专题01 指数及指数函数的五大常考题型（高效培优专项训练）数学人教A版2019高一必修第一册

专题01 指数及指数函数 题型一：利用根式的性质化简或求值 题型二：根式与指数幂的互化 题型三：指数函数的定义域、值域及解析式 题型四：指数型函数过定点问题 题型五：含参指数函数的最值 题型一：利用根式的性质化简或求值 1．把代数式中的移到根号内，那么这个代数式等于（    ） A． B． C． D． 2．的分数指数幂表示为（　　） A． B． C． D．都不对 3．化简（其中）的结果是 A． B． C． D． 4．下列说法： （1）的运算结果是； （2）16的4次方根是2； （3）当为大于1的偶数时，只有当时才有意义； （4）当为大于1的奇数时，对任意有意义． 其中正确的个数为 A．4 B．3 C．2 D．1 5．下列说法中正确的是（    ） A．16的4次方根是 B． C． D． 6．给出下列结论： ①； ②，，的值域是； ③幂函数图象一定不过第四象限； ④若成立，则的取值范围是.其中正确的序号是 . 7．以下命题，正确的是 ①函数和为同一函数 ②如果函数在区间内满足，那么函数在区间内有零点 ③由实数组成的集合，至多有2个元素 ④函数的减区间为 8．求下列各式的值； (1)； (2)． 9．（1）计算：； （2）已知，求． 10．求使等式成立的实数a的取值范围. 题型二：根式与指数幂的互化 11．已知函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则（    ） A． B． C． D． 12．已知，，则的值为（    ） A．3 B．4 C． D．5 13．若有意义，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 14．下列各式既符合分数指数幂的定义，值又相等的是 A．和 B．和 C．和 D．和 15．下列根式与分数指数幂的互化中正确的有（   ） A． B． C． D． 16．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 17．在下列根式与分数指数幂的互化中，正确的是（    ） A．(x)0.5=- (x≠0) B．= C．= (xy>0) D．= 18．计算： . 19．化简求值： (1)； (2)； (3). 20．（1）计算：； （2）已知且，求下列各式的值： ①； ②． 题型三：指数函数的定义域、值域及解析式 21．函数y＝的定义域是(－∞，0]，则a的取值范围为(　　) A．a＞0 B．a＜1 C．0＜a＜1 D．a≠1 22．若函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 23．已知函数若实数，，满足，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 24．已知函数的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 25．已知函数的值域为，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 26．已知函数. (1)求函数的定义域和值域； (2)判断并证明的奇偶性. 27．已知. （1）若，求的值域； （2）若，求的定义域. 28．已知二次函数满足，函数满足，且不等式的解集为． (1)求的解析式； (2)若关于x的不等式对任意的恒成立，求实数m的取值范围． 29．已知函数（，且）． (1)若的图象过点和，求在上的值域； (2)若在区间上的最大值比最小值大，求的值． 30．已知函数是偶函数，当时，. (1)当时，求函数的解析式； (2)当时，求函数的值域. 题型四：指数型函数过定点问题 31．幂函数在上单调递增，则的图象过定点（    ） A． B． C． D． 32．函数（且）的图象恒过定点P，点P又在幂函数的图象上，则的值为（    ） A．4 B．8 C．9 D．16 33．已知函数的图象恒过定点，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 34．已知曲线且过定点，若且，则的最小值为（    ）. A． B．9 C．5 D． 35．函数的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中，，则的最小值为 A．4 B．5 C．6 D． 36．下列说法正确的是（   ） A．函数（且）的图象恒过定点 B．若函数满足，则函数的图象关于点对称 C．当时，函数的最小值为 D．函数的单调减区间为 37．下列说法正确的是（   ） A．函数（且）的图象恒过定点 B．若函数是奇函数，则函数的图像关于点对称 C．的单调递增区间为 D．若直线与函数的图象有两个公共点，则实数的取值范围是 38．下列命题正确的是（    ） A．函数（且）的图象恒过定点 B．函数的单调递增区间为 C．函数的值域为 D．若函数的定义域为，则函数的定义域为 39．已知指数函数的图象过点，是定义域为的奇函数． (1)试确定函数的解析式； (2)求实数，的值； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 40．已知函数，其中且． (1)已知的图象经过一个定点，写出此定点的坐标； (2)若，求的最小值； (3)若在区间上的最大值为2，求a的值． 题型五：含参指数函数的最值 41．已知函数，其中，为自然对数的底数．若的最小值为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 42．已知且，函数，若函数在区间上的最大值比最小值大，则a的值为（    ） A．或2 B．或2 C．2或 D．或 43．设，，且为偶函数，为奇函数，若存在实数，使得当时，不等式恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 44．对于函数，若对于任意的，为某一三角形的三边长，则称为“可构成三角形的函数”．已知函数是“可构成三角形的函数”，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 45．对于函数，若在定义域内存在实数满足，则称函数为“倒戈函数”．设（，）是定义在上的“倒戈函数”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 46．（多选）定义在上的函数，则下列结论中正确的是（　　） A．的单调递减区间是 B．的单调递增区间是 C．的最大值是 D．的最小值是 47．已知函数，，下列成立的是（    ） A．若是偶函数，则 B．的值域为 C．在上单调递减 D．当时，方程都有两个实数根 48．已知是定义在上的奇函数. (1)求的解析式； (2)已知，若对于任意，存在，使得成立，求的取值范围. 49．已知指数函数 的图象经过点 . (1)求函数 的解析式并判断 的单调性； (2)函数 ， 求函数 在区间 上的最小值. 50．已知函数. (1)当时，求在上的最值； (2)设函数，若存在最小值，求实数的值. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 指数及指数函数 题型一：利用根式的性质化简或求值 题型二：根式与指数幂的互化 题型三：指数函数的定义域、值域及解析式 题型四：指数型函数过定点问题 题型五：含参指数函数的最值 题型一：利用根式的性质化简或求值 1．把代数式中的移到根号内，那么这个代数式等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 ，即 ， ， . 故选：A . 2．的分数指数幂表示为（　　） A． B． C． D．都不对 【答案】A 【详解】原式，故选A. 3．化简（其中）的结果是 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】=,选C. 4．下列说法： （1）的运算结果是； （2）16的4次方根是2； （3）当为大于1的偶数时，只有当时才有意义； （4）当为大于1的奇数时，对任意有意义． 其中正确的个数为 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【详解】对于（1），因为开偶次方的结果只能是正数，（1）错；对于（2），偶次方根的结果有正有负，（2）错误；根据幂指数的运算法则可知（3）（4）正确，正确的个数为 ，故选C. 5．下列说法中正确的是（    ） A．16的4次方根是 B． C． D． 【答案】AD 【详解】 对于A，16的4次方根有两个，为，故A正确； 对于B，负数的3次方根是一个负数，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，是非负数，所以，故D正确． 故选：AD. 6．给出下列结论： ①； ②，，的值域是； ③幂函数图象一定不过第四象限； ④若成立，则的取值范围是.其中正确的序号是 . 【答案】③④ 【详解】①|﹣2|＝2，①不正确； ②y＝x2+1，x∈[﹣1，2]，y的值域是[1，5]，②不正确； ③由幂函数的图像及性质知：幂函数图象一定不过第四象限，③正确； ④由lna＜1得0＜a＜e，即a的取值范围是（0，e），④正确， 正确的是③④， 故答案为：③④． 7．以下命题，正确的是 ①函数和为同一函数 ②如果函数在区间内满足，那么函数在区间内有零点 ③由实数组成的集合，至多有2个元素 ④函数的减区间为 【答案】③ 【详解】①函数和不是同一函数，因为两个函数的定义域不同，前者的定义域是R,后者的定义域是，所以该命题是错误的； ②如果函数在区间内满足，那么函数在区间内不一定有零点，因为函数可能不连续，所以该命题是错误的； ③由实数组成的集合，至多有2个元素，是正确的，所以该命题是正确的； ④函数是一个复合函数，函数的定义域为， 函数的减区间为，函数是增函数，所以函数减区间为，所以该命题是错误的. 故答案为③ 8．求下列各式的值； (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）= ． （2）原式= 因为，所以， 当，即时， 当，即时，, 所以. 9．（1）计算：； （2）已知，求． 【答案】（1）3；（2）. 【详解】（1）原式， ． （2）由于，所以，， 所以． 10．求使等式成立的实数a的取值范围. 【答案】[-3，3] 【详解】， 要使|成立， 需解得a∈[-3，3]． 题型二：根式与指数幂的互化 11．已知函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，所以，所以是周期为4的函数，所以，因为是奇函数，所以，所以 故选：C 12．已知，，则的值为（    ） A．3 B．4 C． D．5 【答案】D 【详解】 . 故选:D. 13．若有意义，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】要使 有意义，需使，解得，表示为区间形式即. 故选C. 14．下列各式既符合分数指数幂的定义，值又相等的是 A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【详解】分数指数幂的定义中要求底数为正数， 选项A中， 和 均不符合分数指数幂的定义，故A不满足题意； 选项B中，的负指数幂没有意义，故B不满足题意； 选项D中， 和 值不相等，故D不满足题意； 选项C中，，满足题意． 故选C. 15．下列根式与分数指数幂的互化中正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对选项A：，错误； 对选项B：，正确； 对选项C：，正确； 对选项D：，错误； 故选：BC 16．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，原式，A正确； 对于B，原式 ，B正确； 对于C，原式，C错误； 对于D，原式，D正确． 故选：ABD． 17．在下列根式与分数指数幂的互化中，正确的是（    ） A．(x)0.5=- (x≠0) B．= C．= (xy>0) D．= 【答案】BC 【详解】对于A，(x)0.5和必有一个无意义，错误; 对于B，，正确; 对于C，因为xy>0，则，正确; 对于D，，错误． 故选：BC． 18．计算： . 【答案】/-0.25 【详解】由题意 . 故答案为：. 19．化简求值： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）原式 ； （2）原式； （3）原式. 20．（1）计算：； （2）已知且，求下列各式的值： ①； ②． 【答案】（1）；（2）①7；② 【详解】（1）原式； （2）①因为，所以，即，所以； ②因为，又因为，所以 题型三：指数函数的定义域、值域及解析式 21．函数y＝的定义域是(－∞，0]，则a的取值范围为(　　) A．a＞0 B．a＜1 C．0＜a＜1 D．a≠1 【答案】C 【详解】要使函数且有意义, 则, 即, 当时，； 当时，， 因为的定义域为 所以可得符合题意， 的取值范围为，故选C. 22．若函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得对任意恒成立， 即，且在内单调递增， 可得，即对任意恒成立， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 23．已知函数若实数，，满足，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】作出函数的图象，如图， 当时，， 由图可知，，即， 得，则． 由，即，得，求得， ， 故选：D． 24．已知函数的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，， 当时，，函数的值域，不成立， 当时，，，单调递减，， 函数的值域，不成立， 当时，，，单调递增，， 函数的值域是，所以，解得， 所以. 故选：A 25．已知函数的值域为，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】因为，所以，则， 因为函数的值域为，所以， 此时，因为，所以，解得， 则，故C正确. 故选：C 26．已知函数. (1)求函数的定义域和值域； (2)判断并证明的奇偶性. 【答案】(1)定义域为R，值域为 (2)为奇函数，证明见解析 【详解】（1）函数的定义域为R.， ，，， 函数的值域为； （2）定义域为R，关于原点对称， ， 所以函数为奇函数. 27．已知. （1）若，求的值域； （2）若，求的定义域. 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1），，，∴值域为. （2）∵ ，，， ，∴定义域为. 28．已知二次函数满足，函数满足，且不等式的解集为． (1)求的解析式； (2)若关于x的不等式对任意的恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由，得，则， 由二次函数满足，设， 不等式，即， 依题意，是方程的二实根，且， 于是，解得， 所以的解析式为. （2）由（1）知，， 不等式， 依题意，不等式对任意的恒成立， 而，，当且仅当，即时取等号， 因此，解得， 所以实数m的取值范围是. 29．已知函数（，且）． (1)若的图象过点和，求在上的值域； (2)若在区间上的最大值比最小值大，求的值． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1） 由题可知，， 解得，，所以． 因为，所以，所以在上的值域为． （2）当时，在区间上单调递减， 所以，， 因此，解得或（舍去）． 当时，在区间上单调递增， 所以，， 因此，解得或（舍去）． 所以或． 30．已知函数是偶函数，当时，. (1)当时，求函数的解析式； (2)当时，求函数的值域. 【答案】(1) (2) 【详解】（1），则，结合题意得， 是偶函数，， 时，. （2）由（1）知 当， 当，的值域为. 题型四：指数型函数过定点问题 31．幂函数在上单调递增，则的图象过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：因为幂函数在上单调递增， 所以，解得，所以， 故令得，所以 所以的图象过定点 故选：D 32．函数（且）的图象恒过定点P，点P又在幂函数的图象上，则的值为（    ） A．4 B．8 C．9 D．16 【答案】C 【详解】∵，令得， ∴， ∴的图象恒过点， 设，把代入得， ∴，∴，∴. 故选：C. 33．已知函数的图象恒过定点，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵函数的图象恒过定点 ， ∴ ∴ 又在区间上单调递减， ∴ ∴， 故选B 34．已知曲线且过定点，若且，则的最小值为（    ）. A． B．9 C．5 D． 【答案】A 【详解】定点为, ， 当且仅当时等号成立， 即时取得最小值. 故选A 35．函数的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中，，则的最小值为 A．4 B．5 C．6 D． 【答案】D 【详解】令，得，则，函数的图象恒过点，点在直线上，可得， 由基本不等式得， 当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为，故选D. 36．下列说法正确的是（   ） A．函数（且）的图象恒过定点 B．若函数满足，则函数的图象关于点对称 C．当时，函数的最小值为 D．函数的单调减区间为 【答案】BD 【详解】对A：令，解得，当时，，故恒过定点，A错误； 对B：因为，则，故的图象关于对称，B正确； 对C：因为，故， 当且仅当时取得等号，故C错误； 对D：要使有意义，则，解得， 则的定义域为， 由复合函数的单调性可得在单调递增，在单调递减，故D正确． 故选：BD． 37．下列说法正确的是（   ） A．函数（且）的图象恒过定点 B．若函数是奇函数，则函数的图像关于点对称 C．的单调递增区间为 D．若直线与函数的图象有两个公共点，则实数的取值范围是 【答案】ABD 【详解】对于A，当时，， 所以函数的图象恒过定点，故A正确； 对于B，因为函数是奇函数，所以函数的图象关于点对称， 因为函数的图象可由函数的图象向右平移1个单位得到， 所以函数的图像关于点对称，故B正确； 对于C，设，则， 由，得或， 因为在单调递增， 在单调递减，在单调递增， 所以的单调递增区间为，故C错误； 对于D，当时，函数的图象下图所示， 当时，函数的图象下图所示， 则当时，直线与函数的图象有两个公共点， 所以，故D正确. 故选：ABD. 38．下列命题正确的是（    ） A．函数（且）的图象恒过定点 B．函数的单调递增区间为 C．函数的值域为 D．若函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】AD 【详解】对于A， ，恒过定点，A正确； 对于B，由可得：，显然不在定义域内，错误； 对于C，令，则且，， 则当时，，的值域为，C错误； 对于D，令，解得：，的定义域为，D正确. 故选：AD 39．已知指数函数的图象过点，是定义域为的奇函数． (1)试确定函数的解析式； (2)求实数，的值； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）设且，图象过点 所以，解得，所以. （2）由（1）得，因为是上奇函数，所以，所以， 再由可得，所以， 当，时，， ，符合是奇函数， 所以，. （3）， 是增函数，所以是减函数， 因为是奇函数，且， 所以， 所以恒成立， 即，又， 所以. 40．已知函数，其中且． (1)已知的图象经过一个定点，写出此定点的坐标； (2)若，求的最小值； (3)若在区间上的最大值为2，求a的值． 【答案】(1)； (2)； (3)3. 【详解】（1）因为，所以定点坐标为. （2）当时，. 令，. 则，当，即时，函数有最小值. （3）令，则. ①当时，可知在上单调递减，所以. 又根据二次函数的性质可知，当时，单调递减， 所以在处取得最大值. 由已知可得，，解得或. 因为，所以两个数值均不满足； ②当时，可知在上单调递增，所以. 又根据二次函数的性质可知，当时，单调递增， 所以在处取得最大值. 由已知可得，，解得或（舍去），所以. 综上所述，. 题型五：含参指数函数的最值 41．已知函数，其中，为自然对数的底数．若的最小值为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，，仅当时取等号，若，则， 若，则； 当时，，若，则， 若，则，当且仅当时取等号 若，则，其最小值为， 当时，，，解得，因此； 当时，，，符合题意，因此； 当时，，函数无最小值； 当时，，，解得，因此； 当时，，，解得，矛盾， 所以的取值范围为. 故选：D 42．已知且，函数，若函数在区间上的最大值比最小值大，则a的值为（    ） A．或2 B．或2 C．2或 D．或 【答案】D 【详解】①当时，函数在上是减函数，在上也是减函数. ∵，∴函数的最大值为，而，∴函数的最小值为， ∴，解得，符合题意. ②当时，函数在上是增函数，在上是减函数. ∵， ∴函数的最大值为，而，， 当时，，此时函数的最小值为，因此有，无解； 当时，，此时函数的最小值为，因此有，解得，符合题意. 综上所述，实数的值为或. 故选：D 43．设，，且为偶函数，为奇函数，若存在实数，使得当时，不等式恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：因为，，且为偶函数，为奇函数 所以 所以，即 因为， 所以，. 因为当时， 所以当时，不等式恒成立等价于当时，恒成立，即当时，恒成立， 令，由于函数在单调递增， 所以根据复合函数单调性得在单调递增， 所以， 所以当时，恒成立时，. 所以的最小值为. 故选：A 44．对于函数，若对于任意的，为某一三角形的三边长，则称为“可构成三角形的函数”．已知函数是“可构成三角形的函数”，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】试题分析：由已知得，∴， ∵，当时，由得，∴ ，∴，；当时，显然符合题意；当时，，，∴，∴，．综上所述：．故选：A． 45．对于函数，若在定义域内存在实数满足，则称函数为“倒戈函数”．设（，）是定义在上的“倒戈函数”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为是定义在上的“倒戈函数， 存在满足， ， ， 构造函数，， 令，， 在单调递增， 在单调递减，所以取得最大值0， 或取得最小值，， ，， 故选：A． 46．（多选）定义在上的函数，则下列结论中正确的是（　　） A．的单调递减区间是 B．的单调递增区间是 C．的最大值是 D．的最小值是 【答案】ACD 【详解】设，，则是增函数，且， 又函数在上单调递增，在上单调递减， 因此在上单调递增，在上单调递减，故A正确，B错误； ，故C正确； ，，因此的最小值是，故D正确． 故选:ACD． 47．已知函数，，下列成立的是（    ） A．若是偶函数，则 B．的值域为 C．在上单调递减 D．当时，方程都有两个实数根 【答案】ACD 【详解】对于A选项，由于是偶函数，则即可得，故A正确. 对于B选项，注意到，又在R上单调递增， 则值域为，故B错误. 对于C选项，由B选项可知，在上单调递减，又在R上单调递增，由复合函数单调性“同增异减”可知，在上单调递减，故C正确. 对于D选项，由选项B，C可知，在上单调递增，在上单调递减，据此可画出大致图像如下，由图可知图像最高点所对应的纵坐标为.则当时，与图像交点个数为2，即方程都有两个实数根，故D正确. 故选：ACD 48．已知是定义在上的奇函数. (1)求的解析式； (2)已知，若对于任意，存在，使得成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，所以有，即， 又，化简得：，， 而此时， ， （2）令， ∵且单调递减，∴在上单调递减， 又∵在上单调递减， 在上单调递减且的最大值是， 又令，对于任意，存在， 使得，等价于成立，即成立， ，则在上单调递减， ，故，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 49．已知指数函数 的图象经过点 . (1)求函数 的解析式并判断 的单调性； (2)函数 ， 求函数 在区间 上的最小值. 【答案】(1)；在R上单调递增； (2) 【详解】（1）因为函数（且）的图象过点，则， 解得，因此，， 由于，结合指数函数的性质可知，是R上的单调递增函数； （2），令，因为，则， 令，， 关于对称， 当时，函数在上单调递增，此时，， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 此时，， 当时，函数在上单调递减，此时，， 综上：. 50．已知函数. (1)当时，求在上的最值； (2)设函数，若存在最小值，求实数的值. 【答案】(1)最小值为，最大值为8 (2)6 【详解】（1）当时，， 设，则，开口向上，对称轴， 所以函数在上单调递减，上单调递增， 所以，， 所以在上的最小值为，最大值为8. （2） ， 设，当且仅当，即时取得等号， 所以，，对称轴. 当，即时，，在上单调递增， 则当时，，解得，不满足题意； 当，即时，在上单调递减，上单调递增， 所以时，，解得或（舍去）， 综上，实数的值为6. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$