均速度是， 故答案为：0.08； ③58﹣28＝30（min）， 故答案为：30； ④设小明离开家的距离为时，小明离开家的时间为x min， 当去时，小明离开家的距离为时， ∵， ∴小明到食堂时，小明离开家的距离为不足， 由题意得， 解得x＝26， 当返回时，离家的距离为时， 根据题意得， 解得； 故答案为：26或． （2）设0≤x≤8时y＝kx， ∵y＝kx过（8，0.6）， ∴0.6＝8k， 解得， ∴0≤x≤8时yx， 由图可知，当8＜x＜25时y＝0.6， 设25≤x≤28时，y＝mx+n， ∵y＝mx+n过（25，0.6），（28，0.8）， ∴， 解得， ∴， 综上所述，当0≤x≤28时，y关于x的函数解析式为． 【点评】本题考查函数的图象、一元一次方程的应用以及待定系数法求一次函数的解析式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 10．（2023•株洲）某花店每天购进16支某种花，然后出售，如果当天售不完，那么剩下的这种花进行作废处理．该花店记录了10天该种花的日需求量（n为正整数，单位：支），统计如下表： 日需求量n 13 14 15 16 17 18 天数 1 1 2 4 1 1 （1）求该花店在这10天中出现该种花作废处理情形的天数； （2）当n＜16时，日利润y（单位：元）关于n的函数表达式为：y＝10n﹣80；当n≥16时，日利润为80元． ①当n＝14时，问该花店这天的利润为多少元？ ②求该花店这10天中日利润为70元的日需求量的频率． 【分析】（1）根据表格求解； （2）把n＝14代入求解； （3）把y＝70代入求解． 【解答】解：（1）1+1+2＝4， 答：花店在这10天中出现该种花作废处理情形的天数为4天； （2）①当n＝14时，y＝10n﹣80＝10×14﹣80＝60， 答：当n＝14时，该花店这天的利润为60元； ②当n＜16时，70＝10n﹣80，解得：n＝15， 当n＝15时，有2天， ∴． 答：该花店这10天中日利润为70元的日需求量的频率为． 【点评】本题考查了一次函数的应用，理解题意是解题的关键． 考点03 反比例函数 1．（2025•湖南）对于反比例函数，下列结论正确的是（   ） A．在在该函数的图象上 B．该函数的图象分别位于第二、第四象限 C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【知识点】判断反比例函数的增减性、判断反比例函数图象所在象限 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质逐一判断即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】、当时，，所以点在它的图象上，故选项不符合题意； 、由可知，它的图象在第一、三象限，故选项不符合题意； 、当时，随的增大而减小，故选项不符合题意； 、当时，随的增大而减小，故符合题意； 故选：D． 2．（2023•怀化）已知压力F（N）、压强P（Pa）与受力面积S（m2）之间有如下关系式：F＝PS．当F为定值时，如图中大致表示压强P与受力面积S之间函数关系的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据函数的解析式判断函数的图形即可． 【解答】解：∵压力F（N）、压强P（Pa）与受力面积S（m2）之间有如下关系式：F＝PS． ∴当F为定值时，压强P与受力面积S之间函数关系是反比例函数， 故选：D． 【点评】此题主要考查了反比例的应用，关键是会判断函数图象． 3．（2023•怀化）如图，反比例函数y（k＞0）的图象与过点（﹣1，0）的直线AB相交于A、B两点．已知点A的坐标为（1，3），点C为x轴上任意一点．如果S△ABC＝9，那么点C的坐标为（　　） A．（﹣3，0） B．（5，0） C．（﹣3，0）或（5，0） D．（3，0）或（﹣5，0） 【分析】利用待定系数法求得两函数的解析式，然后解析式联立成方程组，解方程组求得点B的坐标，根据S△ACD+S△BCD＝S△ABC＝9，求得CD的长度，进而即可求得点C的坐标． 【解答】解：把点A（1，3）代入y（k＞0）得，3， ∴k＝3， ∴反比例函数为y， 设直线AB为y＝ax+b， 代入点D（﹣1，0），A（1，3）得， 解得， ∴直线AB为yx， 解，得或， ∴B（﹣2，）， ∵S△ABC＝9， ∴S△ACD+S△BCD， ∴CD＝4， ∴点C的坐标为（﹣5，0）或（3，0）． 故选：D． 【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数与一次函数的交点的求法，三角形面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 4．（2023•湘潭）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A是反比例函数y（k≠0）图象上的一点，过点A分别作AM⊥x 轴于点M，AN⊥y轴于点N，若四边形AMON的面积为2．则k的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1 【分析】依据题意，根据四边形面积与反比例函数的关系即可得解． 【解答】解：由题意，设A（a，b）， ∴ab＝k． 又S四边形ANOM＝2＝ab， ∴k＝2． 故选：A． 【点评】本题主要考查了反比例的图象与性质的应用，解题时要能熟悉题意学会转化是关键． 5．（2023•张家界）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在AB上，且ADAB，反比例函数y（k＞0）的图象经过点D及矩形OABC的对称中心M，连接OD，OM，DM．若△ODM的面积为3，则k的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】设B点的坐标为（a，b），根据矩形对称中心的性质得出延长OM恰好经过点B，M（，），确定D（，b），然后结合图形及反比例函数的意义，得出S△ODM＝S△AOB﹣S△AOD﹣S△BDM＝3，代入求解即可． 【解答】解：解法一：∵四边形OCBA是矩形， ∴AB＝OC，OA＝BC，设B点的坐标为（a，b）， ∵矩形OABC的对称中心M， ∴延长OM恰好经过点B，M（，）， ∵点D在AB上，且 ADAB， ∴D（，b）， ∴BDa， ∴S△BDMBD•ha×（b）ab， ∵D在反比例函数的图象上， ∴ab＝k， ∵S△ODM＝S△AOB﹣S△AOD﹣S△BDMabkab＝3， ∴ab＝16， ∴kab＝4， 解法二：连接BM，因为点M是矩形的对称中心， ∴三角形DMO的面积＝三角形DMB的面积， 则三角形DBO的面积为6， ∵AD＝1/4AB， ∴AD：DB＝1：3， ∴三角形ADO的面积：三角形DBO的面积为1：3， 即三角形ADO的面积为2， ∴K＝4． 故选：C． 【点评】本题考查了矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 6．（2023•湘西州）如图，点A在函数y（x＞0）的图象上，点B在函数y（x＞0）的图象上，且AB∥x轴，BC⊥x轴于点C，则四边形ABCO的面积为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】延长BA交y轴于点D，根据反比例函数k值的几何意义得到，S矩形OCBD＝3，根据四边形ABCO的面积等于S矩形OCBD﹣S△ADO，即可得解． 【解答】解：延长BA交y轴于点D， ∵AB∥x轴， ∴DA⊥y轴， ∵点A在函数的图象上， ∴， ∵BC⊥x轴于点C，DB⊥y轴，点B在函数的图象上， ∴S矩形OCBD＝3， ∴四边形ABCO的面积等于S矩形OCBD﹣S△ADO＝3﹣1＝2； 故选：B． 【点评】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．熟练掌握反比例函数中k的几何意义，是解题的关键． 7．（2023•邵阳）如图，矩形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在反比例函数y（k≠0）的图象上，点B的坐标为（2，4），则点E的坐标为（　　） A．（4，4） B．（2，2） C．（2，4） D．（4，2） 【分析】由题意，首先根据B的坐标求出k，然后可设E（a，），再由正方形ADEF，建立关于a的方程，进而得解． 【解答】解：∵点B的坐标为（2，4）在反比例函数y图象上， ∴4． ∴k＝8． ∴反比例函数的解析式为y． ∵点E在反比例函数图象上， ∴可设（a，）． ∴AD＝a﹣2＝ED． ∴a1＝4，a2＝﹣2． ∵a＞0， ∴a＝4． ∴E（4，2）． 故选：D． 【点评】本题主要考查了反比例函数的图象与性质的应用，解题时需要理解并能灵活运用． 8．（2023•永州）已知点M（2，a）在反比例函数的图象上，其中a，k为常数，且k＞0，则点M一定在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】把点（2，a）代入反比例函数解析式，可得a，由k＞0可知a＞0，可得点M一定在第一象限． 【解答】解：∵点M（2，a）在反比例函数的图象上， ∴a， ∵k＞0， ∴a＞0， ∴点M一定在第一象限． 故选：A． 方法二： ∵反比例函数中，k＞0， ∴图象的两个分支在一、三象限， ∵点M（2，a）在反比例函数的图象上， ∴点M一定在第一象限． 故选：A． 【点评】考查反比例函数图象上点的坐标特征；用到的知识点为：反比例函数的比例系数大于0，图象的两个分支在一、三象限；关键是得到反比例函数的比例系数的符号． 9．（2023•株洲）下列哪个点在反比例函数的图象上？（　　） A．P1（1，﹣4） B．P2（4，﹣1） C．P3（2，4） D． 【分析】根据反比例函数的图象上的点的横纵坐标乘积为4进行判断即可． 【解答】解：A．∵1×（﹣4）＝﹣4≠4，∴P1（1，﹣4）不在反比例函数的图象上，故选项不符合题意； B．∵4×（﹣1）＝﹣4≠4，∴P2（4，﹣1）不在反比例函数的图象上，故选项不符合题意； C．∵2×4＝8≠4，∴P3（2，4）不在反比例函数的图象上，故选项不符合题意； D．∵，∴在反比例函数的图象上，故选项符合题意． 故选：D． 【点评】此题考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键． 10.（2024•湖南）在一定条件下，乐器中弦振动的频率f与弦长l成反比例关系，即f（k为常数，k≠0）．若某乐器的弦长l为0.9米，振动频率f为200赫兹，则k的值为 　180　． 【分析】把l＝0.9，f＝200，代入解析式，即可求出k的值． 【解答】解：当l＝0.9，f＝200时，200， ∴k＝180． 故答案为：180． 【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式和反比例函数的定义，熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式是关键． 11．（2023•长沙）如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数y（k为常数，k＞0，x＞0）的图象上，过点A作x轴的垂线，垂足为B，连接OA．若△OAB的面积为，则k＝　　． 【分析】由k的几何意义可得，从而可求出k的值． 【解答】解：△AOB的面积为， 所以k． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了k的几何意义．用k表示三角形AOB的面积是本题的解题关键． 12．（2023•湘潭）如图，点A的坐标是（﹣3，0），点B的坐标是（0，4），点C为OB中点．将△ABC绕着点B逆时针旋转90°得到△A′BC′． （1）反比例函数y的图象经过点C′，求该反比例函数的表达式； （2）一次函数图象经过A、A′两点，求该一次函数的表达式． 【分析】（1）根据旋转的性质得出C′的坐标，然后利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式； （2）作A′H⊥y轴于H．证明△AOB≌△BHA′（AAS），推出OA＝BH，OB＝A′H，求出点A′坐标，再利用待定系数法即可求得一次函数的解析式． 【解答】解：（1）∵点A的坐标是（﹣3，0），点B的坐标是（0，4），点C为OB中点， ∴OA＝3，OB＝4， ∴BC＝2， 将△ABC绕着点B逆时针旋转90°得到△A′BC′， ∴C′（2，4）， ∵反比例函数y的图象经过点C′， ∴k＝2×4＝8， ∴该反比例函数的表达式为y； （2）作A′H⊥y轴于H． ∵∠AOB＝∠A′HB＝∠ABA′＝90°， ∴∠ABO+∠A′BH＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°， ∴∠BAO＝∠A′BH， ∵BA＝BA′， ∴△AOB≌△BHA′（AAS）， ∴OA＝BH，OB＝A′H， ∵OA＝3，OB＝4， ∴BH＝OA＝3，A′H＝OB＝4， ∴OH＝1， ∴A′（4，1）， 设一次函数的解析式为y＝ax+b， 把A（﹣3，0），A′（4，1）代入得，， 解得， ∴该一次函数的表达式为yx． 【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上的点的坐标特征，坐标与图形的变化﹣旋转等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 13．（2023•岳阳）如图，反比例函数y（k为常数，k≠0）与正比例函数y＝mx（m为常数，m≠0）的图象交于A（1，2），B两点． （1）求反比例函数和正比例函数的表达式； （2）若y轴上有一点C（0，n），△ABC的面积为4，求点C的坐标． 【分析】（1）分别将点A（1，2）反比例函数和正比例函数的解析式即可得出答案； （2）先求出点B的坐标，过点A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为E，F，然后根据点A、B、C的坐标表示出AE，BF，OC，最后再根据S△ABC＝S△AOC+S△BOC＝4即可求出点C的坐标． 【解答】解：（1）将点A（1，2）代入，得：k＝2， ∴反比例函数的解析式为：， 将点A（1，2）代入y＝mx，得：m＝2， ∴正比例函数的解析式为：y＝2x． （2）解方程组，得：，， ∴点B的坐标为（﹣1，﹣2）， 过点A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为E，F， ∵A（1，2），B（﹣1，﹣2），C（0，n）， ∴AE＝BF＝1，OC＝|n|， ∵S△ABC＝S△AOC+S△BOC＝4， ∴， 即：|n|×1+|n|×1＝8， ∴|n|＝4， ∴n＝±4， ∴点C的坐标为（0，4）或（0，﹣4）． 【点评】此题主要考查了反比例函数与一次函数的图象，解答此题的关键是熟练掌握待定系数法求函数的解析式，难点是在解答（2）时，过点A，B向y轴作垂线，把△ABC的面积转化为△AOC和△BOC的面积之和，漏解是解答此题的易错点． 14．（2023•常德）如图所示，一次函数y1＝﹣x+m图象与反比例函数图象相交于点A和点B（3，﹣1）． （1）求m的值和反比例函数解析式； （2）当y1＞y2时，求x的取值范围． 【分析】（1）把B（3，﹣1）分别代入一次函数y1＝﹣x+m与反比例函数，即可求出m的值和反比例函数的解析式； （2）先求出A点坐标，再根据图象即可得到y1＞y2时x的取值范围． 【解答】解：（1）∵一次函数y1＝﹣x+m与反比例函数相交于点A和点B（3，﹣1）， ∴﹣1＝﹣3+m，﹣1， 解得m＝2，k＝﹣3， ∴反比例函数的解析式为y2； （2）解方程组，得或， ∴A（﹣1，3）， 观察图象可得，当y1＞y2时，x的取值范围为x＜﹣1或0＜x＜3． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，以及利用数形结合思想解不等式． 15．（2023•株洲）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC为正方形，其中点A、C分别在x轴负半轴，y轴负半轴上，点B在第三象限内，点A（t，0），点P（1，2）在函数 的图象上． （1）求k的值； （2）连接BP、CP，记△BCP的面积为S，设T＝2S﹣2t2，求T的最大值． 【分析】（1）根据点P（1，2）在函数 的图象上，代入即可得到k的值； （2）根据点A（t，0）在x轴负半轴上得到OA＝﹣t，根据正方形的性质得到OC＝BC＝OA＝﹣t，根据二次函数的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）∵点P（1，2）在函数 的图象上， ∴2， ∴k＝2， 即k的值为2； （2）∵点A（t，0）在x轴负半轴上， ∴OA＝﹣t， ∵四边形OABC为正方形， ∴OC＝BC＝OA＝﹣t，BC∥x轴， ∴△BCP的面积为S（﹣t）×（2﹣t）t2﹣t， ∴T＝2S﹣2t2＝2（t2﹣t）﹣2t2＝﹣t2﹣2t＝﹣（t+1）2+1， ∵﹣1＜0， ∴抛物线开口向下， ∴当t＝﹣1时，T有最大值，T的最大值是1． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，正方形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 16．（2023•衡阳）如图，正比例函数yx的图象与反比例函数y（x＞0）的图象相交于点A． （1）求点A的坐标． （2）分别以点O、A为圆心，大于OA一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点B和点C，作直线BC，交x轴于点D．求线段OD的长． 【分析】（1）将正比例函数与反比例函数的解析式联立，组成方程组，解方程组即可求出点A的坐标； （2）设点D的坐标为（x，0）．根据线段垂直平分线的性质得出AD＝OD，依此列出方程（x﹣3）2+42＝x2，解方程即可． 【解答】解：（1）解方程组（x＞0）， 得， ∴点A的坐标为（3，4）； （2）设点D的坐标为（x，0）． 由题意可知，BC是OA的垂直平分线， ∴AD＝OD， ∴（x﹣3）2+42＝x2， ∴x， ∴D（，0），OD． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了线段垂直平分线的性质． 17．（2023•郴州）在实验课上，小明做了一个试验．如图，在仪器左边托盘A（固定）中放置一个物体，在右边托盘B（可左右移动）中放置一个可以装水的容器，容器的质量为5g．在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘B与点C的距离x（cm）（0＜x≤60），记录容器中加入的水的质量，得到下表： 托盘B与点C的距离x/cm 30 25 20 15 10 容器与水的总质量y1/g 10 12 15 20 30 加入的水的质量y2/g 5 7 10 15 25 把上表中的x与y1各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的y1关于x的函数图象． （1）请在该平面直角坐标系中作出y2关于x的函数图象； （2）观察函数图象，并结合表中的数据： ①猜测y1与x之间的函数关系，并求y1关于x的函数表达式； ②求y2关于x的函数表达式； ③当0＜x≤60时，y1随x的增大而 　减小　（填“增大”或“减小”），y2随x的增大而 　减小　（填“增大”或“减小”），y2的图象可以由y1的图象向 　下　（填“上”或“下”或“左”或“右”）平移得到． （3）若在容器中加入的水的质量y2（g）满足19≤y2≤45，求托盘B与点C的距离x（cm）的取值范围． 【分析】（1）描点作出图象即可； （2）①用待定系数法可得y1关于x的函数表达式； ②由y2与y1关系，结合①可得答案； ③观察图象可得答案； （3）根据19≤y2≤45可得关于x的不等式，可解得x的范围． 【解答】解：（1）作出y2关于x的函数图象如下： （2）①观察表格可知，y1是x的反比例函数， 设y1，把（30，10）代入得：10， ∴k＝300， ∴y1关于x的函数表达式是y1； ②∵y1＝y2+5， ∴y2+5； ∴y25； ③观察图象可得，当0＜x≤60时，y1随x的增大而减小，y2随x的增大而减小，y2的图象可以由y1的图象向下平移得到； 故答案为：减小，减小，下； （3）∵y25，19≤y2≤45， ∴195≤45， ∴2450， ∴6≤x≤12.5． 【点评】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 考点4 二次函数 1．（2023•衡阳）已知m＞n＞0，若关于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解为x1，x2（x1＜x2），关于x的方程x2+2x﹣3﹣n＝0的解为x3，x4（x3＜x4）．则下列结论正确的是（　　） A．x3＜x1＜x2＜x4 B．x1＜x3＜x4＜x2 C．x1＜x2＜x3＜x4 D．x3＜x4＜x1＜x2 【分析】画出抛物线y＝x2+2x﹣3，直线y＝m，直线y＝n，根据一元二次方程与二次函数的关系，观察图象可得答案． 【解答】解：关于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解为抛物线y＝x2+2x﹣3与直线y＝m的交点的横坐标， 关于x的方程x2+2x﹣3﹣n＝0的解为抛物线y＝x2+2x﹣3与直线y＝n的交点的横坐标， 如图： 由图可知，x1＜x3＜x4＜x2， 故选：B． 【点评】本题考查一元二次方程与二次函数的关系，解题的关键是画出图象，数形结合解决问题． 2．（2023•岳阳）若一个点的坐标满足（k，2k），我们将这样的点定义为“倍值点”．若关于x的二次函数y＝（t+1）x2+（t+2）x+s（s，t为常数，t≠﹣1）总有两个不同的倍值点，则s的取值范围是（　　） A．s＜﹣1 B．s＜0 C．0＜s＜1 D．﹣1＜s＜0 【分析】将（k，2k）代入二次函数，得（t+1）k2+tk+s＝0，是关于k的二次方程．若它总有两个不同的实根，必有Δ＝t2﹣4s（t+1）＞0．t2﹣4s（t+1）是关于t的一元二次方程，其图象开口向上，若它恒大于0，则与x轴无交点，故有Δ＝（4s）2+16s＝16s2+16s＜0，解此一元二次不等式即可． 【解答】解：将（k，2k）代入二次函数，得2k＝（t+1）k2+（t+2）k+s，整理得（t+1）k2+tk+s＝0． ∵（t+1）k2+tk+s＝0是关于k的一元二次方程，总有两个不同的实根， ∴Δ＝t2﹣4s（t+1）＞0． 令f（t）＝t2﹣4s（t+1）＝t2﹣4st﹣4s ∵f（t）＞0， ∴Δ＝（4s）2+16s＝16s2+16s＜0， 即Δ＝s（s+1）＜0，解得0＞s＞﹣1． 故选：D． 【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，一定要牢牢掌握并灵活运用． 3．（2023•邵阳）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线y＝ax2+4ax+3（a是常数，a≠0）上的点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线x＝﹣2；②点（0，3）在抛物线上；③若x1＞x2＞﹣2，则y1＞y2；④若y1＝y2，则x1+x2＝﹣2，其中，正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据题目中的二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+4ax+3的对称轴为直线x2， ∴①正确； 当x＝0时，y＝3，则点（0，3）在抛物线上， ∴②正确； 当a＞0时，x1＞x2＞﹣2，则y1＞y2； 当a＜0时，x1＞x2＞﹣2，则y1＜y2； ∴③错误； 当y1＝y2，则x1+x2＝﹣4， ∴④错误； 故正确的有2个， 故选：B． 【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 4．（2023•娄底）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论： ①abc＜0； ②4a﹣2b+c＞0； ③a﹣b＞m（am+b）（m为任意实数）； ④若点（﹣3，y1）和点（3，y2）在该图象上，则y1＞y2； 其中正确的结论是（　　） A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 【分析】根据二次函数的图象和性质依次判断即可． 【解答】解：∵二次函数开口向下，且与y轴的交点在x轴上方， ∴a＜0，c＞0， ∵对称轴为x＝﹣1， ∴1， ∴b＝2a＜0， ∴abc＞0， 故①错误； ∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，x＝0时，y＝c＞0， ∴当x＝﹣2时，y＞0， ∴4a﹣2b+c＞0， ∴②正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1， ∴当x＝﹣1时，y有最大值a﹣b+c， ∴当x＝m时，函数值不大于a﹣b+c， ∴a﹣b+c≥am2+bm+c． ∴a﹣b≥m（am+b）（m为任意实数）， ∴③错误； 点（﹣3，y1）到对称轴的距离为：﹣1﹣（﹣3）＝2， （3，y2）到对称轴的距离为：3﹣（﹣1）＝4， ∵抛物线开口向下， ∴y1＞y2， ∴④正确． 故选：D． 【点评】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的开口方向、对称轴、增减性是解题的关键，注意数形结合． 5．（2023•株洲）如图所示，直线l为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴，则下列说法正确的是（　　） A．b恒大于0 B．a，b同号 C．a，b异号 D．以上说法都不对 【分析】先写出抛物线的对称轴，列出不等式，再分a＜0，a＞0两种情况讨论即可． 【解答】解：∵直线l为二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴， ∴对称轴为直线， 当a＜0时，则b＞0， 当a＞0时，则b＜0， ∴a，b异号， 故选：C． 【点评】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质． （多选）6．（2023•湘潭）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点（3，0），则下列结论中正确的是（　　） A．a＞0 B．c＞0 C．b2﹣4ac＜0 D．9a+3b+c＝0 【分析】根据图象的开口方向可判断选项A；根据图象与x轴的交点位置，可判断选项B；根据抛物线和x轴交点个数可判断；C：根据x＝3的函数值的情况，可判断选项D． 【解答】解：A、由函数图象得，抛物线开口方向向下，故a＜0，故A错误； B、图象与y轴的交点在原点上方，故c＞0，故B正确； C、因为抛物线和x轴有两个交点，故b2﹣4ac＞0，故D正确； D、当x＝3时，y＝9a+3b+c＝0，故D正确． 故选BD． 【点评】本题考查了二次函数的图象和系数的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数有关性质、以及二次函数的图象特点． 7．（2023•娄底）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（1，0）、点B（3，0），与y轴相交于点C，点D在抛物线上，当CD∥x轴时，CD＝　4　． 【分析】先根据点A和点B的坐标求出该抛物线的对称轴，再根据二次函数具有对称性，即可得到点D的横坐标，从而可以求得CD的长． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（1，0）、点B（3，0）， ∴该抛物线的对称轴为直线x2， ∵抛物线与y轴相交于点C，点D在抛物线上，CD∥x轴， ∴点D的横坐标为：2×2﹣0＝4， ∴CD＝4﹣0＝4， 故答案为：4 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 8．（2023•郴州）已知抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有且只有一个交点，则m＝　9　． 【分析】利用判别式Δ＝b2﹣4ac＝0即可得出结论． 【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有且只有一个交点， ∴方程x2﹣6x+m＝0有唯一解． 即Δ＝b2﹣4ac＝36﹣4m＝0， 解得：m＝9． 故答案为：9． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点知识，明确Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数是解题的关键． 9．（2023•益阳）我们在学习一次函数、二次函数图象的平移时知道：将一次函数y＝2x的图象向上平移1个单位得到y＝2x+1的图象；将二次函数y＝x2+1的图象向左平移2个单位得到y＝（x+2）2+1的图象，若将反比例函数y的图象向下平移3个单位，如图所示，则得到的图象对应的函数表达式是 　y3　． 【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【解答】解：由题意，将反比例函数y的图象向下平移3个单位，得到的图象对应的函数表达式为y3． 故答案为：y3． 【点评】本题考查的是一次函数、二次函数、反比例函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键． 10．（2025•长沙）我们约定：当满足，且时，称点与点为一对“对偶点”．若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”．请你根据该约定，解答下列问题： (1)请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）： ①函数（k是非零常数）的图象上存在无数对“对偶点”；（    ） ②函数一定不是“对偶函数”；（    ） ③函数的图象上至少存在两对“对偶点”．（    ） (2)若关于x的一次函数与（都是常数，且）均是“对偶函数”，求这两个函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形的面积之和； (3)若关于x的二次函数是“对偶函数”，求实数a的取值范围． 【答案】(1)①（√）；②（√）；③（×） (2) (3) 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、判断反比例函数图象所在象限、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】（1）根据题目中给出的“对偶点”， “对偶函数”的定义结合反比例函数，一次函数，二次函数的性质进行分析得出结果； （2）由题意可得，，得出从而求出，，得出两个一次函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形是有公共直角顶点的分别位于二、四象限的两个等腰直角三角形，画出图形得出结果； （3）由题意可得，且时，有，整理得到，利用关于的一元二次方程必有实数根，分别根据判别式等于零和大于零求解即可． 【详解】（1）解：，且，， ，， ，， ①函数（k是非零常数）的图象上，， 满足，，故①正确； ②由题意可得，， 则点与点且是一对“对偶点”， 函数的图像如下图： 函数中不存在“对偶点”，一定不是“对偶函数”，故②正确； 函数的图象上如下图， 由题意可得，， 则点与点且是一对“对偶点”， 图中不存在“对偶点”，故③错误； 故答案为：①（√）；②（√）；③（×） （2）由题意可得，，点与点且是一对 “对偶点”，由于是“对偶函数”，则其图象上必存在一对“对偶点”． 从而有，两式相减可得，同理可得． 两个一次函数为，，由于，都是常数，且， 两个一次函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形是有公共直角顶点的分别位于二、四象限的两个等腰直角三角形，如下图所示 求得其面积之和； （3）由题意可得，且时，有， 以上两式相减可得， 从而将， 代入①整理可得， 此关于的一元二次方程必有实数根， 由于时，（不符合题意）． 从而必有，解得． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一次函数，反比例函数，二次函数的图形与性质，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握相关性质定理为解题关键． 11．（2025•湖南）如图，已知二次函数的图象过点，连接点，，，是此二次函数图象上的三个动点，且，过点作轴交线段于点． (1)求此二次函数的表达式； (2)如图1，点、在线段上，且直线、都平行于轴，请你从下列两个命题中选择一个进行解答： ①当时，求证：； ②当时，求证：； (3)如图，若，，延长交轴于点，射线、分别与轴交于点，，连接，分别在射线、轴上取点、（点在点的右侧），且，．记，试探究：当为何值时，有最大值？并求出的最大值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)时，的最大值为 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、线段周长问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的最值、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）将代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据题意得出，，，①当时，，因式分解得出，根据得出；②当时，，因式分解得出，根据，得出； （3）延长交轴于点，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，证明，，得出，进而证明，得出，结合已知可得，勾股定理求得，进而证明，可得，则，则，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：将代入得， ， 解得： ∴ （2）证明：设直线的解析式为，代入得， ∴ ∴直线为， ∵，，过点作轴交线段于点．直线、都平行于轴，在上， ∴，，， ①当时，， ∴， ∵， ∴， ∴，即； ②当时，， ∴， ∵，即， ∴，即， （3）解：如图，延长交轴于点，过点分别作轴的垂线，垂足分别为 ∵， ∴，， 又∵，， ∴， ∴ ∴ 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为 当时，即 又∵ ∴ ∵的解析式为 ∴， 又∵ ∴ ∴，即 又∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 当时，有最大值为． 【点睛】本题考查了二次函数综合应用，待定系数法求解析式，二次函数的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 12．（2024•长沙）已知四个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）都在关于x的函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象上． （1）当A，B两点的坐标分别为（﹣1，﹣4），（3，4）时，求代数式2024a+1012b的值； （2）当A，B两点的坐标满足a2+2（y1+y2）a+4y1y2＝0时，请你判断此函数图象与x轴的公共点的个数，并说明理由； （3）当a＞0时，该函数图象与x轴交于E，F两点，且A，B，C，D四点的坐标满足：2a2+2（y1+y2）a0，2a2﹣2（y3+y4）a0．请问是否存在实数（m＞1），使得AB，CD，m•EF这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为1：2：3？若存在，求出m的值和此时函数的最小值；若不存在，请说明理由（注：m•EF表示一条长度等于EF的m倍的线段）． 【分析】（1）将A、B代入得到关于a、b的关系式，再整体代入求解即可； （2）令a2+2（y1+y2）a+4y1y2＝0求解，再根据a的正负分类讨论即可； （3）由内角之比可得出这是一个30°、60°的直角三角形，再将线段表示出来，利用特殊角的边角关系建立方程即可． 【解答】解：（1）将A（﹣1，﹣4），B（3，4）代入y＝ax2+bx+c得， ②﹣①得8a+4b＝8，即2a+b＝2． ∴． （2）此函数图象与x轴的公共点个数为两个． 方法1：由a2+2（y1+y2）a+4y1y2＝0， 得（a+2y1）（a+2y2）＝0， ∴，， ①当a＞0时，，此抛物线开口向上，而A，B两点之中至少有一个点在x轴的下方， ∴此时该函数图象与x轴有两个公共点； ②当a＜0时，，此抛物线开口向下，而A，B两点之中至少有一个点在x轴的上方， ∴此时该函数图象与x轴也有两个公共点． 综上所述，此函数图象与x轴必有两个公共点． 方法2：由a2+2（y1+y2）a+4y1y2＝0， 得（a+2y1）（a+2y2）＝0， ∴，， ∴抛物线上存在纵坐标为的点，即一元二次方程有解． ∴该方程根的判别式，即b2﹣4ac≥2a2． ∵a≠0，所以b2﹣4ac＞0． ∴原函数图象与x轴必有两个公共点． 方法3：由a2+2（y1+y2）a+4y1y2＝0， 可得或． ①当时，有，即， ∴． 此时该函数图象与x轴有两个公共点． ②当时，同理可得△＞0，此时该函数图象与x轴也有两个公共点． 综上所述，该函数图象与x轴必有两个公共点． （3）因为a＞0，所以该函数图象开口向上． ∵， ∴， ∴y1＝y2＝﹣a． ∵， ∴， ∴y3＝y4＝a， ∴直线AB，CD均与x轴平行． 由（2）可知该函数图象与x轴必有两个公共点， 设E（x5，0），F（x6，0）． 由图象可知，即b2﹣4ac＞4a2， ∴ax2+bx+c＝﹣a的两根为x1、x2， ∴， 同理ax2+bx+c＝a的两根为x3、x4，可得， 同理ax2+bx+c＝0的两根为x5、x6，可得， 由于m＞1，结合图象与计算可得AB＜EF＜m•EF，AB＜CD． 若存在实数m（m＞1），使得AB，CD，m•EF这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为1：2：3，则此三角形必定为两锐角分别为 30°、60° 的直角三角形， ∴线段AB不可能是该直角三角形的斜边． ①当以线段CD为斜边，且两锐角分别为30°，60°时， ∵m•EF＞AB， ∴必须同时满足：AB2+（m•EF）2＝CD2，． 将上述各式代入化简可得，且， 联立解之得，， 解得，符合要求． ∴，此时该函数的最小值为． ②当以线段m•EF为斜边时，必有AB2+CD2＝（m•EF）2， 同理代入化简可得2（b2﹣4ac）＝m2（b2﹣4ac）， 解得， ∵以线段为斜边，且有一个内角为60°，而CD＞AB， ∴CD＝AB•tan60°，即， 化简得b2﹣4ac＝8a2＞4a2符合要求． ∴，此时该函数的最小值为． 综上所述，存在两个m的值符合题意；当时，此时该函数的最小值为，当时，此时该函数的最小值为﹣2a． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系、二次函数与x轴交点问题、直角三角形存在性问题等，熟练掌握相关知识和分类讨论是解题关键． 13．（2024•湖南）已知二次函数y＝﹣x2+c的图象经过点A（﹣2，5），点P（x1，y1），Q（x2，y2）是此二次函数的图象上的两个动点． （1）求此二次函数的表达式； （2）如图1，此二次函数的图象与x轴的正半轴交于点B，点P在直线AB的上方，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D，连接AC，DQ，PQ．若x2＝x1+3，求证：的值为定值； （3）如图2，点P在第二象限，x2＝﹣2x1，若点M在直线PQ上，且横坐标为x1﹣1，过点M作MN⊥x轴于点N，求线段MN长度的最大值． 【分析】（1）将点A的坐标代入抛物线表达式得：5＝﹣4+c，即可求解； （2）由S△PDQPD×（xQ﹣xP）（9+x1﹣3）（x2﹣x1）（x1+6），同理可得：S△ADCCD×（xD﹣xA）（x1+6），即可求解； （3）求出线PQ的表达式为：y＝x1（x﹣x1）9＝xx1﹣29，则MN＝（x1﹣1）x1﹣29＝﹣（x1）2，即可求解． 【解答】（1）解：将点A的坐标代入抛物线表达式得：5＝﹣4+c， 则c＝9， 即抛物线的表达式为：y＝﹣x2+9； （2）证明：为定值，理由： 令y＝﹣x2+9，则x＝±3，则点B（3，0）， 由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：y＝﹣x+3， 设点P、Q、D的表达式分别为：（x1，9）、（x2，9）、（x1，﹣x1+3）， 则S△PDQPD×（xQ﹣xP）（9+x1﹣3）（x2﹣x1）（x1+6）， 同理可得：S△ADCCD×（xD﹣xA）（x1+6）， 则3为定值； （3）解：点P、Q的表达式分别为：（x1，9）、（﹣2x1，﹣49）， 由点P、Q的坐标得，直线PQ的表达式为：y＝x1（x﹣x1）9＝xx1﹣29， 则MN＝yM＝（x1﹣1）x1﹣29＝﹣（x1）2， 故MN的最大值为：． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到面积的计算、二次函数的图象和性质，理解题意和熟悉函数的性质是解题的关键． 14．（2023•张家界）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，6）．点D为线段BC上的一动点． （1）求二次函数的表达式； （2）如图1，求△AOD周长的最小值； （3）如图2，过动点D作DP∥AC交抛物线第一象限部分于点P，连接PA，PB，记△PAD与△PBD的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值． 【分析】（1）由题意可知，设抛物线的表达式为y＝a（x+2）（x﹣6），再将（0，6）代入求出a即可； （2）根据题意先求出点O关于直线BC的对称点E的坐标，再连接AE，交BC于点D，此时|DO|+|DA|最小； （3）先用待定系数法求出直线BC，AC的解析式，再根据PD∥AC，设直线PD表达式为y＝3x+a，再设P（m，m2+2m+6），将P点坐标代入直线PD的表达式得am2﹣m+6，然后解方程组求出D的坐标，再根据S＝S△PAB+S△PAD＝S△PAB﹣S△DAB得出S关于m的二次函数解析式，再根据函数的性质求最值即可． 【解答】解：（1）由题意可知，设抛物线的表达式为y＝a（x+2）（x﹣6）， 将（0，6）代入上式得：6＝a（0+2）（0﹣6）， 解得， ∴抛物线的表达式为y（x+2）（x﹣6）x2+2x+6； （2）作点O关于直线BC的对称点E，连接EC、EB， ∵B（6，0），C（0，6），∠BOC＝90°， ∴OB＝OC＝6， ∵O、E关于直线BC对称， ∴四边形OBEC为正方形， ∴E（6，6）， 连接AE，交BC于点D，由对称性|DE|＝|DO|， 此时|DO|+|DA|有最小值为AE的长， ∴AE10， ∵△AOD 的周长为DA+DO+AO，AO＝2，DA+DO的最小值为10， ∴△AOD的周长的最小值为10+2＝12， （3）由已知点A（﹣2，0），B（6，0），C（0，6）， 设直线BC的表达式为 y＝kx+b， 将B（6，0），C（0，6）代入y＝kx+b 中， 则， 解得， ∴直线BC的表达式为y＝﹣x+6， 同理可得：直线AC的表达式为y＝3x+6， ∵PD∥AC， ∴可设直线PD表达式为y＝3x+a， 由（1）设P（m，m2+2m+6）， 将P点坐标代入直线PD的表达式得am2﹣m+6， ∴直线PD的表达式为：， 由， 得， ∴D（m2m，m2m+6）， ∵P，D都在第一象限， ∴S＝S△PBD+S△PAD＝S△PAB﹣S△DAB |AB|[（m2+2m+6）﹣（m2m+6）] 8×（m2m） m2+9m （m2﹣6m） （m﹣3）2， ∵0， ∴当 m＝3 时，S有最大值，最大值为， 此时P点为 ． 解法二：利用平行等积，将△PAD面积转化为△PCD的面积，那么△PAD与△PBD的面积之和等于△PBC的面积，即求△PBC的面积最大值． 【点评】本题重点考查了待定系数法求二次函数及一次函数解析式，点的对称性，二次函数的性质等知识，会用抛物线及一次函数上的点坐标来表示线段的长度是解决第三问的关键． 15．（2023•郴州）已知抛物线y＝ax2+bx+4与x轴相交于点A（1，0），B（4，0），与y轴相交于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求的值； （3）如图2，取线段OC的中点D，在抛物线上是否存在点Q，使tan∠QDB？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据△PAC的周长等于PA+PC+AC，以及AC为定长，得到当PA+PC的值最小时，△PAC的周长最小，根据抛物线的对称性，得到A，B关于对称轴对称，则：PA+PC＝PB+PC≥BC，得到当P，B，C三点共线时，PA+PC＝BC，进而求出P点坐标，即可得解； （3）求出D点坐标为（0，2），进而得到，得到∠QDB＝∠OBD，分点Q在D点上方和下方，两种情况进行讨论求解即可． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4与x轴相交于点A（1，0），B（4，0）， ， 解得：， ∴抛物线的表达式为y＝x2﹣5x+4； （2）由（1）知y＝x2﹣5x+4，当x＝0时，y＝4， ∴C（0，4），抛物线的对称轴为直线， ∵△PAC的周长等于PA+PC+AC，AC为定长， ∴当PA+PC的值最小时，△PAC的周长最小， ∵A，B关于抛物线的对称轴对称， ∴PA+PC＝PB+PC≥BC，当P，B，C三点共线时，PA+PC的值最小，为BC的长，此时点P为直线BC与对称轴的交点， 设直线BC的解析式为：y＝mx+n， 则：， 解得：， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4， 当 时，， ∴， ∵A（1，0），C（0，4）， ∴PA，PC， ∴； （3）存在， ∵D为OC的中点， ∴D（0，2）， ∴OD＝2， ∵B（4，0）， ∴OB＝4， 在Rt△BOD中，， ， ∴∠QDB＝∠OBD； ①当Q点在D点上方时：过点D作DQ∥OB，交抛物线于点Q，则：∠QDB＝∠OBD，此时Q点纵坐标为2， 设Q点横坐标为t，则：t2﹣5t+4＝2，解得：， ∴Q（，2）或（，2）； ②当点Q在D点下方时：设DQ与x轴交于点E， 则：DE＝BE， 设E（p，0），则：DE2＝OE2+OD2＝p2+4，BE2＝（4﹣p）2， ∴p2+4＝（4﹣p）2， 解得：， ∴， 设DE的解析式为：y＝kx+q， 则：， 解得：， ∴， 联立， 解得：或， ∴Q（3，﹣2）或； 综上所述， 或（，2）或Q（3，﹣2）或． 【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，勾股定理，轴对称的性质，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合，分类讨论的思想进行求解是解题的关键． 16．（2023•益阳）某企业准备对A，B两个生产性项目进行投资，根据其生产成本、销售情况等因素进行分析得知：投资A项目一年后的收益yA（万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：yAx，投资B项目一年后的收益yB（万元）与投入资金x（万元）的函数表达式为：yBx2+2x． （1）若将10万元资金投入A项目，一年后获得的收益是多少？ （2）若对A，B两个项目投入相同的资金m（m＞0）万元，一年后两者获得的收益相等，则m的值是多少？ （3）2023年，我国对小微企业施行所得税优惠政策．该企业将根据此政策获得的减免税款及其他结余资金共计32万元，全部投入到A，B两个项目中，当A，B两个项目分别投入多少万元时，一年后获得的收益之和最大？最大值是多少万元？ 【分析】（1）把x＝10代入yA，从而求得结果； （2）当x＝m时，yA＝yB，，从而求得结果； （3）设投入B项目的资金是t万元，投入A项目的资金（32﹣t），一年后获利为W万元，列出关系式W，进一步得出结果． 【解答】解：（1）当x＝10时，yA（万元）， 答：将10万元资金投入A项目，一年后获得的收益是4万元； （2）由题意得：当x＝m时，yA＝yB， ∴ ∴m1＝8，m2＝0（舍去）， ∴m＝8； （3）设投入B项目的资金是t万元，投入A项目的资金（32﹣t），一年后获利为W万元， 由题意得， W， ∴当t＝4时，W最大＝16， 32﹣t＝28（万元）， ∴投入A项目的资金是28万元，投入B项目的资金4万元时，一年后获利最大．最大值是16万元． 【点评】本题考查了二次函数及其图象性质，一元二次方程的解法等知识，解决问题的关键是根据题意列出函数关系式． 17．（2023•衡阳）如图，已知抛物线y＝ax2﹣2ax+3与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，连接AC，过B、C两点作直线． （1）求a的值． （2）将直线BC向下平移m（m＞0）个单位长度，交抛物线于B′、C′两点．在直线B′C′上方的抛物线上是否存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线B′C′的距离最大．若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． （3）抛物线上是否存在点P，使∠PBC+∠ACO＝45°，若存在，请求出直线BP的解析式；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将点A（﹣1，0）代入y＝ax2﹣2ax+3，即可求得a＝﹣1； （2）利用待定系数法可得直线BC的解析式为y＝﹣x+3，由平移可得直线B′C′的解析式为y＝﹣x+3﹣m，设D（t，﹣t2+2t+3），过点D作DE∥y轴，交B′C′于点E，作DF⊥B′C′于点F，设直线B′C′交y轴于点G，则E（t，﹣t+3﹣m），可得DE＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3﹣m）＝﹣t2+3t+m，再证得△DEF是等腰直角三角形，可得DFDE（﹣t2+3t+m）（t）2（m），运用二次函数的性质即可求得答案； （3）分两种情况：当∠PBC在BC的下方时，当∠PBC在BC的上方时，分别求得直线BP的解析式，联立方程组求解即可求得点P的坐标． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2ax+3与x轴交于点A（﹣1，0）， ∴a+2a+3＝0， ∴a＝﹣1． （2）存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线B′C′的距离最大． ∵y＝﹣x2+2x+3， 当x＝0时，y＝3， ∴C（0，3）， 当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝3， ∴B（3，0）， 设直线BC的解析式为y＝kx+b，则， 解得：， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3， ∵将直线BC向下平移m（m＞0）个单位长度，交抛物线于B′、C′两点， ∴直线B′C′的解析式为y＝﹣x+3﹣m， 设D（t，﹣t2+2t+3）， 过点D作DE∥y轴，交B′C′于点E，作DF⊥B′C′于点F，设直线B′C′交y轴于点G，如图， ∴E（t，﹣t+3﹣m）， ∴DE＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3﹣m）＝﹣t2+3t+m， ∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°， ∴∠BCO＝∠CBO＝45°， ∵B′C′∥BC， ∴∠B′GO＝∠BCO＝45°， ∵DE∥y轴， ∴∠DEF＝∠B′GO＝45°， ∵∠DFE＝90°， ∴△DEF是等腰直角三角形， ∴DFDE（﹣t2+3t+m）（t）2（m）， ∵0， ∴当t时，DF取得最大值（m），此时点D的坐标为（，）． （3）存在． 当∠PBC在BC的下方时，在y轴正半轴上取点M（0，1），连接BM交抛物线于点P，如图， ∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），M（0，1）， ∴OB＝OC＝3，OM＝OA＝1，∠BOM＝∠COA＝90°， ∴△BOM≌△COA（SAS）， ∴∠MBO＝∠ACO， ∵∠CBO＝45°， ∴∠CBP+∠MBO＝45°， ∴∠CBP+∠ACO＝45°， 设直线BM的解析式为y＝k′x+b′，则， 解得：， ∴直线BM的解析式为yx+1， 联立，得， 解得：（舍去），， ∴P（，）； 当∠PBC在BC的上方时，作点M关于直线BC的对称点M′，如图，连接MM′，CM′，直线BM′交抛物线于P， 由对称得：MM′⊥BC，CM′＝CM＝2，∠BCM′＝∠BCM＝45°， ∴∠MCM′＝90°， ∴M′（2，3）， 则直线BM′的解析式为y＝﹣3x+9， 联立，得：， 解得：（舍去），， ∴P（2，3）； 综上所述，抛物线上存在点P，使∠PBC+∠ACO＝45°，直线BP的解析式为yx+1或y＝﹣3x+9． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，直线的平移，等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质等，第（3）问要注意分类讨论，防止漏解． 18．（2023•怀化）如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣8与x轴交于A（﹣4，0）、B（2，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的函数表达式及顶点坐标； （2）点P为第三象限内抛物线上一点，作直线AC，连接PA、PC，求△PAC面积的最大值及此时点P的坐标； （3）设直线l1：y＝kx+k交抛物线于点M、N，求证：无论k为何值，平行于x轴的直线l2：y上总存在一点E，使得∠MEN为直角． 【分析】（1）运用待定系数法，将A（﹣4，0）、B（2，0）代入y＝ax2+bx﹣8，即可求得抛物线的函数表达式，再利用配方法或顶点坐标公式即可求得抛物线的顶点坐标； （2）运用待定系数法可得直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣8，设P（t，t2+2t﹣8），过点P作PF∥y轴，交AC于点F，则F（t，﹣2t﹣8），进而可得S△PAC＝S△PAF+S△PCF＝2（﹣t2﹣4t）＝﹣2（t+2）2+8，运用二次函数的性质即可求得答案； （3）由直线l1：y＝kx+k交抛物线于点M、N，可得x2+（2﹣k）xk＝0，利用根与系数关系可得xM+xN＝k﹣2，xMxNk，利用两点间距离公式可得MN2＝（xM﹣xN）2+（yM﹣yN）2＝（1+k2）2，设MN的中点为O′，过点O′作O′E⊥直线l2，垂足为E，O′EMN，以MN为直径的⊙O′一定经过点E，所以∠MEN＝90°，即证得结论． 【解答】（1）解：∵抛物线y＝ax2+bx﹣8与x轴交于A（﹣4，0）、B（2，0）两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为y＝x2+2x﹣8， ∵y＝x2+2x﹣8＝（x+1）2﹣9， ∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣9）； （2）解：∵抛物线y＝x2+2x﹣8与y轴交于点C， ∴C（0，﹣8）， 设直线AC的解析式为y＝mx+n，则， 解得：， ∴直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣8， 设P（t，t2+2t﹣8）， 过点P作PF∥y轴，交AC于点F，如图， 则F（t，﹣2t﹣8）， ∴PF＝﹣2t﹣8﹣（t2+2t﹣8）＝﹣t2﹣4t， ∴S△PAC＝S△PAF+S△PCFPF•（t+4）PF•（﹣t）＝2PF＝2（﹣t2﹣4t）＝﹣2（t+2）2+8， ∵﹣2＜0， ∴当t＝﹣2时，S△PAC的最大值为8，此时点P（﹣2，﹣8）； （3）证明：∵直线l1：y＝kx+k交抛物线于点M、N， ∴x2+2x﹣8＝kx+k， 整理得：x2+（2﹣k）xk＝0， ∴xM+xN＝k﹣2，xMxNk， ∵yM＝kxM+k，yN＝kxN+k， ∴yM﹣yN＝k（xM﹣xN）， ∴MN2＝（xM﹣xN）2+（yM﹣yN）2＝（1+k2）（xM﹣xN）2＝（1+k2）[（xM+xN）2﹣4xMxN]＝（1+k2）[（k﹣2）2﹣4（k）]＝（1+k2）2， ∵设MN的中点为O′， ∴O′（，k2）， 过点O′作O′E⊥直线l2：y，垂足为E，如图， ∴E（，）， ∴O′Ek2（）（1+k2）， ∴O′EMN， ∴以MN为直径的⊙O′一定经过点E， ∴∠MEN＝90°， ∴在直线l2：y上总存在一点E，使得∠MEN为直角． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，一元二次方程根与系数关系，圆的性质，圆周角定理等，解题关键是证得O′EMN，得出以MN为直径的⊙O′一定经过点E． 19．（2023•岳阳）已知抛物线Q1：y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B两点，交y轴于点C（0，3）． （1）请求出抛物线Q1的表达式． （2）如图1，在y轴上有一点D（0，﹣1），点E在抛物线Q1上，点F为坐标平面内一点，是否存在点E，F使得四边形DAEF为正方形？若存在，请求出点E，F的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图2，将抛物线Q1向右平移2个单位，得到抛物线Q2，抛物线Q2的顶点为K，与x轴正半轴交于点H，抛物线Q1上是否存在点P，使得∠CPK＝∠CHK？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线的解析式； （2）过点E作EG⊥x轴于点G，则∠AGE＝90°＝∠AOD，由正方形性质可得AE＝AD＝DF，∠DAE＝∠ADF＝90°，进而可证得△EAG≌△ADO（AAS），得出AG＝OD＝1，EG＝OA＝3，即E（﹣2，3），再证明点E在抛物线上，过点F作FL⊥y轴于点L，同理，△DFL≌△ADO（AAS），即可求得F（1，2）． （3）先求得抛物线Q2的解析式为y＝﹣（x+1﹣2）2+4＝﹣（x﹣1）2+4，得出K（1，4），H（3，0），过点K作KT⊥y轴于点T，连接BC，如图2，过点C作PS⊥y轴交BK于点S，交抛物线Q1于点P，连接PK，利用等腰直角三角形性质和三角函数定义可得tan∠CHK，进而可求得点P的坐标． 【解答】解：（1）∵抛物线Q1：y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣3，0），C（0，3）两点， ∴， 解得：， ∴抛物线Q1的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3． （2）存在点E，F使得四边形DAEF为正方形． 理由： 如图1，过点E作EG⊥x轴于点G，则∠AGE＝90°＝∠AOD， ∵A（﹣3，0），D（0，﹣1）， ∴OA＝3，OD＝1， ∵四边形DAEF是正方形， ∴AE＝AD＝DF，∠DAE＝∠ADF＝90°， ∵∠EAG+∠DAO＝90°，∠DAO+∠ADO＝90°， ∴∠EAG＝∠ADO， ∴△EAG≌△ADO（AAS）， ∴AG＝OD＝1，EG＝OA＝3， ∴E（﹣2，3）， 当x＝﹣2时，y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝3， ∴点E在抛物线上， 过点F作FL⊥y轴于点L， 同理，△DFL≌△ADO（AAS）， ∴FL＝OD＝1，DL＝OA＝3， ∴OL＝DL﹣OD＝3﹣1＝2， F（1，2）． （3）抛物线Q1上存在点P，使得∠CPK＝∠CHK． ∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， ∴抛物线Q1的顶点坐标为（﹣1，4）， ∵将抛物线Q1向右平移2个单位，得到抛物线Q2， ∴抛物线Q2的解析式为y＝﹣（x+1﹣2）2+4＝﹣（x﹣1）2+4， ∵抛物线Q2的顶点为K，与x轴正半轴交于点H， ∴K（1，4），H（3，0）， 过点K作KT⊥y轴于点T，连接BC，如图2，过点C作PS⊥y轴交BK于点S，交抛物线Q1于点P，连接PK， 则T（0，4）， ∴KT＝TC＝1，∠KTC＝90°， ∴△CKT是等腰直角三角形， ∴∠KCT＝45°，CKKT， ∵OH＝OC＝3，∠COH＝90°， ∴△COH是等腰直角三角形， ∴∠HCO＝45°，CHOC＝3， ∴∠KCH＝180°﹣∠KCT﹣∠HCO＝90°， ∴tan∠CHK， ∵∠CPK＝∠CHK， ∴tan∠CPK＝tan∠CHK， ∵tan∠BCO， ∴∠BCO＝∠CHK， ∵BK∥OC， ∴∠CBK＝∠BCO， ∴∠CBK＝∠CHK， 即点P与点B重合时，∠CPK＝∠CHK， ∴P1（1，0）； ∵SK＝1，PS＝3， ∴tan∠CPK， ∴∠CPK＝∠CHK， ∵点P与点C关于直线x＝﹣1对称， ∴P（﹣2，3）； 综上所述，抛物线Q1上存在点P，使得∠CPK＝∠CHK，点P的坐标为（1，0）或（﹣2，3）． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角函数定义，抛物线的平移变换等，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形． 20．（2023•邵阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+c经过点A（﹣2，0）和点B（4，0），且与直线l：y＝﹣x﹣1交于D、E两点（点D在点E的右侧），点M为直线l上的一动点，设点M的横坐标为t． （1）求抛物线的解析式． （2）过点M作x轴的垂线，与抛物线交于点N．若0＜t＜4，求△NED面积的最大值． （3）抛物线与y轴交于点C，点R为平面直角坐标系上一点，若以B、C、M、R为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点R的坐标． 【分析】（1）待定系数法求解析式即可； （2）根据题意，联立抛物线与直线解析式，求得点D，E的横坐标，表示出MN的长，可得S△NEDMN•|xD﹣xE|（t﹣2）2+7，再根据二次函数性质可得答案； （3）求出C（0，4），设M（t，﹣t﹣1），R（m，n），分三种情况：①当BC，MR为对角线时，BC，MR的中点重合，且BM＝CM，②当BM，CR为对角线时，BM，CR的中点重合，且BC＝CM，③当BR，CM为对角线时，BR，CM的中点重合，且BC＝BM，分别列方程组可解得答案． 【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+x+c 得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为yx2+x+4； （2）联立， 解得或， ∴D（2，﹣3），E（2，﹣3）， ∵点M为直线l上的一动点，横坐标为t， ∴M（t，﹣t﹣1）， ∴N（t，t2+t+4）， ∴MNt2+t+4﹣（﹣t﹣1）t2+2t+5， ∴S△NEDMN•|xD﹣xE|（t2+2t+5）×2（t﹣2）2+7， ∵0，0＜t＜4， ∴当t＝2时，S△NED取最大值7， ∴△NED面积的最大值是7； （3）在yx2+x+4中，令x＝0得y＝4， ∴C（0，4）， 设M（t，﹣t﹣1），R（m，n）， 又B（4，0）， ①当BC，MR为对角线时，BC，MR的中点重合，且BM＝CM， ∴， 解得， ∴R（，）； ②当BM，CR为对角线时，BM，CR的中点重合，且BC＝CM， ∴， 解得或， ∴R（，）或（，）； ③当BR，CM为对角线时，BR，CM的中点重合，且BC＝BM， ∴， 解得或， ∴R（，）或（，）； 综上所述，R的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）或（，）． 【点评】本题考查了二次函数的综合应用，涉及三角形面积问题，菱形的性质与判定，勾股定理等知识，熟练掌握二次函数的性质，准确的计算是解题的关键． 21．（2023•湘西州）如图（1），二次函数y＝ax2﹣5x+c的图象与x轴交于A（﹣4，0），B（b，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣4）． （1）求二次函数的解析式和b的值． （2）在二次函数位于x轴上方的图象上是否存在点M，使？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图（2），作点A关于原点O的对称点E，连接CE，作以CE为直径的圆．点E′是圆在x轴上方圆弧上的动点（点E′不与圆弧的端点E重合，但与圆弧的另一个端点可以重合），平移线段AE，使点E移动到点E′，线段AE的对应线段为A′E′，连接E′C，A′A，A′A的延长线交直线E′C于点N，求的值． 【分析】（1）将点A，C的坐标代入y＝ax2﹣5x+c得到二元一次方程组求解可得a，c的值，可确定二次函数的解析式，再令y＝0，解关于x的一元二次方程可得点B的坐标，从而确定b的值； （2）不存在．设M（m，﹣m2﹣5m﹣4），根据，可得m2+5m+8＝0，根据Δ＝52﹣4×8＝﹣7＜0，可确定方程无实数根，即可作出判断； （3）根据对称的性质和点的坐标可得OE＝OA＝OC＝4，根据等腰三角形的性质及判定可得∠OAC＝∠OCA＝45°＝∠OCE＝∠OEC，AC＝EC，再根据CE为圆的直径，可得∠CE′E＝90°，然后分两种情况：①当点E′与点O不重合时，由平移的性质可得四边形AEE′A′是平行四边形，从而得到A′A∥E′E，A′A＝E′E，再证明△ANC≌△CE′E（AAS），可得CN＝EE′，可得的值；②当点E′与点O重合时，此时点N与点O重合，可得AA′＝EE′＝OE＝4，CN＝CO＝4，代入可得结论． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2﹣5x+c的图象与x轴交于A（﹣4，0），B（b，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣4）， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣5x﹣4， 当y＝0时，得：﹣x2﹣5x﹣4＝0， 解得：x1＝﹣4，x2＝﹣1， ∴B（﹣1，0）， ∴二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣5x﹣4，b＝﹣1； （2）不存在．理由如下： 如图，设M（m，﹣m2﹣5m﹣4）， ∵A（﹣4，0），B（﹣1，0），C（0，﹣4）， ∴AB＝﹣1﹣（﹣4）＝3，OB＝1，OC＝4， ∵点M在二次函数位于x轴上方的图象上，且， ∴， 整理得：m2+5m+8＝0， ∵Δ＝52﹣4×8＝﹣7＜0， ∴方程无实数根， ∴不存在符合条件的点M； （3）如图，设CE′交x轴于点M， ∵A（﹣4，0），C（0，﹣4）， ∴OA＝OC＝4， ∵点E与点A关于原点O对称， ∴OE＝OA＝OC＝4， ∵∠AOC＝∠EOC＝90°， ∴∠OAC＝∠OCA＝45°＝∠OCE＝∠OEC， ∴AC＝EC， ∵CE为圆的直径， ∴∠CE′E＝90°， ∵平移线段AE，使点E移动到点E′，线段AE的对应线段为A′E′， ①当点E′与点O不重合时， ∴A′E′＝AE，A′E′∥AE， ∴四边形AEE′A′是平行四边形， ∴A′A∥E′E，A′A＝E′E， ∴∠ANE′＝∠CE′E＝90°，∠MAN＝∠MEE′， ∴∠ANC＝90°， 在Rt△ANM和Rt△COM中， ∵∠MAN＝90°﹣∠AMN，∠MCO＝90°﹣∠CMO， ∴∠MAN＝∠MCO， ∵∠OAC＝∠OCE＝45°， ∴∠CAN＝∠ECE′， 又∵∠ANC＝∠CE′E＝90°， 在△ANC和△CE′E中， ， ∴△ANC≌△CE′E（AAS）， ∴CN＝EE′， ∴AA′＝CN， ∴， ②当点E′与点O重合时，此时点N与点O重合， ∴AA′＝EE′＝OE＝4，CN＝CO＝4， ∴， 综上所述，的值为1． 【点评】本题考查用待定系数法确定二次函数解析式，函数图象上点的坐标特征，一元二次方程的应用，直径所对的圆周角为直角，对称和平移的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积等知识点，运用了分类讨论的思想．找到全等三角形是解题的关键． 22．（2023•益阳）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝a（x+2）（a＞0）与x轴交于点A，与抛物线E：y＝ax2交于B，C两点（B在C的左边）． （1）求A点的坐标； （2）如图1，若B点关于x轴的对称点为B′点，当以点A，B′，C为顶点的三角形是直角三角形时，求实数a的值； （3）定义：将平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为整数的点叫作格点，如（﹣2，1），（2，0）等均为格点．如图2，直线l与抛物线E所围成的封闭图形即阴影部分（不包含边界）中的格点数恰好是26个，求a的取值范围． 【分析】（1）解方程a（x+2）＝0； （2）表示出点A，B′，C的坐标，利用勾股定理解方程求解，注意直角顶点不确定，需分类讨论； （3）直线l与抛物线E所围成的封闭图形（不包含边界）中的格点只能落在y轴和直线x＝1上，各为13个，分别求出a的范围． 【解答】解：（1）令y＝a（x+2）＝0，得x＝﹣2， A点的坐标为（﹣2，0）； （2）联立直线l：y＝a（x+2）与抛物线E：y＝ax2得： ， ∴x2﹣x﹣2＝0， ∴x＝﹣1或x＝2， ∴B（﹣1，a），C（2，4a）， ∵B点关于x轴的对称点为B′点， ∴B'（﹣1，﹣a）， ∴AB'2＝（﹣2+1）2+（0+a）2＝a2+1， AC2＝（2+2）2+（4a﹣0）2＝16a2+16， B'C2＝（2+1）2+（4a+a）2＝25a2+9， 若∠CAB'＝90°，则AB'2+AC2＝B'C2，即a2+1+16a2+16＝25a2+9，所以a＝1， 若∠AB'C＝90°，则AB'2+B'C2＝AC2，即a2+1+25a2+9＝16a2+16，所以a， 若∠ACB'＝90°，则AC2+B'C2＝AB'2，即16a2+16+25a2+9＝a2+1，此方程无解． ∴a＝1或a． （3）如图，直线l与抛物线E所围成的封闭图形（不包含边界）中的格点只能落在y轴和直线x＝1上， ∵D（0，2a），E（1，a），F（1，3a）， ∴OD＝EF＝2a， ∵格点数恰好是26个， ∴落在y轴和直线x＝1上的格点数应各为13个， ∴落在y轴的格点应满足13＜2a≤14，即a≤7， ①若a＜7，则即yE＜7，所以线段EF上的格点应该为（1，7），（1，8）……（1，19）， ∴19＜3a≤20 ∴a ∴a ②若a＝7，yE＝7，yF＝21，所以线段EF上的格点正好13个， 综上，a或a＝7． 【点评】本题考查了一次函数和二次函数的图象与性质，并与直角三角形和新定义结合，关键是弄清格点只能落在y轴和直线x＝1上，各为13个，并对点D、F进行定位． 23．（2023•娄底）如图，抛物线y＝x2+bx+c过点A（﹣1，0）、点B（5，0），交y轴于点C． （1）求b，c的值． （2）点P（x0，y0）（0＜x0＜5）是抛物线上的动点． ①当x0取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值； ②过点P作PE⊥x轴，交BC于点E，再过点P作PF∥x轴，交抛物线于点F，连接EF，问：是否存在点P，使△PEF为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由抛物线过点A，B，可直接得出抛物线的表达式为：y＝（x+1）（x﹣5），展开即可得出结论； （2）过点P作PD⊥x轴，交线段BC于点D，则S△PBCOB•PD，根据二次函数的性质可得结论； （2）由题意可知PF⊥PE，若△PEF是等腰直角三角形，则PE＝PF，分别表达PE及PF，可求出x0的值，进而求出点P的坐标． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c过点A（﹣1，0）、点B（5，0）， ∴抛物线的表达式为：y＝（x+1）（x﹣5）＝x2﹣4x﹣5， ∴b＝﹣4，c＝﹣5； （2）由（1）得，抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x﹣5， 令x＝0，则y＝﹣5； ∴C（0，﹣5） ∴直线BC的表达式为：y＝x﹣5，P（x0，4x0﹣5）， ①如图，过点P作x轴的垂线，交线段BC于点D， 则D（x0，x0﹣5）， ∴S△PBCOB•PD5×（x0﹣54x0+5） x0 （x0﹣2.5）2， ∴当x0＝2.5时，S的值取最大，最大值为； ②存在，理由如下： 由题意可知，PE⊥PF，若△PEF是等腰直角三角形，则PE＝PF， 由①可得，PE＝x0﹣5﹣x02+4x0+55x0， ∵PF∥x轴， ∴F（4﹣x0，4x0﹣5）， ∴PF＝|2x0﹣4|， ∴|2x0﹣4|5x0， 解得x0＝﹣1（舍）或x0＝4或x0或x0（舍）， ∴当△PEF是等腰直角三角形时，点P的坐标为（4，﹣5），（，）． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形的性质、图形的面积计算等，本题难度不大． 24．（2023•长沙）我们约定：若关于x的二次函数y1＝a1x2+b1x+c1与y2＝a2x2+b2x+c2同时满足（b2+b1）2+|c2﹣a1|＝0，（b1﹣b2）2023≠0，则称函数y1与函数y2互为“美美与共”函数．根据该约定，解答下列问题： （1）若关于x的二次函数y1＝2x2+kx+3与y2＝mx2+x+n互为“美美与共”函数，求k，m，n的值； （2）对于任意非零实数r，s，点P（r，t）与点Q（s，t）（r≠s）始终在关于x的函数y1＝x2+2rx+s的图象上运动，函数y2与y1互为“美美与共”函数． ①求函数y2的图象的对称轴； ②函数y2的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由； （3）在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数y1＝ax2+bx+c与它的“美美与共”函数y2的图象顶点分别为点A，点B，函数y1的图象与x轴交于不同两点C，D，函数y2的图象与x轴交于不同两点E，F．当CD＝EF时，以A，B，C，D为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围；若不请说明理由． 【分析】（1）根据题意得到a2＝c2，a1＝c2，b1＝﹣b2≠0，即可求解． （2）①求出y1的对称轴，得到s＝﹣3r，表示出y2的解析式，即可求解． ②，令3x2+2x＝0，求解即可． （3）由题意可知，，得到A，B的坐标，表示出CD，EF，根据CD＝EF且b2﹣4ac＞0，得到|a|＝|c|，分情况讨论：1°若a＝﹣c时，2°若a＝c时，求解即可． 【解答】解：（1）由题意可知，a2＝c2，a1＝c2，b1＝﹣b2≠0， ∴m＝3，n＝2，k＝﹣1． 答：k的值为﹣1，m的值为3，n的值为2． （2）①∵点P（r，t）与点Q（s，t）（r≠s）始终在关于x的函数y1＝x2+2rx+s的图象上运动， ∴对称轴为x， ∴s＝﹣3r， ∴， ∴对称轴为x． 答：函数y2的图象的对称轴为x． ②， 令3x2+2x＝0， 解得， ∴过定点（0，1），（）． 答：函数y2的图象过定点（0，1），（）． （3）由题意可知，， ∴， ∴CD，EF， ∵CD＝EF且b2﹣4ac＞0， ∴|a|＝|c|． 1°若a＝﹣c，则， 要使以A，B，C，D为顶点的四边形能构成正方形， 则△CAD，△CBD为等腰直角三角形， ∴CD＝2|yA|， ∴， ∴， ∴b2+4a2＝4， ∴， ∵b2＝4﹣4a2＞0， ∴0＜a2＜1， ∴S正＞2， 2°若a＝c，则A、B关于y轴对称，以A，B，C，D为顶点的四边形不能构成正方形， 综上，当a＝﹣c时，以A，B，C，D为顶点的四边形能构成正方形，此时S＞2． 【点评】本题考查了二次函数的综合应用，解题的关键是利用分类讨论的思想解决问题． 25．（2023•湘潭）如图，二次函数y＝x2+bx+c 的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，其中B（1，0），C（0，3）． （1）求这个二次函数的表达式； （2）在二次函数图象上是否存在点P，使得S△PAC＝S△ABC？点P与点B不重合．若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由； （3）点Q是对称轴l上一点，且点Q的纵坐标为a，当△QAC是锐角三角形时，求a的取值范围． 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）根据S△PAC＝S△ABC，可得P到AC的距离等于B到AC的距离，进而作出两条AC的平行线，求得解析式，联立抛物线即可求解； （3）根据题意，求得当△OAC是直角三角形时的a的值，进而观察图象，即可求解，分a＞0和a＜0两种情况讨论，分别计算即可求解． 