精品解析：河南省开封市兰考县2024-2025学年下学期期末学情分析八年级数学试题

2024—2025学年度第二学期学情分析B 八年级数学（华师版） 注意事项：本试卷不准拍照转发，不准发至小红书、抖音等各大网络平台，给其他学校造成跑题，后果自负！ 一、选择题．（每题3分，共30分） 1. 若分式的值为0，则x的值等于（ ） A. B. C. 2 D. 0 2. 若点，，在反比例函数图像上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 3. 某超市对员工进行三项测试：电脑、语言、商品知识，并按三项测试得分的的比例确定测试总分，已知某员工三项得分分别为80、70、75，则这位超市员工的总分为（ ） A. 78 B. 77 C. 76 D. 79 4. 某桑蚕丝的直径约为0.000 016米，将0.000 016用科学记数法表示是( ) A. 1.6×10－4 B. 1.6×10－5 C. 1.6×10－6 D. 16×10－4 5. 若直线经过第二、三、四象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，矩形OBCD的顶点C的坐标为（1，3），则线段BD的长等于 （  ） A. B. C. D. 7. 已知关于x的分式方程=1的解是非负数，则m的取值范围是（　　） A. m＞2 B. m≥2 C. m≥2且m≠3 D. m＞2且m≠3 8. 如图，在菱形ABCD中，∠C＝108°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连结AP，则∠APB等于(　　) A. 50° B. 72° C. 70° D. 80° 9. 已知一次函数y=x+m和y=-x+n图象都经过点A(-2,0),且与y轴分别交于点B,C,那么△ABC的面积是　　(　　) A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 10. 如图，正方形ABCD中，点E在BC上，且CE=BC，点F是CD中点，延长AF与BC的延长线交于点M．以下结论：①AB=CM；②AE=AB+CE；③S△AEF=S四边形ABCF；④∠AFE=90°．其中正确结论的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题．（每题3分，共15分） 11. 计算：________． 12. 已知正比例函数，将此函数的图像向下平移后经过点，则此函数的图像向下平移了___________个单位． 13. 把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和顶点D重合，折痕为EF,若BF=4, AE=2，则∠DEF度数是_____． 14. 定义：，则方程的解为_____． 15. 如图，反比例函数y=的图象经过▱ABCD对角线的交点P，已知点A，C，D在坐标轴上，BD⊥DC，▱ABCD的面积为6，则k=_____． 三、解答题．（共75分） 16. 先化简，再从中选一个适合的整数代入求值. 17. 某校对学生课外数阅读状况进行了一次问卷调查，并根据调查结果绘制了中学生每学期阅读课外书籍数量的统计图（不完整）．设表示阅读书籍的数量（为正整数，单位：本），其中A：1≤≤2；B：3≤≤4；C：5≤≤6；D：≥7．请你根据两幅图提供的信息解答下列问题： ⑴ 本次共调查了多少名学生？ ⑵ 补全条形统计图，并判断中位数在哪一组； ⑶ 计算扇形统计图中扇形D的圆心角的度数． 18. 如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF． （1）求证：四边形ACDF是平行四边形； （2）当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的点和点．过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4． （1）分别求出和的值； （2）结合图象直接写出的解集； （3）在轴上取点，使取得最大值时，求出点的坐标． 20. 山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场，某车行经营型车去年销售总额为万元，今年每辆售价比去年降低元．若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少百分之二十，，两种型号车的进货和销售单价如下表： 型车 型车 进货单价/元 销售单价/元 今年的销售单价 （1）今年型车每辆售价为多少元？（列分式方程解答） （2）该车行计划今年新进一批型车和新款型车共辆，且型车的进货数量不超过型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？ 21. 如图所示，菱形的对角线相交于点，过点作，且，连接，连接交于点． （1）求证：； （2）若菱形边长为8，，求的长． 22. 在一条笔直的公路上依次有A，C，B三地，甲、乙两人同时出发，甲从A地骑自行车去B地，途经C地休息1分钟，继续按原速骑行至B地，甲到达B地后，立即按原路原速返回A地；乙步行从B地前往A地．甲、乙两人距A地的路程y（米）与时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： （1）请写出甲的骑行速度为　 　米/分，点M的坐标为　 　； （2）求甲返回时距A地的路程y与时间x之间的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）； （3）请直接写出两人出发后，在甲返回A地之前，经过多长时间两人距C地的路程相等． 23. 如图，在正方形中，点E是边上的一个动点，连接，以为斜边在正方形内部构造等腰直角三角形，连接． （1）求证：； （2）若，的面积为，求的面积； （3）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第二学期学情分析B 八年级数学（华师版） 注意事项：本试卷不准拍照转发，不准发至小红书、抖音等各大网络平台，给其他学校造成跑题，后果自负！ 一、选择题．（每题3分，共30分） 1. 若分式的值为0，则x的值等于（ ） A. B. C. 2 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的值为0的条件列出关于x的不等式组，求出x的值即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， 解得． 故选C． 【点睛】本题考查的是分式值为零的条件以及分式有意义的条件，熟知分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解答此题的关键． 2. 若点，，在反比例函数的图像上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点A、B、C分别在反比例函数上，可解得、、的值，然后通过比较大小即可解答. 【详解】解：将A、B、C的横坐标代入反比函数上， 得：y1＝－6，y2＝3，y3＝2， 所以，； 故选C. 【点睛】本题考查了反比例函数的计算，熟练掌握是解题的关键. 3. 某超市对员工进行三项测试：电脑、语言、商品知识，并按三项测试得分的的比例确定测试总分，已知某员工三项得分分别为80、70、75，则这位超市员工的总分为（ ） A 78 B. 77 C. 76 D. 79 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数的计算，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题的关键．运用加权平均数的计算公式求解． 【详解】解：这位员工得分． 故选：C． 4. 某桑蚕丝的直径约为0.000 016米，将0.000 016用科学记数法表示是( ) A. 1.6×10－4 B. 1.6×10－5 C. 1.6×10－6 D. 16×10－4 【答案】B 【解析】 【详解】解： 0.000 016= ．故选B． 5. 若直线经过第二、三、四象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是函数图象与经过的象限，一次函数图象与系数的关系，理解一次函数的图象与系数的关系是解决问题的关键． 【详解】解：直线经过第二、三、四象限， 则， 解之得：． 故选：B． 6. 如图，矩形OBCD的顶点C的坐标为（1，3），则线段BD的长等于 （  ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】如图，连接CO,由题意得，CO=,BD=,所以选D. 7. 已知关于x的分式方程=1的解是非负数，则m的取值范围是（　　） A. m＞2 B. m≥2 C. m≥2且m≠3 D. m＞2且m≠3 【答案】C 【解析】 【详解】分式方程去分母得：m-3=x-1， 解得：x=m-2， 由方程的解为非负数，得到m-2≥0，且m-2≠1， 解得：m≥2且m≠3． 故选C． 8. 如图，在菱形ABCD中，∠C＝108°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连结AP，则∠APB等于(　　) A. 50° B. 72° C. 70° D. 80° 【答案】B 【解析】 【详解】在菱形ABCD中，∠C＝108°,∠ADC=72°，∠ADB=36°， PE为垂直平分线，所以PD=PA,∠ADP=∠DAP=36°，∠APB=72°.选B. 9. 已知一次函数y=x+m和y=-x+n的图象都经过点A(-2,0),且与y轴分别交于点B,C,那么△ABC的面积是　　(　　) A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】首先把（-2，0）分别代入一次函数y=x+m和y= -x+n，求出m，n的值，则求出两个函数的解析式；然后求出B、C两点的坐标；最后根据三角形的面积公式求出△ABC的面积． 【详解】一次函数y=x+m和y=-x+n的图象都经过点A(-2,0)， 所以可得0=×(−2)+m，0= −×(−2)+n， ∴m=3，n=−1， ∴两函数表达式分别为y=x+3，y=−x−1， 直线y=x+3与y=−x−1与y轴的交点分别为B(0,3)，C(0,−1)， S△ABC=BC⋅AO=×4×2=4， 故选C. 【点睛】本题考查一次函数的图象，熟练掌握图像性质是解题的关键. 10. 如图，正方形ABCD中，点E在BC上，且CE=BC，点F是CD的中点，延长AF与BC的延长线交于点M．以下结论：①AB=CM；②AE=AB+CE；③S△AEF=S四边形ABCF；④∠AFE=90°．其中正确结论的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【详解】解：意知，∵点F是CD的中点，∴DF=CF， 又∵∠D=∠FCM，∠DFA=∠CFM， ∴△ADF≌△MCF， ∴CM=AD=AB， ①正确； 设正方形ABCD边长为4， ∵CE=BC=1， ∴BE=3， ∴AE=5， ∴AE=AB+CE， ②正确； EM=CM+CE=5=AE， 又∵F为AM的中点， ∴EF⊥AM， ④正确， 由CF=2,CE=1得EF=， 由DF=2,AD=4得AF=， ∴S△AEF=5， 又S△ADF=4， ∴S四边形ABCF=S□ABCD−S△ADF=12， ③不正确， 故正确的有3个，选C. 点睛：正方向的对角线不仅相等，垂直，互相平分，而且每条对角线平分一组对角；涉及到中点时，要考虑三角形的中位线的性质；由“点F是CD的中点，延长AF与BC的延长线交于点M”知AD=CM，即AB=CM，由边长关系可知AE=EM，F为中点知，EF⊥AM，再根据面积S四边形ABCF=S□ABCD-S△ADF得面积关系． 二、填空题．（每题3分，共15分） 11. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算、零指数幂、负整数指数幂，先根据零指数幂、负整数指数幂的运算法则计算，再算减法即可． 详解】解：． 故答案为：． 12. 已知正比例函数，将此函数的图像向下平移后经过点，则此函数的图像向下平移了___________个单位． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的平移问题，熟练掌握一次函数平移的性质是解题关键．设正比例函数图像向下平移后的函数解析式为，将点代入并求得的值，即可获得答案． 【详解】解：设正比例函数图像向下平移后的函数解析式为， 将点代入， 可得，解得， 即平移后的函数解析式为， 所以，此函数的图像向下平移了5个单位． 故答案为：5． 13. 把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和顶点D重合，折痕为EF,若BF=4, AE=2，则∠DEF的度数是_____． 【答案】60° 【解析】 【分析】根据折叠的性质得到DF=BF=4，∠BFE=∠DFE，在Rt△DFC中，根据含30°的直角三角形三边的关系得到∠FDC=30°，则∠DFC=60°，所以有∠BFE=∠DFE=（180°-60°）÷2，然后利用两直线平行内错角相等得到∠DEF的度数． 【详解】解：∵矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和顶点D重合，折痕为EF， ∴DF=BF=4，∠BFE=∠DFE， 在Rt△DFC中，FC=2，DF=4， ∴∠FDC=30°， ∴∠DFC=60°， ∴∠BFE=∠DFE=（180°-60°）÷2=60°， ∴∠DEF=∠BFE=60°． 故答案为60． 【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠前后的两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．也考查了矩形的性质和含30°的直角三角形三边的关系． 14. 定义：，则方程的解为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据新定义列分式方程可得结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 经检验：是原方程的解， 故答案为． 【点睛】本题考查了解分式方程和新定义的理解，熟练掌握解分式方程的步骤是关键． 15. 如图，反比例函数y=的图象经过▱ABCD对角线的交点P，已知点A，C，D在坐标轴上，BD⊥DC，▱ABCD的面积为6，则k=_____． 【答案】-3 【解析】 【详解】分析：由平行四边形面积转化为矩形BDOA面积，在得到矩形PDOE面积，应用反比例函数比例系数k的意义即可． 详解：过点P做PE⊥y轴于点E， ∵四边形ABCD为平行四边形 ∴AB=CD 又∵BD⊥x轴 ∴ABDO为矩形 ∴AB=DO ∴S矩形ABDO=S▱ABCD=6 ∵P为对角线交点，PE⊥y轴 ∴四边形PDOE为矩形面积为3 即DO•EO=3 ∴设P点坐标为（x，y） k=xy=﹣3 故答案为﹣3 点睛：本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义以及平行四边形的性质． 三、解答题．（共75分） 16. 先化简，再从中选一个适合的整数代入求值. 【答案】；时，原式(或当时，原式.) 【解析】 【分析】根据分式的运算法则进行化简，再选择使分式有意义的值代入. 【详解】解：原式 ∵， ∴当时，原式(或当时，原式.) 【点睛】本题考查了分式化简求值.，解题的关键是熟练掌握运算法则. 17. 某校对学生课外数阅读状况进行了一次问卷调查，并根据调查结果绘制了中学生每学期阅读课外书籍数量的统计图（不完整）．设表示阅读书籍的数量（为正整数，单位：本），其中A：1≤≤2；B：3≤≤4；C：5≤≤6；D：≥7．请你根据两幅图提供的信息解答下列问题： ⑴ 本次共调查了多少名学生？ ⑵ 补全条形统计图，并判断中位数在哪一组； ⑶ 计算扇形统计图中扇形D的圆心角的度数． 【答案】⑴ 本次调查了200名学生 ⑵ D高40,中位数在B组 ⑶ 圆心角度数为． 【解析】 【分析】通过扇形图可得A所占得百分比为19%，通过条形图可得A的频数为38，用A的频数除以A所占的百分比即可求出调查的学生总数；（2）用总人数减去A、B、C的频数，求出D的频数即可补全条形图，从而判断中位数；（3）用D的频数除以总人数求出D所占百分比，再乘以360°即可求出扇形D的圆心角 ． 【详解】⑴ 本次调查了=200名学生． ⑵ 200－38－74－48=40，D高40，中位数在B组． ⑶ 圆心角度数为×360°=72°． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 18. 如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF． （1）求证：四边形ACDF是平行四边形； （2）当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）BC=2CD，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）利用矩形的性质，即可判定△FAE≌△CDE，即可得到CD=FA，再根据CD∥AF，即可得出四边形ACDF是平行四边形； （2）先判定△CDE是等腰直角三角形，可得CD=DE，再根据E是AD的中点，可得AD=2CD，依据AD=BC，即可得到BC=2CD． 【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD， ∴∠FAE=∠CDE， ∵E是AD的中点， ∴AE=DE， 又∵∠FEA=∠CED， ∴△FAE≌△CDE， ∴CD=FA， 又∵CD∥AF， ∴四边形ACDF是平行四边形； （2）BC=2CD． 证明如下：∵CF平分∠BCD， ∴∠DCE=45°， ∵∠CDE=90°， ∴△CDE是等腰直角三角形， ∴CD=DE， ∵E是AD的中点， ∴AD=2CD， ∵AD=BC， ∴BC=2CD． 【点睛】方法点睛：本题主要考查了矩形的性质以及平行四边形的判定与性质，要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的点和点．过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4． （1）分别求出和的值； （2）结合图象直接写出的解集； （3）在轴上取点，使取得最大值时，求出点的坐标． 【答案】（1），；（2）或； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意利用三角形面积公式求得，得到，将A代入反比例函数，求出反比例函数解析式，再把B代入解析式，即可解答 （2）根据函数图象结合解析式即可判断 （3）作点关于轴的对称点，直线与轴交于，得到 ，设直线的关系式为，把将 ，代入得到解析式，即可解答 【详解】（1）∵点， ∴， ∵，即， ∴， ∵点在第二象限， ∴ ， 将代入得：， ∴反比例函数的关系式为：， 把代入得：， ∴ 因此，； （2）由图象可以看出的解集为：或； （3）如图，作点关于轴的对称点，直线与轴交于， 此时最大， ∵ ∴ 设直线的关系式为，将 ，代入得： 解得：，， ∴直线的关系式为， 当时，即，解得， ∴ 【点睛】此题考查一次函数与反比例函数，解题关键在于把已知点代入解析式 20. 山地自行车越来越受到中学生喜爱，各种品牌相继投放市场，某车行经营型车去年销售总额为万元，今年每辆售价比去年降低元．若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少百分之二十，，两种型号车的进货和销售单价如下表： 型车 型车 进货单价/元 销售单价/元 今年的销售单价 （1）今年型车每辆售价为多少元？（列分式方程解答） （2）该车行计划今年新进一批型车和新款型车共辆，且型车的进货数量不超过型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？ 【答案】（1）今年型车每辆售价为元 （2）今年新进一批型车有辆，新款型车共辆，利润最大，最大利润为元 【解析】 【分析】（1）根据题意设今年型车每辆售价为元，则去年型车每辆售价为元，再算出今年销售总额，根据销售数量相同，列分式方程求解即可； （2）设今年新进一批型车有辆，则新款型车共辆，算出进型车的取值范围，设总利润为，可用含的式子表示，即是的函数解析式，根据一次函数图像的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设今年型车每辆售价为元，则去年型车每辆售价为元， ∵经营型车去年销售总额为万元，今年销售总额将比去年减少百分之二十， ∴今年销售总额为， ∵销售的数量相同， ∴，解得，， ∴今年型车每辆售价为元． 【小问2详解】 解：设今年新进一批型车有辆，则新款型车共辆， ∵型车的进货数量不超过型车数量的两倍， ∴，解得，， ∵型车进货价为元，销售价为元，型车进货价为元，销售价为元， ∴型车每辆的利润是元，型车每辆的利润是元，设总利润为， ∴， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，最大，且最大值为元， ∴今年新进一批型车有辆，新款型车共辆，利润最大，最大利润为元． 【点睛】本题主要考查分式方程，不等式，一次函数的综合，理解题目中的数量关系列方程和一元一次不等式，掌握分式方程的实际运用，一次函数图像的性质的实际运用是解题的关键． 21. 如图所示，菱形的对角线相交于点，过点作，且，连接，连接交于点． （1）求证：； （2）若菱形的边长为8，，求的长． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理． （1）先证四边形是平行四边形，再证四边形是矩形即可； （2）由菱形的边长为8，可得是等边三角形，再求得的长，可得的长，最后用勾股定理求即可． 【小问1详解】 证明：四边形是菱形 ， 即 四边形是平行四边形 四边形是矩形 ； 【小问2详解】 菱形的边长为8， 是等边三角形 由（1）知，四边形是矩形 ． 22. 在一条笔直的公路上依次有A，C，B三地，甲、乙两人同时出发，甲从A地骑自行车去B地，途经C地休息1分钟，继续按原速骑行至B地，甲到达B地后，立即按原路原速返回A地；乙步行从B地前往A地．甲、乙两人距A地的路程y（米）与时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： （1）请写出甲的骑行速度为　 　米/分，点M的坐标为　 　； （2）求甲返回时距A地的路程y与时间x之间的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）； （3）请直接写出两人出发后，在甲返回A地之前，经过多长时间两人距C地的路程相等． 【答案】（1）240，（6，1200）；（2）y=﹣240x+2640；（3）经过4分钟或6分钟或8分钟时两人距C地的路程相等． 【解析】 【分析】(1)根据函数图象得出AB两地的距离,由行程问题的数量关系由路程时间=速度就可以求出结论; (2)先由行程问题的数量关系求出M、N的坐标,设y与x之间的函数关系式为y=kx+b,由待定系数法就可以求出结论; (3) 设甲返回A地之前，经过x分两人距C地的路程相等，可得乙的速度：1200÷20=60（米/分），分别分①当0＜x≤3时②当3＜x＜﹣1时③当＜x≤6时④当x=6时⑤当x＞6时5种情况讨论可得经过多长时间两人距C地的路程相等. 【详解】（1）由题意得：甲的骑行速度为： =240（米/分）， 240×（11﹣1）÷2=1200（米）， 则点M的坐标为（6，1200）， 故答案为240，（6，1200）； （2）设MN的解析式为：y=kx+b（k≠0）， ∵y=kx+b（k≠0）的图象过点M（6，1200）、N（11，0）， ∴， 解得， ∴直线MN的解析式为：y=﹣240x+2640； 即甲返回时距A地的路程y与时间x之间的函数关系式：y=﹣240x+2640； （3）设甲返回A地之前，经过x分两人距C地的路程相等， 乙的速度：1200÷20=60（米/分）， 如图1所示：∵AB=1200，AC=1020， ∴BC=1200﹣1020=180， 分5种情况： ①当0＜x≤3时，1020﹣240x=180﹣60x， x=＞3， 此种情况不符合题意； ②当3＜x＜﹣1时，即3＜x＜，甲、乙都在A、C之间， ∴1020﹣240x=60x﹣180， x=4， ③当＜x≤6时，甲在B、C之间，乙在A、C之间， ∴240x﹣1020=60x﹣180， x=＜， 此种情况不符合题意； ④当x=6时，甲到B地，距离C地180米， 乙距C地的距离：6×60﹣180=180（米）， 即x=6时两人距C地的路程相等， ⑤当x＞6时，甲在返回途中， 当甲在B、C之间时，180﹣[240（x﹣1）﹣1200]=60x﹣180，x=6， 此种情况不符合题意， 当甲在A、C之间时，240（x﹣1）﹣1200﹣180=60x﹣180， x=8， 综上所述，在甲返回A地之前，经过4分钟或6分钟或8分钟时两人距C地的路程相等． 【点睛】本题考查了待定系数法一次函数的解析式的运用,一次函数与二元一次方程组的关系的运用,行程问题的数量关系的运用,注意由图像得出有用的信息及分类讨论思想在解题时的应用.. 23. 如图，在正方形中，点E是边上的一个动点，连接，以为斜边在正方形内部构造等腰直角三角形，连接． （1）求证：； （2）若，的面积为，求的面积； （3）求证：． 【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）过点作，利用正方形性质和平行线性质得到，利用直角三角形性质得到，，利用等腰直角三角形性质得到，即可证明； （2）利用等腰直角三角形性质，证明，结合的面积为，得到，，利用勾股定理得到，再利用面积公式即可求出的面积； （3）将绕点顺时针旋转得到，由旋转的性质可知：，，，，利用勾股定理得到，证明四边形为平行四边形，即可证明． 【小问1详解】 证明：过点作，如图所示： 四边形为正方形， ， ， ， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ∴， ； 【小问2详解】 解：由（1）知，， 四边形为正方形，， ，， ，， ∴四边形是矩形， ， 等腰直角三角形， ， ，， ， ，， 的面积为， ，解得， ， ， 的面积为． 【小问3详解】 证明：将绕点顺时针旋转得到， 由旋转的性质可知：，，，， ， ，， ， ， 四边形为平行四边形， ． 【点睛】本题考查了正方形性质，勾股定理，全等三角形性质和判定，等腰直角三角形性质，直角三角形性质，平行四边形性质和判定，旋转的性质，解题的关键在于熟练掌握相关性质并灵活运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $