精品解析： 山东省济南市市中区2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷

2024-2025学年山东省济南市市中区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一项符合题目要求． 1. 已知是实数，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的进行判定即可． 【详解】解：是实数，若，， ，故选项A错误； ，故选项B错误； ，故选项C正确； ，故选项D错误． 故选C． 2. 若分式的值为0，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的值为0的条件，分式的值为0的条件是分子等于0且分母不等于0． 根据分式的值为0的条件得到，即可求解． 【详解】解：由题意得， 解得； 当时，分母，满足条件， 故选：C． 3. 许多装饰图案中都蕴含着丰富的数学之美．下列图案是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义．寻找对称中心、对称轴是解题的关键； 轴对称图形是指一个图形可以沿着一条直线（‌对称轴）‌折叠，‌使得直线两侧的图形能够完全重合；‌中心对称图形则是指一个图形可以绕着一个点（‌对称中心）‌旋转，‌使得旋转前后的图形互相重合．‌根据轴对称图形和中心对称的定义逐项判断即可． 【详解】A．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，也可以找到一点旋转后与原图重合，是中心对称图形，故选项不符合题意； B．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，但是找到一点旋转后与原图重合，是中心对称图形，故选项不符合题意； C．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故选项符合题意； D．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，可找到一点旋转后与原图重合，是中心对称图形，故选项不符合题意； 故选：C． 4. 下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】题考查了因式分解的定义，要与整式的乘法区分开，二者是互逆运算，容易出错． 根据因式分解的定义，把一个多项式写成几个整式积的形式，叫做因式分解，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A. ，是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意 B. ，右边不是整式积的形式，故此选项不符合题意； C. ，是因式分解，故此选项符合题意； D. ，右边的因式不是整式，故此选项不符合题意； 故选：C． 5. 参加创客兴趣小组的同学，给机器人设定了如图所示的程序，机器人从点O出发，沿直线前进1米后左转，再沿直线前进1米，又向左转……照这样走下去，机器人第一次回到出发地O点时，一共走的路程是（ ） A. 10米 B. 18米 C. 20米 D. 36米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多边形的外角和定理的应用．由题意可知小华所走的路线为一个正多边形，根据多边形的外角和即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴他需要走20次才会回到原来的起点， 即一共走了（米）． ​故选：C 6. 若关于x的分式方程无解，则a的值是（ ） A. 3或2 B. 1 C. 1或2 D. 1或3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式方程无解．熟练掌握：分式方程无解情况①分式方程化为整式方程后，整式方程无解，即分式方程无解；②分式方程化为整式方程后，整式方程有解，但这个解会使分式方程的最简公分母为0，即解为分式方程的增根；是解题的关键．先解分式方程得到，再进行讨论，①当时，整式方程无解，则分式方程无解；②把增根代入求解． 【详解】解： ， ， ①当时，整式方程无解，则分式方程无解； ②把增根代入得，， 解得：， 综上：当或时，分式方程无解， 故选：C． 7. 下列说法中，错误的是（ ） A. 平行四边形的两组对边分别相等 B. 菱形的两条对角线相等 C. 正方形的四条边都相等 D. 矩形的四个角都相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形、菱形、正方形、矩形的性质．根据各图形的性质逐一判断即可． 【详解】解：A．平行四边形的两组对边分别相等，符合平行四边形的性质，正确； B．菱形的两条对角线互相垂直且平分，但长度不一定相等（仅当菱形为正方形时对角线相等），因此错误； C．正方形的四条边都相等，符合正方形的性质，正确； D．矩形的四个角均为直角，故都相等，正确． 故选：B． 8. 若关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 【答案】A 【解析】 【分析】分类讨论：当m=0，方程变形为-4x+2=0，一元一次方程有实数解；当m≠0，根据判别式的意义得到△=（-4）2-4m×2≥0，解得m≤2，然后综合两种情况即可． 【详解】当m=0，方程变形为-4x+2=0，方程的解为x=； 当m≠0，△=（-4）2-4m×2≥0，解得m≤2； 综上所知当m≤2时，方程有实数根． 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△=b2-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 9. 如图，中，，，，，，则的值为（ ） A. 7 B. 4 C. 2 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，解题的关键是熟练掌握并灵活运用相关性质、定理．延长交于点，可证得，得到，即可求解，可证得是的中位线，从而得出的值，即可求解． 【详解】解：延长交于点， ∵ ∴ 在中 ∴ ∴， ∴， 又∵， ∴是的中位线， ∴， 故选：C． 10. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是（3, 0），点B是函数(0<x＜4)的图像上的一个动点，过点B作BC⊥y轴交函数的图像于点C，点D在x轴上（点D在点A的左侧），且AD=BC，连接AB，CD．有如下四个结论： ①四边形ABCD一定是平行四边形；②四边形ABCD可能是菱形；③四边形ABCD可能是矩形；④四边形ABCD可能是正方形．所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④ 【答案】A 【解析】 【分析】①由BC⊥y轴得到AD∥BC，结合AD＝BC，得到四边形ABCD是平行四边形，可作判断； ②根据BC＝AB列方程，方程有解在0～4之间，由此可作判断； ③当A与B的横坐标相等时，四边形ABCD是矩形，此种情况存在，可作判断； ④在矩形的基础上，计算AD与AB不相等，可作判断． 【详解】解：①如图1，∵BC⊥y轴， ∴AD∥BC， 又∵AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故①正确； ②设B（m，），则C（ ，）， BC＝m﹣（）， 当BC＝AB时，四边形ABCD是菱形， ∴， 89m2+1032m﹣432＝0， （m+12）（89m﹣36）＝0， 解得：m1＝﹣12（不符合题意），， ∴存在BC＝AB的情况， 即四边形ABCD可能是菱形， 故②正确； ③如图2，点B是函数y＝x+2（0＜x＜4）的图像上的一个动点， ∴存在点B的横坐标为3，此时四边形ABCD是矩形， 故③正确； ④当时，， 此时AD＞AB，如图2所示， ∴四边形ABCD不为正方形， 故④错误，不符合题意； 本题正确的结论有：①②③． 故选：A． 【点睛】本题反比例函数与四边形的综合题，考查了一次函数图像上点的坐标特征，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，正方形的判定，解题的关键是熟知特殊四边形的判定． 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分，填空题请直接填写答案． 11. 如图，四边形为平行四边形，的角平分线交于点，若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 证明，，即可得出结论． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：． 12. 如图，将沿方向平移得到（其中点A，，分别与点，，对应）．若，则________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质、线段的和差等知识点，弄清楚线段之间的关系是解题的关键． 由平移性质求得，再根据线段的和差即可解答． 【详解】解：∵将沿方向平移得到， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：12． 13. 如图，已知直线与直线交于点，则关于的不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，掌握数形结合思想成为解题的关键．从函数图象的角度看，就是确定直线在上方部分对应x的取值范围即可该不等式的解集． 【详解】解：把代入，得：，解得：， ∴直线与直线交于点， 当时，则． 故答案为：． 14. 如图，一张长、宽的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是的有盖的长方体铁盒，则该铁盒的体积为_______． 【答案】48 【解析】 【分析】设剪去的正方形的边长为，则制成有盖的长方体铁盒的底面长为，宽为，根据长方体铁盒的底面积是即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论； 【详解】解：设剪去的正方形的边长为，则制成有盖的长方体铁盒的底面长为，宽为， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）． 该纸盒的体积为； 故答案为：48． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及全等图形，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 15. 囍，是中国传统吉祥图案，婚礼中，剪出大红双喜字贴于洞房中堂，指婚姻中男女双方共同迎接喜庆的一天．如图囍的剪法图解③中，已经折过2次后的红纸左右宽，如果在最上层处扎一个小孔，则在取开展平的囍中会出现另外三个小孔，则点距离左侧边缘为（即），则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查图形折叠的性质以及轴对称图形的性质．解题的关键在于理解两次对折后图形的对称关系，明确与的对称位置，从而利用纸张折后的宽度来计算的长度．本题围绕剪纸过程中图形的折叠与对称性质展开．则红纸经过两次对折后的宽度以及小孔到左侧边缘的距离，需要利用图形的对称关系求出的长度． 【详解】解：红纸经过两次向右对折，根据折叠的性质，折叠前后图形关于折痕对称． ∴经过两次对折后，纸张被平均分成了层，且这层是完全重合的． ∴与关于第二次对折的折痕对称． ∵折过次后的红纸左右宽，与关于第二次对折的折痕对称， ∴的长度刚好是折后红纸宽度的倍（从对称关系角度理解，到折痕的距离与到折痕的距离相等，二者距离之和就是纸张宽度的倍 ）． 则 ． 故答案为： 三、解答题：本题共10小题，共90分，解答时应写出文字说明，证明或演算步骤． 16. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解，掌握提公因式法和公式法分解因式是解题关键． （1）提公因式计算即可； （2）先利用完全平方公式分解，再根据平方差公式分解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17 解方程 （1） （2） 【答案】（1） （2），． 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把分式方程化为整式方程，再解得，最后验根，即可作答． （2）运用公式法进行解方程，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 去分母得， ∴， 解得， 经检验：当时， ∴是原分式方程的解； 【小问2详解】 解：， ∴， 则， 解得，． 18. 解不等式组，并写出它的所有非负整数解． 【答案】，非负整数解为0 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再求出其非负整数解即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解为， ∴不等式组的非负整数解为0． 19. 如图，点E在正方形的边上，点F在边的延长线上，且．求证：． 【答案】详见解析 【解析】 【分析】本题考查了正方形性质、全等三角形的判定与性质，由正方形的性质可得，，再证明即可得证． 【详解】证明：∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴ ∴． 20. 先化简，再求值：，请从，，，四个数中选取一个你喜欢的代入求值． 【答案】，当时，原式；当时，原式 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是明确分式的化简求值的方法，注意代入的的值必须使得原分式有意义．先将原式化简，然后从，，，四个数中选取使得原分式有意义的的值代入化简后的分式即可解答本题． 【详解】解： ， 由题意可知，，， ，， 当时，原式（当时，原式）． 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，请解答下列问题： （1）若经过平移后得到，已知点的坐标为作出并写出其余两个顶点的坐标； （2）将绕点O按顺时针方向旋转得到，作出； （3）若将绕某一点旋转可得到，直接写出旋转中心的坐标 【答案】（1）作图见解析；， （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据点C平移后的坐标，可以得到平移的规律，然后根据规律把A、B的坐标计算出来，标出来，连接点坐标即可得； （2）把点A、B、C绕点O按顺时针方向旋转得到、、，连接三点坐标即可；（3）先找到和的两组对应点，连接对应两点，即、，分别作、这两条线段的中垂线，两条中垂线相交的地方就是旋转中心． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作三角形； ，． 【小问2详解】 解：如图，即为所求作三角形； 【小问3详解】 解：取点，，连接，，，，，交于点G， ∵，，， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∵，， ∴x轴垂直平分， ∴绕点F旋转可得到， ∴旋转中心的坐标为． 【点睛】本题考查作图－旋转变换，坐标与图形变化-平移，几何变换的类型，熟练掌握旋转和中心对称的性质是解答本题的关键． 22. “雨过园亭绿暗时，樱桃红颗压枝低”，如图，樱桃富含维生素C，崂山北宅素有“中国樱桃之乡”的美誉．在2023年樱桃节某水果商城为了了解两种樱桃市场销售情况，购进了一批数量相等的“樱珠”和“樱桃”供客户对比品尝，其中购买“樱桃”用了630元，购买“樱珠”用了1134元，已知每千克“樱珠”进价比每千克“樱桃”贵8元． （1）求每千克“樱珠”和“樱桃”进价各是多少元？ （2）若该水果商城决定再次购买同种“樱珠”和“樱桃”共60千克，且再次购买的费用不超过1000元，且每种樱桃进价保持不变．若“樱珠”的销售单价为30元，“樱桃”的销售单价为18元，则该水果商城应如何进货，使得第二批的“樱珠”和“樱桃”售完后获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）每千克“樱珠”进价是18元，每千克“樱桃”进价是10元 （2）该该水果商城应购买50千克“樱珠”，10千克“樱桃”，使得第二批的“樱珠”和“樱桃”售完后获得利润最大，最大利润是680元． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式． （1）设每千克“樱珠”进价是x元，则每千克“樱桃”进价是元，根据购进了一批数量相等的“樱珠”和“樱桃”供客户对比品尝，其中购买“樱桃”用了630元，购买“樱珠”用了1134元，列出分式方程，解方程即可； （2）设购买a千克“樱珠”，则购买千克“樱桃”，根据再次购买的费用不超过1000元，列出一元一次不等式，解得，再设总利润为w元，根据题意列出w关于a的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题． 【小问1详解】 解：设每千克“樱珠”进价是x元，则每千克“樱桃”进价是元，根据题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：每千克“樱珠”进价是18元，每千克“樱桃”进价是10元； 【小问2详解】 解：设购买a千克“樱珠”，则购买千克“樱桃”，根据题意得： ， 解得：， 设总利润为w元， 根据题意得：， ∵， ∴w最a的增大而增大， ∴当时，w有最大值， 此时，， 答：该该水果商城应购买50千克“樱珠”，10千克“樱桃”，使得第二批的“樱珠”和“樱桃”售完后获得利润最大，最大利润是680元． 23. 如图，在中，的平分线交于点，交的延长线于，以、为邻边作． （1）证明：是菱形； （2）若，连接、，求的度数； （3）若，，，是的中点，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据角平分线的定义可得，根据平行四边形的性质和平行线的性质可得，，从而可得，再根据等腰三角形的判定可得，然后根据菱形的判定即可得证； （2）先证出，根据全等三角形的性质可得，，再证出和是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得； （3）先证出四边形为正方形，根据正方形的性质可得，再根据等腰直角三角形的判定与性质求出，从而可得，然后过作于，根据勾股定理求出的长，从而可得的长，最后在中，利用勾股定理求解即可得． 【小问1详解】 证明：平分， ， 四边形是平行四边形， ∴，， ，， ， ， 又四边形是平行四边形， 四边形为菱形． 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形， ∴，，， ， ，， 由（1）知，四边形是菱形， ，，， ，， ∵， ， 是的平分线， ， ∵， ， ， ， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， ． 【小问3详解】 解：，四边形是平行四边形，， 四边形是矩形，， ∴， ， 又由（1）可知，四边形为菱形， 四边形为正方形． ∴， ∴是等腰直角三角形， ， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 如图，过作于， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在中，． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、正方形的判定与性质、勾股定理、二次根式的应用等知识，熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解题关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点C为y轴负半轴上一点，且，直线经过A，C两点． （1）求直线的解析式； （2）如图1，将直线向上平移个单位长度得到直线，与直线交于点Q，与x轴，y轴分别交于点D，点E．点P是直线上位于第四象限内的一点，点M，N分别在直线，上．若点N在点M左侧，且，连接，，，当时，求点P的坐标以及的最小值； （3）如图2，将绕点O逆时针旋转得到，在旋转过程中，直线与x轴于交点G，与直线交于点H，在平面内确定一点K，使得四边形为菱形，请直接写出所有符合条件的点K的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先求出，得出，结合题意可得，从而得出，再利用待定系数法求解即可； （2）先求出，，设，结合，得出，求出，从而求出，求出直线的解析式为，，，，，作交于，则四边形为平行四边形，为等边三角形，，作交于，求出，，利用平移得出，则，，证明四边形为平行四边形，得出，作点关于直线的对称点，连接交于，连接，则，，求出，由轴对称的性质可得，从而可得，即的最小值为，求出的值即可得解； （3）分两种情况：四边形第一次为菱形时，过点作轴于点，过点作轴于点，利用含角的直角三角形的性质求出点和点的坐标，再利用菱形中，是平移来的，结合点到点的平移方式，即可求出点的坐标；当四边形第二次为菱形时，过点作轴于点，此时点与点重合，得出点坐标，利用含角的直角三角形的性质求出点的坐标，再利用菱形中，是平移来的，结合点到点的平移方式，即可求出点的坐标． 【小问1详解】 解：∵直线交x轴于点A， ∴当时，， 解得，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：中，当时，，即， ∴， ∴， 由（1）可得， ∴， ∵点P是直线上位于第四象限内的一点， ∴设， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∵将直线向上平移个单位长度得到直线，直线的解析式为， ∴直线的解析式为，，， ∴， 当时，，即， 当时，，解得，即， ∴，，， ∴， 如图，作交于， 则四边形为平行四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形，， 作交于，则， ∴， 将点沿方向平移单位长度得到点（即向左平移个单位长度，向上平移个单位长度）， 则，即， 则，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 作点关于直线的对称点，连接交于，连接，则，，过点作轴于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴的最小值为， ∵， ∴的最小值为， ∴最小值； 【小问3详解】 解：如图，四边形第一次为菱形时，过点作轴于点，过点作轴于点， 此时为等腰三角形，且， ∴， ∴， 由旋转知，， ∴， ∵轴， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由菱形中，，， ∴是平移来的， ∵点到点的平移方式是水平向右平移个单位长度， ∴点为点水平向右平移个单位长度， ∴点的坐标为， 即； 如图，四边形第二次为菱形时，过点作轴于点， 此时为等腰三角形，且， ∴，， 由旋转知，即， ∴点与点重合， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 同上平移方法可得点为点水平向右平移个单位长度， ∴点的坐标为， 即； 综上所述，或． 【点睛】本题考查一次函数与几何综合，涉及待定系数法求一次函数解析式，特殊角的三角函数值，菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理赵桥铺路与将军饮马最值问题，熟练掌握这些性质与方法是解题的关键． 25. 【问题情景】如图1，在中，为的中线，若，，求的取值范围．中线倍长法：如图2，延长至点D，使得，连结，可证明，由全等得到，从而在中，根据三角形三边关系可以确定的范围，进一步即可求得的范围． （1）在上述过程中，证明的依据是__________，的范围为__________； 【思考探究】（2）如图3，在中，，M为中点，D、E分别为、上的点，连结、、，，若，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图4，C为线段上一点，，分别以、为斜边向上作等腰直角和等腰直角，M为中点，连结，，． ①判断：的形状，并说明理由； ②若将图4中的等腰绕点C转至图5的位置（A，C，B不在同一条直线上），连结，M为中点，且D，E在同侧，连结，．若，，直接写出：和的面积之差为__________． 【答案】（1）SAS，；（2）；（3）①为等腰直角三角形，理由见解析；②4 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，三角形的三边关系，勾股定理，解题的关键是：熟练应用“倍长中线法”． （1）由得出，在中，根据三边关系得到，即可求解， （2）延长至点，使得，由得出，，从而得，应用勾股定理求出，结合垂直平分，即可求解， （3）①延长至点，使得，由，可得，，由，，，即可求证， ②延长至点，使得，由，可得，，导角得，由，可得，，作，， ，通过勾股定理得到边长间的关系，代入，即可求解， 【详解】（1）解：∵为的中线， ∴， 在和中，， ， ， 在中，，即：， ， ， ， 故答案为： ，， （2）解：延长至点，使得，连结，， ∵M为中点， ∴， 在和中，， ， ，， ， ， ， 在中，， 而，， 垂直平分， ， 故答案为：； （3）①为等腰直角三角形，理由： 延长至点，使得，连结，， ∵等腰直角和等腰直角， ∴，， ∴， ∵M为中点， ∴， 在和中，， ， ，， ∴， ， 又， ， ，， 又， ， 为等腰直角三角形， ②如图，延长至点，使得，连结，，， 为中点，同上“倍长中线”方法可得， ，，， 设， ， ∵， ， ，， ∴同理可得， ∵， ∴，， 分别过，作，，，为垂足， ∴，， ， ∴设，，，， ，，， 解得， ， ， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年山东省济南市市中区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一项符合题目要求． 1. 已知是实数，若，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若分式的值为0，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 许多装饰图案中都蕴含着丰富的数学之美．下列图案是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 参加创客兴趣小组的同学，给机器人设定了如图所示的程序，机器人从点O出发，沿直线前进1米后左转，再沿直线前进1米，又向左转……照这样走下去，机器人第一次回到出发地O点时，一共走的路程是（ ） A. 10米 B. 18米 C. 20米 D. 36米 6. 若关于x的分式方程无解，则a的值是（ ） A. 3或2 B. 1 C. 1或2 D. 1或3 7. 下列说法中，错误的是（ ） A. 平行四边形的两组对边分别相等 B. 菱形的两条对角线相等 C. 正方形的四条边都相等 D. 矩形的四个角都相等 8. 若关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 9. 如图，中，，，，，，则的值为（ ） A. 7 B. 4 C. 2 D. 5 10. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是（3, 0），点B是函数(0<x＜4)的图像上的一个动点，过点B作BC⊥y轴交函数的图像于点C，点D在x轴上（点D在点A的左侧），且AD=BC，连接AB，CD．有如下四个结论： ①四边形ABCD一定是平行四边形；②四边形ABCD可能是菱形；③四边形ABCD可能是矩形；④四边形ABCD可能是正方形．所有正确结论序号是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④ 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分，填空题请直接填写答案． 11. 如图，四边形为平行四边形，的角平分线交于点，若，，则的长为______． 12. 如图，将沿方向平移得到（其中点A，，分别与点，，对应）．若，则________． 13. 如图，已知直线与直线交于点，则关于的不等式的解集为________． 14. 如图，一张长、宽的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是的有盖的长方体铁盒，则该铁盒的体积为_______． 15. 囍，是中国传统吉祥图案，婚礼中，剪出大红双喜字贴于洞房中堂，指婚姻中男女双方共同迎接喜庆一天．如图囍的剪法图解③中，已经折过2次后的红纸左右宽，如果在最上层处扎一个小孔，则在取开展平的囍中会出现另外三个小孔，则点距离左侧边缘为（即），则___________． 三、解答题：本题共10小题，共90分，解答时应写出文字说明，证明或演算步骤． 16. 因式分解： （1）； （2）． 17. 解方程 （1） （2） 18. 解不等式组，并写出它的所有非负整数解． 19. 如图，点E在正方形的边上，点F在边的延长线上，且．求证：． 20. 先化简，再求值：，请从，，，四个数中选取一个你喜欢的代入求值． 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，请解答下列问题： （1）若经过平移后得到，已知点的坐标为作出并写出其余两个顶点的坐标； （2）将绕点O按顺时针方向旋转得到，作出； （3）若将绕某一点旋转可得到，直接写出旋转中心的坐标 22. “雨过园亭绿暗时，樱桃红颗压枝低”，如图，樱桃富含维生素C，崂山北宅素有“中国樱桃之乡”的美誉．在2023年樱桃节某水果商城为了了解两种樱桃市场销售情况，购进了一批数量相等的“樱珠”和“樱桃”供客户对比品尝，其中购买“樱桃”用了630元，购买“樱珠”用了1134元，已知每千克“樱珠”进价比每千克“樱桃”贵8元． （1）求每千克“樱珠”和“樱桃”进价各是多少元？ （2）若该水果商城决定再次购买同种“樱珠”和“樱桃”共60千克，且再次购买的费用不超过1000元，且每种樱桃进价保持不变．若“樱珠”的销售单价为30元，“樱桃”的销售单价为18元，则该水果商城应如何进货，使得第二批的“樱珠”和“樱桃”售完后获得利润最大？最大利润是多少？ 23. 如图，在中，的平分线交于点，交的延长线于，以、为邻边作． （1）证明：是菱形； （2）若，连接、，求度数； （3）若，，，是中点，求的长． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点C为y轴负半轴上一点，且，直线经过A，C两点． （1）求直线的解析式； （2）如图1，将直线向上平移个单位长度得到直线，与直线交于点Q，与x轴，y轴分别交于点D，点E．点P是直线上位于第四象限内的一点，点M，N分别在直线，上．若点N在点M左侧，且，连接，，，当时，求点P的坐标以及的最小值； （3）如图2，将绕点O逆时针旋转得到，在旋转过程中，直线与x轴于交点G，与直线交于点H，在平面内确定一点K，使得四边形为菱形，请直接写出所有符合条件点K的坐标． 25. 【问题情景】如图1，在中，为的中线，若，，求的取值范围．中线倍长法：如图2，延长至点D，使得，连结，可证明，由全等得到，从而在中，根据三角形三边关系可以确定的范围，进一步即可求得的范围． （1）在上述过程中，证明的依据是__________，的范围为__________； 【思考探究】（2）如图3，在中，，M为中点，D、E分别为、上的点，连结、、，，若，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图4，C为线段上一点，，分别以、为斜边向上作等腰直角和等腰直角，M为中点，连结，，． ①判断：的形状，并说明理由； ②若将图4中的等腰绕点C转至图5的位置（A，C，B不在同一条直线上），连结，M为中点，且D，E在同侧，连结，．若，，直接写出：和的面积之差为__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$