【解答】解：将点B（1，0），C（0，3）代入y＝x2+bx+c，则 ， 解得， ∴抛物线解析式为 y＝x2﹣4x+3； （2）在二次函数图象上存在点P，使得S△PAC＝S△ABC， ∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1， ∴顶点坐标为（2，﹣1）， 当 y＝0时，x2﹣4x+3＝0， 解得：x1＝1，x2＝3， ∴A（3，0），则 OA＝3， ∵C（0，3），则 OC＝3， ∴△AOC 是等腰直角三角形， ∵S△PAC＝S△ABC， ∴P到AC的距离等于B到AC的距离， ∵A（3，0），C（0，3），设直线AC的解析式为y＝kx+3， ∴3k+3＝0， 解得k＝﹣1， ∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3， 过点B作AC的平行线，交抛物线于点P， 设BP的解析式为 y＝﹣x+d，将点B（1，0）代入得， ﹣1+d＝0， 解得：d＝1， ∴直线BP的解析式为 y＝﹣x+1， 解得：或， ∴P（2，﹣1）， ∵，，AB＝3﹣1＝2， ∴PA2+PB2＝AB2， ∴△ABP 是等腰直角三角形，且∠APB＝90°， 如图所示，延长PA至D，使得AD＝PA，过点D作AC的平行线DE，交x轴于点E，则DA＝DE，则符合题意的点P在直线DE 上， ∵△APB是等腰直角三角形，DE∥AC，AC⊥PD， ∴∠DAE＝∠BAP＝45°，PD⊥DE， ∴△ADE是等腰直角三角形， ∴， ∴E（5，0）设直线DE的解析式为y＝﹣x+e， ∴﹣5+e＝0， 解得：e＝5， ∴直线DE的解析式为y＝﹣x+5， 联立 ， 解得： 或， ∴ 或 ， 综上所述，P（2，﹣1） 或 ； （3）①当a＞0时，如图所示，过点C作 CG⊥AC 交 x＝2 于点G，当点Q与点G重合时，△ACQ是直角三角形，当∠AQC＝90°时，△ACQ是直角三角形， 设AC交x＝2于点H， ∵直线AC的解析式为 y＝﹣x+3， 则H（2，1）， ∴， ∴∠CHG＝∠OCH＝45°， ∴△CHG是等腰直角三角形， ∴， ∴G（2，5）， 设Q（2，q），则AQ2＝12+q2，CQ2＝22+（q﹣3）2＝q2﹣6q+13， ∵AC2＝32+32＝18， ∴18＝q2﹣6q+13+12+q2， 解得： （舍去）或 ， ∴， ∵△QAC是锐角三角形， ∴； ②当a＜0时，如图所示， 同理可得AQ2+QC2＝AC2， 即18＝q2﹣6q+13+12+q2， 解得： 或 （舍去）， 由（2）可得AM⊥AC时，M（2，﹣1） ∴﹣1＜a． 综上所述，当△QAC是锐角三角形时， a＜5或﹣1＜a． 【点评】本题考查了二次函数综合运用，面积等问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 26．（2023•常德）如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D．O为坐标原点，． （1）求二次函数的表达式； （2）求四边形ACDB的面积； （3）P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若∠ACO＝∠PBC，求P点的坐标． 【分析】（1）依据AO＝1，tan∠ACO求得C点坐标，将点A、B、C的坐标代入，利用待定系数法求二次函数解析式求解； （2）过D作DN⊥AB于N，作DM⊥OC于M，将抛物线解析式整理成顶点式形式求出点D的坐标，列式计算即可得解； （3）连接PB，过C作CE⊥BC交BP于E，过E作EF⊥OC于F，利用OC＝OB＝5，求得BC＝5，结合∠ACO＝∠PBC求得，△EFC是等腰直角三角形，得到E的坐标为（1，6），过B、E的直线的解析式为，进而联立方程求得抛物线民直线BE的交点坐标即可． 【解答】解：（1）∵AO＝1，tan∠ACO， ∴OC＝5，即C的坐标为（0，5）， ∵二次函数的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点且过C的坐标（0，5）， 设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，代入得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+4x+5； （2）y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9， ∴顶点的坐标为（2，9）， 过D作DN⊥AB于N，作DM⊥OC于M， 四边形ACDB的面积＝S△AOC+S矩形OMDN﹣S△CDM+S△DNB ； （3）如图，P是抛物线上的一点，且在第一象限，当∠ACO＝∠PBC时， 连接PB，过C作CE⊥BC交BP于E，过E作EF⊥OC于F， ∵OC＝OB＝5，则BC＝5， ∵∠ACO＝∠PBC， ∴tan∠ACO＝tan∠PBC， 即， ∴， ∴△EFC是等腰直角三角形， ∴FC＝FE＝1， ∴E的坐标为（1，6）， 所以过B、E的直线的解析式为， 令， 解得，或， 所以BE直线与抛物线的两个交点为， 即所求P的坐标为． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，正确的求解二次函数的解析式是解答本题的关键． 27．（2023•永州）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）经过点F（0，5）， 顶点坐标为（2，9），点P（x1，y1）为抛物线上的动点，PH⊥x轴于H，且． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，直线OP：交BF于点G，求的最大值； （3）如图2，四边形OBMF为正方形，PA交y轴于点E，BC交FM的延长线于C，且BC⊥BE，PH＝FC，求点P的横坐标． 【分析】（1）由顶点式坐标公式和待定系数法分别求出a，b，c值，即可求出抛物线解析式； （2）利用抛物线的解析式可得B的坐标，求出直线BF的解析式，设G（m，﹣m+5），根据直线OP的解析式 得 ，用 x1，y1 表达GT长度，根据1，将GT和PH长度代入，可将面积比转化成二次函数的形式，根据P横坐标取值范围和此二次函数的图象性质即可求出 的最大值； （3）根据正方形的性质和FC＝PH可求出PT＝MC，再利用△EOB∽△CMB相似和OB＝MB可推出OE＝MC，设E（0，a），可求出直线AP的解析式，用a表达P点的横纵坐标，最后代入抛物线解析式，解方程可得答案． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）经过点F（0，5），顶点坐标为（2，9）， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+4x+5； （2）过点G作GT⊥x轴于点T，如图所示， 在y＝﹣x2+4x+5中，令y＝0得0＝﹣x2+4x+5， 解得x＝5或x＝﹣1， ∴A（﹣1，0），B（5，0）， ∵F（0，5）， ∴BO＝FO＝5， 设直线BF的解析式为：y＝kx+5， ∴y＝5k+5， 解得k＝﹣1， ∴直线BF的解析式为y＝﹣x+5， 由G在直线BF上，设G（m，﹣m+5）， ∵G在直线OP上，直线OP为， ∴﹣m+5m， ∴， ∴， 由P（x1，y1） 在抛物线 y＝﹣x2+4x+5上，知P（x1，4x1+5）， ∴， ∵S△BPG＝S△BPO﹣S△BOG， ∴111， ∵， ∴111（x1）2， ∵，， ∴当 时，取最大值，最大值为； （3）设MF交PH于T，如图： ∵OBFM为正方形，F（0，5）， ∴FM＝BM＝OF＝BO＝5，∠MBO＝90°，FC∥OB， ∵PH⊥x，∠MBO＝90°，FC∥OB， ∴MTBH为矩形， ∴TH＝MB＝FM＝5， ∵PH＝FC， ∴PT＝MC， ∵BC⊥BE， ∴∠MBC+∠MBE＝90°， ∵∠MBO＝90°， ∴∠OBE+∠MBE＝90°， ∴∠OBE＝∠MBC， ∴∠CMB＝∠EOB＝90°， ∴△EOB∽△CMB， ∴， ∵OB＝MB， ∴EO＝MC， ∵PH＝FC， ∴PT＝MC， ∴EO＝MC＝PT， 设 EO＝MC＝PT＝a， ∴PH＝PT+TH＝5+a，E（0，a）， ∵A（﹣1，0）， 设直线AP的解析式为y＝kx+b， 则， ∴， ∴直线AP的解析式为y＝ax+a， ∵PH＝a+5，P在直线AP上， ∴a+5＝ax+a， ∴，即P点横坐标为 ， ∴x1，y1＝a+5， ∴a，y15 ∴54x1+5， ∴45＝0， ∴（x1+1）（5x1+5）＝0， 解得x1＝1或x1或x1， ∵x1， ∴x1， ∴点P的横坐标为． 方法2： 设P（m，﹣m2+4m+5）， ∴OH＝m，PH＝﹣m2+4m+5， ∵tan∠EAO， ∴， ∴EO＝5﹣m， ∵BC⊥BE， ∴∠CBM＝90°﹣∠MBE＝∠EBO， ∵∠CMB＝90°＝∠EOB，BM＝OB， ∴△CMB≌△EOB（ASA）， ∴CM＝EO＝5﹣m， ∴CF＝CM+FM＝5﹣m+5＝10﹣m， ∵PH＝CF， ∴﹣m2+4m+5＝10﹣m， 解得m或m， ∵m， ∴m， ∴点P的横坐标为． 【点评】本题考查的是二次函数的综合应用题，属于压轴题，解题的关键在于能否将面积问题和二次函数有效结合． 28．（2023•株洲）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）． （1）若a＝1，c＝﹣1，且该二次函数的图象过点（2，0），求b的值； （2）如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，该二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜0＜x2，点D在⊙O上且在第二象限内，点E在x轴正半轴上，连接DE，且线段DE交y轴正半轴于点F，． ①求证：． ②当点E在线段OB上，且BE＝1．⊙O的半径长为线段OA的长度的2倍，若4ac＝﹣a2﹣b2，求2a+b的值． 【分析】（1）依题意得出二次函数解析式为y＝x2+bx﹣1，该二次函数的图象过点（2，0），代入即可求解； （2）①证明△DOF∽△DEO，根据相似三角形的性质即可求解； ②根据题意可得OE＝x2﹣1，OD＝﹣2x1，由①可得，进而得出x2＝1﹣3x1，由已知可得，根据一元二次方程根与系数的关系，可得，将x2＝1﹣3x1代入，解关于x1的方程，进而得出x2，可得对称轴为直线，即可求解． 【解答】（1）解：∵a＝1，c＝﹣1， ∴二次函数解析式为y＝x2+bx﹣1， ∵该二次函数的图象过点（2，0）， ∴4+2b﹣1＝0， 解得：b； （2）①证明：∵∠DOF＝∠DEO，∠ODF＝∠EDO， ∴△DOF∽△DEO， ∴， ∴， ∵， ∴； ②解∵该二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜0＜x2， ∴OA＝﹣x1，OB＝x2， ∵BE＝1． ∴OE＝x2﹣1， ∵⊙O的半径长为线段OA的长度的2倍， ∴OD＝﹣2x1， ∵， ∴， ∴3x1+x2﹣1＝0， 即x2＝1﹣3x1①， ∵该二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0）， ∴x1，x2是方程ax2+bx+c＝0的两个根， ∴， ∵4ac＝﹣a2﹣b2，a≠0， ∴， 即4（x1x2）+1+（x1+x2）2＝0② ①代入②，即， 即， 整理得﹣8（x1）2＝﹣2， ∴， 解得：（正值舍去）， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴b＝﹣2a， ∴2a+b＝0． 【点评】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，一元二次方程根与系数的关系，相似三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $$