2.4 一元一次不等式 暑假巩固练习2024-2025学年北师大版八年级数学下册

北师大版八年级下册 2.4 一元一次不等式 暑假巩固 一、解一元一次不等式 1.一元一次不等式2x﹣1≥3的解集为（　　） A.x≥0 B.x≥1 C.x≥2 D.x≥3 2.不等式x≤2x+1的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 3.下列说法错误的是（　　） A.不等式5x﹣10＞0的解是3 B.3是不等式5x﹣10＞0的解 C.不等式5x﹣10＞0的解集是x＞2 D.x＞2是不等式5x﹣10＞0的解集 4.不等式≥的解集是 　       　． 5.当x 　    　时，式子的值不大于1． 6.解不等式： （1）7x﹣2＜3（x+2）； （2）≥． 7.解不等式，并将其解集在数轴上表示出来： （1）4x﹣2＞3（x﹣1）； （2）≥1． 二、一元一次不等式的整数解 1.定义新运算：对于任意实数a，b都有a⊕b＝a（a﹣b）+1，如：2⊕5＝2（2﹣5）+1＝﹣5，那么不等式4⊕x≥2的正整数解的个数是（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 2.若实数3是不等式+2m＜﹣3的一个解，则m可取的最大整数是（　　） A.﹣1 B.2 C.﹣3 D.3 3.不等式的负整数解有（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.不等式2x﹣3＜1的正整数解是 　     　． 5.若不等式3x﹣m≤4的最大整数解是5，则m的取值范围是 　       　． 6.已知关于x的不等式（a+1）x＜3的自然数解有且只有一个，试求a的取值范围． 7.已知关于x的方程2x﹣a＝3的解是不等式1-的最小整数解，求a的值． 三、一元一次不等式与方程（组） 1.若关于x的不等式mx﹣n＞0的解集是x＜，则关于x的不等式（m+n）x＜n﹣m的解集是（　　） A.x＜﹣ B.x＞ C.x＞﹣ D.x＜ 2.关于x，y的方程组的解中，x与y的和不大于3，则k的取值范围是（　　） A.k≥2 B.k≤2 C.k≥1 D.k≤1 3.关于x，y的方程组的解中，x与y的差小于1，则k的值不可能是（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 4.在方程组中，若未知数x，y满足x+y＜0，则m的取值范围是 　    　． 5.若关于x的方程组的解满足x＞y，则p的取值范围是　      　． 6.在初中数学的学习中，参数的应用十分广泛，贯穿在初中数学的方方面面，已知字母a既是关于x的方程2x﹣﹣1的参数，也是关于y的多项式y|a|﹣y中的参数，请完成下列问题： （1）字母a是数轴上的一点且a点到1的距离不大于5，求a的取值范围； （2）在（1）的条件下，若关于x的方程2x﹣﹣1的解是整数，请求出所有符合条件的整数a的值； （3）在（1）,（2）的条件下，若关于y的多项式ay|a|﹣y又是一个三次二项式，请计算所有符合条件的a的积． 7.已知m是实数，关于x，y的方程组的解满足不等式2x﹣y＜19，求实数m的取值范围． 四、一元一次不等式与字母系数取值范围 1.若不等式ax+b≥0（a≠0）的解集是x≥a2+b2，则ab的值是（　　） A.ab＜0 B.ab≤0 C.ab＞0 D.ab≥0 2.如果关于x的一元一次不等式x＜m的所有解都是2x+1≤5的解，那么m的取值范围是（　　） A.m＜2 B.m≤2 C.m＞3 D.m≥3 3.已知方程组的解x,y满足2x+y≥0，则m的取值范围是（　　） A.m≥ B.m≥ C.m≥1 D.≤m≤1 4.已知关于x的不等式x﹣a≤﹣2的解集如图所示，那么a的值是 　      　． 5.若不等式（a﹣1）x＜a﹣1的解集是x＞1，则a的取值范围是　     　． 6.若关于x，y的二元一次方程的解满足x+y＞4，求k的取值范围． 7.已知x，y满足方程组且x+y＜0． （1）试用含m的式子表示方程组的解； （2）求实数m的取值范围； （3）化简． 五、列一元一次不等式解决实际问题 1.某商店的老板销售一种商品，他要以不低于进价130%的价格才能出售，但为了获得更多利润，他以高出进价80%的价格标价．若你想360元买下这种商品，老板最多降价（　　） A.80元 B.100元 C.120元 D.160元 2.某矿泉水每瓶售价2元，现甲、乙两家商场给出优惠政策：甲商场全部九折，乙商场20瓶以上的部分八折．老师要小明去买一些矿泉水，小明想了想觉得到乙商场购买比较优惠．则小明需要购买的矿泉水的数量x（瓶）的取值范围是（　　） A.x＞30 B.x＞40 C.x＞50 D.x＞60 3.一件商品的标价为240元，比进价高出60%，为吸引顾客，现降价处理，要使售后利润率不低于10%，则最多可以降到（　　） A.150元 B.165元 C.160元 D.120元 4.象征吉祥富贵的丁香花是西宁市市花．为美化丁香大道，园林局准备购买某种规格的丁香花，若每棵6元，总费用不超过5 000元，则最多可以购买 　   　棵． 5.一张试卷共20道题，做对一题得5分，做错或不做一题扣3分，小辛做了全部试题，若要成绩及格（注：60分及以上成绩为及格），那么小辛至少要做对 　  　道题． 6.“谷子冬播夏收”是近年来农业种植的新技术之一，该技术打破了以往谷子在晚春进行播种的传统，在冬天或者早春进行播种，播种时铺上全生物降解渗水地膜（如图），能最大限度地保证土壤中的水分不被蒸发，达到“秋雨冬储春夏用”的效果．2022年某农科所种植谷子50亩进行新旧技术对比试验，共收获谷子22 000千克，经过对比发现，采用“冬播夏收”技术种植的谷子，平均亩产量比采用传统技术种植的谷子多25%．现已知传统技术种植的谷子平均每亩产量为400千克． （1）求该农科所采用“传统技术”和“冬播夏收”技术各种植谷子多少亩？ （2）该农科所将收获的谷子加工成小米后，一部分采用“线上直播带货”的方式进行销售，销售价格为8元/千克，其余部分在实体店进行售卖，售卖价格为10元/千克．已知每1千克谷子能加工成0.8千克的小米，则该农科所要想销售完这批小米后，销售额不低于156 000元，求该农科所最多将多少千克的小米以“线上直播带货”的方式进行销售？ 7.4月23日是世界读书日，某校为了营造读书好、好读书、读好书的书香校园，决定采购《爱的教育》、《小词大雅》两种图书供学生阅读．通过了解，购买2本《爱的教育》和3本《小词大雅》共需126元，购买3本《爱的教育》和2本《小词大雅》共需109元． （1）求一本《爱的教育》和《小词大雅》的价格分别是多少元？ （2）若该校计划购买两种图书共200本，其中《爱的教育》的数量不多于《小词大雅》数量的3倍，且不少于70件．求学校购书的最低总费用． 北师大版八年级下册 2.4 一元一次不等式 暑假巩固（参考答案） 一、解一元一次不等式 1.一元一次不等式2x﹣1≥3的解集为（　　） A.x≥0 B.x≥1 C.x≥2 D.x≥3 【答案】C 【解析】2x﹣1≥3， 2x≥3+1， 2x≥4， x≥2. 故选：C． 2.不等式x≤2x+1的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解x≤2x+1得x≥﹣1,在数轴上表示如图所示. 故选：B． 3.下列说法错误的是（　　） A.不等式5x﹣10＞0的解是3 B.3是不等式5x﹣10＞0的解 C.不等式5x﹣10＞0的解集是x＞2 D.x＞2是不等式5x﹣10＞0的解集 【答案】A 【解析】A.3是不等式5x﹣10＞0的解，但是不等式5x﹣10＞0的解集不是3，说法错误，故本选项符合题意； B.3是不等式5x﹣10＞0的解，说法正确，故本选项不符合题意； C.不等式5x﹣10＞0的解集是x＞2，说法正确，故本选项不符合题意； D.x＞2是不等式5x﹣10＞0的解集，说法正确，故本选项不符合题意． 故选：A． 4.不等式≥的解集是 　       　． 【答案】x≥﹣3 【解析】去分母得3(x+1)≥2x， 去括号得3x+3≥2x， 移项、合并同类项得x≥﹣3． 故答案为：x≥﹣3． 5.当x 　    　时，式子的值不大于1． 【答案】≥﹣1 【解析】由题意可得， ≤1， 解得x≥﹣1. 故答案为：≥﹣1． 6.解不等式： （1）7x﹣2＜3（x+2）； （2）≥． 【答案】解 （1）7x﹣2＜3（x+2）， 去括号，得7x﹣2＜3x+6， 移项，得7x﹣3x＜6+2， 合并同类项，得4x＜8， 系数化为1，得x＜2. （2）≥， 去分母，得4（x﹣1）≥x﹣3+12， 去括号，得4x﹣4≥x﹣3+12， 移项，得4x﹣x≥4﹣3+12， 合并同类项，得3x≥13， 系数化为1，得x≥． 7.解不等式，并将其解集在数轴上表示出来： （1）4x﹣2＞3（x﹣1）； （2）≥1． 【答案】解 （1）去括号得4x﹣2＞3x﹣3， 移项得4x﹣3x＞2﹣3， 合并同类项得x＞﹣1， 在数轴上表示如图所示. （2）去分母得2（2x﹣1）﹣3（5x+1）≥6， 去括号得4x﹣2﹣15x﹣3≥6， 移项得4x﹣15x≥6+2+3， 合并同类项得﹣11x≥11， x的系数化为1得x≤﹣1． 在数轴上表示如图所示. 二、一元一次不等式的整数解 1.定义新运算：对于任意实数a，b都有a⊕b＝a（a﹣b）+1，如：2⊕5＝2（2﹣5）+1＝﹣5，那么不等式4⊕x≥2的正整数解的个数是（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解析】根据题意，原不等式转化为4（4﹣x）+1≥2， 去括号，得16﹣4x+1≥2， 移项、合并同类项，得﹣4x≥﹣15， 系数化为1，得x≤， 正整数解有1，2，3． 故选：C． 2.若实数3是不等式+2m＜﹣3的一个解，则m可取的最大整数是（　　） A.﹣1 B.2 C.﹣3 D.3 【答案】C 【解析】由不等式+2m＜﹣3，得x＜﹣6m﹣9， ∵实数3是不等式+2m＜﹣3的一个解， ∴﹣6m﹣9＞3， 解得m＜﹣2， ∴m可取的最大整数为﹣3. 故选：C． 3.不等式的负整数解有（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【解析】， 去分母得2（x﹣9）+6＜3（3x+4）， 去括号得2x﹣18+6＜9x+12， 移项、合并同类项得﹣7x＜24， 不等式两边同除以﹣7得， ∴不等式的负整数解有﹣3，﹣2，﹣1共3个． 故选：C． 4.不等式2x﹣3＜1的正整数解是 　     　． 【答案】1 【解析】2x﹣3＜1， 移项得2x＜1+3， 合并同类项得2x＜4， 把x的系数化为1得x＜2， 则不等式2x-3＜1的正整数解为1． 故答案为：1． 5.若不等式3x﹣m≤4的最大整数解是5，则m的取值范围是 　       　． 【答案】11≤m＜14 【解析】3x﹣m≤4， 解得x≤， ∵不等式3x﹣m≤4的最大整数解是5， ∴5≤＜6， 解得11≤m＜14， 故答案为：11≤m＜14． 6.已知关于x的不等式（a+1）x＜3的自然数解有且只有一个，试求a的取值范围． 【答案】解 ∵不等式的自然数解只有1个， ∴原不等式的解不可能是x大于某一个数． ∴a+1＞0． ∴不等式的解集为x＜． ∴这个自然数解必为x＝0， ∴≤1, ∵a+1＞0， ∴3≤a+1． ∴a≥2， 即a的取值范围是a≥2． 7.已知关于x的方程2x﹣a＝3的解是不等式1-的最小整数解，求a的值． 【答案】解 ∵1-， ∴6﹣3x+6＜2+2x， ∴﹣5x＜﹣10， ∴x＞2， ∴x的最小整数为3， 把x＝3代入2x﹣a＝3得6﹣a＝3， ∴a＝3． 三、一元一次不等式与方程（组） 1.若关于x的不等式mx﹣n＞0的解集是x＜，则关于x的不等式（m+n）x＜n﹣m的解集是（　　） A.x＜﹣ B.x＞ C.x＞﹣ D.x＜ 【答案】C 【解析】∵关于x的不等式mx﹣n＞0的解集是x＜， ∴m＜0，=， 解得m＝5n， ∴n＜0， ∴解关于x的不等式（m+n）x＜n﹣m得x＞， ∴x＞=， 故选：C． 2.关于x，y的方程组的解中，x与y的和不大于3，则k的取值范围是（　　） A.k≥2 B.k≤2 C.k≥1 D.k≤1 【答案】B 【解析】 ①﹣②得x+y＝2k﹣1， ∵x与y的和不大于3， ∴2k﹣1≤3， 解得k≤2. 故选：B． 3.关于x，y的方程组的解中，x与y的差小于1，则k的值不可能是（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】D 【解析】 由①﹣②得x﹣y＝k﹣3， 根据题意得k﹣3＜1， 解得k＜4． 故选：D． 4.在方程组中，若未知数x，y满足x+y＜0，则m的取值范围是 　    　． 【答案】m＞2 【解析】 ①+②得3x+3y＝4﹣2m， ∴x+y＝， ∵x+y＜0， ∴＜0， 解得m＞2. 故答案为：m＞2． 5.若关于x的方程组的解满足x＞y，则p的取值范围是　      　． 【答案】p＞-6 【解析】解关于x的方程组 得 ∵x＞y， ∴p+5＞﹣p﹣7， 移项得2p＞﹣12， 解得p＞﹣6． 故答案为：p＞﹣6． 6.在初中数学的学习中，参数的应用十分广泛，贯穿在初中数学的方方面面，已知字母a既是关于x的方程2x﹣﹣1的参数，也是关于y的多项式y|a|﹣y中的参数，请完成下列问题： （1）字母a是数轴上的一点且a点到1的距离不大于5，求a的取值范围； （2）在（1）的条件下，若关于x的方程2x﹣﹣1的解是整数，请求出所有符合条件的整数a的值； （3）在（1）,（2）的条件下，若关于y的多项式ay|a|﹣y又是一个三次二项式，请计算所有符合条件的a的积． 【答案】解 （1）根据题意得|a﹣1|≤5， ∴﹣5≤a﹣1≤5， 解得﹣4≤a≤6. （2）由方程2x﹣﹣1得x＝， ∵2x﹣﹣1的解是整数，a为整数， ∴a+1＝﹣3或a+1＝﹣1或a+1＝1或a+1＝3， ∴符合条件的整数a的值为﹣4或﹣2或0或2. （3）∵关于y的多项式ay|a|﹣y是一个三次二项式， ∴|a|＝3， 解得a＝3或a＝﹣3， ∴所有符合条件的a的积为3×（﹣3）＝﹣9． 7.已知m是实数，关于x，y的方程组的解满足不等式2x﹣y＜19，求实数m的取值范围． 【答案】解 ②﹣①×2得3x＝6m+9，解得x＝2m+3， 把x＝2m+3代入①得2m+3+y＝﹣1，解得y＝﹣4﹣2m， ∴方程组的解为 ∵关于x，y的方程组的解满足不等式2x﹣y＜19， ∴2（2m+3）﹣（﹣4﹣2m）＜19， ∴4m+6+4+2m＜19， 解得m＜． 四、一元一次不等式与字母系数取值范围 1.若不等式ax+b≥0（a≠0）的解集是x≥a2+b2，则ab的值是（　　） A.ab＜0 B.ab≤0 C.ab＞0 D.ab≥0 【答案】A 【解析】∵不等式ax+b≥0（a≠0）的解集是x≥a2+b2， ∴a＞0，x≥， ∵a2+b2＞0， ∴＞0， ∴b＜0， ∴ab＜0． 故选：A． 2.如果关于x的一元一次不等式x＜m的所有解都是2x+1≤5的解，那么m的取值范围是（　　） A.m＜2 B.m≤2 C.m＞3 D.m≥3 【答案】B 【解析】由2x+1≤5得x≤2， ∵关于x的一元一次不等式x＜m的所有解都是2x+1≤5的解， ∴m≤2. 故选：B． 3.已知方程组的解x,y满足2x+y≥0，则m的取值范围是（　　） A.m≥ B.m≥ C.m≥1 D.≤m≤1 【答案】A 【解析】 ①×2得2y﹣4x＝2m③， ②﹣③得7x＝1﹣m， 解得x＝， 把x＝代入①中得y﹣＝m， 解得y＝， ∵2x+y≥0， ∴+≥0， 解得m≥﹣. 故选：A． 4.已知关于x的不等式x﹣a≤﹣2的解集如图所示，那么a的值是 　      　． 【答案】1 【解析】∵不等式x﹣a≤﹣2的解集为x≤a﹣2， 又不等式x﹣a≤﹣2在数轴上的解集为x≤﹣1， ∴a﹣2＝﹣1， 故a＝1． 故答案为：1． 5.若不等式（a﹣1）x＜a﹣1的解集是x＞1，则a的取值范围是　     　． 【答案】a＜1 【解析】∵不等式（a﹣1）x＜a﹣1的解集是x＞1， ∴a﹣1＜0，解得a＜1． 故答案为：a＜1． 6.若关于x，y的二元一次方程的解满足x+y＞4，求k的取值范围． 【答案】解 由方程组两个方程相加得3x+3y＝6k，即x+y＝2k， 由x+y＞4， 得2k＞4， 解得k＞2． 则k的取值范围为k＞2． 7.已知x，y满足方程组且x+y＜0． （1）试用含m的式子表示方程组的解； （2）求实数m的取值范围； （3）化简． 【答案】解 （1） ①+②×3得5x＝15m+10， 解得x＝3m+2， 把x＝3m+2代入②得3m+2﹣y＝4m+1， 解得y＝1﹣m， 则方程组的解为 （2）∵x+y＜0， ∴3m+2+1﹣m＜0， 解得m＜﹣. （3）∵m＜﹣， ∴m+＜0，2﹣m＞0， 则原式＝﹣m﹣﹣2+m＝﹣3． 五、列一元一次不等式解决实际问题 1.某商店的老板销售一种商品，他要以不低于进价130%的价格才能出售，但为了获得更多利润，他以高出进价80%的价格标价．若你想360元买下这种商品，老板最多降价（　　） A.80元 B.100元 C.120元 D.160元 【答案】B 【解析】设降价x元， 根据题意得360﹣x≥×130%， 解得x≤100， ∴x的最大值为100， 即最多降价100元，可以360元买到这件商品． 2.某矿泉水每瓶售价2元，现甲、乙两家商场给出优惠政策：甲商场全部九折，乙商场20瓶以上的部分八折．老师要小明去买一些矿泉水，小明想了想觉得到乙商场购买比较优惠．则小明需要购买的矿泉水的数量x（瓶）的取值范围是（　　） A.x＞30 B.x＞40 C.x＞50 D.x＞60 【答案】B 【解析】显然若买20瓶以下，甲商场比较优惠． 若购买20瓶以上，由题意得2×0.9x＞2×20+（x﹣20）×2×0.8． 解得x＞40 故小明需要购买的矿泉水的数量x（瓶）的取值范围是x＞40． 3.一件商品的标价为240元，比进价高出60%，为吸引顾客，现降价处理，要使售后利润率不低于10%，则最多可以降到（　　） A.150元 B.165元 C.160元 D.120元 【答案】B 【解析】设该商品可以降到x元， 根据题意得x﹣≥×10%， 解得x≥165， ∴x的最小值为165， ∴最多可以降到165元． 4.象征吉祥富贵的丁香花是西宁市市花．为美化丁香大道，园林局准备购买某种规格的丁香花，若每棵6元，总费用不超过5 000元，则最多可以购买 　   　棵． 【答案】833 【解析】设购买x棵丁香花， 根据题意得6x≤5 000， 解得x≤833， ∵x为整数， ∴x的最大值为833， ∴最多可以购买833棵. 5.一张试卷共20道题，做对一题得5分，做错或不做一题扣3分，小辛做了全部试题，若要成绩及格（注：60分及以上成绩为及格），那么小辛至少要做对 　  　道题． 【答案】15 【解析】设小辛要做对x道题，依题意有 5x﹣3（20﹣x）≥60， 解得x≥15． 故小辛至少要做对15道题． 6.“谷子冬播夏收”是近年来农业种植的新技术之一，该技术打破了以往谷子在晚春进行播种的传统，在冬天或者早春进行播种，播种时铺上全生物降解渗水地膜（如图），能最大限度地保证土壤中的水分不被蒸发，达到“秋雨冬储春夏用”的效果．2022年某农科所种植谷子50亩进行新旧技术对比试验，共收获谷子22 000千克，经过对比发现，采用“冬播夏收”技术种植的谷子，平均亩产量比采用传统技术种植的谷子多25%．现已知传统技术种植的谷子平均每亩产量为400千克． （1）求该农科所采用“传统技术”和“冬播夏收”技术各种植谷子多少亩？ （2）该农科所将收获的谷子加工成小米后，一部分采用“线上直播带货”的方式进行销售，销售价格为8元/千克，其余部分在实体店进行售卖，售卖价格为10元/千克．已知每1千克谷子能加工成0.8千克的小米，则该农科所要想销售完这批小米后，销售额不低于156 000元，求该农科所最多将多少千克的小米以“线上直播带货”的方式进行销售？ 【答案】解 （1）400×（1+25%）＝500(千克)， 设该农科所采用“传统技术”种植谷子x亩，则采用“冬播夏收”技术种植谷子（50﹣x）亩， 400x+500（50﹣x）＝22 000， 解得x＝30， 50﹣30＝20（亩）， 故该农科所采用“传统技术”种植谷子30亩，则采用“冬播夏收”技术种植谷子20亩. （2）22 000×0.8＝17 600（千克）， 设该农科所最多将y千克的小米以“线上直播带货”的方式进行销售，则在实体店销售（17 600﹣y）千克， 8y+10（17 600﹣y）≥156 000， 解不等式得y≤10 000， 故该农科所最多将10 000千克的小米以“线上直播带货”的方式进行销售． 7.4月23日是世界读书日，某校为了营造读书好、好读书、读好书的书香校园，决定采购《爱的教育》、《小词大雅》两种图书供学生阅读．通过了解，购买2本《爱的教育》和3本《小词大雅》共需126元，购买3本《爱的教育》和2本《小词大雅》共需109元． （1）求一本《爱的教育》和《小词大雅》的价格分别是多少元？ （2）若该校计划购买两种图书共200本，其中《爱的教育》的数量不多于《小词大雅》数量的3倍，且不少于70件．求学校购书的最低总费用． 【答案】解 （1）设一本《爱的教育》和《小词大雅》的价格分别是x元和y元，根据题意得 解得 故一本《爱的教育》和《小词大雅》的价格分别是15元和32元. （2）设学校购买《爱的教育》m本，则购买《小词大雅》（200﹣m）本，购书的总费用为W元， 根据题意得W＝15m+32（200﹣m）＝﹣17m+6 400， 又∵ 解得70≤m≤150， ∵﹣17＜0， ∴W随m的增大而减小 ∴当m＝150时，W最小值为3 850元， 故学校购书的最低总费用3 850元． 学科网（北京）股份有限公司 $$