第4章 一元一次方程（知识清单）数学苏科版2024七年级上册

第四章 一元一次方程 知识点1：方程的概念 1．定义：含有 的 叫做方程. 一个式子要想成为方程，需要同时满足两个条件：① ；② ． 2．方程的解：使方程 相等的 值，叫做方程的解. 判断一个数（或一组数）是否是某个方程的解，只需看两点： ①它们是方程中未知数的值； ②将它们代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否则不是． 3．解方程：求方程的解的过程叫做解方程. 知识点2：等式的基本性质 1．等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式. 2．等式的性质： 　 （1）基本性质1： . 数学语言表示： . （2）基本性质2： . 数学语言表示： . . 名师点拨 （1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形； （2）等式基本性质2中，这一条件必不可少。 知识点3：一元一次方程 1.一元一次方程的定义：只含有 未知数（元），且含有未知数的式子都是 ，未知数的次数都是 ，这样的方程叫做一元一次方程. 名师点拨 一元一次方程中的“元”是指 ，“次”是指 的次数，一元一次方程需要同时满足以下条件： ① 是一个 ; ② 必须只含有一个 ; ③ 含有未知数的式子都是 ; ④ 未知数的次数都是 ． 2.一元一次方程的解法： 步骤 数学依据 具体做法 注意事项 1.去分母 等式性质2 方程两边都乘以各分母的 (1)不要漏乘 (2)分子是一个整体的，去分母后应加上括号 2.去括号 去括号 (1)不要漏乘括号里的项 (2)不要弄错符号 3.移项 含有未知数项都移到方程左边，常数项都移到右边 移项要 4.合并同类项 合并同类项法则 把方程化成的形式 系数相加减，其他都不变 5.系数化成1 方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解 不要把分子、分母写颠倒 名师点拨 解方程时，表中所给步骤是一般步骤，有些步骤可能用不到，要根据具体方程的形式而定，而且也不一定要按照表中顺序，可以适当的调整或删减． 知识点4：用一元一次方程解决实际问题 1.列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答． 由此可得解决此类题的一般步骤为： ． 名师指点 （1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系； （2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数； （3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一； （4）“解”就是解方程，求出未知数的值； （5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可； （6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚． 2.常见一元一次方程应用题类型： (1)行程问题 ①三个基本量间的关系： 　②基本类型有： 　 相遇（或相向）问题： A．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间 B．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离． 追及问题：A．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间 B．寻找相等关系： 第一， 同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程； 第二， 同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程． ③航行问题：A．基本量及关系： ， 逆流速度=静水速度－水流速度， 顺水速度－逆水速度＝2×水速； B．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑． 解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析． （2）工程问题 三个基本量间的关系： ；“一般把 设为1”； 3．利润问题 常用数量关系如下： （1） (2) 标价＝成本(或进价)×(1＋利润率) (3) 实际售价＝标价×打折率 (4) 利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率 注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售． 4．方案问题 选择设计方案的一般步骤： （1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况． （2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论． 一、正确理解一元一次方程的概念 错误：认为“”是一元一次方程。 注意：一元一次方程的概念中要求“含有未知数的式子都是整式”，而整式包括单项式和多项式，这个方程中含有，而这一项含有未知数，但它不是整式，所以这个方程也就不是一元一次方程; 二、要熟练掌握一元一次方程的一般解法 错误：对一元一次方程的5步解法掌握不熟练导致各种错误． 注意：一元一次方程是所有方程的基础，解法必须要非常熟练，而不是会就可以，每个步骤中都有易错的地方． 例如： 第1步去分母中，学生最易犯的错误就是去分母时，不含分母的项忘记乘以各分母的最小公倍数。 第2步去括号中，学生最易犯的错误就是去括号时，括号前面是减号时，括号内的各项要改变符号。 第3步移项中，学生最易犯的错误就是移项忘记改变符号，记住：所有穿过等号的项都要改变符号。 第4步合并同类项中，学生最易犯的错误就是合并同类项的法则，系数相加减，其他都不变。 第5步系数化为1中，不能整除的，分子分母最容易写错位置。 三、一元一次方程应用 错误：一元一次方程不会找等量关系． 规则：对一元一次方程的应用题中找等量关系，首先要分清题目类型，对各种类型的基本数量关系要非常熟练，只有熟练这些基本的数量关系，才能借助各种解题策略正确找到等量关系，解题的常用策略有：画示意图，画线段图，列表等。 题型01 一元一次方程的概念 1．下列一元一次方程中，解为的是（　　） A． B． C． D． 2．下列方程是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．下列方程中，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 4．下列四个方程中，一元一次方程是（   ） A． B． C． D． 5．下列方程是一元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 题型02一元一次方程的解法 1．下面解方程的过程，你认为正确的是（  ） A．方程，合并同类项，得 B．方程，去括号，得 C．方程去分母，得 D．方程，系数化为，得 2．解方程： (1) (2) 3．解方程： (1)； (2)． 4．解下列方程： (1) (2) 5．以下是圆圆解方程的过程． 去分母，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请在上面的解题过程中划出错误的地方，并写出正确的解答过程． 题型03一元一次方程的应用 1．在沿铁路的公路上，甲乙两汽车同时从站向站行驶．甲车每小时行30千米，乙车每小时行45千米，两车同时出发半小时后，一辆列车也从站向站行驶，列车行驶一定时间后分别赶上了两车．列车从追上甲车到完全超过甲车用了9秒钟，从追上乙车到完全超过乙车用了12秒钟．当列车完全超过乙车时，列车离开站多远？（列方程解应用题） 2．某市按以下规定收取每月水费：若每月每户用水不超过，则每立方米按元收费；若每月每户用水超过，则超过部分每立方米按元收费． (1)李明家上个月用水，他上个月应交水费多少元？ (2)若当月用水量为（），请你用含的式子表示当月所付水费金额； (3)如果王鹏家月份所交水费的平均价为每立方米元，那么王鹏家月份用水多少立方米？请你设未知数列方程完成此问． 3．暑假期间，某校组织学生到北京研学，研学社报价每人收费400元，当研学人数超过50人时，研学社给出两种优惠方案（只选其中一种方案）： 方案一：研学团队先交1600元后，每人再收费320元； 方案二：其中5人免费，其余每人收费打九折． 当参加研学的总人数是时． (1)请用含的代数式分别表示方案一和方案二各收费多少元； (2)当两种方案的收费相同时，求该校参加研学的总人数． 4．为推进我国“碳达峰、碳中和”双碳目标的实现，各地大力推广分布式光伏发电项目．某公司计划建设一座小型光伏发电站，若由甲工程队单独施工需要3周，若由乙工程队单独施工需要6周． (1)若甲、乙两工程队全程合作施工，需要几周完成？ (2)若由甲、乙两工程队先合作施工，剩下的由乙工程队单独完成，恰好用了4周完成建设任务，求甲工程队施工了几周？ 5．《孙子算经》是中国古代著名的数学著作，书中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”译文：用一根绳子去量一根木条，绳子多出4.5尺；将绳子对折后量木条，木条多出1尺．问木条的长度为多少？请你用方程的方法解决该问题． 6．已知A，B两点在数轴上所表示的数分别为a，b，且a，b满足． (1) ， ； (2)如图所示，有一辆玩具小火车CD放置在数轴上，小火车可以沿数轴左右水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为，当点移动到点时，点所对应的数为，求玩具小火车的长度； (3)在（2）的条件下，将玩具小火车沿数轴左右水平移动，当时，请求出点所表示的数． 7．已知数轴上三点对应的数分别为，点P位数轴上任意一点，其对应的数为x，点A与点P之间的距离表示为，点B与点P之间的距离表示为． (1)若，则 ； (2)若，则 ；若，则 ； (3)若点P从点C出发，以每秒3个单位的速度向右运动，点A以每秒1个单位的速度向左运动，点B以每秒2个单位的速度向右运动，三点同时出发，设运动时间为t秒，试判断：的值是否会随着t的变化而变化？请说明理由． 8．数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些实际问题．如图，在纸面上有一数轴，按要求折叠纸面： (1)若折叠后数1对应的点与数对应的点重合，则此时数对应的点与数 对应的点重合； (2)若折叠后数2对应的点与数对应的点重合，数轴上有A，B两点也重合，且A，B两点之间的距离为11（点B在A点的左侧），则点A对应的数为 ，点B对应的数为 ； (3)在（2）的条件下，数轴上有一动点P，动点P从B点向右出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为t秒（）．t为何值时，P、A点之间的距离为3个单位长度； 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 一元一次方程 知识点1：方程的概念 1．定义：含有未知数的等式叫做方程. 一个式子要想成为方程，需要同时满足两个条件：①是等式；②是含有未知数． 2．方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解. 判断一个数（或一组数）是否是某个方程的解，只需看两点： ①它们是方程中未知数的值； ②将它们代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否则不是． 3．解方程：求方程的解的过程叫做解方程. 知识点2：等式的基本性质 1．等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式. 2．等式的性质： 　 （1）基本性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等. 数学语言表示：如果，那么. （2）基本性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等. 数学语言表示：如果，那么. 如果，，那么. 名师点拨 （1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形； （2）等式基本性质2中，这一条件必不可少。 知识点3：一元一次方程 1.一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程. 名师点拨 一元一次方程中的“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程需要同时满足以下条件： ① 是一个方程; ② 必须只含有一个未知数; ③ 含有未知数的式子都是整式; ④ 未知数的次数都是1． 2.一元一次方程的解法： 步骤 数学依据 具体做法 注意事项 1.去分母 等式性质2 方程两边都乘以各分母的最小公倍数 (1)不要漏乘不含分母的项 (2)分子是一个整体的，去分母后应加上括号 2.去括号 去括号法则 去括号 (1)不要漏乘括号里的项 (2)不要弄错符号 3.移项 等式性质1 含有未知数项都移到方程左边，常数项都移到右边 移项要变号 4.合并同类项 合并同类项法则 把方程化成的形式 系数相加减，其他都不变 5.系数化成1 等式性质2 方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解 不要把分子、分母写颠倒 名师点拨 解方程时，表中所给步骤是一般步骤，有些步骤可能用不到，要根据具体方程的形式而定，而且也不一定要按照表中顺序，可以适当的调整或删减． 知识点4：用一元一次方程解决实际问题 1.列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答． 由此可得解决此类题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答． 名师指点 （1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系； （2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数； （3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一； （4）“解”就是解方程，求出未知数的值； （5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可； （6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚． 2.常见一元一次方程应用题类型： (1)行程问题 ①三个基本量间的关系： 路程=速度×时间 　②基本类型有： 　 相遇（或相向）问题： A．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间 B．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离． 追及问题：A．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间 B．寻找相等关系： 第一， 同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程； 第二， 同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程． ③航行问题：A．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度， 逆流速度=静水速度－水流速度， 顺水速度－逆水速度＝2×水速； B．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑． 解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析． （2）工程问题 三个基本量间的关系：工作效率×工作时间=工作总量；“一般把总工作量设为1”； 3．利润问题 常用数量关系如下： （1） (2) 标价＝成本(或进价)×(1＋利润率) (3) 实际售价＝标价×打折率 (4) 利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率 注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售． 4．方案问题 选择设计方案的一般步骤： （1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况． （2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论． 一、正确理解一元一次方程的概念 错误：认为“”是一元一次方程。 注意：一元一次方程的概念中要求“含有未知数的式子都是整式”，而整式包括单项式和多项式，这个方程中含有，而这一项含有未知数，但它不是整式，所以这个方程也就不是一元一次方程; 二、要熟练掌握一元一次方程的一般解法 错误：对一元一次方程的5步解法掌握不熟练导致各种错误． 注意：一元一次方程是所有方程的基础，解法必须要非常熟练，而不是会就可以，每个步骤中都有易错的地方． 例如： 第1步去分母中，学生最易犯的错误就是去分母时，不含分母的项忘记乘以各分母的最小公倍数。 第2步去括号中，学生最易犯的错误就是去括号时，括号前面是减号时，括号内的各项要改变符号。 第3步移项中，学生最易犯的错误就是移项忘记改变符号，记住：所有穿过等号的项都要改变符号。 第4步合并同类项中，学生最易犯的错误就是合并同类项的法则，系数相加减，其他都不变。 第5步系数化为1中，不能整除的，分子分母最容易写错位置。 三、一元一次方程应用 错误：一元一次方程不会找等量关系． 规则：对一元一次方程的应用题中找等量关系，首先要分清题目类型，对各种类型的基本数量关系要非常熟练，只有熟练这些基本的数量关系，才能借助各种解题策略正确找到等量关系，解题的常用策略有：画示意图，画线段图，列表等。 题型01 一元一次方程的概念 1．下列一元一次方程中，解为的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断是否是方程的解、判断是否是一元一次方程 【分析】本题考查了一元一次方程的概念，一元一次方程的解，掌握这两个知识点是关键；将代入各选项方程验证是否成立，并判断方程是否为一元一次方程即可． 【详解】解：选项A： 代入，左边为，等式成立；但该方程含分母，不符合一元一次方程的定义（整式方程），故排除． 选项B： 代入，左边为，等式成立；化简方程得，即，符合一元一次方程的定义，故选B． 选项C： 右边计算为，代入，左边为，，等式不成立，排除． 选项D： 代入，左边为，等式成立；但该方程次数为2，不符合一元一次方程的定义，排除． 故选：B． 2．下列方程是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题主要考查一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．根据一元一次方程的定义（只含有一个未知数，未知数的次数为1，且为整式方程）逐一判断选项即可． 【详解】解：A. 方程中出现，分母含未知数，不符合整式方程的要求，故排除； B. 方程含有两个未知数和，不符合“一元”条件，故排除； C. 方程中的最高次数为2，不符合“一次”条件，故排除； D. 方程仅含一个未知数，次数为1，且为整式方程，符合一元一次方程的定义； 故选D． 3．下列方程中，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】此题考查了一元一次方程的定义， 根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程，逐一判断各选项即可． 【详解】A．含有两个未知数x和y，不符合“一元”条件，排除． B．仅含未知数x，且x的次数为1，方程两边均为整式，符合定义． C．中x2项的次数为2，超过1次，排除． D．含有分式，不是整式方程，排除． 故选：B． 4．下列四个方程中，一元一次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题考查一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程）逐一判断选项． 【详解】解：A． ，含两个未知数和，不符合“一元”条件，故该选项不正确，不符合题意； B． ，不是整式方程，故该选项不正确，不符合题意； C． ，未知数x的最高次数为2，故该选项不正确，不符合题意；． D． 是一元一次方程，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 5．下列方程是一元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义（只含有一个未知数，未知数的次数为1，且为整式方程）逐一分析选项即可，熟练掌握一元一次方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、：分母含未知数，属于分式方程，不符合整式方程的要求，故不符合题意； B、：未知数的最高次数为2，是二次方程，故不符合题意；   C、：去分母后化简为，仅含未知数且次数为1，符合一元一次方程的定义，符合题意； D、：含两个未知数和，是二元方程，故不符合题意； 故选：C． 题型02一元一次方程的解法 1．下面解方程的过程，你认为正确的是（  ） A．方程，合并同类项，得 B．方程，去括号，得 C．方程去分母，得 D．方程，系数化为，得 【答案】D 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题考查一元一次方程的解法．逐一分析各选项步骤的正确性即可． 【详解】解：A．方程合并同类项为，故A错误； B．方程去括号时为，故B错误； C．方程去分母时，两边同乘6得，故C错误； D．方程系数化为1时，两边同除以5得，故D正确； 故选：D． 2．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解： 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：． 3．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解法是解题关键． （1）先去括号，然后移项合并同类项，系数化为1求解即可； （2）先去分母，然后去括号，移项合并同类项，系数化为1求解即可． 【详解】（1）解： 去括号得： 移项合并同类项得： 系数化为1得：； （2）解： 去分母得： 去括号得： 移项合并同类项得： 系数化为1得：． 4．解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了一元一次方程的求解，熟练掌握一元一次方程的求解方法是解题关键． （1）根据移项合并同类项，系数化为1的顺序进行求解即可； （2）根据去分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1的顺序进行求解即可． 【详解】（1）解：， 移项，得： 合并同类项，得： 系数化为1，得：； （2）解：， 去分母，得： 去括号，得： 移项合并同类项，得： 系数化为1，得：． 5．以下是圆圆解方程的过程． 去分母，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请在上面的解题过程中划出错误的地方，并写出正确的解答过程． 【答案】圆圆的解答过程有错误，划出错误的地方见解析，正确的解答过程见解析 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，去分母时，等式右边的1没有乘以系数6，去括号时等式左边的1没有乘以系数3，没有乘以系数，等式右边的1应该是6，再按照去括号，去括号，移项，合并同类项的步骤解方程即可． 【详解】解：圆圆的解答过程有错误，划出错误的地方如下： 去分母，得． 去括号，得． 移项，合并同类项，得． 正确的解答过程如下： 去分母，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 题型03一元一次方程的应用 1．在沿铁路的公路上，甲乙两汽车同时从站向站行驶．甲车每小时行30千米，乙车每小时行45千米，两车同时出发半小时后，一辆列车也从站向站行驶，列车行驶一定时间后分别赶上了两车．列车从追上甲车到完全超过甲车用了9秒钟，从追上乙车到完全超过乙车用了12秒钟．当列车完全超过乙车时，列车离开站多远？（列方程解应用题） 【答案】45.3千米 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设列车的速度为每小时s千米，根据列车的长一定，列出方程，求出的值，设列车到达乙车的时间为t秒，根据列出行驶的总路程等于乙车行驶的总路程，列出方程求出，再根据路程等于速度乘以时间，进行求解即可． 【详解】解：列车的速度为每小时s千米，由题意可得： ， ， ， ， ； 列车到达乙车的时间为t小时，由题意可得： ， ， ， ， ； （千米）； 答：当列车完全超过乙车时，列车离开A站45.3千米． 2．某市按以下规定收取每月水费：若每月每户用水不超过，则每立方米按元收费；若每月每户用水超过，则超过部分每立方米按元收费． (1)李明家上个月用水，他上个月应交水费多少元？ (2)若当月用水量为（），请你用含的式子表示当月所付水费金额； (3)如果王鹏家月份所交水费的平均价为每立方米元，那么王鹏家月份用水多少立方米？请你设未知数列方程完成此问． 【答案】(1)92.5元； (2)当月所付水费金额为元； (3)50立方米． 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、电费和水费问题(一元一次方程的应用)、列代数式 【分析】（1）根据收费标准计算即可； （2）根据题意列式即可； （3）根据等量关系列出方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得（元） 答：他上个月应交水费92.5元． （2）解：∵当月用水量为（）， ∴当月所付水费金额为元； （3）解：根据题意，得 解得 答：王鹏家12月份用水50立方米． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，有理数运算的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，由水费找出合适的等量关系列出方程，再求解． 3．暑假期间，某校组织学生到北京研学，研学社报价每人收费400元，当研学人数超过50人时，研学社给出两种优惠方案（只选其中一种方案）： 方案一：研学团队先交1600元后，每人再收费320元； 方案二：其中5人免费，其余每人收费打九折． 当参加研学的总人数是时． (1)请用含的代数式分别表示方案一和方案二各收费多少元； (2)当两种方案的收费相同时，求该校参加研学的总人数． 【答案】(1)当参加研学的总人数是时，方案一收费元，方案二收费元 (2)85 【知识点】列代数式、方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了列代数式，以及一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）根据两种方案的优惠方法列出关于的代数式即可； （2）根据采用两种方案的收费列方程求解即可． 【详解】（1）解：方案一共收费：元， 方案二共收费：元， 答：当参加研学的总人数是时，方案一收费元，方案二收费元； （2）解：当时， 解得， 答：当参加研学的总人数是85人时，采用两种方案的收费是一样的． 4．为推进我国“碳达峰、碳中和”双碳目标的实现，各地大力推广分布式光伏发电项目．某公司计划建设一座小型光伏发电站，若由甲工程队单独施工需要3周，若由乙工程队单独施工需要6周． (1)若甲、乙两工程队全程合作施工，需要几周完成？ (2)若由甲、乙两工程队先合作施工，剩下的由乙工程队单独完成，恰好用了4周完成建设任务，求甲工程队施工了几周？ 【答案】(1)甲、乙两工程队全程合作施工，需要2周完成 (2)甲工程队施工了1周 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系建立方程是解题的关键． （1）设甲、乙两工程队全程合作施工，需要x周完成，把工作总量看做单位“1”，求出两个工程队的工作效率，根据工作总量等于工作效率乘以工作时间建立方程求解即可． （2）设甲工程队施工了y周，分别求出两个施工队的工作量，二者的和为1，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解；设甲、乙两工程队全程合作施工，需要x周完成， 由题意得，， 解得， 答：甲、乙两工程队全程合作施工，需要2周完成； （2）解；设甲工程队施工了y周， 由题意得，， 解得：， 答：甲工程队施工了1周． 5．《孙子算经》是中国古代著名的数学著作，书中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”译文：用一根绳子去量一根木条，绳子多出4.5尺；将绳子对折后量木条，木条多出1尺．问木条的长度为多少？请你用方程的方法解决该问题． 【答案】木条的长度为尺． 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数学常识．设木条的长度为x尺，则绳子的长度为尺，根据“将绳子对折后量木条，木条多出1尺”，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设木条的长度为x尺，则绳子的长度为尺， 根据题意得：， 解得：． 答：木条的长度为尺． 6．已知A，B两点在数轴上所表示的数分别为a，b，且a，b满足． (1) ， ； (2)如图所示，有一辆玩具小火车CD放置在数轴上，小火车可以沿数轴左右水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为，当点移动到点时，点所对应的数为，求玩具小火车的长度； (3)在（2）的条件下，将玩具小火车沿数轴左右水平移动，当时，请求出点所表示的数． 【答案】(1)，9 (2)玩具小火车的长度为4 (3)点C所表示的数是3或9 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、绝对值非负性、数轴上两点之间的距离 【分析】题目主要考查绝对值和平方的非负性，解一元一次方程，理解题意是解题关键． （1）根据绝对值和平方的非负性求解即可； （2）根据题意得出，结合题意求解即可； （3）设点所表示的数为，则点表示的数为，得出，然后结合题意，得出方程求解即可． 【详解】（1）解： ∴， ∴， 故答案为：，9 （2）解：由（1）可知 表示的数是表示的数是9 当点移动到点时，点所对应的数为，当点移动到点时，点所对应的数为 玩具小火车的长度为4． （3）解：设点所表示的数为，则点表示的数为 点在点的右侧，当时，可知， 两点只能在点的右侧 只能向右运动，即 当时，有 或 解得：或 点C所表示的数是3或9． 7．已知数轴上三点对应的数分别为，点P位数轴上任意一点，其对应的数为x，点A与点P之间的距离表示为，点B与点P之间的距离表示为． (1)若，则 ； (2)若，则 ；若，则 ； (3)若点P从点C出发，以每秒3个单位的速度向右运动，点A以每秒1个单位的速度向左运动，点B以每秒2个单位的速度向右运动，三点同时出发，设运动时间为t秒，试判断：的值是否会随着t的变化而变化？请说明理由． 【答案】(1) (2)或； (3)的值不会随着的变化而变化 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用） 【分析】本题考查整式的加减运算，一元一次方程的应用．熟练掌握数轴上两点间的距离公式，是解题的关键． （1）结合数轴，进行求解即可； （2）分点P在点A左侧，点P在线段上，点P在点B右侧三种情况，列出方程进行求解即可； （3）分别表示出和，代入计算即可得到结论． 【详解】（1）解：由数轴可得： 若， 则， 故答案为：； （2）解：①分种情况： ①若点在点左侧， ∵， ∴， ∴， ②若点在点右侧， ∵， ∴， ∴， ③若点在线段上， ∵， ∴， 这与题目条件矛盾 ∴综上所述的值为或； ②分种情况： ①若点在点左侧， ，不符合题意舍去； ②若点在点右侧， ，不符合题意舍去； ③若点在线段上， ∵， ∴， 解得 ∴综上所述的值为； （3）解：不会，理由为： ，， ∴， ∴的值不会随着的变化而变化． 8．数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些实际问题．如图，在纸面上有一数轴，按要求折叠纸面： (1)若折叠后数1对应的点与数对应的点重合，则此时数对应的点与数 对应的点重合； (2)若折叠后数2对应的点与数对应的点重合，数轴上有A，B两点也重合，且A，B两点之间的距离为11（点B在A点的左侧），则点A对应的数为 ，点B对应的数为 ； (3)在（2）的条件下，数轴上有一动点P，动点P从B点向右出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为t秒（）．t为何值时，P、A点之间的距离为3个单位长度； 【答案】(1)3 (2)， (3)或时，P、A之间距离为3个单位长度 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的翻折、动点问题（一元一次方程的应用） 【分析】本题考查一元一次方程的应用，数轴． （1）根据对称的知识，找出对称中心，即可解答； （2）根据对称点连线被对称中心平分，先找到对称中心，再根据两点之间的距离求解； （3）根据题意，点P对应的数为，用代数式表示，列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：数对应的点与数3对应的点重合； 故答案为：3； （2）解：∵折叠后数2对应的点与数对应的点重合， ∴对称中心是数对应的点， ∵数轴上A、B两点之间的距离为11（点B在A点的左侧）， ∴点A到对称中心的距离为，且A点在的右边，点B到对称中心的距离为，且B点在的左边， ∴点A对应的数为，点B对应的数为， 故答案为：，； （3）解：∵动点P从B点向右出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为t秒（）， ∴点P对应的数为， 当P、A之间距离为3个单位长度时， 或 ， 解得或， ∴或时，P、A之间距离为3个单位长度． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$