专题2.2 充分条件、必要条件、充要条件（高效培优讲义）数学苏教版2019高一必修第一册

专题2.2 充分条件、必要条件、充要条件 教学目标 1、从不同的角度理解必要条件、充分条件与充要条件的意义； 2、结合具体命题，会判断充分条件、必要条件、充要条件，掌握判断它们的方法； 3、会解决由条件的充分性、必要性来求参数的范围的一类问题； 4、能从具体的问题出发来进行抽象概括和逻辑推理。 教学重难点 1.重点 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义 2.难点 充分条件、必要条件的判断方法 知识点01 充分条件与必要条件的定义 一般地，如果pq，那么称p是q的____________；同时称q是p的____________； 注：一般地，命题“若p则q”为真，记作____________；“若p则q”为假，记作____________。 【即学即练】 1．指出下列哪些命题中q是p的充分条件？ ①p：(x－2)(x－3)＝0，q：x－2＝0； ②p：两个三角形面积相等，q：两个三角形全等； ③p：m<－2，q：方程x2－x－m＝0无实根． 2.指出下列哪些命题中q是p的必要条件？ ①p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； ②p：A⊆B，q：A∩B＝A； ③p：a>b，q：ac>bc. 知识点02 充要条件的定义 如果pq，且qp，那么称p是q的____________，简记为p是q的____________，记作____________； 【即学即练】 1．已知集合，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．下列命题为真命题的是（ ） A．“且”是“”的充要条件 B．“”是“”的充要条件 C．“”是“一元二次方程有实数根”的充要条件 D．“一个三角形的三边长满足两边的平方和等于第三边的平方”的充要条件是“此三角形为直角三角形” 知识点03 充分条件、必要条件的四种类型 若，，则是的____________； 如果pq，且，那么称p是q的____________； 如果pq，且qp，那么称p是q的____________； 如果pq，且qp，那么称p是q的___________________。 【即学即练】 1．设，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（多选）下列说法正确的是（ ） A．命题“存在素数是偶数”是真命题 B．是x的必要不充分条件 C．“”的充要条件是“” D．“”是“”的必要不充分条件 知识点04 从集合角度理解条件的判断（小充分大必要） 设命题对应集合，命题对应集合 若，即，是的充分条件（充分性成立） 若，即，是的必要条件（必要性成立） 若，即，，是的充分不必要条件 若，即，，是的必要不充分条件 若，即，，是的充要条件 【即学即练】 1．设，则的一个必要不充分条件是（ ） A． B． C． D． 2．（多选）的一个必要条件是（ ） A． B． C． D． 题型01 充分条件的判断 【典例1】指出下列哪些命题中p是q的充分条件？ ①在△ABC中，p：∠B>∠C，q：AC>AB； ②已知x，y∈R，p：x＝1，q：(x－1)(x－2)＝0； ③已知x∈R，p：x>1，q：x>2. 定义法判断充分条件的步骤： (1)分清“条件”与“结论”. (2)判断条件能否推出结论. (3)下结论：若“条件结论”，则是的充分条件；若“条件结论”，则不是的充分条件. 【变式1】下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ （1）若平面内点P在线段的垂直平分线上，则； （2）若两个三角形的两边及一边所对的角分别相等，则这两个三角形全等； （3）若两个三角形相似，则这两个三角形的面积比等于周长比的平方. 【变式2】下列所给的各组p，q中，p是q的充分条件的有哪些？ （1）p：，q：； （2）p：四边形的对角线相等，q：四边形是正方形； （3）p：同位角相等，q：两条直线平行； （4）p：四边形是平行四边形，q：四边形的对角线互相平分. 题型02 必要条件的判断 【典例1】判断下列各组p，q中，p是否为q的必要条件？ (1)p：，q：． (2)p：，q：． (3)p：是无理数，q：是无理数． 判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假. (2)集合法：即利用集合的包含关系判断. (3)等价法：即利用p⇔q与q⇔p的等价关系，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法. (4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性. 