精品解析：福建省厦门第一中学2022-2023学年高一上学期入学考试数学试卷

厦门一中2022级高一入学考试数学试题卷 （考试时间为120分钟，本卷满分150分） 一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式进行计算，其中为子弹的加速度，为枪筒的长.如果，，那么子弹射出枪口时的速度（用科学记数法表示）为（ ） A. B. C. D. 2. 函数的自变量的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 3. 一次函数中，的值随值的增大而增大，且，则点在（ ） A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限 4. 在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数2的点的距离.当取得最小值时，的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 5. 甲、乙、丙、丁的衬衫上各印有一个号码，甲说“我是2号，乙是3号”；乙说“我是2号，丙是4号”；丙说“我是3号，丁是2号”；丁说“我是1号，乙是3号”，他们四人都只说对一半，则甲是（ ） A. 1号 B. 2号 C. 3号 D. 4号 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 7. 如下图，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，点是轴上一点，点，分别为直线和轴上的两个动点，当周长最小时，点，的坐标分别为（ ） A ， B. ， C. ， D. ， 8. 关于的一元一次不等式组有解，且使关于的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数的值之和是（ ） A. 8 B. 5 C. 3 D. 2 9. 平面直角坐标系中，点在轴的非负半轴上运动，点在轴上运动，满足.点为线段的中点，则点运动路径的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点在双曲线上，点在直线上，与关于轴对称，直线与轴交于点，当四边形是菱形时，有以下结论：①；②当时，；③；④，其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ②③④ D. ①②③ 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 11. 已知，则最小值为______. 12. 已知关于的不等式的解是，则关于的不等式的解为______． 13. 已知，是方程的两根，则代数式______. 14. 已知满足，则使一次函数的图象经过一、二、四象限的的概率是______. 15. 如图中，，，以为边向三角形外作等边，连，则的最大值为______. 16. 有一组数据：，，，，.记，则______. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中 18. 已知二次函数. （1）若，求二次函数在上的最大值和最小值； （2）当时，二次函数的最小值为，求实数的值. 19. 为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，学校团委在八、九年级各抽取50名团员开展团知识竞赛，为便于统计成绩，制定了取整数的计分方式，满分10分.竞赛成绩如图所示： 众数 中位数 方差 八年级竞赛成绩 7 8 1.88 九年级竞赛成绩 a 8 b （1）你能用成绩的平均数判断哪个年级的成绩比较好吗？通过计算说明； （2）请根据图表中的信息，回答下列问题. ①表中______，______； ②现要给成绩突出的年级颁奖，如果分别从众数和方差两个角度来分析，你认为应该给哪个年级颁奖？ （3）若规定成绩10分获一等奖，9分获二等奖，8分获三等奖，则哪个年级的获奖率高？ 20. 如图，某水渠横断面是以为直径的半圆，其中水面截线.小明在处测得垂直站立于处的爸爸头顶的仰角为，点的俯角为.已知爸爸的身高为. （1）求的大小及的长； （2）请在图中画出线段，用其长度表示最大水深，并求最大水深约为多少米（结果保留小数点后一位）.（参考数据：，） 21. 如图，在中，，，点在边上由点向点运动（不与点重合），过点作，交射线于点. （1）当时，求的长； （2）求运动过程中线段长度的最小值. 22. 已知抛物线过点. （1）若点也在该抛物线上，请用含的关系式表示； （2）若该抛物线上任意不同两点、都满足：当时，；当时，；若以原点为圆心，为半径的圆与抛物线的另两个交点为、（点在点左侧），且有一个内角为，求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，若点与点关于点对称，且、、三点共线，求证：平分. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 厦门一中2022级高一入学考试数学试题卷 （考试时间为120分钟，本卷满分150分） 一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式进行计算，其中为子弹的加速度，为枪筒的长.如果，，那么子弹射出枪口时的速度（用科学记数法表示）为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意求出子弹射出枪口时的速度，用科学记数法表示，即得答案. 【详解】由，，得（）， 故选：D 2. 函数的自变量的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式和根式求解函数的定义域即可. 【详解】因为函数，要使函数有意义， 则且， 解得则且， 解得且. 故选：C. 3. 一次函数中，的值随值的增大而增大，且，则点在（ ） A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数的性质可判断a的正负，进而判断b的正负，即得答案. 【详解】由于一次函数中，的值随值的增大而增大， 故，则，结合，知， 故点在第三象限， 故选：B 4. 在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数2的点的距离.当取得最小值时，的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合题意讨论x的范围，比较即可求得答案. 【详解】当时，； 当时，； 当时，， 由此可知的最小值为3， 当取得最小值时，的取值范围是， 故选：C 5. 甲、乙、丙、丁的衬衫上各印有一个号码，甲说“我是2号，乙是3号”；乙说“我是2号，丙是4号”；丙说“我是3号，丁是2号”；丁说“我是1号，乙是3号”，他们四人都只说对一半，则甲是（ ） A. 1号 B. 2号 C. 3号 D. 4号 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用假设法进行推理即可判断得解. 【详解】若甲是2号，则乙是3号错误，则由乙说得丙是4号，由丙说得丁是2号， 此时丁说“我是1号，乙是3号”都错，不符合题意； 若乙是3号，则由乙说得丙是4号，由丙说得丁是2号，由丁说得乙是3号，符合题意，此时甲是1号. 故选：A 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据完全平方式进行化简计算. 【详解】由已知 ， 则， 解得或， 则或， 即， 故选：C. 7. 如下图，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，点是轴上一点，点，分别为直线和轴上的两个动点，当周长最小时，点，的坐标分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】作关于轴的对称点，作关于的对称点，连接交轴于，交于，有，即此时周长最小，求出点坐标，可得直线方程，与联立求出点坐标，令可得点坐标. 【详解】作关于轴的对称点， 作关于的对称点， 连接交轴于，交于，所以， 此时周长最小，即， 由，直线方程为，所以，解得， 所以，可得直线方程为，即， 由，解得，所以， 令可，所以. 故选：C. 8. 关于的一元一次不等式组有解，且使关于的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数的值之和是（ ） A. 8 B. 5 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式组以及分式方程的求解，结合题意，解得参数，可得答案. 【详解】由不等式，去分母可得，化简可得，解得， 由不等式，则， 由题意可得不等式组的解集可表示为， 可得，解得， 由分式方程，去分母可得， 化简可得，由题意解得，则， 当时，，经检验是增根，应舍去， 当时，，经检验是原方程的根， 所以. 故选：D. 9. 平面直角坐标系中，点在轴的非负半轴上运动，点在轴上运动，满足.点为线段的中点，则点运动路径的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为，根据得出，然后分两种情况，或，得出与的函数关系式，即可得出横纵坐标的关系式，找出点的运动轨迹，根据勾股定理求出运动轨迹的长即可． 【详解】设点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为， ，， 当时，，，即， 此时点在一条线段上运动，线段的一个端点在轴的负半轴上，坐标为， 另一端在轴的非负半轴上，坐标为， 此时点的运动路径长为； 当时，，，即， 此时点在一条线段上运动，线段的一个端点在轴的非负半轴上，坐标为， 另一端在轴的非负半轴上，坐标为， 此时点的运动路径长为； 综上可知，点运动路径的长为，故B正确． 故选：B． 10. 如图，点在双曲线上，点在直线上，与关于轴对称，直线与轴交于点，当四边形是菱形时，有以下结论：①；②当时，；③；④，其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ②③④ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】设，，由四边形是菱形，即，求得，，进而依次逐个计算判断. 详解】设，则，，，， 当四边形是菱形时，则，即， 解得，， 所以点的坐标为，故①错误； 当时，，故②正确； 将点代入直线，得，解得，故③正确； ，故④错误. 综上，正确的有②③. 故选：B. 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 11. 已知，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】，代入后得到，求出最小值. 【详解】，故，将其代入中，得 ， 所以当时，取得最小值5. 故答案为：5 12. 已知关于的不等式的解是，则关于的不等式的解为______． 【答案】或 【解析】 【分析】依题意可得和是方程的两个实根，再根据根与系数的关系得，在分和两种情况讨论即可求解答案． 【详解】由关于的不等式的解是， 则和是方程的两个实根， 由根与系数的关系得，整理得， 则当时，关于不等式转化为，解得； 当时，关于的不等式转化为，解得． 综上关于的不等式的解为或． 故答案为：或． 13. 已知，是方程的两根，则代数式______. 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系，再将代数式变形即可求解. 【详解】，是方程两根， ，，， . 故答案为：. 14. 已知满足，则使一次函数的图象经过一、二、四象限的的概率是______. 【答案】 【解析】 【分析】由及已知，求出为负数的个数，进而求出概率. 【详解】由，， 得为负数的个数为， 由直线的图象经过一、二、四象限，得， 所以所求概率为. 故答案为： 15. 如图中，，，以为边向三角形外作等边，连，则的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】以为边，向三角形外作等边，连接，证出≌，所以，的最大值即为的最大值，又为定值，数形结合得到最值. 【详解】以为边，向三角形外作等边，且与在的两侧， 连接， 因为，均为等边三角形， 所以，，， 故，即， 故≌，所以， 的最大值即为的最大值， 又为定值， 故当三点共线时，取得最大值，最大值为9. 故答案为：9 16. 有一组数据：，，，，.记，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先将数列通项裂成两项，再对这两项分别裂项求和计算得出. 【详解】因为 ， ， ， ， . 上述12个式子相加得： ， . 故答案为：. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中. 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】（1）根据指数运算公式直接计算； （2）根据实数运算律进行化简计算. 【详解】（1） ； （2） 原式. 18 已知二次函数. （1）若，求二次函数在上的最大值和最小值； （2）当时，二次函数的最小值为，求实数的值. 【答案】（1）最大值为16，最小值为0 （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的对称轴与区间端点的位置远近关系，判断函数的最值； （2）由对称轴与区间的三种位置关系分类讨论函数的最小值，并由最小值求参数的值. 【小问1详解】 当时，，对称轴为，抛物线的开口向上. ，，对称轴在两端点之间，端点离对称轴更远， 所以时，函数有最大值为16，在对称轴时，函数有最小值为0. 故函数的最大值为16，最小值为0. 【小问2详解】 因为，对称轴为，抛物线开口向上. ①当时，即，，，且， 两个端点都在对轴的右边，端点离对称轴更近， 所以时，函数有最小值，令，得，不符合题意； ②当时，即，，， 对称轴在两端点之间，所以函数在对称轴时时，函数有最小值， 令，得或； ③当时，即，，，且， 两端点都在对称轴的左边，端点离对称轴更近， 所以时函数有最少值，令，得，不符合题意. 综上所述，. 19. 为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，学校团委在八、九年级各抽取50名团员开展团知识竞赛，为便于统计成绩，制定了取整数的计分方式，满分10分.竞赛成绩如图所示： 众数 中位数 方差 八年级竞赛成绩 7 8 1.88 九年级竞赛成绩 a 8 b （1）你能用成绩的平均数判断哪个年级的成绩比较好吗？通过计算说明； （2）请根据图表中的信息，回答下列问题. ①表中的______，______； ②现要给成绩突出的年级颁奖，如果分别从众数和方差两个角度来分析，你认为应该给哪个年级颁奖？ （3）若规定成绩10分获一等奖，9分获二等奖，8分获三等奖，则哪个年级获奖率高？ 【答案】（1）无法判断，答案见解析 （2）①8，1.56；②九年级 （3）九年级 【解析】 【分析】（1）根据平均数公式计算得两年级的平均数相等，所以无法判定； （2）①根据折线图找到众数，根据公式计算方差；②通过对比两年级的众数和方差，分析得到结论，综合起来得到结果； （3）根据分数计算得奖率，比较得到结果； 【小问1详解】 无法判断，计算如下： 由题意得： 八年级成绩的平均数是：（分）， 九年级成绩的平均数是：（分）， 故用平均数无法判定哪个年级的成绩比较好； 【小问2详解】 ①九年级竞赛成绩中8分出现的次数最多，故众数a=8分； 九年级竞赛成绩的方差为： ， 故答案为：8；1.56； ②如从众数角度看，八年级的众数为7分，九年级的众数为8分，所以应给九年级颁奖； 如从方差角度看，八年级的方差为1.88，九年级的方差为1.56， 又因为两个年级的平均数相同，九年级的成绩的波动小，所以应该给九年级颁奖， 故如果分别从众数和方差两个角度来分析，应该给九年级颁奖； 【小问3详解】 八年级的获奖率为：， 九年级的获奖率为：， 因为，所以九年级的获奖率高． 20. 如图，某水渠的横断面是以为直径的半圆，其中水面截线.小明在处测得垂直站立于处的爸爸头顶的仰角为，点的俯角为.已知爸爸的身高为. （1）求的大小及的长； （2）请在图中画出线段，用其长度表示最大水深，并求最大水深约为多少米（结果保留小数点后一位）.（参考数据：，） 【答案】（1）， （2）图象见解析，米 【解析】 【分析】（1）在中，解直角三角形求得答案； （2）过点作，交于点，交半圆于点，连接，过点作于，通过，求得结果. 【小问1详解】 ∵水面截线， ，，， 在中，，， ，解得. 【小问2详解】 过点作，交于点，交半圆于点，连接，过点作于，如图所示： 水面截线，，，， 为最大水深， ， ， ， 且， ， ，即， 即 在中，，， ，即，解得， ， 最大水深约为米. 21. 如图，在中，，，点在边上由点向点运动（不与点重合），过点作，交射线于点. （1）当时，求的长； （2）求运动过程中线段长度的最小值. 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）方法一：可设，，则，， 进一步，也用表示出来，再由得，列出关于的方程，解方程即可得到答案；方法二：以点为坐标原点，为轴，为轴建立直角坐标系，，，各点坐标用，表示出来，由可得到，的关系式，再由，列方程即可得到答案. （2）方法一：由几何关系易得=，由重要不等式可得到，由，可得到，再由，的关系代入，可得到关于的不等式，即可得到答案；方法二：由第一问的方法二可建立，的关系式，再配方可得到的最小值. 【小问1详解】 方法一：分别过点，作的垂线，相交于点，，则， ∴，∵， ∴，∴， 设，，则，， 在中，，AB=6 则， 在中，， 则 在中，，， ∴，∴ 由得，即 解得：，（舍） 故. 方法二： 如图建立直角坐标系，依题意可知，设， 则有直线的解析式为 ， 设，， 所以，， 因为，则有，代入化简得：， ，即，联立方程求解可得. 【小问2详解】 方法一：由（1）知 ，，∴， ∴. ∵，，∴，∴， ∴， ∴， ∵， ∴，∴， ∵，∴， ∵，∴， ∴，故的最小值为4. 方法二：由小问1的方法二可知， 当且仅当时取等. 故的最小值为4. 22. 已知抛物线过点. （1）若点也在该抛物线上，请用含的关系式表示； （2）若该抛物线上任意不同两点、都满足：当时，；当时，；若以原点为圆心，为半径的圆与抛物线的另两个交点为、（点在点左侧），且有一个内角为，求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，若点与点关于点对称，且、、三点共线，求证：平分. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入，即可得答案； （2）判断函数图象的升降，判断函数的对称轴以及开口，再结合题意判断形状，求出点C坐标，代入求得a，即可求得答案； （3）由题意可设点关于轴的对称点为点，表示出点的坐标为，，结合直线方程证明点在直线上，即可证明结论. 【小问1详解】 （1）把点、分别代入， 得，所以． 【小问2详解】 如图1，当时，， ，，当时，随的增大而减小； 同理：当时，随的增大而增大， 抛物线的对称轴为轴，开口向上，． 以原点为圆心，为半径的圆与拋物线的另两个交点为、， 为等腰三角形， 又有一个内角为，为等边三角形． 设线段与轴交于点，则，且， 又， ，． 不妨设点在轴右侧，则点的坐标为． 点在抛物线上，且，， ，， 抛物线的解析式为． 【小问3详解】 证明：由（1）可知，点的坐标为，点的坐标为， 如图，设直线的解析式为． 、、三点共线，，，且， ，，，即， 点的坐标为， 设点关于轴的对称点为点，则点的坐标为， 点是点关于点的对称点， ，点的坐标为． 设直线的解析式为， 点的坐标为， ，， 直线的解析式为． ， 点在直线上， 平分． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$