山东省济南市商河县2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷

2024-2025学年山东省济南市商河县八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，共39分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.随着技术的普及，出现了很多“现象级”应用，以下是一些常见应用的图案，其中是中心对称图形的是 A. B. C. D. 2.下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是(    ) A. B. C. D. 3.不等式的解集在数轴上表示为(    ) A. B. C. D. 4.若，则下列不等式变形正确的是(    ) A. B. C. D. 5.如图，在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，的周长等于，那么的长等于(    ) A. B. C. D. 6.将分式中的、的值同时扩大为原来的倍，则分式的值(    ) A. 缩小为原来一半 B. 扩大为原来的倍 C. 无法确定 D. 保持不变 7.若正多边形的一个外角是，则这个正多边形是(    ) A. 正三角形 B. 正四边形 C. 正五边形 D. 正六边形 8.如图，▱的对角线，相交于点，点是上一点，，，则▱的周长为(    ) A. B. C. D. 9.如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线与交于点，，垂足为则下列结论错误的是(    ) A. B. C. D. ：： 10.如图，在平面直角坐标系中，已知点，点在第二象限内，，，将绕点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转后，点的坐标为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11.若分式的值为，则的值为______． 12.若一个三角形的三边长分别为、、，则此三角形的面积为______． 13.如图，将绕点逆时针方向旋转一定角度得到，使点落在上，与相交于点若，，则 ______度 14.如图，直线与直线为常数，相交于点，则关于的不等式的解集为______． 15.如图，两个大小一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着方向平移到的位置，若，，则阴影部分的面积等于______． 16.如图，已知是线段上的动点不与点，重合，，分别以，为边在线段的同侧作等边和等边，连接，设的中点为；连接，当动点从点运动到点时，则的最小值是______． 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 分解因式： ； ． 18.本小题分 按要求解下列不等式组： 解关于的不等式，并将解集用数轴表示出来； 解不等式组：，并写出它的所有整数解． 19.本小题分 计算：； 先化简，再求值：，其中． 20.本小题分 已知：如图，是的边的中点，，，垂足分别为、，且求证：是等腰三角形． 21.本小题分 如图，平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． 平移到，其中点的对应点的坐标为，请在图中画出；点平移后对应点的坐标为______； 请画出绕原点逆时针旋转得到的； 在的条件下，求点经过的路径长． 22.本小题分 如图，，是▱的对角线上的两点，且． 求证：四边形是平行四边形． 若，，，，求四边形的面积． 23.本小题分 从春晚舞台到亚冬会赛场，从展会展台到车间一线，年被称为人形机器人的“量产元年”目前中国机器人产业已稳居全球第一梯队，连续年保持全球最大工业机器人市场地位，专利储备突破万项，人形机器人的技术发展可谓日新月异，正以前所未有的速度向前迈进某公司计划购买，两种型号的机器人，已知型机器人比型机器人每小时多搬运材料，且型机器人搬运材料所用的时间与型机器人搬运材料所用的时间相同． 求，两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料； 该公司计划采购，两种型号的机器人共台，要求每小时搬运材料不得少于，则至少购进型机器人多少台？ 24.本小题分 借助“形”可以帮助我们直观地发现数量之间的关系，而结合”数”又可以更好地探究图形的特点，这种数形结合的方式是人们研究数学问题的常用思想方法请你根据已有的知识经验，解决以下问题： 【课本链接】 观察图，用等式表示图中图形的面积，得______，观察图，用等式表示图中阴影部分图形的面积和，得______： 【知识应用】 根据图所得的公式，若，，则______； 若满足，求的值． 【拓展延伸】 如图，某学校有一块梯形空地，于点，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草经测量种花区域的面积和为，，直接写出种草区域的面积和． 25.本小题分 如图，和都是等腰直角三角形，． 【猜想】如图，点在上，点在上，线段与的数量关系是______，位置关系是______； 【探究】：把绕点旋转到如图的位置，连接，，中的结论还成立吗？说明理由； 【拓展】：把绕点在平面内自由旋转，若．，当，，三点在同一直线上时，直接写出的长． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：，，不是中心对称图形，是中心对称图形， 故选：． 2.【答案】  【解析】解：、运算是是整式乘法，不是因式分解，不符合题意； B、运算是因式分解，但是因式分解错误，不符合题意； C、等式右边不是积的形式，不是因式分解，不符合题意； D、，是因式分解，符合题意； 故选：． 把一个多项式化成几个整式的乘积形式叫做因式分解，据此逐一判断即可． 本题主要考查了因式分解的定义，熟练掌握因式分解的定义是关键． 3.【答案】  【解析】解：， ， 则， 故选：． 依次移项、合并即可得出答案． 本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤和依据． 4.【答案】  【解析】解：若， 两边同时乘以得，则符合题意， 两边同时减去得，则不符合题意， 当时，，则不符合题意， 两边同时除以得，则不符合题意， 故选：． 利用不等式的性质逐项判断即可． 本题考查不等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 5.【答案】  【解析】解：的垂直平分线交于点，交于点， ， 的周长等于， ， ， 即， ． 故选：． 先根据线段垂直平分线的性质得到，再利用三角形的周长定义得到，然后利用等线段代换得到，从而可求出的长． 本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 6.【答案】  【解析】解：把分式中的、分别用、代替得： ， 分式的值保持不变， 故选：． 把分式中的、分别用、代替，求出所得分式与原分式相比较即可． 本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是关键． 7.【答案】  【解析】解：正多边形的外角和是，每个外角都是， 这个正多边形的边数是：， 这个正多边形是正五边形， 故选：． 根据正多边形的外角和是和正多边形的每个外角都相等，列出算式求出边数即可． 本题主要考查了多边形的外角与内角，解题关键是熟练掌握正多边形的定义和性质． 8.【答案】  【解析】解：四边形是平行四边形，对角线，相交于点， ， 点是上一点，， ， 是的中点，是的中点，， ， ， ▱的周长为， 故选：． 由平行四边形的性质得，因为点是上一点，，所以，而，求三角形中位线定理得，即可求得▱的周长为，于是得到问题的答案． 此题重点考查平行四边形的性质、三角形中位线定理、平行四边形的周长等知识，推导出，并且求得，是解题的关键． 9.【答案】  【解析】解：由作图可得，平分， ，故选项A不符合题意； ，， ，故选项B不符合题意； 在中，，， ， 的面积的面积的面积， ， ， 解得， ，故选项C符合题意； ， ：：，故选项D不符合题意． 故选：． 由基本作图可判断；根据角平分线的性质可判断；由三角形的面积公式求出再根据勾股定理求出，可判断；求出的长可判断． 本题考查了作图基本作图、角平分线的性质的运用，勾股定理，解决本题的关键是掌握角平分线的性质，即角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 10.【答案】  【解析】解：绕点逆时针旋转，每次旋转， 每旋转次，回到原来位置． ， 第次旋转后点的位置与第次旋转后点的位置相同． 由题意可知，第次旋转后点的对应点与点关于原点对称． 如图，过点作轴于点， 点， ， ． ， ， ， ，， ， 点的坐标为， 点的坐标为， 即第次旋转后，点的坐标为． 故选：． 由题意得每旋转次，回到原来位置．根据，可知第次旋转后点的位置与第次旋转后点的位置相同．由题意可知，第次旋转后点的对应点与点关于原点对称．过点作轴于点，可得，，，则，可得点的坐标为，则点的坐标为，进而可得答案． 本题考查坐标与图形变化旋转、规律型：点的坐标、等腰三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 11.【答案】  【解析】解：依题意得：且， 解得． 故答案是：． 分式的值为零，分子等于零且分母不等于零． 本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：分子为；分母不为这两个条件缺一不可． 12.【答案】  【解析】解：， 三边长分别为、、的三角形构成直角三角形，其中的直角边是、， 此三角形的面积为． 先根据勾股定理的逆定理判定三角形是直角三角形，再利用面积公式求得面积． 本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 13.【答案】  【解析】解：由旋转得，，， ， 即． ， ， ， ． ， ， ， ． 故答案为：． 由旋转得，，则，即由已知条件可得，根据，可得，则，进而可得． 本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 14.【答案】  【解析】解：直线与直线为常数，相交于点， 当时，， 即关于的不等式的解集为． 故答案为：． 结合函数图象，写出直线在直线的上方所对应的自变量的范围即可． 本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，通过比较两函数图象的高低，即比较两个函数值的大小得到对应的自变量的范围，从而确定不等式的解集． 15.【答案】  【解析】解：沿着方向平移到的位置， ≌，， ，， ， ， 故答案为：． 先根据图形平移的性质得出≌，故可得出，，进而可得出，据此可得出结论． 本题考查的是平移的性质，熟知把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等是解题的关键． 16.【答案】  【解析】解：如图，分别延长、交于点， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， 与互相平分， 为的中点， 正好为中点，即在的运动过程中，始终为的中点，所以的运行轨迹为的中位线， ，， 当在中点时，， 当在中点时，的值最小， 和是等边三角形， ， 是等边三角形， ， 当在中点时，， ， 的最小值是， 故答案为：． 分别延长、交于点，易证四边形为平行四边形，得出为中点，则的运行轨迹的中位线，得出，从而求得且大于等于与间垂线段的长，进而可以解决问题． 本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理及等边三角形的性质，解答本题的关键是作辅助线，找到点移动的规律，判断出其运动路径，综合性较强． 17.【答案】；   ．  【解析】解：原式 ； 原式 ． 先提取公因式，再根据平方差公式分解即可； 先提取公因式，再根据完全平方公式分解即可． 本题考查了因式分解．熟练掌握该知识点是关键． 18.【答案】  整数解为，，，．  【解析】解：去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，． 在数轴上表示为： ． 解不等式，得； 解不等式，得； 不等式组的解集为：． 整数解为，，，． 按照去括号，移项，合并同类项，系数化成即可； 先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可． 本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，能求出不等式或不等式组的解集是解此题的关键． 19.【答案】；  ，．  【解析】原式 ； 原式 ， 当时，原式． 先通分，再把分子相加减即可； 先算括号里面的，再算除法，再把代入进行计算即可． 本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 20.【答案】证明：，， ， 是的中点， ， 在与中 ≌， ， ， 是等腰三角形．  【解析】先根据，，得出和是直角三角形，再根据得出≌，证出，从而判断出的形状． 本题考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 21.【答案】作图见解析，；   作图见解析；  ．  【解析】解：根据平移的性质和题意可知，向右平移个单位得到，如图即为所求；    点平移后对应点的坐标为， 故答案为：； 绕原点逆时针旋转得到的，如图即为所求；   ； 由题意可得：，， 点经过的路径长为． 根据平移的性质画出三角形，得出对应点的坐标即可解答； 根据旋转的定义画出图形即可； 求解，，再利用弧长公式计算即可． 本题主要考查了作图旋转变换，轨迹，作图平移变换，熟练掌握旋转与平移的性质是解答本题的关键． 22.【答案】见解析；   ．  【解析】证明：四边形是平行四边形， ， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ， 四边形是平行四边形； 解：四边形是平行四边形，， ， ， ， ， ，， 四边形的面积． 根据平行四边形的性质得到，求得，根据全等三角形的性质得到，，求得，根据平行四边形的判定定理得到结论； 根据平行四边形的性质得到，根据勾股定理得到，根据平行四边形的面积公式即可得到结论 本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键． 23.【答案】型机器人每小时搬运材料，型机器人每小时搬运材料；   至少购进型机器人台．  【解析】设型机器人每小时搬运材料，则型机器人每小时搬运材料， 根据题意列分式方程得，， 整理得，， 解得， 经检验，是所列方程的解， 当时，， 答：型机器人每小时搬运材料，型机器人每小时搬运材料； 设购进型机器人台，则购进型机器人台， ， 解得， 是整数， ， 的最小值为， 答：至少购进型机器人台． 设型机器人每小时搬运材料，则型机器人每小时搬运材料，根据“型机器人搬运材料所用的时间与型机器人搬运材料所用的时间相同”建立方程并求解即可； 设购进型机器人台，则购进型机器人台，根据“每小时搬运材料不得少于”列出不等式并解答即可． 本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意找出等量关系及不等式关系是解题的关键． 24.【答案】，；   ；   ；   ．  【解析】，； 故答案为：，； ， 因为，， 所以原式， 故答案为：； 设，， 因为， 所以，， ； 因为， ，， 所以， 即， 因为， 设，， 所以， ， 即， ． 根据图形，，； ，因为，，代入数据计算即可； 因为，设，，可得，，所以，代入数据计算即可； 因为于点，，所以设，，所以，即，因为种花区域的面积和为，所以，，据此可得即，种草区域的面积和是，代入数据计算即可． 本题考查了因式分解的应用、多项式乘多项式、完全平方公式的几何背景，解决本题的关键是运用数形结合的思想解决问题． 25.【答案】，； 中的结论还成立．理由如下： 如图，与交于，与交于， 由题意可知：， ， ， 在与中， ， ≌， ，， 又，， 在中， ， ， ， 所以结论成立； 或．  【解析】解：和都是等腰直角三角形， ，， ， ， 点在上，点在上，且， ， 故答案为：，； 中的结论还成立．理由如下： 如图，与交于，与交于， 由题意可知：， ， ， 在与中， ， ≌， ，， 又，， 在中， ， ， ， 所以结论成立； 分两种情况讨论： 当点在线段上时，如图，过点作于， 是等腰直角三角形，且， ， ， ， 在中，， ， ； 在中，， ， 在中， ； 当点在线段上时，如图，过点作于， 是等腰直角三角形，且， ， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， 在中， ； 综上，的长为或． 利用等腰直角三角形的性质得出，，再作差，得出，再用，即可得出结论； 先由旋转的性质得出，进而判断出≌，得出，，与交于，与交于，利用全等的性质和对顶角相等进而得出，即可得出结论； 分两种情况，当点在线段上时，如图，过点作于，求出，再用勾股定理得到； 当点在线段上时，如图，过点作于，求出，再用勾股定理得到． 此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$