【变式1】下列所给的各组p，q中，p是q的必要条件的有哪些？ （1）p：两条直线平行，q：同位角相等； （2）p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形； （3）p：，q：； （4）p：，q：. 【变式2】下列所给的各组p，q中，p是q的必要条件的有哪些？ （1）p：x＝2，q：|x|＝2； （2）p：x∈R，q：x∈Z； （3）p：四边形是矩形，q：四边形是正方形； （4）p：四边形是平行四边形，q：四边形的对角线互相平分． （ 题型03 求充分条件 【典例1】（多选）使成立的一个充分条件是（ ） A． B． C． D． 【变式1】“”的一个充分条件是（ ） A． B． C． D． 【变式2】“方程至多有一个实数解”的一个充分条件是（ ） A． B．m<1 C． D． 【变式3】“”是“”的____________条件（填“充分”“必要”） 题型04 求必要条件 【典例1】使不等式成立的一个必要条件是（ ） A． B． C． D． 【变式1】的一个必要条件是（ ） A． B． C． D． 【变式2】 “”是“”的的_________条件（填“充分”“必要”） 【变式3】命题A：是无理数，命题B：是无理数，则命题A是命题B的_________条件（填“充分”“必要”） 题型05 利用充分条件与必要条件求参数 【典例1】若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的最大值是 ． 利用充分条件与必要条件求参数的取值范围问题，用集合法求解，步骤 (1)化简集合和； (2)根据与的关系(充分条件、必要条件等)，得出集合与之间的包含关系； (3)列出相关不等式(组)(也可借助数轴)； (4)化简，求出参数的取值范围. 【变式1】已知集合，，若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围为 . 【变式2】若“”是“”的必要不充分条件，则实数的最小值是 ． 【变式3】已知或，，若是的必要条件，则实数的范围是（　　） A． B． C． D． 题型06 探求命题为真的充要条件 【典例1】一元二次方程有一个正根和一个负根的充分必要条件是（ ） A． B． C． D． 【变式1】关于的方程有两个负实根的充要条件是 ． 【变式2】设，则“”的充要条件为（ ） A．至少有一个为1 B．都为1 C．都不为1 D． 【变式3】设、是任意两个集合，请写出一个“”的充分必要条件是 ． 【变式4】关于x的不等式|2x－3|＞a的解集为R的充要条件是 ． 题型07 充要条件的证明 【典例1】求证：一元二次方程x2＋px＋q＝0有两个异号实数根的充要条件是q＜0. 【变式1】求证：是是等边三角形的充要条件.（这里，，是的三边边长）. 【变式2】已知，求证：的充要条件是. 【变式3】已知是实数，集合，． (1)若，请写出集合的所有子集； (2)求证：“”是“”的充要条件． 【变式4】设集合． (1)证明：“”是“”的充分不必要条件； (2)写出“偶数属于M”的一个充要条件并证明． 题型08 根据充要条件求参数 【典例1】已知集合，若是的充要条件，则整数（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式1】集合，集合，若“”是“”的充要条件，则（ ） A．0 B． C．3 D．5 【变式2】设集合则“”的一个充要条件是_______ 【变式3】已知集合． (1)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． (2)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 1．使成立的一个充分条件是（ ） A． B． C． D． 2．设，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．已知且，关于x的方程有两个不相等实数解，则p是q的什么条件（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．《生于忧患，死于安乐》由我国古代著名思想家孟子所作，文中写到“故天将降大任于斯人也，必先苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”，根据文中意思可知“苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”是“天将降大任于斯人也”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知，非空集合．若是的必要条件，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．（多选）已知集合，集合，则的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 7．（多选）设是的必要条件，是的充分条件，是的充分必要条件，是的充分条件，则下列说法正确的有（ ） A．是的必要条件 B．是的充分条件 C．是的充分必要条件 D．是的既不充分也不必要条件 8．（多选）集合，，若“”是“”的充分不必要条件，则可以是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．（多选）下列说法正确的是（ ） A. 若，则“”是“”的必要不充分条件 B. “”是“二次方程有两个不等实根”的充分不必要条件 C. “”是“”的充分不必要条件 D. 若“”是“或“”的充分不必要条件，则的最小值为2022 10．已知集合，，若是的必要不充分条件，则实数的所有可能取值构成的集合为 ． 11．若集合，，且“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为________________. 12．已知“”的必要不充分条件是“或”，则实数a的最大值为______． 13．已知集合，集合． (1)若是成立的一个充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若是成立的充要条件，求实数的值． 14．已知集合，是否存在实数，使得是成立的______？ (1)把充分不必要条件补充在上面的问题中横线部分．若问题中的实数存在，求出的取值范围，若问题中的不存在，请说明理由； (2)把必要不充分条件补充在上面的问题中横线部分．若问题中的实数存在，求出的取值范围，若问题中的不存在，请说明理由． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.2 充分条件、必要条件、充要条件 教学目标 1、从不同的角度理解必要条件、充分条件与充要条件的意义； 2、结合具体命题，会判断充分条件、必要条件、充要条件，掌握判断它们的方法； 3、会解决由条件的充分性、必要性来求参数的范围的一类问题； 4、能从具体的问题出发来进行抽象概括和逻辑推理。 教学重难点 1.重点 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义 2.难点 充分条件、必要条件的判断方法 知识点01 充分条件与必要条件的定义 一般地，如果pq，那么称p是q的充分条件；同时称q是p的必要条件； 注：一般地，命题“若p则q”为真，记作“pq”；“若p则q”为假，记作“pq”。 【即学即练】 1．指出下列哪些命题中q是p的充分条件？ ①p：(x－2)(x－3)＝0，q：x－2＝0； ②p：两个三角形面积相等，q：两个三角形全等； ③p：m<－2，q：方程x2－x－m＝0无实根． 【答案】③ 【分析】由充分条件的定义进行判别即得 【解析】 ①∵(x－2)(x－3)＝0， ∴x＝2或x＝3，不能推出x－2＝0. ∴p不是q的充分条件． ②∵两个三角形面积相等，不能推出两个三角形全等，∴p不是q的充分条件． ③∵m<－2，∴12＋4m<0，∴方程x2－x－m＝0无实根，∴p是q的充分条件． 2.指出下列哪些命题中q是p的必要条件？ ①p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； ②p：A⊆B，q：A∩B＝A； ③p：a>b，q：ac>bc. 【答案】③ 【分析】由必要条件的定义进行判别即得 【解析】 ①因为矩形的对角线相等，所以q是p的必要条件． ②因为p⇒q，所以q是p的必要条件． ③因为p⇏q，所以q不是p的必要条件． 知识点02 充要条件的定义 如果pq，且qp，那么称p是q的充分必要条件，简记为p是q的充要条件，记作； 【即学即练】 1．已知集合，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由充要条件的定义进行判别即得 【解析】因为，，，所以中的元素都是中的元素， 又因为，，，所以中的元素都是中的元素， 所以，所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 2．下列命题为真命题的是（ ） A．“且”是“”的充要条件 B．“”是“”的充要条件 C．“”是“一元二次方程有实数根”的充要条件 D．