专题05 一元二次方程中参数问题的四种综合题型（压轴题专项训练）数学北师大版九年级上册

专题05 一元二次方程中参数问题的四种综合题型 目录 典例详解 类型一、根据一元二次方程定义求参数 类型二、根据一元二次方程根求参数 类型三、根据韦达定理求参数问题 类型四、新定义中的参数问题 压轴专练 类型一、根据一元二次方程定义求参数 例1．若关于x的一元二次方程的常数项为2，则m的值等于（   ） A．3 B．2 C．2或3 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程的一般形式，一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法． 由常数项为2，求出m的值，再结合，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，由常数项为2， 则， 解得：或， ∵， ∴， ∴或都符合题意． 故选：C． 变式1-1．若方程是关于的一元二次方程，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次幂是2次的整式方程，特别注意二次项系数不为0，正确把握定义是解题关键． 根据一元二次方程的定义得到，即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故答案为：． 变式1-2．若方程是一元二次方程，则k的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 根据一元二次方程的定义得到且，然后解不等式和方程得到满足条件的k的值． 【详解】解：根据题意得且， 解得． 故答案为：． 类型二、根据一元二次方程根求参数 例2．若关于的一元二次方程． 有两个实数根，则实数的取值范围是 （    ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得且，求出的取值范围即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴， ∴且， 故选：C． 变式2-1．若关于的方程有实数根，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定义．根据一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根．及一元二次方程的定义即可得出结果． 【详解】解：当时，方程为一元二次方程，由题意得： ， 即， 解得：且， 当时，方程为，它是一元一次方程，有实数根， ∴关于x的方程有实数根，则m的取值范围是． 故答案为：． 变式2-2．若函数中自变量的取值范围是一切实数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围、分式有意义的条件、根与系数的关系、提公因式法因式分解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据分母不为零以及根与系数的关系进行分析计算即可． 【详解】解：由题意知，的解是一切实数， 当时，，符合题意； 当时，则有：， ∴， ， 解得：； 时，， 当， ， ， ， 不满足“自变量的取值范围是一切实数”，故此种情况舍去； 综上，． 故答案为：． 变式2-3．已知：一元二次方程 (1)当方程的一个根为时，求出的值； (2)k取什么值时，此方程有两个不相等实数根． 【答案】(1) (2)时，此方程有两个不相等的实数根 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根的判别式；理解方程的解，掌握根的判别式：“当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程有无的实数根．”是解题的关键． （1）将代入方程，即可求解； （2）由根的判别式得，即可求解； 【详解】（1）解：由题意得, 解得：． （2）∵，，， ∴ ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴时，此方程有两个不相等的实数根 类型三、根据韦达定理求参数 例3．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则（） A．或1 B．1 C．3或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式． 根据一元二次方程根与系数的关系得到，解得，，结合根的判别式作答即可． 【详解】解：由根与系数关系可得，， 代入得， 即 解得：， ∵原方程有实数根， ∴， 解得 因此不满足，舍去， 综上，， 故选：B． 变式3-1．已知关于的一元二次方程． (1)若该方程有一个根是，求的值． (2)若该方程有两个实数根，求的取值范围． (3)若该方程的两个实数根，满足，求的值． 【答案】(1)，； (2)的取值范围是； (3)的值为． 【分析】此题考查了一元二次方程的解， 一元二次方程，一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，一元二次方程根与系数的关系，掌握知识点的应用及正确理解一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；熟记：一元二次方程的两个根为，，则，是解题的关键． （）把代入方程得，然后解一元二次方程即可； （）由题意得，然后解不等式即可； （）由题意可得，，则，解得，， 再通过即可求出的值． 【详解】（1）解：∵该方程有一个根是， ∴， ∴， 解得，； （2）解：∵该方程有两个实数根， ∴， 解得． 即的取值范围是； （3）解：∵该方程的两个实数根，， ∴，， ∴， 化简得， 解得，， 由（）可知，， 所以的值为． 变式3-2．已知关于的一元二次方程有两个实数根和． (1)求实数的取值范围； (2)若两个实数根和满足，求的整数值． 【答案】(1) (2)的整数值有0，1，2． 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系， （1）由一元二次方程的根的情况列得，由此求出k的取值范围； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，代入得到不等式，求解即可． 【详解】（1）解：∵于的一元二次方程有两个实数根和 ∴ ∴； （2）由根与系数得关系可知，，， ∵， ∴ ∴ 由（1）知， ∴， ∴的整数值有0，1，2． 变式3-3．已知关于的一元二次方程． (1)当时，解该一元二次方程； (2)求证：无论为何实数，方程总有实数根； (3)若是方程的两个实数根，且，求的值． 【答案】(1)；(2)见解析；(3)或1 【分析】本题考查了一元二次方程的综合运用． （1）将代入方程求解即可； （2）根据根的判别式证明即可； （3）根据根与系数的关系求出，代入求解即可． 【详解】（1）解：当时，原方程为， 方程左边因式分解得： 解得： （2）解：关于的一元二次方程， ，， ，即， 不论为何实数，方程总有实数根； （3）解：是关于的一元二次方程的两个实数根， ， ，， ，整理，得，解得， 的值为或1． 类型四、新定义中的参数问题 例4．若关于的方程满足，称此方程为“贺岁”方程．已知方程是“贺岁”方程，则的值为（  ） A． B．2024 C． D．2025 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的解、代数式求值等知识点，掌握整体代入的方法是解题的关键． 利用新定义得到“贺岁”方程的一个解为，则，即、，然后对原式变形后再整体代入计算即可． 【详解】解：根据题意得“贺岁”方程的一个解为， ∵方程是“贺岁”方程， ∴，即、， ∴ ． 故选C． 变式4．如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“2倍根方程”． (1)若一元二次方程是“2倍根方程”，求出的值； (2)若是“2倍根方程”，求代数式的值． 【答案】(1)的值为； (2)代数式的值为或． 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系． （1）根据新定义，设方程的两个根，由根与系数的关系列方程，即可解得的值； （2）解方程，由新定义得两根之间的关系，分类讨论，分别代入代数式，化简求值即可． 【详解】（1）解：根据题意，设一元二次方程的两根分别为，， 由根与系数的关系可得，，， ∴， ∴， 答：的值为． （2）解：由可得，，， ∵是“2倍根方程”， ∴，或， ∴或， 当时，， 当时，，， 答：代数式的值为或． 1．关于的方程的两个实数根分别为，，且，则的值为（    ） A．2或3 B．3或 C．或2 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数法关系，因式分解法解一元二次方程，完全平方公式的应用，先根据一元二次方程根与系数法关系得出，，再利用完全平方公式得出关于n的一元二次方程，利用因式分解法解方程即可得出n的值． 【详解】解： 即， ∵，是的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：或， 故选：C 2．若方程的两根分别为，，且，则m的取值范围为（   ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，根与系数的关系； 先根据一元二次方程根的判别式的意义求出，再利用根与系数的关系得出，结合已知条件即可求出m的取值范围． 【详解】解：将方程整理为， ∴， 解得：， 根据根与系数的关系可得：， ∵， ∴， ∴， 综上，m的取值范围为， 故选：D． 3．已知m、n是方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，． 先根据n方程的实数根得出，结合根与系数的关系求出，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵m、n是方程的两个实数根， ∴，即， ∴， ∵m，n是方程的两个实数根， ∴， ∴． 故选：C． 4．已知一元二次方程有两个不相等的实数根，那么以下说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题看了一元二次方程的判别式，幂的乘方的运算，不等式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．依题意，得出，即，再结合每个选项的式子结论进行分析，即可作答． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ 故A选项不符合题意； 则， 当时，则， 当时，则的大小关系不能得出， ∴不正确，故B不符合题意； 则， ∵， ∴， ∴， ∵， 则 故C选项符合题意； ∵ ∴ ∴ ∵的值与0的关系不知道 ∴这个说法不正确， 故D选项不符合题意； 故选：C． 5．关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的一般形式：得到即可求解． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴，解得， 故答案为：． 6．若是关于的一元二次方程，则的值为 ． 【答案】3或 【分析】本题考查一元二次方程，只有一个未知数，且未知数最高次数为 2 的整式方程叫做一元二次方程． 根据一元二次方程的定义，可知，由此即可求得m的值． 【详解】解：由题意可知，， 解得或． 故答案为：3或． 7．已知、是方程的两个实根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，由根与系数的关系得，，将原式变形，整体代入计算即可 【详解】解：∵、是方程的两个实根， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 8．若关于x的方程（m为正整数）的两根分别记为，，如：当时，方程的两根记为，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，由一元二次方程根与系数的关系得出，，从而得出，由此规律计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵关于x的方程（m为正整数）的两根分别记为，， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 9．关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根         (2)若方程有一个根不小于，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了根的判别式、偶次方的非负性以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有实数根”；（2）利用因式分解法求出方程的解． （1）计算根的判别式的值，利用配方法得到，根据非负数的性质得到，然后根据判别式的意义得到结论； （2）利用因式分解法解一元二次方程可得出，结合该方程方有一个根不小于5，可得出，解之即可得出m的取值范围． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴ ， ∴方程总有两个实数根； （2）解：∵， 即， ∴， ∵方程有一个根不小于5， ∴， ∴． ∴的取值范围是． 10．已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求实数k的取值范围； (2)设方程的两个实数根分别为，若，求k的值． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系是解题关键． （1）根据一元二次方程的根的判别式大于或等于0求解即可得； （2）先根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，再代入计算即可得． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴这个方程的根的判别式， 解得， 所以实数的取值范围为． （2）解：∵关于的一元二次方程的两个实数根分别为， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得． 11．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，原方程总有两个实数根； (2)若方程有一根不小于2，求m的取值范围． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】本题考查根的判别式，利用根的情况求参数范围等． （1）计算，即可证明出本题答案； （2）利用求根公式得出，再由根的关系可得，计算出结果即为本题答案． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴无论m取何值，原方程总有两个实数根； （2）解：∵， ∴， ∴，， ∵方程有一根不小于2， ∴， 解得：， ∴m的取值范围：． 12．关于的方程为，为实数． (1)判断方程根的情况． (2)求整数，使原方程至少有一个整数根． 【答案】(1)为任何实数，原方程均有实数根 (2) 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式和一元二次方程的根．解题关键是掌握根的判别式及根定义，分类讨论，是解题的关键． （1）分类讨论，当时，或，方程为一元一次方程，一定有一个实数根；当时，利用根的判别式，则一元二次方程必有两个实数根；综合以上即可得证； （2）至少有一实数根为整数，由两实数根为整数，则， ，即可求解． 【详解】（1）解：当时，或． 原方程为，或．有实数根． 当时， ．有实数根． 综上，为任何实数，原方程均有实数根． （2）解：由（1），当时，原方程有整数根． 当时， 两根为． 即． 若是整数， 则． ∴． 取． 若是整数， 则． ∴． 综上，，原方程至少有一个整数根． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 一元二次方程中参数问题的四种综合题型 目录 典例详解 类型一、根据一元二次方程定义求参数 类型二、根据一元二次方程根求参数 类型三、根据韦达定理求参数问题 类型四、新定义中的参数问题 压轴专练 类型一、根据一元二次方程定义求参数 例1．若关于x的一元二次方程的常数项为2，则m的值等于（   ） A．3 B．2 C．2或3 D．5 变式1-1．若方程是关于的一元二次方程，则 ． 变式1-2．若方程是一元二次方程，则k的值是 ． 类型二、根据一元二次方程根求参数 例2．若关于的一元二次方程． 有两个实数根，则实数的取值范围是 （    ） A． B．且 C．且 D．且 变式2-1．若关于的方程有实数根，则的取值范围为 ． 变式2-2．若函数中自变量的取值范围是一切实数，则实数的取值范围是 ． 变式2-3．已知：一元二次方程 (1)当方程的一个根为时，求出的值； (2)k取什么值时，此方程有两个不相等实数根． 类型三、根据韦达定理求参数 例3．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则（） A．或1 B．1 C．3或 D． 变式3-1．已知关于的一元二次方程． (1)若该方程有一个根是，求的值． (2)若该方程有两个实数根，求的取值范围． (3)若该方程的两个实数根，满足，求的值． 变式3-2．已知关于的一元二次方程有两个实数根和． (1)求实数的取值范围； (2)若两个实数根和满足，求的整数值． 变式3-3．已知关于的一元二次方程． (1)当时，解该一元二次方程； (2)求证：无论为何实数，方程总有实数根； (3)若是方程的两个实数根，且，求的值． 类型四、新定义中的参数问题 例4．若关于的方程满足，称此方程为“贺岁”方程．已知方程是“贺岁”方程，则的值为（  ） A． B．2024 C． D．2025 变式4．如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“2倍根方程”． (1)若一元二次方程是“2倍根方程”，求出的值； (2)若是“2倍根方程”，求代数式的值． 1．关于的方程的两个实数根分别为，，且，则的值为（    ） A．2或3 B．3或 C．或2 D．或 2．若方程的两根分别为，，且，则m的取值范围为（   ） A． B．或 C． D． 3．已知m、n是方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．已知一元二次方程有两个不相等的实数根，那么以下说法正确的是（   ） A． B． C． D． 5．关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是 ． 6．若是关于的一元二次方程，则的值为 ． 7．已知、是方程的两个实根，则的值是 ． 8．若关于x的方程（m为正整数）的两根分别记为，，如：当时，方程的两根记为，，则 ． 9．关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根         (2)若方程有一个根不小于，求的取值范围． 10．已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求实数k的取值范围； (2)设方程的两个实数根分别为，若，求k的值． 11．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，原方程总有两个实数根； (2)若方程有一根不小于2，求m的取值范围． 12．关于的方程为，为实数． (1)判断方程根的情况． (2)求整数，使原方程至少有一个整数根． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$