专题11 基本平面图形重难点题型汇编(十三大题型）-2025-2026学年七年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（北师大版新教材）

专题11 基本平面图形重难点题型汇编 【题型1：多边形截角后的边数问题】.............................................................1 【题型2：多边形对角线问题】..............................................................2 【题型3：对角线分成三角形个数问题】......................................................2 【题型4：线段的和与差】..................................................................3 【题型5：线段中点的有关计算】............................................................3 【题型6：线段 n 等分点的有关计算】.......................................................4 【题型7：与线段有关的动点问题】..........................................................6 【题型8：与方向角有关的计算题】..........................................................9 【题型9：三角板中角度的有关计算问题】...................................................10 【题型10：几何图形中的有关角度的计算问题】..............................................13 【题型11：实际问题中的角度计算】........................................................16 【题型12：角度的四则运算】..............................................................18 【题型13：角 n分线的有关计算】.........................................................23 【题型1：多边形截角后的边数问题】 1．若一个多边形截去一个角后变成了六边形，则原来多边形的边数可能是（    ） A．5或6 B．6或7 C．5或6或7 D．6或7或8 2．如图，将一个长方形剪去一个角，则剩下的多边形为（    ）    A．五边形 B．四边形或五边形 C．三角形或五边形 D．三角形或四边形或五边形 3．若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数可能为（   ） A．5或6 B．4或5 C．3或4或5 D．4或5或6 4．把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状不可能是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【题型2：多边形对角线问题】 5．学习了多边形后，我们知道过多边形的一个顶点可作若干条对角线（三角形除外）．如图，四边形有1条对角线，五边形有2条对角线，过十二边形一个顶点的对角线有（　　） A．11条 B．10条 C．9条 D．8条 6．从七边形的一个顶点出发最多可以引出m条对角线，这些对角线将该多边形分割成n个三角形，则的值为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 7．从八边形的一个顶点出发，可以作对角线（    ） A．8条 B．7条 C．6条 D．5条 10．一个六边形共有 条对角线． 11．如果过某多边形的一个顶点的对角线有9条，则该多边形对角线一共有 条． 【题型3：对角线分成三角形个数问题】 8．过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成4个三角形，这个多边形是（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 9．从多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到2023个三角形，则这个多边形的边数为（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 12．过一个多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成2025个三角形，则这个多边形的边数为 ． 13．过一个多边形的一个顶点出发有4条对角线，这些对角线将这个多边形分成 个三角形． 14．过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，这个多边形是 边形． 15．从边形的一个顶点所引的对角线把这个边形分成3个三角形，则 ． 【题型4：线段的和与差】 1．如图，点，分别是线段的三等分点，是线段的中点，若线段的长是，则线段的长是 ． 2．如果A，B，C在同一条直线上，线段，，则A，C两点间的距离是 ． 3．已知：如图，点是线段的中点，点把线段分成的两部分，求线段的长． 【题型5：线段中点的有关计算】 1．已知：线段，是的中点，是的中点，是的中点，求的长．    2．如图，点C为线段上一点，点M、N分别是线段、的中点，回答下列问题： (1)试判断线段与之间的数量关系，并说明理由； (2)若点P是线段的中点，，，求线段的长． 5．已知点为线段的中点．点为线段上的点，点为线段的中点． (1)如图1，若线段，，求线段的长； (2)如图2，若，，求线段的长． 【题型6：线段 n 等分点的有关计算】 1．如图，将数轴上与6两点间的线段六等分，这五个等分点所对应数依次为，，，，，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．下图是一把长度为个单位的普通尺子，连同首尾共有个等分刻度．现用它度量长度为个单位的物体，可行性方案的个数为（   ） A． B． C． D． 3．在线段上选取种点，第1种是将线段等分的点；第2种是将线段等分的点；第3种是将线段等分的点，这些点连同线段的端点可组成线段的条数是（　　） A．350 B．595 C．666 D．406 4．数形结合是数学中常用的思想方法，而数轴是数形结合法解决问题的有效工具．数轴上两点、表示的数分别为，若，则、两点之间的距离，例：在数轴上点表示的数是5，点表示的数是15，则、两点间的距离为． 【定义】在数轴上，如果线段间从左往右的点，…，将线段等分，则这个点都叫做线段的等分点．若是靠近的第1个等分点，则记为，是靠近的第2个等分点，则记为，…是靠近的第个等分点，则记为． 【探究一】 如图1，在数轴上两点、表示的数分别为，若，则线段的二等分点表示的数为． 【探究二】 如图2，在数轴上两点、表示的数分别为，若，则线段上靠近点的第2个五等分点表示的数为 ． 【应用一】 如图3，（1）在数轴上两点、表示的数分别为、，则线段的距离为 ； （2）数轴上两点、表示的数分别为、4，则线段的距离为 ； （3）若线段上靠近的四等分点与线段上靠近的十等分点重合，请求出的值． 【应用二】 如图4，在数轴上两点、表示的数分别为和，若点从点以每秒3个单位的速度向右移动，同时点从点以每秒2个单位的速度向左移动，当两点出发时间为秒时，线段上靠近的等分点 与线段的三等分点重合，请直接写出此时的为 ． 【题型7：与线段有关的动点问题】 1．例：数轴上有点和点表示的数为、，则，两点之间的距离，若，则可化简为；线段的中点表示的数为． 【问题情境】 已知数轴上有、两点，分别表示的数为、，点以每秒个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点以每秒个单位的速度向左匀速运动． 【综合运用】 (1)运动开始前，、两点的距离为 个单位长度；线段的中点所表示的数是 ． (2)点运动秒后所在位置的点表示的数为 （用含的式子表示）． (3)它们按上述方式运动，、两点经过多少秒会相距个单位长度？ 2．如图，数轴上有三个点A，B，C，表示的数分别是，，7． (1)点A到点B的距离______，点B到点C的距离______； (2)若动点M，N分别从点B、点C出发，以每秒2个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右匀速运动，动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动，点M，N，P同时出发，设运动时间为t秒． ①t秒后，点M，N，P表示的数分别为______，______，______（用含t的代数式表示）； ②当t为何值时，动点M是线段的中点？ ③探究的值是否有变化？若无变化，请求出这个值；若有变化，请说明理由． 3．【知识背景】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，通过对数轴的研究，我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为、，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为．如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为． 【综合运用】 (1)填空：，两点间的距离________，线段的中点表示的数为________； (2)若为该数轴上的一点，且满足，求点所表示的数； (3)若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点匀速运动；同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，到达点后，再立即以同样的速度返回点，当点到达终点后，、两点都停止运动，设运动时间为秒（）． ①当为何值时，，两点第一次重合？ ②当为何值时，，两点间距离为？ 4．如图，M是定长线段上一定点，点C在线段上，点D在线段上，点C、点D分别从点M、点B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示．若点C、D运动时，总有，N是直线上一点，且，则 ． 5．如图，已知线段． (1)如图，点P沿线段自点A向点B以2厘米/秒运动，点P出发2秒后，点Q沿线段自B点向A点以3厘米/秒运动，问再经过几秒后； (2)如图，，，，点P绕着点O以60度/秒的速度逆时针旋转一周停止，同时点Q沿直线自点B向A点运动，假若P，Q两点能相遇，求点Q运动的速度． 6．如图，为原点，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，且满足． (1)________，_________； (2)若点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动的时间为（秒）． ①当点运动到线段上，且时，求的值； ②先取的中点，当点在线段上时，再取的中点，试探究的值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请用含的代数式表示． ③若点从点出发，同时，另一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速运动，到达点后立即原速返回向右匀速运动，点运动到点停止．当时，求的值． 【题型8：与方向角有关的计算题】 3．如图，的方向是北偏东，的方向是西北方向，的度数是（   ） A． B． C． D． 4．如图，一艘轮船行驶在处同时测得小岛、的方向分别为北偏东和西南方向，则等于（    ） A． B． C． D． 5．如图，甲沿北偏东方向前进，乙沿图示方向前进，甲与乙前进方向的夹角为，则此时乙位于地的（   ） A．南偏东 B．东偏南 C．南偏东 D．南偏东 4．如图，货轮在航行的过程中，发现灯塔在它北偏西的方向上，同时，在它南偏东的方向上又发现了小岛，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【题型9：三角板中角度的有关计算问题】 1．如图是由一副三角板拼凑得到的，图中的的度数为（    ） A．70° B．75° C．80° D．85° 2．如图，将一副三角板叠在一起，使它们的直角顶点重合于O点，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．将一副三角尺按如图的位置摆放，则与的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D．无法确定 4．一块直角三角板和直尺按如图方式放置，已知，则的度数为（  ） A． B． C． D． 5．把一副三角尺与按如图所示那样拼在一起，其中，，三点在同一条直线上，为的平分线，为的平分线，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．用一副三角尺不能拼成的角的度数是（　　） A． B． C． D． 7．一副三角板按图①的方式拼接在一起，其中边落在直线上，，，保持三角板不动，将三角板绕着点O顺时针旋转一个角度a（如图②），在转动过程中两块三角板始终在直线的上方，当平分时，a的值为（    ） A． B． C． D． 8．以直线上点O为端点作射线，使，将直角三角尺如图所示放置． (1)如图1，若放在射线上，则 ． (2)如图2，将直角三角尺绕点O按逆时针方向转动，使得平分，说明：所在射线是的平分线． (3)将直角三角尺绕点O按逆时针方向转动，使得．求的度数． 9．点为直线上一点，在直线上方作射线，使，直角三角板的直角顶点放在处．将直角三角板绕点转动，在转动过程中，直角边始终保持在直线上或上方． (1)如图，若三角板的直角边在射线上，则______； (2)绕点转动三角板， ①如图，当恰好平分时，试说明平分； ②在转动过程中，试探究与之间的数量关系，并给出证明． 10．有一副三角板． (1)如图1，将边放在直线上，求的度数； (2)如图2，三角板固定不动，边仍在直线上，把三角板绕点顺时针旋转一周． ①当平分时，求的度数； ②当时，请直接写出的度数． 【题型10：几何图形中的有关角度的计算问题】 1．已知：如图，平分，，，求的度数． 2．如图，是直线上一点，，平分，． (1)求的度数； (2)是否平分?并说明理由． 3．如图，是直线上一点，以为顶点作，且，位于直线两侧，平分． (1)当时，求的度数； (2)请你猜想和的数量关系，并说明理由． 4．【特例感知】 （1）如图1，已知线段，点A、B在线段MN上，点C和点D分别是和的中点，则______ ； 【知识迁移】 （2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知在内部（在的上方），射线和射线分别平分和； ①若，求的度数； ②若，用含α、β的代数式表示． 5．如图，将一副直角三角尺的顶点叠在一起放在点处，，，与重合，在外，射线、分别是、的角平分线 (1)求的度数； (2)如图2，若保持三角尺不动，三角尺绕点O逆时针旋转（且）时，其他条件不变，求的度数； (3)直接写出绕点O逆时针旋转（且）时的值； (4)在旋转的过程中，当时，直接写出的值． 6．互为余角的两个角的差为，求： (1)较大角的补角的度数； (2)较小角的补角与较大角的补角的差． 7．将一副三角尺叠放在一起． (1)如图（1），若，求的度数 (2)如图（2），若，求的度数． 8．已知：如图，在内部有． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，平分，平分，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，当从的位置开始，绕着点O以每秒的速度顺时针旋转t秒时，使，求t的值． 【题型11：实际问题中的角度计算】 1．七年级上册《数学实验手册》中有“三角尺拼角”的问题．将一副三角尺如图这样放置，就可画出，在实验中同学们发现用一副三角尺还能画出其他特殊角． (1)请你借助三角尺完成以下操作，并在所画图形上标注所使用三角尺的相应角度； ①设计用一副三角尺画出角的画图方案，并画出相应的几何图形； ②用一副三角尺能画出的角吗？__________．（填“能”或“不能”）． (2)利用一副三角尺在图中画出的角平分线，并在所画图形上标注所使用三角尺的相应角度． (3)如图，现有角的三种模板，，，请设计一种方案，只用给出的一种模板画出的角． 小冬想出了一个方案，利用角模板画出角，动手操作：如图，M、O、N三点在一条直线上，将的顶点B与点O重合，边与射线重合，如图所示，将绕点O逆时针旋转，得，再将绕点O逆时针旋转，得，……，如此连续操作18次，再利用两个平角等于一个周角，可得的角，即：． 请从或角模板中选一个你认为能画出角的模板，设计一个方案，并说明理由． (4)对于任意一个（n为正整数）角的模板，只用此模板是否一定能画出的角？请作出判断，并说明理由． 2．如图1，大课间的广播操展让我们充分体会到了一种整体的图形之美，欢欢和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为了方便研究，定义两手手心位置分别为，两点，两脚脚跟位置分别为，两点，定义，，，平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转： (1)填空：如图2，，，三点共线，且，则______° (2)第三节腿部运动中，如图3，欢欢发现，虽然，，三点共线，却不在水平方向上，且．她经过计算发现，的值为定值，请判断欢欢的发现是否正确，如果正确请求出这个定值，如果不正确，请说明理由； (3)第四节体侧运动中，乐乐发现，两腿左右等距张开且，开始运动前、、三点在同一水平线上，、绕点顺时针旋转，旋转速度为，旋转速度为，当旋转到与重合时，运动停止，如图4 ①运动停止时，直接写出______； ②请帮助乐乐求解运动过程中与的数量关系． 3．如图1，点为直线上一点，过点作射线，，，始终在的右侧，，． (1)如图1，当，平分时，求的度数； (2)如图2，当与边重合，在的下方时，，将绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转，使射线与的角平分线形成夹角为，求此时旋转一共用了多少秒； (3)当在直线上方时，若，点在射线上，射线绕点顺时针旋转度，恰好使得，平分，，请直接写出此时的值． 【题型12：角度的四则运算】 1．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 2．计算． (1)； (2)． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 4．计算： (1)； (2)． 【题型13：角 n分线的有关计算】 1．如图，点O在直线上，射线在直线的上方，平分，，已知，求的度数． 2．下列各题中，是的三等分线，是的三等分线，且，． (1)如图1，若点A，O，B在一条直线上，则______； (2)如图2，若点A，O，B不在一条直线上，且，求的度数； (3)如图3，若在的内部，则______． 3．如图1，直线与相交于点O，使．将一直角三角尺的直角顶点放在O处，即．    (1)当三角尺一边在的内部，且为的三等分线，求的度数？ (2)当三角尺一边在的内部（图2），求的值？ 4．【材料导读】 规定：在一个角的内部从角的顶点引出一条射线，这条射线与该角的一条边组成的角是原角的，则这条射线叫原角的“三等分线”． 【学以致用】 （1）如图1，若，则射线 的“三等分线”（填“是”或“不是”）； （2）如图2，已知，射线在的内部，射线是的“三等分线”，且 ，若，求的度数； 【拓展延伸】 （3）如图3，已知，点M，N分别在的边上，射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，同时射线绕点O以每秒的速度逆时针旋转，旋转到与边重合后停止；然后再按原速度绕点O开始顺时针旋转，旋转到与边重合后停止；然后再按原速度绕点O开始逆时针旋转，如此往返…，当射线与边重合后，射线都停止运动．设运动时间为t秒，当射线与第二次重合后，若射线是的“三等分线”，请直接写出t的值． 5．类比角平分线的概念，如果一条射线把一个角分成1：2两部分，则称这条射线为这个角的一条三等分线， (1)如图，已知，是的一条三等分线，．且，求的度数； (2)如图，，是的一条三等分线（），是的角平分线，是的角平分线．若以每秒5的速度绕点O逆时针旋转一周，旋转时间为t秒，当t为何值时，射线恰好是的一条三等分线． 6．已知∠AOB，射线OC在∠AOB的内部，射线OM是∠AOC靠近OA的三等分线，射线ON是∠BOC靠近OB的三等分线． (1)如图，若∠AOB＝120°，OC平分∠AOB， ①补全图形； ②填空：∠MON的度数为 ． (2)探求∠MON和∠AOB的等量关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 基本平面图形重难点题型汇编 【题型1：多边形截角后的边数问题】.............................................................1 【题型2：多边形对角线问题】..............................................................3 【题型3：对角线分成三角形个数问题】......................................................5 【题型4：线段的和与差】..................................................................7 【题型5：线段中点的有关计算】............................................................8 【题型6：线段 n 等分点的有关计算】......................................................11 【题型7：与线段有关的动点问题】.........................................................15 【题型8：与方向角有关的计算题】.........................................................24 【题型9：三角板中角度的有关计算问题】...................................................26 【题型10：几何图形中的有关角度的计算问题】..............................................35 【题型11：实际问题中的角度计算】........................................................44 【题型12：角度的四则运算】..............................................................51 【题型13：角 n分线的有关计算】.........................................................54 【题型1：多边形截角后的边数问题】 1．若一个多边形截去一个角后变成了六边形，则原来多边形的边数可能是（    ） A．5或6 B．6或7 C．5或6或7 D．6或7或8 【答案】C 【分析】实际画图，动手操作一下，可知六边形可以是五边形、六边形、七边形截去一个角后得到． 【详解】解：如图，原来多边形的边数可能是5，6，7． 故选C 【点睛】本题考查的是截去一个多边形的一个角，解此类问题的关键是要从多方面考虑，注意不能漏掉其中的任何一种情况． 2．如图，将一个长方形剪去一个角，则剩下的多边形为（    ）    A．五边形 B．四边形或五边形 C．三角形或五边形 D．三角形或四边形或五边形 【答案】D 【分析】沿对角线剪，沿一个角剪，沿一个角下方一点剪，进而得出结论． 【详解】解：如图所示，    故选：D． 【点睛】此题主要考查了多边形的角，此题应根据题意，结合图形进行操作，进而得出结论． 3．若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数可能为（   ） A．5或6 B．4或5 C．3或4或5 D．4或5或6 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的知识，一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条．根据一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，依此即可解决问题． 【详解】解：一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条， 则多边形的边数是4或5或6， 故选：D． 4．把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状不可能是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】D 【分析】本题考查了多边形．把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状可能是三角形或四边形或五边形． 【详解】解：把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状可能是三角形或四边形或五边形，不可能是六边形． 故选：D． .. 【题型2：多边形对角线问题】 5．学习了多边形后，我们知道过多边形的一个顶点可作若干条对角线（三角形除外）．如图，四边形有1条对角线，五边形有2条对角线，过十二边形一个顶点的对角线有（　　） A．11条 B．10条 C．9条 D．8条 【答案】C 【分析】本题考查了多边形对角线的条数问题，掌握相关知识是解题的关键． 根据从一个多边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是边数，即可得出答案． 【详解】解：四边形从一个顶点出发，可以画1条对角线， 五边形从一个顶点出发，可以画2条对角线， 六边形从一个顶点出发，可以画3条对角线， ∴边形从一个顶点出发，可以画条对角线， ∴十二边形从一个顶点出发，可以画9条对角线； 故选：C． 6．从七边形的一个顶点出发最多可以引出m条对角线，这些对角线将该多边形分割成n个三角形，则的值为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了多边形，代数式求值，掌握多边形的性质是解题关键．根据从边形的一个顶点出发最多可以引出条对角线，这些对角线将该多边形分割成个三角形，即可求解． 【详解】解：从七边形的一个顶点出发最多可以引出m条对角线，这些对角线将该多边形分割成n个三角形， 则，， 即， 故选：C． 7．从八边形的一个顶点出发，可以作对角线（    ） A．8条 B．7条 C．6条 D．5条 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的对角线，掌握多边形对角线的画法是解题的关键． 根据从多边形一个顶点出发可以引出（𝑛是多边形的边数，）条对角线，由此即可求解． 【详解】解：从八边形的一个顶点出发，可以作条对角线， 故选：D． 10．一个六边形共有 条对角线． 【答案】 【分析】本题考查了多边形对角线的条数问题，熟练掌握多边形对角线条数的计算方法是解题的关键．从六边形的一个顶点可以做对角线的条数为条，那么总共可以做条，即可得解． 【详解】解：从六边形的一个顶点可以做对角线的条数为条， 一个六边形总共可以做条， 故答案为：． 11．如果过某多边形的一个顶点的对角线有9条，则该多边形对角线一共有 条． 【答案】54 【分析】本题考查了多边形的对角线公式，熟记从每一个顶点出发可以作的对角线的条数为是解题的关键． 根据从每一个顶点出发可以作的对角线的总条数为计算即可得到该多边形的边数（或顶角数），然后由n边形的对角线总条数公式为进行解答． 【详解】解：：∵过一个多边形的一个顶点的对角线有9条， ∴多边形的边数为， ∴这个多边形是十二边形． ∴该多边形对角线一共有：(条)， 故答案为：54． 【题型3：对角线分成三角形个数问题】 8．过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成4个三角形，这个多边形是（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的对角线，牢记n边形从一个顶点出发可引出条对角线，把n边形分成个三角形，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴这个多边形是六边形． 故选D． 9．从多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到2023个三角形，则这个多边形的边数为（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的对角线，多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到的三角形个数=多边形的边数．