精品解析：2025年江苏省徐州市沛县汉源中学联盟学区中考数学三模试卷　

2025年江苏省徐州市沛县汉源中学联盟学区中考数学三模试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的绝对值是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查绝对值．负数的绝对值等于它的相反数，据此即可求得答案． 【详解】解：的绝对值是2025， 故选：A． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘法以及积的乘方，同底数幂的除法法则解答． 【详解】解：A、3a与2b不是同类项，不能合并，故本选项错误； B、，故本选项错误； C、，故本选项正确； D、，故本选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了合并同类项法则，同底数幂的乘法以及积的乘方，同底数幂的除法法则，熟练掌握性质和法则是解题的关键． 3. 二次根式中字母x的取值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数，可得：x-1≥0，求出x的取值范围，进而判断出二次根式中字母x的取值可以是哪个即可． 【详解】解：根据题意，得x-1≥0， ∴x≥1， ∵3＞1，0＜1，，， ∴二次根式中字母x的取值可以是3． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解答此题的关键是要明确：二次根式中的被开方数是非负数． 4. 实数，在数轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，绝对值的化简．根据题意得到，结合，可得，由绝对值的意义即可化简． 【详解】解：根据题意得到， ， ， ， 故选：D． 5. 以下是某校九年级 10 名同学参加学校演讲比赛的统计表．则这组数据的中位数和平均数分别为（ ） 成绩/ 分 80 85 90 95 人数/ 人 1 2 5 2 A. 90，90 B. 90，89 C. 85，90 D. 85，90 【答案】B 【解析】 【分析】根据中位数和平均数的定义分别求解即可． 【详解】由图可得，中位数是90，平均数是 故答案为：B． 【点睛】本题考查了中位数和平均数的问题，掌握中位数和平均数的定义是解题的关键． 6. 如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形，大正方形与小正方形的边长之比是2∶1，若随机在大正方形及其内部区域投针，则针孔扎到小正方形（阴影部分）的概率是（ ） A. 0.2 B. 0.25 C. 0.4 D. 0.5 【答案】B 【解析】 【分析】设大正方形边长为2，则小正方形边长为1，所以大正方形面积为4，小正方形面积为1，则针孔扎到小正方形（阴影部分）的概率是0.25． 【详解】解：设大正方形边长为2，则小正方形边长为1， 因为面积比是相似比的平方， 所以大正方形面积为4，小正方形面积为1， 则针孔扎到小正方形（阴影部分）的概率是； 故选：B． 【点睛】本题考查了概率公式：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率． 7. 如图，切于点，连接交于点，交于点，连接，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和平行线的性质． 连接，如图，先根据切线的性质得，则利用互余可计算出，再根据圆周角定理得到，然后根据平行线的性质得到的度数． 【详解】解：连接，如图， 切于点， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 8. 如图，在边长为2的菱形中，分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线，交于点E，连接．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识．连接，由垂直平分线的性质和等腰直角三角形的性质，得，再得，利用勾股定理即可求出的长度． 【详解】解：连接，如图： 由作图痕迹可知，垂直平分， ∴， ∵四边形为菱形，， ∴， ∴， ∴， 在等腰中，， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，则 ； 故选：A． 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 9. 2025年春节假期，徐州市共接待游客约8270000人次，游客接待总量创历史新高．将8270000用科学记数法表示为_____________ ． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：． 故答案为：． 10. 我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图1所示，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．图2是八角形窗户的示意图，它的一个外角的大小为____°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多边形外角和定理，平面镶嵌等知识点，掌握外角和定理是解题的关键． 由多边形的外角和定理直接可求出结论． 【详解】∵正八边形的每一个外角都相等，外角和为， ∴它的一个外角． 故答案为：． 11. 用一张半径为的扇形纸板做一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形帽子的高为，那么这张扇形纸板的圆心角为 ______°． 【答案】216 【解析】 【分析】首先求出圆锥的底面半径，然后可得底面周长，问题得解． 【详解】解：∵扇形的半径为，做成的圆锥形帽子的高为， ∴圆锥的底面半径为， ∴底面周长为，即这张扇形纸板的弧长是， ∴，解得． 故答案为：216． 【点睛】本题考查圆锥和扇形的计算，用到的知识点为：圆锥的底面周长＝侧面展开扇形的弧长． 12. 设函数与的图象的交点坐标为，则的值是_________． 【答案】-2 【解析】 【分析】 【详解】解：根据函数的交点（a，b），可代入得到ab=3，b=-2a-6，即b+2a=-6，然后可通分得=-2. 故答案为-2. 13. 如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D．若∠A=30°，则∠D的度数为______°． 【答案】30 【解析】 【分析】连接OC，根据切线的性质定理得到∠OCD=90°，根据三角形内角和定理求出∠D． 【详解】解：连接OC， ∵CD为⊙O的切线， ∴∠OCD=90°， 由圆周角定理得，∠COD=2∠A=60°， ∴∠D=90°-60°=30°， 故答案为：30． 【点睛】本题考查的是切线的性质，圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 14. 已知方程的两个解分别为，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据根与系数的关系求出和的值，然后再对因式分解后代入计算即可． 【详解】解：∵方程的两个解分别为， ∴，， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，若为方程的两个根，则与系数的关系式：，． 15. 正六边形与正五边形按如图方式摆放，点A，B，G在一条直线上，则的度数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正多边形内角和公式分别求出正六边形和正五边形的内角度数，再根据平角的定义得出的度数，利用求解即可． 【详解】解：正六边形的每个内角的度数为， ， 正五边形的每个内角的度数为， ， 点A，B，G在一条直线上， ， ． 16. 如图，在矩形中，，M为的中点，将边绕点A逆时针旋转，点B落在处，连接，，若，，则 _________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】如图，过A作于Q，，证明，而，可得，即，再利用勾股定理可得答案． 【详解】解：如图，过A作于Q，， ∴， ∴， 由旋转可得：，则， ∵，M为的中点， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， 而， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是旋转的性质，等腰三角形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 17. 如图，等边三角形和等边三角形，点N，点M分别为、的中点，，，绕点A旋转的过程中，的最大值为__________，最小值为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由题可知：点在以点为圆心，为半径的圆上，连接，，则：，当三点共线时，且点M在延长线上时，的值最大，当点M在线段上时，的值最小，进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵等边三角形和等边三角形，点N，点M分别为，的中点，， ∴ ∴，， ∵绕点A旋转， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上， ∵， ∴当三点共线时，且点M在延长线上时，的值最大， 即：； 当三点共线时，且点M在线段上时，的值最小， 即：． 故答案为：，． 【点睛】本题考查等边三角形性质，旋转的性质，勾股定理，以及借助圆，求线段的最值．解题的关键是确定点在以点为圆心，为半径的圆上． 18. 如图，在扇形中，，点为的三等分点，为．上一动点，连接．当的值最小时，图中阴影部分的面积为______（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】过点作关于的对称点，连接交于点，此时，，值最小，由点为三等分点，，得到，根据，得到，由，，得到，进而得到，求出，，进面求出，，，，即可求解． 【详解】解：如图，过点作关于的对称点，连接交于点，此时，，值最小，如图： 设与交于点， ∵点为三等分点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，，则， ∵， ∴， 解得：（负值已舍去）， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ， ， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了扇形的面积，垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，含角的直角三角形，三角形内角和定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． 三、解答题：本题共10小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1） （2）化简： 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】（1）先化简，然后计算乘法，再算加减法即可； （2）先通分括号内的式子，然后将除法转化为乘法，再约分即可． 本题考查分式的混合运算、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 20. 解方程或不等式组： （1） （2） 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，公式法解一元二次方程，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用公式法解一元二次方程即可解答； （2）按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 【小问2详解】 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为： 21. 随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷，为此，孙老师设计了“5种你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种）进行调查．将统计结果绘制成下面两幅不完整的统计图，其中A：电话，B：短信，C：微信，D：，E：其它．请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）这次参与调查的共有 人；将条形统计图补充完整； （2）在扇形统计图中，表示“C：微信”的扇形圆心角的度数为 ； （3）如果我国有13亿人在使用手机，请估计最喜欢用“微信”进行沟通的人数． 【答案】（1）2000；如图所示 （2） （3）5.2亿人 【解析】 【分析】（1）根据喜欢用电话沟通的人数和百分比求得总人数，根据总数求得使用短信沟通的人数，补全条形统计图即可； （2）根据使用微信沟通的人数占总人数的百分比乘以即可求得圆心角的度数； （3）用总人数乘以样本中用微信人数所占比例即可得出答案． 【小问1详解】 喜欢用电话沟通的人数为400，所占百分比为， 此次共抽查了（人）， 喜欢用短信沟通的人数所占百分比为， 喜欢用短信沟通的人数为（人）， 如图： 【小问2详解】 表示“C：微信”的扇形圆心角的度数为； 【小问3详解】 由题意知：参与这次调查的共有2000人，其中喜欢用“微信”进行沟通的人数由800人， 所以在我国有13亿人在使用手机，估计最喜欢用“微信”进行沟通的人数有（亿人）． 【点睛】本题考查的是利用频率估计概率、条形统计图和扇形统计图的综合应用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解题的关键． 22. 2025春晚宛如一座绚丽的文化宝库，向世人展示了众多精美绝伦、承载着深厚历史底蕴的非物质文化遗产手工艺品，以下是几种手工艺品的图片：A．潍坊风筝；B．东明粮画；C．青神竹编；D．延安剪纸． A．B．C．D． （1）小乐从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“C．青神竹编”的概率是_____． （2）小乐和小欢分别从这四幅图中任选一幅，用于宣传春晚中展示的非物质文化遗产，请用画树状图或列表的方法分析，两人恰好选中同一幅图的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查求概率，树状图法求概率，正确的画出树状图，熟练掌握概率公式，是解题的关键： （1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）画出树状图，利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：小乐从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“C．青神竹编”的概率是； 【小问2详解】 画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中两人恰好选中同一幅图的结果有4种， （两人恰好选中同一幅图）． 23. 随着《哪吒之魔童闹海》电影的大爆，与之相关的哪吒文创周边销售也异常火爆．某文创店将进价为元/个的哪吒钥匙扣以元/个出售，平均每天能售出个，该文创店通过调查发现这种钥匙扣每个的售价每上涨元，其每天的销售量就减少个，要使每天销售这种钥匙扣的利润为元，且售价不能超过元/个，这种钥匙扣的售价应定为多少元/个？ 【答案】这种钥匙扣的售价应定为元/个 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，根据题意找出等量关系并列方程是解题关键． 设这种钥匙扣的售价应定为元/个，由钥匙扣每个的售价每上涨元，其每天的销售量就减少个，列出等式，解一元二次方程即可求解． 【详解】解：设这种钥匙扣的售价应定为元/个， 根据题意，得， 解得，， ∵这种钥匙扣的售价不能超过元/个， ． 答：这种钥匙扣的售价应定为元/个． 24. 如图所示，点在四边形的边上，连接，并延长交的延长线于点，已知，． （1）求证：； （2）若，求证：四边形为平行四边形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用SAS可以直接证明； （2）由可得，由内错角相等，两直线平行，得出，结合已知条件即可证明四边形为平行四边形． 【小问1详解】 证明：∵与是对顶角， ∴， 在与中， ， ∴ 【小问2详解】 证明：由（1）知， ∴， ∴， ∵点在的延长线上， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定和平行四边形的判定，难度较小，熟练掌握全等三角形、平行线及平行四边形的判定方法是解题的关键． 25. 如图，内接于，D为优弧上的点，弦与相交于点E，且，延长到点P，使得． （1）求证：是的切线； （2）若E是的中点，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接与交与点F，如图， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为的半径， 是的切线． （2）2 【解析】 【分析】（1）连接与交与点F，利用相似三角形的判定与性质得到，利用圆周角定理和垂径定理得到，利用直角三角形的性质，同圆的半径相等，等腰三角形的性质和圆的切线的判定定理解答即可得出结论； （2）通过延长交于点G，连接，可判断出，根据E是的中点，，即可求出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：延长交于点G，连接， 是的直径， ， ， ， ， ， 是的中点，， ， ， 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，圆的切线的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 26. 已知图1是超市购物车，图2是超市购物车侧面示意图，测得支架，，均与地面平行，支架与之间夹角． （1） 求两轮轴之间距离； （2）若的长度为，，求点到所在直线的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握等腰直角三角形的性质和勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求出长度即可； （2）作辅助线，分别求出点到的距离，点到直线的距离，求和即可． 【小问1详解】 解：∵支架与之间的夹角为， ， 即两轮轮轴之间的距离为； 【小问2详解】 解：过点作于，过点作延长线与，则扶手到所在直线的距离为 ∵的长度为, ， ， ， ， 由（1）知 ,. ，即， 解得， ． 27. 定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“比中项妙点”． 如图1，中，点D是边上一点，连接，若，则称点D是中边上的“比中项妙点”． （1）①在中，，于点D，则点D ______填“是”或“不是”中边上的“比中项妙点”； ②如图2，的顶点是网格图的格点，请仅用直尺画出边上的一个“比中项妙点”点的中点除外 （2）如图3，平行四边形中，点E为边上一点，连接交对角线于点F，点F恰好是中边上的“比中项妙点”． ①求证：点F也是中边上的“比中项妙点”； ②连接并延长交于点G，若点F是中边上的“比中项妙点”，且，求的值． 【答案】（1）①是；②见解析 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质． （1）①证明，推出可得结论； ②取格点J，连接交于点M，点M即为所求，此时，则，得到推出； （2）①先根据点F恰好是中边上的“比中项妙点”，推出，再根据平行四边形的性质得，则，进而推出即可； ②首先证明，再证明即可． 【小问1详解】 ①解：如图， 在中，，于点D， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点D是中边上的“比中项妙点”． 故答案为：是； ②解：如图2中，点M即为所求； 【小问2详解】 ①证明：∵点F恰好是中边上的“比中项妙点”， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点F也是中边上的“比中项妙点”； ②解：如图3中， ∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点F是中边上的“比中项妙点”， ∴点F是中边上的“比中项妙点”（同①证明）， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 28. 如图，已知直线与轴，轴分别交于点，抛物线的顶点是，且与轴交于两点，与轴交于点是抛物线上一个动点，过点作于点． 求二次函数的解析式； 当点运动到何处时，线段PG的长取最小值?最小值为多少? 若点是抛物线对称轴上任意点，点是抛物线上一动点，是否存在点使得以点为顶点的四边形是菱形?若存在，请你直接写出点的坐标；若不存在，请你说明理由． 【答案】（1）； （2）点的坐标为 ，最小值为；（3）点的坐标为或 【解析】 【分析】(1)根据顶点式直接写出二次函数的解析式，整理可得二次函数的一般式； (2) 过点作轴交于点，即可通过三角函数关系式把求线段PG的长取最小值转化为求线段PH的最小值即可得到答案； (3)分CD为菱形的边和对角线两种情况讨论即可； 【详解】解：由题意，可得抛物线为 整理得： 故二次函数的解析式为 把代入得 点的坐标为． 把代入 得 点的坐标为． 如图过点作轴交于点 则有， （两直线平行，同位角相等） 设点的横坐标为 则，， ， ， 当时，有最小值，最小值为， 此时有最小值， 当时， 此时点的坐标为 符合条件的点的坐标为或， 求解如下： 由题意知，抛物线的对称轴为， 把代入， 得或， ， ． I．如图当以为菱形的边时，平行且等于 若点在对称轴右侧， ， ， 把代入，得， 点的坐标为． 四边形为菱形， 即符合题意， 同理可知，当的坐标为时，四边形也为菱形． II．如图当为菱形的对角线时， 根据菱形的对角线互相垂直平分，可得对称轴垂直平分 所以在对称轴上． 又因为点在抛物线上， 所以点为抛物线的顶点， 所以点的坐标为． 综上所述，符合条件的点的坐标为或 【点睛】本题主要考查二次函数与几何的综合运用，菱形的性质与判定定理以及三角函数，综合性较强，要学会分类讨论思想，理解所学知识、掌握相关的概念是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年江苏省徐州市沛县汉源中学联盟学区中考数学三模试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的绝对值是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A B. C. D. 3. 二次根式中字母x的取值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 3 4. 实数，在数轴上位置如图所示，且，则化简的结果为（    ） A. B. C. D. 5. 以下是某校九年级 10 名同学参加学校演讲比赛的统计表．则这组数据的中位数和平均数分别为（ ） 成绩/ 分 80 85 90 95 人数/ 人 1 2 5 2 A. 90，90 B. 90，89 C. 85，90 D. 85，90 6. 如图，“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形，大正方形与小正方形的边长之比是2∶1，若随机在大正方形及其内部区域投针，则针孔扎到小正方形（阴影部分）的概率是（ ） A. 0.2 B. 0.25 C. 0.4 D. 0.5 7. 如图，切于点，连接交于点，交于点，连接，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在边长为2的菱形中，分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线，交于点E，连接．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 9. 2025年春节假期，徐州市共接待游客约8270000人次，游客接待总量创历史新高．将8270000用科学记数法表示为_____________ ． 10. 我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图1所示，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．图2是八角形窗户的示意图，它的一个外角的大小为____°． 11. 用一张半径为的扇形纸板做一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形帽子的高为，那么这张扇形纸板的圆心角为 ______°． 12. 设函数与的图象的交点坐标为，则的值是_________． 13. 如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D．若∠A=30°，则∠D的度数为______°． 14. 已知方程的两个解分别为，则的值为_______． 15. 正六边形与正五边形按如图方式摆放，点A，B，G在一条直线上，则的度数为_________． 16. 如图，在矩形中，，M为的中点，将边绕点A逆时针旋转，点B落在处，连接，，若，，则 _________________ ． 17. 如图，等边三角形和等边三角形，点N，点M分别为、的中点，，，绕点A旋转的过程中，的最大值为__________，最小值为__________． 18. 如图，在扇形中，，点为的三等分点，为．上一动点，连接．当的值最小时，图中阴影部分的面积为______（结果保留） 三、解答题：本题共10小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1） （2）化简： 20. 解方程或不等式组： （1） （2） 21. 随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷，为此，孙老师设计了“5种你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种）进行调查．将统计结果绘制成下面两幅不完整的统计图，其中A：电话，B：短信，C：微信，D：，E：其它．请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）这次参与调查的共有 人；将条形统计图补充完整； （2）在扇形统计图中，表示“C：微信”的扇形圆心角的度数为 ； （3）如果我国有13亿人在使用手机，请估计最喜欢用“微信”进行沟通的人数． 22. 2025春晚宛如一座绚丽文化宝库，向世人展示了众多精美绝伦、承载着深厚历史底蕴的非物质文化遗产手工艺品，以下是几种手工艺品的图片：A．潍坊风筝；B．东明粮画；C．青神竹编；D．延安剪纸． A．B．C．D． （1）小乐从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“C．青神竹编”的概率是_____． （2）小乐和小欢分别从这四幅图中任选一幅，用于宣传春晚中展示的非物质文化遗产，请用画树状图或列表的方法分析，两人恰好选中同一幅图的概率． 23. 随着《哪吒之魔童闹海》电影的大爆，与之相关的哪吒文创周边销售也异常火爆．某文创店将进价为元/个的哪吒钥匙扣以元/个出售，平均每天能售出个，该文创店通过调查发现这种钥匙扣每个的售价每上涨元，其每天的销售量就减少个，要使每天销售这种钥匙扣的利润为元，且售价不能超过元/个，这种钥匙扣的售价应定为多少元/个？ 24. 如图所示，点在四边形的边上，连接，并延长交的延长线于点，已知，． （1）求证：； （2）若，求证：四边形为平行四边形． 25. 如图，内接于，D为优弧上的点，弦与相交于点E，且，延长到点P，使得． （1）求证：是的切线； （2）若E是的中点，，求的长． 26. 已知图1是超市购物车，图2是超市购物车侧面示意图，测得支架，，均与地面平行，支架与之间的夹角． （1） 求两轮轴之间的距离； （2）若的长度为，，求点到所在直线的距离． 27. 定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“比中项妙点”． 如图1，中，点D是边上一点，连接，若，则称点D是中边上的“比中项妙点”． （1）①在中，，于点D，则点D ______填“是”或“不是”中边上的“比中项妙点”； ②如图2，的顶点是网格图的格点，请仅用直尺画出边上的一个“比中项妙点”点的中点除外 （2）如图3，平行四边形中，点E为边上一点，连接交对角线于点F，点F恰好是中边上的“比中项妙点”． ①求证：点F也是中边上的“比中项妙点”； ②连接并延长交于点G，若点F是中边上的“比中项妙点”，且，求的值． 28. 如图，已知直线与轴，轴分别交于点，抛物线的顶点是，且与轴交于两点，与轴交于点是抛物线上一个动点，过点作于点． 求二次函数的解析式； 当点运动到何处时，线段PG的长取最小值?最小值为多少? 若点是抛物线对称轴上任意点，点是抛物线上一动点，是否存在点使得以点为顶点四边形是菱形?若存在，请你直接写出点的坐标；若不存在，请你说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $