专题2.3 有理数的乘方（高效培优讲义）数学浙教版2024七年级上册

专题2.3 有理数的乘方 教学目标 1. 理解有理数乘方的概念，明确乘方是求几个相同因数的积的运算能准确指出乘方表达式中的底数、指数和幂。 2. 掌握有理数乘方的运算法则，能根据底数的符号和指数的奇偶性确定幂的符号(正数的任何次幂都是正数;负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数;0的任何正整数次幂都是0)，并能正确进行乘方运算。 3. 能进行包含乘方的有理数混合运算，严格遵循“先乘方，再乘除最后加减;有括号先算括号里面“的运算顺序 4.理解科学计数法的概念，知道科学计数法是把一个大于 10 的数表示成”的形式(其中1≤ < 10，n 是正整数) 5.理解近似数的概念，能区分准确数和近似数，知道近似数是与实际接近的数。​ 6.掌握精确度的含义，能说出一个近似数精确到哪一位（如精确到个位、十分位、百分位等，或精确到 0.1、0.01 等）。​ 7.能根据指定的精确度，用四舍五入法求一个数的近似数。 教学重难点 1.重点 （1）有理数乘方的概念，包括底数、指数、幂的含义及乘方与乘法的关系。 （2）有理数乘方运算法则的掌握和应用，尤其是幂的符号确定 （3）科学计数法的概念及表示形式中a和n的取值要求。 （4）大数与科学计数法之间的相互转化。 （5）精确度的理解和判断，以及用四舍五入法求近似数 2.难点 （1）准确识别底数和指数，特别是底数为负数或分数时 （2）乘方在混合运算中的优先级把握，避免运算顺序混乱 （3）正确确定科学计数法中n的值，尤其是对于整数位数较多的数。 （4）准确判断一个近似数精确到哪一位，特别是对于带单位或用科学计数法表示的近似数 知识点01 有理数的乘方法则运算 （1）正数的任何次幂都是正数 （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 （3）0的任何正整数次幂都是0 【即学即练】 1．应等于（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的乘方．根据有理数的乘方运算法则计算即可求解． 【详解】解：， 故选：A． 2．下列各数：其中负数有（          ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了负数的识别，有理数的乘方计算，乘法计算，化简多重符号和计算绝对值，根据乘方，乘法计算法则，化简多重符号和绝对值的求解方法求出对应数的结果，再根据负数是小于0的数即可得到答案． 【详解】解：， ∴负数有，共1个， 故选：A． 知识点02 有理数的混合运算 （1）先乘方，再乘除，最后加减。 （2）同级运算，从左到右的顺序进行。 （3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。 【即学即练】 1．计算： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据有理数加减运算法则直接求解即可得到答案； （2）根据有理数乘除混合运算法则，即可得到答案； （3）先计算乘方，再计算乘除，然后计算有理数加减运算法则求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)12 (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则，是解题的关键： （1）利用乘法分配律进行计算即可； （2）根据有理数的混合运算法则和运算顺序，进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 知识点03 科学计数法 1.科学记数法概念：把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a 是整数数位只有一位的数，n为正整数）。这种记数的方法叫做科学记数法。﹙1≤|a|＜10﹚ 注：一个n为数用科学记数法表示为a×10n－1 【即学即练】 1．“壁立千仞，无欲则刚．”“仞”是古时的一种长度计量单位，每仞长度大约，则数据“千仞”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中， n为整数；确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：每仞为，千仞即， 数据“千仞”用科学记数法表示为． 故选：B． 2．据统计，2025年“五一”假期全国国内出游人数约为亿（314000000）人次，同比增长，数据“314000000”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了科学记数法．科学记数法的形式为，其中，为整数．需将原数转换为符合该形式的表达式，据此解答即可． 【详解】解：数据“314000000” 用科学记数法表示为． 故选：C 知识点04 近似数 1.近似数的精确度：两种形式 （1）精确到某位或精确到小数点后某位。 （2）保留几个有效数字 注：对于较大的数取近似数时，结果一般用科学记数法来表示 例如：256000（精确到万位）的结果是2.6×105 【即学即练】 1．把圆周率精确到，其近似值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是求一个数的近似数，掌握四舍五入法是解决此题的关键．把万分位上的数字5四舍五入即可． 【详解】解：． 故答案为：． 2．用四舍五入法对取近似数，精确到百分位是 　           　． 【答案】 【分析】本题考查了近似数，注意按精确度得到的近似数末尾的0不能任意舍去．由精确度知，根据千分位的数“四舍五入”即可． 【详解】解：（精确到百分位）． 故答案为：． 题型01有理数幂的概念理解 【典例1】的意义是（　　） A．4个相乘 B．4个相加 C．乘以4 D．的相反数 【答案】D 【分析】本题考查了乘法与乘方的定义，以及相反数．掌握相关区别是解题关键．根据乘方和乘法以及相反数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、4个相乘对应，不符合题意； B、4个相加对应，不符合题意； C、乘以4对应，不符合题意； D、的相反数对应，符合题意； 故选：D． 【变式1】可表示（   ） A．五个2相加 B．两个5相加 C．五个2相乘 D．两个5相乘 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数的乘方，牢记有理数乘方的定义是解题的关键．根据有理数乘方的定义（个相同的因数相乘，记作），即可求得答案． 【详解】解：表示个2相乘． 故选：C． 【变式2】化简＝（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了乘方的意义，根据乘方的意义分别表示出分子分母即可． 【详解】解：由乘方的意义可得分子表示个相乘，表示为；由乘法的意义可得分母表示个相加，表示为， ∴． 故选：B． 【变式3】对于与，下列叙述中正确的是（   ） A．底数相同，运算结果相同 B．底数相同，运算结果不同 C．底数不同，运算结果相同 D．底数不同，运算结果不同 【答案】C 【分析】本题主要考查了幂的认识和运算，准确分析判断是解题的关键． 根据幂的性质判断即可． 【详解】∵，， ∴与，底数不同，运算结果相同． 故选：C． 题型02有理数的乘方运算 【典例2】计算的结果正确的是（   ） A． B． C．9 D．27 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘方，需明确负号是否参与指数运算． 根据运算顺序，指数运算优先于乘法．题目中的表达式应理解为先计算，再取负数． 【详解】解：， 故选：A． 【变式1】下列各对数中，数值相等的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题主要考查有理数的乘方运算，分别计算各选项中两个表达式的值，判断是否相等． 【详解】∵，，∴，故A错误． ∵，∴，故B正确． ∵，，∴，故C错误． ∵，，∴，故D错误． 故选B． 【变式2】若，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的乘方，乘法与加法，解题关键是掌握两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． 根据题意可得，，再根据可得、同号，进而可确定、的值，然后可得的值． 【详解】， ，， ， ，， ， 故答案为：． 【变式3】比较大小： （填或）． 【答案】< 【分析】本题考查了有理数的大小比较， 1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小． 先计算各数，再利用有理数大小的比较方法比较即可． 【详解】解：，， ∵， ， ． 故答案为：． 题型03乘方的应用 【典例3】你喜欢吃兰州牛肉面吗？拉面的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如下图所示．请问要想拉出128根面条，需要捏合的次数是（   ） A．5次 B．6次 C．7次 D．8次 【答案】C 【分析】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键． 根据题意归纳总结得到第n次捏合，可拉出根面条，结合可得到结果． 【详解】第一次捏合，可拉出2根面条；第二次捏合，可拉出根面条；第三次捏合，可拉出根面条； 以此类推，第n次捏合，可拉出根面条， 又， 第7次捏合，可拉出128根面条． 故选：C． 【变式1】阅读理解：我们知道一般地，加减运算是互逆运算，乘除运算也是互逆运算；其实乘方运算也有逆运算；如我们规定式子可以变形为，也可以变形为．在式子中，3叫做以2为底8的对数，记为．一般地，若（且，），则n叫做以a为底b的对数，记为，即．根据上面的规定，请计算 ． 【答案】8 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆运算，乘方的逆运算，根据新定义运算，结合乘方运算，求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故答案为：8． 【变式2】阅读材料： 求值：． 解：设① 将等式两边同时乘2，得② 得，， 即 请你仿照此法计算： (1)； (2)； (3)．（其中为正整数） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数乘方的应用，掌握乘方的运算法则是解题关键． （1）仿照例题，设，将等式两边同时乘2得到，作差求解即可； （2）仿照例题，设，将等式两边同时乘3，得，作差求解即可； （3）仿照例题，设，将等式两边同时乘3，得，作差求解即可； 【详解】（1）解：设①， 将等式两边同时乘2，得②， 得，， 即； （2）解：设①， 将等式两边同时乘3，得②， 得，，则， 即； （3）解：设①， 将等式两边同时乘3，得②， 得，，则， 即． 【变式3】生活在数字时代的我们，很多场合使用二维码来表示不同的信息，类似的，可通过正方形网格中，对每个小正方格涂黑色或不涂色所得的图形来表示不同的信息．在代码编制上巧妙利用构成计算机内部逻辑基础的“0”，“1”，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表1，白色代表0）．如图1是某校一次考试中三位同学的准考证号对应的二维码的简易编码．如图2是王芳同学准考证号的二维码简易编码，其中第一行代表二进制的数字11000，转化成10进制为：．同理，第二行至第五行代表二进制的数字分别为1100，111，11100，1101，转化成10进制为：12，07，28，13，将五行编码有序组合在一起就是王芳的准考证号2412072813，其中第一行编码“24”表示区县，第二行编码“12”表示学校，第三行编码“07”表示班级，第四行编码“28”表示考场号，第五行编码“13”表示座位号． （1）如图3是本次考试张亮同学准考证号的二维码简易编码，其中第四行代表二进制的数字是10101，转化成10进制后可得他的考场号是______． （2）本次考试中，赵军的准考证号是2917021311，如图4是赵军为自己绘制的二维码简易编码，但少涂黑了3个小正方形，请你在图4中帮他补充完整，在补充的方格中画． 【答案】（1）  （2）见解析 【分析】本题主要考查了二进制与十进制数字转化、有理数运算等知识，熟练掌握二进制与十进制转化规则是解题关键. （1）根据二维码编码规则即可确定第四行代表二进制的数字，再将其转化为进制数字即可； （2）根据题意可知赵军的准考证号是，由二进制和十进制数字转化规则确定各行编码二进制数字，即可获得答案． 【详解】解：（1）根据题意得，第四行代表二进制的数字是， 二进制的数字，转化成进制为： ， ∴转化成进制后可得他的考场号是， 故答案为：； （2）准考证号， 分别将， ， ， ， 转化为二进制， ， 转化为二进制为： ， ， 转化为二进制为： ， ， 转化为二进制为：， ， 转化为二进制为： ， ， 转化为二进制为： ， 如图所示： 题型04有理数的混合运算 【典例4】计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先写成省略括号的形式，再按顺序进行计算即可； （2）将除法转化为乘法，再利用乘法分配律计算即可； （3）先算乘方、去绝对值，再算乘法和除法，最后算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式1】计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握运算法则和运算顺序是解题的关键． （1）先用乘法分配律展开，再进行乘法运算，最后进行加减运算； （2）先算乘方，再算乘法，最后进行加法运算； 【详解】（1） ， ， ． （2） ， ， ． 【变式2】计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，准确计算． （1）根据有理数加减运算法则进行计算即可； （2）根据有理数乘除混合运算法则进行计算即可； （3）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可； （4）先将原式变形为，再利用乘法分配律进行计算即可； （5）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可； （6）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数混合运算，解题的关键是掌握有理数相关运算的法则． （1）先运算乘方，然后运算乘除，最后运算加减解题； （2）先利用乘法分配律运算，然后加减解题； （3）先运算绝对值、括号和乘方，然后运算乘除，最后加减解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型05程序流程图与有理数计算 【典例5】如图所示的运算程序中，如果开始输入x的值为2，可以发现第一次输出的结果为，第二次输出的结果为，…，则第2025次输出的结果是（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了规律型—数字的变化类，找出变化规律是解题的关键．计算出第次，第次的输出结果，发现输出结果以、、为一个循环组依次循环，然后计算即可． 【详解】解：∵第次输出的结果为， 第次输出的结果为， ∴第次输出的结果为， 第次输出的结果为， ∴输出结果以、、为一个循环组依次循环， ∵， ∴第2025次输出的结果为1， 故选：A． 【变式1】【周期问题】如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第1次输出的结果为24、第2次输出的结果为12、……第2012次输出的结果为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了代数式求值，有理数的混合运算，发现规律是解题的关键．根据输入的x的值分别计算，直到找出规律为止，然后计算即可． 【详解】解：第1次输入的，则输出， 第2次输入的，则输出， 第3次输入的，则输出， 第4次输入的，则输出， 第5次输入的，则输出， 第6次输入的，则输出， 第7次输入的，则输出， ， 可以得出：从第3次开始，6，3，6，3，，循环出现， ∴， ∴第2012次输出的结果为3， 故选：A． 【变式2】如图是一个数值转换机，若输入a的值为3，则输出的结果应是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查代数式求值及有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据题意列式计算即可． 【详解】解：若输入a的值为3， 则， 故选：B． 【变式3】按如图的程序计算，若开始输入的值为2，最后输出的结果为 ． 【答案】11 【分析】本题考查了程序框图与有理数的混合运算；按照题意依次计算乘方与减法，计算结果与10比较，若小于继续计算，否则输出结果即可．第一次计算的结果为，以作为输入值，计算后结果为，以作为输入值，计算后结果为，则可得输出结果． 【详解】解：，，， 则输出结果为11； 故答案为：11． 题型06算“24”点 【典例6】红红有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，解决下列问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字相减的差最大，最大值是______． (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字相除的商最小，最小值是______． (3)从中取出0以外的4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除、乘方混合运算，使结果为24，写出一种符合要求的运算等式．（注：每个数字只能用一次）． 【答案】(1)5 (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算的法则是解题的关键． （1）依据题干要求选取3，，列式运算即可； （2）依据题干要求选取1，，列式运算即可； （3）按要求列式运算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴从中取出2张卡片，数字相减的差最大，最大值是． （2）解：从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字相除的商最小，最小值是 ． （3）解：由题意得：； ∴取出的4个数进行的运算式为． 【变式1】24点是棋牌类益智游戏，要求四个数字运算结果等于二十四，它以自己独具的数学魅力和丰富的内涵正逐渐被越来越多的人们所接受．小凡抽到如下四张扑克牌：凑成24的算式是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了“24点”运算．根据图片列出算式即可． 【详解】解：由图可知小凡抽到：2，3，4，5， 则凑成24的算式是，或，或， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式2】“24点”游戏规则如下：将四个数用“加、减、乘、除”进行混合运算，（每个数必须且只用一次，可以添加括号），使其运算结果等于24．如3，8，8，9进行“24点”游戏的算式是或．现有，3，4，10，则列出一个求“24点”的算式是 （写出一种即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数的加减乘除法，熟练掌握运算法则是解题关键．根据、利用有理数的加法与乘法列出算式即可得． 【详解】解：可列出算式是， 故答案为：． 【变式3】请选择使用“加、减、乘、除和括号”（可重复），将四个数组成算式（每个数必须用一次且只能用一次），使运算结果为24，你列出的算式是 ．（写出一种即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数的加减乘除运算，熟练掌握运算法则是解题关键．根据有理数的加减乘除运算法则求解即可得． 【详解】解：因为， 所以列出的算式是， 故答案为：（答案不唯一）． 题型07科学记数法 【典例7】3月24日-27日，云南省第二届民族团结进步大舞台系列活动——“有一种叫云南的生活”文化和旅游志愿服务走进“国门”惠民演出活动先后在西盟县、孟连县、澜沧县、江城县开展，截至演出圆满落幕时，线上观众累计约有600000人，600000用科学记数法可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法，正确知识点是解题的关键． 将600000用科学记数法表示为的形式，需满足，且为整数． 【详解】解：． 故选C． 【变式1】第六代战斗机是一种人工智能控制的吸气式超高音速战斗机，此类战机速度预计可以突破5马赫，飞行一小时的距离约为22100km，将数据22100用科学记数法表示时，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：将数据22100用科学记数法可表示为． 故选：C． 【变式2】已知光的速度大约为千米/秒，经过m秒后所走过的路程用科学记数法表示为千米，则m的值可能是（   ） A．8 B．20 C．60 D．450 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键．分别将四个选项代入，然后进行判断即可． 【详解】解：A．，因此m的值不可能是8，故A不符合题意； B．，因此m的值不可能是20，故B不符合题意； C．，因此m的值可能是60，故C符合题意； D．，因此m的值不可能是450，故D不符合题意． 故选：C． 【变式3】2025年3月30日，扬州鉴真半程马拉松暨大运河马拉松系列赛在市民中心广场鸣枪开跑，约30000名跑者用脚步丈量千年古城，用拼搏诠释无限热爱．将数据30000用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得． 【详解】解：， 故答案为：． 题型08求一个数的近似数 【典例8】用四舍五入法将精确到后得到的近似数为（   ） A．2.15 B．2.14 C．2.144 D．2.145 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一个数的近似数．精确到即对千分位上的数字进行四舍五入，据此可得答案． 【详解】解：用四舍五入法将精确到后得到的近似数是． 故选：B． 【变式1】用四舍五入法给取近似值，精确到的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查近似数，精确到时，需观察小数点后第3位上的数，四舍五入即可． 【详解】解：． 故答案为． 【变式2】一个三位小数用“四舍五入”法取近似值是，这个三位小数最大是 ，最小是 ． 【答案】 【分析】根据四舍五入的基本原则和意义解答即可． 本题考查了四舍五入的应用，正确理解意义是解题的关键． 【详解】解：用“四舍五入”法取近似值是，这个三位小数最大是，最小是． 故答案为：，． 【变式3】科技人员在进行实验时需要将数据精确到十分位，他得到近似数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的近似数，精确度十分位，那么只需要对百分位上的数字进行四舍五入即可得到答案． 【详解】解：（精确到十分位）， 故答案为：． 题型09求一个数的精确度 【典例9】由四舍五入法得到的近似数精确到（    ）． A．个位 B．千分位 C．千位 D．百位 【答案】C 【分析】本题主要考查了科学记数法、近似数等知识点，正确还原原数成为解题的关键 先将近似数还原为普通数形式，然后确定其精确的数位即可． 【详解】解：将转换为普通数为． 科学记数法中的有效数字为，最后一位有效数字是，对应原数中的千位（即中的第四个数字位于千位），因此近似数精确到千位． 故选C． 【变式1】由四舍五入得到的近似数34.94，是精确到（    ） A．十分位 B．百位 C．百分位 D．十位 【答案】C 【分析】本题考查近似数，确定数字4所在的位数即可得出结果． 【详解】解：34.94精确到百分位； 故选C． 【变式2】近似数亿精确到（    ） A．百分位 B．亿位 C．百万位 D．千万位 【答案】C 【分析】本题考查了近似数的知识，先将亿还原为原数，再看近似数中最后一位数字所在的数位，即可确定其精确到的数位． 【详解】解：亿即302000000， 则302000000中，数字2在百万位， 故近似数亿精确到百万位， 故选：C． 【变式3】2024年浙江省中考考生约54.9万人，该近似数“54.9万”精确到了（   ） A．十分位 B．十位 C．千位 D．万位 【答案】C 【分析】本题考查近似数的精确度，解题的关键是理解近似数精确到哪一位的判断方法． 先将54.9万还原为原数，再看近似数中最后一位数字所在的数位，即可确定其精确到的位数． 【详解】54.9万， 在近似数54.9万中，数字9在千位上，所以近似数“54.9万”精确到千位， 故选：C． 题型10近似数推断取值范围 【典例10】近似数1.50是由数四舍五入得到的，那么数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了近似数近似数与精确数的接近程度，可根据近似数的精确度求解． 【详解】解：近似数1.50是由数四舍五入得到的，那么数的取值范围， 故选：C． 【变式1】近似数所表示的准确值的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是求近似数的取值范围，属于基础题型．近似数等于的数有无数个，确定它们的范围应该从两个极端值进行分析．根据近似数精确到百分位，是由千分位上的数字四舍五入得到的，结合四舍五入的方法，求出a的取值范围即可． 【详解】解：近似数精确到百分位，是由千分位上的数字四舍五入得到的． 若千分位上的数字大于或等于5，百分位上的数字应是“9”，十分位上的数字应是“6”，此时a的最小值为； 若千分位上的数字小于5，百分位上的数字应是“0”，十分位上的数字应是“7”，即此时， 准确值a的范围是：． 故选：C． 【变式2】近似数3.14所表示的准确数a的取值范围是（　　） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了近似数，解题的关键是用四舍五入的方法来解答． 根据五入的方法得近似数3.14，说明a千分位是5或比5大，百分位是3，所以；根据四舍的方法得近似数3.14，说明千分位小于5，百分位是4，所以，由此得到答案． 【详解】解：近似数3.14所表示的准确数a的取值范围是：， 故选：D． 【变式3】某人的体重约为，这个数是个近似数，那么这个人的体重的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了近似数，取近似数的方法：精确到哪一位，只需对下一位数字进行四舍五入． 【详解】解：根据取近似数的方法，知：当百分位大于或等于5时，十分位应是3； 当百分位小于5时，十分位应是4． ∴的准确值的范围为：， 故选B． 一、单选题 1．可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查指数的基本概念，明确指数表示底数相乘的次数是解决本题的关键． 根据指数表示的是底数相乘的次数即可求解． 【详解】根据指数定义，表示2个3相乘，即，故选项A正确， 选项B：，结果不符； 选项C：，结果不符； 选项D：，结果不符． 故选：A． 2．当时，，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查绝对值，乘方，倒数，负数的大小关系，当时，为负数，需分别分析、、的值的大小关系即可． 【详解】解：∵， ∴是负数， 为的绝对值，恒为正，即， 为负数，且当接近时，，当接近时，趋向负无穷，故， 为的平方，恒为正，且， ∵为负数，和均为正数， ∴故且， 当时，平方后数值更小，即（例如时，）， ∴， 故选：D． 3．下列与米最接近的是（    ） A．人的皮肤的厚度 B．楼房的高度 C．凳子的高度 D．月球的半径 【答案】C 【分析】本题考查了近似数的应用，根据生活常识对选项进行估测，即可求解；理解近似数，能进行合理估测是解题的关键． 【详解】解：选项中凳子的高度米最接近， 故选：C． 4．用四舍五入法取近似数，则0.25962精确到千分位是（    ） A．0.25 B．0.259 C．0.260 D．0.2596 【答案】C 【分析】本题考查了近似数与精确度，熟练掌握精确度的定义是解答本题的关键．近似数的最后一个数字实际在什么位上，即精确到了什么位，要求精确到某一位，应当对下一位的数字进行四舍五入． 【详解】解：（精确到千分位）． 故选C． 5．计算机将信息转换成二进制数处理的，二进制即“逢2进1”，如表示二进制数，将它转换成十进制形式是，那么将二进制转换成十进制形式是（ ） A．23 B．22 C．18 D．31 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据题中二进制数化为十进制数的方法计算即可． 【详解】解：根据题意得：， 故选：A． 6.为求的值，可令，则，然后，可以得到，则．仿照计算的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是有理数的混合运算的规律探究并应用，通过错位相减法求解，题目给出仿照例子，需构造类似方法计算． 【详解】解：令，两边同乘5，得： 将两式相减： 右边展开后，中间项全部抵消，仅剩，左边化简为，即： ， 解得：； 故选：D 三、填空题 7．计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 首先计算有理数的乘方，然后计算加法即可． 【详解】 ． 故答案为：． 8．用“”定义一种新运算：对于有理数a和b，规定，如，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数四则混合运算．根据题意将式子展开后进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 9．定义如下运算：，，根据定义计算的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解新运算是解题的关键；根据新定义的运算分别求出，再把两个值加减即可． 【详解】解：，， 则； 故答案为：． 四、解答题 10．计算 (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． （1）利用乘法分配律展开，再计算乘法，最后计算加减法即可； （2）先计算乘方和括号内减法，再计算乘法和绝对值，最后计算加减法即可； （3）先计算乘方和绝对值，再计算乘法，最后计算加减法即可； （4）先将除法化为乘法，并将带分数化为假分数，再计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 11．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量，若在某一时间段她进行了两次记录，分别记录了她两次采集到的野果数量． (1)在图1中，根据题意她第一次记录采集到的野果数量为___________个： (2)在图2中，求她第二次采集到的野果数量． 【答案】(1)91 (2)471个 【分析】本题是以古代“结绳计数”为背景，按满六进一计数，运用了类比的方法，根据图中的数学列式计算；本题题型新颖，一方面让学生了解了古代的数学知识，另一方面也考查了学生的思维能力． （1）根据所列公式计算即可； （2）类比可以表示满六进一的数为：千位上的数百位上的数十位上的数个位上的数，即． 【详解】（1）解：， 故答案为：91； （2）解：依题意，得第二次采集到的野果数量应为个． 12．对于任意有理数a，b，我们定义一种新运算“”，规定：，如：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)49； (2)109． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，理解新定义是解题的关键． （1）直接根据新定义的法则，结合有理数的相应的运算法则进行运算即可． （2）先根据新定义计算，再计算即可求解． 【详解】（1）解： ． 所以的值为49． （2）解： ； ． 13．【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”，一般地，把写作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】（1）直接写出计算结果： ； 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （2）试一试：仿照上面的算式，把除方运算写成幂的形式： ，（） ． （3）算一算：． 【答案】（1）；（2）；；（3） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是根据除方运算的计算法则计算． （1）根据即可解答； （2）根据即可解答；根据定义即可解答． （3）按照除方的计算法则计算即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：． （2）； ． （3） ． 所以的值为109． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.3 有理数的乘方 教学目标 1. 理解有理数乘方的概念，明确乘方是求几个相同因数的积的运算能准确指出乘方表达式中的底数、指数和幂。 2. 掌握有理数乘方的运算法则，能根据底数的符号和指数的奇偶性确定幂的符号(正数的任何次幂都是正数;负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数;0的任何正整数次幂都是0)，并能正确进行乘方运算。 3. 能进行包含乘方的有理数混合运算，严格遵循“先乘方，再乘除最后加减;有括号先算括号里面“的运算顺序 4.理解科学计数法的概念，知道科学计数法是把一个大于 10 的数表示成”的形式(其中1≤ < 10，n 是正整数) 5.理解近似数的概念，能区分准确数和近似数，知道近似数是与实际接近的数。​ 6.掌握精确度的含义，能说出一个近似数精确到哪一位（如精确到个位、十分位、百分位等，或精确到 0.1、0.01 等）。​ 7.能根据指定的精确度，用四舍五入法求一个数的近似数。 教学重难点 1.重点 （1）有理数乘方的概念，包括底数、指数、幂的含义及乘方与乘法的关系。 （2）有理数乘方运算法则的掌握和应用，尤其是幂的符号确定 （3）科学计数法的概念及表示形式中a和n的取值要求。 （4）大数与科学计数法之间的相互转化。 （5）精确度的理解和判断，以及用四舍五入法求近似数 2.难点 （1）准确识别底数和指数，特别是底数为负数或分数时 （2）乘方在混合运算中的优先级把握，避免运算顺序混乱 （3）正确确定科学计数法中n的值，尤其是对于整数位数较多的数。 （4）准确判断一个近似数精确到哪一位，特别是对于带单位或用科学计数法表示的近似数 知识点01 有理数的乘方法则运算 （1）正数的任何次幂都是正数 （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 （3）0的任何正整数次幂都是0 【即学即练】 1．应等于（    ） A．0 B．1 C． D．2 2．下列各数：其中负数有（          ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 知识点02 有理数的混合运算 （1）先乘方，再乘除，最后加减。 （2）同级运算，从左到右的顺序进行。 （3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。 【即学即练】 1．计算： (1)； (2)； (3)； 2．计算： (1)； (2)． 知识点03 科学计数法 1.科学记数法概念：把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a 是整数数位只有一位的数，n为正整数）。这种记数的方法叫做科学记数法。﹙1≤|a|＜10﹚ 注：一个n为数用科学记数法表示为a×10n－1 【即学即练】 1．“壁立千仞，无欲则刚．”“仞”是古时的一种长度计量单位，每仞长度大约，则数据“千仞”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 2．据统计，2025年“五一”假期全国国内出游人数约为亿（314000000）人次，同比增长，数据“314000000”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 知识点04 近似数 1.近似数的精确度：两种形式 （1）精确到某位或精确到小数点后某位。 （2）保留几个有效数字 注：对于较大的数取近似数时，结果一般用科学记数法来表示 例如：256000（精确到万位）的结果是2.6×105 【即学即练】 1．把圆周率精确到，其近似值为 ． 2．用四舍五入法对取近似数，精确到百分位是 　           　． 题型01有理数幂的概念理解 【典例1】的意义是（　　） A．4个相乘 B．4个相加 C．乘以4 D．的相反数 【变式1】可表示（   ） A．五个2相加 B．两个5相加 C．五个2相乘 D．两个5相乘 【变式2】化简＝（　　） A． B． C． D． 【变式3】对于与，下列叙述中正确的是（   ） A．底数相同，运算结果相同 B．底数相同，运算结果不同 C．底数不同，运算结果相同 D．底数不同，运算结果不同 题型02有理数的乘方运算 【典例2】计算的结果正确的是（   ） A． B． C．9 D．27 【变式1】下列各对数中，数值相等的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式2】若，且，则的值为 ． 【变式3】比较大小： （填或）． 题型03乘方的应用 【典例3】你喜欢吃兰州牛肉面吗？拉面的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如下图所示．请问要想拉出128根面条，需要捏合的次数是（   ） A．5次 B．6次 C．7次 D．8次 【变式1】阅读理解：我们知道一般地，加减运算是互逆运算，乘除运算也是互逆运算；其实乘方运算也有逆运算；如我们规定式子可以变形为，也可以变形为．在式子中，3叫做以2为底8的对数，记为．一般地，若（且，），则n叫做以a为底b的对数，记为，即．根据上面的规定，请计算 ． 【变式2】阅读材料： 求值：． 解：设① 将等式两边同时乘2，得② 得，， 即 请你仿照此法计算： (1)； (2)； (3)．（其中为正整数） 【变式3】生活在数字时代的我们，很多场合使用二维码来表示不同的信息，类似的，可通过正方形网格中，对每个小正方格涂黑色或不涂色所得的图形来表示不同的信息．在代码编制上巧妙利用构成计算机内部逻辑基础的“0”，“1”，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表1，白色代表0）．如图1是某校一次考试中三位同学的准考证号对应的二维码的简易编码．如图2是王芳同学准考证号的二维码简易编码，其中第一行代表二进制的数字11000，转化成10进制为：．同理，第二行至第五行代表二进制的数字分别为1100，111，11100，1101，转化成10进制为：12，07，28，13，将五行编码有序组合在一起就是王芳的准考证号2412072813，其中第一行编码“24”表示区县，第二行编码“12”表示学校，第三行编码“07”表示班级，第四行编码“28”表示考场号，第五行编码“13”表示座位号． （1）如图3是本次考试张亮同学准考证号的二维码简易编码，其中第四行代表二进制的数字是10101，转化成10进制后可得他的考场号是______． （2）本次考试中，赵军的准考证号是2917021311，如图4是赵军为自己绘制的二维码简易编码，但少涂黑了3个小正方形，请你在图4中帮他补充完整，在补充的方格中画． 题型04有理数的混合运算 【典例4】计算： (1) (2) (3) 【变式1】计算 (1) (2) 【变式2】计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)． 题型05程序流程图与有理数计算 【典例5】如图所示的运算程序中，如果开始输入x的值为2，可以发现第一次输出的结果为，第二次输出的结果为，…，则第2025次输出的结果是（   ） A．1 B．2 C． D． 【变式1】【周期问题】如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第1次输出的结果为24、第2次输出的结果为12、……第2012次输出的结果为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】如图是一个数值转换机，若输入a的值为3，则输出的结果应是（　　） A． B． C． D． 【变式3】按如图的程序计算，若开始输入的值为2，最后输出的结果为 ． 题型06算“24”点 【典例6】红红有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，解决下列问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字相减的差最大，最大值是______． (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字相除的商最小，最小值是______． (3)从中取出0以外的4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除、乘方混合运算，使结果为24，写出一种符合要求的运算等式．（注：每个数字只能用一次）． 【变式1】24点是棋牌类益智游戏，要求四个数字运算结果等于二十四，它以自己独具的数学魅力和丰富的内涵正逐渐被越来越多的人们所接受．小凡抽到如下四张扑克牌：凑成24的算式是 ． 【变式2】“24点”游戏规则如下：将四个数用“加、减、乘、除”进行混合运算，（每个数必须且只用一次，可以添加括号），使其运算结果等于24．如3，8，8，9进行“24点”游戏的算式是或．现有，3，4，10，则列出一个求“24点”的算式是 （写出一种即可）． 【变式3】请选择使用“加、减、乘、除和括号”（可重复），将四个数组成算式（每个数必须用一次且只能用一次），使运算结果为24，你列出的算式是 ．（写出一种即可） 题型07科学记数法 【典例7】3月24日-27日，云南省第二届民族团结进步大舞台系列活动——“有一种叫云南的生活”文化和旅游志愿服务走进“国门”惠民演出活动先后在西盟县、孟连县、澜沧县、江城县开展，截至演出圆满落幕时，线上观众累计约有600000人，600000用科学记数法可以表示为（    ） A． B． C． D． 【变式1】第六代战斗机是一种人工智能控制的吸气式超高音速战斗机，此类战机速度预计可以突破5马赫，飞行一小时的距离约为22100km，将数据22100用科学记数法表示时，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知光的速度大约为千米/秒，经过m秒后所走过的路程用科学记数法表示为千米，则m的值可能是（   ） A．8 B．20 C．60 D．450 【变式3】2025年3月30日，扬州鉴真半程马拉松暨大运河马拉松系列赛在市民中心广场鸣枪开跑，约30000名跑者用脚步丈量千年古城，用拼搏诠释无限热爱．将数据30000用科学记数法表示为 ． 题型08求一个数的近似数 【典例8】用四舍五入法将精确到后得到的近似数为（   ） A．2.15 B．2.14 C．2.144 D．2.145 【变式1】用四舍五入法给取近似值，精确到的结果是 ． 【变式2】一个三位小数用“四舍五入”法取近似值是，这个三位小数最大是 ，最小是 ． 【变式3】科技人员在进行实验时需要将数据精确到十分位，他得到近似数为 ． 题型09求一个数的精确度 【典例9】由四舍五入法得到的近似数精确到（    ）． A．个位 B．千分位 C．千位 D．百位 【变式1】由四舍五入得到的近似数34.94，是精确到（    ） A．十分位 B．百位 C．百分位 D．十位 【变式2】近似数亿精确到（    ） A．百分位 B．亿位 C．百万位 D．千万位 【变式3】2024年浙江省中考考生约54.9万人，该近似数“54.9万”精确到了（   ） A．十分位 B．十位 C．千位 D．万位 题型10近似数推断取值范围 【典例10】近似数1.50是由数四舍五入得到的，那么数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】近似数所表示的准确值的范围是（　　） A． B． C． D． 【变式2】近似数3.14所表示的准确数a的取值范围是（　　） A．B．C． D． 【变式3】某人的体重约为，这个数是个近似数，那么这个人的体重的取值范围是（　　） A． B． C． D． 一、单选题 1．可表示为（    ） A． B． C． D． 2．当时，，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 3．下列与米最接近的是（    ） A．人的皮肤的厚度B．楼房的高度 C．凳子的高度 D．月球的半径 4．用四舍五入法取近似数，则0.25962精确到千分位是（    ） A．0.25 B．0.259 C．0.260 D．0.2596 5．计算机将信息转换成二进制数处理的，二进制即“逢2进1”，如表示二进制数，将它转换成十进制形式是，那么将二进制转换成十进制形式是（ ） A．23 B．22 C．18 D．31 6.为求的值，可令，则，然后，可以得到，则．仿照计算的值是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 7．计算： 8．用“”定义一种新运算：对于有理数a和b，规定，如，则的值是 ． 9．定义如下运算：，，根据定义计算的值为 ． 四、解答题 10．计算 (1)； (2)． (3)； (4)． 11．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采集到的野果数量，若在某一时间段她进行了两次记录，分别记录了她两次采集到的野果数量． (1)在图1中，根据题意她第一次记录采集到的野果数量为___________个： (2)在图2中，求她第二次采集到的野果数量． 12．对于任意有理数a，b，我们定义一种新运算“”，规定：，如：． (1)求的值； (2)求的值． 13．【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”，一般地，把写作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】（1）直接写出计算结果： ； 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （2）试一试：仿照上面的算式，把除方运算写成幂的形式： ，（） ． （3）算一算：． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$