精品解析：辽宁省重点中学协作校2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

2024—2025学年度下学期期末考试高一试题 数学 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求） 1. 一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，△O′A′B′是等腰直角三角形且，其中斜边，则这个平面图形的面积是（ ） A. B. C. D. 2. 若复数为纯虚数，则a的值为（ ） A. B. C. 或 D. 且 3. 设l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，且满足，则 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5 已知向量，，若与垂直，则（ ） A. 3 B. C. 5 D. 6. 一个圆锥被平行于底面的平面所截，上下两个几何体的侧面积之比为，则上下两个几何体的体积之比为（ ） A. B. C. D. 7. 海洋洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得，，，，则A、B两点的距离为（ ） A B. C. D. 8. 祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高.这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等.利用祖暅原理可以将半球的体积转化为与其同底等高的圆柱和圆锥的体积之差.如图，是一“四脚帐篷”形状的几何体的示意图，其中曲线AOC和BOD均是以为半径的半圆，平面AOC和平面BOD均垂直于平面ABCD，用任意平行于底面ABCD的平面截该几何体，所得截面四边形均为正方形，请利用祖暅原理试求该几何体的体积是（ ）（提示：可以构造一个与帐篷同底等高的正四棱柱） A. B. C. 36π D. 72π 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 已知复数，则下列结论正确的有（ ） A. 复数的虚部为 B. C. D. 复数w满足，则|w|的最小值为1 10. 已知，则下列选项正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的对称轴方程为 C. 函数在区间上单调递减 D. 将函数的图象向左平移个单位，所得函数为偶函数 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱，的中点，点是棱的中点，过线段作与平面平行的平面，截正方体所得的截面，下列选项正确的是（ ） A. 截面图形是梯形 B. 截面图形是五边形 C. 截面的面积为 D. 该截面所在平面截正方体的外接球所得截面的面积为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知向量，满足，，且，则与夹角的余弦为________． 13. 如图，若圆台的上、下底面半径分别为，，则此圆台的内切球（与圆台的上、下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球）的表面积为________． 14. 已知锐角△ABC的角A，B，C所对边分别为a，b，c，，，O是三角形ABC的外心，若，则实数m的最大值为________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 如图，四棱锥P-ABCD，平面，，，，，E是PC中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面 16. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）若函数在区间上恰好有二个零点，求实数k的取值范围． 17. 已知，，， （1）求的值域； （2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若，，，，求△ABC内切圆半径r的值． 18. 如图，长方体中，，，点M是棱CD的中点． （1）过三点作出长方体的截面（不要求过程，作出即可）； （2）否存在实数m，使得直线与平面垂直？并说明理由； （3）设P是线段上的一点（不含端点），满足，求λ的值，使得三棱锥与三棱锥的体积相等． 19. A是直线PQ外一点，点M在直线PQ上（点M与点P，Q任一点均不重合），我们称如下操作为“由A点对PQ施以视角运算”：若点M在线段PQ上，记；若点M在线段PQ外，记．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，点D在射线BC上． （1）若三角形ABC为等边三角形，点D在BC延长线上，满足，则A点对BC施以视角运算，求（B，C；D）的值； （2）若，，由A点对BC施以视角运算，，求的最小值； （3）若，，由A点对BC施以视角运算，，求AD的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度下学期期末考试高一试题 数学 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求） 1. 一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，△O′A′B′是等腰直角三角形且，其中斜边，则这个平面图形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依据题意得到，然后还原原图形计算即可. 【详解】由图可知：，则，原图形如下图： 所以，则面积为 故选：B 2. 若复数为纯虚数，则a的值为（ ） A. B. C. 或 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】根据纯虚数的概念列方程，求解即得答案. 【详解】复数为纯虚数， 则，解得， 故选：B 3. 设l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，且满足，则 【答案】D 【解析】 【分析】对于ABC，由特例法即可判断；对于D，由线面平行的判定定理、性质定理即可得证. 【详解】对于A，若，，则或，故A错误； 对于B，若，，则或相交，故B错误； 对于C，若，，则或，又，则或相交，故C错误； 对于D，因为l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，，， 所以， 所以，同理可证， 又，， 所以， 又因为，所以，故D正确. 故选：D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将两边平方，可求得，再利用二倍角公式，即可求得答案. 【详解】因为，所以， 即得，则， 故， 故选：A 5. 已知向量，，若与垂直，则（ ） A. 3 B. C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量垂直，数量积为0求得参数，然后由模的坐标表示计算． 【详解】因为向量，，所以， 因为与垂直，所以，解得， 所以，所以. 故选：C. 6. 一个圆锥被平行于底面的平面所截，上下两个几何体的侧面积之比为，则上下两个几何体的体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用扇形的面积公式得到相似比，再根据相似几何体的体积之比等于相似比的立方可推出小圆锥与原圆锥的体积比，从而求得上下两个几何体的体积之比. 【详解】一个圆锥被平行于底面的平面所截得到两个几何体：圆锥与圆台，如图， 设大圆锥侧面展开扇形的圆心角为，大圆锥的侧面积与体积分别为， 小圆锥的侧面积与体积分别为，圆台的体积为 由题意可得, 因为相似几何体的体积之比等于相似比的立方， 所以，则， 所以上下两个几何体的体积之比为. 故选：D 7. 海洋洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得，，，，则A、B两点的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意在中利用正弦定理得，在中可得，从而在中利用余弦定理即可得解. 【详解】如图，在中，，， ，所以， 由正弦定理得，解得， 在中，，， ， 所以，故， 所以在中，由余弦定理得 ， 则，即A，B两点间的距离为． 故选：D. 8. 祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高.这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等.利用祖暅原理可以将半球的体积转化为与其同底等高的圆柱和圆锥的体积之差.如图，是一“四脚帐篷”形状的几何体的示意图，其中曲线AOC和BOD均是以为半径的半圆，平面AOC和平面BOD均垂直于平面ABCD，用任意平行于底面ABCD的平面截该几何体，所得截面四边形均为正方形，请利用祖暅原理试求该几何体的体积是（ ）（提示：可以构造一个与帐篷同底等高的正四棱柱） A. B. C. 36π D. 72π 【答案】B 【解析】 【分析】作正四棱柱，正四棱柱的边长与帐篷底面正方形边长相等，在正四棱柱，作四棱锥，作一平行截面，先证明等高处的水平截面截两个几何体的截面的面积相等，由祖暅原理知帐篷体积为正四棱柱的体积减去正四棱锥的体积，计算即可. 【详解】作正四棱柱，正四棱柱的边长与帐篷底面正方形边长相等， 在正四棱柱，作四棱锥， 为底面正方形的中心， 作截面平行于帐篷底面，与帐篷和正四棱柱与正四棱锥相截， 截面分别为四边形，四边形，四边形，如图所示， 设截面与底面的距离为，设底面中心为， 截面中心为，则，， 所以，所以截面的面积为. 设四棱柱底面中心与截面中心之间的距离为， 在正四棱柱中，底面正方形边长为，高为， 所以，所以，为等腰直角三角形， 所以，所以四边形边长为， 所以四边形的面积为， 所以图2中阴影部分的面积为，与截面面积相等， 由祖暅原理知帐篷体积为正四棱柱的体积减去正四棱锥的体积， 即. 故选：B. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 已知复数，则下列结论正确的有（ ） A. 复数的虚部为 B. C. D. 复数w满足，则|w|的最小值为1 【答案】BD 【解析】 【分析】利用复数的四则运算、乘方运算以及共轭复数的概念可判断A，B，C，利用复数的几何意义可求得D正确. 【详解】对于A，，其虚部为，即A错误； 对于B，由可得； 而，所以可得，即B正确； 对于C，，即可得C不正确； 对于D，设，则由可得， 所以复数对应的点的轨迹是以为圆心，半径为2的圆， 因此，的最小值为，即可得D正确； 故选：BD. 10. 已知，则下列选项正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的对称轴方程为 C. 函数在区间上单调递减 D. 将函数的图象向左平移个单位，所得函数为偶函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，利用辅助角公式得到，求出最小正周期；B选项，整体法求出函数对称轴方程；C选项，求出，因为在上单调递增，C错误；D选项，求出平移后的解析式为，得到奇偶性. 【详解】A选项，， 所以的最小正周期为，A正确； B选项，令，解得，B正确； C选项，时，， 因为在上单调递增， 所以在区间上单调递增，C错误； D选项，函数的图象向左平移个单位， 得到， 由于， 故为偶函数，D正确. 故选：ABD 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱，的中点，点是棱的中点，过线段作与平面平行的平面，截正方体所得的截面，下列选项正确的是（ ） A. 截面图形是梯形 B. 截面图形是五边形 C. 截面的面积为 D. 该截面所在平面截正方体的外接球所得截面的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于AB，根据面面平行的判定定理找到截面，并进行证明，则得出截面为梯形；对于C，根据截面等腰梯形的面积公式计算得到结果；对于D，先求的正方体的外接球半径，再利用等体积法计算球心到截面的距离，进而计算截面圆半径，最后计算圆的面积； 【详解】 延长至点使得，取的中点，连接， 因为点分别是棱，的中点，点是棱的中点， 所以，在正方体中，， 因为平面，平面，所以平面， 同理平面， 又且平面，所以平面平面， 则过线段作与平面平行的平面为梯形. 对于AB，A正确，B错误； 对于C，正方体的棱长为2，所以， ， 计算等腰梯形的高为 则截面梯形面积为，C正确； 对于D，正方体的外接球球心在正方体体对角线的中点， 所以球的半径， 在正方体中，设点到平面的距离为，则球心到平面的距离为， 在中，，， 所以，则面积为， 根据等体积，解得， 因此该截面所在平面截正方体的外接球所得截面圆的半径， 所以面积为，D正确； 故选：ACD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知向量，满足，，且，则与夹角的余弦为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据向量数量积的运算律化简可得，即可由夹角公式求解. 【详解】由可得， 故，解得， 故， 故答案为： 13. 如图，若圆台的上、下底面半径分别为，，则此圆台的内切球（与圆台的上、下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球）的表面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据几何图形相似求出内切球的半径，进而根据球的表面积公式可求出结果. 【详解】连接，如图所示. 根据题意可知，， 所以，因为. 所以. 因为，所以. 所以，所以， 所以圆台的内切球半径为，所以圆台的内切球的表面积为. 故答案为：. 14. 已知锐角△ABC的角A，B，C所对边分别为a，b，c，，，O是三角形ABC的外心，若，则实数m的最大值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】首先利用数量积公式以及外心的条件，对所给的式子进行化简得到，再结合正弦定理得到，，再消去得到，最后利用不等式即可求得. 【详解】如图所示：设，，由题意可得：， 由是的外心可得，是三边中垂线的交点，则，， 代入上式得：，即，为外接圆半径， 根据正弦定理可得：，，，代入 得：，又，则，， 因为为锐角三角形，所以，，由余弦定理可知：， 所以，当且仅当即时取得最大值. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 如图，四棱锥P-ABCD，平面，，，，，E是PC的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，证明∥，根据线面平行的判定即可证得∥平面PAD； （2）由平面，根据线面垂直的性质及判定得到.结合及是的中点，得到，再根据，∥，可得到,，证得平面，从而平面平面PCD得证. 【小问1详解】 取中点，连接，∵E是PC的中点， ∴,∥， ∵，， ∴∥，，∴四边形是平行四边形. ∴∥ 又平面，平面， 平面PAD. 【小问2详解】 ∵平面，平面，∴. ∵，，平面，∴平面， ∵平面，∴. ∵，∴. ∵，是的中点，∴ 由（1）知∥，∴,， 又平面，∴平面. ∵平面， ∴平面平面. 16. 已知函数部分图象如图所示． （1）求解析式； （2）若函数在区间上恰好有二个零点，求实数k的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据图象确定及的周期，从而求得，再利用特殊点坐标代入中，进而求出，即可得出的解析式； （2）将函数在区间上恰好有二个零点，转化为与在区间上恰好有二个交点，再根据正弦型函数的性质求的单调区间及对应的值域，进而利用数形结合即可求解． 【小问1详解】 由，则根据图象可得， 又，解得， 所以， 又， 则，，又，得， 故． 【小问2详解】 由，则， 又在上单调递增，对应的值域为； 在上单调递减，对应的值域为， 又函数在区间上恰好有二个零点， 即与在区间上恰好有二个交点，如下图： 所以，即． 故实数k的取值范围为． 17. 已知，，， （1）求的值域； （2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若，，，，求△ABC内切圆半径r的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量数量积的坐标公式计算出，令，算出的范围，再根据二次函数的性质计算出的值域； （2）首先得出，再由得出，即说明三角形为等边三角形，最后利用内切圆半径公式求解即可. 【小问1详解】 由题意可知：，令， 因为，所以，则， 所以，由二次函数单调性可知：当，. 【小问2详解】 由题意可知：，由得， 因为，所以，故，即，， 所以为等边三角形，，故. 18. 如图，长方体中，，，点M是棱CD的中点． （1）过三点作出长方体的截面（不要求过程，作出即可）； （2）是否存在实数m，使得直线与平面垂直？并说明理由； （3）设P是线段上的一点（不含端点），满足，求λ的值，使得三棱锥与三棱锥的体积相等． 【答案】（1）截面见解析； （2）存在，，理由见解析； （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据面面平行得到线线平行，从而得到截面图形； （2）当时，，所以Rt∽Rt，从而得到⊥，结合⊥，得到⊥平面，所以⊥，同理可证⊥，所以⊥平面； （3）设与平面的斜足为，等体积法求出，大减小得到，所以，故，又，则为的中点，即，所以. 【小问1详解】 如图所示，平行四边形即为过三点作出长方体的截面，理由如下： 因为平面与平面平行， 所以平面与平面的交线和平面与平面的交线平行， 同理可得平面与平面的交线和平面与平面的交线平行， 故只有取的中点，连接，可以保证上述条件， 所以平行四边形即为过三点作出长方体的截面； 【小问2详解】 存在实数，使得直线与平面垂直，理由如下： 当时，， 因为，所以，所以Rt∽Rt， 则，所以，即⊥， 又⊥平面，平面，所以⊥， 因为，平面，所以⊥平面， 又平面，所以⊥， 同理可证⊥，又，平面， 所以⊥平面； 【小问3详解】 设与平面的斜足为， 因为， 又， 其中， ，故， 所以，故， 若，则，故， 所以在线段上取一点P，使得三棱锥与三棱锥的体积相等， 则为的中点，即，所以. 19. A是直线PQ外一点，点M在直线PQ上（点M与点P，Q任一点均不重合），我们称如下操作为“由A点对PQ施以视角运算”：若点M在线段PQ上，记；若点M在线段PQ外，记．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，点D在射线BC上． （1）若三角形ABC为等边三角形，点D在BC延长线上，满足，则A点对BC施以视角运算，求（B，C；D）的值； （2）若，，由A点对BC施以视角运算，，求的最小值； （3）若，，由A点对BC施以视角运算，，求AD的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题目所给信息结合题目条件可得答案； （2）由题目条件可得，然后利用，可得，最后利用基本不等式可得答案； （3）由题目条件可得，结合向量知识可得， 又，可得，然后结合正弦定理与和差化积，积化和差公式可得答案. 小问1详解】 由题目所给信息，又D在线段BC外，则， 如图，因三角形ABC为等边三角形，， 则， 从而，， 则； 【小问2详解】 因，则D在线段BC内， 则， 因，则. 则， 则， 从而， 当且仅当时取等号； 【小问3详解】 因，则D在线段BC内. 则 又，则均为锐角，如图过B，C做AD所在射线的垂线， 垂足分别为E，F，则， 则，又注意到，则， 从而，则， 从而， 则， 又，则. 则， 由正弦定理得， 由和差化积公式：， 则. 由积化和差公式：. 注意到，则，则当时， ，即， 则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$