“一个三角形的三边长满足两边的平方和等于第三边的平方”的充要条件是“此三角形为直角三角形” 【答案】D 【分析】由充要条件的定义进行判别即得 【解析】对于A，由“且”得“”，但“”未必能推出“且”，如且满足，但不满足，故A是假命题；对于B，“”未必能推出“”，如，故B是假命题；对于C，如一元二次方程有实数根，但不满足“”，故C是假命题，D是真命题． 知识点03 充分条件、必要条件的四种类型 若，，则是的充要条件； 如果pq，且，那么称p是q的充分不必要条件； 如果pq，且qp，那么称p是q的必要不充分条件； 如果pq，且qp，那么称p是q的既不充分又不必要条件。 【即学即练】 1．设，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由必要不充分条件的定义进行判别即得 【解析】由，得，由，得．当时，不一定有；当时，一定有．故“”是“”的必要不充分条件． 2．（多选）下列说法正确的是（ ） A．命题“存在素数是偶数”是真命题 B．是x的必要不充分条件 C．“”的充要条件是“” D．“”是“”的必要不充分条件 【答案】AD 【分析】由特殊值2判断A，根据充分条件、必要条件的定义判断BCD． 【解析】2既是素数又是偶数，A正确； ，但时，不一定成立，如， 因此是的充分不必要条件，B错； ，但时，如时， ，因此不是充要条件，C错； 时一定有，但时，如时不成立， 所以“ab>4”是“a>2，b>2”的必要不充分条件，D正确， 故选：AD． 知识点04 从集合角度理解条件的判断（小充分大必要） 设命题对应集合，命题对应集合 若，即，是的充分条件（充分性成立） 若，即，是的必要条件（必要性成立） 若，即，，是的充分不必要条件 若，即，，是的必要不充分条件 若，即，，是的充要条件 【即学即练】 1．设，则的一个必要不充分条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合集合的包含关系得到D满足要求，ABC不满足要求. 【解析】要使得选项中的条件是的一个必要不充分条件， 即集合是选项中的对应的集合的真子集， 对于A，不是的真子集，故A错误； 对于B，不是的真子集，故B错误； 对于C，不是的真子集，故C错误； 对于D，是的真子集，故D正确； 故选：D. 2．（多选）的一个必要条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】解不等式，得到解集，结合集合的包含关系得到AD满足要求，BC不满足要求. 【解析】，解得， 由于是的子集， 故是的一个必要条件，A正确， 同理，是的子集， 故是的一个必要条件，D正确， B,C选项均不满足要求. 故选：AD. 题型01 充分条件的判断 【典例1】指出下列哪些命题中p是q的充分条件？ ①在△ABC中，p：∠B>∠C，q：AC>AB； ②已知x，y∈R，p：x＝1，q：(x－1)(x－2)＝0； ③已知x∈R，p：x>1，q：x>2. 【答案】答案见解析 【分析】由充分条件的定义进行判别即得 【解析】 　①在△ABC中，由大角对大边知，∠B>∠C⇒AC>AB，所以p是q的充分条件． ②由x＝1⇒(x－1)(x－2)＝0，故p是q的充分条件． ③方法一　由x>1⇏x>2，所以p不是q的充分条件． 方法二　设集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x>2}， 所以B⊆A，所以p不是q的充分条件． 定义法判断充分条件的步骤： (1)分清“条件”与“结论”. (2)判断条件能否推出结论. (3)下结论：若“条件结论”，则是的充分条件；若“条件结论”，则不是的充分条件. 【变式1】下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ （1）若平面内点P在线段的垂直平分线上，则； （2）若两个三角形的两边及一边所对的角分别相等，则这两个三角形全等； （3）若两个三角形相似，则这两个三角形的面积比等于周长比的平方. 【答案】（1）p是q的充分条件；（2）p不是q的充分条件；（3）p是q的充分条件 【分析】根据所给命题，判断出能否得到，从而得到p是否是q的充分条件，得到答案. 【解析】（1）线段垂直平分线的性质，，p是q的充分条件； （2）三角形的两边及一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等，，p不是q的充分条件； （3）相似三角形的性质，，p是q的充分条件. 【变式2】下列所给的各组p，q中，p是q的充分条件的有哪些？ （1）p：，q：； （2）p：四边形的对角线相等，q：四边形是正方形； （3）p：同位角相等，q：两条直线平行； （4）p：四边形是平行四边形，q：四边形的对角线互相平分. 【答案】（1）p是q的充分条件；（2）p不是q的充分条件；（3）p是q的充分条件；（4）p是q的充分条件. 【分析】（1）（3）（4）直接利用充分条件的定义判断；（2）可以通过举反例判断. 【解析】（1）因为，所以p是q的充分条件. （2）对角线相等的四边形可以是等腰梯形，所以，p不是q的充分条件. （3）因为，所以p是q的充分条件 （4）因为，所以p是q的充分条件. 题型02 必要条件的判断 【典例1】判断下列各组p，q中，p是否为q的必要条件？ (1)p：，q：． (2)p：，q：． (3)p：是无理数，q：是无理数． 【答案】(1)是；(2)不是；(3)是 【分析】根据必要条件得定义即可判断（1）（2）（3）． 【解析】（1）由，则成立，所以p是q的必要条件． （2）由，则不成立，所以p不是q的必要条件． （3）由是无理数是无理数，则成立，所以p是q的必要条件． 判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假. (2)集合法：即利用集合的包含关系判断. (3)等价法：即利用p⇔q与q⇔p的等价关系，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法. (4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性. 【变式1】下列所给的各组p，q中，p是q的必要条件的有哪些？ （1）p：两条直线平行，q：同位角相等； （2）p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形； （3）p：，q：； （4）p：，q：. 【答案】（1）（2）（4） 【分析】根据必要条件的定义对选项一一判断即可． 【解析】（1）同位角相等则两条直线平行成立，故p是q的必要条件； （2）四边形是矩形则四边形的对角线互相平分成立，故p是q的必要条件； （3）不能推出，故p不是q的必要条件； （4）则成立，故p是q的必要条件 【变式2】下列所给的各组p，q中，p是q的必要条件的有哪些？ （1）p：x＝2，q：|x|＝2； （2）p：x∈R，q：x∈Z； （3）p：四边形是矩形，q：四边形是正方形； （4）p：四边形是平行四边形，q：四边形的对角线互相平分． 【答案】（1）p不是q的必要条件；（2）p是q的必要条件；（3）p是q的必要条件；（4）必要条件. 【分析】利用必要条件的定义即得. 【解析】（1）由|x|＝2得x=2或x=-2，所以q推不出p，所以p不是q的必要条件． （2）因为q⇒p，所以p是q的必要条件． （3）因为q⇒p，所以p是q的必要条件． （4）因为q⇒p，所以p是q的必要条件. 题型03 求充分条件 【典例1】（多选）使成立的一个充分条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据充分条件的定义及集合间的关系判定即可. 【解析】根据充分条件的定义可知，，即A、B正确； 而不能推出，更不能推出，故C、D错误. 故选：AB. 【变式1】“”的一个充分条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据充分条件的定义判断即可 【解析】“”的一个充分条件就是集合的一个子集即可， 所以 B选项满足题意. 故选：B 【变式2】“方程至多有一个实数解”的一个充分条件是（ ） A． B．m<1 C． D． 【答案】D 【分析】根据充分条件的定义判断即可 【解析】“方程至多有一个实数解”的充要条件 为，解得， 又是的充分条件， 故选：D. 【变式3】“”是“”的____________条件（填“充分”“必要”） 【答案】A 【分析】根据充分条件的定义判断即可 【解析】由可得， 故“”是“”的充分条件， 故选：A 题型04 求必要条件 【典例1】使不等式成立的一个必要条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解不等式，得到解集，结合集合的包含关系得到B满足要求，ACD不满足要求. 【解析】， 因此只有B是其必要条件． 故选：B． 【变式1】的一个必要条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过一一判断即可. 【解析】由题意， ∵， ∴，A正确 对B项，，故B错误； 对C项，不能小于2，故C错误， 对D项，不能等于1，故D错误， 故选：A. 【变式2】 “”是“”的的_________条件（填“充分”“必要”） 【答案】必要 【分析】根据必要条件的定义判断即可 【解析】若，则，但不一定相等.若，则，故“”是“”的必要不充分条件. 故答案为：必要 【变式3】命题A：是无理数，命题B：是无理数，则命题A是命题B的_________条件（填“充分”“必要”） 【答案】必要 【分析】根据必要条件的定义判断即可 【解析】是无理数，不一定是无理数，如，；而是无理数，一定是无理数， 故命题A是命题B的必要条件. 故答案为：必要 题型05 利用充分条件与必要条件求参数 【典例1】若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的最大值是 ． 【答案】 【分析】设或，，由题意可得是的真子集，即可得实数的取值范围，可得的最大值. 【解析】设或，， 因为“或”是“”的必要不充分条件， 所以是的真子集，则， 即实数的最大值是. 故答案为：. 利用充分条件与必要条件求参数的取值范围问题，用集合法求解，步骤 (1)化简集合和； (2)根据与的关系(充分条件、必要条件等)，得出集合与之间的包含关系； (3)列出相关不等式(组)(也可借助数轴)； (4)化简，求出参数的取值范围. 【变式1】已知集合，，若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由得到，结合充分条件求实数的取值范围. 【解析】若，则，即， 要使“”是“”的充分条件，只需， 所以. 故答案为： 【变式2】若“”是“”的必要不充分条件，则实数的最小值是 ． 【答案】2 【分析】由题得出两个集合之间的关系：即可求解． 【解析】由，得．因为“”是“”的必要不充分条件，所以，所以，即实数的最小值为2． 【变式3】已知或，，若是的必要条件，则实数的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题得出两个集合之间的关系：，再对集合B中的不等式求解，分类讨论研究即可． 【解析】由题意知： ①当时，，，故，解得， 故； ②当时，，满足； ③当时，，，故，解得， 故； 综上所述：． 故选：A． 题型06 探求命题为真的充要条件 【典例1】一元二次方程有一个正根和一个负根的充分必要条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用充要条件的定义，结合一元二次方程根的情况求解即得. 【解析】一元二次方程有一个正根和一个负根，等价于，解得， 所以所求充要条件是. 故选：A 【变式1】关于的方程有两个负实根的充要条件是 ． 【答案】 【分析】结合充分、必要性定义即可得答案. 【解析】充分性：由题意可得，即得，充分性成立； 必要性：若，则此时， 满足方程有两个负实根，必要性成立． 故关于的方程有两个负实根的充要条件是充要条件是． 故答案为： 【变式2】设，则“”的充要条件为（ ） A．至少有一个为1 B．都为1 C．都不为1 D． 【答案】A 【分析】将化为求解，结合充分、必要性定义即可得答案. 【解析】由，则，可得或，即至少有一个为1， 所以“”的充要条件为至少有一个为1，故只有A符合，其它选项均不符. 故选：A 【变式3】设、是任意两个集合，请写出一个“”的充分必要条件是 ． 【答案】（只需与等价即可）. 【分析】结合充分、必要性定义即可得答案. 【解析】， 所以，“”的充分必要条件是“”. 故答案为：（只需与等价即可）. 【变式4】关于x的不等式|2x－3|＞a的解集为R的充要条件是 ． 【答案】a＜0 【分析】根据得到a＜0. 【解析】由题意知恒成立． 因为，所以 a＜0. 故答案为：a＜0 题型07 充要条件的证明 【典例1】求证：一元二次方程x2＋px＋q＝0有两个异号实数根的充要条件是q＜0. 【答案】证明见解析 【分析】充分性：根据q＜0，得出Δ＝p2－4q＞0，即充分性满足；必要性：利用两根之积即可证明. 【解析】证明　①充分性： 因为q＜0，所以方程x2＋px＋q＝0的Δ＝p2－4q＞0， 故方程x2＋px＋q＝0有两个不相等的实数根． 设方程的两根为x1，x2. 因为x1·x2＝q＜0，所以方程x2＋px＋q＝0有两个异号实数根． ②必要性： 因为方程x2＋px＋q＝0有两个异号实数根， 设两根为x1，x2，所以x1·x2＜0. 因为x1·x2＝q，所以q＜0. 由①②，命题得证． 【变式1】求证：是是等边三角形的充要条件.（这里，，是的三边边长）. 【答案】证明见解析 【分析】根据充分性与必要性定义证明即可. 【解析】先证明充分性： 由， 得， 整理得，， 所以，即是等边三角形. 然后证明必要性： 由是等边三角形，则， 所以. 综上所述，是是等边三角形的充要条件. 【变式2】已知，求证：的充要条件是. 【答案】证明见解析 【分析】先分清命题条件是，结论是，再根据充要条件的定义证明即可. 【解析】①必要性：因为.所以. 所以. ②充分性：因为， 所以，又， 所以且. 因为. 所以，即. 综上可得，当时，的充要条件是 【变式3】已知是实数，集合，． (1)若，请写出集合的所有子集； (2)求证：“”是“”的充要条件． 【答案】（1），，，，，，，；（2）证明见解析 【分析】根据充分性与必要性定义证明即可. 【解析】（1）若，则，所以的所有子集为： ，，，，，，，. （2）证明：若，则，所以，故充分性成立； 若，则，因为，所以， 解得或，当时，，不满足互异性，故舍去， 当时，，满足互异性，故必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 【变式4】设集合． (1)证明：“”是“”的充分不必要条件； (2)写出“偶数属于M”的一个充要条件并证明． 【答案】证明见解析 【分析】根据充分性与必要性定义证明即可. 【解析】证明：（1）设集合中的元素，所以．因为，所以，所以，则成立，故“”是“”的充分条件． 若，则，可取，设．因为，所以与有相同的奇偶性．因为2为偶数，所以与均为偶数，所以应为4的倍数，而2不是4的倍数，所以假设不成立，所以，故“，”是“”的不必要条件． 综上所述，“”是“”的充分不必要条件． （2）“偶数属于M”的一个充要条件是k为偶数． 充分性：因为k为偶数，所以设，所以，而，所以满足集合，所以偶数属于M． 必要性：因为偶数属于M，所以．因为，所以与有相同的奇偶性．因为为偶数，所以与均为偶数，所以应为4的倍数，必为4的倍数，即k必为2的倍数，所以k为偶数． 题型08 根据充要条件求参数 【典例1】已知集合，若是的充要条件，则整数（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】根据集合中元素与集合的关系，结合充要条件的判定即可判断. 【解析】， 由于是的充要条件，， 所以，解得， 故整数. 故选：D 【变式1】集合，集合，若“”是“”的充要条件，则（ ） A．0 B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】根据集合中元素与集合的关系，结合充要条件的判定即可求解. 【解析】因为“”是“”的充要条件，所以， 又，，所以. 故选：B. 【变式2】设集合则“”的一个充要条件是_______ 【答案】 【分析】根据集合交集运算及元素与集合的关系，结合充要条件的判定即可判断. 【解析】若，则， 所以，解得， 当时，，此时，不合题意舍去， 当 时，，此时，满足题意， 则，则充分性成立， 反之，亦得必要性成立， 则“”是“”的充要条件. 故答案为： 【变式3】已知集合． (1)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． (2)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1);(2)不存在 【分析】根据集合与集合的关系，结合充要条件的判定即可判断. 【解析】（1）因为，所以．因为“”是“”的充分条件，所以解得，所以实数a的取值范围是． （2）因为，若“”是“”的充要条件，则解得故a不存在． 1．使成立的一个充分条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由充分条件的定义判定选项即可. 【解析】对于选项A，是成立的一个既不充分也不必要条件，故A错误；对于选项B，是成立的一个充分条件，故B正确；对于选项C，是成立的一个必要条件，故C错误；对于选项D，是成立的一个既不充分也不必要条件，故D错误． 故选：B 2．设，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据必要不充分条件得，即可求解． 【解析】由题意得，且， 故选：D 3．已知且，关于x的方程有两个不相等实数解，则p是q的什么条件（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】求出命题q的等价命题，后判断命题p与q的关系即可. 【解析】因为关于x的方程有两个不相等实数解 且， 所以p是q的充要条件， 故选：C. 4．《生于忧患，死于安乐》由我国古代著名思想家孟子所作，文中写到“故天将降大任于斯人也，必先苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”，根据文中意思可知“苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”是“天将降大任于斯人也”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分性和必要性的概念，结合文中含义判断即可. 【解析】由文中意思可知，若“天将降大任于斯人也”，则必须“苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”，反之未必， 所以“苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”是“天将降大任于斯人也”的必要不充分条件， 故选：B 5．已知，非空集合．若是的必要条件，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到，从而得到不等式组，再解不等式组即可. 【解析】因为是的必要条件，则. 又因为，所以，解得. 的取值范围是. 故选：C 6．（多选）已知集合，集合，则的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由可得，再由充分不必要条件的定义即可得解. 【解析】因为集合，集合， 所以等价于即， 对比选项，、均为的充分不必要条件. 故选：AD. 7．（多选）设是的必要条件，是的充分条件，是的充分必要条件，是的充分条件，则下列说法正确的有（ ） A．是的必要条件 B．是的充分条件 C．是的充分必要条件 D．是的既不充分也不必要条件 【答案】BC 【分析】根据条件得到可判断每一个选项. 【解析】由题意，，则. 故选：BC. 8．（多选）集合，，若“”是“”的充分不必要条件，则可以是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】BCD 【分析】由题可得是的真子集，进而即得. 【解析】， 由“”是“”的充分不必要条件，可得：是的真子集， 所以， 故选：BCD 9．（多选）下列说法正确的是（ ） A. 若，则“”是“”的必要不充分条件 B. “”是“二次方程有两个不等实根”的充分不必要条件 C. “”是“”的充分不必要条件 D. 若“”是“或“”的充分不必要条件，则的最小值为2022 【答案】BD 【分析】根据充分、必要条件逐个分析判断. 【解析】对A：若，则，即 若，比如：，则不成立 ∴“”是“”的充分不必要条件，A错误； 对B：若，则，即二次方程有两个不等实根 若二次方程有两个不等实根，等价于 比如：满足，但不成立 ∴“”是“二次方程有两个不等实根”的充分不必要条件，B正确； 对C：∵且 则 ∴“”是“”的充要条件，C错误； 对D：根据题意可得：，则最小值为2022，D正确； 故选：BD. 10．已知集合，，若是的必要不充分条件，则实数的所有可能取值构成的集合为 ． 【答案】 【分析】先求得，然后根据必要不充分条件的知识求得集合. 【解析】依题意，， 若，则，满足是的必要不充分条件. 当时，， 由于是的必要不充分条件，所以或， 解得或， 综上所述，的所有可能取值构成的集合为. 11．若集合，，且“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为________________. 【答案】 【分析】解不等式得到，由“”是“”的充分不必要条件得到是的真子集，从而比较端点得到不等式组，求出实数的取值范围. 【解析】， 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以是的真子集， 故，解得：， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 12．已知“”的必要不充分条件是“或”，则实数a的最大值为______． 【答案】1 【分析】首先解出不等式，再根据题意得到，即可求出的取值范围，从而得解； 【解析】由，得或， 因为的必要不充分条件是“或”， 所以，解得，所以实数a的最大值为1； 故答案为： 13．已知集合，集合． (1)若是成立的一个充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若是成立的充要条件，求实数的值． 【答案】(1)．;(2)2 【分析】（1）由题意是B的真子集，构造不等式即可求解； （2）由题意得到，进而可求解. 【解析】（1）由题意 A 是B的真子集，所以，即， 所以实数的取值范围为. （2）因为是成立的充要条件，所以, 所以，即．即实数的值为2． 14．已知集合，是否存在实数，使得是成立的______？ (1)把充分不必要条件补充在上面的问题中横线部分．若问题中的实数存在，求出的取值范围，若问题中的不存在，请说明理由； (2)把必要不充分条件补充在上面的问题中横线部分．若问题中的实数存在，求出的取值范围，若问题中的不存在，请说明理由． 【答案】(1);(2) 【分析】（1）由已知可得集合是集合的真子集，进而可得，求解即可； （2）集合是集合的真子集，分和两种情况求解即可. 【解析】（1）因为是成立的充分不必要条件，所以集合是集合的真子集， 又，， 所以，解得， 所以的取值范围为. （2）因为是成立的必要不充分条件条件，所以集合是集合的真子集， 若时，，解得， 若时，可得，解得， 综上所述：的取值范围为. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$