【单元压轴九02】 一元二次方程章末复习压轴培优50题（专项训练）2025-2026学年北师大版数学九年级上册

第二章 一元二次方程章末复习压轴培优50题 【压轴核心要点归纳】 1.基本概念与标准形式 方程形式：ax² + bx + c = 0（其中a ≠ 0，a、b、c为常数）。 根的含义：未知数x的解，可能有两个实根、一个实根（重根）或无实根（Δ < 0时）。 压轴题型常见考法：给定方程，要求快速判断根的性质或结合实际问题建立方程（如运动问题中的时间、距离关系）。 2.解法技巧（三大方法） 因式分解法：适用于方程可化为(x-m)(x-n)=0形式；关键点是找到两个数的积为ac、和为b。 配方法：将方程化为(x+p)²=q形式；步骤包括移项、配方（加(b/2a)²）、开平方。 公式法（通用解法）：直接用求根公式x = [-b ± √(b²-4ac)] / (2a)，必须熟记判别式Δ=b²-4ac。 压轴题型侧重：综合应用多种解法，或解含参数的方程（如“方程有实根，求k的取值范围”），考查公式法的准确性和判别式分析。 3.根的判别式（Δ）与根的性质 Δ > 0：有两个不等实根；Δ = 0：有两个相等实根（重根）；Δ < 0：无实根（但有复数根）。 压轴题型高频考点： 结合参数分析根的情况（如“已知Δ ≥ 0，求系数k的值”）；判别式在几何问题中的应用（如三角形面积公式导致的一元二次方程，Δ值决定解的存在性）。 4.根与系数的关系（韦达定理） 若方程有根x₁、x₂，则x₁ + x₂ = -b/a，x₁·x₂ = c/a。 压轴题型常见形式： 求根的关系式（如“x₁² + x₂²的值”），结合代数恒等式变形（如(x₁ + x₂)² - 2x₁x₂）；应用到实际问题中，如优化问题（最大利润、最小成本方程）。 5.实际应用问题（压轴题核心） 常见模型：几何问题（矩形面积、三角形边长计算）、运动问题（自由落体时间计算）、增长率问题（连续增长模型）。 压轴题型解题策略： 关键点在于建模：从实际问题提取等量关系 → 建立一元二次方程 → 求解 → 验证解的合理性（如根的正负、范围限制）；示例：桥梁抛物线问题（用y=ax²+bx+c建模，求特定点的高度）；或多变量问题化简为一元二次方程。 6.压轴题综合技巧要点 易错点：忽略定义域（如时间、长度不能为负），漏判Δ的情况，计算错误在公式法中的细节（如忘记“公式法中的-号”）。 应试策略：先简化方程（除以公因数），优先使用配方法或公式法处理复杂系数，检查根的合理性。 训练建议：多做含参数的习题和跨章节综合题（如结合一次函数或不等式），提升建模能力。 【备考策略】 基础强化：确保熟练掌握判别式、韦达定理和三种解法，避免压轴题中因基础错误失分。 压轴题专项练习： 建议做教材习题（如北师大版课后拓展题）及中考真题，重点抓“应用问题”和“参数方程”。 解题流程：读题→设未知数→列方程（注意单位一致性）→求根（优先公式法）→验证（如判别式、实际意义）。 易错点与陷阱： 忽略判别式非负条件（导致无解）； 应用题中单位转换错误；韦达定理使用时系数符号（如 ）。 时间管理：考试时压轴题约 10-15 分钟，优先保基础步骤分，复杂时画流程图辅助分析。 【压轴实战练习】（单选题+填空题+解答题） 一、单选题【共20小题】 1．已知，是一元二次方程的两根，则的值为（   ） A．1 B．3 C．-1 D．-3 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、根与系数的关系、代数式求值等知识点，灵活运用整体思想是解题的关键． 根据一元二次方程解的定义以及根与系数的关系可得，，进而得到，然后对所求代数式变形并整体代入原式即可解答． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴，， ∴，即， ∴ ． 故选B． 2．三角形两边长分别是和，第三边长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是（  ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程的解法、等腰三角形的性质与直角三角形的性质．此题难度适中，解题的关键是注意分类讨论思想，小心别漏解． 由，可利用因式分解法求得的值，然后分别从时，是等腰三角形；与时，是直角三角形去分析求解即可求得答案． 【详解】， 解得：，， 当时，则三角形是等腰三角形，如图：，，是高， ，， ， 当时，如图，，，， ， 是直角三角形，， ． 故选：B． 3．已知a是方程的一个根，则代数式的值为（   ） A． B． C． D．2024 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，整体代入法求代数式的值，掌握一元二次方程根的概念是关键；由题意得，则有，，再整体代入即可求解． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴，， ∴ ． 故选：D． 4．定义新运算：，例如：，．若，则的值为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确新运算的定义． 根据新定义运算法则列出方程求解即可． 【详解】解：∵ 而， ∴①当时，则有， 解得，； ②当时，， 解得，， 综上所述，x的值是或． 故选：D． 5．如图，将边长为的正方形，沿其对角线剪开．再把沿着方向平移，得到，若两个三角形重叠部分的面积为，则它移动的距离等于（   ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正方形的性质，平移的性质等知识，设，则，先根据正方形的性质，平移的性质以及等腰三角形的判定等判断出是等腰直角三角形， 得出，进而求出，然后根据“两个三角形重叠部分的面积为”列方程求解即可． 【详解】解：如图， ， 设，则， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵平移， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵两个三角形重叠部分的面积为， ∴， 解得，， 它移动的距离等于或， 故选：B． 6．已知关于的一元二次方程的两根是和，且，则的值是（   ） A． B．2.25 C．或 D．或2.25 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根．熟练掌握一元二次方程的根的定义 、根与系数的关系 以及根的判别式，是解题的关键． 分情况分析条件 的含义，当时， 当时，两种情况解答． 【详解】解：∵ ∴或． 当时，， 代入原方程，得． 化简，得． 即． ∴． 此时，，符合． 当时，， ∴． 解得． 此时原方程为 ． 即 ． 根为 ​． 满足，符合条件． ∴k的值为 或 ． 7．有理数，，对应的点在数轴上的位置如图所示，则下列关于的方程的根的情况说法正确的是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，观察数轴可知：，，，则，即可求解． 【详解】解： ∵在方程中，， 观察数轴可知：，，． ∴ ∴ 该方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 8．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．下列方程是邻根方程的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程，掌握一元二次方程的解法，读懂题意、理解“邻根方程”是解决本题的关键．先解出一元二次方程的两个根，再根据两个根的差是否为“1”得结论． 【详解】解：A. ， ∴， ∴，， ∴方程不是“邻根方程”，选项A不符合题意； B.  ， ， 方程无实数根，选项B不符合题意； C. ， ∴， ∴， ∴，，， ∴方程不是“邻根方程”，选项C不符合题意； D. ， ， ∴， ∴，，， ∴方程是“邻根方程”，选项D符合题意； 故选：D． 9．我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法，以方程即]为例说明，构造如图，大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此，所以．则在下面四个构图中，能正确说明方程的解法的构图是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：方程，即的拼图如图所示 中间小正方形的边长为，其面积为9， 大正方形的面积：， 其边长为7， 因此，C选项所表示的图形符合题意， 故选：C． 10．已知整式，其中为正整数，、、、为自然数，下列说法： ①当时，若，则满足条件的整式有21个； ②若，令，（是整数，且），则有最大值； ③记，若，，则． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式的运算、代数式规律、配方法的应用等知识点，弄清代数式之间的关系是解题的关键． ①先说明、，设（k为正整数），则，然后根据k的取值分情况列举即可解答；②先发现是以6为周期循环的，然后得到，，然后代入化简并运用配方法求最值即可判断；③由题意可得，，再利用同底数幂的除法即可判断． 【详解】解：①当时，整式，其中为正整数，为自然数，且． 设（k为正整数），则． 当时，，此时可取0，1，2，3，4，5，共6种情况； 当时，，此时可取0，1，2，3，4，共5种情况； 当时，，此时可取0，1，2，3，共4种情况； 当时，，此时可取0，1，2，共3种情况； 当时，，此时可取0，1，共2种情况； 当时，，此时，共1种情况； 所以满足条件的整式的个数为个，故①正确． ②已知，令，则 ； ； ； ； ； ， 可以发现是以6为周期循环的． 因为， 所以； 同理可得： 所以 ， 当时，有最大值，故②正确； 已知，则， 因为， 所以， 同理可得：， 所以， 即， 所以， 所以，故③正确． 综上，正确的有①②③，共3个． 故选：D． 11．设关于x的方程有两个不相等的实数根，，且，那么实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，以及不等式的综合应用．根据一元二次方程的根的判别式，建立关于a的不等式，求出a的取值范围．又因为，所以，即，利用根与系数的关系， 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴且， ∴， 解得， ∵，， 又∵， ∴，， ∴， ∴，即， 解得， ∴a的取值范围是． 故选：D． 12．一个凸n边形的边数与对角线条数的和小于20，且能被5整除，则n为（　　） A．4 B．5 C．6 D．5或6 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形的对角线条数，列一元二次方程解决几何问题，解题的关键是掌握多边形的对角线条数公式． 根据题意确定线段和的取值，然后分别利用对角线条数公式列出方程，解方程即可． 【详解】解：小于20，且能被5整除的正整数为5、10和15， 凸n边形的对角线为 ， ∴当时，不为整数，舍去； 当时，，（负值已舍）； 当时，，（负值已舍）； 故选：D． 13．设是方程的一个根，则（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值.根据方程的解的定义可得：，整理可得：，，整体代入代数式计算即可． 【详解】解： 是方程的一个根， ， 可得：，， ． 故选：A． 14．有一题目：“若，判断关于x的方程的根的情况．” 嘉嘉答：“有两个不相等的实数根．” 淇淇答：“有两个相等的实数根．” 则正确的是（  ） A．只有嘉嘉答的对 B．只有淇淇答的对 C．嘉嘉和淇淇的答案合在一起才完整 D．嘉嘉和淇淇的答案合在一起也不完整 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简及根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． 根据题意，先求出k的取值范围，再利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． 【详解】解：由题知， ∵， ∴， 解得：， ∵关于x的方程为， 则， 又∵， ∴， 则此方程有两个实数根， 显然只有C选项符合题意． 故选：C 15．已知、是方程的两根，且，则的值为（　　） A． B． C．95 D． 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式、一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．先设，，则可用、表示，，再根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，则可得，的值，然后将两个式子相加即可得． 【详解】解：设，， ∴， ， ∵、是方程的两根， ∴，， ∴， ∵， ∴（负值已舍去）， ∴， ， 将两个式子相加得：， ∴， 即， 故选：A． 16．已知方程有两个相等实根，则的值为（   ） A．0 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根的情况求参数，解题关键是一元二次方程的根的判别式并能熟练运用． 先根据一元二次方程有两个相等的实根，计算判别式，求得，代入化简即可． 【详解】解：∵方程有两个相等实根， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 故选：B． 17．满足方程的整数对有（   ）． A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】D 【分析】此题主要考查了一元二次方程的有整数根问题．解题的关键是将原方程变形，利用判别式求解． 利用一元二次方程有解判断出y的范围，根据y是整数求出y的值，进而求出x的值，利用x也是整数判断即可得出结论． 【详解】解：原方程可化为， 方程有整数解，则必有实数根， ， ， y的整数， 当时，原方程可化为， （由于x为整数，所以舍去）， 当时，原方程可化为， （由于x为整数，所以舍去）， 当时，原方程可化为， （由于x为整数，所以舍去）， 当时，原方程可化为， （由于x为整数，所以舍去）， 当时，原方程可化为， （由于x为整数，所以舍去）， 当时，原方程可化为， 或， 当时，原方程可化为， 或， 原方程的整数解为或或或， 即：方程的整数对为、、、，共四对， 故选：D． 18．某商店将进价为8元的商品按每件 10 元出售，每天可销售 200 件．若这种商品每件涨元，其销量就会减少10件，要使利润为640元，需将售价定为x元，下列列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用．读懂题意，找到等量关系准确地列出方程是解题的关键．设售价为x元，则利用每一件的销售利润×每天售出的数量=每天利润，列方程即可． 【详解】解：设售价为x元，根据题意列方程得． 故答案为：B 19．如图（1）以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图（2）的方式放入较大的正方形内（、分别是它们的顶点），若已知图（2）中两块阴影部分的面积和与周长和分别为16和36，则可知图（1）中的正方形的面积为（    ） A．25 B．64 C．100 D．169 【答案】D 【分析】本题主要考查完全平方公式，解一元二次方程，勾股定理与图形面积，灵活运用勾股定理处理图形面积之间的转化是解题关键． 设，根据两块阴影的面积和与周长和分别为16和36，分别得出和，通过设，并借助完全平方式求出的值，即可求出的关系，并根据，即可求解． 【详解】解：设， 由题意及对称性知，图（2）中两部分阴影全等， ∴由两块阴影部分的面积和与周长和分别为16和36，知 ∴ 设，则， 则，即 又由完全平方式知， ∴由知，， ∴， 解得，即， 则① 又在中，② 将①代入②，得， 解得（舍） ∴正方形的面积为：． 故选：D． 20．在中，于点，则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】题目主要考查坐标系中两点之间的距离，一元二次方程的应用，理解题意，建立坐标系，将问题进行转化是解题关键 以H为原点，在x轴上，所在直线为y轴，建立直角坐标系，得出，设，则长度为，确定，，建立方程，设，则，根据一元二次方程解的特点求解即可得出结果 【详解】解：以H为原点，在x轴上，所在直线为y轴，建立直角坐标系，如图所示： ∴， 设，则长度为， ∴，， ∵， ∴整理得 设，则，代入得：， 整理得：， 关于b的方程有实数解， ∴， ∴， ∴或， ∴， ∴的最小值为8， 故选：C 2、 填空题【共20小题】 21．已知关于x的方程至少有一个整数解．则整数k的值为 ． 【答案】2或10 【分析】本题考查了一元一次方程的整数解、一元二次方程的整数解及参数分离法求整数参数，解题的关键是分“”和“”讨论，对一元二次方程通过正确整理方程分离参数，将表示为关于整数解的代数式，再根据为整数的条件，确定的可能值，进而求出． 分和：时方程为一元一次方程，求解判断是否为整数解；时，将一元二次方程整理为（关键是正确移项整理），分离参数得；根据一元二次方程根的判别式得出解得，因为整数，得出，，即可求出的整数解，列举的整数解代入计算，并验证方程是否有整数解即可得答案． 【详解】解：分两种情况讨论：   1. 当时，方程化为， 即，解得，不是整数，舍去； 2.当时，方程为一元二次方程，移项整理：， 即，因式分解得， ∵时，左边，右边，故， ∴， ∵方程至少有一个整数解， ∴， 解得， ∵为整数，， ∴， ∴，， 解得， ∴整数可以为、、、、、， 当时，（整数，有效）； 当时，（整数，有效）； 当时，（与时重复）； 经检验，当取其它整数时，的值均不为整数，故舍去， 验证：时，方程，解为或（均为整数）； 时，方程，解为或（为整数）． 综上，整数的值为2或10． 故答案为：2 或10． 22．若a使得关于x的分式方程有整数解，且使得关于y的一元二次方程有实数根，那么满足条件的所有整数a的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，一元二次方程根的判别式，先解分式方程，可得，根据分式方程有整数解可得或或或或或，即可得到或或或或或，再根据分式方程有意义可得，最后再根据一元二次方程有实数根及定义可得且，进而得到满足条件的所有整数，进而即可求解，根据分式方程和一元二次方程求出满足条件的所有整数的值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵分式方程有整数解， ∴或或或或或， 即或或或或或， 又∵， ∴， ∴， ∴或或或或， 又∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且， ∴且， ∴或或， ∴满足条件的所有整数的和为， 故答案为：． 23．已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和，则关于的一元二次方程的两个实数根为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了解一元二次方程，理解题意，熟练掌握换元法是解此题的关键． 关于的一元二次方程的根与关于的一元二次方程的根互为倒数，可求出关于的一元二次方程的两个实数根，即可得解． 【详解】解：在关于的一元二次方程中， 令代入已知方程得， 方程与方程的根互为倒数， 即， ， ， 或， 解得：或， 故答案为：或． 24．若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了根的判别式，以及根与系数的关系．将原方程变形为，求出方程的，分为两种情况，，代入后求出a的范围即可． 【详解】解：原方程可化为，这是一个关于的一元二次方程， ∵原方程有两个不相等的实根， ∴只有一个大于0的实数根， ， 当时，有唯一解； 时，； 此时原方程为，即， 解得：； 的一个根大于0，另一个根小于0， ②，，， 根据根与系数的关系得：， 即， 综上所述，a的取值范围是或， 故答案为：或． 25．已知，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的化简求值，解一元二次方程，把整理后得到，解方程即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵，， ∴， ∴， 故答案为： 26．已知满足，则当最大时，的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了一元二次方程，根的判别式等知识点，解题的关键是掌握根的判别式． 根据题意转换成关于的一元二次方程，根据根的判别式求出的最大值，求出的值，再分别求出的值，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， 将上式看作关于的一元二次方程，且为实数， ∴， 整理得， 当时最大， 此时或， 当时，代入得， ， 解得， ∴； 当时，代入得， ， 解得， ∴； ∴的值为3． 27．实数满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查利用因式分解解一元二次方程的应用，先用两式相减计算，然后两式相加得到再根据完全平方公式的变形得到，代入计算即可解题． 【详解】解：∵实数满足， ∴，即 ∵， ∴， ∴， 解得 ∴， ∴． 28．已知实数x满足，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了用换元法解一元二次方程、完全平方公式、解分式方程等知识点，利用完全平方公式对方程进行变形是解题的关键． 根据完全平方公式可得，然后代入原方程可得，设，然后解关于y的方程，最后根据y的值再分别运用根的判别式以及解分式方程检验即可解答． 【详解】解：由完全平方公式可得：完全平方公式可得， ∴原方程可化为． 设，则方程变形为，解得． 当，则，即， 因为， ∴该方程无实数根， 当，则， 即，解得． 经检验，是原方程的根， ∴原方程的根是． ． 29．若实数互不相等，且满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的运算，对分式进行灵活变形是解决问题的关键．由条件推得，同理得，从而得到，由此得解． 【详解】解： ， ， 由，得①， 由，两边同乘以得： ②， 将①代入②得： ， 整理得：， 即； 同理∶ ； 则可得：， 整理得：， 由题意知，实数互不相等， ， 则． 故答案为∶． 30．新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是 ． 【答案】2025 【分析】本题主要考查了新定义运算和配方法求最小值问题，解决此题的关键是正确理解题目中新定义；由题中新定义得到的值，再把配方得到最小值即可； 【详解】解：∵一元二次方程与是“同族二次方程”， 即一元二次方程与是“同族二次方程”， 由新定义可知：此两个方程是一样的， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴代数式的最小值是2025． 31．已知关于一元二次方程中，①若，那么方程有两个不相等的实数根；②若，则；③若方程两根为和，则；④若，那么方程一定无解．其中正确的是 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的根的判别式．对于一元二次方程，若是方程的两个根，那么，， 当时，有两个不相等的实数根，当时，有两个相等的实数根；当时，没有实数根，由此逐项判断即可． 【详解】解：由已知得 ， ①由得， ， ， ， 方程有两个不相等的实数根；故①正确； ②若， 则，故②正确； ③若方程两根为和， 则，， ， ， ；故③正确； ④若，则， ， ， 方程一定无解．故④正确， 综上可知，正确的是①②③④． 故答案为：①②③④． 32．问题背景：我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例：首先将方程变形为，然后构造如图1所示图形，利用面积关系得新方程，从而求出原方程的一个正根． 【拓展应用】：一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为54的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为9，那么此方程的正根为 ． 【答案】或 【分析】本题考查解一元二次方程，读懂题意，理解材料中的方法，掌握数形结合思想是解题的关键． 先根据材料提示分解为，图形结合分析，即可得，分类讨论，由此即可求出答案． 【详解】∵ ∴， ∴四个小矩形的面积为，大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即， ∵图2是由四个面积为的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为9， ∴， 解得， 当时，， ∴， 解得，即方程的一个正根为； 当时，， ∴， 解得，，即方程的一个正根为； 综上所述，方程的一个正根为或， 故答案为： 或． 33．对于一元二次方程，下列说法： ①若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ②若是一元二次方程的根，则； ③存在实数m、n（），使得； ④若c是方程的一个根，则一定有成立． 其中正确的结论有 ．（填序号即可） 【答案】①②③ 【分析】此题考查了一元二次方程综合．熟练掌握方程解的含义，根与判别式的关系，根与系数的关系，是解题的关键． 一元二次方程的有关性质．一元二次方程解的含义，代数变形，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，逐一分析每个命题的正确性，进行判断即可． 【详解】解：①∵方程有两个不相等的实根， ∴，即． 对于方程，其判别式， ∵，， ∴， ∴方程必有两个不相等的实根，故①正确． ②∵是一元二次方程的根， ∴，即， ∴， ， ，故②正确． ③∵， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴． 存在实数m、n满足此条件（如取，）． 故③正确． ④∵是方程的一个根， ∴，即， 则或，故④错误． 故答案为：①②③ 34．对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若是方程的一个根，则一定有成立；③若，则它有一个根是；④若一元二次方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根，其中正确的是 （填序号）． 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义、根的判别式，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解题的关键．根据一元二次方程的根的定义、根的判别式等知识，对每个说法逐一进行分析判断． 【详解】解：①若，则是方程的一个根，所以方程有实数根，故，①正确． ②若是方程的一个根，则，当时，；当时，，则不一定等于，②错误． ③若，则当时，，所以它有一个根是，③正确． ④若一元二次方程有两个不相等的实数根，则，即．对于方程，其判别式，因为，，所以，故方程必有两个不相等的实数根，④正确． 故答案为：①③④． 35．我们知道凸透镜的焦距公式为，其中f是凸透镜的焦距，u表示物距，v表示像距． 若凸透镜和物体距离时，凸透镜另一侧的光屏上成了一个清晰的像，仅移动凸透镜，将像距减小，光屏上又成了一个清晰的像，那么该凸透镜的焦距是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的应用，根据像距减小，得到物距增加，根据焦距是个定值，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，移动凸透镜后，像距变为，物距变为， 由题意，得：， 解得或（舍去）； ∴； ∴； 故答案为： 36．已知关于x的一元二次方程（m为常数，）． （Ⅰ）若方程有两个相等的实数根，则m的值为 ； （Ⅱ）若方程的两个实数根都是整数，则正整数m的值为 ． 【答案】 1或2 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式以及因式分解法解一元二次方程的知识点．解题关键是熟练运用根的判别式判断根的情况，以及通过因式分解将方程转化为两个一次方程求解；易错点是在运用根的判别式时，容易忽略二次项系数不为0的条件，且在确定正整数m的值时，对为整数的情况分析不全面． （Ⅰ）根据一元二次方程根的判别式，当时方程有两个相等实数根．在方程中，确定，，，代入判别式求出，令，即可解出m的值． （Ⅱ）先对原方程进行因式分解，得到，求出两个根，．因为两个实数根都是整数，所以必须是整数，结合m是正整数，分析得出m的可能取值． 【详解】解：（Ⅰ） 在方程中，，，． 则 因为方程有两个相等的实数根， 所以， 即， 解得． （Ⅱ） ， ， ， ， 则或，解得，． ∵方程的两个实数根都是整数， 必须是整数． 又∵m是正整数， ∴m的值为1或2． 故答案为：（Ⅰ）；（Ⅱ）1或2． 37．如图，在矩形中，，，，、分别从，，，出发沿，，，方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若，则，，．当 时，以P，Q、M，N为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】2或4． 【分析】本题考查了平行四边形的判定，有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，正确进行讨论是关键．首先利用表示出和的长，然后根据即可列方程求得的值． 【详解】解：由题意知，点只能在点的左侧， ①当点在点的左侧时，由， 整理得， 解这个方程，得（舍去），． 所以，当时，四边形是平行四边形． ②当点在点的右侧时，由， 整理得， 解这个方程，得（舍去），． 所以，当时，四边形是平行四边形． 所以当或时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 故答案为：2或4． 38．如图，在矩形中，是边上一点，且，连接，将绕点逆时针旋转至点与点重合时停止，且点的对应点恰好落在上，连接并延长交于点，连接交于点．已知，则 ． 【答案】 【分析】根据矩形的性质和旋转的性质证明，得到，设，则，在中，由勾股定理列出方程，即可求解． 【详解】解：由题意，得， ∴， ∴， ∴， ， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， 解得：（负值舍去）； ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质、矩形的性质和判定、等边对等角、全等三角形的性质和判定、勾股定理、一元二次方程的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 39．如图，菱形的边长为5，点在边上，连结，过点作于点，，将菱形分割成三部分后，恰好可以拼成一个直角三角形，若，则线段的长度为 ． 【答案】 【分析】由题意可得，连接，过点分别作，，垂足为点，设，，由，得到，那么有三线合一可得，则，在中，由勾股定理建立方程求出，则，可得四边形为矩形，则由双勾股定理可得，继而建立方程求出，即可求解． 【详解】解：由题意得可得，连接，过点分别作，，垂足为点， 设，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得：或（舍） ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵ ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，菱形的性质，勾股定理，解一元二次方程，等腰三角形的性质等知识点，难度较大，正确构造辅助线是解题的关键． 40．若一个四位自然数各数位上的数字互不相等且均不为0，满足百位数字的平方恰好等于千位数字、十位数字与个位数字的和，则称这个四位数为“志学数”，例如四位数3485，因为，所以3485是“志学数”．若是“志学数”，则这个数最大为 ，若是“志学数”，将的千位与十位数字对调，百位与个位数字对调得到新数，规定，，若，均为整数，则满足条件的的最小值为 ． 【答案】 8426 1326 【分析】本题考查了新定义的运算，整式的加减，解一元二次方程，根据题意列出符合条件的值，即可，熟练计算是解题的关键． 【详解】解：是“志学数”，则， 一个四位自然数各数位上的数字互不相等且均不为0， 当或1时，符合题意， 当时，（负值舍去）， 故这个数最大为； 是“志学数”， ， ， 为整数， 结合题意，或， 将的千位与十位数字对调，百位与个位数字对调得到新数， ， ， ， 当时，， 则为的倍数， 为正整数，且为偶数， ，即， ， 可得， 解得（负值舍去），此时的最小值为； 当时，， 则为的倍数， 为正整数，且为偶数， ，即，不符合题意， 综上，的最小值为， 故答案为：；． 三、解答题【共10小题】 41．对于关于的代数式，若存在实数，使得当时，代数式的值也等于，则称为这个代数式的“不动值”、例如：对于关于的代数式，当时，代数式的值等0；当时，代数式的值等于1，我们就称0和1都是这个代数式的“不动值”． (1)关于的代数式的不动值是___________． (2)判断关于的代数式是否有不动值，若有，请求出代数式的不动值；若没有，则说明理由． (3)已知关于的代数式． ①若此代数式仅有一个不动值，求的值； ②若此代数式有两个不动值，且两个不动值的差为整数，直接写出正整数的值． 【答案】(1)3或． (2)没有，理由见解析 (3)①②1或2 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式等相关知识，理解新定义的意义并灵活应用是解决本题的关键，用到的知识点为∶二次方程有两个相等的实数根，根的判别式为0． （1）求得的解即为关于x的代数式的不动值； （2）看是否有解即可； （3）①因为有一个解，根据根的判别式为0求得相应的x的值即可；②表示出两个不动值的平方，根据两个不动值的差为整数， a为正整数求得合适的a的值即可． 【详解】（1）解∶ 依题意得， 即 解得，． 故答案为：3或． （2）解：依题意得 ． ， ∴原方程无解． 关于x的代数式没有不动值， （3）解：①依题意得， ． 仅有一个不动值， ． ． 整理得∶． ． 即． 解得∶ (不合题意，舍去)，． ． ②依题意得， 整理得∶ ． 设方程两个解为s，t， ， ． 为整数， 为整数． ∴正整数或2． 42．阅读材料，解答问题： 材料1： 为了解方程如果我们把看成一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，，，，我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 材料2： 已知实数，满足，．且，显然，是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，．根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用：方程的解为_________ (2)利用上述方法求下列方程中的值： (3)拓展应用：已知实数，满足，且直接写出的值______． 【答案】(1)，，， (2)5 (3) 【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数关系，阅读材料正确进行换元是解决问题的关键． （1）类比材料中方法，将换元为解方程即可； （2）令，将原方程换元后解方程即可； （3）令，，换元可推出m，n是方程的两个不相等的实数根，然后利用一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】（1）解：令，则原方程可化为， ∴， ∴，， ∴或3， ∴，，，； 故答案为：，，，； （2）解：令，则原方程可化为， ∴， ∴，， ∵， ∴； （3）解：∵， ∴， 令，， 则，， ∴m，n是方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴； 故答案为：． 43．我们定义：两根都为整数的一元二次方程，均为整数）称为“幸运方程”，两整数根称为“幸运根”，代数式的值为该“幸运方程”的“幸运数”．用表示，即．若有另一个“幸运方程”（均为整数）的“幸运数”为，若，则称与互为“开心数”． (1)关于的一元二次方程是一个“幸运方程”． ①当时，该幸运方程的“幸运数”是___________； ②若该“幸运方程”的“幸运数”是，则的值为___________； (2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“幸运方程”，求的值． (3)若关于的一元二次方程与（m，n均为整数）都是“幸运方程”，且其“幸运数”互为“开心数”，直接写出的值． 【答案】(1)①；②或3 (2)5或13 (3)0 【分析】（1）①把代入方程得到方程，根据“幸运数”的定义即可求解；②根据“幸运数”的定义可得方程，解方程可求得的值； （2）由为“幸运方程”，可得两根都为整数，推出为完全平方数，再结合为整数，即可求出的值； （3）根据的解为整数，得出m的值，进而得出，再根据 列方程，将m的值代入计算即可． 【详解】（1）解：①当时，为， ， 即该幸运方程的“幸运数”是； ②当该“幸运方程”的“幸运数”是时， ， 整理得， 解得，， 即m的值为或3； 故答案为：①；②或3． （2）解： ， ， ， ， 为“幸运方程”， 两根都为整数， 为完全平方数， 为49或64或81， m的值为5或或， 为整数， m的值为5或13； （3）解： 为“幸运方程”， 两根都为整数， 设方程的两个根分别为p，q， 则，， ， ， ， p，q都为整数，， 当，时，，，此时， 当，时，，，此时， 当，时，，，此时， 当，时，，，此时， 综上可知，m的值为5或， 的“幸运数”为：， 当时，， 当时，， 综上可知，的“幸运数”为； 的“幸运数”为： ， 与互为“开心数”， ， ， 当时，， 解得，（都不是整数，舍去）； 当时，， 解得， 综上可知，的值为0． 【点睛】本题考查了一元二次方程相关知识，涉及解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系等，理解“幸运方程”“幸运数”“开心数”的定义是解题的关键． 44．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，则方程是“邻近根方程”． (1)判断方程是否是“邻近根方程”； (2)已知关于x的方程（m是常数）是“邻近根方程”，求的值； (3)若关于x的方程（a，b是常数，且）是“邻近根方程”，令，试求t的最大值． 【答案】(1)方程是“邻近根方程”，理由见详解 (2)0或 (3)t的最大值为 【分析】（1）根据解一元二次方程的方法求出已知方程的两个根，再计算两根的差是否为1，从而确定方程是否为“邻近根方程”； （2）先解方程求得其根，再根据新定义列出关于m的方程，注意有两种情况； （3）根据新定义得方程得大根与小根的差为1，列出a与b的关系式，再由，得t与a的关系，化简即可． 【详解】（1）解：方程是“邻近根方程”， 理由：在方程中， ， ∴，， ∴， ∴方程是“邻近根方程”． （2）解：， ， ，， ，， ∵关于x的方程（m是常数）是“邻近根方程”， ，即， ∴， 解得：或． （3）解：∵关于x的方程（a，b是常数，且）是“邻近根方程”，设两个根为、， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， 即t的最大值为． 【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“邻近根方程”的定义． 45．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍（为正整数），则称这样的方程为“倍根方程”．例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． (1)根据上述定义，是“___________倍根方程”； (2)若关于的方程是“二倍根方程”，求的值； (3)直线与轴交于点，直线过点，且与相交于点．若一个五倍根方程的两个根为和，且点在的内部（不包含边界），求的取值范围． 【答案】(1)四 (2)10或82 (3) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，一次函数与几何综合，正确理解“倍根方程”的定义是解题的关键． （1）利用因式分解法求出方程的两个根，再根据“倍根方程”的定义求解即可； （2）先解关于的方程得，由题意可得或，再代入求解即可； （3）利用待定系数法求出直线解析式为；再根据题意可得，则可得点P在直线上，求出直线与直线的交点坐标，直线与直线的交点坐标，根据点在的内部（不包含边界），结合函数 图象即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得， ∵， ∴是“四倍根方程”； （2）解：解关于的方程得， ∵关于的方程是“二倍根方程”， ∴或， 当时，； 当时，； 综上，的值为10或82； （3）解：设直线解析式为， 把代入到中得， ∴， ∴直线解析式为； ∵一个五倍根方程的两个根为和， ∴， ∴点P的坐标为， ∴点P在直线上， 联立，解得， 联立，解得， ∵点在的内部（不包含边界）， ∴． 46．如图有一个三角形点阵，从上向下有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点． (1)容易发现，10是三角点阵中前4行的点数之和．你能发现300是前多少行的点数之和吗？ (2)如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换为2，4，6，…，，…，请探究出前n行的点数的和满足什么规律． (3)在（2）中，三角点阵中前n行的点数的和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理． 【答案】(1)300是前24行的点数之和 (2) (3)能， 【分析】本题考查了图形类规律探索和一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． （1）根据图形规律列出一元二次方程求解即可； （2）根据倍数关系列出代数式即可； （3）根据图形规律列出一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：， 整理得， ， ∴， ∵n为正整数， ∴． 答：300是前24行的点数之和． （2）解：由题意可得： ； （3）解：依题意，得， 即， 解得（舍去） ∴三角点阵中前n行的点数的和能是600，． 47．A超市和B水果店售卖同品种西瓜，某校数学活动小组就此开展了“西瓜购买、销售方案的选择”的探究，阅读所给信息并解决问题． 信息1：A超市西瓜的售价为2.4元/千克，无论购买多少均不打折； 信息2：B水果店西瓜的售价为3元/千克，若一次性购买3千克以上，超过3千克的部分打折销售； 信息3：B水果店销售西瓜的部分小票数据统计如下表： 购买量/千克 1 2 3 4 5 6 ．．． 付款金额/元 3 6 9 11.1 13.2 15.3 ．．． 设购买量为x千克，付款金额为y元． (1)任务1：请分别直接写出在A超市与B水果店购买西瓜时，y与x之间的函数解析式； (2)任务2：某酒店承办活动需购买一批西瓜，请通过计算说明选择哪家更合算； (3)任务3：已知该品种西瓜的进货成本为1.6元/千克，市场调研发现：若A超市以2.4元/千克销售该品种西瓜，则平均每天可以售出200千克．为了减少库存，A超市决定降价销售，根据近期销售情况发现，每千克的售价每降低0.2元，每天的销售量就会增加40千克，在尽可能减少库存的情况下，A超市将售价定为每千克多少元时，每天的销售利润为112元？ 【答案】(1)A超市：，B水果店： (2)当时，选择A超市更合算；当，选择A超市和B水果店一样合算；当时，选择B水果店更合算 (3)A超市将售价定为每千克2元时，每天的销售利润为112元 【分析】本题考查了函数解析式的求解，方案选择问题及一元二次方程的利润问题． （1）A超市不打折，售价固定，付款金额与购买成正比例关系，直接得； B水果店3千克及以内按原价销售，故，超过3千克时，用表格中（付款11.1元）计算超过部分单价：（元/千克），得超过部分函数； （2）分三种情况讨论：购买量千克时，A超市单价更低；购买量千克时，比较A超市和B水果店的大小，通过解不等式得出分界点； （3）设售价为m元，计算降价金额与销售量增加量的关系，利用利润公式（售价-成本）×销售量=112，建立一元二次方程，解方程得两个解，根据“减少库存”要求选择较低售价即可． 【详解】（1）解：由题意知，A超市的购买量与付款金额之间的函数解析式为， B水果店：当时，西瓜售价为3元/千克，此时， 当时，前3千克按3元/千克付款，付款金额为：（元）， 超过3千克的部分为千克，这部分单价为：（元/千克）， ∴超过3千克部分的付款金额为元， ∴总付款金额为：， 综上，B水果店y与x的函数解析式为． （2）解：当时，， ∴选择A超市更合算， 当时，若，解得， 若，解得， 若，解得， 综上所述，当时，选择A超市更合算；当，选择A超市和B水果店一样合算；当时，选择B水果店更合算． （3）解：设A超市将售价定为每千克m元， 由题意得：，解得：，， ∵尽可能减少库存， ∴， ∴A超市将售价定为每千克2元时，每天的销售利润为112元． 48．新定义：对于一元二次方程，若根的判别式是一个整数或整式的平方，则此方程叫“美好方程”． (1)判断下列方程一定是“美好方程”是_______；（直接填序号） ①；②；③； (2)若关于的一元二次方程方程， ①证明：此方程一定是“美好方程”； ②设方程的两个实数根分别为，，是否存在实数，使得始终在函数的图象上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①③ (2)①证明见解析；②存在，的值为 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程，一次函数图象上点的坐标特征，掌握一元二次方程的解法是解题关键． （1）先计算根的判别式，再判断完全平方数（式），即可得到答案； （2）①计算出根的判别式，即可证明结论；②利用因式分解法解一元二次方程，得到，，再根据一次函数图像上点的坐标特征，即可求出的值． 【详解】（1）解：①，，故符合题意； ②，，故不符合题意； ③，，故符合题意； 故选：①③； （2）解：①证明：， ， 此方程一定是“美好方程”． ②存在，理由如下： ， ，， 始终在函数的图象上， ， ， ∴ 则 即存在实数，使得始终在函数的图象上，的值为1． 49．如图所示，中，，，． (1)点从点开始沿边向以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果，分别从，同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动． ①经过几秒，的长度为？ ②线段能否将分成两部分，使得的面积是四边形的面积的倍？若能，求出运动时间；若不能请说明理由； (2)若点沿射线方向从点出发以1cm/s的速度移动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，、同时出发，问几秒后，的面积为？(直接写出答案) 【答案】(1)①2秒；②不能，理由见解析 (2)秒或5或秒 【分析】本题是动点型问题，主要考查了勾股定理，一元二次方程，三角形的面积的表示等知识，将动点型问题转化为线段的长，运用分类讨论思想是解题的关键， （1）①设经过秒，则，，，利用勾股定理即可； ②当的面积是四边形的面积的倍，则，即可列出关于的方程； （2）分或三种情形，分别表示出的面积即可解决问题． 【详解】（1）解：设经过秒，则，， ． ①由勾股定理得：， 解得：，(不合题意，舍去) 经过秒，的长度为； ②不能，理由如下： 当的面积是四边形的面积的倍， ， ． ， ， 不存在，使得的面积是四边形的面积的倍； （2）设运动时间为秒， 当时， 解得：， 舍去，故， 当时，， 解得：， 当时，． 解得： 舍，， 综上：或或时，的面积为． 50．阅读以下材料，并解决相应的问题． 三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，说明如下： 将方程变形为，然后画四个长为，宽为x的矩形，按如图所示的方式拼成一个“空心”大正方形，图中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即，因此，可得新方程：， ∵x表示边长， ∴，即． 注意：这种构造图形的方法只能求出方程的一个根！ (1)尝试：小颖根据赵爽的解法解方程， 第一步：将原方程变为，即x（__________________）； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；（请在画图区画出示意图，标明各边长）； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：______________；解得原方程的一个根为______________ (2)反思：这种构造图形解一元二次方程体现的数学思想是_________（从“①分类讨论，②数形结合，③演绎”三个选项中选择最恰当的一项的序号填空）． 【答案】(1)；； (2)② 【分析】本题主要考查了根据阅读材料给出解决某一问题的特殊方法，解题的关键是理解新方法的本质，明确新方法的具体操作步骤，同时要借助数形结合思想，找到解决的问题与示例之间的关联． （1）根据赵爽的解法解方程的一般步骤即可求解． （2）在整个解决问题的过程中，体现了“数”与“形”的结合，进而可得出答案． 【详解】（1）解：第一步：将原方程变为，即； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形，如图所示： 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：，解得原方程的一个根为； 故答案为：，，； （2）解：反思：这种构造图形解一元二次方程体现的数学思想是数形结合， 故答案为：②． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 一元二次方程章末复习压轴培优50题 【压轴核心要点归纳】 1.基本概念与标准形式 方程形式：ax² + bx + c = 0（其中a ≠ 0，a、b、c为常数）。 根的含义：未知数x的解，可能有两个实根、一个实根（重根）或无实根（Δ < 0时）。 压轴题型常见考法：给定方程，要求快速判断根的性质或结合实际问题建立方程（如运动问题中的时间、距离关系）。 2.解法技巧（三大方法） 因式分解法：适用于方程可化为(x-m)(x-n)=0形式；关键点是找到两个数的积为ac、和为b。 配方法：将方程化为(x+p)²=q形式；步骤包括移项、配方（加(b/2a)²）、开平方。 公式法（通用解法）：直接用求根公式x = [-b ± √(b²-4ac)] / (2a)，必须熟记判别式Δ=b²-4ac。 压轴题型侧重：综合应用多种解法，或解含参数的方程（如“方程有实根，求k的取值范围”），考查公式法的准确性和判别式分析。 3.根的判别式（Δ）与根的性质 Δ > 0：有两个不等实根；Δ = 0：有两个相等实根（重根）；Δ < 0：无实根（但有复数根）。 压轴题型高频考点： 结合参数分析根的情况（如“已知Δ ≥ 0，求系数k的值”）；判别式在几何问题中的应用（如三角形面积公式导致的一元二次方程，Δ值决定解的存在性）。 4.根与系数的关系（韦达定理） 若方程有根x₁、x₂，则x₁ + x₂ = -b/a，x₁·x₂ = c/a。 压轴题型常见形式： 求根的关系式（如“x₁² + x₂²的值”），结合代数恒等式变形（如(x₁ + x₂)² - 2x₁x₂）；应用到实际问题中，如优化问题（最大利润、最小成本方程）。 5.实际应用问题（压轴题核心） 常见模型：几何问题（矩形面积、三角形边长计算）、运动问题（自由落体时间计算）、增长率问题（连续增长模型）。 压轴题型解题策略： 关键点在于建模：从实际问题提取等量关系 → 建立一元二次方程 → 求解 → 验证解的合理性（如根的正负、范围限制）；示例：桥梁抛物线问题（用y=ax²+bx+c建模，求特定点的高度）；或多变量问题化简为一元二次方程。 6.压轴题综合技巧要点 易错点：忽略定义域（如时间、长度不能为负），漏判Δ的情况，计算错误在公式法中的细节（如忘记“公式法中的-号”）。 应试策略：先简化方程（除以公因数），优先使用配方法或公式法处理复杂系数，检查根的合理性。 训练建议：多做含参数的习题和跨章节综合题（如结合一次函数或不等式），提升建模能力。 【备考策略】 基础强化：确保熟练掌握判别式、韦达定理和三种解法，避免压轴题中因基础错误失分。 压轴题专项练习： 建议做教材习题（如北师大版课后拓展题）及中考真题，重点抓“应用问题”和“参数方程”。 解题流程：读题→设未知数→列方程（注意单位一致性）→求根（优先公式法）→验证（如判别式、实际意义）。 易错点与陷阱： 忽略判别式非负条件（导致无解）； 应用题中单位转换错误；韦达定理使用时系数符号（如 ）。 时间管理：考试时压轴题约 10-15 分钟，优先保基础步骤分，复杂时画流程图辅助分析。 【压轴实战练习】（单选题+填空题+解答题） 一、单选题【共20小题】 1．已知，是一元二次方程的两根，则的值为（   ） A．1 B．3 C．-1 D．-3 2．三角形两边长分别是和，第三边长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是（  ） A． B．或 C．或 D． 3．已知a是方程的一个根，则代数式的值为（   ） A． B． C． D．2024 4．定义新运算：，例如：，．若，则的值为（   ） A． B．或 C． D．或 5．如图，将边长为的正方形，沿其对角线剪开．再把沿着方向平移，得到，若两个三角形重叠部分的面积为，则它移动的距离等于（   ） A． B．或 C． D． 6．已知关于的一元二次方程的两根是和，且，则的值是（   ） A． B．2.25 C．或 D．或2.25 7．有理数，，对应的点在数轴上的位置如图所示，则下列关于的方程的根的情况说法正确的是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 8．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．下列方程是邻根方程的是（   ）． A． B． C． D． 9．我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法，以方程即]为例说明，构造如图，大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此，所以．则在下面四个构图中，能正确说明方程的解法的构图是（    ） A． B． C． D． 10．已知整式，其中为正整数，、、、为自然数，下列说法： ①当时，若，则满足条件的整式有21个； ②若，令，（是整数，且），则有最大值； ③记，若，，则． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 11．设关于x的方程有两个不相等的实数根，，且，那么实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 12．一个凸n边形的边数与对角线条数的和小于20，且能被5整除，则n为（　　） A．4 B．5 C．6 D．5或6 13．设是方程的一个根，则（    ） A． B． C． D．无法确定 14．有一题目：“若，判断关于x的方程的根的情况．” 嘉嘉答：“有两个不相等的实数根．” 淇淇答：“有两个相等的实数根．” 则正确的是（  ） A．只有嘉嘉答的对 B．只有淇淇答的对 C．嘉嘉和淇淇的答案合在一起才完整 D．嘉嘉和淇淇的答案合在一起也不完整 15．已知、是方程的两根，且，则的值为（　　） A． B． C．95 D． 16．已知方程有两个相等实根，则的值为（   ） A．0 B． C． D．2 17．满足方程的整数对有（   ）． A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 18．某商店将进价为8元的商品按每件 10 元出售，每天可销售 200 件．若这种商品每件涨元，其销量就会减少10件，要使利润为640元，需将售价定为x元，下列列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 19．如图（1）以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图（2）的方式放入较大的正方形内（、分别是它们的顶点），若已知图（2）中两块阴影部分的面积和与周长和分别为16和36，则可知图（1）中的正方形的面积为（    ） A．25 B．64 C．100 D．169 20．在中，于点，则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 2、 填空题【共20小题】 21．已知关于x的方程至少有一个整数解．则整数k的值为 ． 22．若a使得关于x的分式方程有整数解，且使得关于y的一元二次方程有实数根，那么满足条件的所有整数a的和为 ． 23．已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和，则关于的一元二次方程的两个实数根为 ． 24．若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ． 25．已知，，，则 ． 26．已知满足，则当最大时，的值为 ． 27．实数满足，则 ． 28．已知实数x满足，则的值为 ． 29．若实数互不相等，且满足，则的值为 ． 30．新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是 ． 31．已知关于一元二次方程中，①若，那么方程有两个不相等的实数根；②若，则；③若方程两根为和，则；④若，那么方程一定无解．其中正确的是 ． 32．问题背景：我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例：首先将方程变形为，然后构造如图1所示图形，利用面积关系得新方程，从而求出原方程的一个正根． 【拓展应用】：一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为54的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为9，那么此方程的正根为 ． 33．对于一元二次方程，下列说法： ①若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ②若是一元二次方程的根，则； ③存在实数m、n（），使得； ④若c是方程的一个根，则一定有成立． 其中正确的结论有 ．（填序号即可） 34．对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若是方程的一个根，则一定有成立；③若，则它有一个根是；④若一元二次方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根，其中正确的是 （填序号）． 35．我们知道凸透镜的焦距公式为，其中f是凸透镜的焦距，u表示物距，v表示像距． 若凸透镜和物体距离时，凸透镜另一侧的光屏上成了一个清晰的像，仅移动凸透镜，将像距减小，光屏上又成了一个清晰的像，那么该凸透镜的焦距是 ． 36．已知关于x的一元二次方程（m为常数，）． （Ⅰ）若方程有两个相等的实数根，则m的值为 ； （Ⅱ）若方程的两个实数根都是整数，则正整数m的值为 ． 37．如图，在矩形中，，，，、分别从，，，出发沿，，，方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若，则，，．当 时，以P，Q、M，N为顶点的四边形是平行四边形． 38．如图，在矩形中，是边上一点，且，连接，将绕点逆时针旋转至点与点重合时停止，且点的对应点恰好落在上，连接并延长交于点，连接交于点．已知，则 ． 39．如图，菱形的边长为5，点在边上，连结，过点作于点，，将菱形分割成三部分后，恰好可以拼成一个直角三角形，若，则线段的长度为 ． 40．若一个四位自然数各数位上的数字互不相等且均不为0，满足百位数字的平方恰好等于千位数字、十位数字与个位数字的和，则称这个四位数为“志学数”，例如四位数3485，因为，所以3485是“志学数”．若是“志学数”，则这个数最大为 ，若是“志学数”，将的千位与十位数字对调，百位与个位数字对调得到新数，规定，，若，均为整数，则满足条件的的最小值为 ． 三、解答题【共10小题】 41．对于关于的代数式，若存在实数，使得当时，代数式的值也等于，则称为这个代数式的“不动值”、例如：对于关于的代数式，当时，代数式的值等0；当时，代数式的值等于1，我们就称0和1都是这个代数式的“不动值”． (1)关于的代数式的不动值是___________． (2)判断关于的代数式是否有不动值，若有，请求出代数式的不动值；若没有，则说明理由． (3)已知关于的代数式． ①若此代数式仅有一个不动值，求的值； ②若此代数式有两个不动值，且两个不动值的差为整数，直接写出正整数的值． 42．阅读材料，解答问题： 材料1： 为了解方程如果我们把看成一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，，，，我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 材料2： 已知实数，满足，．且，显然，是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，．根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用：方程的解为_________ (2)利用上述方法求下列方程中的值： (3)拓展应用：已知实数，满足，且直接写出的值______． 43．我们定义：两根都为整数的一元二次方程，均为整数）称为“幸运方程”，两整数根称为“幸运根”，代数式的值为该“幸运方程”的“幸运数”．用表示，即．若有另一个“幸运方程”（均为整数）的“幸运数”为，若，则称与互为“开心数”． (1)关于的一元二次方程是一个“幸运方程”． ①当时，该幸运方程的“幸运数”是___________； ②若该“幸运方程”的“幸运数”是，则的值为___________； (2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“幸运方程”，求的值． (3)若关于的一元二次方程与（m，n均为整数）都是“幸运方程”，且其“幸运数”互为“开心数”，直接写出的值． 44．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，则方程是“邻近根方程”． (1)判断方程是否是“邻近根方程”； (2)已知关于x的方程（m是常数）是“邻近根方程”，求的值； (3)若关于x的方程（a，b是常数，且）是“邻近根方程”，令，试求t的最大值． 45．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍（为正整数），则称这样的方程为“倍根方程”．例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． (1)根据上述定义，是“___________倍根方程”； (2)若关于的方程是“二倍根方程”，求的值； (3)直线与轴交于点，直线过点，且与相交于点．若一个五倍根方程的两个根为和，且点在的内部（不包含边界），求的取值范围． 46．如图有一个三角形点阵，从上向下有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…第n行有n个点． (1)容易发现，10是三角点阵中前4行的点数之和．你能发现300是前多少行的点数之和吗？ (2)如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换为2，4，6，…，，…，请探究出前n行的点数的和满足什么规律． (3)在（2）中，三角点阵中前n行的点数的和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理． 47．A超市和B水果店售卖同品种西瓜，某校数学活动小组就此开展了“西瓜购买、销售方案的选择”的探究，阅读所给信息并解决问题． 信息1：A超市西瓜的售价为2.4元/千克，无论购买多少均不打折； 信息2：B水果店西瓜的售价为3元/千克，若一次性购买3千克以上，超过3千克的部分打折销售； 信息3：B水果店销售西瓜的部分小票数据统计如下表： 购买量/千克 1 2 3 4 5 6 ．．． 付款金额/元 3 6 9 11.1 13.2 15.3 ．．． 设购买量为x千克，付款金额为y元． (1)任务1：请分别直接写出在A超市与B水果店购买西瓜时，y与x之间的函数解析式； (2)任务2：某酒店承办活动需购买一批西瓜，请通过计算说明选择哪家更合算； (3)任务3：已知该品种西瓜的进货成本为1.6元/千克，市场调研发现：若A超市以2.4元/千克销售该品种西瓜，则平均每天可以售出200千克．为了减少库存，A超市决定降价销售，根据近期销售情况发现，每千克的售价每降低0.2元，每天的销售量就会增加40千克，在尽可能减少库存的情况下，A超市将售价定为每千克多少元时，每天的销售利润为112元？ 48．新定义：对于一元二次方程，若根的判别式是一个整数或整式的平方，则此方程叫“美好方程”． (1)判断下列方程一定是“美好方程”是_______；（直接填序号） ①；②；③； (2)若关于的一元二次方程方程， ①证明：此方程一定是“美好方程”； ②设方程的两个实数根分别为，，是否存在实数，使得始终在函数的图象上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 49．如图所示，中，，，． (1)点从点开始沿边向以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果，分别从，同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动． ①经过几秒，的长度为？ ②线段能否将分成两部分，使得的面积是四边形的面积的倍？若能，求出运动时间；若不能请说明理由； (2) 若点沿射线方向从点出发以1cm/s的速度移动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，、同时出发，问几秒后，的面积为？(直接写出答案) 50．阅读以下材料，并解决相应的问题． 三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，说明如下： 将方程变形为，然后画四个长为，宽为x的矩形，按如图所示的方式拼成一个“空心”大正方形，图中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即，因此，可得新方程：， ∵x表示边长， ∴，即． 注意：这种构造图形的方法只能求出方程的一个根！ (1)尝试：小颖根据赵爽的解法解方程， 第一步：将原方程变为，即x（__________________）； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；（请在画图区画出示意图，标明各边长）； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：______________；解得原方程的一个根为______________ (2)反思：这种构造图形解一元二次方程体现的数学思想是_________（从“①分类讨论，②数形结合，③演绎”三个选项中选择最恰当的一项的序号填空）． 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