精品解析：福建省福州市闽清县2024-2025学年七年级下学期6月期末数学试题

2024—2025学年第二学期期末适应性练习 七年级数学 （完卷时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个正确选项，请在答题卡的相应位置填涂） 1. 下列各图中，和是对顶角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了对顶角的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据对顶角定义：有公共顶点且两条边都互为反向延长线的两个角称为对顶角，判断即可． 【详解】解：A.和有公共顶点，但是两条边不互为反向延长线，所以不是对顶角； B.和没有公共顶点，所以不是对顶角； C.和没有公共顶点，所以不是对顶角； D.和有公共顶点且两条边都互为反向延长线，所以是对顶角； 故选：D 2. 若实数x没有平方根，则x可以是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平方根的定义，根据负数没有平方根即可解答． 【详解】解：∵负数没有平方根， ∴． 故选：A 3. 如图，直线在同一平面内，且直线交于一点，其中可能与直线平行的直线是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的概念的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据平行线的概念，即可求判断． 【详解】解：由图观察，直线与直线有交点，直线与直线没有交点， ∴其中可能与直线平行的直线是， 故选：A． 4. 在解二元一次方程组时，将其中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求解．由，可以得到用x表示y的式子是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，将方程中的用表示，需通过移项和系数化为1的步骤解出，熟练掌握解题方法是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 5. 如图所示是某位同学解不等式的过程，其中由③得到④的依据是（ ） ① ② ③ ④ A. 交换不等式两边，不等号的方向改变 B. 不等关系可以传递 C. 不等式的性质2 D. 不等式的性质3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了不等式的基本性质，由步骤③到④是将不等式两边交换位置，同时改变不等号方向，依据的是不等式的基本对称性，熟练掌握不等式的基本性质是解此题的关键． 【详解】解：步骤③为，改写为（步骤④），此过程未进行任何运算，仅将不等式两边交换位置，同时改变不等号方向，根据不等式的基本性质，若，则，这属于交换不等式两边的操作 故选：A． 6. 判断命题“如果n是正数，那么n是整数”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以是（ ） A. 1 B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了举例说明命题的真假，有理数的分类，要证明命题“如果n是正数，那么n是整数”是假命题，需找到满足n是正数但n不是整数的反例，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、1是正数且是整数，不满足反例条件，不符合题意； B、是正数且不是整数，满足反例条件，符合题意； C、0不是正数，不满足条件，不符合题意； D、是负数，不满足条件，不符合题意； 故选：B． 7. 在一幅北京旅游景点示意图中，以天安门所在的位置为原点建立平面直角坐标系，记天安门以北约处的国家体育场的坐标为，在天安门以西约处的首钢滑雪大跳台的坐标为，则坐标为的中国人民抗日战争纪念馆相对天安门的位置描述较为准确的是（ ） A. 在天安门以东约，再往北约处 B. 在天安门以西约，再往北约处 C. 在天安门以东约，再往南约处 D. 在天安门以西约，再往南约处 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了实际问题中用坐标表示位置，由题意可得北、东为正，南、西为负，再结合坐标即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵以天安门所在的位置为原点建立平面直角坐标系，记天安门以北约处的国家体育场的坐标为，在天安门以西约处的首钢滑雪大跳台的坐标为， ∴坐标为的中国人民抗日战争纪念馆相对天安门的位置描述较为准确的是在天安门以西约，再往南约处， 故选：D． 8. 下表记录了年我国新能源汽车销量，将此表的数据绘制成统计图，以下说法不正确的是（ ） 年份 新能源汽车销量（万辆） A. 绘制趋势图，以横坐标为年份，纵坐标为新能源汽车销量，能直观体现年份与销量的关联 B. 绘制折线图，可以看出新能源汽车销量整体呈现上升的趋势 C. 绘制条形图，各条形高度代表对应年份新能源汽车销量，能准确比较每年销量大小 D. 根据数据表，可以确定年新能源汽车销量的准确数据 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查统计图表的应用及数据分析能力，结合各选项的描述判断其正确性即可，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据统计图的特点及数据预测的性质，逐一分析选项即可． 【详解】解：A：趋势图通常以横轴表示时间（年份），纵轴表示销量，能直观展示两者的关联，正确； B：折线图适合反映数据随时间的变化趋势，表中销量从到年持续增长，折线图可清晰体现整体上升趋势，正确； C：条形图通过条形高度比较不同类别数据大小，各年份销量为独立数据，条形图能准确比较每年销量，正确； D：历史数据可用于预测未来趋势，但预测结果估计值而非准确数据，年销量无法通过现有数据“确定”，说法错误； 故选：D． 9. 长江与黄河并称中华文明的“母亲河”，长江是我国第一长河，黄河是中华文化的重要发源地．据某资料了解长江比黄河长836千米，且黄河长度的5倍与长江长度的2倍之和为39920千米．若设长江长度为x千米，黄河长度为y千米，根据题意，下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列二元一次方程组．根据题意，长江比黄河长836千米，以及黄河5倍长度与长江2倍长度之和为39920千米，建立方程组． 【详解】解：设长江长度为x千米，黄河长度为y千米．根据题意，得 ． 故选：B． 10. 已知某地白昼时长的计算公式为白昼时长正午时刻日出时刻日落时刻正午时刻，通常正午时刻为当地12时．若某地某日日出时刻为6时，日落时刻为18时，次日白昼时长变长，且正午时刻不变，则下列对次日日出，日落时刻描述正确的是（ ） A. 日出时刻晚于6时，日落时刻晚于18时 B. 日出时刻晚于6时，日落时刻早于18时 C. 日出时刻早于6时，日落时刻早于18时 D 日出时刻早于6时，日落时刻晚于18时 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查白昼时长的计算．根据白昼时长的计算公式及正午时刻不变的条件，分析次日日出、日落时刻的变化． 【详解】解：∵当日日出时刻为6时，日落时刻为18时，正午时刻为12时， ∴白昼时长为小时． ∵次日白昼时长变长，且正午时刻仍为12时． ∴正午时刻与日出时刻的差值需减小，同时正午时刻与日落时刻的差值需增大． ∴日出时刻必须早于6时，日落时刻必须晚于18时，从而总白昼时长增加． 故选：D 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分，请在答题卡相应位置作答） 11. 点在第__________象限（填“一”“二”“三”或“四”）． 【答案】一 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系各象限点的坐标特征． 根据点横纵坐标均大于0作答即可． 【详解】解：∵点横纵坐标均大于0， ∴点在第一象限． 故答案为：一． 12. 如图，将三角形沿方向平移得到三角形分别为点A，B的对应点，且点E在边上，若，则的长是__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质． 根据平移的性质作答即可． 【详解】解：∵将三角形沿方向平移得到三角形分别为点A，B的对应点，且点E在边上， ∴， 故答案为：． 13. 已知关于x的不等式解集在数轴上的表示如图所示，则该不等式的解集是__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，关键是用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 直接根据数轴写出答案即可． 【详解】解：这个不等式的解集是：． 故答案为：． 14. 大小比较：__________（填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了无理数的大小比较． 分别求出两数的范围，再判断即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ 故答案为：． 15. 某校七年级共开设了文学社，篮球社，舞蹈社，美术社四个社团，该年段的所有学生都参加了社团活动，因条件限制，每名学生都只能加入一个社团．小明对全年级同学参加社团活动的情况进行了一次调查，如图是根据小明的调查数据绘制的不完整的统计图，则m的值是__________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图，根据扇形统计图各项占比和为列出关于m的一元一次方程，求解即可得出答案． 【详解】解：根据题意可知：， 解得：， 故答案为：10 16. 现有1角、5角、1元硬币各6枚，从中取出9枚，共值3元．则取出的5角硬币的枚数是__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．设取出1角的硬币x枚，5角的硬币y枚，则取出1元的硬币枚，根据这些硬币的总值为3元，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y，均为非负整数即可求出结论． 【详解】解：设取出1角的硬币x枚，5角的硬币y枚，则取出1元的硬币枚， 依题意，得：， ∴， ∵x，y，均为非负整数， ∴，， 即取出的5角硬币的枚数为3枚． 故答案为：3． 三、解答题（本题共9小题，满分86分，请在答题卡相应位置作答） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）0 【解析】 【分析】（1）先去括号再合并同类二次根式即可； （2）先算乘方，再计算加减． 本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解：（1）原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 解二元一次方程组： 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减法和代入法是关键．分别利用加减法和代入法两种方法解方程组即可得到答案． 【详解】解法一：①×2，得③ ②＋③，得， 解得． 把代入①，得， 解得， ∴原方程组的解为 解法二：由①，得． ③ 把③代入②，得， 解得． 把代入①，得， 解得， ∴原方程组的解为 19. 解不等式组： 【答案】-<x≤4 【解析】 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： 综上不等式解集为：． 20. 如图，已知为上一点，直线过点D，点E与点C在异侧，且．作射线，满足点G与点E在同侧，且，求证：．以下是其证明的大致过程，请将对应的内容或依据补全． 证明：与互为对顶角， （ ）． ， ， ． ， （ ）， （ ）． 【答案】对顶角相等；；等量代换；内错角相等，两直线平行 【解析】 【分析】本题考查了对顶角相等，角的计算，平行线的判定． 根据对顶角相等，角的计算，平行线的判定补全证明过程即可． 【详解】证明：与互对顶角， （对顶角相等）． ， ， ． ， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）． 故答案为：对顶角相等；；等量代换；内错角相等，两直线平行． 21. 在平面直角坐标系中，已知正方形的另外三个顶点的坐标分别为在y轴正半轴上，且三角形的面积与正方形的面积相等，记点P的纵坐标为n． （1）求n的大小（用含m的代数式表示）； （2）若三角形的面积为5，求n的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系与几何综合. （1）根据题意得到三角形的面积，正方形的面积，则，可得； （2）由（1）得，根据三角形面积公式求出，即可求出n的值． 【小问1详解】 解：根据题意，得正方形的边长为m，点P到的距离为n， ∴三角形的面积，正方形的面积， ∴， 即； 【小问2详解】 由（1）得． ∵，， ∴， ∴三角形的面积， ∴， 即， ∴， 即． 22. 某校七年级共有180名学生，该校为了解七年级学生上学路上花费的时间情况，随机抽取了30名七年级学生，让他们大致估算了从家到学校的时间并写在纸上，汇总整理后得到这30名学生上学从家到学校的时间情况如下（单位：）： 5 6 7 8 9 9 9 10 11 16 17 18 18 19 19 20 23 24 26 26 27 27 30 33 33 34 36 39 42 45 （1）该老师本次收集数据采用的调查方式是__________（填“全面调查”或“抽样调查”）； （2）若要利用频数分布直方图来描述这组数据，且将组距设为6，则组数是__________； （3）记平均时间为t（单位：）．在（2）的情况下，将平均时间按从小到大依次记为第1组，第2组，……请按照此顺序，先分别确定这30名学生中分布在第3组、第4组、第5组的人数，再估计该校七年级学生上学从家到学校的时间在第3、4、5组的总人数． 【答案】（1）抽样调查 （2）7 （3）第3组的人数是6，第4组的人数是6，第5组的人数是4，估计该校七年级学生上学从家到学校的时间在第3、4、5组的总人数为96人 【解析】 【分析】本题考查了调查的应用． （1）根据抽样调查和全面调查的概念求解即可； （2）根据极差和组距、组数概念确定； （3）利用样本估计总体求解即可． 【小问1详解】 解：该老师本次收集数据采用的调查方式是抽样调查， 故答案为：抽样调查； 【小问2详解】 ∵极差为（）， ∴， ∴组数取7， 故答案为：7； 【小问3详解】 解：根据题干数据可知： 第3组（）的人数是6， 第4组（）的人数是6， 第5组（）的人数是4． ∴该校七年级学生上学从家到学校的时间在第3、4、5组的总人数约为． 23. 甲、乙两超市以同样价格出售相同的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购物超过100元后，超出100元的部分按九折收费；在乙超市累计购物超过50元后，超出50元的部分按九五折收费． （1）小明计划进行一次采购，整理了需要购买物品的清单并估算了金额，发现在甲超市购物的花费更少，求这次采购计划的金额满足的条件； （2）由于小明需要采购的部分商品只有其中一家超市有销售，故她分别在甲，乙两个超市各购物一次，且在两家超市都享受了折扣．若小明本次购物的原价总计为410元，实际花费总计390元，求小明在甲，乙两个超市的实际花费． 【答案】（1）这次采购计划的金额需超过150元 （2）小明在甲超市购物的实际花费为226元，在乙超市购物的实际花费为164元 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用． （1）设这次采购计划的金额为x元，根据题意列一元一次不等式计算即可； （2）设小明在甲超市购物的原价为a元，在乙超市购物的原价为b元，根据题意列出二元一次方程组计算即可． 【小问1详解】 解：设这次采购计划的金额为x元， 根据题意，得． 解得， 答：这次采购计划的金额需超过150元； 【小问2详解】 设小明在甲超市购物的原价为a元，在乙超市购物的原价为b元， 且，， 根据题意，得 解得 ∴小明在甲超市购物的实际花费为（元），在乙超市购物的实际花费为（元）． 24. 已知三个正整数a，b，c满足，且． （1）求证：（在下面的括号内，填上推理的依据）； 证明：为正整数， （ ① ）． ， （ ② ）， 即． （2）请利用不等式的性质，证明：； （3）求符合题意的a，b，c的值． 【答案】（1）①两数相乘，同号得正；②不等式的性质2 （2）见解析 （3），， 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质； （1）根据推理过程前后逻辑关系填空即可； （2）利用不等式的性质得到，则，，即可得到； （3）根据三个正整数a，b，c结合求出，再求出同理（2），可证，求出，最后根据求出． 【小问1详解】 证明：为正整数， （①两数相乘，同号得正）． ， （②不等式的性质2）， 即． 故答案为：①两数相乘，同号得正；②不等式的性质2； 【小问2详解】 解：证明：同理（1），可证， ∴． ∴． ∵， ∴， 即． ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 【小问3详解】 解：∵，且a为正整数， ∴， ∴， 即． 同理（2），可证， ∵为正整数， ∴， ∴， 即， ∴， 即，，． 25. 在数学活动《二元一次方程的“图象”》的实践中，我们知道了在平面直角坐标系中，二元一次方程的一个解，可以用一个点表示出来．标出一些以方程的解为坐标的点，过这些点中的任意两点作直线，可以发现其他点也落在这条直线上．在这条直线上任取一点，这个点的坐标就是方程的解． 进一步，我们归纳结论：一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫作这个方程的“图象”，二元一次方程的“图象”是一条直线． 在平面直角坐标系中，二元一次方程的“图象”是直线，其中．将线段向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到线段，其中C是点A的对应点． （1）记直线为二元一次方程的“图象”，求a，b的值； （2）我们知道“把一个图形平移得到新图形，连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）”．请利用这一性质，说明； （3）已知点满足．连接，点M在线段上，且．过点M作的平行线交于点N，若平分，根据图形特征，我们知道，请用等式表示与之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2）见解析 （3）或，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的解，解二元一次方程组，平移的性质，平行线的判定与性质及平面直角坐标系． （1）利用平移的规律得到，代入中，建立方程组即可解答； （2）根据平移的规律得到线段向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到线段，即可说明； （3）根据题意，得点P在直线上，且位于第一象限或第三象限两种情况，根据平行线的判定与性质即可解答． 【小问1详解】 解：根据题意，得， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵，且，， ∴线段向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到线段， 其中点B是点A的对应点，点D是点C的对应点， ∴； 【小问3详解】 解：根据题意，得点P在直线上，且位于第一象限或第三象限． 设． ∵， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴． 当点P在第一象限时， ∵， ∴， ∵． ∴，即； 当点P在第三象限时， ∵， ∴， ∴，即； 综上，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第二学期期末适应性练习 七年级数学 （完卷时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个正确选项，请在答题卡的相应位置填涂） 1. 下列各图中，和是对顶角的是（ ） A. B. C. D. 2. 若实数x没有平方根，则x可以（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 3. 如图，直线在同一平面内，且直线交于一点，其中可能与直线平行的直线是（ ） A. B. C. D. 4. 在解二元一次方程组时，将其中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求解．由，可以得到用x表示y的式子是（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示是某位同学解不等式的过程，其中由③得到④的依据是（ ） ① ② ③ ④ A. 交换不等式两边，不等号的方向改变 B. 不等关系可以传递 C. 不等式的性质2 D. 不等式的性质3 6. 判断命题“如果n是正数，那么n是整数”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以是（ ） A. 1 B. C. 0 D. 7. 在一幅北京旅游景点示意图中，以天安门所在的位置为原点建立平面直角坐标系，记天安门以北约处的国家体育场的坐标为，在天安门以西约处的首钢滑雪大跳台的坐标为，则坐标为的中国人民抗日战争纪念馆相对天安门的位置描述较为准确的是（ ） A. 在天安门以东约，再往北约处 B. 在天安门以西约，再往北约处 C. 在天安门以东约，再往南约处 D. 在天安门以西约，再往南约处 8. 下表记录了年我国新能源汽车销量，将此表的数据绘制成统计图，以下说法不正确的是（ ） 年份 新能源汽车销量（万辆） A. 绘制趋势图，以横坐标为年份，纵坐标为新能源汽车销量，能直观体现年份与销量的关联 B. 绘制折线图，可以看出新能源汽车销量整体呈现上升的趋势 C. 绘制条形图，各条形高度代表对应年份新能源汽车销量，能准确比较每年销量大小 D. 根据数据表，可以确定年新能源汽车销量准确数据 9. 长江与黄河并称中华文明的“母亲河”，长江是我国第一长河，黄河是中华文化的重要发源地．据某资料了解长江比黄河长836千米，且黄河长度的5倍与长江长度的2倍之和为39920千米．若设长江长度为x千米，黄河长度为y千米，根据题意，下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知某地白昼时长计算公式为白昼时长正午时刻日出时刻日落时刻正午时刻，通常正午时刻为当地12时．若某地某日日出时刻为6时，日落时刻为18时，次日白昼时长变长，且正午时刻不变，则下列对次日日出，日落时刻描述正确的是（ ） A. 日出时刻晚于6时，日落时刻晚于18时 B. 日出时刻晚于6时，日落时刻早于18时 C. 日出时刻早于6时，日落时刻早于18时 D. 日出时刻早于6时，日落时刻晚于18时 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分，请在答题卡相应位置作答） 11. 点在第__________象限（填“一”“二”“三”或“四”）． 12. 如图，将三角形沿方向平移得到三角形分别为点A，B的对应点，且点E在边上，若，则的长是__________． 13. 已知关于x的不等式解集在数轴上的表示如图所示，则该不等式的解集是__________． 14. 大小比较：__________（填“”“”或“”）． 15. 某校七年级共开设了文学社，篮球社，舞蹈社，美术社四个社团，该年段的所有学生都参加了社团活动，因条件限制，每名学生都只能加入一个社团．小明对全年级同学参加社团活动的情况进行了一次调查，如图是根据小明的调查数据绘制的不完整的统计图，则m的值是__________． 16. 现有1角、5角、1元硬币各6枚，从中取出9枚，共值3元．则取出的5角硬币的枚数是__________． 三、解答题（本题共9小题，满分86分，请在答题卡相应位置作答） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解二元一次方程组： 19. 解不等式组： 20. 如图，已知为上一点，直线过点D，点E与点C在异侧，且．作射线，满足点G与点E在同侧，且，求证：．以下是其证明的大致过程，请将对应的内容或依据补全． 证明：与互为对顶角， （ ）． ， ， ． ， （ ）， （ ）． 21. 在平面直角坐标系中，已知正方形的另外三个顶点的坐标分别为在y轴正半轴上，且三角形的面积与正方形的面积相等，记点P的纵坐标为n． （1）求n的大小（用含m的代数式表示）； （2）若三角形的面积为5，求n的值． 22. 某校七年级共有180名学生，该校为了解七年级学生上学路上花费的时间情况，随机抽取了30名七年级学生，让他们大致估算了从家到学校的时间并写在纸上，汇总整理后得到这30名学生上学从家到学校的时间情况如下（单位：）： 5 6 7 8 9 9 9 10 11 16 17 18 18 19 19 20 23 24 26 26 27 27 30 33 33 34 36 39 42 45 （1）该老师本次收集数据采用的调查方式是__________（填“全面调查”或“抽样调查”）； （2）若要利用频数分布直方图来描述这组数据，且将组距设为6，则组数是__________； （3）记平均时间为t（单位：）．在（2）的情况下，将平均时间按从小到大依次记为第1组，第2组，……请按照此顺序，先分别确定这30名学生中分布在第3组、第4组、第5组的人数，再估计该校七年级学生上学从家到学校的时间在第3、4、5组的总人数． 23. 甲、乙两超市以同样价格出售相同的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购物超过100元后，超出100元的部分按九折收费；在乙超市累计购物超过50元后，超出50元的部分按九五折收费． （1）小明计划进行一次采购，整理了需要购买物品的清单并估算了金额，发现在甲超市购物的花费更少，求这次采购计划的金额满足的条件； （2）由于小明需要采购部分商品只有其中一家超市有销售，故她分别在甲，乙两个超市各购物一次，且在两家超市都享受了折扣．若小明本次购物的原价总计为410元，实际花费总计390元，求小明在甲，乙两个超市的实际花费． 24. 已知三个正整数a，b，c满足，且． （1）求证：（在下面的括号内，填上推理的依据）； 证明：为正整数， （ ① ）． ， （ ② ）， 即． （2）请利用不等式的性质，证明：； （3）求符合题意a，b，c的值． 25. 在数学活动《二元一次方程的“图象”》的实践中，我们知道了在平面直角坐标系中，二元一次方程的一个解，可以用一个点表示出来．标出一些以方程的解为坐标的点，过这些点中的任意两点作直线，可以发现其他点也落在这条直线上．在这条直线上任取一点，这个点的坐标就是方程的解． 进一步，我们归纳结论：一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点的全体叫作这个方程的“图象”，二元一次方程的“图象”是一条直线． 在平面直角坐标系中，二元一次方程的“图象”是直线，其中．将线段向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到线段，其中C是点A的对应点． （1）记直线为二元一次方程的“图象”，求a，b的值； （2）我们知道“把一个图形平移得到新图形，连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）”．请利用这一性质，说明； （3）已知点满足．连接，点M在线段上，且．过点M作的平行线交于点N，若平分，根据图形特征，我们知道，请用等式表示与之间的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $