专题04 有理数的实际应用题10大题型（专项训练）数学冀教版2024七年级上册

专题04 有理数的实际应用题（10大题型） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、正负数的实际应用 1 题型二、行程问题 2 题型三、销售问题 3 题型四、水流速度问题 5 题型五、分段收费问题 6 题型六、计件问题 8 题型七、算24点应用 8 题型八、数轴中的实际应用题 8 题型九、含绝对值的实际应用题 9 题型十、有理数混合运算的实际应用 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一：正负数的实际应用 1．某电业局要对某市区的电路进行巡检，某检修小组从A地出发，在东西向的马路上进行检修，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，检修车一天中八次行驶记录如下：（单位：千米） (1)收工时该检修小组在A地的什么方向？距离A地多远？ (2)该检修小组这一天行驶的总路程为多少千米？ 2．（本题8分）某公路检修队乘车从地出发，在南北走向的公路上检修道路，规定向南走为正，向北走为负，从出发到收工时所行驶的路程记录如下（单位：千米）： ，，，，，，，． (1)问收工时，检修队在地哪边？距地多远？ (2)问从出发到收工时，汽车共行驶多少千米？ (3)在汽车行驶过程中，若每行驶千米耗油升，则检修队从地出发到回到地，汽车共耗油多少升？ 3．2021年9月28日，第十三届中国航展在广东珠海举行，中国空军航空大学“红鹰”飞行表演队在航展上表演特技飞行，表演从空中某一位置开始，上升的高度记作正数， 四次特技飞行高度记录如下：，，，（单位：千米） (1)求飞机最后所在的位置比开始位置高还是低？高了或低了多少千米？ (2)若飞机平均上升千米需消耗升燃油，平均下降千米需消耗升燃油，则飞机在这4次特技飞行中，一共消耗多少升燃油？ 4．“十一”黄金周来临之前，“大头儿子”希望到四川九寨沟去旅游，“小头爸爸”和“围裙妈妈”却拿出了家里9月份的收支记录表给他看，9月份收支情况记录如下图： 日  期 项目 收支情况/元(记作) 9月5日 爸爸月工资收入4500元 9月6日 水、电、煤气、物管费支出800元 9月7日 电话、手机、网络费支出600元 9月15日 妈妈工资收入3500元 9月18日 还银行住房贷款3000元 9月20日 爸爸、妈妈、“大头儿子”购衣服支出900元 9月28日 订报刊、买书支出300元 9月30日 结算本月伙食费共支出1700元 合   计 本月共收入 本月共支出 本月共结余 (1)请完成上表； (2)结合上表数据说说“大头儿子”一家有条件出去旅游吗？ 题型二：行程问题 5．阅读下列材料，回答问题． 小丽计划游玩十里蓝山的4个景点，这4个景点之间的路线如图1所示．景区内有一班观光车匀速在花海和雨林漂流之间来回载客． 小丽在游玩花海后，乘坐观光车前往彩虹滑道，在彩虹滑道游玩40分钟，接着乘坐观光车到欢乐谷，在欢乐谷游玩60分钟．图2呈现的是从开始，小丽和观光车离花海的路程（米）与时间（分）的情况（乘客上下车时间忽略不计）． 如果小丽需在之前返回花海，并且想在雨林漂流尽可能游玩更多时间，她接下来的游玩方案如下： 在欢乐谷乘坐 ① （时间点）的观光车前往雨林漂流， 在雨林漂流最多游玩 ② 分钟，再乘坐观光车直接回到花海． (1)这辆观光车的速度是多少？ (2)补全①②所缺的内容，并写出①的解答过程． 6．我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题“今有善行者一百步，不善行者六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”．这道题的意思是：甲走路快，乙走路慢，两个人在相同时间里，甲走步，乙走步．现在乙先走步，甲随后就追，甲要走多少步才能追上乙？追及问题的数量关系式是：路程差÷速度差=追及时间，所以，甲追上乙需要的时间是： ﹙个时间单位﹚在这个时间单位里，甲要走的步数是：﹙步﹚甲要走步才能追上乙．请同学们用你学到的方法解决下面的问题． 哥哥和弟弟去公园参观花展，弟弟每分钟走米，走了分钟后，哥哥以每分钟米的速度去追弟弟，经过多少分钟以后哥哥可以追上弟弟？ 7．甲、乙两城之间的路程是210千米，慢车以每小时40千米的速度由甲城开往乙城，行驶15分钟后，快车由乙城开往甲城，经过2小时两车相遇．这时快车开到甲城还需要多少小时？ 8．如图，小明家在点，学校在点，中间有道路相连，线段上的点，代表十字路口（十字路口处道路的长度忽略不计）．已知：，，；，两个路口都有红绿灯，对于方向的车辆和行人，每天早上、、、的时间段内，两个路口都是绿灯，其它时间段都是红灯；小明每天早上准时从家出发，不晚于到达学校；为确保安全，他的骑行速度不超过，并且只在绿灯时通过路口（如果到达路口时恰好遇到红灯变绿灯或绿灯变红灯，也可以立即通过路口）． (1)若小明的骑行速度保持为，他将在_____（填时刻）到达学校； (2)若小明骑行过程中不遇到红灯，并且骑行速度始终不变，那么他的骑行速度最大可以是_____，最小可以是_____． 题型三：销售问题 9．某粮库一周内大米的进出记录如下表所示：（运进为正，运出为负，单位，吨） 时间 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 进出记录 (1)周五粮库内的大米的存量相比周一是增加了还是减少了？增加或减少了多少吨？ (2)周日粮库管理员盘点时发现粮库中大米的存量还剩60吨，那么上周日盘点时，粮库中大米的存量有多少吨？ (3)如果进、出粮库的装卸费均由粮库支付，且都是每吨5元，那么这一周共花费装卸费多少元？ (4)在（3）的条件下，若运进的大米为购买的，购买价格为2000元/吨，运出的大米为卖出的，卖出价格为2300元/吨，则这一周该粮库共获得的利润为多少？ 10．推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．黄大哥合作社着力发展乡村水果网络销售，在水果收获的季节，该合作社连续七天从农户处购进苹果（如下表）苹果收购单价15元．每天收购苹果重量的标准为，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 重量 0 (1)这7天里收购水果重量最多的一天比最少的一天多 ． (2)请求出该合作社这七天一共收购了多少千克的苹果． (3)已知苹果在整个运输过程中损失了，若苹果平均售价为25元，不计其他费用，求该合作社获得的利润是多少元？ 11．北京石景山游乐园位于北京西山风景区南麓，下面是彬彬同学对某月日去石景山游乐园人数所做的统计表（“”表示比19日多的人数，“”表示比19日少的人数，单位：万人） 日期 20日 21日 22日 23日 24日 25日 26日 人数变化 (1)若该月19日去石景山游乐园的人数是3.5万人，则这七天去石景山游乐园的总人数是多少？ (2)在（1）的条件下，平均每5人就有一人购买纪念品，平均每个纪念品的利润为35元，则石景山游乐园这七天共盈利多少元？（用科学记数法表示） 12．某服装城用80000元购进2000件衬衫．由于非常畅销，这些衬衫在7天内全部卖完．这7天每件衬衫利润变化以及这七天的销售量如下表所示（正数表示比前一天每件多的利润，负数表示比前一天每件少的利润）． 销售天数/天 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 每件利润变化/元 ＋3 ＋5 －4 －7 ＋2 ＋5 每天销售的件数/件 300 350 250 350 400 150 200 (1)每件衬衫的进价为_____元，第四天时，每件衬衫的售价为_____元； (2)求服装城这七天的总利润； (3)服装城老板觉得这个商机非常好，于是花了176000元第二次购进这种衬衫，每件比上一次贵了4元．若按照（1）中第七天的售价销售，衬衫销售很快，为了回馈广大新老顾客，最后剩150件，按八折销售很快售完，求第二次销售衬衫一共盈利的钱数． 题型四：水流速度问题 13．水流速度是每小时15千米，现在有船顺水而行，8小时行320千米．则逆水行320千米需几小时？ 14．一个装满水的长方体水池，长7.5米，宽4米，池深3米，一台抽水机的水管半径是5厘米，抽水时的水流速度是每秒2米，这台抽水机需要多少小时才能把满池水抽完?（取近似值3） 15．某船在静水中的速度是每小时千米，它从上游甲地开往乙地共用了6小时，水流速度每小时4千米，问从乙地返回甲地需要多少时间？ 16．甲、乙两船，甲船静水速度是水速的11倍，乙船静水速度是水速的7倍．船分别从 A 、B 两地同时出发，在A、B之间往返航行，出发后6小时第一次相遇．如果A在B上游，那么第一次相遇后，再过几小时两船第二次相遇？ 题型五：分段收费问题 17．为了增强市民的节水意识，某市对居民使用自来水采用阶梯计价的方式收费． 第一级：户用水量以内（含），价格为2.47元/立方米． 第二级：户用水量（含），价格为3.15元/立方米． 第三级：户用水量超过，价格为3.84元/立方米． (1)下面是李阿姨家四、五月份用水量和水费记录表，请根据以上信息把表补充完整． 月份 用水量（） 水费（元） 四月份 23 五月份 77.5 (2)为节约用水，李阿姨家六月份的用水量比五月份减少了．李阿姨六月份应缴纳水费多少元？ 18．某城市对用户的自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示： 月用水量 不超过12吨的部分 超过12吨不超过18吨的部分 超过18吨的部分 收费标准（元/吨） 2.00 2.50 3.00 （1）某用户5月份缴水费18元，则该用户5月份的用水量是多少？ （2）某用户5月份缴水费45元，则该用户5月份的用水量是多少？ （3）用户想月所缴费控制在20元30元之间，则该用户的月用水量应如何控制？ 19．【分段计费】某区对用电的收费标准如下：每月用户用电不超过10千瓦时的部分，按每千瓦时元收费；超过10千瓦时而不超过20千瓦时的部分，按每千瓦时元收费；超过20千瓦时的部分按每千瓦时元收费．某月甲用户比乙用户多交电费元，乙用户比丙用户多交元，那么甲、乙、丙三户共交电费多少元？（用电量都按整数收费） 20．科技改变世界．快递分拣机器人（简称“小黄人”）从微博火到了朋友圈，据介绍，这些机器人不仅可以自动规划最优路线，将包裹准确放入相应的格口，还会感应避让障碍物、自动归队取包裹，没电的时候还会自己找充电桩充电．内蒙古某分拣仓库计划平均每天分拣20万件包裹，但实际每天的分拣量与计划相比会有出入，下表是该仓库10月份第三周分拣包裹的情况（超过计划量的部分记为正，未达到计划量的部分记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 分拣情况（单位：万件） (1)该仓库本周内分拣包裹数量最多的一天是星期______；最少的一天是星期______；最多的一天比最少的一天多分拣______万件包裹； (2)该仓库本周实际共分拣多少万件包裹？ (3)这个仓库暂时只有一个“小黄人”在工作，这个“小黄人”每分拣7万件包裹就要充电一次，每充一次电需要电费0.8元，请你按第三周的工作量计算该“小黄人”工作一周的总电费？ 题型六：计件问题 21．某淘宝商家计划平均每天销售某品牌儿童滑板车100辆，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有差距．下表是本周每天的销售情况（超额记为正、不足记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差额（辆） (1)通过计算说明，本周实际销售总量是否达到了计划量？ (2)该店铺实行每日计件工资制，每销售一辆车可得40元；若每日超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；若每日未完成计划，则少销售一辆扣20元，那么该店铺销售人员本周工资总额是多少元？ 22．春种一粒粟，秋收万颗子．为了确保能够按时完成农田小麦收割任务，某小麦收割机配件车间需要在一周内完成2000件配件的生产任务．该车间接到任务后，计划平均每天加工400件，由于各种原因，每天实际加工的件数与每天计划加工的件数相比有出入，把超额或不足的部分分别用正、负数来表示，下表是这周一到周五加工这种配件的记录情况： 星期 一 二 三 四 五 与每天的计划量相比的差值（单位：件） (1)这五天加工最多的一天比加工最少的一天多加工了______件小麦收割机配件； (2)这五天共加工了多少件小麦收割机配件？ (3)已知该厂对这个车间实行日计件工资制，每加工1件得10元，若当天超额完成任务，则超额部分每件再奖5元；若当天没有完成任务，则每少一件倒扣5元，求该车间这五天的工资总额． 23．某自行车厂每个工人计划每天组装50辆自行车，每周5天工作制．由于种种原因，实际每天组装数量与计划量相比有出入．下表是工人小欣某周的组装情况（超过记为正，不足记为负）： 星期 一 二 三 四 五 超过（不足）数量/辆 (1)求小欣本周实际组装自行车的数量； (2)该厂实行计件工资制，有两种方式供工人自主选择： 方式一按周计算工资，每组装一辆自行车可得6元，若超额完成周计划工作量，则超过部分每辆另外奖励4元；若完不成每周的计划工作量，则少组装一辆扣5元；方式二按天计算工资，每组装一辆自行车可得6元，若超额完成每天计划工作量，则超过部分每辆另外奖励4元；若完不成每天的计划工作量，则少组装一辆扣5元． 问小欣这一周应选择哪种方式计算，工资更高？ 24． 小明的妈妈在某玩具厂工作，厂里规定每个工人每周要生产某种玩具150个，平均每天生产30个，但由于种种原因，实际每天生产与计划量相比有出入，下表是小明妈妈某周的生产情况(超产记为“”、减产记为“”， 单位∶ 个)． 星期 — 二 三 四 五 增减产值 5 (1)根据记录的数据可知，小明妈妈生产玩具最多的一天比最少的一天多生产玩具_____________个； (2)该厂实行每日计件工资制，每生产一个玩具可得工资10元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖4元：少生产一个则倒扣2元，求小明妈妈这一周的工资总额是多少？ (3)若将上面第 （2）问中“实行每日计件工资制”改为“实行每周计件工资制”，其他条件不变，那么小明妈妈这一周的工资与原来相比_____________(填“增加了”、“减少了”或“不变”)． 题型七：算24点应用 25．我们约定一副扑克牌中的J为11，Q为12，K为13，A为1，黑色数字为正数，红色数字为负数．现将牌面所表示的四个有理数3，4，，10进行加、减、乘、除、乘方运算（每个数字只能用一次），使其结果等于24．运算式如下： (1) ； (2) ． (3)另有四个有理数3，3，8，8，可通过运算式 使其结果等于24． 26．24点游戏是一种使用扑克牌来进行的益智类游戏，游戏内容是：从一副扑克牌中抽去大小王剩下52张，任意抽取4张牌，把牌面上的数运用你所学过的运算得出24．每张牌都必须使用一次，但不能重复使用． (1)在玩“24点”游戏时，小明抽到以下4张牌（Q表示12）： 请你帮他写出运算结果为24的算式：（写出2个） ________________；________________； (2)如果表示正，表示负，请你用（1）中的4张牌表示的数写出运算结果为24的算式（写出2个）：________________；________________； (3)善于思考的小明发现这4张牌还能计算得出1至10（包括1和10）中的整数，则以下结论正确的是________． ①能计算出1至10（包括1和10）中的所有整数   ②只能计算出1，2，3，4，6 ③除5外的其它整数都能计算出                  ④除7和9外的其它整数都能计算出 ⑤以上选项均不正确 27．小明和同学们玩扑克牌游戏．游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算，其中J代表11、Q代表12、K代表13，若每张牌上的数字只能用一次，并使得运算结果等于24． (1)小明抽到的牌如图所示，请帮小明列出一个结果等于24的算式； (2)请你抽取任意数字不相同的4张扑克牌，并列出一个结果等于24的算式． 28．小强有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，如何抽取？最大值是多少？ (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，如何抽取？最小值是多少？ (3)从中取出2张卡片，利用这2张卡片上数字进行某种运算，得到一个最大的数，如何抽取？最大的数是多少？ (4)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24，如何抽取？写出运算式子（一种即可）． 题型八：数轴中的实际应用题 29．某快递员骑摩托车从快递公司点出发，在一条东西向的街道上来回送包裹．先向东骑行到达点，继续向东骑行到达点，然后向西骑行到达点，最后回到点． (1)以点为原点，规定向东为正方向，请在数轴上表示出、、点的位置（用一个单位长度表示）； (2)点在出发点的什么位置？ (3)如果摩托车每千米耗油0.04升，出发前摩托车油箱有1升汽油，快递员能否回到出发点？ 30．问题探索：如图，将一根木棒放在数轴(单位长度为1cm)上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合．    (1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得这根木棒的长为______cm． (2)图中点A所表示的数是______，点B所表示的数是______． (3)实际应用：由(1)(2)的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题： 一天，豆豆去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要35年才出生；你若是我现在这么大，我就109岁啦！”请问豆豆现在多少岁了？(画出数轴会更方便) 31．如图，直径为个单位长度的圆片上有一点A与数轴上的原点重合． (1)把圆片沿数轴向左滚动1周，点A到达数轴上点C的位置，点C对应的数是　 　； (2)把圆片沿数轴滚动2周，点A到达数轴上点D的位置，点D对应的数是　 　； (3)圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，滚动5次的情况记录如下：，，，，． ①当圆片结束滚动时，求点A对应的数是多少？ ②在滚动过程中，共经过　 　次数轴上2表示的点；第　 　次滚动后，点A距离原点最远． 32．某快递网点与芳芳家、欢欢家、莹莹家在同一条东西走向的大街上，快递小哥骑电动自行车从网点出发送货，先向西走了千米到达芳芳家，然后向东走了千米到达欢欢家，再向东走了千米到达莹莹家，再返回快递网点． （1）以快递网点为原点，向东为正方向，千米为个单位长度建立如图数轴，请你在数轴上标出芳芳家、欢欢家、莹莹家的位置．（芳芳家用点表示，欢欢家用点表示，莹莹家用点表示） （2）莹莹家距离快递网点有多远？芳芳家与莹莹家相距多远？ （3）快递小哥出发时电动自行车电量为满格，若每千米耗电为总电量的，那么他返回网点后该车剩余的电量还能行驶多少千米？ 题型九：含绝对值的实际应用题 33．阅读材料 点A、B在数轴上分别表示有理数、，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB．也就是说，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对的两点之间的距离． 比如可以写成，它的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离． 再举个例子：等式的几何意义可表示为：在数轴上表示数的点与表示数的点的距离等于，这样的数可以是或． 解决问题： (1) ． (2)若，则______；若，则______． (3)表示数轴上有理数所对的点到和所对的两点距离之和．请你利用数轴，找出所有符合条件的整数，使得． 34．已知数轴上两点，对应的数分别为和4，点为数轴上一动点，若规定：点到的距离是点到的距离的3倍时，我们就称点是关于的“广益点”． (1)若点到点的距离等于点到点的距离时，求点表示的数是多少； (2)若点以每秒1个单位的速度从原点开始向右运动，当点是关于的“广益点”时，求点的运动时间； (3)若点在原点的左边（即点对应的数为负数），且点是关于点，两个点的“广益点”，请求出符合条件的点表示的数． 35．如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且． (1)写出数轴上点表示的数 (2)表示5与3之差的绝对值，实际上也可理解为5与3两数在数轴上所对的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数3的点之间的距离．试探索： ①若，则_____． ②的最小值为_____； (3)拓展与延伸：数轴上三个不重合的点、、，若、、三个点中，其中一点到另外两点的距离恰好满足2倍的数量关系时，我们称这个点是其他两个点的“倍分点”．已知点代表的数是，点代表的数是13，若点是其他两个点的“倍分点”，求此时点表示的数． 36．如图，在数轴上，点A表示的数是a，点B表示的数是b，且．点P从点A出发以3个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时，点Q从点B出发、点R从原点O出发分别以1个单位长度/秒、2个单位长度/秒的速度向左匀速运动，点M为的中点，设点P运动的时间为t秒． (1)根据题意，可得______，______； (2)若，求t的值； (3)求的最小值． 题型十：有理数混合运算的实际应用 37．小明与同学约定好在距家6千米的公园聚会，可供小明选择的出行方式如下表所示，其中从小明家往公园方向0.5千米处有公交专线直达公园． 出行方式 等待上车时间（分钟） 速度（千米/小时） 费用 出租车 2 30 不超过3千米 超过3千米部分 10元 里程费：2元/千米 时长费：0.5元/分钟 公交专线 3 20 票价共3元 便民自行车 0 15 每15分钟1元，不足15分钟按15分钟计算 步行 0 5 0元 (1)若小明乘坐公交专线前往，则小明需要花费的时间为多少分钟？ (2)下午5∶35同学聚会结束，小明想利用剩余的14元，并在下午6∶00前到家； ①若小明选择乘坐出租车，则小明能否按照计划到家并支付费用？若能，请计算出所需要的费用和到家的时间，若不能，请说明理由； ②请你帮他设计一种用时最短的返程方案，并计算出所需要的费用和到家时间． 38．［核心素养］阅读材料： 钟表中蕴含着有趣的数学运算，例如：现在是时，小时以后是几时？虽然，但在表盘上看到的是时，若用“”表示钟表上的加法，则．若问时之前小时是几时？则需要用到钟表上的减法概念，用符号“”国表示钟表上的减法．（注：我们用时代替时） 由上述材料解答下列问题： (1)______，＝______，______，______； (2)在有理数运算中，相加得零的两个数互为相反数，如果在钟表运算中沿用这个概念，则的相反数是______；举例说明有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数，在钟表运算中是否仍然成立； (3)规定在钟表运算中，也有，对于钟表上的任意数字，若，判断是否一定成立．若一定成立，请说明理由；若不一定成立，请写出一个反例，并结合反例加以说明． 39．出租车司机李师傅从上午在厦大至会展中心的环岛路上营运，共连续运载十批乘客．若规定向东为正，向西为负，李师傅营运十批乘客里程如下：（单位：千米） （1）将最后一批乘客送到目的地时，李师傅距离第一批乘客出发地的位置怎样？距离多少千米？ （2）上午李师傅开车的平均速度是多少？ （3）若出租车的收费标准为：起步价8元（不超过3千米），超过3千米，超过部分每千米2元．则李师傅在上午一共收入多少元？ 40．已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长(单位长度)，慢车长(单位长度)，设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头在数轴上表示的数是，慢车头在数轴上表示的数是.若快车以6个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车以2个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶，且与互为相反数． （1）求此时多快车头与慢车头之间相距多少单位长度？ （2）从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟两列火车行驶到车头相距8个单位长度？ （3）此时在快车上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客，他发现行驶中有一段时间，他的位置到两列火车头、的距离和加上到两列火车尾、的距离和是一个不变的值(即为定值)．你认为学生发现的这一结论是否正确？若正确，请直接写出这个定值：若不正确，请说明理由． 1．（2024·江苏盐城·一模）某饮食集团4月份营业情况如下表所示，盈利记为正，亏损记为负（单位：万元） 营业情况（单位：万元） －9 －5 －2 2 8 10 天数 4 3 7 10 1 5 (1)求出亏损的总天数； (2)请通过计算，说明该饮食集团4月份是否盈利. 2．小聪暑假的某天到阿姨开的服装店进行社会实践调查．如果该店每天营业时间是9：00～19：00，小聪每隔一小时记录该店的客流量（每一时段以100人为标准．超出记为正，不足记为负），如表所示， 时段 9：00～10：00 11：00～12：00 13：00～14：00 15：00～16：00 17：00～18：00 客流量（人） （1）根据以往经验每36人能带来的销售额约为a元，请你帮小聪估算一下，该超市当天的销售额约为多少元？（用含a的代数式表示）： （2）该超市分百货部、食品部、生鲜部三个部门，当晚20：00盘点发现周五生鲜部的利润是食品部利润的1.5倍，比周四增长了20%；周五百货部的利润是食品部的90%，比周四少了10%；周五食品部的利润与周四保持不变，请你帮小聪的阿姨算一算，该超市周五的总利润与周四比是增加还是减少了？ 3．（2024·河北邯郸·一模）小王上周五在股市以收盘价（收市时的价格）每股25元买进某公司股票1000股，在接下来的一周交易日内，小王记下该股票每日收盘价格相比前一天的涨跌情况：（单位：元） 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌（元） +2 ﹣1.4 +0.9 ﹣1.8 +0.5 根据上表回答问题： （1）星期二收盘时，该股票每股多少元？ （2）周内该股票收盘时的最高价，最低价分别是多少？ （3）已知买入股票与卖出股票均需支付成交金额的千分之五的交易费．若小王在本周五以收盘价将全部股票卖出，他的收益情况如何？ 4．某冷库一天的冷冻食品进出记录如下表（运进用正数表示，运出用负数表示）： 进出数量（单位：吨） 4 2 进出次数 2 1 3 3 2 (1)这天冷库的冷冻食品比原来增加了还是减少了？增加或减少了多少吨？ (2)根据实际情况，现有两种方案： 方案一：运进每吨冷冻食品费用是500元，运出每吨冷冻食品费用是800元； 方案二：不管是运进还是运出，每吨冷冻食品费用都是600元． 从节约运费的角度考虑，选用哪一种方案比较合适？ 5．（2024·广东肇庆·一模）阅读下列内容，并完成相关问题． 小明定义了一种新的运算，取名为※（加乘）运算．按这种运算进行运算的算式举例如下： ；； ；； ；． 问题： （1）请归纳※（加乘）运算的运算法则： 两数进行※（加乘）运算时，________．特别地，0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算，________． （2）计算：．（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） （3）我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的※（加乘）运算中还适用吗？请任选一个运算律，判断它在※（加乘）运算中是否适用，并举例验证．（举一个例子即可） 6．电影《流浪地球2》成为了今年春节期间影迷观影的首选．某市今年春节期间该电影的售票量（单位，万张）变化如下表（以万张为标准，超过的张数记为正，不足的张数记为负）： 日期 正月初一 正月初二 正月初三 正月初四 正月初五 正月初六 正月初七 售票量变化 请根据以上信息，回答下列问题： (1)求该市正月初一到初七售票量最多的一天与最少的一天相差多少万张？ (2)求该市正月初一到初七每天的平均售票量是多少万张？ (3)若平均每张票价为45元，则正月初一到初七该市《流浪地球2》的票房收入共多少万元？ 7．（2024·四川绵阳·一模）“抗击新冠疫情，人人有责”，学校作为人员密集场所，要求老师和学生进入校门后需佩戴好口罩．湛江市某中学张明同学统计了第一周七年级学生每天使用口罩的数量，并制作了如下的统计表，以1000只为标准，其中每天超过1000只的记为“+”，每天不足1000只的记为“−”． 周一 周二 周三 周四 周五 (1)第一周哪一天学生使用口罩最多，数量是多少只？ (2)若学生佩戴的口罩分为两种，一种是普通医用口罩，价格为1元/只，另外一种为型口罩，价格为5元/只，且第一周所用的普通医用口罩与型口罩数量之比为，求本周七年级所有学生购买口罩的总金额是多少元？ 8．在一次数学测验中，七年（2）班的平均分为87分，把高于平均分的部分记作正数，低于平均分的部分记作负数，下表是该班一个小组10名同学的成绩变化情况： 学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩变化 0 (1)该小组10名同学的成绩最低分是多少？最高分是多少？ (2)最高分比最低分高多少？ (3)该组10名同学的成绩总分是多少？ (4)若该组10名同学的成绩平均分不低于87分，将得到奖励，每高一分，每人奖励2个本，否则不奖励，那么该组10名同学是否受到奖励？若奖励，共奖励多少个本？ 9．（2023·山东青岛·一模）如图，点、均在数轴上，点所对应的数是，点在点的右边，且距点4个单位长度，点、是数轴上的两个动点． (1)直接写成点所对应的数为______． (2)当点到点、的距离之和是6个单位长度时，求出此时点所对应的数； (3)若点、分别从点、出发，且均沿数轴向左运动，点以每秒2个单位长度的速度匀速运动，点以每秒3个单位长度的速度匀速运动．若点先出发5秒时点出发，当、两点相距2个单位长度时，直接写出此时点、分别对应的数． 10．（2023·北京·一模）随着网络直播的普及，许多人抓住这种机会，做起了“微商”，很多农产品也改变了原来的销售模式，实行了网上销售．王阿姨把柑橘放到了网上进行销售，她原计划每天卖100千克柑橘，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下列数据是某周的销售情况：（以100千克为标准，超出记为正，不足记为负．单位：千克）．； (1)根据记录的数据可知前三天共卖出多少千克； (2)本周实际销售总量是多少千克，是否达到了计划总量； (3)若每千克柑橘的进价为5元，平均每千克柑橘的运费为2元，要把这些柑橘全部以零售的形式卖掉，并按照全部销售后获得的利润为成本的作为销售目标制定零售价，若第一天水果店以该零售价售出了总质量的，第二天因害怕剩余的柑橘腐烂，决定降价把剩余的柑橘按原零售价的七折售完，请计算该水果店在销售这批柑橘的过程中共盈利或亏损多少元？（提示：成本总进价运费） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 有理数的实际应用题（10大题型） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、正负数的实际应用 1 题型二、行程问题 2 题型三、销售问题 3 题型四、水流速度问题 5 题型五、分段收费问题 6 题型六、计件问题 8 题型七、算24点应用 8 题型八、数轴中的实际应用题 8 题型九、含绝对值的实际应用题 9 题型十、有理数混合运算的实际应用 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一：正负数的实际应用 1．某电业局要对某市区的电路进行巡检，某检修小组从A地出发，在东西向的马路上进行检修，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，检修车一天中八次行驶记录如下：（单位：千米） (1)收工时该检修小组在A地的什么方向？距离A地多远？ (2)该检修小组这一天行驶的总路程为多少千米？ 【答案】(1)收工时该检修小组在A地的西方，距离A地3千米 (2)该检修小组这一天行驶的总路程为45千米 【分析】（1）将所记录的数据求和，和为正数则在A地的东方，如果为负数则在西方，其绝对值是距A的距离； （2）求出所记录数据的绝对值的和即为所行的所有的路程． 【详解】（1）解：（千米）， ， 答：收工时该检修小组在A地的西方，距离A地3千米， （2）解：（千米）， 答：该检修小组这一天行驶的总路程为45千米． 【点睛】此题考查正数和负数的应用，解题的关键在于结合实际运用相关定义． 2．（本题8分）某公路检修队乘车从地出发，在南北走向的公路上检修道路，规定向南走为正，向北走为负，从出发到收工时所行驶的路程记录如下（单位：千米）： ，，，，，，，． (1)问收工时，检修队在地哪边？距地多远？ (2)问从出发到收工时，汽车共行驶多少千米？ (3)在汽车行驶过程中，若每行驶千米耗油升，则检修队从地出发到回到地，汽车共耗油多少升？ 【答案】(1)收工时，检修队在地南边，距地11千米远 (2)汽车共行驶千米 (3)汽车共耗油升 【分析】（1）求出他行驶的路程的代数和即可； （2）求得各数的绝对值的和即可； （3）用（2）中求得的路程再加上9后乘以每千米的耗油量即可． 【详解】（1）解：（千米）． 答：收工时，检修队在地南边，距地千米远． （2）解：（千米）． 答：汽车共行驶千米． （3）解：（千米），（升）． 答：汽车共耗油升． 【点睛】本题考查了正负数的意义及绝对值的概念，注意第3小题中检修队是要回到地的． 3．2021年9月28日，第十三届中国航展在广东珠海举行，中国空军航空大学“红鹰”飞行表演队在航展上表演特技飞行，表演从空中某一位置开始，上升的高度记作正数， 四次特技飞行高度记录如下：，，，（单位：千米） (1)求飞机最后所在的位置比开始位置高还是低？高了或低了多少千米？ (2)若飞机平均上升千米需消耗升燃油，平均下降千米需消耗升燃油，则飞机在这4次特技飞行中，一共消耗多少升燃油？ 【答案】(1)飞机比起飞点高了千米 (2)升 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，正负数在实际生活中的应用， （1）直接把各数相加即可得出结论； （2）根据题意列式计算即可. 【详解】（1）解： （千米） 答：此时飞机比起飞点高了千米； （2）解： (升) ． 答：一共消耗升燃油． 4．“十一”黄金周来临之前，“大头儿子”希望到四川九寨沟去旅游，“小头爸爸”和“围裙妈妈”却拿出了家里9月份的收支记录表给他看，9月份收支情况记录如下图： 日  期 项目 收支情况/元(记作) 9月5日 爸爸月工资收入4500元 9月6日 水、电、煤气、物管费支出800元 9月7日 电话、手机、网络费支出600元 9月15日 妈妈工资收入3500元 9月18日 还银行住房贷款3000元 9月20日 爸爸、妈妈、“大头儿子”购衣服支出900元 9月28日 订报刊、买书支出300元 9月30日 结算本月伙食费共支出1700元 合   计 本月共收入 本月共支出 本月共结余 (1)请完成上表； (2)结合上表数据说说“大头儿子”一家有条件出去旅游吗？ 【答案】(1)见解析 (2)因为结余较少，可以选择在本市旅游 【分析】 本题主要考查了正负数的意义 （1）根据正负数的意义，支出用负数表示，收入用正数表示解答即可； （2）根据结余的钱数较少判断可以选择本市旅游． 【详解】（1） 解：填表如下： 日期 项目 收支情况(元 9月5日 爸爸工资收入4500元 9月6日 水、电、煤气、物业管理费支出800元 9月7日 电话、手机、网络费支出600元 9月15日 妈妈工资收入3500元 9月18日 还银行住房贷款3000元 9月20日 爸爸、妈妈、大头儿子购买衣服支出900元 9月28日 订报刊、买书支出300元 9月30日 结算本月伙食费共支出1700元 合计 本月共收入 本月共支出 本月共结余 （2）解：因为结余较少，可以选择在本市旅游． 题型二：行程问题 5．阅读下列材料，回答问题． 小丽计划游玩十里蓝山的4个景点，这4个景点之间的路线如图1所示．景区内有一班观光车匀速在花海和雨林漂流之间来回载客． 小丽在游玩花海后，乘坐观光车前往彩虹滑道，在彩虹滑道游玩40分钟，接着乘坐观光车到欢乐谷，在欢乐谷游玩60分钟．图2呈现的是从开始，小丽和观光车离花海的路程（米）与时间（分）的情况（乘客上下车时间忽略不计）． 如果小丽需在之前返回花海，并且想在雨林漂流尽可能游玩更多时间，她接下来的游玩方案如下： 在欢乐谷乘坐 ① （时间点）的观光车前往雨林漂流， 在雨林漂流最多游玩 ② 分钟，再乘坐观光车直接回到花海． (1)这辆观光车的速度是多少？ (2)补全①②所缺的内容，并写出①的解答过程． 【答案】(1)400米/分 (2)①，过程见解析；②80 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，理解题意是解题的关键． （1）利用路程除以时间即可； （2）①计算观光车的时间加上小丽游玩的时间即可； ②由图可知观光车在10分钟时第一次到达雨林漂流，然后每在20分钟一次到达雨林漂流，小丽要在前返回花海，则最晚乘坐分的观光车，据此求解即可． 【详解】（1）依题意，得 观光车一个往返耗时20分钟， 行驶的路程为（米）． 则观光车的速度为：（米/分）． 答：观光车的速度为400米/分； （2）①小丽在彩虹滑道游玩40分钟， （分钟） 小丽到达欢乐谷的时间是． 小丽在欢乐谷游玩60分钟， 小丽在欢乐谷乘坐的观光车前往雨林漂流． ②从到共用时200分钟， 次余10分钟， ∴小丽想在雨林漂流尽可能游玩更多时间需乘坐的观光车， ∴小丽在返回前共用时分钟， ∴小丽在雨林漂流最多游玩分钟． 故答案为：80 6．我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题“今有善行者一百步，不善行者六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”．这道题的意思是：甲走路快，乙走路慢，两个人在相同时间里，甲走步，乙走步．现在乙先走步，甲随后就追，甲要走多少步才能追上乙？追及问题的数量关系式是：路程差÷速度差=追及时间，所以，甲追上乙需要的时间是： ﹙个时间单位﹚在这个时间单位里，甲要走的步数是：﹙步﹚甲要走步才能追上乙．请同学们用你学到的方法解决下面的问题． 哥哥和弟弟去公园参观花展，弟弟每分钟走米，走了分钟后，哥哥以每分钟米的速度去追弟弟，经过多少分钟以后哥哥可以追上弟弟？ 【答案】分钟 【分析】本题考查追及问题，求出需要追及的路程是解题的关键．根据速度×时间=路程，据此求出弟弟先走的路程即需要追及的距离，然后根据路程差÷速度差=追及时间，据此计算即可． 【详解】解： （分钟） 答：经过分钟以后哥哥可以追上弟弟． 7．甲、乙两城之间的路程是210千米，慢车以每小时40千米的速度由甲城开往乙城，行驶15分钟后，快车由乙城开往甲城，经过2小时两车相遇．这时快车开到甲城还需要多少小时？ 【答案】快车开到甲城还需要小时 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，根据题意列出算式是解题的关键． 根据题意列式计算即可． 【详解】解：15分钟小时， （时） 答：快车开到甲城还需要小时． 8．如图，小明家在点，学校在点，中间有道路相连，线段上的点，代表十字路口（十字路口处道路的长度忽略不计）．已知：，，；，两个路口都有红绿灯，对于方向的车辆和行人，每天早上、、、的时间段内，两个路口都是绿灯，其它时间段都是红灯；小明每天早上准时从家出发，不晚于到达学校；为确保安全，他的骑行速度不超过，并且只在绿灯时通过路口（如果到达路口时恰好遇到红灯变绿灯或绿灯变红灯，也可以立即通过路口）． (1)若小明的骑行速度保持为，他将在_____（填时刻）到达学校； (2)若小明骑行过程中不遇到红灯，并且骑行速度始终不变，那么他的骑行速度最大可以是_____，最小可以是_____． 【答案】(1) (2)225，150 【分析】本题主要考查有理数运算的应用，正确理解题意是解答本题的关键． （1）分别求出在段用时，段用时以及段用时，再加上等红灯的时间即可得出从出发到学校的总用时； （2）分别求出骑行完所用最长时间和最短时间，根据速度=路程÷时间即可得解． 【详解】（1）解：（分）， （分）， （分） （分）， 所以，从到所用总时间为（分）， （分）， 即小明的骑行速度保持为，他将在到达学校， 故答案为：； （2）解：因为小明骑行过程中不遇到红灯，并且骑行速度始终不变， 所以，他最少用时为（分）； 最多用时为（分）； 所以，他的骑行速度最大为； 骑行速度最小为； 故答案为：150；225． 题型三：销售问题 9．某粮库一周内大米的进出记录如下表所示：（运进为正，运出为负，单位，吨） 时间 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 进出记录 (1)周五粮库内的大米的存量相比周一是增加了还是减少了？增加或减少了多少吨？ (2)周日粮库管理员盘点时发现粮库中大米的存量还剩60吨，那么上周日盘点时，粮库中大米的存量有多少吨？ (3)如果进、出粮库的装卸费均由粮库支付，且都是每吨5元，那么这一周共花费装卸费多少元？ (4)在（3）的条件下，若运进的大米为购买的，购买价格为2000元/吨，运出的大米为卖出的，卖出价格为2300元/吨，则这一周该粮库共获得的利润为多少？ 【答案】(1)周五粮库内的大米的存量相比周一减少了35吨 (2)上周日盘点时，粮库中大米的存量有50吨 (3)这一周共花费装卸费850元 (4)这一周该粮库共获得利润3150元 【分析】本题考查正负数的应用和有理数运算的应用，解题的关键是理解题意，掌握正负数的意义． （1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （2）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （3）求出数据的绝对值的和，再乘5即可； （4）用卖出的总价减去购卖的总价，再减去装卸费即可． 【详解】（1）解：（吨） 答：周五粮库内的大米的存量相比周一减少了35吨． （2）解：（吨） （吨） 答：上周日盘点时，粮库中大米的存量有50吨． （3）解：（元） 答：这一周共花费装卸费850元． （4）解：（元） （元） 答：这一周该粮库共获得利润3150元． 10．推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．黄大哥合作社着力发展乡村水果网络销售，在水果收获的季节，该合作社连续七天从农户处购进苹果（如下表）苹果收购单价15元．每天收购苹果重量的标准为，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 重量 0 (1)这7天里收购水果重量最多的一天比最少的一天多 ． (2)请求出该合作社这七天一共收购了多少千克的苹果． (3)已知苹果在整个运输过程中损失了，若苹果平均售价为25元，不计其他费用，求该合作社获得的利润是多少元？ 【答案】(1)80 (2)1500 (3)14250元 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，正确的列出算式，是解题的关键： （1）表格中最大数减去最小数进行计算即可； （2）表格中所有数据的和加上标准质量乘以7进行计算即可； （3）用每千克的利润乘以销量进行计算即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：80； （2）； 答：该合作社这七天一共收购了1500千克的苹果． （3）（元）； 答：该合作社获得的利润是14250元． 11．北京石景山游乐园位于北京西山风景区南麓，下面是彬彬同学对某月日去石景山游乐园人数所做的统计表（“”表示比19日多的人数，“”表示比19日少的人数，单位：万人） 日期 20日 21日 22日 23日 24日 25日 26日 人数变化 (1)若该月19日去石景山游乐园的人数是3.5万人，则这七天去石景山游乐园的总人数是多少？ (2)在（1）的条件下，平均每5人就有一人购买纪念品，平均每个纪念品的利润为35元，则石景山游乐园这七天共盈利多少元？（用科学记数法表示） 【答案】(1)这七天去石景山游乐园的总人数是万人 (2)石景山游乐园这七天共盈利元 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，理解题意，正确列式计算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据题意列式计算即可得解 （2）先求出购买纪念品的数量，再乘以35即可得解． 【详解】（1）解：（万人）， 故这七天去石景山游乐园的总人数是万人； （2）解：（元）， 故石景山游乐园这七天共盈利元． 12．某服装城用80000元购进2000件衬衫．由于非常畅销，这些衬衫在7天内全部卖完．这7天每件衬衫利润变化以及这七天的销售量如下表所示（正数表示比前一天每件多的利润，负数表示比前一天每件少的利润）． 销售天数/天 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 每件利润变化/元 ＋3 ＋5 －4 －7 ＋2 ＋5 每天销售的件数/件 300 350 250 350 400 150 200 (1)每件衬衫的进价为_____元，第四天时，每件衬衫的售价为_____元； (2)求服装城这七天的总利润； (3)服装城老板觉得这个商机非常好，于是花了176000元第二次购进这种衬衫，每件比上一次贵了4元．若按照（1）中第七天的售价销售，衬衫销售很快，为了回馈广大新老顾客，最后剩150件，按八折销售很快售完，求第二次销售衬衫一共盈利的钱数． 【答案】(1)40，54 (2)元 (3)元 【分析】本题主要考查了有理数的运算的实际应用，理解题意、正确列出算式是解题的关键． （1）根据“用80000元购进2000件衬衫”即可求出进价；由表格数据即可求出第四天时，每件衬衫的售价； （2）分别求出每一天每件衬衫的利润即可求解； （3）根据题意可求出进价为元，购进件数为件，结合第七天的售价为元即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：每件衬衫的进价为元， 第四天时，每件衬衫的售价为元． 故答案为：40，54． （2）解：由表格数据可知： 第一天每件衬衫的利润为10元； 第二天每件衬衫的利润为元； 第三天每件衬衫的利润为元； 第四天每件衬衫的利润为元； 第五天每件衬衫的利润为元； 第六天每件衬衫的利润为元； 第七天每件衬衫的利润为元． 这个服装城这七天的总利润为 （元）． 答：服装城这七天的总利润23900元． （3）解：由题意，得此次衬衫的进价为：（元）． 购进件数为（件）． 由（3）得第七天的售价为（元）． 故第二次一共盈利（元）． 题型四：水流速度问题 13．水流速度是每小时15千米，现在有船顺水而行，8小时行320千米．则逆水行320千米需几小时？ 【答案】32小时 【分析】本题考查了逆水行舟问题，明确顺水速度与逆水速度之间的关系是本题解题的关键．根据速度=路程÷时间，求出顺水速度，然后再减去两倍的水流速度，就是逆水速度，最后根据时间=路程÷速度求解即可． 【详解】解： （小时）． 答：逆水行320千米需32小时． 14．一个装满水的长方体水池，长7.5米，宽4米，池深3米，一台抽水机的水管半径是5厘米，抽水时的水流速度是每秒2米，这台抽水机需要多少小时才能把满池水抽完?（取近似值3） 【答案】小时 【分析】先求出水池的容积，再用容积除以水管的截面面积与水流速度的乘积即可得出结果． 【详解】解：水池容积为：7.5×4×3=90立方米， 水管截面面积=3×52=75平方厘米=0.0075平方米， ∴把满池水抽完所用时间为：90÷（0.0075×2）=6000（秒）=小时 【点睛】此题主要考查长方体和圆柱的体积的计算方法在实际生活中的应用． 15．某船在静水中的速度是每小时千米，它从上游甲地开往乙地共用了6小时，水流速度每小时4千米，问从乙地返回甲地需要多少时间？ 【答案】9小时 【分析】根据顺流的时间速度相乘的得到路程，再除以逆流中的速度直接求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， (小时) 【点睛】本题考查行船再顺水逆水航行的问题，解题的关键是熟练掌握顺水中速度等于静水中速度加上水速，逆水中船速等于静水中速度减去水速． 16．甲、乙两船，甲船静水速度是水速的11倍，乙船静水速度是水速的7倍．船分别从 A 、B 两地同时出发，在A、B之间往返航行，出发后6小时第一次相遇．如果A在B上游，那么第一次相遇后，再过几小时两船第二次相遇？ 【答案】第一次相遇后，再过13小时两船第二次相遇 【分析】本题中的甲船的速度、乙船的速度、水的速度、A、B两个码头之间的距离都不知道，只知道甲、乙两船的速度和水速之间的关系，所以我们可以把水速设为1千米/小时，则甲船在静水中的速度是（千米/小时），乙船在静水中的速度是（千米/小时），甲船顺水航行的速度是12千米/小时，乙船逆水航行的速度是6千米/小时．两船出发后6小时第一次相遇，所以A、B两个码头之间的距离是（千米）．甲、乙两船相遇后，甲船还需要再行驶（小时）到达B码头，这时乙船已经离开B码头（千米），正好走了一半的路程，乙船还需要再行驶9小时才能到达A码头，甲船在这9小时的时间内逆流而上行驶了（千米），离A码头还有（千米），甲船继续逆流而上，乙船顺流而下，两船变成了相遇问题，相遇时间（小时），所以第一次相遇与第二次相遇之间时间是（小时）． 【详解】设水速为1千米/小时，则 甲船在静水中的速度是（千米/小时），乙船在静水中的速度是：（千米/小时）， 甲船顺水航行的速度是（千米/小时），乙船顺水航行的速度是（千米/小时）， 甲船逆水航行的速度是（千米/小时），乙船逆水航行的速度是（千米/小时）， A、B两个码头之间的距离是（千米）． （小时） （小时） （小时） 答：第一次相遇后，再过13小时两船第二次相遇． 【点睛】本题主要考查了轮船相遇问题，可以把水速设为1千米/小时，甲、乙两船的速度在变化，所以逐步分析两船行驶的路程和速度是解题的关键． 题型五：分段收费问题 17．为了增强市民的节水意识，某市对居民使用自来水采用阶梯计价的方式收费． 第一级：户用水量以内（含），价格为2.47元/立方米． 第二级：户用水量（含），价格为3.15元/立方米． 第三级：户用水量超过，价格为3.84元/立方米． (1)下面是李阿姨家四、五月份用水量和水费记录表，请根据以上信息把表补充完整． 月份 用水量（） 水费（元） 四月份 23 五月份 77.5 (2)为节约用水，李阿姨家六月份的用水量比五月份减少了．李阿姨六月份应缴纳水费多少元？ 【答案】(1)56.81，30 (2)64.9元 【分析】（1）用用水量乘以价格可得四月份水费，用五月份的水费减去以内的费用，除以3.15可得户用水量的用水量，进而即可求解． （2）根据六月份的用水量比五月份减少了．求得六月份的用水量为26，按照第二级水费标准进行计算即可求解． 【详解】（1）①（元） ②， ∴五月份的用水量为， 填表如下， 月份 用水量（） 水费（元） 四月份 23 56.81 五月份 30 77.5 （2）李阿姨六月份用水量为： 应缴纳水费：（元） 答：李阿姨六月份应缴纳水费64.9元． 【点睛】本题考查了有理数乘除法运算的实际应用，根据题意列出算式是解题的关键． 18．某城市对用户的自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示： 月用水量 不超过12吨的部分 超过12吨不超过18吨的部分 超过18吨的部分 收费标准（元/吨） 2.00 2.50 3.00 （1）某用户5月份缴水费18元，则该用户5月份的用水量是多少？ （2）某用户5月份缴水费45元，则该用户5月份的用水量是多少？ （3）用户想月所缴费控制在20元30元之间，则该用户的月用水量应如何控制？ 【答案】（1）该用户5月份的用水量是9吨；（2）该用户5月份的用水量是20吨；（3）该用户的月用水量应该控制在10～14.4吨之间． 【分析】（1）先求出用12吨水的水费，判断出5月份的用水量在12吨以上，然后根据所缴水费18元列出算式即可解答 （2）先求出用18吨水的水费，判断出5月份的用水量在18吨以上，然后根据所缴水费45元算式求解即可； （3）求出缴水费20元与30元时的用水量，即可得到用水范围． 【详解】解：（1）当用水12吨时，缴水费为2×12＝24元， ∵18＜24， ∴如果5月份激水费18元，则用水量没有超过12吨， ∴18÷2=9（吨） 答：该用户5月份的用水量是9吨 （2）当用水18吨时，缴水费为24＋2.5×(18−12)＝24＋15＝39元， ∵45＞39， ∴5月份的用水量超过18吨， (45-39)÷3+18=20（吨） 答：该用户5月份的用水量是20吨 （3）根据（1），当所缴水费为20元时， ∵20＜24， ∴用水20÷2＝10吨， 根据（2），当所缴水费为30元时， ∵24＜30＜39， ∴用水量为：(30-24)÷2.5+12=14.4（吨） 所以，该用户的月用水量应该控制在10～14.4吨之间． 【点睛】本题考查了有理数混合运算的实际应用，解题的关键是读懂题意，正确列出算式． 19．【分段计费】某区对用电的收费标准如下：每月用户用电不超过10千瓦时的部分，按每千瓦时元收费；超过10千瓦时而不超过20千瓦时的部分，按每千瓦时元收费；超过20千瓦时的部分按每千瓦时元收费．某月甲用户比乙用户多交电费元，乙用户比丙用户多交元，那么甲、乙、丙三户共交电费多少元？（用电量都按整数收费） 【答案】甲、乙、丙三户共交电费元 【分析】本题主要考查了有理数四则混合计算的实际应用，分析题意可推出丙的用电量不超过10千瓦时，再由可求出丙的用电量，进而求出对应的电费． 【详解】解：∵不是的整倍数，且乙用户比丙用户多交元， ∴丙的用电量不超过20千瓦时， 当丙的用电量超过10千瓦时而不超过20千瓦时时， ∵不是的整倍数，且乙用户比丙用户多交元， ∴此时乙的用电量一定超过20千瓦时， 当乙用电量为21千瓦时，则丙的用电量为，不是整数，不符合题意； 当乙用电量为22千瓦时，则丙的用电量为，不是整数，不符合题意； ∴综上所述可知，丙的用电量不超过10千瓦时， ∵， ∴乙的用电量为千瓦时，丙的用电量为千瓦时， ∴丙交电费元， ∴元， 答：甲、乙、丙三户共交电费元． 20．科技改变世界．快递分拣机器人（简称“小黄人”）从微博火到了朋友圈，据介绍，这些机器人不仅可以自动规划最优路线，将包裹准确放入相应的格口，还会感应避让障碍物、自动归队取包裹，没电的时候还会自己找充电桩充电．内蒙古某分拣仓库计划平均每天分拣20万件包裹，但实际每天的分拣量与计划相比会有出入，下表是该仓库10月份第三周分拣包裹的情况（超过计划量的部分记为正，未达到计划量的部分记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 分拣情况（单位：万件） (1)该仓库本周内分拣包裹数量最多的一天是星期______；最少的一天是星期______；最多的一天比最少的一天多分拣______万件包裹； (2)该仓库本周实际共分拣多少万件包裹？ (3)这个仓库暂时只有一个“小黄人”在工作，这个“小黄人”每分拣7万件包裹就要充电一次，每充一次电需要电费0.8元，请你按第三周的工作量计算该“小黄人”工作一周的总电费？ 【答案】(1)六，日，13 (2)该仓库本周实际分拣万件包裹 (3)该“小黄人”充电一周的总费用为元 【分析】本题考查了正负数的意义，有理数的混合运算的应用； （1）根据表格数据以及正负数的意义，有理数的加减运算进行计算即可求解； （2）将表格数据相加再加上，即可求解； （3）根据得出次数，进而乘以即可求解． 【详解】（1）解：由表可知： 本周内分拣包裹数量最多的一天是星期六， 最少的一天是星期日 最多的一天比最少的一天多分拣：（万件）， 故答案为：六，日，； （2）（万件）． 答：该仓库本周实际分拣万件包裹． （3） 答：该“小黄人”充电一周的总费用为元． 题型六：计件问题 21．某淘宝商家计划平均每天销售某品牌儿童滑板车100辆，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有差距．下表是本周每天的销售情况（超额记为正、不足记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差额（辆） (1)通过计算说明，本周实际销售总量是否达到了计划量？ (2)该店铺实行每日计件工资制，每销售一辆车可得40元；若每日超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；若每日未完成计划，则少销售一辆扣20元，那么该店铺销售人员本周工资总额是多少元？ 【答案】(1)达到了计划量 (2)28880元 【分析】本题考查正数和负数，有理数混合运算的实际应用． （1）把增减的量都相加，然后根据有理数的加法运算法则进行计算，即可得出结论； （2）将总数量乘以价格解答即可． 【详解】（1）解：（辆）， 因为， 所以本周实际销售总量达到了计划量； （2）解： （元）， 答：该店铺的销售人员这一周的工资总额是28880元． 22．春种一粒粟，秋收万颗子．为了确保能够按时完成农田小麦收割任务，某小麦收割机配件车间需要在一周内完成2000件配件的生产任务．该车间接到任务后，计划平均每天加工400件，由于各种原因，每天实际加工的件数与每天计划加工的件数相比有出入，把超额或不足的部分分别用正、负数来表示，下表是这周一到周五加工这种配件的记录情况： 星期 一 二 三 四 五 与每天的计划量相比的差值（单位：件） (1)这五天加工最多的一天比加工最少的一天多加工了______件小麦收割机配件； (2)这五天共加工了多少件小麦收割机配件？ (3)已知该厂对这个车间实行日计件工资制，每加工1件得10元，若当天超额完成任务，则超额部分每件再奖5元；若当天没有完成任务，则每少一件倒扣5元，求该车间这五天的工资总额． 【答案】(1)110 (2)这周共加工了2020件小麦收割机配件 (3)该车间这周的工资总额为20300元 【分析】本题考查正数和负数及有理数运算的实际应用，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）用最多的一天加工的小麦收割机配件数减去最少的一天加工的小麦收割机配件数，列式计算即可； （2）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （3）结合（1）中所求列式计算即可． 【详解】（1）解：（件）， 即这五天加工最多的一天比加工最少的一天多加工了110件， 故答案为：110； （2）解： （件） 答：这五天加工了2020件小麦收割机配件． （3）解： （元）， 答：该车间这五天的工资总额为20300元． 23．某自行车厂每个工人计划每天组装50辆自行车，每周5天工作制．由于种种原因，实际每天组装数量与计划量相比有出入．下表是工人小欣某周的组装情况（超过记为正，不足记为负）： 星期 一 二 三 四 五 超过（不足）数量/辆 (1)求小欣本周实际组装自行车的数量； (2)该厂实行计件工资制，有两种方式供工人自主选择： 方式一按周计算工资，每组装一辆自行车可得6元，若超额完成周计划工作量，则超过部分每辆另外奖励4元；若完不成每周的计划工作量，则少组装一辆扣5元；方式二按天计算工资，每组装一辆自行车可得6元，若超额完成每天计划工作量，则超过部分每辆另外奖励4元；若完不成每天的计划工作量，则少组装一辆扣5元． 问小欣这一周应选择哪种方式计算，工资更高？ 【答案】(1)小欣本周实际组装自行车的数量为辆 (2)小欣这一周应选择按周计算工资，工资更高 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，正负数的实际应用； （1）根据题意和表格中的数据，将表格数据相加，即可求解； （2）根据题意分别计算两种方式的工资，比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：（辆） 答：小欣本周实际组装自行车的数量为辆； （2）解：方式一：（元） 方式二：（元） 所以小欣这一周应选择按周计算工资，工资更高 24． 小明的妈妈在某玩具厂工作，厂里规定每个工人每周要生产某种玩具150个，平均每天生产30个，但由于种种原因，实际每天生产与计划量相比有出入，下表是小明妈妈某周的生产情况(超产记为“”、减产记为“”， 单位∶ 个)． 星期 — 二 三 四 五 增减产值 5 (1)根据记录的数据可知，小明妈妈生产玩具最多的一天比最少的一天多生产玩具_____________个； (2)该厂实行每日计件工资制，每生产一个玩具可得工资10元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖4元：少生产一个则倒扣2元，求小明妈妈这一周的工资总额是多少？ (3)若将上面第 （2）问中“实行每日计件工资制”改为“实行每周计件工资制”，其他条件不变，那么小明妈妈这一周的工资与原来相比_____________(填“增加了”、“减少了”或“不变”)． 【答案】(1)16 (2)小明妈妈这一周的工资总额是元 (3)小明妈妈这一周的工资与原来相比减小了． 【分析】本题主要考查正负数在实际生活中的应用，有理数的混合运算．要注意弄清楚题意，仔细求解． （1）由超出最多的减去不足最多的即可得到答案； （2）先计算完成的玩具数量为个，再按照每日计件工资制列式：，再计算即可； （3）每周计件工资制列式：，再计算并比较即可得到结论． 【详解】（1）解：（个）， ∴小明妈妈生产玩具最多的一天比最少的一天多生产玩具16个； （2）解：∵小明妈妈这一周生产玩具（个）， ∴（元）， ∴小明妈妈这一周的工资总额是元； （3）解：按每周计件工资制可得： 小明妈妈这一周的工资总额为：（元）， ∵， ∴小明妈妈这一周的工资与原来相比减小了． 题型七：算24点应用 25．我们约定一副扑克牌中的J为11，Q为12，K为13，A为1，黑色数字为正数，红色数字为负数．现将牌面所表示的四个有理数3，4，，10进行加、减、乘、除、乘方运算（每个数字只能用一次），使其结果等于24．运算式如下： (1) ； (2) ． (3)另有四个有理数3，3，8，8，可通过运算式 使其结果等于24． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数的混合计算： （1）根据有理数的四则运算法则求解即可； （2）根据有理数的四则运算法则求解即可； （3）由求解即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：； （3）解： ， 故答案为：． 26．24点游戏是一种使用扑克牌来进行的益智类游戏，游戏内容是：从一副扑克牌中抽去大小王剩下52张，任意抽取4张牌，把牌面上的数运用你所学过的运算得出24．每张牌都必须使用一次，但不能重复使用． (1)在玩“24点”游戏时，小明抽到以下4张牌（Q表示12）： 请你帮他写出运算结果为24的算式：（写出2个） ________________；________________； (2)如果表示正，表示负，请你用（1）中的4张牌表示的数写出运算结果为24的算式（写出2个）：________________；________________； (3)善于思考的小明发现这4张牌还能计算得出1至10（包括1和10）中的整数，则以下结论正确的是________． ①能计算出1至10（包括1和10）中的所有整数   ②只能计算出1，2，3，4，6 ③除5外的其它整数都能计算出                  ④除7和9外的其它整数都能计算出 ⑤以上选项均不正确 【答案】(1)； (2)； (3)① 【分析】本题考查了有理数的混合运算： （1）利用24点游戏规则列出算式即可； （2）利用24点游戏规则列出算式即可； （3）将这四个数字的组成的算式列出来即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得：，， 故答案为：；； （2）根据题意得：；； 故答案为：；； （3）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 这4张牌还能计算得出1至10（包括1和10）中的所有整数， 故答案为：①． 27．小明和同学们玩扑克牌游戏．游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算，其中J代表11、Q代表12、K代表13，若每张牌上的数字只能用一次，并使得运算结果等于24． (1)小明抽到的牌如图所示，请帮小明列出一个结果等于24的算式； (2)请你抽取任意数字不相同的4张扑克牌，并列出一个结果等于24的算式． 【答案】(1)，答案不唯一 (2)见解析 【分析】（1）根据题意将其进行有理数的混合运算得到24即可； （2）假设一组数字，再进行计算即可． 【详解】（1）由题意得：； （2）由题意得，假设抽取的卡牌上的数字为：2、3、4、6， 则．（答案不唯一） 【点睛】本题考查了有理数的混合运算的应用，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 28．小强有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，如何抽取？最大值是多少？ (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，如何抽取？最小值是多少？ (3)从中取出2张卡片，利用这2张卡片上数字进行某种运算，得到一个最大的数，如何抽取？最大的数是多少？ (4)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24，如何抽取？写出运算式子（一种即可）． 【答案】(1)抽取与，积为24 (2)抽取与，商为 (3)抽取与，进行乘方运算得到最大为 (4)（答案不唯一） 【分析】（1）要使2张卡片的乘积最大，则取同号的两张卡片，且其绝对值最大的两张，据此可求解； （2）要使2张卡片的商最小，则取异号的两张卡片，且分子的绝对值最大，分母的绝对值最小，据此可求解 （3）进行乘方的运算可使相应的值最大，可选取与4，据此可求解； （4）利用有理数的相应的运算进行求解，符合题意即可． 【详解】（1）抽取与，则其乘积为：； （2）抽取与，则其商为：； （3）抽取与，则有：； （4）． 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 题型八：数轴中的实际应用题 29．某快递员骑摩托车从快递公司点出发，在一条东西向的街道上来回送包裹．先向东骑行到达点，继续向东骑行到达点，然后向西骑行到达点，最后回到点． (1)以点为原点，规定向东为正方向，请在数轴上表示出、、点的位置（用一个单位长度表示）； (2)点在出发点的什么位置？ (3)如果摩托车每千米耗油0.04升，出发前摩托车油箱有1升汽油，快递员能否回到出发点？ 【答案】(1)见解析 (2)点在出发点的正西方向处 (3)快递员能回到出发点 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，数轴表示有理数，有理数的混合运算的应用，解题关键是理解题意，列出正确的算式． （1）根据题意，在数轴上描出点A，B，D即可； （2）规定向东行驶为正，向西行驶为负，把摩托车行驶的路程记录下来，求出到点A的总路程，然后判断即可； （3）先求出摩托车行驶的总路程，再求出行驶这些路程需要耗油多少，然后根据摩托车里的油进行判断即可． 【详解】（1）解：如图，、、点即为所求； （2）， 答：点A在出发点的正西方向处； （3）， （升）， ， ∴快递员能回到出发点． 30．问题探索：如图，将一根木棒放在数轴(单位长度为1cm)上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合．    (1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得这根木棒的长为______cm． (2)图中点A所表示的数是______，点B所表示的数是______． (3)实际应用：由(1)(2)的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题： 一天，豆豆去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要35年才出生；你若是我现在这么大，我就109岁啦！”请问豆豆现在多少岁了？(画出数轴会更方便) 【答案】(1)8 (2)14，22 (3)13 【分析】本题属于数学阅读题，主要考查了一个线段模型的运用．解题的关键在于运用前两问给定的解题模型去求解奶奶与豆豆的年龄差，进而求出豆豆的年龄． （1）根据图象可知3倍的长为（cm），这样长就可以求出来了． （2）A点在6的右侧8单位长度，可以求出A点的数值为14，B点在A点右侧8个单位长度，也可以求出B点的数值． （3）运用上边的模型把奶奶与豆豆的年龄差理解为一个线段，就是两人年龄差的3倍，可以求出两人的年龄差．进而可以分别算出豆豆的年龄． 【详解】（1）观察数轴可知三根木棒长为（cm），则这根木棒的长为（cm）； 故答案为8． （2）， ． 所以图中A点所表示的数为14，B点所表示的数为22． 故答案为：14，22． （3）当奶奶像豆豆这样大时，豆豆为岁， 所以奶奶与豆豆的年龄差为：（岁）， 所以豆豆现在的年龄为（岁）． 31．如图，直径为个单位长度的圆片上有一点A与数轴上的原点重合． (1)把圆片沿数轴向左滚动1周，点A到达数轴上点C的位置，点C对应的数是　 　； (2)把圆片沿数轴滚动2周，点A到达数轴上点D的位置，点D对应的数是　 　； (3)圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，滚动5次的情况记录如下：，，，，． ①当圆片结束滚动时，求点A对应的数是多少？ ②在滚动过程中，共经过　 　次数轴上2表示的点；第　 　次滚动后，点A距离原点最远． 【答案】(1) (2)或0 (3)①；②， 【分析】（1）利用圆的周长以及滚动周数，结合数轴，即可得出点C对应的数； （2）利用圆的周长以及滚动周数，结合数轴，即可得出点D对应的数； （3）①利用滚动的方向即周数，结合数轴，算出最后A点位置；②根据（1）得出圆片沿数轴滚动1周，点A在数轴上是个单位，然后再根据圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，滚动5次的情况记录如下：，，，，，分别得出滚动过程，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴把圆片沿数轴向左滚动1周，点A到达数轴上点C的位置，点C对应的数是， 故答案为：； （2）解：∵， ①把圆片沿数轴滚动2周，点A到达数轴上点D的位置，点D对应的数是， ②把圆片沿数轴向左滚动一周然后再向右滚动一周，或把圆片沿数轴向右滚动一周然后再左右滚动一周，点A到达数轴上点D的位置，点D对应的数是0， 故答案为：或0； （3）解：①，即向左滚动了3周， ∵， ∴圆片结束滚动时，点A对应的数是； ②∵第1次：从0滚动到了4，经过数轴上2表示的点； 第2次：从4滚动到了2，经过数轴上2表示的点； 第3次：从2滚动到了8，经过数轴上2表示的点； 第4次：从8滚动到了0，经过数轴上2表示的点； 第5次：从0滚动到了，不经过数轴上2表示的点； ∴共有4次经过数轴上2表示的点，第3次滚动后，点A距离原点最远． 故答案为：4，3． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算、圆的周长公式、旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 32．某快递网点与芳芳家、欢欢家、莹莹家在同一条东西走向的大街上，快递小哥骑电动自行车从网点出发送货，先向西走了千米到达芳芳家，然后向东走了千米到达欢欢家，再向东走了千米到达莹莹家，再返回快递网点． （1）以快递网点为原点，向东为正方向，千米为个单位长度建立如图数轴，请你在数轴上标出芳芳家、欢欢家、莹莹家的位置．（芳芳家用点表示，欢欢家用点表示，莹莹家用点表示） （2）莹莹家距离快递网点有多远？芳芳家与莹莹家相距多远？ （3）快递小哥出发时电动自行车电量为满格，若每千米耗电为总电量的，那么他返回网点后该车剩余的电量还能行驶多少千米？ 【答案】（1）见解析；（2）莹莹家距离快递网点千米，芳芳家与莹莹家相距千米；（3）该车剩余的电量还能行驶千米 【分析】（1）根据题意用正负数表示芳芳家、欢欢家、莹莹家的位置，在数轴上表示即可； （2）根据题意列出算式计算即可求解； （3）把快递小哥每次运动的数值的绝对值相加，再乘以，用1减去乘积得出剩余的电量，再除以即可求解． 【详解】解：（1）由题意得，芳芳家的位置可以用-3表示，欢欢家的位置可以用-3+7=4表示，莹莹家可以用4+2.5=6.5来表示， 如图所示：点，，分别表示芳芳家、欢欢家、莹莹家 （2）（千米）， （千米）， 答：莹莹家距离快递网点千米，芳芳家与莹莹家相距千米． （3）快递小哥此次送货共走的路程：（千米）， 快递小哥返回网点后电动自行车剩余电量为总电量的， （千米）， 答：该车剩余的电量还能行驶千米． 【点睛】本题考查有理数的加减，用数轴表示数，有理数的乘除等知识，理解题意并能用相关数学知识解决是解题关键． 题型九：含绝对值的实际应用题 33．阅读材料 点A、B在数轴上分别表示有理数、，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB．也就是说，表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对的两点之间的距离． 比如可以写成，它的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离． 再举个例子：等式的几何意义可表示为：在数轴上表示数的点与表示数的点的距离等于，这样的数可以是或． 解决问题： (1) ． (2)若，则______；若，则______． (3)表示数轴上有理数所对的点到和所对的两点距离之和．请你利用数轴，找出所有符合条件的整数，使得． 【答案】(1) (2)或；； (3)、、、、 【分析】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键． （1）根据数轴上表示的点与表示的点之间的距离为，即可得到结论； （2）根据数轴上与表示的点相距个单位的点表示的数为或，数轴上与表示的点和表示的点距离相等的点所表示的数为，即可得到结论； （3）根据表示数轴上有理数所对的点到和所对的两点距离之和，即可得到使得成立的所有符合条件的整数为，，，，； 【详解】（1）解：数轴上表示的点与表示的点之间的距离为， ． 故答案为：； （2）∵， ∴， 解得：或； ， ， 解得：； 故答案为：或；；． （3）∵表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和，， 这样的整数有、、、、 34．已知数轴上两点，对应的数分别为和4，点为数轴上一动点，若规定：点到的距离是点到的距离的3倍时，我们就称点是关于的“广益点”． (1)若点到点的距离等于点到点的距离时，求点表示的数是多少； (2)若点以每秒1个单位的速度从原点开始向右运动，当点是关于的“广益点”时，求点的运动时间； (3)若点在原点的左边（即点对应的数为负数），且点是关于点，两个点的“广益点”，请求出符合条件的点表示的数． 【答案】(1) (2)点P的运动时间为1秒或10秒 (3)点P表示的数是： 【分析】本题考查了数轴，广益点的定义，掌握数轴上两点间距离公式，是解决本题的关键． （1）根据点P到点A的距离等于点P到点B的距离，利用距离公式，即可得到结论； （2）根据题意可得，，再根据“广益点”的定义即可求解； （3）分两种情况进行讨论：当点A是关于的“广益点”时，当点A是关于的“广益点”时，分别代入计算即可． 【详解】（1）解：∵数轴上两点A，B对应的数分别为和4， ∴， ∵点P到点A、点B的距离相等， ∴P为的中点， ∴， ∴点P表示的数是； （2）解：根据题意可知：设点P运动的时间为t秒， ， ， 解得或， ∴点P的运动时间为1秒或10秒； （3）解：根据题意可知：设点P表示的数为n， 或， 分五种情况进行讨论： ①当点A是关于的“广益点”时， ， 即， 解得； ②当点A是关于的“广益点”时， ， 即，解得； 或，解得； 综上所述：所有符合条件的点P表示的数是：． 35．如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且． (1)写出数轴上点表示的数 (2)表示5与3之差的绝对值，实际上也可理解为5与3两数在数轴上所对的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数3的点之间的距离．试探索： ①若，则_____． ②的最小值为_____； (3)拓展与延伸：数轴上三个不重合的点、、，若、、三个点中，其中一点到另外两点的距离恰好满足2倍的数量关系时，我们称这个点是其他两个点的“倍分点”．已知点代表的数是，点代表的数是13，若点是其他两个点的“倍分点”，求此时点表示的数． 【答案】(1) (2)①6或10；②20 (3)7，31，1， 【分析】本题主要考查了数轴、绝对值、两点之间的距离等知识点，掌握绝对值的非负性以及分类讨论思想成为解题的关键． （1）数轴上左边点表示的数比右边小，使用减法运算，用右边的点减去距离即可解答； （2）依据绝对值的几何意义及两条线段之和最短的情况计算即可； （3）根据题意分点P在点M左边，点P在点M、N之间靠近点M，点P在点M、N之间靠近点N，点P在点N的右边四种情况，分别根据绝对值的意义以及题意求解即可． 【详解】（1）解：已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且， ∴点B表示的数为． （2）解：①∵， ∴， ∴或； ②当时，取得最小值，最小值为． 故答案为：①6或10；②20． （3）解：设点P表示的数为x， ①当点P在点M左边时，有， 即，解得：或（舍去）； ②当点P在点M、N之间靠近点M时，有， 即，解得：或（舍去）； ③当点P在点M，N之间靠近点N时，有， 即，解得：或（舍去）； ③当点P在点N的右边时，有， 即，解得：或（舍去）． 综上所述，点P表示的数为或1或7或31． 36．如图，在数轴上，点A表示的数是a，点B表示的数是b，且．点P从点A出发以3个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时，点Q从点B出发、点R从原点O出发分别以1个单位长度/秒、2个单位长度/秒的速度向左匀速运动，点M为的中点，设点P运动的时间为t秒． (1)根据题意，可得______，______； (2)若，求t的值； (3)求的最小值． 【答案】(1)；2 (2)4或2 (3)1 【分析】本题考查一元一次方程的应用，数轴上两点间距离公式，绝对值的非负性．用到的知识点为：两个非负数的和为0，这两个数均为0；数轴上两点的中点可表示为表示这两点的数的和的平均数；表示a和b之间的距离． （1）根据两个非负数的和为0，这两个数均为0解答即可； （2）分别表示出点P和点Q，进而可得它们的中点M，根据的长为1可得t的值； （3）整理的代数式，得到含t的绝对值，根据表示a和b之间的距离求解即可． 【详解】（1）解：， ∴，， 解得：，； （2）解：由题意得：点P表示的数为，点Q表示的数为：，点R表示的数为， 点M为的中点， 点M表示的数为：， ∴， ∴， ∴或， 解得：或； （3）解：， 又∵表示数轴上表示t的点到3和4的距离之和， ∴当时，的值最小， ∴的最小值为， ∴的最小值为1． 题型十：有理数混合运算的实际应用 37．小明与同学约定好在距家6千米的公园聚会，可供小明选择的出行方式如下表所示，其中从小明家往公园方向0.5千米处有公交专线直达公园． 出行方式 等待上车时间（分钟） 速度（千米/小时） 费用 出租车 2 30 不超过3千米 超过3千米部分 10元 里程费：2元/千米 时长费：0.5元/分钟 公交专线 3 20 票价共3元 便民自行车 0 15 每15分钟1元，不足15分钟按15分钟计算 步行 0 5 0元 (1)若小明乘坐公交专线前往，则小明需要花费的时间为多少分钟？ (2)下午5∶35同学聚会结束，小明想利用剩余的14元，并在下午6∶00前到家； ①若小明选择乘坐出租车，则小明能否按照计划到家并支付费用？若能，请计算出所需要的费用和到家的时间，若不能，请说明理由； ②请你帮他设计一种用时最短的返程方案，并计算出所需要的费用和到家时间． 【答案】(1)分钟； (2)①小明不能按照计划到家，理由见解析；②见解析． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解题意是解题的关键． （1）根据“步行0.5千米的时间乘车的时间等车的时间”列式计算； （2）①根据收费标准计算； ②分别算出各种方式的费用和时间，再比较求解． 【详解】（1）解：（分钟）， 答：小明乘坐公交专线前往，需要花费的时间为分钟； （2）解：①小明不能按照计划到家并支付费用， 理由：所需要的时间为：（分钟），到家的时间为：， 所需要的费用为：（元，， 小明不能按照计划到家并支付费用； ②方案：先乘坐出租车4公里，再乘骑便民自行车2公里； 乘坐出租车时间：（分钟） 乘坐出租车费用：（元） 乘骑便民自行车时间：（分钟） 乘骑便民自行车费用：8分钟分钟，费用1元． 总费用：（元） 总时间：（分钟） 方案一：出租车＋便民自行车，最少时间18分钟，费用14元 方案二：公交车＋出租车，时间20分钟，费用13元 方案三：出租车＋公交＋便民自行车，时间20.5分钟，费用14元 方案四：公交车＋便民自行车，时间最少21.5分钟，费用4元 方案五：出租车＋公交＋走路，时间最少24.5分钟，费用13元 方案六：出租车，时间14分钟，费用19元； 方案七：公交车，时间25.5分钟，费用3元； 38．［核心素养］阅读材料： 钟表中蕴含着有趣的数学运算，例如：现在是时，小时以后是几时？虽然，但在表盘上看到的是时，若用“”表示钟表上的加法，则．若问时之前小时是几时？则需要用到钟表上的减法概念，用符号“”国表示钟表上的减法．（注：我们用时代替时） 由上述材料解答下列问题： (1)______，＝______，______，______； (2)在有理数运算中，相加得零的两个数互为相反数，如果在钟表运算中沿用这个概念，则的相反数是______；举例说明有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数，在钟表运算中是否仍然成立； (3)规定在钟表运算中，也有，对于钟表上的任意数字，若，判断是否一定成立．若一定成立，请说明理由；若不一定成立，请写出一个反例，并结合反例加以说明． 【答案】(1)； ；； (2) (3)不一定成立，见解析 【分析】本题主要考查有理数运算的应用，解题的关键是根据题意找到运算法则进行求解． 根据题干中规定的运算法则进行计算即可； 根据钟表运算中相反数的定义可知：在钟表运算中，两数相加为也就是两数相加为，根据定义计算可得的相反数是；在钟表运算中和互为相反数，举例即可； 根据钟表运算的定义举反例即可． 【详解】（1）解：由题意可知：，，，，，， 故答案为：，，，； （2）解：用时代表时，设的相反数为， 即， 解得：； 减去一个数等于加上这个数的相反数在钟表运算中仍然成立， 例如：，，其中与在钟表运算中互为相反数， ，所以有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数，在钟表运算中仍然成立； （3） 解：对于钟表上的任意数字，若，则不一定成立． 例如：，，，则3，6，， 即37＞67， 所以对于钟表上的任意数字，若，则不一定成立． 39．出租车司机李师傅从上午在厦大至会展中心的环岛路上营运，共连续运载十批乘客．若规定向东为正，向西为负，李师傅营运十批乘客里程如下：（单位：千米） （1）将最后一批乘客送到目的地时，李师傅距离第一批乘客出发地的位置怎样？距离多少千米？ （2）上午李师傅开车的平均速度是多少？ （3）若出租车的收费标准为：起步价8元（不超过3千米），超过3千米，超过部分每千米2元．则李师傅在上午一共收入多少元？ 【答案】（1）距离第一批乘客出发地的东方，距离是6千米；（2）43.2千米/小时；（3）128元 【分析】（1）将所有数据相加得出结果后，即可作出判断； （2）将所有数据的绝对值相加，可得出路程，然后求出时间，根据速度=路程÷时间即可得出答案； （3）分别计算起步价，及超过3公里的收入，然后相加即可． 【详解】解：（1）由题意得：向东为“+”，向西为“-”， 则将最后一批乘客送到目的地时，李师傅距离第一批乘客出发地的距离为： （+8）+（-6）+（+3）+（-7）+（+8）+（+4）+（-7）+（-4）+（+3）+（+4）=6（千米）， 所以，将最后一批乘客送到目的地时，李师傅在距离第一批乘客出发地的东方，距离是6千米； （2）上午8：00～9：15李师傅开车的距离是： |+8|+|-6|+|+3|+|-7|+|+8|+|+4|+|-7|+|-4|+|+3|+|+4|=54（千米）， 上午8：00～9：15李师傅开车的时间是：1小时15分=1.25小时； 所以，上午8：00～9：15李师傅开车的平均速度是：54÷1.25=43.2（千米/小时）； （3）一共有10位乘客，则起步费为：8×10=80（元）． 超过3千米的收费总额为： [（8-3）+（6-3）+（3-3）+（7-3）+（8-3）+（4-3）+（7-3）+（4-3）+（3-3）+（4-3）]×2=48（元）． 则李师傅在上午8：00～9：15一共收入：80+48=128（元）． 【点睛】此题考查正负数在实际生活中的应用，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． 40．已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长(单位长度)，慢车长(单位长度)，设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头在数轴上表示的数是，慢车头在数轴上表示的数是.若快车以6个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车以2个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶，且与互为相反数． （1）求此时多快车头与慢车头之间相距多少单位长度？ （2）从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟两列火车行驶到车头相距8个单位长度？ （3）此时在快车上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客，他发现行驶中有一段时间，他的位置到两列火车头、的距离和加上到两列火车尾、的距离和是一个不变的值(即为定值)．你认为学生发现的这一结论是否正确？若正确，请直接写出这个定值：若不正确，请说明理由． 【答案】（1）14个单位长度；（2）秒或​秒；（3）正确，5个单位长度 【分析】（1）根据非负数的性质求出a=-6，b=8，再根据两点间的距离公式即可求解； （2）根据时间=路程和÷速度和，分两种情况列式计算即可求解； （3）由于PA+PB=AB=3，只需要PC+PD是定值，从快车AB上乘客P与慢车CD相遇到完全离开之间都满足PC+PD是定值，依此分析即可求解． 【详解】解：（1）∵|a+6|与(b-8)2互为相反数， ∴|a+6|+(b-8)2=0， ∴a+6=0，b-8=0， 解得a=-6，b=8． ∴此时刻快车头A与慢车头C之间相距8-(-6)=14个单位长度； （2）(14-8)÷(6+2) =6÷8 =（秒）． 或(14+8)÷(6+2)=（秒）， 答：再行驶秒或​秒两列火车行驶到车头AC相距8个单位长度； （3）正确，当快车AB上乘客P与慢车CD相遇到完全离开之间时，如图， ∵PA+PB=AB=3，当P在CD之间时，PC+PD是定值2， 此时PA+PC+PB+PD=(PA+PB)+(PC+PD)=3+2=5（单位长度）． ​故定值是5个单位长度． 【点睛】本题主要考查了数轴，涉及的知识点有：非负数的性质，两点之间的距离公式，以及分类讨论的数学思想，分类讨论是解（2）的关键． 1．（2024·江苏盐城·一模）某饮食集团4月份营业情况如下表所示，盈利记为正，亏损记为负（单位：万元） 营业情况（单位：万元） －9 －5 －2 2 8 10 天数 4 3 7 10 1 5 (1)求出亏损的总天数； (2)请通过计算，说明该饮食集团4月份是否盈利. 【答案】(1)14 (2)盈利13万元 【分析】（1）将亏损的天数相加即可； （2）将表格中记录的数据进行计算即可得出是否盈利． 【详解】（1）亏损的总天数为： 答：亏损的总天数为14天； （2） 答：该饮食集团4月份盈利13万元． 【点睛】本题考查正数和负数以及有理数的混合运算，解题的关键是正确列出算式并掌握相关运算法则． 2．小聪暑假的某天到阿姨开的服装店进行社会实践调查．如果该店每天营业时间是9：00～19：00，小聪每隔一小时记录该店的客流量（每一时段以100人为标准．超出记为正，不足记为负），如表所示， 时段 9：00～10：00 11：00～12：00 13：00～14：00 15：00～16：00 17：00～18：00 客流量（人） （1）根据以往经验每36人能带来的销售额约为a元，请你帮小聪估算一下，该超市当天的销售额约为多少元？（用含a的代数式表示）： （2）该超市分百货部、食品部、生鲜部三个部门，当晚20：00盘点发现周五生鲜部的利润是食品部利润的1.5倍，比周四增长了20%；周五百货部的利润是食品部的90%，比周四少了10%；周五食品部的利润与周四保持不变，请你帮小聪的阿姨算一算，该超市周五的总利润与周四比是增加还是减少了？ 【答案】（1）；（2）周五比周四增长了． 【分析】（1）先算出当天的总客流量，再÷36×a，计算即可； （2）设周五食品部为x，分别计算周四、周五的总利润，再进行比较即可． 【详解】解：（1）＝； （2）设周五食品部的利润为x，则： 周五总利润为， 周四总利润为， 因此，周五比周四增长了． 【点睛】本题考查了正负数的应用、有理数的混合运算，理解正负数的意义是关键． 3．（2024·河北邯郸·一模）小王上周五在股市以收盘价（收市时的价格）每股25元买进某公司股票1000股，在接下来的一周交易日内，小王记下该股票每日收盘价格相比前一天的涨跌情况：（单位：元） 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌（元） +2 ﹣1.4 +0.9 ﹣1.8 +0.5 根据上表回答问题： （1）星期二收盘时，该股票每股多少元？ （2）周内该股票收盘时的最高价，最低价分别是多少？ （3）已知买入股票与卖出股票均需支付成交金额的千分之五的交易费．若小王在本周五以收盘价将全部股票卖出，他的收益情况如何？ 【答案】（1）25.6元；（2）收盘最高价为27元/股，收盘最低价为24.7元/股；（3）-51元，亏损51元. 【详解】试题分析: （1）根据有理数的加减法的运算方法，求出星期二收盘时，该股票每股多少元即可． （2）这一周内该股票星期一的收盘价最高，星期四的收盘价最低． （3）用本周五以收盘价将全部股票卖出后得到的钱数减去买入股票与卖出股票均需支付的交易费，判断出他的收益情况如何即可． 试题解析: (1)星期二收盘价为25+2−1.4=25.6(元/股) 答：该股票每股25.6元. (2)收盘最高价为25+2=27(元/股) 收盘最低价为25+2−1.45+0.9−1.8=24.7(元/股) 答：收盘最高价为27元/股，收盘最低价为24.7元/股. (3)(25.2-25) ×1000-5‰×1000×(25.2+25)=200-251=-51(元) 答：小王的本次收益为-51元. 4．某冷库一天的冷冻食品进出记录如下表（运进用正数表示，运出用负数表示）： 进出数量（单位：吨） 4 2 进出次数 2 1 3 3 2 (1)这天冷库的冷冻食品比原来增加了还是减少了？增加或减少了多少吨？ (2)根据实际情况，现有两种方案： 方案一：运进每吨冷冻食品费用是500元，运出每吨冷冻食品费用是800元； 方案二：不管是运进还是运出，每吨冷冻食品费用都是600元． 从节约运费的角度考虑，选用哪一种方案比较合适？ 【答案】(1)这天冷库的冷冻食品比原来减少了，减少了9吨 (2)从节约运费的角度考虑，选用方案二比较合适，理由见解析 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用： （1）根据计算这天冷库冷冻食品进出的总和的符号可确定此题结果． （2）分别求出两种方案总费用，可比较出哪种方案更好． 【详解】（1）解：．   故这天冷库的冷冻食品比原来减少了，减少了9吨． （2）解：方案一：费用为（元），   方案二：费用为（元）， 由于， 所以从节约运费的角度考虑，选用方案二比较合适． 5．（2024·广东肇庆·一模）阅读下列内容，并完成相关问题． 小明定义了一种新的运算，取名为※（加乘）运算．按这种运算进行运算的算式举例如下： ；； ；； ；． 问题： （1）请归纳※（加乘）运算的运算法则： 两数进行※（加乘）运算时，________．特别地，0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算，________． （2）计算：．（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） （3）我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的※（加乘）运算中还适用吗？请任选一个运算律，判断它在※（加乘）运算中是否适用，并举例验证．（举一个例子即可） 【答案】（1）同号得正，异号得负，并把绝对值相加；都得此数的绝对值；（2）-17；（3）见解析． 【分析】（1）根据所给示例，进行总结即可； （2）根据总结的运算法则进行计算即可； （3）可选择加法交换律，根据运算法则举例计算，即可得出结论． 【详解】解：（1）由题意可知：两数进行※（加乘）运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加．特 别地，0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算，都得此数的 绝对值； （2）； （3）选择加法交换律，加法交换律仍然适用， 例如：（−3）※（−5）＝8，（−5）※（−3）＝8， 所以（−3）※（−5）＝8＝（−5）※（−3）， 故加法交换律仍然适用． 【点睛】本题考查了新定义，有理数的混合运算，正确理解新定义的运算法则是解题的关键． 6．电影《流浪地球2》成为了今年春节期间影迷观影的首选．某市今年春节期间该电影的售票量（单位，万张）变化如下表（以万张为标准，超过的张数记为正，不足的张数记为负）： 日期 正月初一 正月初二 正月初三 正月初四 正月初五 正月初六 正月初七 售票量变化 请根据以上信息，回答下列问题： (1)求该市正月初一到初七售票量最多的一天与最少的一天相差多少万张？ (2)求该市正月初一到初七每天的平均售票量是多少万张？ (3)若平均每张票价为45元，则正月初一到初七该市《流浪地球2》的票房收入共多少万元？ 【答案】(1)万张 (2)万张 (3)万元 【分析】本题考查了有理数加减混合运算，有理数四则混合运算的实际应用，正确列出算式是解题的关键． （1）根据表格中的数据列出算式进行计算即可； （2）根据平均数的计算方法，列出算式进行计算即可； （3）根据平均每张票价为45元，列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：（万张）， 答：最多的一天与最少的一天相差万张； （2）解：该市正月初一到初七每天的平均售票量为： （万张）； 答：正月初一到初七每天的平均售票量是万张； （3）解： （万元）． 答：正月初一到初七该市《流浪地球2》的票房收入共万元． 7．（2024·四川绵阳·一模）“抗击新冠疫情，人人有责”，学校作为人员密集场所，要求老师和学生进入校门后需佩戴好口罩．湛江市某中学张明同学统计了第一周七年级学生每天使用口罩的数量，并制作了如下的统计表，以1000只为标准，其中每天超过1000只的记为“+”，每天不足1000只的记为“−”． 周一 周二 周三 周四 周五 (1)第一周哪一天学生使用口罩最多，数量是多少只？ (2)若学生佩戴的口罩分为两种，一种是普通医用口罩，价格为1元/只，另外一种为型口罩，价格为5元/只，且第一周所用的普通医用口罩与型口罩数量之比为，求本周七年级所有学生购买口罩的总金额是多少元？ 【答案】(1)周五使用口罩最多，数量是1015只 (2)9018元 【分析】本题考查了正数和负数以及有理数的混合运算．清理正数与负数的意义，正确列出算式是解答本题的关键． （1）根据表中记录的最大数计算即可； （2）根据“总价=单价×数量”列式计算即可． 【详解】（1）因为， 所以周五使用口罩最多，数量是（只）； （2）（只）， （元）， 答：本周七年级所有学生购买口罩的总金额是9018元． 8．在一次数学测验中，七年（2）班的平均分为87分，把高于平均分的部分记作正数，低于平均分的部分记作负数，下表是该班一个小组10名同学的成绩变化情况： 学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩变化 0 (1)该小组10名同学的成绩最低分是多少？最高分是多少？ (2)最高分比最低分高多少？ (3)该组10名同学的成绩总分是多少？ (4)若该组10名同学的成绩平均分不低于87分，将得到奖励，每高一分，每人奖励2个本，否则不奖励，那么该组10名同学是否受到奖励？若奖励，共奖励多少个本？ 【答案】(1)最低分为72分，最高分为100分 (2)28分 (3)890分 (4)是，奖励40个本 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简． （1）分别求出各同学的成绩即可； （2）由（1）中同学的成绩求出最高分与最低分的差即可； （3）根据10名同学的平均分为87分，再由这些同学成绩的变化情况进行解答； （4）由该班10名同学的总分求出其平均分，再根据若该组10名同学的成绩平均分不低于87分，将得到奖励，每高一分，每人奖励2个本，否则不奖励即可得出结论． 【详解】（1）解：∵1号同学的成绩：分； 2号同学的成绩：分； 3号同学的成绩：分； 4号同学的成绩：分； 5号同学的成绩：分； 6号同学的成绩：分； 7号同学的成绩：分； 8号同学的成绩：分； 9号同学的成绩：分； 10号同学的成绩：分， ∴最低分为72分，最高分为100分； （2）解：∵最低分为72分，最高分为100分， ∴分； （3）解：∵七年（2）班的平均分为87分， ∴10名同学的总成绩（分）； （4）解：∵该组10名同学的总成绩是890分， ∴，， ∴该组10名同学受到奖励，共奖励40个本． 9．（2023·山东青岛·一模）如图，点、均在数轴上，点所对应的数是，点在点的右边，且距点4个单位长度，点、是数轴上的两个动点． (1)直接写成点所对应的数为______． (2)当点到点、的距离之和是6个单位长度时，求出此时点所对应的数； (3)若点、分别从点、出发，且均沿数轴向左运动，点以每秒2个单位长度的速度匀速运动，点以每秒3个单位长度的速度匀速运动．若点先出发5秒时点出发，当、两点相距2个单位长度时，直接写出此时点、分别对应的数． 【答案】(1)1 (2)点所对应的数是或 (3)点对应的数是，点对应的数是或点对应的数是，点对应的数是 【分析】本题考查了两点间的距离和数轴，解题的关键是熟练掌握数轴及“分类讨论”的数学思想． （）根据两点间的距离公式即可求解； （）分两种情况：点在点的左边；点在点的右边，进行讨论即可求解； （3）分两种情况：点在点的左边，点在点的右边，进行讨论即可求解； 【详解】（1）解：，故点所对应的数是； （2）解：， 点在点的左边， ， 点在点的右边， ， 故点所对应的数是或； （3）解：点在点的左边， （秒）， 点对应的数是，点对应的数是； 点在点的右边， （秒）， 点对应的数是，点对应的数是， 综上可知：点对应的数是，点对应的数是或点对应的数是，点对应的数是． 10．（2023·北京·一模）随着网络直播的普及，许多人抓住这种机会，做起了“微商”，很多农产品也改变了原来的销售模式，实行了网上销售．王阿姨把柑橘放到了网上进行销售，她原计划每天卖100千克柑橘，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下列数据是某周的销售情况：（以100千克为标准，超出记为正，不足记为负．单位：千克）．； (1)根据记录的数据可知前三天共卖出多少千克； (2)本周实际销售总量是多少千克，是否达到了计划总量； (3)若每千克柑橘的进价为5元，平均每千克柑橘的运费为2元，要把这些柑橘全部以零售的形式卖掉，并按照全部销售后获得的利润为成本的作为销售目标制定零售价，若第一天水果店以该零售价售出了总质量的，第二天因害怕剩余的柑橘腐烂，决定降价把剩余的柑橘按原零售价的七折售完，请计算该水果店在销售这批柑橘的过程中共盈利或亏损多少元？（提示：成本总进价运费） 【答案】(1)前三天共卖出295千克柑橘 (2)本周实际销售总量是710kg，达到了计划总量 (3)盈利1590.4元 【分析】本题考查有理数的实际应用． （1）根据数据，算出前三天的总和即可； （2）根据数据，算出本周实际的销售量，再跟计划量对比即可； （3）先算出总销售额，再算出总成本，最后算差值即可． 【详解】（1）解：（千克） 答：前三天共卖出295千克柑橘； （2）， （千克） ，达到了计划总量 答：本周实际销售总量是710kg，达到了计划总量； （3）成本：（元） 每千克零售价：（元） 总销售额： （元） （元）． 答：盈利1590.4元． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$