专题2.2 有理数的乘法和除法（高效培优讲义）数学浙教版2024七年级上册

专题2.2 有理数的乘法和除法 教学目标 1.能熟练掌握有理数乘法法则，包括两数相乘（同号得正、异号得负，并把绝对值相乘）和多个有理数相乘（积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正；几个数相乘，有一个因数为 0，积就为 0）的法则，能准确进行有理数的乘法运算。 2.理解有理数除法法则，掌握除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数，以及两数相除（同号得正、异号得负，并把绝对值相除；0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0）的运算方法，能正确进行有理数的除法运算。 3.学会进行有理数的乘除混合运算，能合理运用运算律简化运算过程，提高运算效率和准确性。 教学重难点 1.重点 （1）有理数乘法法则的理解和应用，尤其是多个有理数相乘时积的符号确定方法，这是正确进行乘法运算的关键。 （2）有理数除法法则的掌握，包括除法与乘法的转化以及商的符号确定，能熟练将除法运算转化为乘法运算。 （3）有理数乘除混合运算的顺序和技巧，能按照从左到右的顺序进行运算，并合理运用运算律简化计算。 2.难点 （1）多个有理数相乘时，积的符号确定以及对 “有一个因数为 0，积就为 0” 这一规则的灵活运用，学生容易忽略 0 因数对积的影响。 （2）有理数除法中，当除数是负数时，符号的处理容易出错，特别是在将除法转化为乘法时，对倒数概念的理解和运用可能存在困难。 （3）乘除混合运算中，运算顺序的把握和运算律的恰当运用，学生可能会因急于简化运算而混淆运算顺序，导致结果错误。 知识点01 有理数的乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 （2）任何数同0相乘，都得0。 （3）多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即先确定符号，再把绝对值相乘，绝对值的积就是积的绝对值。 （4）多个数相乘，若其中有因数0，则积等于0；反之，若积为0，则至少有一个因数是0。 【即学即练】 1．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘法法则，是解题的关键： （1）先确定符号，再进行乘法运算即可； （2）先确定符号，再进行乘法运算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 2．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)0 (3) 【分析】本题考查有理数的乘法运算，熟练掌握有理数的乘法运算法则是解决问题的关键． （1）根据有理数乘法运算法则直接求解即可得到答案． （2）根据因数有0，则相乘的结果为0，即可作答． （3）奇数个负数相乘的结果是负数，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 知识点02 有理数的乘法运算定律 （1）乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等。即a×b＝ba （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚。 （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c。 【即学即练】 1．计算： 【答案】25 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算，乘法运算律，逆用乘法分配律进行计算即可．熟练掌握乘法的分配律是解题的关键． 【详解】解： ． 2．计算:． 【答案】 【分析】本题考查有理数乘法运算、有理数乘法分配律、有理数加减运算等知识，先由有理数乘法分配律展开，再计算有理数乘法运算，最后由有理数加减运算计算即可得到答案．熟记有理数乘法运算律及有理数加减乘等运算法则是解决问题的关键． 【详解】解： ． 知识点03 倒数 （1）定义： 乘积为1的两个数互为倒数。 （2）性质：负数的倒数还是负数 ，正数的倒数是正数 。 注意：① 0 没有倒数；②倒数等于它本身的数为 ±1. 【即学即练】 1．的倒数是（   ） A． B．2 C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查倒数的概念．倒数是指乘积为1的两个数，求一个数的倒数只需将其分子和分母交换位置，并保持符号不变． 根据倒数的定义进行求解即可． 【详解】解： 的倒数是， 故选：D． 知识点04 有理数除法法则 （1）除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数。 （2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0。 【即学即练】 1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算，熟练掌握有理数除法运算法则，是解题的关键． （1）先变除法为乘法，然后进行计算即可； （2）先变除法为乘法，然后再进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型01 有理数的乘法运算 【典例1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，解题的关键是掌握有理数的乘法运算法则． （1）根据有理数的乘法运算法则计算即可； （2）根据有理数的乘法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【变式1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算等，掌握多个有理数相乘的符号规律为解题的关键． （1）先确定积的负号，然后进行计算即可； （2）先确定积的负号，然后进行约分计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)0 (4) 【分析】本题主要考查了有理数运算，解题的关键是熟练掌握有理数乘法运算法则，准确计算． （1）根据有理数乘法运算法则进行计算即可； （2）根据有理数乘法运算法则进行计算即可； （3）根据有理数乘法运算法则进行计算即可； （4）逆用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)0 (2)35 (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的乘法，解题关键是熟记有理数的乘法法则：几个有理数相乘，其中有个因数为0，其积为0；几个不为0的有理数相乘，积的符号由负因数个数决定，负因数个数为奇数积为负，负因数个数为偶数积为正，并把绝对值相乘．根据有理数乘法法则进行计算便可． （1）结合几个有理数相乘，其中有个因数为0，其积为0，即可作答． （2）先把小数化为分数，再相乘，即可作答． （3）积的符号由负因数个数决定，负因数个数为奇数积为负，负因数个数为偶数积为正，确定得数的符号，然后把带分数化为假分数，再进行计算，即可作答． （4）积的符号由负因数个数决定，负因数个数为奇数积为负，负因数个数为偶数积为正，确定得数的符号，再相乘，即可作答． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型02 有理数乘法运算律 【典例2】计算：能用简算的用简算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查乘法分配律，掌握运算法则是解题的关键． （1）利用乘法分分配律的逆运算进先计算解答即可； （2）把原式化为，然后运用乘法分配律解题即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用乘法分配律计算即可． 【详解】解：原式 【变式2】计算． 【答案】0 【分析】本题主要考查了有数混合运算、有理数乘法运算律等知识，熟练掌握相关运算法则和运算律是解题关键．首先根据乘法运算律将原式整理为，再进行括号内的运算，然后进行乘法运算即可． 【详解】解：原式 ． 【变式3】计算下列各题，能简算的要简算： (1)； (2)； (3)； (4)用简便方法计算：． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的四则运算，准确运用运算律计算是解题关键． （1 ） 仔细观察本题，通过调整，逆用乘法分配律，即可简算结果； （2 ）逆用乘法分配律，即可简算结果； （3 ）先去括号、假分数转成真分数计算，再观察题目，逆用乘法分配律，即可简算结果； （4 ）先把原式变形为，再利用乘法分配律求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： =2010000； （3）解： ； （4）解: ． 题型03 有理数乘法的实际应用 【典例3】兰州出租车师傅小郭一天上午驾驶一辆出租车以西关什字为出发地在东西大街上运行，规定向东为正，向西为负，出租车的行驶里程（单位：）如下： (1)将最后一名乘客送到目的地，相对于西关什字出租车的位置在哪里？ (2)这天上午出租车总共行驶了多少？ (3)已知出租车每行驶耗油，每升汽油的售价为8.3元．如果不计其他成本，出租车师傅小郭每千米收费2.5元，那么这半天他盈利了还是亏损了？盈利（或亏损）了多少元？ 【答案】(1)将最后一名乘客送到目的地回到了西关什字处； (2)； (3)盈利，元 【分析】本题主要考查了有理数的加减乘除混合运算，注意正负数的意义，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加法运算，看其结果的正负即可判断其位置； （2）根据绝对值的定义列式计算即可； （3）根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解解：， 所以将最后一名乘客送到目的地，出租车回到了西关什字处， 答：将最后一名乘客送到目的地回到了西关什字处． （2）， 答：这天上午出租车总共行驶了 千米． （3） 答：那么这半天出租车盈利了元． 【变式1】2024年11月7日，恰逢立冬，又遇我县第一届运动会，更是我县41岁“生日”．为保证运动会顺利进行，全县人民高度重视并积极参与．某出租车驾驶员无偿为各能量补给站运送物资，他从物资配送站出发，在东西向的站前大道上连续接送6批物资，行驶路程记录如下（规定向东为正，向西为负，单位：）： 第1批 第2批 第3批 第4批 第5批 第6批 (1)接送完第6批物资后，该驾驶员在物资配送站什么方向，距离物资配送站多少千米？ (2)若该出租车每千米耗油升，那么在这个过程中共耗油多少升？ 【答案】(1)该驾驶员在物资配送站西边，距离物资配送站4千米 (2)20.4升 【分析】(1)计算各里程的和，正表示在东，负表示在西，绝对值表示距离． (2) 计算各里程的绝对值的和，计算出耗油量较即可． 本题考查了正负数的实际应用，有理数的加减混合运算，有理数的乘法，熟练掌握有理数的加减混合运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：∵(千米)， ∴该驾驶员在物资配送站西边，距离物资配送站4千米． （2）解：∵千米， ∴耗油量为：（升）， 答：这个过程中共耗油20.4升． 【变式2】在佛山的一个以传统手工艺和自然美景著称的小镇上，有一个专门生产竹制品和陶瓷的工艺合作社．这个合作社计划每天生产200件．但由于工艺的复杂性和市场需求的波动，实际每天的生产量与计划量有所差异．下表是某周每天的生产情况（超产记为正，减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减产量 (1)由表可知该合作社星期三生产竹制品和陶瓷____________件； (2)由表可知该厂本周生产竹制品和陶瓷多少件？ (3)合作社实行每日计件工资制，每生产一件产品可得60元，若超额完成任务，则超过部分每件奖励15元；少生产一件扣20元，那么合作社成员这一周的工资总额是多少元？ 【答案】(1)195 (2)1408件 (3)84460元 【分析】本题考查了正数和负数、有理数的混合运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （2）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （3）根据产品数量算出生产产品的工资，再加上超额部分的奖励，减去少生产部分的总额，即可求解． 【详解】（1）解：（件）， 即该合作社星期三生产竹制品和陶瓷件， 故答案为：； （2）解：（件）， 答：该厂本周生产竹制品和陶瓷件； （3）解：（元）， 超过的部分奖励总额为：（元）， 扣款总额为：（元）， ∴（元）， 答：合作社成员这一周的工资总额是元． 【变式3】某直播平台计划每天销售一种农副产品200千克．上周的实际销售记录如表（超过200的差额记为正数．不足200的差额记为负数．单位：千克）· 星期 一 二 三 四 五 六 日 产量 (1)销售最多的一天比销售最少的一天多销售多少千克？ (2)上周实际销售总量是多少千克？ (3)若平台每千克售价10元．但每千克还需支付其他费用2元．则该平台上周销售该产品一共赚了多少元？ 【答案】(1)多销售23千克 (2)1422千克 (3)赚了11376元 【分析】本题考查正数与负数以及有理数的混合运算，理解正数与负数的意义是正确解答的前提. （1）根据表格中 “销售量超过或不足计划量的情况” 进行计算即可； （2）直接求出上周这 7 天销售量的和即可； （3）根据销售量计算总销售额与总其他费用的差即可. 【详解】（1）解： 千克． 销售最多的一天比销售最少的一天多销售23千克； （2）千克． 上周实际销售总量是1422千克； （3）元． 该平台上周销售该产品赚了11376元． 题型04 倒数 【典例4】2025的相反数的倒数是（　　） A．2025 B． C．-2025 D． 【答案】B 【分析】本题考查相反数和倒数的概念，掌握相反数的和倒数的定义成为解题的关键． 先确定2025的相反数，再求其倒数即可． 【详解】解：2025的相反数是． 的倒数为． ∴2025的相反数的倒数是，对应选项B． 故选B． 【变式1】下列各数，互为倒数的是（    ） A．与1 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查了倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数． 分别计算各选项中两数的乘积，判断是否等于1即可． 【详解】解：A：，不互为倒数； B：，，互为倒数； C：，不互为倒数； D：，不互为倒数； 故选：B． 【变式2】的倒数是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加减，倒数的定义．先计算，再利用“乘积为的两个数互为倒数”求解即可． 【详解】解：∵，， ∴的倒数是． 故选：C． 【变式3】若5的倒数是x，则5x的值是（    ） A． B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了倒数的定义，根据若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数，求解即可． 【详解】解：∵5的倒数是x， ∴， 故选：B． 题型05 有理数的除法运算 【典例5】计算： 【答案】 【分析】此题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 首先将除法转化成乘法，然后利用乘法分配律求解即可． 【详解】 ． 【变式1】计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算，乘法分配律，熟练掌握运算法则，是解题的关键．先变除法为乘法，然后利用乘法分配律进行计算即可． 【详解】解： ． 【变式1】数学老师布置了一道题“计算”．姝姝仔细思考了一会儿，用了一种巧妙的解法算出了这道题的答案． 姝姝的解法：原式的倒数为，所以． (1)请你判断姝姝的解法是否正确； (2)请你用姝姝的解法计算． 【答案】(1)正确 (2) 【分析】此题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）正确，利用倒数的定义判断即可； （2）求出原式的倒数，即可确定出原式的值． 【详解】（1）解：正确． 理由：一个数的倒数的倒数是其本身． （2）解：原式的倒数为 ， ． 【变式2】简便运算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的四则混合运算，解答的关键是熟练掌握运算法则和运算顺序，会利用乘法分配律进行简便运算．先将除法化为乘法，再利用乘法分配律进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 【变式3】对于有理数（都不为0）定义运算“”：．例如：．求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是新定义运算，有理数的四则混合运算，理解新定义运算的运算法则与运算顺序是解本题的关键；本题先计算括号内的，再进行下一步的计算，从而可得答案． 【详解】解： ． 题型06 有理数乘除混合运算 【典例6】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数乘除混合运算，掌握有理数乘除混合运算法则成为解题的关键． （1）先化乘为除，然后按有理数乘法运算法则计算即可； （2）先化乘为除，然后按有理数乘法运算法则计算即可； （3）先化乘为除，然后按有理数乘法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 【变式1】计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合运算．将带分数转化成假分数，再根据有理数的乘除法可以解答本题． 【详解】解： ． 【变式2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的乘除混合运算，熟练掌握有理数的乘除混合运算是解题的关键； （1）根据有理数的乘除运算法则可进行求解； （2）根据有理数的乘除运算法则可进行求解 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【变式3】计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，先把除法转化为乘法，然后根据有理数的乘法则计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 题型07 有理数四则混合运算 【典例7】脱式计算（能简便的用简便方法计算）． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)19 (6)73 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）先将除法转化为乘法，再算括号里的，最后计算乘法即可； （2）先将小数化为分数，再计算乘法即可； （3）先将除法化为乘法，再根据乘法计算，最后计算减法即可； （4）先将小数化为分数，再将除法化为乘法，根据乘法结合律计算即可； （5）先计算括号里的，再计算除法即可； （6）根据乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 【变式1】计算下面各题． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1)610 (2)26.1 (3) (4) (5)4 (6)３ 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，熟练运用运算法则是解答本题的关键． （1）原式先计算除法，再计算减法即可； （2）原式先计算括号内的减法，再计算乘法即可； （3）原式把除法转换为乘法，再约分可得结论； （4）原式先计算括号内的除法，再把括号展开，最后计算减法即可； （5）原式运用乘法分配律将括号展开，再运用加法结合律进行计算即可； （6）原式分别计算括号内的，再进行除法运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 【变式2】计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)5 (2)34 (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”． （1）根据有理数加减混合运算法则进行计算即可； （2）根据有理数四则混合运算法则进行计算即可； （3）根据有理数乘除混合运算法则进行计算即可； （4）根据乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式3】计算： (1)； (2) 【答案】(1)； (2)2． 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则． （1）根据加减混合运算顺序和运算法则计算即可； （2）先计算括号内的运算、除法转化为乘法，再计算乘法即可． 【详解】（1）原式 ； （2）解：原式． 【变式4】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数运算法则是解题的关键． （1）去括号，再根据有理数的加减运算法则计算即可； （2）根据有理数的乘法法则计算即可； （3）先把除法变为乘法，再根据有理数乘法法则计算即可； （4）运用乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 题型08 有理数四则混合运算的实际应用 【典例8】去年9月30日到某景区旅游的人数为1万人，同年“十一”期间（10月1日至10月7日）该景区每天旅游人数的变化情况如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化/万人 (1)“十一”期间游客人数最多的是哪一天？有多少万人？ (2)“十一”期间该景区平均每天接待多少万人？ (3)该景区门票原价为每人15元，在10月5日发现来景区人数减少，决定10月6日和10月7日两天门票打八折出售吸引游客，求“十一”期间景区的门票一共收入为多少万元? 【答案】(1)“十一”期间游客人数最多的是10月3日，有3.6万人； (2)2.9万人 (3)288.9万元 【分析】本题考查了正负数和有理数运算的应用，正确列式、准确计算是解题的关键； （1）分别求出每一天的人数，即可做出判断； （2）计算这7天的平均数即可得到结果； （3）门票收入=前5天的收入+后2天的收入列出式子求解即可． 【详解】（1）解：10月1日，游客人数为：万人； 10月2日，游客人数为：万人； 10月3日，游客人数为：万人； 10月4日，游客人数为：万人； 10月5日，游客人数为：万人； 10月6日，游客人数为：万人； 10月7日，游客人数为：万人； 所以“十一”期间游客人数最多的是10月3日，有3.6万人； （2）解：万人； 答：“十一”期间该景区平均每天接待2.9万人； （3）解：万元； 答：“十一”期间景区的门票一共收入288.9万元. 【变式1】“春节”是我国的四大传统节日之一，许多家庭在此时都有挂中国结的习俗．中国结寓意着吉祥、富贵和平安，是中国传统文化的重要组成部分．“春节”前夕，中国结销量大幅度增加，某商场为了满足市场需求，购进了一批中国结，该商场计划每天销售200条中国结，但实际每天的销售量与计划销量相比有所增减，若超过计划销量记为正，不足计划销量记为负．下表是该商场某一周中国结的销量情况．（单位：条） 星期 一 二 三 四 五 六 七 增减 (1)该商店本周一共销售了多少条中国结； (2)若该商场每天的销售量比原计划超出的部分每条可获利9元，不足的部分每条亏损2元，则该商场本周共盈利（或亏损）多少元？ 【答案】(1)该商店本周一共销售了1450条 (2)该商场本周共盈利667元 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用． （1）用7天的标准销量加上7天销量的出入数量即可； （2）用盈利的金额减去亏损的金额即可． 【详解】（1）解：由题意可知 （条） 答：该商店本周一共销售了1450条． （2）解：由题意可知 ＝667（元） 答：该商场本周共盈利667元． 【变式2】海峰上星期六（周日股市不交易）买进某公司股票1000股，每股30元，下表为本周内每日股票的涨跌情况： 星期 一 二 三 四 五 单股涨跌（元） (1)星期三收盘时，每股是多少元？ (2)本周内最高价是每股多少元？最低价是多少元？ (3)已知海峰买进股标时付了的手续费，卖出时需付成交额的的手续费和的交易税，如果海峰在星期六收盘前将全部股票卖出，他的收益为多少元？ 【答案】(1)38.5元 (2)最高价格39.5元，最低价格31元 (3)877.4元 【分析】此题考查正数和负数的实际意义，有理数的加减法的实际应用，有理数的混合运算，正确理解题意是解题的关键． （1）用原价加上表格中前三个数据，求和即可； （2）分别求出每天的价格即可得到答案； （3）分别求出卖出的价格与买入的价格，两者相减即可得到答案． 【详解】（1）解：（元） 答：星期三收盘时，每股是38.5元； （2）周一价格：（元） 周二价格：（元） 周三价格：（元） 周四价格：（元） 周五价格：（元）； 答：最高价格：39.5元，最低价格31元； （3）卖出价格为：（元） 买入价格为：（元） ∴收益（元） 答：收益877.5元． 【变式3】某工厂要加工一批相同型号的零件，计划每天加工件，但由于各种原因，实际每天的加工量与计划量相比会有所差异．下表是工厂在某周的加工情况（超过件记为正，不足件记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（件） (1)求工厂当周一共加工的零件总数； (2)若每件零件的加工成本为元，求该工厂当周的加工总成本； (3)为鼓励生产，工厂所在城市出台了如下奖惩制度：工厂每加工一件零件奖励元，若某天超过了计划加工量，则当天再给予元奖金，若某天没有达到计划加工量，则当天需缴纳元罚金，求该工厂当周的奖励总额． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算、正数和负数，解答本题的关键是明确题意，写出相应的算式． （1）先把表格中的数据相加，再加上，即可求解； （2）用（1）中求得的工厂当周一共加工的零件总数乘以每件零件的加工成本求解即可； （3）用工人该周一共加工的总数乘以10，再加上奖金，减去缴纳的罚金，即可求出该周的工资总额． 【详解】（1）解：根据题意得：（件）， 答：工厂当周一共加工件零件； （2）解：根据题意得：（元）， 答：该工厂当周的加工总成本为元； （3）解：根据题意得：元， 答：该工厂当周的奖励总额为元． 题型09 根据点在数轴的位置判断式子的正负 【典例9】实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，绝对值的意义，利用数轴表示有理数的大小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先由数轴得，，且，再逐项分析即可． 【详解】解：由数轴得，，且 ∴，， 故A，B，C均错误，不符合题意，D正确，符合题意， 故选：D． 【变式1】若实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，绝对值，熟练掌握有理数与数轴的对应关系是解题的关键．根据数轴得到的取值范围，逐个判断选项的正误即可． 【详解】解：由数轴得：，， A、，故A选项错误； B、，故B选项错误； C、，故C选项错误； D、，故D选项正确． 故选：D． 【变式2】有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列关系式：①，②，③，④，⑤．其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加减和有理数的大小比较．由数轴确定a，b的正负，a，b和绝对值间的关系，是解决本题的关键． 根据各点在数轴上的位置，运算法则以及绝对值的性质求解即可． 【详解】由数轴知，，故①正确； 由于，所以，故②不正确； 由于，取的符号，所以，故③不正确； 由于，所以，故④不正确； 因为，所以，又因为，所以，故⑤正确； 综上分析可知，正确的有2个， 故选：B． 【变式3】已知有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，且． (1)求与的值． (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数轴可得，再由得到，据此求解即可； （2）由数轴可知，据此化简绝对值并计算求解即可． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴； （2）解：由数轴可知， ∴， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的四则混合计算，有理数的除法和加法计算，化简绝对值等等，熟练掌握相关计算法则是解题的关键． 题型10 数轴上的翻折 【典例10】在白纸上画一数轴，折叠数轴，使数轴上数对应的点与数4对应的点重合． (1)求数轴上与数8对应的点重合的点对应的数； (2)若数轴上两点，（点在的左侧），折叠前，两点间的距离为50，折叠后，两点间的距离为5，求点表示的数． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查折叠的性质，数轴上两点间的距离，掌握两点间距离的计算方法是解题的关键． （1）设与数8对应的点重合的点对应的数为，根据题意得到，即可解题． （2）设折叠处为点C，根据折叠前A、B两点间的距离为，折叠后A，B两点间的距离为，得到，再分类讨论，①，②，根据上述两种情况分析，即可得到点A表示的数． 【详解】（1）解：设与数8对应的点重合的点对应的数为， 则， 解得：， ∴与数8对应的点重合的点对应的数为； （2）解：解：设折叠处为点C， 折叠前A、B两点间的距离为，折叠后A，B两点间的距离为， ①当时， 由题知， 由上面两式整理可得，解得， 点C表示的数为， ∵点A在B的左侧， ∴点A表示的数为， ②当时， 由题知， 由上面两式整理可得，解得， 点C表示的数为， ∵点A在B的左侧， 点A表示的数为， 综上所述，点A表示的数为或． 【变式1】已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面． (1)若2表示的点与表示的点重合，则表示的点与哪个数表示的点重合； (2)若表示的点与2表示的点重合，回答以下问题： ①1表示的点与哪个数表示的点重合； ②若数轴上、两点之间的距离为5（在的左侧），且、两点经折叠后重合，求、两点表示的数是多少？ 【答案】(1)3 (2)①，②、两点表示的数分别是、． 【分析】 本题考查了数轴，主要利用了数轴的对称性，读懂题目信息，分别求出对称中心是解题的关键． （1）先根据数轴判断出对称中心，然后解答即可； （2）先根据数轴判断出对称中心，①根据对称中心列式求解即可； ②求出的一半，再根据对称中心分别列式计算即可得解． 【详解】（1） 解：（1）表示的点与表示的点重合， 对称中心为0， 表示的点与数3表示的点重合； （2）表示的点与2表示的点重合， 对称中心为， ① ， 表示的点与数表示的点重合； ②，两点之间的距离为5， 的一半为， 在的左侧， 点表示， 点表示． 、两点表示的数分别是、． 【变式2】若在正方形的四个顶点处依次标上“我”“爱”“数”“学”四个字，且将正方形放置在数轴上，其中“我”“爱”对应的数分别为和，如图，现将正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上向右无滑动地翻滚．例如，第一次翻滚后“数”所对应的数为0，则连续翻滚后数轴上数2024对应的字是（   ） A．我 B．爱 C．数 D．学 【答案】C 【分析】本题考查了数轴及翻转的性质，有理数的除法运算，根据翻转变化规律确定每4次翻转为一次循环组是解题的关键． 根据规律可知，“我”字是数字除以4余2的，“爱”是除以4余3的，“数”是能被4整除的，“学”是除以4余1的，由此可以推出连续翻滚后数轴上数2024对应的字． 【详解】由题意得，“我”字是数字除以4余2的，“爱”是除以4余3的，“数”是能被4整除的，“学”是除以4余1的， ， 所以数字对应“数”， 故选：C． 一、单选题 1．的倒数是（    ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查倒数的概念．根据倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，据此求解即可． 【详解】解:的倒数是． 故选：D． 2．计算的结果等于（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的除法运算，利用除法的运算法则进行计算即可． 【详解】解：； 故选B． 3．实数a、b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是有理数的大小比较，绝对值的概念，有理数的积的符号的确定，掌握以上知识是解题的关键． 根据对应的点在数轴上的位置得到，然后逐一判断即可． 【详解】解：由题意得： ， ∴，故A选项错误； ∴，故B选项错误； ∴，故C选项正确； ∴，故D选项错误； 故选C． 4．如图，某住宅小区有一长方形地块，若要在长方形地块内修筑同样宽的三条道路，道路宽为，余下部分绿化，则绿化的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，根据长方形的面积公式列式计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：绿化的面积是， 故选：D． 5．已知实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列式子中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，有理数的乘法，加减法计算，绝对值，熟练掌握知识点是解题的关键． 先根据数轴得到，即可判断每个选项． 【详解】解：由数轴可得：， ∴，，，， 故选：D． 6．已知表示有理数a，b的点在数轴上的位置如图所示，则的值是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的除法计算，根据数轴可得，据此化简绝对值后计算求解即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴ ， ， 故选：C． 7．小海去电影院购买电影票时付款100元找回44元．根据如图表信息，可判断小海看的场次是（    ） 《哪吒之魔童闹海》70元/张 上午场：六折    中午场：五折 下午场：八折    夜场：不打折 A．上午场 B．中午场 C．下午场 D．夜场 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数乘法和减法的实际应用，先求出小海所看电影的实际票价，再分别求出四个场次的实际票价即可得到答案． 【详解】解：由题意得，小海所看电影的实际票价为元， 上午场的实际票价为元， 中午场的实际票价为元， 下午场的实际票价为元， 夜场的实际票价为元， ∴可判断小海看的场次是下午场， 故选：C． 二、填空题 8．若， 比较四个数的大小，并用“”连接 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的倒数、相反数和有理数的大小比较，正确得出，，是解题的关键； 根据可得，，，即可得解． 【详解】解：因为， 所以，，， 所以； 故答案为：． 9．将数轴对折，使表示与1的两个点重合，若此时表示的点与另一个表示数的点重合，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了数轴，先求出对称点，再求x即可． 【详解】解：∵将数轴对折，使表示与1的两个点重合， ∴对折点为， ∴此时表示的点与另一个表示数3的点重合， ∴， 故答案为：3． 10．在，，，4，5中取出三个数，把三个数相乘，所得到的最大乘积是 ； 【答案】30 【分析】此题考查有理数的乘法，有理数大小比较，解题关键在于掌握运算法则． 根据正数大于一切负数，同号得正，异号得负，找出乘积是正数绝对值最大的三个数相乘即可． 【详解】解：由题意可知，要使三个数的积最大，则应取绝对值较大的两个负数，一个正数， 所以最大乘积是． 故答案为：30． 11．计算： ； 【答案】 【分析】此题考查了有理数的乘法运算，根据有理数的乘法运算法则求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12．绝对值不小于2.4且小于5的所有整数的积是 ． 【答案】144 【分析】本题考查绝对值的意义，有理数的乘法运算，根据题意，求出满足题意的所有整数，再利用有理数的乘法法则进行计算即可，熟练掌握绝对值的意义，是解题的关键． 【详解】解：由题意，绝对值不小于2.4且小于5的所有整数有， ∴； 故答案为：144． 13．某班5名学生在一次跳绳测试中的成绩以150个为标准，超过的个数记为正数，不足的个数记为负数，记录如下：，则他们的平均成绩是 个． 【答案】152 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，正负数的意义等知识；由题意平均成绩为标准数与5个数的平均数的和． 【详解】解：平均成绩为：（个）； 答：他们的平均成绩是152个． 14．如图，将一把刻度尺放在数轴上，刻度尺上的数字2、4、9分别对应数轴上的x、0、10，则x的值应该是 ． 【答案】 【分析】本题考查数轴，有理数的运算，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 根据数轴的知识点进行解题即可． 【详解】解：由题可知， 数轴0到10之间的距离是， 则每格代表的距离为， 因为x在原点的左侧，代表负数， 则x代表的数是， 故答案为：． 15．我们学过、、、这四种运算，现在规定“”是一种新的运算，表示：，如：，那么 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查有理数的新定义运算，熟练掌握有理数的运算是解题的关键；由题意易得，然后再计算即可． 【详解】解：由题意得：， ∴． 故答案为：0． 三、解答题 16．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的四则运算，熟练掌握运用运算法则是解答本题的关键． （1）原式运用有理数加减法法则进行计算即可； （2）原式先将除法转换为乘法后，再利用乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用有理数的乘除法则计算即可； （2）利用乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 18．有8筐白菜， 以每筐25千克为标准， 超过的千克数记作正数， 不足的千克数 记作负数， 称后的记录如下： 回答下列问题： (1)这8筐白菜中，  最接近25千克的那筐白菜为__________千克； (2)以每筐25千克为标准， 这8筐白菜总计超过多少千克或不足多少千克？ (3)若白菜每千克售价2.6元， 则出售这8筐白菜可卖多少元？ 【答案】(1)24.5 (2)8筐白菜总计不足5.5千克 (3)505.7元 【分析】本考查了正负数的意义，绝对值的意义，有理数的混合运算，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定具有相反意义的量． （1）本题考查绝对值的意义，绝对值越小，离标准越接近，计算题干中数据的绝对值，进行比较即可解题． （2）本题考查正负数的意义和有理数的加减运算，根据题意列式求解即可． （3）本题根据销售额=售价×数量，列式求解即可． 【详解】（1）解：由题知，最小，最接近标准，最接近25千克的那筐白菜为（千克）， 故答案为：； （2）解： 这8筐白菜总计不足5.5千克； （3）解：元 出售这8筐白菜可卖505.7元． 17．已知有理数，我们规定是的“福倒数”，如：3的福倒数是，的福倒数是．如果，是的福倒数，是的福倒数，是的福倒数，⋯，依此类推，解答下列问题： (1)计算：________，_______，________； (2)求的值． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了与有理数运算相关的规律题型，找到规律是解题的关键． （1）根据福倒数的定义求出，，； （2）根据（1）的结论，可发现每3个数一个循环，且3个数的和为，依照规律即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得，， ， ， ； （2）解：∵，，，，…， 根据以上数据发现：3个数一个循环， 3个数的和为：， ∵， ∴第2025个数是， ∴. 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.2 有理数的乘法和除法 教学目标 1.能熟练掌握有理数乘法法则，包括两数相乘（同号得正、异号得负，并把绝对值相乘）和多个有理数相乘（积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正；几个数相乘，有一个因数为 0，积就为 0）的法则，能准确进行有理数的乘法运算。 2.理解有理数除法法则，掌握除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数，以及两数相除（同号得正、异号得负，并把绝对值相除；0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0）的运算方法，能正确进行有理数的除法运算。 3.学会进行有理数的乘除混合运算，能合理运用运算律简化运算过程，提高运算效率和准确性。 教学重难点 1.重点 （1）有理数乘法法则的理解和应用，尤其是多个有理数相乘时积的符号确定方法，这是正确进行乘法运算的关键。 （2）有理数除法法则的掌握，包括除法与乘法的转化以及商的符号确定，能熟练将除法运算转化为乘法运算。 （3）有理数乘除混合运算的顺序和技巧，能按照从左到右的顺序进行运算，并合理运用运算律简化计算。 2.难点 （1）多个有理数相乘时，积的符号确定以及对 “有一个因数为 0，积就为 0” 这一规则的灵活运用，学生容易忽略 0 因数对积的影响。 （2）有理数除法中，当除数是负数时，符号的处理容易出错，特别是在将除法转化为乘法时，对倒数概念的理解和运用可能存在困难。 （3）乘除混合运算中，运算顺序的把握和运算律的恰当运用，学生可能会因急于简化运算而混淆运算顺序，导致结果错误。 知识点01 有理数的乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 （2）任何数同0相乘，都得0。 （3）多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即先确定符号，再把绝对值相乘，绝对值的积就是积的绝对值。 （4）多个数相乘，若其中有因数0，则积等于0；反之，若积为0，则至少有一个因数是0。 【即学即练】 1．计算： (1)； (2) 2．计算： (1)； (2)； (3)． 知识点02 有理数的乘法运算定律 （1）乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等。即a×b＝ba （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚。 （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c。 【即学即练】 1．计算： 2．计算:． 知识点03 倒数 （1）定义： 乘积为1的两个数互为倒数。 （2）性质：负数的倒数还是负数 ，正数的倒数是正数 。 注意：① 0 没有倒数；②倒数等于它本身的数为 ±1. 【即学即练】 1．的倒数是（   ） A． B．2 C．1 D． 知识点04 有理数除法法则 （1）除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数。 （2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0。 【即学即练】 1．计算： (1)； (2)． 题型01 有理数的乘法运算 【典例1】计算： (1)； (2)． 【变式1】计算： (1)； (2)． 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型02 有理数乘法运算律 【典例2】计算：能用简算的用简算 (1)； (2)． 【变式1】计算：． 【变式2】计算． 【变式3】计算下列各题，能简算的要简算： (1)； (2)； (3)； (4)用简便方法计算：． 题型03 有理数乘法的实际应用 【典例3】兰州出租车师傅小郭一天上午驾驶一辆出租车以西关什字为出发地在东西大街上运行，规定向东为正，向西为负，出租车的行驶里程（单位：）如下： (1)将最后一名乘客送到目的地，相对于西关什字出租车的位置在哪里？ (2)这天上午出租车总共行驶了多少？ (3)已知出租车每行驶耗油，每升汽油的售价为8.3元．如果不计其他成本，出租车师傅小郭每千米收费2.5元，那么这半天他盈利了还是亏损了？盈利（或亏损）了多少元？ 【变式1】2024年11月7日，恰逢立冬，又遇我县第一届运动会，更是我县41岁“生日”．为保证运动会顺利进行，全县人民高度重视并积极参与．某出租车驾驶员无偿为各能量补给站运送物资，他从物资配送站出发，在东西向的站前大道上连续接送6批物资，行驶路程记录如下（规定向东为正，向西为负，单位：）： 第1批 第2批 第3批 第4批 第5批 第6批 (1)接送完第6批物资后，该驾驶员在物资配送站什么方向，距离物资配送站多少千米？ (2)若该出租车每千米耗油升，那么在这个过程中共耗油多少升？ 【变式2】在佛山的一个以传统手工艺和自然美景著称的小镇上，有一个专门生产竹制品和陶瓷的工艺合作社．这个合作社计划每天生产200件．但由于工艺的复杂性和市场需求的波动，实际每天的生产量与计划量有所差异．下表是某周每天的生产情况（超产记为正，减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减产量 (1)由表可知该合作社星期三生产竹制品和陶瓷____________件； (2)由表可知该厂本周生产竹制品和陶瓷多少件？ (3)合作社实行每日计件工资制，每生产一件产品可得60元，若超额完成任务，则超过部分每件奖励15元；少生产一件扣20元，那么合作社成员这一周的工资总额是多少元？ 【变式3】某直播平台计划每天销售一种农副产品200千克．上周的实际销售记录如表（超过200的差额记为正数．不足200的差额记为负数．单位：千克）· 星期 一 二 三 四 五 六 日 产量 (1)销售最多的一天比销售最少的一天多销售多少千克？ (2)上周实际销售总量是多少千克？ (3)若平台每千克售价10元．但每千克还需支付其他费用2元．则该平台上周销售该产品一共赚了多少元？ 题型04 倒数 【典例4】2025的相反数的倒数是（　　） A．2025 B． C．-2025 D． 【变式1】下列各数，互为倒数的是（    ） A．与1 B．与 C．与 D．与 【变式2】的倒数是（   ） A．3 B． C． D． 【变式3】若5的倒数是x，则5x的值是（    ） A． B．1 C．0 D． 题型05 有理数的除法运算 【典例5】计算： 【变式1】计算：． 【变式1】数学老师布置了一道题“计算”．姝姝仔细思考了一会儿，用了一种巧妙的解法算出了这道题的答案． 姝姝的解法：原式的倒数为，所以． (1)请你判断姝姝的解法是否正确； (2)请你用姝姝的解法计算． 【变式2】简便运算：． 【变式3】对于有理数（都不为0）定义运算“”：．例如：．求的值． 题型06 有理数乘除混合运算 【典例6】计算： (1)； (2)； (3)． 【变式1】计算： 【变式2】计算： (1)； (2)． 【变式3】计算：． 题型07 有理数四则混合运算 【典例7】脱式计算（能简便的用简便方法计算）． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【变式1】计算下面各题． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【变式2】计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3】计算： (1)； (2) 【变式4】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型08 有理数四则混合运算的实际应用 【典例8】去年9月30日到某景区旅游的人数为1万人，同年“十一”期间（10月1日至10月7日）该景区每天旅游人数的变化情况如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化/万人 (1)“十一”期间游客人数最多的是哪一天？有多少万人？ (2)“十一”期间该景区平均每天接待多少万人？ (3)该景区门票原价为每人15元，在10月5日发现来景区人数减少，决定10月6日和10月7日两天门票打八折出售吸引游客，求“十一”期间景区的门票一共收入为多少万元? 【变式1】“春节”是我国的四大传统节日之一，许多家庭在此时都有挂中国结的习俗．中国结寓意着吉祥、富贵和平安，是中国传统文化的重要组成部分．“春节”前夕，中国结销量大幅度增加，某商场为了满足市场需求，购进了一批中国结，该商场计划每天销售200条中国结，但实际每天的销售量与计划销量相比有所增减，若超过计划销量记为正，不足计划销量记为负．下表是该商场某一周中国结的销量情况．（单位：条） 星期 一 二 三 四 五 六 七 增减 (1)该商店本周一共销售了多少条中国结； (2)若该商场每天的销售量比原计划超出的部分每条可获利9元，不足的部分每条亏损2元，则该商场本周共盈利（或亏损）多少元？ 【变式2】海峰上星期六（周日股市不交易）买进某公司股票1000股，每股30元，下表为本周内每日股票的涨跌情况： 星期 一 二 三 四 五 单股涨跌（元） (1)星期三收盘时，每股是多少元？ (2)本周内最高价是每股多少元？最低价是多少元？ (3)已知海峰买进股标时付了的手续费，卖出时需付成交额的的手续费和的交易税，如果海峰在星期六收盘前将全部股票卖出，他的收益为多少元？ 【变式3】某工厂要加工一批相同型号的零件，计划每天加工件，但由于各种原因，实际每天的加工量与计划量相比会有所差异．下表是工厂在某周的加工情况（超过件记为正，不足件记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（件） (1)求工厂当周一共加工的零件总数； (2)若每件零件的加工成本为元，求该工厂当周的加工总成本； (3)为鼓励生产，工厂所在城市出台了如下奖惩制度：工厂每加工一件零件奖励元，若某天超过了计划加工量，则当天再给予元奖金，若某天没有达到计划加工量，则当天需缴纳元罚金，求该工厂当周的奖励总额． 题型09 根据点在数轴的位置判断式子的正负 【典例9】实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】若实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列关系式：①，②，③，④，⑤．其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】已知有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，且． (1)求与的值． (2)化简：． 题型10 数轴上的翻折 【典例10】在白纸上画一数轴，折叠数轴，使数轴上数对应的点与数4对应的点重合． (1)求数轴上与数8对应的点重合的点对应的数； (2)若数轴上两点，（点在的左侧），折叠前，两点间的距离为50，折叠后，两点间的距离为5，求点表示的数． 【变式1】已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面． (1)若2表示的点与表示的点重合，则表示的点与哪个数表示的点重合； (2)若表示的点与2表示的点重合，回答以下问题： ①1表示的点与哪个数表示的点重合； ②若数轴上、两点之间的距离为5（在的左侧），且、两点经折叠后重合，求、两点表示的数是多少？ 【变式2】若在正方形的四个顶点处依次标上“我”“爱”“数”“学”四个字，且将正方形放置在数轴上，其中“我”“爱”对应的数分别为和，如图，现将正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上向右无滑动地翻滚．例如，第一次翻滚后“数”所对应的数为0，则连续翻滚后数轴上数2024对应的字是（   ） A． 我 B．爱 C．数 D．学 一、单选题 1．的倒数是（    ） A．6 B． C． D． 2．计算的结果等于（   ） A． B．3 C． D． 3．实数a、b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，某住宅小区有一长方形地块，若要在长方形地块内修筑同样宽的三条道路，道路宽为，余下部分绿化，则绿化的面积是（　　） A． B． C． D． 5．已知实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列式子中正确的是（   ） A． B． C． D． 6．已知表示有理数a，b的点在数轴上的位置如图所示，则的值是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 7．小海去电影院购买电影票时付款100元找回44元．根据如图表信息，可判断小海看的场次是（    ） 《哪吒之魔童闹海》70元/张 上午场：六折    中午场：五折 下午场：八折    夜场：不打折 A．上午场 B．中午场 C．下午场 D．夜场 二、填空题 8．若， 比较四个数的大小，并用“”连接 ． 9．将数轴对折，使表示与1的两个点重合，若此时表示的点与另一个表示数的点重合，则 ． 10．在，，，4，5中取出三个数，把三个数相乘，所得到的最大乘积是 ； 11．计算： ； 12．绝对值不小于2.4且小于5的所有整数的积是 ． 13．某班5名学生在一次跳绳测试中的成绩以150个为标准，超过的个数记为正数，不足的个数记为负数，记录如下：，则他们的平均成绩是 个． 14．如图，将一把刻度尺放在数轴上，刻度尺上的数字2、4、9分别对应数轴上的x、0、10，则x的值应该是 ． 15．我们学过、、、这四种运算，现在规定“”是一种新的运算，表示：，如：，那么 ． 三、解答题 16．计算： (1) (2) 17．计算： (1)； (2) 18．有8筐白菜， 以每筐25千克为标准， 超过的千克数记作正数， 不足的千克数 记作负数， 称后的记录如下： 回答下列问题： (1)这8筐白菜中，  最接近25千克的那筐白菜为__________千克； (2)以每筐25千克为标准， 这8筐白菜总计超过多少千克或不足多少千克？ (3)若白菜每千克售价2.6元， 则出售这8筐白菜可卖多少元？ 17．已知有理数，我们规定是的“福倒数”，如：3的福倒数是，的福倒数是．如果，是的福倒数，是的福倒数，是的福倒数，⋯，依此类推，解答下列问题： (1)计算：________，_______，________； (2)求的值． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$