可根据多边形的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到的三角形个数与多边形的边数的关系求解． 【详解】解：从多边形一条边上的一点（不是顶点）处出发，连接各个顶点得到2023个三角形，则这个多边形的边数为． 故选：C． 12．过一个多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成2025个三角形，则这个多边形的边数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多边形的对角线，经过n边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成个三角形，根据此关系式求边数． 【详解】解：设多边形有n条边，则 ， 解得：． 故这个多边形的边数是． 故答案为：． 13．过一个多边形的一个顶点出发有4条对角线，这些对角线将这个多边形分成 个三角形． 【答案】5 【分析】本题考查了多边形与对角线，多边形对角线分三角形数量的关系，理解并掌握多边形与对角线的关系是解题的关键． 变形从一个点的出发可以引出条对角线，可以得到的个三角形，由此即可求解． 【详解】解：根据题意可得，， 解得，， ∴该多边形是七边形， ∴， 即这些对角线将这个多边形分5个三角形， 故答案为：5 ． 14．过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，这个多边形是 边形． 【答案】七 【分析】本题考查了多边形的对角线，根据边形从一个顶点出发可分成个三角形，依此可得的值，掌握多边形对角线的性质是解题的关键． 【详解】解：这个多边形是边形， ∴，解得， 故答案为：七． 15．从边形的一个顶点所引的对角线把这个边形分成3个三角形，则 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了多边形的任意一点连其他各点得到的对角线的条数及组成的三角形的个数．根据多边形的任意一点连其他各点得到的对角线的条数及组成的三角形的个数比多边形少2，即可求解． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：5 【题型4：线段的和与差】 1．如图，点，分别是线段的三等分点，是线段的中点，若线段的长是，则线段的长是 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了两点间的距离，解题关键是正确识别图形，理解线段与线段之间的和差倍分关系． 先根据的长度和线段三等分点的定义，求出，再根据线段中点的定义求出，最后根据求出答案即可． 【详解】解：∵线段的长是，点分别是线段的三等分点， ， ∵是线段的中点， ． 故答案为：9． 2．如果A，B，C在同一条直线上，线段，，则A，C两点间的距离是 ． 【答案】4或8 【分析】本题考查两点间的距离，本题需要分析两种情况，当点在点的右侧时，当点在点的左侧时，分别求解即可，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：分两种情况： 当点在点的右侧时， ， ∵线段，， ∴， 当点在点的左侧时， ， ∵线段，， ∴， 综上所述，A，C两点间的距离是或 ， 故答案为：4或8． 3．已知：如图，点是线段的中点，点把线段分成的两部分，求线段的长． 【答案】 【分析】本题考查了两点间的距离，根据线段中点的性质，可得，根据线段的比，可得，根据线段的和差，可得答案，利用线段中点的性质得出，线段的比得出是解题关键． 【详解】解：是线段的中点，且， ， ， ， ， ． 【题型5：线段中点的有关计算】 1．已知：线段，是的中点，是的中点，是的中点，求的长．    【答案】 【分析】本题考查了线段的中点，线段的和差，根据中点，线段的和差，列式计算即可． 【详解】∵线段，是的中点， ∴． ∵是的中点， ∴． ∴． ∵是的中点， ∴． ∴． 故的长为． 2．如图，点C为线段上一点，点M、N分别是线段、的中点，回答下列问题： (1)试判断线段与之间的数量关系，并说明理由； (2)若点P是线段的中点，，，求线段的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据M、N分别是线段、的中点，得到，，根据，代入计算即可； （2）先求出，根据中点定义得到，再求出，根据中点定义得到，根据计算即可． 本题主要考查了线段的中点，线段的和差，熟练掌握线段中点的定义，线段的加减计算，是解决问题的关键． 【详解】（1），理由： ∵M、N分别是线段、的中点， ∴，， ∴； （2）∵，， ∴， ∵P是线段的中点， ∴， ∴， ∵N是线段的中点， ∴， ∴． 故线段的长为． 5．已知点为线段的中点．点为线段上的点，点为线段的中点． (1)如图1，若线段，，求线段的长； (2)如图2，若，，求线段的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查线段中点有关的计算． （1）由中点，求出和的长，再利用中点的意义即可求解； （2）根据题意求得，，再根据中点的意义计算即可． 【详解】（1）解：因为，点为线段的中点， 所以． 因为， 所以， 因为点为线段的中点， 所以； （2）解：因为点为线段的中点， 所以， 因为，， 所以， 所以，， 因为，点为线段的中点， 所以， 所以， 所以． 【题型6：线段 n 等分点的有关计算】 1．如图，将数轴上与6两点间的线段六等分，这五个等分点所对应数依次为，，，，，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算出-6与6两点间的线段的长度为12，再求出六等分后每个等分的线段的长度为2，从而求出，，，，表示的数，然后判断各选项即可． 【详解】解：∵-6与6两点间的线段的长度=6-（-6）=12， ∴六等分后每个等分的线段的长度=12÷6=2， ∴，，，，表示的数为：-4，-2，0，2，4， A、，故该选项正确，不符合题意； B、，故该选项错误，符合题意； C、，故该选项正确，不符合题意； D、，故该选项正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了数轴，两点间的距离，求出，，，，表示的数是解题的关键． 2．下图是一把长度为个单位的普通尺子，连同首尾共有个等分刻度．现用它度量长度为个单位的物体，可行性方案的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段，根据题意可知别以为端点、个单位长度的线段有条，据此解答即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，分别以为端点、个单位长度的线段有条， ∴可行性方案有个， 故选：． 3．在线段上选取种点，第1种是将线段等分的点；第2种是将线段等分的点；第3种是将线段等分的点，这些点连同线段的端点可组成线段的条数是（　　） A．350 B．595 C．666 D．406 【答案】D 【分析】本题主要考查了直线，射线及线段，解题的关键是找出所有的端点个数． 先找出重复的点，再求出所有的点的个数，即可求出线段的条数． 【详解】解：的最小公倍数为，重复的点的个数， 除端点外的点的个数为：， ∴连同线段的端点共个端点， ∴29个点可组成的线段的条数是， 故选：D． 4．数形结合是数学中常用的思想方法，而数轴是数形结合法解决问题的有效工具．数轴上两点、表示的数分别为，若，则、两点之间的距离，例：在数轴上点表示的数是5，点表示的数是15，则、两点间的距离为． 【定义】在数轴上，如果线段间从左往右的点，…，将线段等分，则这个点都叫做线段的等分点．若是靠近的第1个等分点，则记为，是靠近的第2个等分点，则记为，…是靠近的第个等分点，则记为． 【探究一】 如图1，在数轴上两点、表示的数分别为，若，则线段的二等分点表示的数为． 【探究二】 如图2，在数轴上两点、表示的数分别为，若，则线段上靠近点的第2个五等分点表示的数为 ． 【应用一】 如图3，（1）在数轴上两点、表示的数分别为、，则线段的距离为 ； （2）数轴上两点、表示的数分别为、4，则线段的距离为 ； （3）若线段上靠近的四等分点与线段上靠近的十等分点重合，请求出的值． 【应用二】 如图4，在数轴上两点、表示的数分别为和，若点从点以每秒3个单位的速度向右移动，同时点从点以每秒2个单位的速度向左移动，当两点出发时间为秒时，线段上靠近的等分点 与线段的三等分点重合，请直接写出此时的为 ． 【答案】[探究二] [应用以]（1） （2） （3） [应用二]秒或秒 【分析】[探究二]根据“探究一”的计算方法求值即可； [应用一]（1）根据两点之间距离的计算方法计算即可； （2）根据两点之间距离的计算方法计算即可； （3）根据题意，点表示的数为，点表示的数为，由此列式即可求解； [应用二]分别表示表示的数，点表示的数，的值，由线段三等分点的计算方法得到线段靠近点的三等分点的第一个点表示的数为，三等分的第二个点表示的数为，根据题意列式计算即可求解． 【详解】解：[探究二]， 故答案为：； [应用一] （1）点、表示的数分别为、， ∴， 故答案为：； （2）点、表示的数分别为、4， ∴， 故答案为：； （3）线段上靠近的四等分点表示的数为， 线段上靠近的十等分点表示的数为， ∴， 解得：； [应用二] 数轴上两点、表示的数分别为和，点从点以每秒3个单位的速度向右移动，同时点从点以每秒2个单位的速度向左移动，出发时间为秒， 线段上靠近的等分点 表示的数为， ∴点表示的数为，点表示的数为， 第一种情况，点在点左边，， ∴线段靠近点的三等分点的第一个点表示的数为， 三等分的第二个点表示的数为， ∵线段上靠近的等分点 与线段的三等分点重合， ∴当时，（秒）；当时，（秒）； 第二种情况，点在点右边，， ∴线段靠近点的三等分点的第一个点表示的数为， 三等分的第二个点表示的数为， ∵线段上靠近的等分点 与线段的三等分点重合， ∴当时，（秒）；当时，（秒）； 综上所述，线段上靠近的等分点 与线段的三等分点重合，此时的为秒或秒， 故答案为：秒或秒． 【点睛】本题主要考查数轴上点与有理数的对应，数轴上两点之间距离的计算，等分点的概念及计算方法，一元一次方程的运用等知识的综合，掌握数轴上两点之间距离的计算，一元一次方程的运用方法是解题的关键． 【题型7：与线段有关的动点问题】 1．例：数轴上有点和点表示的数为、，则，两点之间的距离，若，则可化简为；线段的中点表示的数为． 【问题情境】 已知数轴上有、两点，分别表示的数为、，点以每秒个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点以每秒个单位的速度向左匀速运动． 【综合运用】 (1)运动开始前，、两点的距离为 个单位长度；线段的中点所表示的数是 ． (2)点运动秒后所在位置的点表示的数为 （用含的式子表示）． (3)它们按上述方式运动，、两点经过多少秒会相距个单位长度？ 【答案】(1)， (2) (3)秒或秒 【分析】本题考查数轴上的点表示数，数轴上两点间距离，中点表示的数，用代数式表示线段的长，一元一次方程，数轴上的点表示数，数轴上两点间距离，中点表示的数，用代数式表示线段的长，一元一次方程是解题关键． （1）根据数轴两点距离求的距离，利用数轴中点坐标公式计算即可； （2）先求距离，再利用起点表示的数加或减距离即可求解； （3）根据相遇前与相遇后的等量关系分类讨论列一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：运动开始前， A、B两点的距离为， ∵， ∴M表示的数是， 故答案为：，； （2）解：根据题意，点A运动t秒后所在位置的点表示的数为：， 故答案为：； （3）解：设A、B两点经过t秒会相距4个单位长度， 点A运动t秒后所在位置的点表示的数为，点B运动t秒后所在位置的点表示的数为， 当点A在点B左侧时：， 解得； 当点A在点B右侧时： 解得， 答：它们按上述方式运动，A、B两点经过秒或秒会相距4个单位长度． 2．如图，数轴上有三个点A，B，C，表示的数分别是，，7． (1)点A到点B的距离______，点B到点C的距离______； (2)若动点M，N分别从点B、点C出发，以每秒2个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右匀速运动，动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动，点M，N，P同时出发，设运动时间为t秒． ①t秒后，点M，N，P表示的数分别为______，______，______（用含t的代数式表示）； ②当t为何值时，动点M是线段的中点？ ③探究的值是否有变化？若无变化，请求出这个值；若有变化，请说明理由． 【答案】(1)6，11． (2)①，，．②．③的值不变，为30． 【分析】本题考查数轴上的动点问题，两点之间的距离，列代数式，整式的加减，线段中点的有关计算，一元一次方程，掌握知识点是解题的关键． （1）根据数轴上两点之间的距离进行求解即可； （2）①根据数轴上两点之间的距离进行求解即可； ②先求出，当动点M是线段的中点时，，列方程求解即可； ③将代入，根据整式的加减进行化简，即可解答． 【详解】（1）解：∵A，B，C，表示的数分别是，，7， ∴． 故答案为：6，11． （2）①∵点B表示的数是，动点M从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动， ∴t秒后，点M表示的数为， ∵点C表示的数是7，动点N从点C出发，以每秒3个单位长度的速度向右匀速运动， ∴t秒后，N表示的数为， ∵点A表示的数是，动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动， ∴t秒后，P表示的数为． 故答案为：，，． ②∵点M，N，P分别表示的数是，，，且点P在点M的左边，点N在点M的右边， ∴， 当动点M是线段的中点时，， ∴， 解得． 答：当时，动点M是线段的中点． ③∵， ∴ ． 答：的值不变，为30． 3．【知识背景】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，通过对数轴的研究，我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为、，则，两点之间的距离，线段的中点表示的数为．如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为． 【综合运用】 (1)填空：，两点间的距离________，线段的中点表示的数为________； (2)若为该数轴上的一点，且满足，求点所表示的数； (3)若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点匀速运动；同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，到达点后，再立即以同样的速度返回点，当点到达终点后，、两点都停止运动，设运动时间为秒（）． ①当为何值时，，两点第一次重合？ ②当为何值时，，两点间距离为？ 【答案】(1)，； (2)或； (3)①；②或或． 【分析】本题考查数轴上两点间的距离公式、中点坐标公式、动点问题： （1）利用数轴上两点间距离公式和中点公式直接计算； （2）设点所表示的数为，分和和 三种情况讨论即可； （3）①，的路程和为时，两点第一次重合，列方程解答即可； ②分，两点相遇前、，两点相遇后且点未到达点前、从点返回后三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：、两点间的距离， 线段的中点表示的数为：； （2）设点表示的数为， ∵， ∴． 当时，，； 当时，，此方程无解； 当时，， ∴； ∴点表示的数为或； （3）解：①， ∴； ②当，两点相遇前，点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∴； 当，两点相遇后，点未到达点前，点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∴； 当点从点返回后，点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∴． ∴或或时，两点间距离为． 4．如图，M是定长线段上一定点，点C在线段上，点D在线段上，点C、点D分别从点M、点B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示．若点C、D运动时，总有，N是直线上一点，且，则 ． 【答案】或1 【分析】本题考查了两点间的距离，线段的三等分点，解题的关键是掌握线段的和差，等分线段的计算．设运动时间为t，， ，， ，再加上已知条件，就可以得到，再分两种情况讨论计算，当N在线段上时，N在线段延长线上时，分别求出比值即可． 【详解】解：设运动时间为t， ∵， ， ， ， ， ∴ ， ∴， ∴， ∴， 当N点在线段上时，如图所示， ∵， ， ∴， ∴，即； 当N点在线段的延长线上时，如图所示， ∵， ， ∴， ∴，即； 综上所述，或1． 故答案为：或1． 5．如图，已知线段． (1)如图，点P沿线段自点A向点B以2厘米/秒运动，点P出发2秒后，点Q沿线段自B点向A点以3厘米/秒运动，问再经过几秒后； (2)如图，，，，点P绕着点O以60度/秒的速度逆时针旋转一周停止，同时点Q沿直线自点B向A点运动，假若P，Q两点能相遇，求点Q运动的速度． 【答案】(1)再经过4秒后 (2)或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、线段的和差运算，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设再经过秒后，根据建立方程，解方程即可得； （2）要使得相遇，则必然要在线段上，此时点旋转的时间2秒或5秒，再分别求出的长，利用速度等于路程除以时间求解即可得． 【详解】（1）解：设再经过秒后， 由题意得：， 解得， 答：再经过4秒后． （2）解：要使得相遇，则必然要在线段上，此时点旋转的时间为秒或秒， ①当点旋转秒时，相遇， 则此时， 所以此时点运动的速度为； ②当点旋转5秒时，相遇， 则此时， 所以此时点运动的速度为； 综上，点运动的速度为或． 6．如图，为原点，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，且满足． (1)________，_________； (2)若点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动的时间为（秒）． ①当点运动到线段上，且时，求的值； ②先取的中点，当点在线段上时，再取的中点，试探究的值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请用含的代数式表示． ③若点从点出发，同时，另一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速运动，到达点后立即原速返回向右匀速运动，点运动到点停止．当时，求的值． 【答案】(1)； (2)①；②是，定值；③的值为或或或或 【分析】（1）根据非负数的性质即可求出、的值； （2）①先表示出运动秒后点对应的数为，再根据两点间的距离公式得出，，利用建立方程，求解即可； ②根据中点坐标公式分别表示出点、点表示的数，再计算即可； ③分三种情况：相遇前；相遇后；点返回到，；分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴， ， 故答案为：；； （2）①由（1）知：点表示的数为，点表示的数为， ∵点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动， ∴运动秒后点对应的数为， ∵点运动到线段上， ∴，， 当时，有， 解得：， ∴的值为； ②当点在线段上时， ∵点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴的中点表示的数是，，， 又∵的中点表示的数是，+ ∴， ∴， 即的值是定值，定值为； ③∵点从点出发，同时，另一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速运动，到达点后立即原速返回向右匀速运动，点运动到点停止， ∴运动秒后，点对应的数为， 当时，点在线段上向左运动，点对应的数为， 当时，点在线段上向右运动，点对应的数为， 当相遇前时，， 解得：； 当相遇后且点在线段上向左运动时，， 解得：； 当相遇后且点在线段上向右运动时，， 解得：或（舍去）； 点返回到，， 当点在点的左边时，； 当点在点的右边时，； 综上所述，当时，的值为或或或或． 【点睛】本题考查非负数的性质，数轴，两点间的距离公式，中点坐标公式，一元一次方程的应用．解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 【题型8：与方向角有关的计算题】 3．如图，的方向是北偏东，的方向是西北方向，的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了方向角，先确定，的度数，再求和即可． 【详解】如图， 根据题意得，，， ∴． 故选：C． 4．如图，一艘轮船行驶在处同时测得小岛、的方向分别为北偏东和西南方向，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查方向角，理解方向角的定义是正确解答的关键．根据方向角的定义进行计算即可． 【详解】解：由方向角的定义可知，，， ， ． 故选：C． 5．如图，甲沿北偏东方向前进，乙沿图示方向前进，甲与乙前进方向的夹角为，则此时乙位于地的（   ） A．南偏东 B．东偏南 C．南偏东 D．南偏东 【答案】C 【分析】本题考查了方位角问题，根据题意，结合角的关系，即可得出结论． 【详解】解：甲沿北偏东方向前进， 又甲与乙前进方向的夹角为， 根据角的关系，可得：， 乙位于地的南偏东， 故选：C． 4．如图，货轮在航行的过程中，发现灯塔在它北偏西的方向上，同时，在它南偏东的方向上又发现了小岛，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了方向角，根据题意可得：，，，从而可得，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：如图： 由题意得：，，， ∴， ∴， 故选：A． 【题型9：三角板中角度的有关计算问题】 1．如图是由一副三角板拼凑得到的，图中的的度数为（    ） A．70° B．75° C．80° D．85° 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理．在及中，可求出及的度数，再在中，利用三角形内角和定理，即可求出的度数． 【详解】解：根据题意，，， 在中，， 故选：B． 2．如图，将一副三角板叠在一起，使它们的直角顶点重合于O点，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角板角的计算，熟知直角三角板的特点是解题的关键． 由题意可得：，先根据角的和差求得，再根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵，是一副直角三角板， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 3．将一副三角尺按如图的位置摆放，则与的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查的是三角尺中角的计算，熟练掌握三角尺中各个角的度数是解决本题的关键．根据三角尺的摆放特点，计算出，，再求解即可． 【详解】解：由题意得， ， ， 故选：A． 4．一块直角三角板和直尺按如图方式放置，已知，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角度的计算，通过平角，直角的应用，即可计算出的度数． 【详解】解：如图，， ∵， ∴． 故选：A． 5．把一副三角尺与按如图所示那样拼在一起，其中，，三点在同一条直线上，为的平分线，为的平分线，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的计算，利用角平分线的定义计算角的度数是解题的关键． 根据平角的定义得到，根据角平分线的定义得到，，计算即可得到答案． 【详解】解： ，，三点在同一条直线上，， 为的平分线， ， 为的平分线， ， ， 故选：C ． 6．用一副三角尺不能拼成的角的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图形拼组知识，正确记忆一副三角板的角的度数，结合题意分析解答即可．一副三角板有以下几个角度：，，，；只要其中的两个角相加或者相减后能得出的角都可以用一副三角板拼出． 【详解】解：、可以用拼出，不符合题意． 、可以用拼出，不符合题意． 、无法用一副三角板拼出，符合题意． 、可以用拼出，不符合题意． 故选：． 7．一副三角板按图①的方式拼接在一起，其中边落在直线上，，，保持三角板不动，将三角板绕着点O顺时针旋转一个角度a（如图②），在转动过程中两块三角板始终在直线的上方，当平分时，a的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角平分线及角的和差．根据角平分线的定义求出，得出，根据平角求出．解题的关键是数形结合，熟练掌握角平分线的定义． 【详解】解：如图， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：D． 8．以直线上点O为端点作射线，使，将直角三角尺如图所示放置． (1)如图1，若放在射线上，则 ． (2)如图2，将直角三角尺绕点O按逆时针方向转动，使得平分，说明：所在射线是的平分线． (3)将直角三角尺绕点O按逆时针方向转动，使得．求的度数． 【答案】(1)30 (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查了角平分线定义和角的计算，能根据图形和已知求出各个角的度数是解此题的关键． （1）把数值代入，进行计算，求出即可； （2）求出，根据求出，，推出，即可得出答案； （3）根据平角等于进行列式计算，求出的度数即可． 【详解】（1）解：∵， 又∵， ∴， 故答案为：30； （2）解：∵平分， ∴ ∵， ∴，， ∴， ∴所在射线是的平分线； （3）解：设， 则， ∵，， ∴或 ∴或， 即或 ∴或． 9．点为直线上一点，在直线上方作射线，使，直角三角板的直角顶点放在处．将直角三角板绕点转动，在转动过程中，直角边始终保持在直线上或上方． (1)如图，若三角板的直角边在射线上，则______； (2)绕点转动三角板， ①如图，当恰好平分时，试说明平分； ②在转动过程中，试探究与之间的数量关系，并给出证明． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②当在上方时，；当在下方且在上方时，；当在下方且在下方时，，证明见解析 【分析】（）根据平角的定义解答即可； （）①设，可得，即得，，即得到，即可求证；②分三种情况：当在上方时；当在下方且在上方时；当在下方且在下方时，分别画出图形，利用角的和差关系解答即可求证； 本题考查了角的和差，角平分线的定义，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：； （2）解：①设， ∵恰好平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分； ②当在上方时，． 证明：如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当在下方且在上方时，． 证明：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当在下方且在下方时，． 证明：如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 10．有一副三角板． (1)如图1，将边放在直线上，求的度数； (2)如图2，三角板固定不动，边仍在直线上，把三角板绕点顺时针旋转一周． ①当平分时，求的度数； ②当时，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了角的计算，一元一次方程，角平分线的定义，正确认识图形是解题的关键． （1）根据题意，结合图形，可得到的度数； （2）①根据图2，结合角平分线，得到的度数，从而得到结果； ②根据旋转的不同位置，得到角度之间的数量关系，得到结果． 【详解】（1）解：如图1， ，， ， 即； （2）解：①如图2，当未旋转到时， ， ， 平分， ， ， ； ②如图2，当旋转到，且未到的延长线时，， 设，则， ， ， 解得， ， 如图3，设，则， ， ， ， 解得， 即， 当旋转超过延长线时，不存在，故不符合题意， 综上所述，的度数为或． 【题型10：几何图形中的有关角度的计算问题】 1．已知：如图，平分，，，求的度数． 【答案】 【分析】此题考查了角平分线的定义，角的和差计算，首先求出，，然后由角平分线得到，进而求解即可． 【详解】解：因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 因为平分， 所以， 所以， 所以． 2．如图，是直线上一点，，平分，． (1)求的度数； (2)是否平分?并说明理由． 【答案】(1) (2)平分，理由见解析 【分析】本题考查角的和差，角平分线的定义，垂直的定义． （1）根据角平分线的定义可求出，进而根据即可求解； （2）根据角的和差求得，即可解答． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴ ， ∵， ∴； （2）解：平分，理由如下： 理由：∵，， ∴， ∴， ∴平分． 3．如图，是直线上一点，以为顶点作，且，位于直线两侧，平分． (1)当时，求的度数； (2)请你猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算．明确角度之间的数量关系是解题的关键． （1）由题意知，，由平分，可得，根据，计算求解即可； （2）同（1）计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 4．【特例感知】 （1）如图1，已知线段，点A、B在线段MN上，点C和点D分别是和的中点，则______ ； 【知识迁移】 （2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知在内部（在的上方），射线和射线分别平分和； ①若，求的度数； ②若，用含α、β的代数式表示． 【答案】（1）24；（2）①；② 【分析】本题考查了线段中点以及角平分线的有关计算，掌握整体思想是解题关键． （1）根据题意可得，再由线段中点的定义可得，即可求解； （2）①根据题意先求出，再根据角平分线的定义可得，即可求解；②根据题意先求出，再根据角平分线的定义可得，即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵点和点分别是和的中点， ，， ∴， ∴； 故答案为：； （2）①∵， ∴， ∵射线和射线分别平分和， ，， ∴， ； ②∵， ∴， ∵射线和射线分别平分和， ，， ∴， 5．如图，将一副直角三角尺的顶点叠在一起放在点处，，，与重合，在外，射线、分别是、的角平分线 (1)求的度数； (2)如图2，若保持三角尺不动，三角尺绕点O逆时针旋转（且）时，其他条件不变，求的度数； (3)直接写出绕点O逆时针旋转（且）时的值； (4)在旋转的过程中，当时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)或． 【分析】此题考查了角平分线的定义、角的和差等知识． （1）根据角平分线的定义得到，即可得到答案； （2）根据角平分线的定义得到，然后分两种情况：当时，；当时，，即可求出答案； （3）根据角平分线的定义即可求出答案； （4）分两种情况求出答案即可． 【详解】（1）解：∵，，射线、分别是、的角平分线， ∴， ∴； （2）解：∵，，，    ` ∴， ∵射线是的角平分线， ∴， 当时，， ∵射线是的角平分线， ∴， ∴； 当时，， ∵射线是的角平分线， ∴， ∴； 综上所述，的度数为； （3）解：当时， ∵射线、分别是、的角平分线，， ∴，， ∴， 当时， ∵射线、分别是、的角平分线，， ∴，，， ∴， 当时， ∵射线、分别是、的角平分线，， ∴，， ∴， ∴， 综上可知，的度数恒为，与旋转角度无关； （4）解：当时， 由叠合可得， ∴． 由（3），当时，， ∴， ∴， 当时，， ∴（舍去）， ∴的值为或． 6．互为余角的两个角的差为，求： (1)较大角的补角的度数； (2)较小角的补角与较大角的补角的差． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了余角和补角的计算，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握以上知识点． （1）设较大角为x，则较小角为，根据题意列方程求解求出较大角的度数为，然后根据补角的定义求解即可； （2）首先求出较小角的度数，然后求出较小角的补角的度数，进而求解即可． 【详解】（1）解：设较大角为x，则较小角为， 根据题意得， 解得， ∴较大角的度数为， ∴较大角的补角的度数为； （2）解：∵较大角的度数为， ∴较小角的度数为， ∴较小角的补角的度数为， ∴较小角的补角与较大角的补角的差为． 7．将一副三角尺叠放在一起． (1)如图（1），若，求的度数 (2)如图（2），若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角板中的角度计算，熟知三角板中的角度是解题的关键． （1）由三角板的信息可知，再由角的和差关系即可得出． （2）设，则，由题意可知，即可得出，解出x即可得出，最后根据角的和差关系即可得出答案． 【详解】（1）解：， ∴，， ∴． （2）解： 设，则， ∵， ∴， 解得， 即， ∴ 8．已知：如图，在内部有． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，平分，平分，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，当从的位置开始，绕着点O以每秒的速度顺时针旋转t秒时，使，求t的值． 【答案】(1) (2) (3)19 【分析】本题考查了角的计算，角平分线的定义，关键是根据图形理清角之间的和差关系． （1）根据 计算即可； （2）先利用角平分线的定义求得，再利用求解即可； （3）根据题意可得，，再根据，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴    ． （2）解：∵平分，平分，，， ∴，， ， ∴． （3）解：由题意可知，， ， ∵， ， ． 【题型11：实际问题中的角度计算】 1．七年级上册《数学实验手册》中有“三角尺拼角”的问题．将一副三角尺如图这样放置，就可画出，在实验中同学们发现用一副三角尺还能画出其他特殊角． (1)请你借助三角尺完成以下操作，并在所画图形上标注所使用三角尺的相应角度； ①设计用一副三角尺画出角的画图方案，并画出相应的几何图形； ②用一副三角尺能画出的角吗？__________．（填“能”或“不能”）． (2)利用一副三角尺在图中画出的角平分线，并在所画图形上标注所使用三角尺的相应角度． (3)如图，现有角的三种模板，，，请设计一种方案，只用给出的一种模板画出的角． 小冬想出了一个方案，利用角模板画出角，动手操作：如图，M、O、N三点在一条直线上，将的顶点B与点O重合，边与射线重合，如图所示，将绕点O逆时针旋转，得，再将绕点O逆时针旋转，得，……，如此连续操作18次，再利用两个平角等于一个周角，可得的角，即：． 请从或角模板中选一个你认为能画出角的模板，设计一个方案，并说明理由． (4)对于任意一个（n为正整数）角的模板，只用此模板是否一定能画出的角？请作出判断，并说明理由． 【答案】(1)①见解析；②不能 (2)见解析 (3)选用，理由见解析 (4)不一定能，理由见解析 【分析】（1）①用一副三角尺画出角的画图方案，用含的两个角拼接即可求解; ②根据用一副三角板可以直接画出角的度数是15的倍数可解答； （2）根据题意设计一个，一边与射线重合，另一边即为角平分线， （3）根据题目所给的方案，进行设计即可求解； （4）根据角度的四则运算进行判断即可求解． 【详解】（1）解： ①用一副三角尺画出角，如图所示， ②用一副三角板可以直接画出角的度数是15的倍数， ∴用一副三角尺能不能画出的角， 故答案为：不能． （2）解：如图所示， （3）选用， 用的角旋转15次，则，与差， 再旋转16次，得到，与周角差， 再旋转16次，得到，超过始边 ∴绕点O逆时针旋转，得， 再将绕点O逆时针旋转， 得，……，如此连续操作47次， 可得的角， 即：． （4）对于任意一个（n为正整数）角的模板，只用此模板不一定能画出的角 例如，，此时无论如何旋转，都不能得到的角 【点睛】本题考查了三角板中的角度计算，角平分线的定义，角度的计算，理解题意是解题的关键． 2．如图1，大课间的广播操展让我们充分体会到了一种整体的图形之美，欢欢和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为了方便研究，定义两手手心位置分别为，两点，两脚脚跟位置分别为，两点，定义，，，平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转： (1)填空：如图2，，，三点共线，且，则______° (2)第三节腿部运动中，如图3，欢欢发现，虽然，，三点共线，却不在水平方向上，且．她经过计算发现，的值为定值，请判断欢欢的发现是否正确，如果正确请求出这个定值，如果不正确，请说明理由； (3)第四节体侧运动中，乐乐发现，两腿左右等距张开且，开始运动前、、三点在同一水平线上，、绕点顺时针旋转，旋转速度为，旋转速度为，当旋转到与重合时，运动停止，如图4 ①运动停止时，直接写出______； ②请帮助乐乐求解运动过程中与的数量关系． 【答案】(1)90 (2)正确，代数式的值为； (3)①；②当时，；当时，． 【分析】（1）由A，O，B三点共线，可得出，再由两角相等，可得出； （2）由，设，则，分别表达和，再求比值，可得结论； （3）①算出运动停止时的时间，求出运动的角度，进而求出的度数；②由的运动过程可知，需要分类讨论，在点C，O，A共线前，和共线后两种状态，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵A，O，B三点共线， ∴， ∵， ∴． 故答案为：90； （2）∵， 设，则， ∴，， ∴． ∴欢欢的发现是正确的，代数式的值为； （3）解：∵， ∴，， 设运动时间为，则，则． ①运动停止时，即时，OA旋转的角度为， ∴， 故答案为：； ②当点C，O，A三点共线时，； ∴当时，，， ∴； 当时，， ， ∴． 综上，当时，；当时，． 【点睛】本题主要考查角的和差的相关计算，发现图形中角之间的和差关系是解题关键． 3．如图1，点为直线上一点，过点作射线，，，始终在的右侧，，． (1)如图1，当，平分时，求的度数； (2)如图2，当与边重合，在的下方时，，将绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转，使射线与的角平分线形成夹角为，求此时旋转一共用了多少秒； (3)当在直线上方时，若，点在射线上，射线绕点顺时针旋转度，恰好使得，平分，，请直接写出此时的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查角度的和差计算，涉及角平分线的性质，分类讨论思想等，根据射线的位置不确定，进行分类讨论是解题关键． （1）由角平分线的性质可得的度数，再根据可得结论； （2）需要分两种情况进行讨论，①当点在的右侧时；②当点在的左侧时，画出图形，根据角度之间的和差关系计算即可； （3）根据题意分两种情况，当和时，画出图形，根据角度的和差运算进行计算即可． 【详解】（1）解：，平分， ， ， ； （2）解：由（1）知，，设旋转时间为， ①当点在的右侧时，， ， ； ； ②当点在的左侧时，， ， ； 综上，旋转一共用了或； （3）解：为或． 当时，如图， ， ， ， ， ， ， ， ，， 平分， ， ， 解得； 当时，如图， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， 解得； 综上，为或． 【题型12：角度的四则运算】 1．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题包含四个角的运算问题，需要根据度、分、秒的进制，按照先乘除后加减、有括号先算括号内的运算顺序进行计算． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． 【点睛】本题考查了度分秒的四则运算，掌握度、分、秒之间的进制关系，按照运算顺序进行计算是解题的关键． 2．计算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了度分秒的计算． （1）按照度与度，分与分，秒与秒相加，根据度分秒之间的换算进制，把满60的单位向它前面的单位进1，进行计算即可； （2）按照度与度，分与分，秒与秒相加减，根据度分秒之间的换算进制，把满60的单位向它前面的单位进1，进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查角度的运算，熟练掌握度、分、秒的进制是解题的关键． （1）两个度数相加，度与度，分与分对应相加，分的结果若满，则转化为度； （2）首先将度转化为分，然后计算除法即可； （3）根据角度的乘法运算法则求解即可； （4）首先计算括号内加法，然后计算减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 4．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了进行度、分、秒的混合运算，是角度计算中的一个难点，注意以60为进制即可． （1）进行度、分、秒的加减混合运算即可； （2）先进行度、分、秒的乘法计算，再算减法． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型13：角 n分线的有关计算】 1．如图，点O在直线上，射线在直线的上方，平分，，已知，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角的计算，角平分线定义，邻补角性质，掌握角的和差计算，角平分线定义，邻补角性质是解题的关键． 设，根据邻补角性质可得，由角平分线定义可得：，即可得到，求出x的值，进而得出答案． 【详解】解：， 可设，则，， ， ， 又平分， ， ，即， ， 解得：， 2．下列各题中，是的三等分线，是的三等分线，且，． (1)如图1，若点A，O，B在一条直线上，则______； (2)如图2，若点A，O，B不在一条直线上，且，求的度数； (3)如图3，若在的内部，则______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查角的n等分线，角的和与差，利用数形结合的思想是解题关键． （1）根据题意可知，，再根据求解即可； （2）由（1）同理可知，即可求解； （3）由（1）同理可知，，再根据即可求解． 【详解】（1）解：∵是的三等分线，是的三等分线，且，， ∴，， ∴． 故答案为：； （2）解：由（1）可知； （3）解：∵是的三等分线，是的三等分线，且，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 3．如图1，直线与相交于点O，使．将一直角三角尺的直角顶点放在O处，即．    (1)当三角尺一边在的内部，且为的三等分线，求的度数？ (2)当三角尺一边在的内部（图2），求的值？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等分角问题，角的和差； （1）由为的三等分线，得 ，或 ，即可求解； （2）由角的和差得，，即可求解； 能根据角的等分线不确定性分类求解，用已知角的和差表示所求角是解题的关键． 【详解】（1）解： 为的三等分线， ， 或 ， ， 或； 故的度数为或； （2）解：∵， ， ∴， ， ∴ ． 4．【材料导读】 规定：在一个角的内部从角的顶点引出一条射线，这条射线与该角的一条边组成的角是原角的，则这条射线叫原角的“三等分线”． 【学以致用】 （1）如图1，若，则射线 的“三等分线”（填“是”或“不是”）； （2）如图2，已知，射线在的内部，射线是的“三等分线”，且 ，若，求的度数； 【拓展延伸】 （3）如图3，已知，点M，N分别在的边上，射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，同时射线绕点O以每秒的速度逆时针旋转，旋转到与边重合后停止；然后再按原速度绕点O开始顺时针旋转，旋转到与边重合后停止；然后再按原速度绕点O开始逆时针旋转，如此往返…，当射线与边重合后，射线都停止运动．设运动时间为t秒，当射线与第二次重合后，若射线是的“三等分线”，请直接写出t的值． 【答案】（1）是；（2）；（3）t值为s或9s 【分析】本题考查了角的计算，熟练掌握角的和差倍分是关键． （1）根据题意解答即可； （2）根据三等分线列出等式计算即可． （3）先计算出，再分两种情况讨论即可． 【详解】解：（1）， ， ∴是的三等分线， 故答案为：是； （2）， ， ， ； （3）当与第二次重合时，从转向，此时，， ，， ∴当后， 当时，此时，向转动，此时，， 当 时， ， ∴， 当时， ， ． 综上，t值为或． 5．类比角平分线的概念，如果一条射线把一个角分成1：2两部分，则称这条射线为这个角的一条三等分线， (1)如图，已知，是的一条三等分线，．且，求的度数； (2)如图，，是的一条三等分线（），是的角平分线，是的角平分线．若以每秒5的速度绕点O逆时针旋转一周，旋转时间为t秒，当t为何值时，射线恰好是的一条三等分线． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据角的三等分线的意义进行计算求解； （2）根据角平分线的定义和角的三等分线的意义，分两种情况进行计算求解． 【详解】（1）解：，OC是的一条三等分线，且， ； （2）解：，OC是的一条三等分线，且， ，． ∵OE是的角平分线，OF是∠AOB的角平分线， ∴，， ， ． 设旋转后的角为，旋转的时间为t秒， 如图2-1，当OB是的一条三等分线，且时， ， ， ， 解得(秒)； 如图2-2，当OB是的一条三等分线，且时， ， ， ， 解得(秒)， 当秒或秒时，射线OB恰好是的一条三等分线． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，理解角平分线、角三等分线的意义是正确解答的前提． 6．已知∠AOB，射线OC在∠AOB的内部，射线OM是∠AOC靠近OA的三等分线，射线ON是∠BOC靠近OB的三等分线． (1)如图，若∠AOB＝120°，OC平分∠AOB， ①补全图形； ②填空：∠MON的度数为 ． (2)探求∠MON和∠AOB的等量关系． 【答案】(1)①见解析；② (2)，见解析 【分析】（1）①根据∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，先求出∠BOC=∠AOC=，    在根据OM是∠AOC靠近OA的三等分线，求出∠AOM=，根据ON是∠BOC靠近OB的三等分线，∠BON=，然后在∠AOB内部，先画∠AOC=60°，在∠AOC内部，画∠AOM=20°，在∠BOC内部，画∠BON即可； ②根据∠AOM=，∠BON=，∠AOB＝120°，可求∠MON=∠AOB-∠AOM-∠BON=120°-20°-20°=80°即可； （2）根据OM是∠AOC靠近OA的三等分线， ON是∠BOC靠近OB的三等分线．可求∠AOM=，∠BON=，可得 ． 【详解】（1）①∵∠AOB＝120°，OC平分∠AOB， ∴∠BOC=∠AOC=，     ∵OM是∠AOC靠近OA的三等分线， ∴∠AOM=， ∵ON是∠BOC靠近OB的三等分线， ∴∠BON=， 在∠AOB内部，先画∠AOC=60°，在∠AOC内部，画∠AOM=20°，在∠BOC内部，画∠BON， 补全图形； ②∵∠AOM=，∠BON=，∠AOB＝120°， ∴∠MON=∠AOB-∠AOM-∠BON=120°-20°-20°=80°， ∴∠MON的度数是80°， 故答案为：80° （2）∠MON=∠AOB． ∵OM是∠AOC靠近OA的三等分线， ON是∠BOC靠近OB的三等分线． ∴∠AOM=，∠BON=， ∴ ， ， ， ． 【点睛】本题考查画图，角平分线定义，等分角，掌握角平分线定义，等分角，根据角的度数画角是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $