专题04 基本不等式链、柯西不等式、权方和不等式的应用（压轴题专项训练）数学北师大版2019必修第一册

专题04 基本不等式链、柯西不等式、权方和不等式的应用 目录 1 类型一、基本不等式链的应用 1 类型二、柯西不等式的应用 2 类型三、权方和不等式的应用 3 3 类型一、基本不等式链的应用 1.基本不等式链 ⑴基本不等式链：,当且仅当时,等号成立. 注：其中分别为的平方平均数,算术平均数,几何平均数,调和平均数,可利用上述不等式链在各平均数间进行放缩、转化. 例1．（多选）已知正数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】A选项，正数满足，故， 解得，当且仅当，即时，等号成立，A正确； B选项，， 当且仅当，即，即时，等号成立，B正确； C选项，由基本不等式链得， 所以 ，C错误； D选项，因为，所以， 故，当且仅当，即时，等号成立，D正确. 故选：ABD 例2．已知，且． (1)求证：； (2)求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过，，，三式相加，可得： . 再根据，，∴，，且，可得结果. （2）先用公式和把原式转化为： ，再用和进行消元，转化为的二次三项式，再用配方法可求最大值. 【详解】（1）因为， 所以， 以上三式相加得， 所以，当且仅当时取等号． 因为，且，所以，，所以， 所以． 故. （2）， ， 当且仅当，时取等号， 的最大值为． 【点睛】结论点睛：叠加法是证明不等式的一种基本方法，若一个复杂的不等式可拆成若干个结构相同的简单不等式，可分别证明，再相加． 变式1-1．（多选）若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】由基本不等式链: , 可得（R）， 对于C，由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确 因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；故选AC. 变式1-2．（多选）已知且，则下列选项正确的是（   ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最小值是 【答案】ABD 【解析】对于A项，因为且，所以，当且仅当时等号成立，即的最大值是，故A项正确； 对于B项，因为且，所以，即，当且仅当时等号成立，故B项正确； 对于C项，因为，当且仅当时等号成立，所以的最小值是，故C项错误； 对于D项，令所以 所以， 因为，所以， 因为，所以， 当且仅当，即时等号成立，故D项正确． 故选：ABD． 变式1-3．已知均为正实数. (1)证明：； (2)证明，并求的最小值； (3)若，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析，最小值为 (3)证明见解析 【分析】（1）利用基本不等式可得，不等式相加即可完成证明； （2）先证明不等式，然后根据可证明，再将原式变形为结合证明的结论可计算出最小值； （3）先通过换元令，然后将不等式左边各部分利用基本不等式可变形为，相加即可完成证明，注意等号不可取. 【详解】（1）证明：由基本不等式得， 左右相加得， 当且仅当时“”成立，问题得证. （2）证明： ， 当且仅当时等号成立， 所以不等式成立； 所以， 所以，当且仅当时取等号， 故不等式成立； 当且仅当，即时，等号成立，. （3）证明：令，则， 由基本不等式得，， 同理可得， 左右相加得， 当且仅当时取“=”，显然不存在这种情况， . 【点睛】结论点睛：当均大于时，，当且仅当时取等号；当均大于时，，当且仅当时取等号. 类型二、柯西不等式的应用 1.柯西不等式 ⑴二维形式的柯西不等式： ⑵二维形式的柯西不等式的变式 1 2 3 ⑶扩展：, 当且仅当时等号成立. 注：有条件要用;没有条件,创造条件也要用.比如:对,并不是不等式的形状,但变成就可以用柯西不等式了. 例3．（多选）柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）是一种在数学和物理学中广泛使用的不等式，它是由法国数学家奥古斯丁·路易·柯西提出的，柯西不等式可以用于证明其他不等式，也可以用于解决一些数学问题.以下是柯西不等式的原始形式： ①对于所有实数和，有. ②等式条件：当且仅当时，等号成立. 已知，由柯西不等式，可得.运用柯西不等式，判断以下正确的选项有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】根据柯西不等式，等号成立条件为，对每个选项进行分析计算，判断其正误. 【解析】对于A选项，根据柯西不等式. 因为，所以，即. 所以，则，当且仅当时取等号， A选项正确. 对于B选项，令，，则. 根据柯西不等式. 即.当且仅当取等号， 所以，B选项错误. 对于C选项，根据柯西不等式. 因为，所以.当且仅当取等号.所以，C选项错误. 对于D选项，令，，则. 根据柯西不等式. 因为，所以.当且仅当取等号. 所以，D选项正确. 故选：AD. 例4．已知实数a，b，c满足． (1)若，求证：； (2)若a，b，，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由题意可得，又，结合基本不等式可得，化简求得，得证； （2）法一，由已知条件得，同理可得，，三式相加得证；法二，根据已知条件可得，所以，利用柯西不等式求解证明. 【详解】（1）因为，所以． 因为， 所以，当且仅当时等号成立， 整理得，所以． （2）解法一： 因为，且a，b，， 所以，，，所以， 同理可得，， 以上三式相加得，当且仅当时等号成立． 解法二：因为，且a，b，， 所以，，，且， 所以 ， 当且仅当时等号成立． 变式2-1．由柯西不等式，当时，求的最大值为（    ） A．10 B．4 C．2 D． 【答案】D 【分析】利用柯西不等式可得，即求. 【详解】解：由柯西不等式，得， 当且仅当，即时，等号成立. 因为，所以， 则，故的最大值为. 故选：D 变式2-2．（多选）已知，，且不等式恒成立，则的取值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】将不等式变为，利用柯西不等式和基本不等式可求得的最小值，进而构造不等式求得的取值范围，从而得到结果. 【详解】由得：， （当且仅当，即时取等号）， （当且仅当时取等号）， 即当时，， ，解得：，可能的取值为. 故选：BCD. 变式2-3．已知正实数a，b，c满足． (1)求的最小值； (2)求证：． 【答案】(1)3 (2)证明见解析 【分析】(1) 由，有，与相乘，利用基本不等式求最小值. (2) 要证，利用柯西不等式转化为证明，由，只需证，换元，利用基本不等式可证. 【详解】（1）正实数a，b，c满足，由基本不等式， ，当且仅当时等号成立. 的最小值为3. （2），由柯西不等式， ∴ 要证 只需证 即证 由，， 令， ∴，得证. ∴，当且仅当时等号成立., 类型三、权方和不等式的应用 1.权方和不等式 ⑴二维形式的权方和不等式 对于任意的,都有,当且仅当时,等号成立． ⑵一般形式的权方和不等式 若,,,则,当时等号成立． 注：权方和不等式的结构特征：每一项的分子分母均为正数,且分子的次数比分母的次数多1. 例5．已知正数，，满足，则的最小值为 【答案】 【分析】根据权方和不等式可得解. 【解析】因为正数，满足， 所以， 当且仅当即时取等号. 变式3-1．已知a，b，c为正实数，且满足，则的最小值为 . 【答案】2 【解析】由权方和不等式，可知 ==， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为2. 变式3-2．已知正实数，满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由，结合基本不等式或权方和不等式求解即可. 【详解】方法一：因为，， 所以由权方和不等式可得：， 当且仅当，等号成立. 所以的最小值为， 方法二：因为， 所以， 所以， 因为为正实数，所以， 所以，当且仅当时等号成立，即时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为， 故答案为：. 变式3-3．已知正数满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据分离常量法可得，结合权方和不等式计算可得，即，即可求解. 【详解】， ， 所以， 当且仅当即时等号成立， 所以，得， 所以或（舍去）， 即的最小值为. 故答案为： 一、单选题 1．下列结论正确的是（   ） A．若，，且， 则 ab的最大值为 B．若正实数a，b满足， 则的最小值为20 C．若a， b为正实数，且，则 的最小值为6 D．若，，则 的最小值为3 【答案】C 【分析】对A，直接利用基本不等式即可判断；对B，直接利用基本不等式构造一元二次不等式即可判断；对C，利用乘“1”法即可；对D，两次利用基本不等式即可判断. 【详解】A选项：若，， 则，解得， 当且仅当时取“”，故A选项错误； B选项：因为正实数a， b满足，则， 解得（负舍），当且仅当时取“”， 则的最小值为9，故B选项错误； C选项：因为，所以， 所以， 当且仅当时取“”，故C选项正确； D选项：， 当且仅当，即时取“”，故D选项错误； 故选：C. 2．函数的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【解析】，由，解得， 当时，，当，， 当，则， 此时且， 由柯西不等式可得， 当且仅当，即时取等号，此时，即， 所以函数的最大值为2. 故选：C. 3．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（    ） A．16 B．25 C．36 D．49 【答案】B 【分析】将给定函数式表示成已知不等式的左边形式，再利用该不等式求解作答. 【详解】因a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立， 又，即， 于是得，当且仅当，即时取“=”， 所以函数的最小值为25. 故选：B 二、填空题 4．已知正数满足，则的最大值是 ，的最小值是 ． 【答案】 /0.5 【分析】由基本不等式直接进行求解，得到，再变形得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】正数满足，由基本不等式得， 即，解得，当且仅当，即时，等号成立， ，故，所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：， 5．设x、y为实数，若，则的最大值是 ． 【答案】/ 【分析】方法一：消元法.令，则，代入，整理得，转化为关于的一元二次方程有解即可求解. 方法二：基本不等式法.关键是将式子变形为，再利用基本不等式求解即可. 【详解】方法一：令，则，代入，整理得，其， 解得，当时，. 故的最大值是． 方法二：由 ，即， 当时，. 故的最大值是． 故答案为： 6．已知正实数x、y、z的和为1，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】利用不等式构造定值求解即可. 【详解】解法一：（柯西不等式）∵x，y，，， ∴ ， 则．当且仅当时取等号． 解法二：（均值不等式），，， 所以． 当且仅当时取等号． 解法三：（权方和不等式）． 当且仅当时取等号． 故答案为： 7．已知正数x，y满足，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ． 【答案】. 【分析】利用权方和不等式求解即可 【解析】，所以实数a的取值范围是. 8．已知x>0，y>0，且，则x+2y的最小值为 . 【答案】 【详解】解法一：设， 可解得， 从而 ， 当且仅当时取等号. 故答案为：． 解法二：考虑直接使用柯西不等式的特殊形式，即权方和不等式：， ， 所以，当且仅当时取等号. 故答案为：． 9．已知，求的最小值为 【答案】 【分析】应用权方和不等式即可求解. 【详解】 当且仅当时取等号 故答案为：60 三、解答题 10．已知，且． (1)求的最小值m； (2)证明：． 【分析】（1）将等式变形为，再利用基本不等式， （2）对已知条件两边同除可得，再利用柯西不等式求证. 【解析】（1）由均值不等式可知，即，（当且仅当时，“=”成立）. 整理得，故的最小值为4． （2）由（1）知，即证，由可得， 即有， 由柯西不等式可知， 取等条件为，即．故， 即：得证. 11．（1）已知，，均为正实数，且满足．证明： ①． ②． （2）已知，若，且对任意，不等式恒成立，求的最小值． 【答案】（1）① 证明见解析；②证明见解析 ；（2）． 【分析】（1）①由题意得到，，，三式相加即可证明；②由题意得到，再结合，，即可证明结论． （2）由条件可得，由此可得，换元并结合基本不等式即可求得最小值. 【详解】（1）①，，均为正实数， 则（当且仅当时取“＝”）， 同理可得：，（当且仅当，时等号成立）， 故（当且仅当时取“＝”）， 又，故； ② （当且仅当时取“＝”）， 同理（当且仅当时取“＝”）， （当且仅当时取“＝”）. 又由，， 所以，（当且仅当时取“＝”）， 所以， 故 ， （当且仅当时取“＝”）． （2）因为对任意，不等式恒成立， 所以，则，， 令，则，， 所以， 当且仅当即时等号成立， 即当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 【点睛】关键点睛：求的最小值的关键是依据题设将双元问题转化成一元问题，再结合换元法简化问题从而得解. 12．我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：，，当且仅当时，等号成立.我们从不等式出发，可以得到一个非常优美的不等式——柯西不等式，柯西不等式的一般形式为：，且，，当且仅当时，等号成立. (1)若，求的最小值； (2)求的最大值； (3)若，，不等式恒成立，求m的取值范围. 【答案】(1)3 (2)9 (3) 【分析】（1）构造应用柯西不等式计算即可； （2）构造应用柯西不等式计算即可； （3）先化简得出，再构造应用柯西不等式结合基本不等式计算即可求解； 【详解】（1）因为柯西不等式可得， 又因为， 所以，即得. 当且仅当取最小值3； （2）因为柯西不等式可得， 又因为， 所以， 即得，化简得， 当且仅当取最大值9； （3）因为， 所以，所以， 所以， 因为柯西不等式可得， 又因为，，所以，令， 所以， 即得，当且仅当取最小值24； 所以m的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：化简构造柯西不等式结合基本不等式是解题的关键点. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 基本不等式链、柯西不等式、权方和不等式的应用 目录 1 类型一、基本不等式链的应用 1 类型二、柯西不等式的应用 2 类型三、权方和不等式的应用 3 3 类型一、基本不等式链的应用 1.基本不等式链 ⑴基本不等式链：,当且仅当时,等号成立. 注：其中分别为的平方平均数,算术平均数,几何平均数,调和平均数,可利用上述不等式链在各平均数间进行放缩、转化. 例1．（多选）已知正数满足，则（    ） A． B． C． D． 例2．已知，且． (1)求证：； (2)求的最大值． 变式1-1．（多选）若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 变式1-2．（多选）已知且，则下列选项正确的是（   ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最小值是 变式1-3．已知均为正实数. (1)证明：； (2)证明，并求的最小值； (3)若，求证：. 类型二、柯西不等式的应用 1.柯西不等式 ⑴二维形式的柯西不等式： ⑵二维形式的柯西不等式的变式 1 2 3 ⑶扩展：, 当且仅当时等号成立. 注：有条件要用;没有条件,创造条件也要用.比如:对,并不是不等式的形状,但变成就可以用柯西不等式了. 例3．（多选）柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）是一种在数学和物理学中广泛使用的不等式，它是由法国数学家奥古斯丁·路易·柯西提出的，柯西不等式可以用于证明其他不等式，也可以用于解决一些数学问题.以下是柯西不等式的原始形式： ①对于所有实数和，有. ②等式条件：当且仅当时，等号成立. 已知，由柯西不等式，可得.运用柯西不等式，判断以下正确的选项有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 例4．已知实数a，b，c满足． (1)若，求证：； (2)若a，b，，求证：． 变式2-1．由柯西不等式，当时，求的最大值为（    ） A．10 B．4 C．2 D． 变式2-2．（多选）已知，，且不等式恒成立，则的取值可能是（    ） A． B． C． D． 变式2-3．已知正实数a，b，c满足． (1)求的最小值； (2)求证：． 类型三、权方和不等式的应用 1.权方和不等式 ⑴二维形式的权方和不等式 对于任意的,都有,当且仅当时,等号成立． ⑵一般形式的权方和不等式 若,,,则,当时等号成立． 注：权方和不等式的结构特征：每一项的分子分母均为正数,且分子的次数比分母的次数多1. 例5．已知正数，，满足，则的最小值为 变式3-1．已知a，b，c为正实数，且满足，则的最小值为 . 变式3-2．已知正实数，满足，则的最小值为 . 变式3-3．已知正数满足，则的最小值为 . 一、单选题 1．下列结论正确的是（   ） A．若，，且， 则 ab的最大值为 B．若正实数a，b满足， 则的最小值为20 C．若a，b为正实数，且，则 的最小值为6 D．若，，则 的最小值为3 2．函数的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 3．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（    ） A．16 B．25 C．36 D．49 二、填空题 4．已知正数满足，则的最大值是 ，的最小值是 ． 5．设x、y为实数，若，则的最大值是 ． 6．已知正实数x、y、z的和为1，则的最小值为 ． 7．已知正数x，y满足，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ． 8．已知x>0，y>0，且，则x+2y的最小值为 . 9．已知，求的最小值为 三、解答题 10．已知，且． (1)求的最小值m； (2)证明：． 11．（1）已知，，均为正实数，且满足．证明： ①． ②． （2）已知，若，且对任意，不等式恒成立，求的最小值． 12．我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：，，当且仅当时，等号成立.我们从不等式出发，可以得到一个非常优美的不等式——柯西不等式，柯西不等式的一般形式为：，且，，当且仅当时，等号成立. (1)若，求的最小值； (2)求的最大值； (3)若，，不等式恒成立，求m的取值范围. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$