精品解析： 福建省泉州市永春一中2024-2025学年九年级下学期期中数学试卷

2024-2025学年福建省泉州市永春一中九年级（下）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则□表示的数是（ ） A. 5 B. C. D. 2. 如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 2022年6月5日，中华民族再探苍穹，神舟十四号载人飞船通过长征二号F运载火箭成功升空，并与天和核心舱顺利进行接轨．据报道，长征二号F运载火箭的重量大约是500000kg．将数据500000用科学记数法表示，结果是（ ） A 5×105 B. 5×106 C. 0.5×105 D. 0.5×106 4. 现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 计算的结果是（ ） A B. C. D. 6. “曹冲称象”是流传很广的故事，如图．按照他的方法：先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出．然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置．如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记位置．已知搬运工体重均为120斤，设每块条形石的重量是x斤，则正确的是（ ） A. 依题意 B. 依题意 C. 该象的重量是5040斤 D. 每块条形石的重量是260斤 7. A，B两名射击运动员进行了相同次数的射击，下列关于他们射击成绩的平均数和方差的描述中，能说明A成绩较好且更稳定的是（ ） A. 且． B. 且． C. 且 D. 且． 8. 已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝（ ） A. B. 4 C. D. 5 9. 如图，点A在反比例函数的图像上，以为一边作等腰直角三角形，其中∠=90°，，则线段长的最小值是（ ） A. 1 B. C. D. 4 10. 如图，在中，，，是等边三角形．如图，将四边形折叠，使D与C重合，为折痕，则的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是________． 12. 不等式组的解集为______ ． 13. 不透明的袋子中装有5个球，其中有3个红球和2个黑球，它们除颜色外都相同．从袋子中随机取出1个球，它是黑球的概率是_____． 14. 如图，菱形ABCD的两条对角线长分别为AC＝6，BD＝8，点P是BC边上的一动点，则AP的最小值为 __． 15. 如图，在正六边形ABCDEF中，AB=6，点M在边AF上，且AM=2．若经过点M的直线l将正六边形面积平分，则直线l被正六边形所截的线段长是_____． 16. 如图，直线与抛物线交于A、B两点（点A在点B的左侧），若在抛物线L上存在定点P使，则点P到直线的最大距离为______． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中 19. 如图，在△ABC中，点D在边BC上，CD=AB，DE∥AB，∠DCE=∠A．求证：DE=BC． 20. 2022年3月23日，“天宫课堂”第二课开讲．“太空教师”翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站为广大青少年又一次带来了精彩太空科普课．为了激发学生的航天兴趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组（满分100分），A组：，B组：，C组：，D组：，E组：，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题： （1）频数分布直方图中______，所抽取学生成绩的中位数落在______组；补全学生成绩频数分布直方图； （2）若成绩在90分及以上为优秀，学校共有3000名学生，估计该校成绩优秀的学生有多少人？ （3）学校将从获得满分5名同学（其中有两名男生，三名女生）中随机抽取两名，参加周一国旗下的演讲，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率． 21. 每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图1，架在消防车上的云梯AB可伸缩（最长可伸至20m），且可绕点B转动，其底部B离地面的距离BC为2m，当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时，底部B到EF的距离BD为9m． （1）若∠ABD=53°，求此时云梯AB长． （2）如图2，若在建筑物底部E的正上方19m处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由． （参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3） 22. 2022年的冬奥会在北京举行，其中冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受人们喜爱，多地出现了“一墩难求”的场面，某纪念品商店在开始售卖当天提供150个“冰墩墩”后很快就被抢购一空．该店决定让当天未购买到的顾客可通过预约在第二天优先购买，并且从第二天起，每天比前一天多供应m个（m为正整数）经过连续15天的销售统计，得到第x天（，且x为正整数）的供应量（单位：个）和需求量（单位：个）的部分数据如下表，其中需求量与x满足某二次函数关系．（假设当天预约的顾客第二天都会购买，当天的需求量不包括前一天的预约数） 第x天 1 2 … 6 … 11 … 15 供应量（个） 150 … … … 需求量（个） 220 229 … 245 … 220 … 164 （1）直接写出与x和与x的函数关系式；（不要求写出x的取值范围） （2）已知从第10天开始，有需求的顾客都不需要预约就能购买到（即前9天的总需求量超过总供应量，前10天的总需求量不超过总供应量），求m的值；（参考数据：前9天的总需求量为2136个） （3）在第（2）问m取最小值的条件下，若每个“冰墩墩”售价为100元，求第4天与第12天的销售额． 23. 在中，． 小明的思路 如图①，延长至点，使，连接． 小红的思路 如图②，将沿直线翻折，使点与点重合，与，分别交于点，，连接． （1）设，，，求证：，在小明和小红的思路中，请选择一种继续完成证明． （2）如图③，已知线段，．求作：满足已知条件的，且，，（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要说明．） （3）若有一条边的长度为4，设，的周长为，直接写出关于的函数表达式，以及的取值范围． 24. 如图，以为直径的与相切于点A，点C在左侧圆弧上，弦交于点D，连接．点A关于的对称点为E，直线交于点F，交于点G． （1）求证：； （2）当点E在上，连接交于点P，若，求的值； （3）当点E在射线上，，以点A，C，O，F为顶点的四边形中有一组对边平行时，求的长． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点P为直线上方抛物线上一动点，过点P作轴于点Q，交于点M，求的最大值及此时点P的坐标； （3）在（2）的条件下，点与点P关于抛物线的对称轴对称．将抛物线向右平移，使新抛物线的对称轴l经过点A．点C在新抛物线上，点D在l上，直接写出所有使得以点A、、C、D为顶点的四边形是平行四边形的点D的坐标，并把求其中一个点D的坐标的过程写出来． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年福建省泉州市永春一中九年级（下）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则□表示的数是（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的加法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键；根据加法运算的法则进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 2. 如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据从正面所看得到的图形为主视图，据此解答即可． 【详解】解：从正面可发现有两层，底层三个正方形，上层的左边是一个正方形． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三视图的知识，掌握主视图是从物体的正面看得到的视图成为解答本题的关键． 3. 2022年6月5日，中华民族再探苍穹，神舟十四号载人飞船通过长征二号F运载火箭成功升空，并与天和核心舱顺利进行接轨．据报道，长征二号F运载火箭的重量大约是500000kg．将数据500000用科学记数法表示，结果是（ ） A. 5×105 B. 5×106 C. 0.5×105 D. 0.5×106 【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数． 【详解】解：数据500000的5后面有5个0，故用科学记数法表示为5×105， 故选：A． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4. 现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用轴对称图形的概念可得答案． 【详解】解：A．不轴对称图形，故此选项不合题意； B．不是轴对称图形，故此选项不合题意； C．不是轴对称图形，故此选项不合题意； D．是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 5. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接运用幂的乘方、积的乘方计算即可． 【详解】解：. 故答案为B． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方、积的乘方的运算，灵活运用相关运算法则成为解答本题的关键． 6. “曹冲称象”是流传很广的故事，如图．按照他的方法：先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出．然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置．如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记位置．已知搬运工体重均为120斤，设每块条形石的重量是x斤，则正确的是（ ） A. 依题意 B. 依题意 C. 该象的重量是5040斤 D. 每块条形石的重量是260斤 【答案】B 【解析】 【分析】利用题意找出等量关系，将等量关系中的量用已知数和未知数的代数式替换即可得出结论． 【详解】解：根据题意可得方程； 则A错误，B正确； 解上面的方程得：x=240, 故D错误； ∴大象的重量是20×240+3×120=5160（斤） 故C错误， 故选：B． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，根据题意真确列出方程是解题的关键． 7. A，B两名射击运动员进行了相同次数的射击，下列关于他们射击成绩的平均数和方差的描述中，能说明A成绩较好且更稳定的是（ ） A. 且． B. 且． C. 且 D. 且． 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数、方差的定义，平均数越高成绩越好，方差越小成绩越稳定解答即可． 【详解】根据平均数越高成绩越好，方差越小成绩越稳定． 故选：B． 【点睛】此题考查平均数、方差的定义，解答的关键是理解平均数、方差的定义，熟知方差是衡量一组数据波动大小的量，方差越小表明该组数据分布比较集中，即波动越小数据越稳定． 8. 已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝（ ） A. B. 4 C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】连接，过点作于点，如图所示，先利用垂径定理求得，然后在中求得，再在中，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，过点作于点，如图所示， 则，， ∵PA＝4，PB＝6， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，， 故选：D 【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理的运用，构造直角三角形是解题的关键． 9. 如图，点A在反比例函数的图像上，以为一边作等腰直角三角形，其中∠=90°，，则线段长的最小值是（ ） A. 1 B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】如图，过作轴，交y轴于M，过作轴，垂足为D，交MA于H，则 证明 可得 设 则 可得 再利用勾股定理建立函数关系式，结合完全平方公式的变形可得答案． 【详解】解：如图，过作轴，交y轴于M，过作轴，垂足为D，交MA于H，则 设 则 而当时，则 ∴的最小值是8， ∴的最小值是 故选：C． 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数的性质，完全平方公式的变形应用，勾股定理的应用，掌握“的变形公式”是解本题的关键． 10. 如图，在中，，，是等边三角形．如图，将四边形折叠，使D与C重合，为折痕，则的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，由含角的直角三角形的性质和勾股定理求得的值，再由等边三角形的性质证得，然后由折叠的性质知，设，由勾股定理求出的长，最后由锐角三角函数的定义即可得出结果． 【详解】解：设， ∵中，，， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 由折叠的性质得：， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了折叠的性质、等边三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数的定义等知识，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题关键．根据二次根式的意义可得，求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 故答案为：． 12. 不等式组的解集为______ ． 【答案】## 【解析】 【分析】分别求出每个不等式的解集，然后求出不等式组的解集即可． 【详解】解：由得：， 由得：， 则不等式组的解集为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的方法是解题的关键． 13. 不透明的袋子中装有5个球，其中有3个红球和2个黑球，它们除颜色外都相同．从袋子中随机取出1个球，它是黑球的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据概率公式求解． 【详解】解：∵盒子中装有3个红球，2个黑球，共有5个球， ∴从中随机摸出一个小球，恰好是黑球的概率是； 故答案为：． 【点睛】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数． 14. 如图，菱形ABCD的两条对角线长分别为AC＝6，BD＝8，点P是BC边上的一动点，则AP的最小值为 __． 【答案】4.8 【解析】 【分析】由垂线段最短，可得AP⊥BC时，AP有最小值，由菱形的性质和勾股定理可求BC的长，由菱形的面积公式可求解． 【详解】 设AC与BD的交点为O， ∵点P是BC边上的一动点， ∴AP⊥BC时，AP有最小值， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AO＝CO＝AC＝3，BO＝DO＝BD＝4， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4.8． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，确定当AP⊥BC时，AP有最小值是本题关键． 15. 如图，在正六边形ABCDEF中，AB=6，点M在边AF上，且AM=2．若经过点M的直线l将正六边形面积平分，则直线l被正六边形所截的线段长是_____． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接AD，CF，交于点O，作直线MO交CD于H，过O作OP⊥AF于P，由正六边形是轴对称图形可得： 由正六边形是中心对称图形可得： 可得直线MH平分正六边形的面积，O为正六边形的中心，再利用直角三角形的性质可得答案． 【详解】解：如图，连接AD，CF，交于点O，作直线MO交CD于H，过O作OP⊥AF于P， 由正六边形是轴对称图形可得： 由正六边形是中心对称图形可得： ∴直线MH平分正六边形的面积，O为正六边形的中心， 由正六边形的性质可得：为等边三角形， 而 则 故答案为： 【点睛】本题考查的是正多边形与圆的知识，掌握“正六边形既是轴对称图形也是中心对称图形”是解本题的关键． 16. 如图，直线与抛物线交于A、B两点（点A在点B的左侧），若在抛物线L上存在定点P使，则点P到直线的最大距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． 依据题意，设点的横坐标分别为，从条件出发，可构造k型相似，从而得到的等量关系，然后利用根与系数的关系就可以求出t，从而求出点P的坐标．由于直线上有一个定点C，容易得到长就是点P到的最大距离，只需构建直角三角形，利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：如图1，过点P作x轴的平行线，作，垂足为E，作，垂足为F， ∵，， ，． ． ，， ． ． 设点的横坐标分别为， 则点的纵坐标分别为、、， ，，，． ， ． ． ，， ， 去分母并整理得：． 点是直线：与抛物线交点， 、是方程，即两根． ，． ，即． ． ，（舍）． 定点的坐标为． 直线， 当时，， 直线有定点； 如图 2，过点作轴的平行线，过点作，垂足为， 点，点， ，． ， ． 过点作，垂足为，如图2所示， ． ． 当与重合即时，点到直线的距离最大，最大值为． 点到直线的最大距离为． 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】5 【解析】 【分析】根据解答． 【详解】解：原式 【点睛】本题考查实数的混合运算，涉及算术平方根、绝对值、零指数幂、特殊角的正切值等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 18. 先化简，再求值：，其中 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 如图，在△ABC中，点D在边BC上，CD=AB，DE∥AB，∠DCE=∠A．求证：DE=BC． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】利用角边角证明△CDE≌△ABC，即可证明DE=BC． 详解】证明：∵DE∥AB， ∴∠EDC=∠B． 又∵CD=AB，∠DCE=∠A， ∴△CDE≌△ABC(ASA)． ∴DE=BC． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是本题的关键． 20. 2022年3月23日，“天宫课堂”第二课开讲．“太空教师”翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站为广大青少年又一次带来了精彩的太空科普课．为了激发学生的航天兴趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组（满分100分），A组：，B组：，C组：，D组：，E组：，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题： （1）频数分布直方图中______，所抽取学生成绩的中位数落在______组；补全学生成绩频数分布直方图； （2）若成绩在90分及以上为优秀，学校共有3000名学生，估计该校成绩优秀的学生有多少人？ （3）学校将从获得满分的5名同学（其中有两名男生，三名女生）中随机抽取两名，参加周一国旗下的演讲，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）60；D；补全学生成绩频数分布直方图见解答 （2）1680人 （3） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、频数率分布直方图、中位数、用样本估计总体、概率公式，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法、用样本估计总体、概率公式是解答本题的关键． 用频数分布直方图中C的人数除以扇形统计图中C的百分比可得抽取的学生人数，用抽取的学生人数乘以扇形统计图中B的百分比可得m的值；根据中位数的定义可得答案；求出E组的人数，补全学生成绩频数分布直方图即可． 根据用样本估计总体，用3000乘以样本中D，E组的人数所占的百分比之和，即可得出答案． 列表可得出所有等可能的结果数以及抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得，抽取的学生人数为（人）， 将抽取的400名学生成绩按照从小到大的顺序排列，排在第200和201名的成绩均落在D组， 所抽取学生成绩的中位数落在D组． E组的人数为人， 补全学生成绩频数分布直方图如图所示． 故答案为：60；D； 【小问2详解】 解： （人） 答：估计该校成绩优秀的学生约有1680人； 【小问3详解】 解：列表如下： 男 男 女 女 女 男 男，男 男，女 男，女 男，女 男 男，男 男，女 男，女 男，女 女 女，男 女，男 女，女  女，女 女 女，男 女，男 女，女  女，女 女 女，男 女，男  女，女  女，女 共有20种等可能的结果，其中抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果有12种， 抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率为． 21. 每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图1，架在消防车上的云梯AB可伸缩（最长可伸至20m），且可绕点B转动，其底部B离地面的距离BC为2m，当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时，底部B到EF的距离BD为9m． （1）若∠ABD=53°，求此时云梯AB的长． （2）如图2，若在建筑物底部E的正上方19m处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由． （参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3） 【答案】（1）15m （2）在该消防车不移动位置的前提下，云梯能够伸到险情处；理由见解析 【解析】 【分析】（1）在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，即可解答； （2）根据题意可得DE=BC=2m，从而求出AD=17m，然后在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，进行比较即可解答． 【小问1详解】 解：在Rt△ABD中，∠ABD=53°，BD=9m， ∴AB==15（m）， ∴此时云梯AB的长为15m； 【小问2详解】 解：在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处， 理由：由题意得： DE=BC=2m， ∵AE=19m， ∴AD=AE-DE=19-2=17（m）， 在Rt△ABD中，BD=9m， ∴AB= （m）， ∵m＜20m， ∴在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 22. 2022年的冬奥会在北京举行，其中冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受人们喜爱，多地出现了“一墩难求”的场面，某纪念品商店在开始售卖当天提供150个“冰墩墩”后很快就被抢购一空．该店决定让当天未购买到的顾客可通过预约在第二天优先购买，并且从第二天起，每天比前一天多供应m个（m为正整数）经过连续15天的销售统计，得到第x天（，且x为正整数）的供应量（单位：个）和需求量（单位：个）的部分数据如下表，其中需求量与x满足某二次函数关系．（假设当天预约的顾客第二天都会购买，当天的需求量不包括前一天的预约数） 第x天 1 2 … 6 … 11 … 15 供应量（个） 150 … … … 需求量（个） 220 229 … 245 … 220 … 164 （1）直接写出与x和与x的函数关系式；（不要求写出x的取值范围） （2）已知从第10天开始，有需求的顾客都不需要预约就能购买到（即前9天的总需求量超过总供应量，前10天的总需求量不超过总供应量），求m的值；（参考数据：前9天的总需求量为2136个） （3）在第（2）问m取最小值的条件下，若每个“冰墩墩”售价为100元，求第4天与第12天的销售额． 【答案】（1）， （2）m值为20或21 （3）第4天的销售额为21000元，第12天的销售额为20900元 【解析】 【分析】（1）根据题意“从第二天起，每天比前一天多供应m个（m为正整数）经过连续15天的销售统计，得到第x天（，且x为正整数）的供应量”得到与x的函数关系式；与x满足某二次函数关系，设，利用表格，用待定系数法求得与x的函数关系式； （2）用含m的式子表示前9天的总供应量和前10天的总供应量，根据“前9天的总需求量超过总供应量，前10天的总需求量不超过总供应量”列出不等式，求解即可； （3）在（2）的条件下，m的最小值为20，代入（1）中与x和与x的函数关系式求得第4天的销售量和第12天的销售量，即可求得销售额． 【小问1详解】 解：由题意可知，， 即， 与x满足某二次函数关系，设， 由表格可知，，解得：， 即． 【小问2详解】 前9天的总供应量为：， 前10天的总供应量为：， 第10天的需求量与第2天需求量相同，为229个， 故前10天总需求量为；（个）， 依题意可得， 解得， 因为m为正整数，故m的值为20或21． 【小问3详解】 在（2）的条件下，m的最小值为20， 第4天的销售量即为供应量：（个）， 故第4天的销售额为：（元）， 第12天的销售量即需求量．（个）， 故第12天的销售额为：（元）， 答：第4天的销售额为21000元，第12天的销售额为20900元． 【点睛】本题考查关于销售实际问题，是一次函数和二次函数的综合问题．解题的关键在于正确理解题中的相等和不等关系． 23. 在中，． 小明的思路 如图①，延长至点，使，连接． 小红的思路 如图②，将沿直线翻折，使点与点重合，与，分别交于点，，连接． （1）设，，，求证：，在小明和小红的思路中，请选择一种继续完成证明． （2）如图③，已知线段，．求作：满足已知条件的，且，，（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要说明．） （3）若有一条边的长度为4，设，的周长为，直接写出关于的函数表达式，以及的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2）作图见解析； （3）当时，，此时，当时，，此时，当时，，此时． 【解析】 【分析】（1）选择小明的思路，证明，则，得到，即可得出结论；选择小红的思路：由翻折可知，证出，得出，由此可知，代入即可得出结论； （2）按照步骤，①作，②以点C为圆心，n为半径作圆，以点D为圆心，m为半径作圆，两圆相交于点A，③以点A为圆心，m为半径作圆，交的延长线于点B，得出即可； （3）设，则，再分三种情况分别进行解答即可． 【小问1详解】 选择小明的思路，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ． 选择小红的思路；由翻折可知， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ． 【小问2详解】 ①作， ②以点C为圆心，n为半径作圆，以点D为圆心，m为半径作圆，两圆相交于点A， ③以点A为圆心，m为半径作圆，交的延长线于点B，则即为所求， 【小问3详解】 ，设，则， ， ， 即， ， 由（1）可得，， 当时，即， ，即， 代入，得， 解得， ， ， 当时， 代入，得， 解得， ， ， 当时，则， 代入，得， 解得， ， ． 综上可知，当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，相似三角形的判定和性质，一次函数的应用等知识．熟练掌握作垂线，折叠的性质，相似三角形的判定与性质，一次函数的应用等相关知识，并会数形结合和分类讨论是解题的关键． 24. 如图，以为直径的与相切于点A，点C在左侧圆弧上，弦交于点D，连接．点A关于的对称点为E，直线交于点F，交于点G． （1）求证：； （2）当点E在上，连接交于点P，若，求的值； （3）当点E在射线上，，以点A，C，O，F为顶点的四边形中有一组对边平行时，求的长． 【答案】（1）证明过程见解析 （2） （3）或或或 【解析】 【分析】（1）设CD与AB相交于点M，由与相切于点A，得到，由，得到，进而得到，由平行线的性质推导得，，，最后由点A关于的对称点为E得到即可证明． （2）过F点作于点K，设AB与CD交于点N，连接DF，证明得到，再证明得到；最后根据及得到和，最后根据平行线分线段成比例求解． （3）分四种情形：如图1中，当时，如图2中，当时，如图3中，当时，如图4中，当时，分别求解即可．． 【小问1详解】 证明：如图，设CD与AB相交于点M， ∵与相切于点A， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵点A关于的对称点为E， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：过F点作于点K，设AB与CD交于点N，连接DF，如下图所示： 由同弧所对的圆周角相等可知：， ∵为的直径，且，由垂径定理可知：， ∴， ∵点A关于的对称点为E， ∴， ∴，即， ∴， 由同弧所对的圆周角相等可知：，且， ∴， ∴， ∵，AB与CD交于点N， ∴． ∵，， ∴， ∴，设KE=2x，EN=5x， ∵点A关于的对称点为E， ，，， 又， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：分类讨论如下： 如图1中，当时，连接，，设，则， ∵， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ∵， ， ， ； 如图2中，当时，连接，设交点． 设， ∵， ， ， ，， ， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ，， ； 如图3中，当时，连接，， 设， ， ∵， ， ， ， ， ， ， 、， 、， 、， ， ； 如图4中，当时，连接，，． 设， ∵， ， ， ， ， ， 由， ， ， ， ， ， ． 综上所述，满足条件的的长为或或或， 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆的相关性质，相似三角形，勾股定理等，综合运用以上知识是解题的关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点P为直线上方抛物线上一动点，过点P作轴于点Q，交于点M，求的最大值及此时点P的坐标； （3）在（2）的条件下，点与点P关于抛物线的对称轴对称．将抛物线向右平移，使新抛物线的对称轴l经过点A．点C在新抛物线上，点D在l上，直接写出所有使得以点A、、C、D为顶点的四边形是平行四边形的点D的坐标，并把求其中一个点D的坐标的过程写出来． 【答案】（1） （2）最大值为：， （3）、、 【解析】 【分析】（1）将、代入抛物线，即可求出抛物线的解析式； （2）根据得到，推出，即可得到，则，求出直线的解析式为：，设，则，，求出，即可求解； （3）先求出平移后新抛物线解析式：，，，设，，再利用平行四边形中心对称性分情况列出方程组求解即可． 【小问1详解】 解：将、代入抛物线可得：，解得， ∴抛物线的函数表达式为：； 【小问2详解】 解：∵、， ∴，， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为：， 将、代入可得：，解得， ∴直线的解析式为：， 设，则，， ∴ ∵，， ∴当时，存在最大值，最大值为：，此时； 【小问3详解】 解：∵对称轴为：， ∴， ∵直线：， ∴抛物线向右平移个单位， ∴， ，，设，， ①以、为对角线时，，解得 ∴； ②以、为对角线时，，解得 ∴； ③以、为对角线时，，解得 ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的解析式、一次函数的解析式、二次函数的性质、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是能够熟练应用待定系数法求得二次函数和一次函数解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$