精品解析：2024年江苏省徐州市沛县第五中学中考三模数学试题

徐州市2024年中考信息冲刺卷 数 学 （时间：120分钟 满分：140分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2 2. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 要使有意义，的取值范围是（　　） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列图形中，是圆柱展开图的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图是某地连续一周的日最高气温统计图，以下叙述错误的是（ ） A. 周五的日最高气温最高 B. 周五到周日的日最高气温持续降低 C. 这周的日最高气温最低为 D. 周二与周四的日最高气温相同 7. 如图，一段长管中放置着三根同样的绳子，小明从左边随机选一根，小丽从右边随机选一根，两人恰好选中同一根绳子的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，分别以点A、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线分别交于点D、E，连接．以下结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题有10小题，每题3分，共30分．不需写出解答过程．） 9. 分解因式：__________ 10. 方程的解是_______． 11. 某芯片探针单元的面积约为，该数据用科学记数法表示为______． 12. 若等腰三角形的周长为，一边长为，则此等腰三角形的腰长为______． 13. 如图，以的边为直径的分别交、于点、，连接、．若，则_______°． 14. 如图，、、、为一个外角为的正多边形的顶点．若为正多边形的中心，则__． 15. 若二次函数的图象与轴无交点，则的取值范围是______． 16. 圆锥底面半径为，母线长则圆锥的侧面积为______． 17. 如图，函数的图象与x轴交于点，则关于x的不等式的解集为______． 18. 如图，将正方形折叠，使顶点A与边上的一点H重合（H不与C、D重合），点B落在点Q处，折痕交于点E，交于点F，边折叠后与边交于点G，设的长为x，的周长为y，的周长为z，则的值为______． 三、解答题（本大题共10小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 计算： （1）； （2）． 20. （1）解方程：； （2）解不等式组：． 21. 在某次男子三米跳板比赛中，每名参赛选手要进行六轮比赛，每轮得分的计算方式如下： 下面是对参加比赛的甲、乙、丙三位选手的得分数据进行了整理，描述和分析，给出部分信息： a．甲、丙两位选手的得分折线图： b．乙选手六轮比赛的得分： c．甲、乙、丙三位选手六轮比赛得分的平均数： 选手 甲 乙 丙 平均数 根据以上信息，回答下列问题： （1）已知乙选手第四轮动作的难度系数为，七名裁判的打分分别为： 求乙选手第四轮比赛的得分及表中的值； （2）从甲、丙两位选手的得分折线图中可知，选手______发挥的稳定性更好（填“甲”或“丙”）； （3）每名选手六轮比赛得分的总和为个人最终得分．根据上述信息判断：在甲、乙、丙三位选手中，最终得分最高的是______（填“甲”“乙”或“丙”）． 22. 如图，高铁车厢一排有5个座位，其中A座、F座靠窗，C座、D座被过道隔开．甲、乙两人各买了一张同班次高铁的车票，假设系统已将两人分配到同一排，且在同一排分配各个座位的机会是均等的． 窗 A B C 过道 D F 窗 （1）甲的座位靠窗的概率是______． （2）求甲、乙两人座位相邻（座位C、D不算相邻）的概率． 23. 《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一：人出六，不足十六、问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？ 24. 将正方形和菱形按照如图所示摆放，顶点与顶点重合，菱形的对角线经过点，点，分别在，上． （1）求证：； （2）若，求的长． 25. 四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意图，为长度固定的支架，支架在处与立柱连接（垂直于，垂足为），在处与篮板连接（所在直线垂直于），是可以调节长度的伸缩臂（旋转点处的螺栓改变的长度，使得支架绕点旋转，从而改变四边形的形状，以此调节篮板的高度）．已知，测得时，点离地面的高度为．调节伸缩臂，将由调节为，判断点离地面的高度升高还是降低了？升高（或降低）了多少？（参考数据：） 26. 如图，已知内接于，是的直径，点E在上，过E作的切线，交的延长线于点F，； （1）求证：平分； （2）若，，求的长． 27. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图像经过点，点在轴的负半轴上，交轴于点，为线段的中点． （1）________，点的坐标为________； （2）若点为线段上的一个动点，过点作轴，交反比例函数图像于点，求面积的最大值． 28. 将矩形绕点A顺时针旋转得到矩形，旋转角为，连接． （1）【探究1】如图1，当时，点 恰好在延长线上．若 ，求的长； （2）【探究2】如图2，连接 ，过点D作 交于点M．线段 与相等吗？请说明理由； （3）【探究3】在探究2的条件下，射线分别交 ， 于点P，N（如图3），请写出线段、、之间的数量关系？并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 徐州市2024年中考信息冲刺卷 数 学 （时间：120分钟 满分：140分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相反数的概念，直接根据相反数的定义求解即可． 【详解】解：的相反数是2， 故选D． 2. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：对于A选项，即不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意； 对于B选项，是轴对称图形但不是中心对称图形，不符合题意； 对于C选项，不是轴对称图形但是中心对称图形，不符合题意； 对于D选项，即是轴对称图形也是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 3. 要使有意义，的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，能熟记二次根式有意义的条件（式子中)是解此题的关键． 根据二次根式有意义的条件得出，再求出的范围即可． 【详解】解：要使式子有意义，必须， 解得：． 故选：A． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了合并同类项、同底数幂除法、同底数幂乘法、幂的乘方等知识，根据法则计算后即可得到答案． 【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意； B．，故选项正确，符合题意； C．，故选项错误，不符合题意； D．，故选项错误，不符合题意． 故选：B． 5. 下列图形中，是圆柱展开图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了圆柱体的展开图，解题的关键是熟练掌握圆柱体展开图． 根据圆柱展开图的特点进行判断即可． 【详解】解：圆柱展开图为两个圆和一个长方形，故D符合题意． 故选：D． 6. 如图是某地连续一周的日最高气温统计图，以下叙述错误的是（ ） A. 周五的日最高气温最高 B. 周五到周日的日最高气温持续降低 C. 这周的日最高气温最低为 D. 周二与周四的日最高气温相同 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了折线统计图，解题的关键是数形结合，从折线统计图中获得相关信息． 根据折线统计图逐项进行判断即可． 【详解】解：对于A选项，根据图象可知，周五气温为最高，故A正确，不符合题意； 对于B选项，根据图象可知，周五到周日气温持续降低，故B正确，不符合题意； 对于C选项，根据图象可知，气温最低为，故C错误，符合题意； 对于D选项，根据图象可知，周二的气温与周四的气温都是，气温相同，故D正确，不符合题意； 故选C． 7. 如图，一段长管中放置着三根同样的绳子，小明从左边随机选一根，小丽从右边随机选一根，两人恰好选中同一根绳子的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了本题考查用列表法或画树状图法求概率，解决本题的关键是画树状图把所有可能出现的结果表示出来，可知共有种等可能的结果，其中两人恰好选中同一根绳子的结果共有种，即可求解． 【详解】解：画树状图，如下图所示， 共有种等可能的结果，其中两人恰好选中同一根绳子的结果共有种， 两人恰好选中同一根绳子的概率是．   故选： ． 8. 如图，在中，，，分别以点A、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线分别交于点D、E，连接．以下结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】先由，得，由作图可知为的垂直平分线，则，进而得，由此可求出的度数，进而可对选项①进行判断；由为的垂直平分线得，则，证得，由此可对选项②进行判断；设，，则，，证和相似得，即，整理得，由此解出，则，由此可对选项③进行判断；由得，由此可对选项④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：，， ， 由作图可知：为的垂直平分线， ， ， ， ∴； 故选项①正确， 为的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选项②正确， 设，，则 则， ， ，， ， ， 即， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ， ∵ ∴ 故选项③正确， ， ， ， 故选项④正确， 故选：D 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，基本尺规作图，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定和性质，理解等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质，熟练掌握三角形内角和定理，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键． 二、填空题（本大题有10小题，每题3分，共30分．不需写出解答过程．） 9. 分解因式：__________ 【答案】 【解析】 【分析】首先提取公因式b，进而利用平方差公式分解因式得出答案． 【详解】解： ＝b（a2−1） ＝b（a＋1）（a−1）． 故答案为b（a＋1）（a−1）． 【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用平方差公式是解题关键． 10. 方程的解是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先去分母，化成一元一次方程，求解，检验分母不为0，即可. 【详解】去分母得：， 解得：， 检验：， ∴原方程的解为x=5. 故答案为：. 【点睛】本题考查解分式方程，注意结果要代入分母，检验分母是否为0. 11. 某芯片探针单元的面积约为，该数据用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 根据科学记数法的表示方法表示即可． 【详解】解：用科学记数法表示为． 故答案为：． 12. 若等腰三角形的周长为，一边长为，则此等腰三角形的腰长为______． 【答案】8 【解析】 【分析】此题考查等腰三角形性质，三角形的三边关系定理的应用，解题关键在于利用分类讨论的思想方法．此题分为两种情况：是等腰三角形的底边或是等腰三角形的腰．然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形． 【详解】解：当是等腰三角形的底边时，则其腰长是， ∵ ∴能够组成三角形，符合题意； 当是等腰三角形的腰时，则其底边是， ∵ ∴不能够组成三角形．不符合题意， 故答案为：8． 13. 如图，以的边为直径的分别交、于点、，连接、．若，则_______°． 【答案】56 【解析】 【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，圆周角定理，熟悉圆周角定理的应用是解题的关键．连接，由为直径，得到，，然后根据三角形内角和定理得到，最后利用圆周角定理即可得到答案． 【详解】解：连接，如图 是的直径 ，则 故答案为：56． 14. 如图，、、、为一个外角为的正多边形的顶点．若为正多边形的中心，则__． 【答案】30°##30度 【解析】 【分析】利用任意凸多边形的外角和均为，正多边形的每个外角相等即可求出多边形的边数，再根据正多边形的中心角的概念求出∠AOD的度数，再由正多边形的半径OA=OD，根据等腰三角形的性质求解即可. 【详解】多边形的每个外角相等，且其和为， 据此可得多边形的边数为：， ∴∠AOD=3×=120°， ∵OA=OD， ∴∠OAD=∠ODA==30°， 故答案为：30°. 【点睛】本题考查了正多边形的外角，正多边形的中心角，等边对等角等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键. 15. 若二次函数的图象与轴无交点，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式，即可求得． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴无交点， ∴无实数根， ∴， 解得 故答案为： 【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的关系、一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 16. 圆锥底面半径为，母线长则圆锥的侧面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的相关计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．求出圆锥侧面展开图的弧长和圆锥侧面展开图的半径，即可求出圆锥侧面积． 【详解】圆锥的底面周长为：， ∴圆锥侧面展开图的弧长为：， ∵圆锥的母线长 ， ∴圆锥侧面展开图的半径为： ∴圆锥侧面积为：； 故答案为：； 17. 如图，函数的图象与x轴交于点，则关于x的不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一次函数的平移，一次函数的图象与不等式的关系，根据函数图象可得的解集为，向右平移3个单位得，则的图象与x轴交于点，即可求解． 【详解】解： 向右平移3个单位得， 向右平移3个单位得， ∴的图象与x轴交于点， 根据函数图象得的解集为， ∴关于x的不等式的解集为 故答案为：． 18. 如图，将正方形折叠，使顶点A与边上的一点H重合（H不与C、D重合），点B落在点Q处，折痕交于点E，交于点F，边折叠后与边交于点G，设的长为x，的周长为y，的周长为z，则的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查图形的折叠问题、三角形全等的证明及性质，正确做出辅助线证的全等是关键． 先连接，作于M，由折叠的性质可得：，得出，即可得出，进而求得，然后再证，最后根据线段的等量代换得出的周长，的周长，即可得出的值． 【详解】解：连接，作于M，如图所示： 由折叠的性质可得：，，， ， ， ， ， ， 在和中 ， ，， 在和中 ， ， ， 的周长，的周长， ， ， 故答案为2． 三、解答题（本大题共10小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是分式的混合运算及实数的运算，负整数指数幂，零指数幂的运算法则及数的开方法则，熟知以上知识是解题的关键． （1）分别根据负整数指数幂、零指数幂的运算法则及数的开方法则计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可； （2）根据分式混合运算的法则进行计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 =． 20. （1）解方程：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，一元一次不等式组的解法，掌握相应的解法步骤是解本题的关键； （1）先计算，再利用公式法解方程即可； （2）分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可． 【详解】解：（1） ∵，，， ∴ ∴ ∴ （2）， 解不等式①，得 ， 解得：， 解不等式②，得 ， ∴， ∴原不等式组的解集为． 21. 在某次男子三米跳板比赛中，每名参赛选手要进行六轮比赛，每轮得分的计算方式如下： 下面是对参加比赛的甲、乙、丙三位选手的得分数据进行了整理，描述和分析，给出部分信息： a．甲、丙两位选手的得分折线图： b．乙选手六轮比赛的得分： c．甲、乙、丙三位选手六轮比赛得分的平均数： 选手 甲 乙 丙 平均数 根据以上信息，回答下列问题： （1）已知乙选手第四轮动作的难度系数为，七名裁判的打分分别为： 求乙选手第四轮比赛的得分及表中的值； （2）从甲、丙两位选手的得分折线图中可知，选手______发挥的稳定性更好（填“甲”或“丙”）； （3）每名选手六轮比赛得分的总和为个人最终得分．根据上述信息判断：在甲、乙、丙三位选手中，最终得分最高的是______（填“甲”“乙”或“丙”）． 【答案】（1）为，的值为 （2）甲 （3）甲 【解析】 【分析】（1）根据比赛得分的意义求出，再根据平均数的概念求出； （2）分别计算出甲、丙两位选手得分的方差，比较后即可得出结论； （3）分别计算出甲、乙、丙的个人最终得分，比较后即可得出结论． 【小问1详解】 解：， ， ∴乙选手第四轮比赛的得分为，表中的值为． 【小问2详解】 ， ， ∵， ∴选手甲发挥的稳定性更好， 故答案为：甲． 【小问3详解】 甲的得分：（分）， 乙的得分：（分）， 丙的得分：（分）， ∵， ∴最终得分最高的是甲， 故答案为：甲． 【点睛】本题考查折线统计图，平均数、方差，理解平均数、方差的意义和计算方法是正确解题的关键． 22. 如图，高铁车厢一排有5个座位，其中A座、F座靠窗，C座、D座被过道隔开．甲、乙两人各买了一张同班次高铁的车票，假设系统已将两人分配到同一排，且在同一排分配各个座位的机会是均等的． 窗 A B C 过道 D F 窗 （1）甲的座位靠窗的概率是______． （2）求甲、乙两人座位相邻（座位C、D不算相邻）的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式直接求解即可； （2）根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出符合条件的情况数，再根据概率公式即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵有5个座位，靠窗的有2个， ∴甲的座位靠窗的概率是； 故答案为： 【小问2详解】 根据题意画树状图如下： 由树状图可知，共有20种等情况数，其中相邻座位的情况数有6种， ∴甲、乙两人座位相邻（座位C，D不算相邻）的概率是． 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比 23. 《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一：人出六，不足十六、问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？ 【答案】人数为人，买鸡的钱为钱 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意找等量关系是解题的关键．设人数为，根据题意列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设人数为，根据题意得， 解得：， ∴买鸡的钱数为：， 答：人数为人，买鸡的钱为钱． 24. 将正方形和菱形按照如图所示摆放，顶点与顶点重合，菱形的对角线经过点，点，分别在，上． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：正方形和菱形， ， 在与中 （） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正方形和菱形的性质可得，根据即可得证； （2）连接交于点，勾股定理求得，，根据菱形的性质可得，进而求得正方形和菱形的对角线的长度，根据即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，连接交于点， ，即AB=4， ， 在中， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，正方形的性质，勾股定理，，掌握以上知识是解题的关键． 25. 四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意图，为长度固定的支架，支架在处与立柱连接（垂直于，垂足为），在处与篮板连接（所在直线垂直于），是可以调节长度的伸缩臂（旋转点处的螺栓改变的长度，使得支架绕点旋转，从而改变四边形的形状，以此调节篮板的高度）．已知，测得时，点离地面的高度为．调节伸缩臂，将由调节为，判断点离地面的高度升高还是降低了？升高（或降低）了多少？（参考数据：） 【答案】点离地面的高度升高了，升高了． 【解析】 【分析】如图，延长与底面交于点，过作于，则四边形为矩形，可得，证明四边形是平行四边形，可得，当时，则，此时，，，当时，则，，从而可得答案． 【详解】解：如图，延长与底面交于点，过作于，则四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 当时，则， 此时，， ∴， 当时，则， ∴， 而，， ∴点离地面的高度升高了，升高了． 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，理解题意，作出合适的辅助线是解本题的关键． 26. 如图，已知内接于，是的直径，点E在上，过E作的切线，交的延长线于点F，； （1）求证：平分； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，交于点G，如图： ， ∵与相切于点E， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平分； （2）的长为 【解析】 【分析】（1）连接，交于点G，根据切线的性质可得，从而可得，再根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可得，然后利用等腰三角形的性质可得，从而可得，进而可得，即可解答； （2）根据直径所对的圆周角是直角可得，再利用等腰三角形的性质和角平分线的定义可得，从而可得，再利用垂径定理可得，从而可得是的中位线，进而可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质可得，再利用线段的和差关系可得，从而可得，最后利用平行线分线段成比例可得，从而进行计算可得：，再利用三角形中位线定理即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理等知识，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 27. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图像经过点，点在轴的负半轴上，交轴于点，为线段的中点． （1）________，点的坐标为________； （2）若点为线段上的一个动点，过点作轴，交反比例函数图像于点，求面积的最大值． 【答案】（1）m=6，；（2）当a=1时，面积的最大值为 【解析】 【分析】（1）将点代入反比例函数解析式求出m，根据坐标中点公式求出点C的横坐标即可； （2）由AC两点坐标求出直线AB的解析式为，设D坐标为，则，进而得到，即可解答 【详解】解：（1）把点代入反比例函数，得：， 解得：m=6， ∵A点横坐标为：4，B点横坐标为0，故C点横坐标为：， 故答案为：6，； （2）设直线对应的函数表达式为． 将，代入得，解得． 所以直线对应的函数表达式为． 因为点在线段上，可设， 因为轴，交反比例函数图像于点．所以． 所以． 所以当a=1时，面积的最大值为． 【点睛】本题考查了函数与几何综合，涉及了待定系数法求函数解析式、三角形面积、坐标中点求法、二次函数的应用等知识点，解题关键是用函数解析式表示三角形面积． 28. 将矩形绕点A顺时针旋转得到矩形，旋转角为，连接． （1）【探究1】如图1，当时，点 恰好在延长线上．若 ，求的长； （2）【探究2】如图2，连接 ，过点D作 交于点M．线段 与相等吗？请说明理由； （3）【探究3】在探究2的条件下，射线分别交 ， 于点P，N（如图3），请写出线段、、之间的数量关系？并说明理由． 【答案】（1） （2） ．理由如下： 如图2，连接， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （3） 关系式为． 理由如下： 如图3，连接， ，， ， ， ，， ， ， 在和中，，， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握这些知识是解题的关键． （1）设，有旋转性质得，，证明，由相似三角形的性质得出，由比例线段得出方程，求解即可； （2）连接'，证明，由全等三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可得，证出即可； （3）连接，证明，由全等三角形的性质可得出，得出，证明，由相似三角形的性质得出即可． 【小问1详解】 解：如图1，设， 矩形绕点A顺时针旋转得到矩形， 点A，B，在同一直线上， ，， ， ， ， 又点在的延长线上， ， ， ， ， ， 即． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $