第十章 整式的加减（举一反三单元测试·拔尖卷）数学沪教版五四制2024七年级上册

第十章 整式的加减·拔尖卷 【沪教版五四制2024】 考试时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25六年级上·山东淄博·期末）如果多项式与的和是一个单项式，则a与的关系是（   ） A． B． C． D． 2．（3分）（24-25七年级上·河北邢台·期末）下列说法中正确的是（   ） A．的系数是，次数是 B．单项式的系数是，次数是 C． 是二次四项式 D．多项式的次数是，项数是 3．（3分）（24-25七年级上·河南平顶山·期末）观察下列关于的单项式，探究其规律：，，，，，，…，按照上述规律，第100个单项式是（   ） A． B． C． D． 4．（3分）（2025·陕西咸阳·三模）对于任意实数，定义，则对于实数的化简结果为（   ） A． B． C． D． 5．（3分）（24-25八年级下·重庆黔江·期末）已知整式，其中均为整数，为正整数，n为自然数，且满足．则下列说法： ①当时，满足条件的整式M中有1个单项式； ②不存在任何一个n，使得满足条件的整式M是二次三项式； ③满足条件的整式M共有14个． 其中正确的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．（3分）（24-25七年级上·湖北武汉·期末）已知，，，为常数，，，若的取值与无关，是不含的多项式，且恒成立，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．（3分）（24-25七年级上·山东滨州·期末）在学习了整式的加减后，老师给出下面这道课堂练习题：选择的一个值，求的值.学生甲、乙、丙、丁对此题说法错误的是：（   ） A．甲说：“当时，原式．” B．乙说：“当时，原式．” C．丙说：“当时，原式．” D．丁说：“当取1或时，原式的值都是．” 8．（3分）（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）将如图1的张长为，宽为的小长方形纸片按图的方式不重叠地放在长方形内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，若图中阴影部分（即两个长方形）的面积分别表示为，，则的值是（   ） A．3 B．2 C．0 D． 9．（3分）（24-25七年级上·全国·期末）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．（3分）（24-25七年级上·贵州贵阳·期末）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图①，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，若，y比x大2，将x，y填入图②的幻方中，则的值为（ ） A．12 B．16 C． D． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（23-24七年级上·四川遂宁·期末）当，时，代数式的值为 ． 12．（3分）（23-24七年级上·云南昭通·期末）若单项式与的和仍是一个单项式，则 ． 13．（3分）（24-25七年级上·江西赣州·阶段练习）若多项式是关于的三次多项式，则多项式的值为 ． 14．（3分）已知有理数，，在数轴上的位置如图所示，化简： ． 15．（3分）（24-25七年级下·重庆·阶段练习）一个四位自然数M，各个数位上的数字均不为0，且各个数位上的数字均不相同．若这个数的前两位数加上这个数的后两位数，所得的和为66，则称四位数M为“顺意数”．如是“顺意数”，最大的“顺意数”是 ；若有一个“顺意数”N，这个数的前两位减去这个数的后两位，所得的差能被7整除，则满足条件的四位自然数N最大值为 ． 16．（3分）（24-25七年级下·重庆黔江·期末）已知三位自然数，若的百位数字与个位数字的和是十位数字的平方，我们把这样的三位数叫做“和方数”．例如：三位数123，，123是“和方数”；例如：三位数649，，649不是“和方数”；若是“和方数”，且（，是整数），把的百位数字和个位数字交换（十位数字不变）得到一个数，规定． （1） ． （2）已知数是“和方数”，若，则满足条件的的值是 ． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25七年级下·黑龙江大庆·阶段练习）先化简，再求值： (1)，其中与互为相反数； (2)已知，求的值． 18．（6分）（2025·河北唐山·二模）已知． (1)计算； (2)若、满足，求的值． 19．（8分）（24-25七年级上·江西鹰潭·阶段练习）淇淇在计算多项式A减去多项式时，因一时疏忽忘了将两个多项式用括号括起来，得到的结果是． (1)求这个多项式A； (2)若x是最大的负整数，求多项式A的值． 20．（8分）（24-25九年级下·福建厦门·阶段练习）观察下列五组整式：①；②；③；④；⑤．这五组整式都具有某些共同特征，我们把具有这些特征的一个整式组称为“平移整式组”． (1)若某个“平移整式组”中的第一个整式为，第二个整式为． ①直接写出a的值：______________； ②请求出该“平移整式组”中的第三个整式； (2)若（m为常数）是一个“平移整式组”，求b的值． 21．（10分）（24-25七年级上·湖南娄底·期末）我们知道，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛.如，类似的，我们把看成一个整体，则 ，请仿照上面的解题方法，完成下列问题： (1)化简； (2)若，计算； (3)已知，，计算． 22．（10分）（24-25六年级上·山东东营·期末）【知识回顾】 在学习代数式求值时，遇到这样一类题，“代数式的值与的取值无关，求的值”．通常的解题方法是把看作字母，把看作系数合并同类项．因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，其中，则． 【知识应用】 （1）当 ， 时，关于的多项式不含项和项 ． （2）已知，且 的值与的取值无关，求的值． 【知识拓展】 （3）春节快到了，某超市计划购进甲、乙两种羽绒服共30件进行销售，甲种羽绒服每件进价700元，每件售价1020元；乙种羽绒服每件进价500元，销售利润率为．购进羽绒服后，超市决定：每售出一件甲种羽绒服，返还顾客现金元，乙种羽绒服售价不变．设购进甲种羽绒服件，当销售完这30件羽绒服的利润与的取值无关时，求的值． 23．（12分）（24-25七年级下·北京·期末）在日历图中有许多奥秘，如图是某月的日历，请仔细观察并思考下列问题： 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 （1）课上我们探究了“3×3”型框架问题，如图框住的九个数的和与正中间数的关系为 ； （2）我们还可以用如图所示的“X”字型框架任意框住日历中的5个数（如图中的阴影部分），探究“”字型框架中的五个数的和与正中间数的关系． 例如图中“”字型框架框住的五个数的和为： 2+4+10+16+18=50， 5+7+13+19+21=65； 设“”字型框架中正中间数为m，探究“”字型框架中的五个数的和与正中间数的关系，请利用所学知识说明理由； （3）如图所示的“”字型框架框住的五个数之和可以是120吗？如果可以，请写出正中间的数；如果不可以，请说明理由． 24．（12分）（2025·山西吕梁·二模）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 神秘的数字黑洞 在数字的浩瀚宇宙中，总有一些特殊的存在，它们像隐藏在迷雾里的宝藏，吸引着无数人去探索．数字黑洞就是其中之一．所谓的数字黑洞是指：若选定某些自然数通过有限次“特定数学运算”后，结果必然得到固定数值的整数．这个固定整数我们称为数字黑洞，本文中“特定数学运算”是指“重排求差”，即将数字各位重新排列组成最大数减去最小数． 四位数黑洞研究： 取任意一个四位数（四个数字均为同一个数的，以及三个数字相同，另外一个数字与这个数字相差，如，等除外），将该数的四个数字重新排列，形成可能的最大数和可能的最小数，再将两者之间的差求出来；对此差值重复同样过程，最后总是得到，我们称为四位“黑洞”数． 例如：取四位数； 大数：取这四个数字能构成的最大数，本例为：； 小数：取这四个数字能构成的最小数，本例为：； 差：求出大数与小数之差，本例为：； 重复：对新数按以上算法求得新数为：； 重复：对新数按以上算法求得新数为：； 重复：． 任务： (1)学习小组成员，取六位数，用一次“重排求差”法，将结果设置为微信支付密码，这个密码是 ； (2)类比阅读内容，小组成员研究三位数黑洞时发现：任取一组互不相等的三个数字，经过有限次上述“重排求差”操作后，最终会得到一个固定的数字黑洞，这个数是 ； (3)小组成员发现：在研究三位数黑洞时，任取一组互不相等的三个数字，“重排求差”操作中，最大数和最小数的差能被整除，请证明这个结论． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十章 整式的加减·拔尖卷 【沪教版五四制2024】 参考答案与试题解析 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25六年级上·山东淄博·期末）如果多项式与的和是一个单项式，则a与的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的加减运算、单项式的定义等知识点，根据单项式的定义得到是解题的关键． 根据整式的加减运算法则化简，让结果成为单项式，即可确定a与的关系． 【详解】解： ， ∵是单项式， ∴，即． 故选B． 2．（3分）（24-25七年级上·河北邢台·期末）下列说法中正确的是（   ） A．的系数是，次数是 B．单项式的系数是，次数是 C． 是二次四项式 D．多项式的次数是，项数是 【答案】D 【分析】本题主要考查了单项式与多项式的有关概念，分别根据单项式中的数字因数是单项式的系数，单项式所有字母的指数和为单项式的次数，多项式中次数最高项的次数是多项式的次数，进而得出答案，正确把握相关定义是解题的关键． 【详解】解：、的系数是，次数是，原说法不正确，不符合题意； 、单项式的系数是，次数是，原选项说法不正确，不符合题意； 、 是二次三项式，原选项说法不正确，不符合题意； 、多项式的次数是，项数是，原选项说法正确，符合题意； 故选：． 3．（3分）（24-25七年级上·河南平顶山·期末）观察下列关于的单项式，探究其规律：，，，，，，…，按照上述规律，第100个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数字变化类和单项式，根据题意可总结规律为：奇数个单项式的系数为正，偶数个单项式的系数为负，第个单项式系数，次数是，从而利用规律即可解答，理解题意，总结出规律，并利用规律解题是关键． 【详解】解：单项式的次数为：2，，10，，26，， ； ； ； ； ； 第个单项式的系数为：， 第100个单项式的系数为：， 单项式的次数为：3，5，7，9，11，， 单项式的次数为：， 第100个单项式的次数为， 故第100个单项式是， 故选：D． 4．（3分）（2025·陕西咸阳·三模）对于任意实数，定义，则对于实数的化简结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目主要考查整式的加减运算，理解新定义运算法则是解题关键． 根据新定义法则化简，然后计算整式的加减法即可． 【详解】解：根据题意得： 故选：D． 5．（3分）（24-25八年级下·重庆黔江·期末）已知整式，其中均为整数，为正整数，n为自然数，且满足．则下列说法： ①当时，满足条件的整式M中有1个单项式； ②不存在任何一个n，使得满足条件的整式M是二次三项式； ③满足条件的整式M共有14个． 其中正确的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查整式的分类讨论，结合绝对值和非负整数的性质，分情况讨论各n的可能情况，并验证各说法的正确性即可． 【详解】解：∵整式，且满足 ∴： ⇒ （唯一情况），（单项式）． ： ⇒ ．． ∵为正整数，可能取1、2、3： 时， ⇒ （2种二项式）． 时， ⇒ （2种二项式）． 时， ⇒ （1种单项式）． 共5种，其中仅1个单项式（）． ： ⇒ ．； 为正整数，可能取1或2： 时，其他系数为0 ⇒（1种单项式）． 时，： ，（2种二项式）． ，（2种二项式）． 共5种，无三次项． ： ⇒ ，其他系数为0 ⇒（1种单项式）． ：不满足条件． 验证说法： ①当时，有1个单项式：正确（仅）． ②不存在二次三项式：正确（时，系数绝对值之和为1，无法形成三个非零项）． ③总共有14个整式：错误（实际总数为种）． 综上，正确的说法为①和②，共2个， 故选：C． 6．（3分）（24-25七年级上·湖北武汉·期末）已知，，，为常数，，，若的取值与无关，是不含的多项式，且恒成立，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的加减、代数式求值，解决本题的关键是求出、．根据题意，求出，且的取值与无关，所以，，即，；，因为是不含的多项式，所以，即；因为，将、、代入到式子中，可得，即，因为式子恒成立，所以，即，将、、、代入求出． 【详解】解：因为，， 所以 ， 因为的取值与无关， 所以，， 得：，； ； 因为是不含的多项式， 所以， 即， 因为， 即， ， 因为该式子恒成立， 所以， 即， ． 故选：A． 7．（3分）（24-25七年级上·山东滨州·期末）在学习了整式的加减后，老师给出下面这道课堂练习题：选择的一个值，求的值.学生甲、乙、丙、丁对此题说法错误的是：（   ） A．甲说：“当时，原式．” B．乙说：“当时，原式．” C．丙说：“当时，原式．” D．丁说：“当取1或时，原式的值都是．” 【答案】A 【分析】本题考查了整式的加减运算和代数式求值，本题先将化简为，然后再逐一核对选项，即可求解． 【详解】解： ， A、甲说：“当时，原式”，错误，原式应该，符合题意； B、 乙说：“当时，原式”，正确，不符合题意； C、丙说：“当时，原式”， 正确，不符合题意； D、丁说：“当取1或时，原式的值都是”，正确，不符合题意； 故选：A． 8．（3分）（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）将如图1的张长为，宽为的小长方形纸片按图的方式不重叠地放在长方形内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，若图中阴影部分（即两个长方形）的面积分别表示为，，则的值是（   ） A．3 B．2 C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查了列代数式、整式的加减，首先设，则有，，根据矩形的面积公式可以用含的代数式分别表示出、，再利用整式的加减法求出即可． 【详解】解：如下图所示， 设， 则，， ，， ． 故选：A． 9．（3分）（24-25七年级上·全国·期末）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的化简求值、绝对值的非负性，先根据绝对值的非负性求出x和y的值，再进行整式的加减运算，最后将x和y的值代入求解． 【详解】解： ， ，， ，， ， 故选B． 10．（3分）（24-25七年级上·贵州贵阳·期末）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图①，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，若，y比x大2，将x，y填入图②的幻方中，则的值为（ ） A．12 B．16 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加减、代数式求值，根据各数之间的关系，求出及的值是解题的关键．根据每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，可用含x，y，m，n的代数式表示出a，b，c，d，进而可得出，，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：根据题意得：，，，， ，， ． 故选：D． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（23-24七年级上·四川遂宁·期末）当，时，代数式的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了整式加减的化简求值，先去括号并合并同类项后，把字母的值代入化简结果计算即可． 【详解】解： 当，时， 原式 故答案为： 12．（3分）（23-24七年级上·云南昭通·期末）若单项式与的和仍是一个单项式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类项的定义，根据同类项的定义列出方程，再求解即可，掌握同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项． 【详解】解：由同类项的定义可知，， 解得，， ． 故答案为：． 13．（3分）（24-25七年级上·江西赣州·阶段练习）若多项式是关于的三次多项式，则多项式的值为 ． 【答案】3或5或1 【分析】本题考查了多项式的定义．分类讨论，根据多项式的次数为三次，超过三次的项的系数为0，即可求得的值，进而即可求解． 【详解】解：∵多项式是关于的三次多项式， 当时，，此时或6，则， ∴， ∴或1； 当，，此时，则， ∴， ∴； 故答案为：3或5或1． 14．（3分）已知有理数，，在数轴上的位置如图所示，化简： ． 【答案】-4a+2c 【分析】根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用求绝对值的法则化简，去括号，合并同类项，即可得到结果． 【详解】根据题意得：c＜-1＜b＜0＜1＜a， ∴b−c＞0，c-a＜0，a+b＞0， ∴原式=( b−c)-3(a-c)-(a+b)= b−c-3a+3c-a-b=-4a+2c， 故答案是：-4a+2c． 【点睛】此题考查了整式的加减，数轴，以及绝对值，掌握求绝对值法则，是解题的关键． 15．（3分）（24-25七年级下·重庆·阶段练习）一个四位自然数M，各个数位上的数字均不为0，且各个数位上的数字均不相同．若这个数的前两位数加上这个数的后两位数，所得的和为66，则称四位数M为“顺意数”．如是“顺意数”，最大的“顺意数”是 ；若有一个“顺意数”N，这个数的前两位减去这个数的后两位，所得的差能被7整除，则满足条件的四位自然数N最大值为 ． 【答案】 5412 5412 【分析】本题考查了新定义，整式的加减计算，正确理解题意是解题的关键． 记，则根据题意可得，那么或，求出即可求解最大的“顺意数”； 最大的“顺意数”是5412，且满足能被7整除，即可判断5412即为最大的“顺意数”N． 【详解】解：记，则， 由题意得：， ∴， ∴， ∵， ∴或， 当，则， 要使得最大，当时，则， 而互不相同， 则最大为4，那么等于2； 当，则， 要使得最大，则，故舍， ∴最大的“顺意数”是5412， ∵最大的“顺意数”是5412，而能被7整除， ∴满足前两位减去这个数的后两位，所得的差能被7整除， ∴N最大值为5412， 故答案为：5412，5412． 16．（3分）（24-25七年级下·重庆黔江·期末）已知三位自然数，若的百位数字与个位数字的和是十位数字的平方，我们把这样的三位数叫做“和方数”．例如：三位数123，，123是“和方数”；例如：三位数649，，649不是“和方数”；若是“和方数”，且（，是整数），把的百位数字和个位数字交换（十位数字不变）得到一个数，规定． （1） ． （2）已知数是“和方数”，若，则满足条件的的值是 ． 【答案】 18 633 【分析】本题主要考查对“和方数”的定义理解，以及根据条件筛选符合条件的数并进行计算．关键在于理解百位与个位数字之和等于十位数字的平方，并结合的整除性条件进行分析． 【详解】解：（1）； （2） ∴ 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25七年级下·黑龙江大庆·阶段练习）先化简，再求值： (1)，其中与互为相反数； (2)已知，求的值． 【答案】(1)，1 (2) 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，非负数的性质，熟知整式的加减计算法则是解题的关键． （1）先去括号，然后合并同类项化简，根据相反数的定义和非负数的性质求出的值，再代值计算即可得到答案； （2）先去括号，然后合并同类项化简，再利用整体代入法代值计算即可． 【详解】（1）解： ， ∵和互为相反数， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 当，时，原式． （2）解： ， ∵， ∴原式． 18．（6分）（2025·河北唐山·二模）已知． (1)计算； (2)若、满足，求的值． 【答案】(1) (2)99 【分析】本题主要考查整式的加减运算和非负数的性质以及代数式求值，正确运用去括号法则进行化简是解答本题的关键． （1）原式去括号，合并同类项即可得到答案； （2）根据非负数的性质求出的值，再代入（1）中结果进行计算即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ． （2）解：∵， ∴，． 解得：，． 将，代入， 原式． 19．（8分）（24-25七年级上·江西鹰潭·阶段练习）淇淇在计算多项式A减去多项式时，因一时疏忽忘了将两个多项式用括号括起来，得到的结果是． (1)求这个多项式A； (2)若x是最大的负整数，求多项式A的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减运算、代数式求值等知识点，掌握整式的加减运算法则成为解题的关键． （1）根据题意列出算式，然后根据整式的加减运算法则求解即可； （2）先确定，再代入A中求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，． ∴． （2）解：∵x是最大的负整数， ∴， ∴． 20．（8分）（24-25九年级下·福建厦门·阶段练习）观察下列五组整式：①；②；③；④；⑤．这五组整式都具有某些共同特征，我们把具有这些特征的一个整式组称为“平移整式组”． (1)若某个“平移整式组”中的第一个整式为，第二个整式为． ①直接写出a的值：______________； ②请求出该“平移整式组”中的第三个整式； (2)若（m为常数）是一个“平移整式组”，求b的值． 【答案】(1)①4；③ (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，多项式的定义、解方程等知识，解题的关键是： （1）①根据“平移整式组”的定义，前两个整式的二次项系数相同即可求解； ②根据“平移整式组”的定义知，用第一个多项式减去第二个多项式即可； （2）先根据“平移整式组”的定义得出，然后把等式的左边化简，可得出左边，从而得出，，，然后求解即可． 【详解】（1）解：①根据“平移整式组”的定义，前两个整式的二次项系数相同，即， 故答案为：4； ② ， ∴该“平移整式组”中的第三个整式； （2）解：由题意得： ∵左边 ， ∴，，， ∴，，． 21．（10分）（24-25七年级上·湖南娄底·期末）我们知道，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛.如，类似的，我们把看成一个整体，则 ，请仿照上面的解题方法，完成下列问题： (1)化简； (2)若，计算； (3)已知，，计算． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了合并同类项，代数式求值，解题的关键是熟练掌握整体思想的应用． （1）把看成一个整体，合并同类项即可； （2）根据得出，然后整体代入求值即可； （3）把式子，看作一个整体，代入求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴ ； （3）解：∵，， ∴ ． 22．（10分）（24-25六年级上·山东东营·期末）【知识回顾】 在学习代数式求值时，遇到这样一类题，“代数式的值与的取值无关，求的值”．通常的解题方法是把看作字母，把看作系数合并同类项．因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，其中，则． 【知识应用】 （1）当 ， 时，关于的多项式不含项和项 ． （2）已知，且 的值与的取值无关，求的值． 【知识拓展】 （3）春节快到了，某超市计划购进甲、乙两种羽绒服共30件进行销售，甲种羽绒服每件进价700元，每件售价1020元；乙种羽绒服每件进价500元，销售利润率为．购进羽绒服后，超市决定：每售出一件甲种羽绒服，返还顾客现金元，乙种羽绒服售价不变．设购进甲种羽绒服件，当销售完这30件羽绒服的利润与的取值无关时，求的值． 【答案】（1），1；（2）；（3）的值是20 【分析】本题主要考查了整式加减运算，以及列代数式，弄清题意是解本题的关键． （1）根据多项式不含项和项，列出方程解答即可； （2）先求，根据多项式的值与y的取值无关可知：化简后的多项式含有y的项的系数之和为0，列出方程解答即可； （3）根据甲乙两种羽绒服总数表示出乙种羽绒服的件数，根据进价×利润率＝售价−进价＝利润，根据获得的利润与x的取值无关求出a的值即可． 【详解】（1）∵关于x的多项式不含项和项， ∴，， ∴， （2）∵，， ∴ ∵的值与y的取值无关， ∴， ∴； （3）如果购进甲种羽绒服x件，那么购进乙种羽绒服件， 当购进的30件羽绒服全部售出后，所获利润为元； 若当销售完这30件羽绒服的利润与的取值无关时， ∴， 解得：， 则a的值是20． 23．（12分）（24-25七年级下·北京·期末）在日历图中有许多奥秘，如图是某月的日历，请仔细观察并思考下列问题： 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 （1）课上我们探究了“3×3”型框架问题，如图框住的九个数的和与正中间数的关系为 ； （2）我们还可以用如图所示的“X”字型框架任意框住日历中的5个数（如图中的阴影部分），探究“”字型框架中的五个数的和与正中间数的关系． 例如图中“”字型框架框住的五个数的和为： 2+4+10+16+18=50， 5+7+13+19+21=65； 设“”字型框架中正中间数为m，探究“”字型框架中的五个数的和与正中间数的关系，请利用所学知识说明理由； （3）如图所示的“”字型框架框住的五个数之和可以是120吗？如果可以，请写出正中间的数；如果不可以，请说明理由． 【答案】（1）这九个数的和是正中间数的9倍（2）这五个数的和是正中间数的5倍，理由见详解（3）五个数之和不可以是120，理由见解析 【分析】本题主要考查了有理数加法计算，整式的加减计算，解题的关键是理解题意，列出代数式． （1）根据题意，表示出各数，列出代数式求解即可； （2）根据题意，表示出各数，列出代数式求解即可； （3）根据题意，求出正中间数，再求出最大的数进行判断即可． 【详解】解：（1）设正中间的数为， 则这9个数依次为， ∴这9个数的和为， 所以，这九个数的和与是正中间数的9倍； （2）这五个数的和是正中间数的5倍，理由如下： 设“X”字型框架中正中间数为m，则这5个数依次为， ∴这5个数的和为， 所以，这五个数的和是正中间数的5倍； （3）五个数之和不可以是120，理由如下： ∵， ∴最大的数为，不符合题意， 所以，五个数之和不可以是120． 24．（12分）（2025·山西吕梁·二模）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 神秘的数字黑洞 在数字的浩瀚宇宙中，总有一些特殊的存在，它们像隐藏在迷雾里的宝藏，吸引着无数人去探索．数字黑洞就是其中之一．所谓的数字黑洞是指：若选定某些自然数通过有限次“特定数学运算”后，结果必然得到固定数值的整数．这个固定整数我们称为数字黑洞，本文中“特定数学运算”是指“重排求差”，即将数字各位重新排列组成最大数减去最小数． 四位数黑洞研究： 取任意一个四位数（四个数字均为同一个数的，以及三个数字相同，另外一个数字与这个数字相差，如，等除外），将该数的四个数字重新排列，形成可能的最大数和可能的最小数，再将两者之间的差求出来；对此差值重复同样过程，最后总是得到，我们称为四位“黑洞”数． 例如：取四位数； 大数：取这四个数字能构成的最大数，本例为：； 小数：取这四个数字能构成的最小数，本例为：； 差：求出大数与小数之差，本例为：； 重复：对新数按以上算法求得新数为：； 重复：对新数按以上算法求得新数为：； 重复：． 任务： (1)学习小组成员，取六位数，用一次“重排求差”法，将结果设置为微信支付密码，这个密码是 ； (2)类比阅读内容，小组成员研究三位数黑洞时发现：任取一组互不相等的三个数字，经过有限次上述“重排求差”操作后，最终会得到一个固定的数字黑洞，这个数是 ； (3)小组成员发现：在研究三位数黑洞时，任取一组互不相等的三个数字，“重排求差”操作中，最大数和最小数的差能被整除，请证明这个结论． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析． 【分析】此题考查了数字规律问题，列代数式，有理数的减法，整式的加减的应用，解题的关键是正确分析题意． （）根据“重排求差”法求解即可； （）任取三位数，根据“重排求差”求解，进而找到规律； （）根据题意得到最大三位数为，所组成的最小三位数为，然后作差求解即可． 【详解】（1）解：取六位数； 大数：这六个数字能构成的最大数为 小数：这六个数字能构成的最小数为； 差：大数与小数之差为； 故答案为：； （2）解：任取三位数； 大数：这三个数字能构成的最大数为：； 小数：这三个数字能构成的最小数为：； 差：大数与小数之差为：； 重复：对新数按以上算法求得新数为：； 重复：对新数按以上算法求得新数为：； 重复：， ∴这个数是， 故答案为：； （3）解：设一个三位数各数位上的数由组成，且， 则所组成的最大三位数为：，所组成的最小三位数为：， ∴最大数与最小数之差为 ， ∵为正整数， ∴最大数和最小数的差能被整除． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$