专题11 动角问题的四类综合题型（压轴题专项训练）数学北师大版2024七年级上册

专题11 动角问题的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、运动时间问题 类型二、角之间数量关系综合 类型三、角度定值问题 类型四、动角中新定义问题 压轴专练 类型一、动角运动时间问题 例1．一副三角尺（分别含和）按如图所示摆放在量角器上，边与量角器刻度线重合，边与量角器刻度线重合，将三角尺绕量角器中心点以每秒的速度顺时针旋转，当边与刻度线重合时停止运动，设三角尺的运动时间为s． (1)当时，边经过的量角器刻度线对应的度数是_____度； (2)若在三角尺开始旋转的同时，三角尺也绕点以每秒的速度逆时针旋转，当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转． ①当为何值时，边平分； ②在旋转过程中，是否存在某一时刻使，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 变式1-1．如图1，点为直线上一点，将两个含角的三角板和三角板如图摆放，使三角板的一条直角边、在直线上，其中． (1)将图1中的三角板绕点按逆时针方向旋转至图2的位置，使得边在的内部且平分，，求实数的值； (2)三角板在绕点按逆时针方向旋转时，若在的内部．与大小的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请说明理由； (3)如图3，将图1中的三角板绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时将三角板绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转，将射线绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，旋转后的射线记为，射线平分，射线平分，当射线、重合时，射线改为绕点以原速按顺时针方向旋转，在、第二次相遇前，当时，求旋转时间的值． 变式1-2．数学活动课上，老师带领学习小组利用一副直角三角尺进行“玩转尺”的探究活动． (1)老师将三角尺和三角尺按如图①所示的方式摆放在直线上，边落在直线上，，，，则____________； (2)第一小组同学将图①中三角尺绕点C以每秒的速度按顺时针方向旋转进行探究，当边首次落在直线上时停止旋转，设三角尺的旋转时间为t秒，提出下列问题： ①当____________秒时，边首次落在直线上； ②当____________秒时，； (3)如图②，第二小组同学受第一小组同学的启发继续进行探究，将三角尺绕点C以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时将三角尺绕点C以每秒的速度按逆时针方向旋转，当三角尺的边首次落在直线上时停止旋转，同时三角尺也停止旋转．当时，求t的值． 变式1-3．如图1，点在直线上，过点引一条射线，使，将一个直角三角尺的直角顶点放在点处，直角边在射线上，另一边在直线的下方． 【操作一】：将图1中的三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转．当它完成旋转一周时停止，设旋转的时同为秒． （1）的度数是______． （2）①三角尺的边旋转的度数可表示为______（用含的代数式表示）； ②求为何值时． 【操作二】：如图2，射线与射线重合．如图3，在三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转的同时，射线绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，当三角板完成旋转一周时停止，射线也停止旋转，设旋转的时间为秒， （3） 试探索：在三角尺与射线旋转的过程中，为何值时，与中其中一个角是另一个角的两倍？请直接写出所有满足题意的的值______． 类型二、角度之间数量关系综合 例2．如图，，，射线平分，射线平分（本题中的角均为大于且小于的角）． (1)如图，当，重合时，求的度数； (2)当从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度时，的值是否为定值？若是定值，求出的值，若不是，请说明理由． (3)当从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度时，与具有怎样的数量关系？ 变式2-1．如图1，，过点在的内部作射线，使得，射线从射线开始以每秒的速度绕着点顺时针转动，当为平角时停止转动，设转动的时间为秒． (1)当射线位于射线的左侧时，_____________（用含的式子表示）； (2)当射线平分时，求的值． (3)如图2，射线从射线开始以每秒的速度与射线同时开始绕着点顺时针转动，同时停止． ①当时，求的值． ②在转动过程中，请直接写出与之间的数量关系． 变式2-2．如图1，点O是直线上一点，三角板（其中）的边与射线重合，将它绕O点以每秒m°顺时针方向旋转到边与重合；同时射线与重合的位置开始绕O点以每秒n°逆时针方向旋转至，两者哪个先到终线则同时停止运动，设运动时间为t秒． (1)若，，秒时，________°； (2)若，，当在的左侧且平分时，求t的值； (3)如图2，在运动过程中，射线始终平分． ①若，，当射线，，中，其中一条是另两条射线所形成夹角的平分线时，直接写出________秒； ②当在的左侧，且与始终互余，求m与n之间的数量关系． 变式2-3．如图，两条直线、相交于点，且，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，运动时间为，当首次与重合时，两条射线都停止运动．（本题出现的角均小于或等于）． (1)当时，求的度数； (2)当点、、在同一条直线上时，求的值； (3)若平分，平分，请探究与之间的数量关系．（直接写出结果）． 类型三、角度定值问题 例3．已知． (1)如图1，若射线，分别为，的角平分线，则 ． (2)如图2，射线从出发绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，射线从出发绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，设运动时间为，且平分． ①当时，若分为两个部分，求满足时，的值． ②如图3，若平分，当且时，试判断是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 变式3-1．如图1，为了研究方便，两手手心位置分别记为，两点，两脚脚跟位置分别记为，两点，若，，，在同一个平面内，做操过程中将手脚运动近似看作，，，绕点转动，其中为该平面内的一个定点．（本题中的角均大于且小于或等于） (1)如图1，，，三点共线，且，则_____； (2)在第三节腿部运动中，如图2，洋洋发现，、、三点共线，却不在水平方向上．若，，求的大小． (3)第四节体侧运动中，如图3，乐乐发现，在运动前、、三点在同一水平线上，两腿左右等距张开，，平分，且，、绕点顺时针旋转，旋转速度为每秒，旋转速度为每秒，当旋转到与重合时运动停止． ①运动停止时，______；（用小于平角的度数表示） ②在运动过程中，是否存在常数，使得为定值？若存在，求出常数及该定值；若不存在，请说明理由． 变式3-2．如图，过点在内部作射线．，分别平分和，与互补，． (1)如图1，若，则______°，______°，______°； (2)如图2，若平分． ①当时，求度数； ②试探索：是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 类型四、动角中新定义问题 例4．如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的奇妙线． (1)如图1，若，，求． (2)如图2，若，射线从射线位置开始，绕点O以每秒的速度逆时针旋转，当射线与射线重合时停止旋转．设旋转的时间为t秒，当射线是的奇妙线时，求t的值． (3)如图3，若，射线分别从位置同时出发，射线绕点O以每秒的速度逆时针旋转，射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，当射线旋转与射线重合时两条射线都停止旋转．设旋转的时间为t秒，当射线是的奇妙线时，求t的值． 变式4-1．请阅读以下信息：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所组成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的“内半角”．如图①，若射线在的内部，且，则称是的“内半角”．请根据以上信息，解决下面的问题： (1)如图①，．若是的“内半角”，则 ． (2)如图②，已知，将绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（）至，即，其中．若是的“内半角”，求α与β的数量关系． (3)把一块含的三角板按如图③方式放置，使边与边重合，边与边重合，如图④，将三角板绕顶点O以每秒的速度按顺时针方向旋转一周，旋转时间为t秒．当射线构成“内半角”时，请直接写出t的值． 变式4-2．射线是内部的一条射线，若，则我们称射线是射线的伴随线．例如，如图1，，则，称射线是射线的伴随线；同时，由于，称射线是射线的伴随线． (1)如图2，，射线是射线的伴随线，则 ，若的度数是，射线是射线的伴随线，射线是的平分线，则的度数是 ；（用含的代数式表示） (2)如图3，若，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度逆时针转动，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度顺时针转动，当射线与射线重合时，运动停止． ①是否存在某个时刻（秒），使得的度数是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； ②当的值为多少时，射线中恰好有一条射线是其余两条射线中任意一条射线的伴随线？ 变式4-3．如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“和谐线”． (1)若射线是的平分线，那么射线______的“和谐线”；（填“是”或“不是”） (2)若射线是的“和谐线”，当时，则______．（用含的代数式表示出所有可能的结果） (3)如图2，为直线上一点，点C在射线上，现将一直角三角尺的角的顶点放置在点处（即），其中边在射线上，另一边在直线的上方．若图2中的射线绕点从位置开始，以每秒的速度沿顺时针方向旋转，同时直角三角尺也绕着点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，当与重合时都停止旋转，设旋转的时间为秒．问：当为何值时，是的“和谐线”． 1．定义：若，且，则我们称是的差余角．例如：若，则的差余角， (1)如图1，点O在直线AB上，射线OE是∠BOC的角平分线，若∠COE是∠AOC的差余角，求∠BOE的度数； (2)如图2，点O在直线AB上，若∠BOC是∠AOE的差余角，那么∠BOC与∠BOE有什么数量关系； (3)已知，点O在直线AB上，若∠COE是∠AOC的差余角，且OE与OC在直线AB的同侧，请你探究是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由． 2．若，则称是的“倍角”，若，则称是的“倍补角”．已知，，的边与的边重合时，开始转动，在转动过程中射线始终平分．（图中所有的角均指小于平角的角） (1)如图1，当绕点顺时针旋转一个角，且在的内部，若，则_________；若，则_________（用含的式子表示）；写出图1中的一组存在“倍角”关系的角_________； (2)如图2，当绕点顺时针旋转（），且在的外部，请判断是否为的“倍角”，并说明理由； (3)①如图3，当绕点逆时针旋转一个小于的角，且射线已经过射线的反向延长线，请判断是否为的“倍补角”、并说明理由； ②如图3，若绕点逆时针旋转（），当是的“倍补角”时，请直接写出的取值范围_________． 3．如图，两条直线AB、CD相交于点O，且，射线OM从OB开始绕O点逆时针方向旋转，速度为，射线ON同时从OD开始绕O点顺时针方向旋转，速度为两条射线OM、ON同时运动，运动时间为t秒本题出现的角均小于平角 当时，的度数为多少，的度数为多少；的度数为多少； 当时，若，试求出t的值； 当时，探究的值，问：t满足怎样的条件是定值；满足怎样的条件不是定值？ 4．如图1，点为直线上一点，过点在直线的下方作射线，将一个直角三角板的直角顶点放在处，一边和射线重合，另一边在直线的上方． (1)将图1中的三角形绕点逆时针旋转至图2情形，此时，恰好平分，求的度数； (2)若． ①将图1中的三角板绕点按每秒的速度逆时针旋转一周，在旋转过程中，第秒时，直线恰好平分，求的值； ②将图1中的三角板绕点逆时针旋转至图3情形，使在的内部，，，请直接写出与之间的数量关系． 5．将一副直角三角板如图1摆放在直线上（直角三角板和直角三角板．，，，），保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转直至边第一次重合在直线上，旋转时间记为秒． (1)当 秒时，平分； (2)①如图2，旋转三角板，使得、同时在直线的异侧，则与满足的数量关系为 ； ②如图3，继续旋转三角板，使得、同时在直线的右侧，猜想与满足怎样的数量关系？并说明理由． (3)若当三角板旋转到与重合的同时，另一个三角板也开始绕点以每秒的速度顺时针旋转，当旋转至直线上时同时停止．请说明在旋转过程中，与满足的数量关系． 6．如图1，直线上有一点O，过点O在直线上方作射线．最开始，将直角三角板的直角顶点放在O处， 一条直角边在射线上，另一边在直线上方，将直角三角板绕着点O按每秒 的速度逆时针旋转一周停止，设旋转时间为t秒． (1)若射线的位置保持不变，当 时，求旋转的时间t； (2)如图2，在旋转的过程中，若射线的位置保持不变，是否存在某个时刻，使得射线，与中的某一条射线是另两条射线所成夹角的平分线？ 若存在，求出所有满足题意的 t的取值，若不存在，请说明理由； (3)在三角板旋转过程的同时，射线绕着点O按每秒 的速度逆时针旋转，当 时，求出t的取值． 7．将一副直角三角板，，按如图叠加放置，其中与重合，，． (1)如图1，点在直线上，且位于点的左侧，求的度数； (2)将三角板从图位置开始绕点顺时针旋转，并记，分别为，的角平分线． ①当三角板旋转至如图的位置时，求的度数． ②若三角板的旋转速度为每秒，且转动到时停止，运动时间记为（单位：秒），试根据不同的的值，求的大小． 8．如图1，点是直线上一点，三角板（其中的边与射线重合，将它绕点以每秒顺时针方向旋转到边与重合；同时射线与重合的位置开始绕点以每秒逆时针方向旋转至，两者哪个先到终线则同时停止运动，设运动时间为秒． (1)若，，秒时，________°； (2)如图2，在运动过程中，射线始终平分． ①若，，当射线，，中，其中一条是另两条射线所形成夹角的平分线时，直接写出　　秒；（写出一个即可） ②当在的左侧，且与始终互余，求与之间的数量关系． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 动角问题的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、运动时间问题 类型二、角之间数量关系综合 类型三、角度定值问题 类型四、动角中新定义问题 压轴专练 类型一、动角运动时间问题 例1．一副三角尺（分别含和）按如图所示摆放在量角器上，边与量角器刻度线重合，边与量角器刻度线重合，将三角尺绕量角器中心点以每秒的速度顺时针旋转，当边与刻度线重合时停止运动，设三角尺的运动时间为s． (1)当时，边经过的量角器刻度线对应的度数是_____度； (2)若在三角尺开始旋转的同时，三角尺也绕点以每秒的速度逆时针旋转，当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转． ①当为何值时，边平分； ②在旋转过程中，是否存在某一时刻使，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)85 (2)①；②存在，或 【分析】本题主要考查了旋转的性质、角平分线的定义、角度的和差、解一元一次方程，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想，是解此题的关键． （1）根据三角尺绕量角器中心点P以每秒的速度顺时针旋转，进行计算； （2）①由旋转知，，由角平分线的定义可得，再由列方程求解； ②分两种情况，当在左侧时，当在右侧时，分别进行计算可得到答案． 【详解】（1）当时，绕点P顺时针旋转了， 又， 边经过的量角器刻度线对应的度数为． （2）①如图1所示： 由旋转知，， 平分，， ， 又， ， ， 解得， 当时，边平分． ②当或时，，理由如下： 由旋转知，， 当在左侧时，如图2， ， ， ， 若，则， 解得． 当在右侧时，如图3， ， ， ， 若，则， 解得． 综上可知，当或时，． 变式1-1．如图1，点为直线上一点，将两个含角的三角板和三角板如图摆放，使三角板的一条直角边、在直线上，其中． (1)将图1中的三角板绕点按逆时针方向旋转至图2的位置，使得边在的内部且平分，，求实数的值； (2)三角板在绕点按逆时针方向旋转时，若在的内部．与大小的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请说明理由； (3)如图3，将图1中的三角板绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时将三角板绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转，将射线绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，旋转后的射线记为，射线平分，射线平分，当射线、重合时，射线改为绕点以原速按顺时针方向旋转，在、第二次相遇前，当时，求旋转时间的值． 【答案】(1) (2)与的差是定值，该定值为 (3)或或或69 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，则，再求出的度数即可得到答案； （2）分在上方和在下方两种情况画出对应的示意图，讨论求解即可； （3）先求出旋转前与的夹角，然后再求出与第一次和第二次相遇所需要的时间，再设在与第二次相遇前，当时，需要旋转时间为t，再分在的左侧和在的右侧两种情况解答即可． 【详解】（1）解：平分， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解；如图所示，当在上方时， ∵，， ∴； 如图所示，当在下方时， ∵，， ∴； 综上所述，与的差是定值，该定值为； （3）解：射线平分，射线平分， ，， 旋转前与的夹角为， 与第一次相遇的时间为秒，此时旋转的角度为， 此时OC与OE的夹角为， 与第二次相遇的时间为（秒）， 设在与第二次相遇前，当时，需要旋转时间为t， ①当相遇前，解得，； ②当第一次相遇后，解得，； ③当第一次相遇后，相遇前，解得； ④当第一次相遇后，相遇后，解得，； 在与第二次相遇前，当时，旋转时间t为或或或69. 【点睛】本题考查了角的运算，角的旋转，角的平分线，余角和补角等知识，掌握角的平分线、余角、补角等概念合理运用“等量代换”及旋转时会出现多种情况运用，清楚“旋转前后的图形是完全相等的，各边旋转角度相同，”是解题关键． 变式1-2．数学活动课上，老师带领学习小组利用一副直角三角尺进行“玩转尺”的探究活动． (1)老师将三角尺和三角尺按如图①所示的方式摆放在直线上，边落在直线上，，，，则____________； (2)第一小组同学将图①中三角尺绕点C以每秒的速度按顺时针方向旋转进行探究，当边首次落在直线上时停止旋转，设三角尺的旋转时间为t秒，提出下列问题： ①当____________秒时，边首次落在直线上； ②当____________秒时，； (3)如图②，第二小组同学受第一小组同学的启发继续进行探究，将三角尺绕点C以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时将三角尺绕点C以每秒的速度按逆时针方向旋转，当三角尺的边首次落在直线上时停止旋转，同时三角尺也停止旋转．当时，求t的值． 【答案】(1) (2)①10 ；②6或8 (3)4.5或6 【分析】本题考查了与三角板有关的角度计算，一元一次方程的应用等知识，数形结合是解题的关键，注意分类讨论． （1）利用三个角的和为一个平角即可求解； （2）①求出的度数即可求解； ②分两种情况求解：当边在的外部；当边在的内部；求出旋转t秒后，由已知即可求解； （3）分两种情况：边相遇前与相遇后考虑即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； 故答案为：． （2）解：①边首次落在直线上，旋转了， 则旋转的时间为：（秒）； 故答案为：10； ②当边在的外部时； 顺时针旋转t秒，则，； 则， 解得：； 当边在的内部时； 顺时针旋转t秒，则，； 则， 解得：； 综上，当或8时，； 故答案为：6或8； （3）解：当边相遇前，如图， ∵，， ∴， 解得：； 当边相遇后，如图， ∵，， ∴， 解得：； 综上，t的值为4.5或6． 变式1-3．如图1，点在直线上，过点引一条射线，使，将一个直角三角尺的直角顶点放在点处，直角边在射线上，另一边在直线的下方． 【操作一】：将图1中的三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转．当它完成旋转一周时停止，设旋转的时同为秒． （1）的度数是______． （2）①三角尺的边旋转的度数可表示为______（用含的代数式表示）； ②求为何值时． 【操作二】：如图2，射线与射线重合．如图3，在三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转的同时，射线绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，当三角板完成旋转一周时停止，射线也停止旋转，设旋转的时间为秒， （3）试探索：在三角尺与射线旋转的过程中，为何值时，与中其中一个角是另一个角的两倍？请直接写出所有满足题意的的值______． 【答案】（1）（2）①②或（3）或或 【分析】（1）根据平角定义即可求得； （2）利用旋转的角度等于每秒旋转的角度数乘以旋转的时间就是即可；分两种情况令旋转的角度为或即可求得结论； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情况：①当在左侧时，②当在右侧时，分别用含的代数式表示出与的度数，利用或，列出方程，解方程即可求得结论． 【详解】解：（1）∵，， ∴， 故答案是：； （2）①旋转的速度是每秒， ∴旋转的度数表示为， ②， 当在左侧时：， ∴，解得， d当在右侧时：， ∴，解得， 故答案是：或； （3）当在左侧时， （ⅰ），如图， 由题意得：， 解得：； （ⅱ），如图， 由题意得：， 解得：． ②当在右侧时， （ⅰ），如图， 由题意得：， 解得：． （ⅱ）， 则：，此方程无解，不符合题意； 综上所述，当或或时两个角其中一个是另一个的两倍． 【点睛】本题考查角度旋转问题，解题的关键是根据角度旋转的速度设出旋转角的度数，再根据题意列出与时间有关的方程进行求解，需要掌握分类讨论的思想． 类型二、角度之间数量关系综合 例2．如图，，，射线平分，射线平分（本题中的角均为大于且小于的角）． (1)如图，当，重合时，求的度数； (2)当从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度时，的值是否为定值？若是定值，求出的值，若不是，请说明理由． (3)当从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度时，与具有怎样的数量关系？ 【答案】(1) (2)为定值，理由见解析 (3)当时， ；当时，；当时， 【分析】本题考查了角度的计算以及角平分线的定义，找准各角之间的和差关系，采用分类讨论的思想是解决本题的关键． （1）根据角平分线的定义知、，再根据可得答案； （2）由题意知、，根据角平分线的定义得、，代入计算可得答案； （3）分情况计算，利用n表示出，，再根据角之间的关系即可求解． 【详解】（1）解：，，射线平分，射线平分， 、， ； （2）解：的值为定值， 理由如下：如图： 从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度 ，，点C、D在直线的右侧， 射线平分，射线平分， ，， ， 的值为定值； （3）解：当时，如图2：同理（2）得，； 当时，如图3所示， ， ， 射线平分，射线平分， ，， ； 当时，如图4所示， ， ， 射线平分，射线平分， ，， ； 综上，与具有的数量关系为：当时， ；当时，；当时，． 变式2-1．如图1，，过点在的内部作射线，使得，射线从射线开始以每秒的速度绕着点顺时针转动，当为平角时停止转动，设转动的时间为秒． (1)当射线位于射线的左侧时，_____________（用含的式子表示）； (2)当射线平分时，求的值． (3)如图2，射线从射线开始以每秒的速度与射线同时开始绕着点顺时针转动，同时停止． ①当时，求的值． ②在转动过程中，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1) (2)21 (3)①10.8或54；② 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，用含的代数式表示相关角的度数． （1）由，求出，，故当射线位于射线的左侧时，， （2）根据得：，即可解得的值为21； （3）①当到达所在的位置前，，当到达所在的位置后，，解方程可得答案； ②分两种情况可求得． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 根据题意，， 当射线位于射线的左侧时，， 故答案为：； （2）解：根据题意得：， 解得， 的值为21； （3）解：由题意可得， ①当到达所在的位置前，， 解得； 当到达所在的位置后，， 解得； 的值为10.8或54； ②当与重合时，， ， 此时与重合； 当到达所在的位置前，，， ； 当到达所在的位置后，，， ； 综上所述，． 变式2-2．如图1，点O是直线上一点，三角板（其中）的边与射线重合，将它绕O点以每秒m°顺时针方向旋转到边与重合；同时射线与重合的位置开始绕O点以每秒n°逆时针方向旋转至，两者哪个先到终线则同时停止运动，设运动时间为t秒． (1)若，，秒时，________°； (2)若，，当在的左侧且平分时，求t的值； (3)如图2，在运动过程中，射线始终平分． ①若，，当射线，，中，其中一条是另两条射线所形成夹角的平分线时，直接写出________秒； ②当在的左侧，且与始终互余，求m与n之间的数量关系． 【答案】(1)100； (2)； (3)①12或30或48；② 【分析】本题考查的是角平分线的性质，平角的定义，解题的关键是能采用数形结合的思想和分类讨论的思想解答． （1）根据，即可求解； （2）根据平分线的性质得，再由平角为即可求解； （3）①当是的角平分线，当是的角平分线时，当是的角平分线时，分三种情况进行计算即可， ②由与始终互余，得出，进而可求解． 【详解】（1）解：当，，秒时， ，， ， ； 故答案为：100； （2）解：， 又在的左侧且平分， 解得：， （3）解：①当是的角平分线时，如图所示： 又始终平分， ∴， 当是的角平分线时，如图所示： 又始终平分， ，此时射线与重合， 解得：， 当是的角平分线时，如图所示： 又始终平分， ， 又， ， 解得：， 故答案为：或30或48； ②当在的左侧时，如图所示： 又始终平分， 与始终互余， ， 化简得：． 变式2-3．如图，两条直线、相交于点，且，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，运动时间为，当首次与重合时，两条射线都停止运动．（本题出现的角均小于或等于）． (1)当时，求的度数； (2)当点、、在同一条直线上时，求的值； (3)若平分，平分，请探究与之间的数量关系．（直接写出结果）． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了角的和差，角的平分线，平角的性质，旋转的性质，一元一次方程的应用，关键是弄清角之间的关系，难点是分情况讨论． （1）先求得，，利用角的和与差计算即可求解； （2）由题意得到，解之即可； （3）分两种情况讨论，利用角的和与差计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 由题意得，， ∵， ∴，， ∴； （2）解：由题意得，， ∵点、、在同一条直线上， ∴ 解得； （3）解：当时，如图， ，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴； 当时，如图， ，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴； 综上，． 类型三、角度定值问题 例3．已知． (1)如图1，若射线，分别为，的角平分线，则 ． (2)如图2，射线从出发绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，射线从出发绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，设运动时间为，且平分． ①当时，若分为两个部分，求满足时，的值． ②如图3，若平分，当且时，试判断是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)①或；②，为定值 【分析】本题考查了角的平分线的应用，解方程，角的和差计算，本题难度很大，熟练掌握定义和解方程，画出图形是解题的关键． （1）根据角平分线定义和角的和差关系即可求得答案； （2）①由题意得，，，，由平分，分为两个部分，可得：，或，，分别根据，建立方程求解即可； ②分两种情况：当时，当时，利用角平分线定义及角的和差关系即可判断为定值． 【详解】（1）解：如图1，， 则， 射线，分别为，的角平分线， ，， ， 故答案为：． （2）解：①如图2， 射线从出发绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，射线从出发绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，运动时间为， ，， ， 平分，分为两个部分， ，，或，， 当，时， ，， ， ， 解得：； 当，时， ，， ， ， 解得：； 综上所述，的值为或． ②当时，如图3，，，， 平分，平分， ，， ， ， ，为定值； 当时，如图4，，，， 平分，平分， ，， ，， ，为定值； 综上所述，，为定值． 变式3-1．如图1，为了研究方便，两手手心位置分别记为，两点，两脚脚跟位置分别记为，两点，若，，，在同一个平面内，做操过程中将手脚运动近似看作，，，绕点转动，其中为该平面内的一个定点．（本题中的角均大于且小于或等于） (1)如图1，，，三点共线，且，则_____； (2)在第三节腿部运动中，如图2，洋洋发现，、、三点共线，却不在水平方向上．若，，求的大小． (3)第四节体侧运动中，如图3，乐乐发现，在运动前、、三点在同一水平线上，两腿左右等距张开，，平分，且，、绕点顺时针旋转，旋转速度为每秒，旋转速度为每秒，当旋转到与重合时运动停止． ①运动停止时，______；（用小于平角的度数表示） ②在运动过程中，是否存在常数，使得为定值？若存在，求出常数及该定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)90 (2) (3)①105；②当时，存在常数，使得为定值；当时，存在常数，使得为定值 【分析】本题考查了角的运算、一元一次方程的应用、整式加减中的无关型问题，熟练掌握以上知识点，结合图形发现角的和差关系是解题的关键． （1）由，，三点共线可得，再结合，即可求解； （2）由，设，则，结合图形可得，解方程求出的值，即可求出的大小； （3）①算出运动停止时的时间，求出运动的角度，进而求出的度数；②由的运动过程可知，需要分类讨论：在点、、共线前，和共线后2种状态，分别用表示出和的度数，再利用整式加减的运算即可求出常数和定值． 【详解】（1）解：，，三点共线， ， 又， ， 解得：． 故答案为：90． （2）解：， 设，则， ，，三点共线， ， ， 解得：， ， ． （3）解：①平分，， ， ， ，， ， 的旋转时间为（秒）， 运动停止时，旋转的角度为， 运动停止时，． 故答案为：105． ②当点、、三点共线时，（秒）， 当时，，， ； 当时，，， ； 综上所述，当时，存在常数，使得为定值；当时，存在常数，使得为定值． 变式3-2．如图，过点在内部作射线．，分别平分和，与互补，． (1)如图1，若，则______°，______°，______°； (2)如图2，若平分． ①当时，求度数； ②试探索：是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)①，②是定值， 【分析】（1）根据互补的定义可得，然后求得，再根据角平分线的定义可得和,再根据角的和差可得； （2）①由互补的定义可得，再根据角平分线的定义可得，进而得到，然后根据得到关于a的方程求解即可；②由①可得，然后分别表示出和，最后做商即可解答． 【详解】（1）解：∵, ∴ ∴ ∵，分别平分和 ∴, ∴ 故答案为，，． （2）解：①∵，与互补， ∴ 又∵平分，平分，平分， ∴ ∴，解得： ∴. ②由①得： ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了补角的定义、角平分线的应用、角的和差等知识点，灵活运用角平分线的定义是解答本题的关键． 类型四、动角中新定义问题 例4．如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的奇妙线． (1)如图1，若，，求． (2)如图2，若，射线从射线位置开始，绕点O以每秒的速度逆时针旋转，当射线与射线重合时停止旋转．设旋转的时间为t秒，当射线是的奇妙线时，求t的值． (3)如图3，若，射线分别从位置同时出发，射线绕点O以每秒的速度逆时针旋转，射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，当射线旋转与射线重合时两条射线都停止旋转．设旋转的时间为t秒，当射线是的奇妙线时，求t的值． 【答案】(1) (2)秒或秒或秒； (3)或或或或 【分析】本题考查了几何图形中角度计算问题，实际问题与一元一次方程：几何问题(一元一次方程的应用)，综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据角的关系，列式，解得，即可作答． （2）根据奇妙线的定义要进行分类讨论：或，然后列式计算，即可作答． （3）先得出停止旋转时所需时间为秒，然后逐个情况作图，运用数形结合思想以及根据几何图形中角度关系进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵，， ∴ 解得； （2）解： ∵当射线与射线重合时停止旋转，，且绕点O以每秒的速度逆时针旋转， ∴停止旋转时所需时间：（秒）， ∵射线是的奇妙线， ∴当时，则 解得， 则（秒）， ∴当时，则 解得， ∴， 则（秒）， 当是的角平分线，则， ∴（秒）， 综上：t的值为秒或秒或6秒； （3）解：∵射线旋转与射线重合时两条射线都停止旋转． ∴停止旋转时所需时间：（秒）， 即射线旋转就停止了， ∵射线分别从位置同时出发，射线绕点O以每秒的速度逆时针旋转，射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转， ∴当射线都在的内部时，， 故， ∵射线是的奇妙线， ∴当射线都在的内部时，且时，即 ∴， 解得（秒）； ∴当射线都在的内部时，且时， ∴， 解得（秒）； ∴当射线都在的内部时，且时，即 ∴， 解得（秒）； ∴当射线都在的内部时，且时， ∴， 则， 解得（秒）； 当与重合时，（秒）， ∴， 此时在直线上， ∴当射线都在的外部时， ， ∴， ∵射线是的奇妙线， ∴当射线都在的外部时，且时 ∴， 解得（秒）， 或当时， ∴， 解得（秒）， ∵射线不在的内部，故舍去； 当时，即 ∴， 解得∴（秒）， 当时， 则， 即， 解得 ∴（秒）， ∵秒，运动停止，不存在， 综上：当射线是的奇妙线时，则t的值为或或或或． 变式4-1．请阅读以下信息：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所组成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的“内半角”．如图①，若射线在的内部，且，则称是的“内半角”．请根据以上信息，解决下面的问题： (1)如图①，．若是的“内半角”，则 ． (2)如图②，已知，将绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（）至，即，其中．若是的“内半角”，求α与β的数量关系． (3)把一块含的三角板按如图③方式放置，使边与边重合，边与边重合，如图④，将三角板绕顶点O以每秒的速度按顺时针方向旋转一周，旋转时间为t秒．当射线构成“内半角”时，请直接写出t的值． 【答案】(1) (2)或 (3)4秒或36秒 【详解】（1）解：∵是的内半角，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵是的内半角， ∴，即， ∴α与β的数量关系是或 （3）解：①如图④，此时是的内半角， 由旋转性质可知：， ∴， ∵是的内半角， ∴，即， 解得： ； ②如图⑤，此时是的半角， 由旋转性质可得：， ∴， ∵是的内半角， ∴，即， 解得：； 综上所述：当射线构成内半角时，t的值为4秒或36秒． 变式4-2．射线是内部的一条射线，若，则我们称射线是射线的伴随线．例如，如图1，，则，称射线是射线的伴随线；同时，由于，称射线是射线的伴随线． (1)如图2，，射线是射线的伴随线，则 ，若的度数是，射线是射线的伴随线，射线是的平分线，则的度数是 ；（用含的代数式表示） (2)如图3，若，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度逆时针转动，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度顺时针转动，当射线与射线重合时，运动停止． ①是否存在某个时刻（秒），使得的度数是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； ②当的值为多少时，射线中恰好有一条射线是其余两条射线中任意一条射线的伴随线？ 【答案】(1)40， (2)①秒或25，理由见解析；② 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，角的计算，解决本题的关键是利用分类讨论思想． （1）根据伴随线定义即可求解； （2）①利用分类讨论思想，分相遇之前和之后进行列式计算即可； ②利用分类讨论思想，分相遇之前和之后四个图形进行计算即可． 【详解】（1）解：如图2，，射线是射线的伴随线， 则， ∵的度数是，射线是射线的伴随线， ∴， ∵射线是的平分线， ∴， 则的度数是． 故答案为：； （2）解：射线与重合时，， ①当的度数是时，有两种可能： 若在相遇之前，则， ； 若在相遇之后，则， ； 所以，综上所述，当或25时，的度数是． ②相遇之前： （i）如图1，是的伴随线时， 则， 即， ； （ii）如图2，是的伴随线时， 则， 即， ． 相遇之后： （iii）如图3，是的伴随线时， 则， 即， ； （iv）如图4， 是的伴随线时，则， 即， ， 所以，综上所述，当时，中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线． 变式4-3．如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“和谐线”． (1)若射线是的平分线，那么射线______的“和谐线”；（填“是”或“不是”） (2)若射线是的“和谐线”，当时，则______．（用含的代数式表示出所有可能的结果） (3)如图2，为直线上一点，点C在射线上，现将一直角三角尺的角的顶点放置在点处（即），其中边在射线上，另一边在直线的上方．若图2中的射线绕点从位置开始，以每秒的速度沿顺时针方向旋转，同时直角三角尺也绕着点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，当与重合时都停止旋转，设旋转的时间为秒．问：当为何值时，是的“和谐线”． 【答案】(1)是 (2)为或或． (3)当为或时，是的“和谐线”． 【分析】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义，新定义概念的含义； （1）由角平分线的定义可得，从而可得答案； （2）由射线是的“和谐线”，，分三种情况讨论：当时，当时，当时，再进一步解答即可； （3）求解旋转时间为，当重合时，可得：，当时，在的外部不符合题意；当时，如图，时，如图，当时，即，如图，当时，再进一步解答即可． 【详解】（1）解：∵射线是的平分线， ∴， ∴射线是的“和谐线”； （2）解：∵射线是的“和谐线”，， 当时， ∴， 当时， ∴， 当时， ∴； 综上：为或或． （3）解：由题意可得：旋转时间为， 当重合时， 则，解得：， 当时，在的外部不符合题意； 当时，如图，时， ∵，，∴， ∴，解得：， 如图，当时，即， ∴，解得：， 如图，当时， ∴， 解得：，不符合题意，舍去， 综上：当为或时，是的“和谐线”． 1．定义：若，且，则我们称是的差余角．例如：若，则的差余角， (1)如图1，点O在直线AB上，射线OE是∠BOC的角平分线，若∠COE是∠AOC的差余角，求∠BOE的度数； (2)如图2，点O在直线AB上，若∠BOC是∠AOE的差余角，那么∠BOC与∠BOE有什么数量关系； (3)已知，点O在直线AB上，若∠COE是∠AOC的差余角，且OE与OC在直线AB的同侧，请你探究是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)∠BOE＝30° (2)∠BOC＋∠BOE＝90° (3)是定值， 【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠COE＝∠BOE＝∠BOC，根据题意得到∠AOC−∠COE＝∠AOC−∠BOC＝90°，于是得到结论； （2）根据角的和差即可得到结论； （3）如图3，由∠COE是∠AOC的差余角，得到∠AOC＝90°＋∠COE，∠BOC＝90°−∠COE，如图4，由∠COE是∠AOC的差余角，得到∠AOC＝90°＋∠COE，于是得到结论． 【详解】（1）解：∵OE是∠BOC的角平分线， ∴∠COE＝∠BOE＝∠BOC， ∵∠COE是∠AOC的差余角， ∴∠AOC−∠COE＝∠AOC−∠BOC＝90°， ∵∠AOC＋∠BOC＝180°， ∴∠BOC＝60°， ∴∠BOE＝30°； （2）∵∠BOC是∠AOE的差余角， ∴∠AOE−∠BOC＝∠AOC＋∠COE−∠COE−∠BOE＝∠AOC−∠BOE＝90°， ∵∠AOC＋∠BOC＝180°， ∴∠BOC＋∠BOE＝90°； （3）是定值2， 理由：如图3，∵∠COE是∠AOC的差余角， ∴∠AOC−∠COE＝∠AOE＝90°， ∴∠AOC＝90°＋∠COE，∠BOC＝90°−∠COE， ∴＝＝2（定值）； 如图4，∵∠COE是∠AOC的差余角， ∴∠AOC−∠COE＝90°， ∴∠AOC＝90°＋∠COE， ∵∠BOC＝180°−∠AOC＝180°−（90°＋∠COE）＝90°−∠COE， ∴＝＝2（定值）， 综上所述，为定值． 【点睛】本题考查了新定义，角平分线的定义，角的和差的计算，正确的理解题意是解题的关键． 2．若，则称是的“倍角”，若，则称是的“倍补角”．已知，，的边与的边重合时，开始转动，在转动过程中射线始终平分．（图中所有的角均指小于平角的角） (1)如图1，当绕点顺时针旋转一个角，且在的内部，若，则_________；若，则_________（用含的式子表示）；写出图1中的一组存在“倍角”关系的角_________； (2)如图2，当绕点顺时针旋转（），且在的外部，请判断是否为的“倍角”，并说明理由； (3)①如图3，当绕点逆时针旋转一个小于的角，且射线已经过射线的反向延长线，请判断是否为的“倍补角”、并说明理由； ②如图3，若绕点逆时针旋转（），当是的“倍补角”时，请直接写出的取值范围_________． 【答案】(1)，；或 (2)是的“倍角”， 理由见解析； (3)①是的“倍补角”， 理由见解析；② 【分析】本题考查了角平分线的定义，角度的和差关系，掌握“倍角”， “倍补角”的定义是解题的关键； （1）根据题意得出，进而求得，当时，同理根据角度的和差关系可得；然后根据“倍角”定义写出一组“倍角”即可求解； （2）设，分别表示出和，即可求解； （3）①设，分别表示出和，即可求解； ②分四种情况讨论，分别画出图形，同理求得和，结合新定义，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵射线平分， ∴ ∴； 若，则 ∵射线平分， ∴， ∴ 又∵，， ∴ ∴ 故答案为：，． 图1中的一组存在“倍角”关系的角可以是：或 （2）是的“倍角”，理由如下， 设 ∵射线平分， ∴， ∵，， ∴， ∴ 即是的“倍角” （3）①是的“倍补角”，理由如下； 设， ∴， ∵射线平分， ∴ ∴ ∴ ∴，即是的“倍补角”； ②如图所示，当绕点逆时针旋转一个小于的角，且射线未过射线的反向延长线， 设， ∴， ∵射线平分， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴不是的“倍补角” 如图所示，当绕点逆时针旋转一个大于的角且小于等于，且射线已经过射线的反向延长线，由①可得，是的“倍补角” 当绕点逆时针旋转一个大于的角且小于，如图所示， 设， ∴， ∵射线平分， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴不是的“倍补角” 当时，如图所示， 设， ∴， ∵射线平分， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴不是的“倍补角” 综上所述，时，是的“倍补角” 故答案为：． 3．如图，两条直线AB、CD相交于点O，且，射线OM从OB开始绕O点逆时针方向旋转，速度为，射线ON同时从OD开始绕O点顺时针方向旋转，速度为两条射线OM、ON同时运动，运动时间为t秒本题出现的角均小于平角 当时，的度数为多少，的度数为多少；的度数为多少； 当时，若，试求出t的值； 当时，探究的值，问：t满足怎样的条件是定值；满足怎样的条件不是定值？ 【答案】（1），，；（2）t的值为秒或10秒；（3）当时，的值不是定值；当时，的值是3． 【分析】（1）根据时间和速度分别计算∠BOM和∠DON的度数，再根据角的和与差可得结论； （2）分两种情况：①如图所示，当时，②如图所示，当时，分别根据已知条件列等式可得t的值； （3）分两种情况，分别计算、和的度数，然后代入可得结论． 【详解】由题意得：， ， ， 故答案为，，； 当ON与OA重合时， 当OM与OA重合时， 如图所示，当时，， 由，可得， 解得， 如图所示，当时，，， 由，可得，解得， 综上，t的值为秒或10秒； 当时，， ，解得， 如图所示，当时，，， ， 不是定值， 如图所示，当时，，， ， 定值， 综上所述，当时，的值不是定值；当时，的值是3． 【点睛】本题主要考查了角的和差关系的计算，解决问题的关键是将相关的角用含t的代数式表示出来，并根据题意列出方程进行求解，以及进行分类讨论，解题时注意方程思想和分类思想的灵活运用． 4．如图1，点为直线上一点，过点在直线的下方作射线，将一个直角三角板的直角顶点放在处，一边和射线重合，另一边在直线的上方． (1)将图1中的三角形绕点逆时针旋转至图2情形，此时，恰好平分，求的度数； (2)若． ①将图1中的三角板绕点按每秒的速度逆时针旋转一周，在旋转过程中，第秒时，直线恰好平分，求的值； ②将图1中的三角板绕点逆时针旋转至图3情形，使在的内部，，，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1) (2)①或；② 【分析】此题考查了三角板中角度的计算，角平分线的等定义，角的计算； （1）由角的平分线的定义和等角的余角相等求解； （2）①分当线段的延长线平分时，当线段旋转至内部平分时，分别画出图形，根据旋转的度数除以旋转速度，即可求解； ②根据、，然后作差，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， ， ． （2）∵ ∴, ①当线段的延长线平分时，如图2 则此时, 三角板绕点逆时针旋转了， 秒　 当线段旋转至内部平分时，如图3 三角板绕点逆时针旋转了， 秒 综上所述，的值为或． ② ，， 、， ， ，， 所以与之间的数量关系为：． 5．将一副直角三角板如图1摆放在直线上（直角三角板和直角三角板．，，，），保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转直至边第一次重合在直线上，旋转时间记为秒． (1)当 秒时，平分； (2)①如图2，旋转三角板，使得、同时在直线的异侧，则与满足的数量关系为 ； ②如图3，继续旋转三角板，使得、同时在直线的右侧，猜想与满足怎样的数量关系？并说明理由． (3)若当三角板旋转到与重合的同时，另一个三角板也开始绕点以每秒的速度顺时针旋转，当旋转至直线上时同时停止．请说明在旋转过程中，与满足的数量关系． 【答案】(1) (2)①②，证明见解析 (3)或，理由见解析 【分析】本题考查了角的计算，认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系求出角的度数是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得到，计算即可求解； （2）根据题意得，求得，计算即可得到答案； 根据题意得，求得，计算即可得到答案； （3）分和两种情况计算即可． 【详解】（1）解：，平分， ， ， 故答案为：； （2）解：①由图2可知，， ， ， ， 故答案为：； ②，理由如下， 如图3，，， ， ， ； （3）解：或，理由如下， 秒， 秒， 当时， 当时， ， ， ， ， ， ； 当时，如图5， ， 优角， 优角， ， ． 6．如图1，直线上有一点O，过点O在直线上方作射线．最开始，将直角三角板的直角顶点放在O处， 一条直角边在射线上，另一边在直线上方，将直角三角板绕着点O按每秒 的速度逆时针旋转一周停止，设旋转时间为t秒． (1)若射线的位置保持不变，当 时，求旋转的时间t； (2)如图2，在旋转的过程中，若射线的位置保持不变，是否存在某个时刻，使得射线，与中的某一条射线是另两条射线所成夹角的平分线？ 若存在，求出所有满足题意的 t的取值，若不存在，请说明理由； (3)在三角板旋转过程的同时，射线绕着点O按每秒 的速度逆时针旋转，当 时，求出t的取值． 【答案】(1)或 (2)存在，或或 (3)或或 【分析】本题主要考查旋转的性质，角平分线，解一元一次方程，解答的关键是对所求的直线位置进行讨论，并结合图形分析清楚角之间的关系． （1）分两种情况讨论：当在下方时；当在上方时，再结合角的和差进行求解即可； （2）分①平分；②若平分；③若平分，三种情况进行讨论计算即可； （3）首先根据题意得到当与重合时，与重合时，与重合时的时间，之后再根据讨论即可． 【详解】（1）解：①如图，当在下方时， ， ， 直角三角板绕点按每秒的速度旋转， ； ②如图，当在上方时， ， ， 直角三角板绕点按每秒的速度逆时针旋转， ， 故当或时，； （2）解：①平分，， ，解得； ②若平分，， ，解得； ③若平分， ，解得， 综上所述，或或； （3）解：由题意得： 与重合时，，解得：， 与重合时，，解得：， 与重合时： ，解得：， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：（舍）； 当时，， 解得：； 当时，， 解得：． 综上所述：或或． 7．将一副直角三角板，，按如图叠加放置，其中与重合，，． (1)如图1，点在直线上，且位于点的左侧，求的度数； (2)将三角板从图位置开始绕点顺时针旋转，并记，分别为，的角平分线． ①当三角板旋转至如图的位置时，求的度数． ②若三角板的旋转速度为每秒，且转动到时停止，运动时间记为（单位：秒），试根据不同的的值，求的大小． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题考查了角度的计算，利用角平分线定义和角的和差； （1）先根据三角板的度数得到的度数，再用即可； （2）①由角平分线的定义可得，，再根据，整理可得的度数； ②当，，，，时，分情况讨论． 【详解】（1）解：，， ， ． （2）解：①，分别为，的角平分线， ，， ； ②设，依题意，三角形的运动总时间为秒， 当时，在内部， ，， ； 当时，在外部， 当时，，如图， 此时，， ∴； 当时， ∴ ； 当时， 若、在直线同侧， 则，， ，， ； 若、在直线异侧， 则，， ，， ； 综上所述，不论为何值时，的大小为或． 8．如图1，点是直线上一点，三角板（其中的边与射线重合，将它绕点以每秒顺时针方向旋转到边与重合；同时射线与重合的位置开始绕点以每秒逆时针方向旋转至，两者哪个先到终线则同时停止运动，设运动时间为秒． (1)若，，秒时，________°； (2)如图2，在运动过程中，射线始终平分． ①若，，当射线，，中，其中一条是另两条射线所形成夹角的平分线时，直接写出　　秒；（写出一个即可） ②当在的左侧，且与始终互余，求与之间的数量关系． 【答案】(1) (2)①或或；② 【分析】（1）根据，即可求解； （2）①当是的角平分线，当是的角平分线时，当是的角平分线时，分三种情况进行计算即可； ②由与始终互余，得出，进而可求解． 【详解】（1）解：当，，秒时， ，， ， ； 故答案为：； （2）解：①当是的角平分线时，如图所示： ， ， 又始终平分， ， ， ，解得； 当是的角平分线时，如图所示： ， 又始终平分， ，此时射线与重合， ， ，解得； 当是的角平分线时，如图所示： ， 又始终平分， ， ， 又， ，解得； 故答案为：或或； ②当在的左侧时，如图所示： ， 又始终平分，， 与始终互余， ，，， ， ，化简得． 【点睛】本题考查的是角平分线的定义、平角的定义、互余、解一元一次方程及角的和差倍分关系等你知识，采用数形结合的思想和分类讨论的思想，准确表示出各个相关角度的和差倍分关系是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$