精品解析：浙江绍兴市诸暨市2026年5月高三适应性考试数学试卷

诸暨市2026年5月高三适应性考试试题 数学 注意： 1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟． 2．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂､写在答题纸上． 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数乘法计算. 【详解】. 故选：D 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用集合的并运算求集合. 【详解】由题设. 故选：D 3. 若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则的值为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出双曲线的右焦点坐标，根据抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合可得. 【详解】由双曲线得，所以，， 所以双曲线的右焦点为， 因为抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合， 所以，所以. 故选：A 4. 已知函数，则是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由分段函数解析式中自变量的范围，先求，再求即可. 【详解】由题设，， ∴. 故选：C. 5. 在二项式展开式中，若某一项含有不能化为有理数的根式（即字母指数不全为整数，或化简后仍含无限不循环小数形式的根式），则该项称为无理项．在的展开式中（ ） A. 一定有常数项，没有无理项 B. 一定有常数项，可能有无理项 C. 一定没有无理项，没有常数项 D. 一定没有无理项，可能有常数项 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项式展开式通项、无理项以及常数项的求解分析求解即可. 【详解】的通项公式 . 由于 都是整数，因此的指数必为整数. 原式展开为，所有项的指数要么是，要么是 ， 且所有项的系数都是整数，因此一定没有无理项. 若常数项来自乘的项，令，当为偶数时，是整数，存在该项，因此有常数项； 若常数项来自​乘的项：令 ，当为奇数时，是整数， 且满足，存在该项，因此也有常数项. 对任意正整数，要么为奇数要么为偶数，总有常数项存在，因此一定有常数项. 综上，一定有常数项，没有无理项. 6. 已知正三棱台的上､下底面的边长分别为2和4，且棱台的侧面与底面所成的二面角为，则此三棱台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】正三棱台上下底面为等边三角形，计算边心距差，结合侧面与底面所成的二面角求出斜高，进而得到三棱台的侧面积. 【详解】 如图，是上、下底面的中心，，为在上的垂足， 棱台的侧面与底面所成的二面角为 分别为边长为2和4的等边三角形， ，，， 所以三棱台的侧面积为. 7. 已知是的等差中项，若圆上到直线的距离为1的点有且仅有3个，则直线的斜率为（ ） A. 或 B. 或 C. 2或-2 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】先根据等差中项性质得到的关系，再由圆上点到直线距离为1的点的个数确定圆心到直线距离，最后结合点到直线距离公式求出直线斜率. 【详解】 因为是 的等差中项，所以，即， 由题意可得圆 的圆心为，半径， 若圆上到直线距离为的点恰好有个， 则圆心到直线的距离， 根据点到直线的距离公式，圆心到的距离：  ，又因为， 所以 ，整理得，即， ， 所以 直线的斜率，因此，即. 8. 已知，且满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用差角的余弦公式及辅助角公式化简，再利用正弦函数性质列出不等式求解. 【详解】由，得， 则， 其中由确定， 因此，解得， 所以的取值范围是. 二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 随机变量，则 B. 随机变量服从两点分布，且，则 C. 随机变量的分布列为，则 D. 随机变量满足，且，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正态分布、两点分布以及数学期望、概率的性质求解即可. 【详解】选项A：随机变量，根据正态分布性质，则，选项A正确； 选项B：随机变量服从两点分布，且，则，进而 ，选项B正确； 选项C：随机变量的分布列为，则 ，解得，选项C错误； 选项D：随机变量满足，且，则，进而 ，选项D正确. 10. 设的内角的对边分别为，若，且，则（ ） A. B. C. 的面积可以是1 D. 的周长可以是3 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A、B选项，由正弦定理结合两角和的正弦定理可求出角C即可； 对于C，利用基本不等式可得，结合三角形面积公式可求解； 对于D，利用余弦定理可得的最小值，从而得到周长的最小值. 【详解】已知， 由正弦定理可得， ， ， ，，， 即.所以B正确；根据已知条件无法得出，所以A错误； 对于C：，又，，当且仅当时等号成立， ，所以C错误； 对于D：由余弦定理 ，，即，当且仅当等号成立. 此时，，所以的周长范围为. 当，即时， ，则存在实数解. 所以D正确. 11. 如图，圆柱被平面所截而得的几何体的截面是椭圆，则将其侧面展开后得到的曲线恰好是函数在一个周期内的图象，则（ ） A. 圆柱底面的直径为 B. 圆柱底面和平面所成角为，则 C. 椭圆的焦距长为 D. 椭圆的离心率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】当截面椭圆上的点在正弦曲线上移动时，它在底面的投影点在正弦曲线下方的直线上移动，所以底面周长就等于正弦函数的一个周期，可判断A；椭圆的长轴两端对应正弦曲线的波谷和波峰，可得两端的高度差，又因为长轴在底面的投影为底面直径，故可得截面和底面的夹角正切，可判断B；由B选项可得椭圆的长轴，而椭圆的短轴即为底面直径，于是可求出焦距和离心率，可判断C和D. 【详解】设圆柱底面直径为，依题意可知圆柱底面周长等于正弦函数的一个周期， 即，得，A正确； 设截面椭圆的左右端点分别为，当椭圆上的点经过半周从移动到时， 它在展开曲线上经过半个周期从波谷移动到波峰，所以的高度差为， 而在圆柱底面上的投影即为底面直径，可知 ，B正确； 截面椭圆的短轴即为底面直径，长轴， 则椭圆的焦距长 ，C错误； 由前述结论可知，D正确. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】由，得，所以，所以． 13. 已知数列满足，且，设，则当时，的值为__________． 【答案】4或5##5或4 【解析】 【详解】因 ，则由可知数列为等差数列， 则或. ① 当时， ， 则，解得或； ② 当时， 则，解得或. 综上，或. 14. 已知，从集合中随机取出两个数且，连接原点和两点，则的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先由题设条件求出数对总的个数，然后利用求出满足题意的数对的个数，最后利用古典概型概率公式计算出结果． 【详解】从集合 中任取两个不同的数，不考虑顺序时，总共有种取法. 已知为原点， ，设 ， 斜率​（其中为直线的倾斜角）， 斜率（其中为直线的倾斜角）， 则. 由题，则 . 不妨设，整理得，式分解得 . 因，故，所以满足条件的两个数中，一个是另一个的2倍. 集合中满足条件的无序数对有 ，共4对. 因此概率. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个红球､5个白球，乙箱中有8个红球､2个白球．定义一轮游戏：掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲箱随机摸出1个球放入乙箱；如果点数为，从乙箱中随机摸出1个球放入甲箱． （1）求一轮游戏后，甲箱中红球个数多于白球个数的概率； （2）一轮游戏后，设乙箱中白球的个数为，求的分布列及数学期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析；期望为 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件的概率乘法公式分别求出从甲箱，乙箱摸出红球的概率，再根据互斥事件的概率加法公式，即可求解． （2）由题意可得的所有取值为，得到分布列，再根据数学期望公式求解即可. 【小问1详解】 记事件为一轮游戏中，从甲箱随机摸出1个球放入乙箱， 事件为一轮游戏中，从甲箱随机摸出红球放入乙箱， 事件为一轮游戏中，从乙箱随机摸出红球放入甲箱， 则：． 记事件为一轮游戏后，甲箱中红球个数多于白球个数， 则与互斥， 则. 【小问2详解】 由题意知，， . 分布列为 1 2 3 . 16. 在等差数列中，． （1）求数列的通项公式； （2）对任意，将数列中位于区间内的项的个数记为，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，根据等差数列基本量的计算，结合等差数列的通项公式即可求解； （2）由题意得，解得 ，则，结合等比数列前项求和公式计算即可求解. 【小问1详解】 由题意知，， 两式相减，得 ， ，代入， 得，解得， 所以； 【小问2详解】 对任意， ，即， 而，故 ， 由题意可知， 于是 即. 17. 如图，四棱锥的底面是正方形，平面平面，为的中点． （1）若，证明：； （2）求直线与平面所成角的余弦值的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质以及相似三角形的性质，结合线面垂直的性质求解即可. （2）根据线面角的概念，找到直线与平面所成角，再根据三角形性质求解即可. 【小问1详解】 取中点，连接交于，连接， 是正三角形， 是中点，. ∵平面平面，平面平面， 平面， 与中 ， ， . 平面 平面，. 【小问2详解】 作于，连. ∵平面平面，平面平面，而， 平面. 又平面，平面平面， 平面. 到平面的距离即，则直线与平面所成角为， ∴直线与平面所成角的余弦值的取值范围为. 18. 已知双曲线的离心率为是双曲线上关于原点对称的两个动点（在第一象限），当的斜率为1时，． （1）求双曲线的标准方程； （2）已知为双曲线的右焦点，连接交双曲线于另一点，连接交双曲线于另一点． ①求证：直线恒过定点； ②记直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，当取最小值时，求直线的方程． 【答案】（1） （2）①证明见解析 ；② 【解析】 【分析】（1）通过双曲线的基本量关系假设曲线方程，将曲线方程与直线联立，利用韦达定理，结合弦长公式求解. （2）①设为，则直线：，与曲线方程联立，利用韦达定理可得点坐标，同理可求得点坐标，再将直线表示出来，化简求解； ②由（i）知，，结合正切的两角和公式及基本不等式可求解. 【小问1详解】 由题意知，，所以， 则双曲线为．设直线为， 由，得 ，解得 ，则， 故双曲线为． 【小问2详解】 （i）设为，则为， 设直线：，直线： ， 由，得 又式可化简为 故，故， 代入直线得： 所以．同理， 则． 直线：，整理得， 故直线恒过定点． （ii）由（i）知， ， 当且仅当时，即取等号． 故直线为． 19. 已知函数． （1）当时，求函数在上的最小值； （2）若是的导函数的极大值点，求的取值范围； （3）证明：． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数，分析函数的单调性，得到函数的最小值，求解即可. （2）根据极大值点以及的取值范围，分析讨论函数的单调性，结合零点存在定理，求出的取值范围； （3）利用（2）中的结论以及二倍角的正弦公式得到，进而证明即可. 【小问1详解】 ， ， 令单调递增， 且 ， 唯一使得， 在递增，在递减， ． 【小问2详解】 令 ， . 令，易知，故为奇函数． 而 ． 当时，有 ， 又因为，有 ， 故在单调递减，因为为奇函数，则在也单调递减，且， 即时，在单调递增； 时，在单调递减， 又因为，则是的极大值点． 当时，有， 令，则 又因为，有 ，故， 则在单调递减，因为为偶函数，则在单调递增， 又因为 ， 由零点存在性定理得，在和各有一个零点，分别记为， 则时，在单调递增； 即时，在单调递减； 时，在单调递增， 又因为，则是的极小值点，不符合题意． 综上，． 【小问3详解】 ， 由（2）知时，在单调递减，， . ，即， ， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 诸暨市2026年5月高三适应性考试试题 数学 注意： 1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟． 2．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂､写在答题纸上． 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则的值为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 4. 已知函数，则是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 5. 在二项式展开式中，若某一项含有不能化为有理数的根式（即字母指数不全为整数，或化简后仍含无限不循环小数形式的根式），则该项称为无理项．在的展开式中（ ） A. 一定有常数项，没有无理项 B. 一定有常数项，可能有无理项 C. 一定没有无理项，没有常数项 D. 一定没有无理项，可能有常数项 6. 已知正三棱台的上､下底面的边长分别为2和4，且棱台的侧面与底面所成的二面角为，则此三棱台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是的等差中项，若圆上到直线的距离为1的点有且仅有3个，则直线的斜率为（ ） A. 或 B. 或 C. 2或-2 D. 或 8. 已知，且满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 随机变量，则 B. 随机变量服从两点分布，且，则 C. 随机变量的分布列为，则 D. 随机变量满足，且，则 10. 设的内角的对边分别为，若，且，则（ ） A. B. C. 的面积可以是1 D. 的周长可以是3 11. 如图，圆柱被平面所截而得的几何体的截面是椭圆，则将其侧面展开后得到的曲线恰好是函数在一个周期内的图象，则（ ） A. 圆柱底面的直径为 B. 圆柱底面和平面所成角为，则 C. 椭圆的焦距长为 D. 椭圆的离心率为 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则__________． 13. 已知数列满足，且，设，则当时，的值为__________． 14. 已知，从集合中随机取出两个数且，连接原点和两点，则的概率为__________． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个红球､5个白球，乙箱中有8个红球､2个白球．定义一轮游戏：掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲箱随机摸出1个球放入乙箱；如果点数为，从乙箱中随机摸出1个球放入甲箱． （1）求一轮游戏后，甲箱中红球个数多于白球个数的概率； （2）一轮游戏后，设乙箱中白球的个数为，求的分布列及数学期望． 16. 在等差数列中，． （1）求数列的通项公式； （2）对任意，将数列中位于区间内的项的个数记为，求数列的前项和． 17. 如图，四棱锥的底面是正方形，平面平面，为的中点． （1）若，证明：； （2）求直线与平面所成角的余弦值的取值范围． 18. 已知双曲线的离心率为是双曲线上关于原点对称的两个动点（在第一象限），当的斜率为1时，． （1）求双曲线的标准方程； （2）已知为双曲线的右焦点，连接交双曲线于另一点，连接交双曲线于另一点． ①求证：直线恒过定点； ②记直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，当取最小值时，求直线的方程． 19. 已知函数． （1）当时，求函数在上的最小值； （2）若是的导函数的极大值点，求的取值范围； （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $