专题21.3 特殊的一元二次方程的解法—因式分解法（高效培优讲义）数学沪教版五四制2024八年级上册

专题21.3 特殊的一元二次方程的解法—因式分解法 教学目标 1. 理解并掌握用因式分解法解方程的依据； 2. 会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程； 3. 掌握因式分解法的应用。 教学重难点 1.重点 （1）理解两个因式的积为0； （2）利用因式分解法解一元二次方程； （3）因式分解法解一元二次方程的应用。 2.难点 （1）含较大数字的因式的因式分解； （2）分类讨论； 知识点1 因式分解法解一元二次方程 1.两个因式的积为0 我们知道，如果两个因式的积等于0,那么这两个因式中至少有一个等于0; 反之，如果两个因式中至少有一个等于0,那么这两个因式的积也等于0. 数学语言：当A·B=0时，必有A=0或B=0; 反之，当A=0或B=0时，必有A·B=0. 2.解方程 x2-3x=0 方程左边提取公因式x，得x(x-3)=0 由此得x=0或x-3=0 解得x=0或x=3 所以原方程的根是x1=0，x2=3 3.因式分解法：可以发现，上述解法中，通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积等于0的形式，从而把解一元二次方程的问题转化为解一元一次方程的问题. 像上面这样解一元二次方程的方法叫作因式分解法. 因式分解法适用于解某些特殊的一元二次方程. 要点：把方程化成一边为0，另一边是两个一次因式的乘积的形式，然后使每一个一次因式等于0，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原一元二次方程的解. 4.常用的因式分解法 　　　提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 要点： （1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次 因式的积； （2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式. *5.写出满足条件的一元二次方程 若一元二次方程的根是x1=m，x2=n，则该一元二次方程为a（x-m）（x-n）=0（a≠0）； 我们可以理解它为“两根式”一元二次方程。 【即学即练】 1．用适当的方法求解下列方程： (1)； (2)． 2．解方程： (1)； (2)． 3．解方程： (1)； (2)． 4．用因式分解法解下列方程： (1)． (2)． 5．用因式分解法解下列方程： (1)． (2)． (3)． 6．一元二次方程的根是（   ） A． B． C． D． 7．方程的两个根为（   ） A． B． C． D． 8．方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为 ． 9．如果一元二次方程的两个根恰好是一个等腰三角形的两条边长，那么这个等腰三角形的周长为 ． 题型01 因式分解法解一元二次方程 【典例1】．用适当的方法解方程： (1)． (2)． 【变式1】．用因式分解法解下列方程： (1)． (2)． (3)． 【变式2】．用因式分解法解方程： (1) (2) 【变式3】．用因式分解法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型02 辨析因式分解法解一元二次方程 【典例1】．一元二次方程的两个根为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式1】．方程的解是（     ） A． B． 或 C． D． 或 【变式2】．方程的根为（    ） A． B． C．， D．无实数根 【变式3】．方程的解是（   ） A． B． C． D． 题型03 因式分解法解一元二次方程易错题 【典例1】．方程(x＋1)(x－3)＝5的解是    (    ) A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝4， x2＝－2 C．x1＝－1， x2 ＝3 D．x1＝－4， x2＝2 【变式1】．用因式分解法解方程，下列方法中正确的是（    ） A．(2x－2)(3x－4)=0 ， ∴2x－2=0或3x－4=0 B．(x+3)(x－1)=1 ，∴x+3=0或x－1=1 C．(x－2)(x－3)=2×3 ， ∴x－2=2或x－3=3 D．x(x+2)=0 ，∴x+2=0 题型04 分析解答过程 【典例1】．解方程：，小滨的解答如下： 解：原方程可化简为：⋯第一步 方程两边同时除以，得：⋯第二步 你认为小滨的解答是否正确？如不正确，第 步出错，请你写出正确的解答过程。 【变式1】．小李与小王两位同学解方程的过程如下框：你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“”；若错误请在框内打“”，并写出正确的解答过程． 小李： 解：两边同除以，得 ， 则． 小王： 解：移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得，． 13．下面是小明用因式分解法解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的问题． 解一元二次方程： 解：原方程可以化为：第一步 两边同时除以得：第二步 系数化为1，得：第三步 任务： (1)小明的解法是不正确的，他从第_________步开始出现了错误； (2)请你继续用因式分解法完成这个方程的正确解题过程． 题型05 因式分解法解一元二次方程与二次根式 【典例1】．若，则的值可以是（    ） A．0 B． C． D． 【变式1】．已知m，n是一元二次方程的两根，则的值是（    ） A．2 B． C． D． 题型06 因式分解法解一元二次方程的代数应用 【典例1】．如果代数式与的值相等，那么x= ． 【变式1】．若是关于的一元二次方程，则的值是 ． 【变式2】．若分式的值为0，则的值为 ． 【变式3】．在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（　　） A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0 【变式4】．关于的一元二次方程有一个根为0，则的值为（   ） A．或 B． C．或 D． 【变式5】．已知关于x的一元二次方程（a，b，c为常数，且），此方程的解为，．则关于x的一元二次方程的解为 ． 题型07 因式分解法解一元二次方程的几何应用 【典例1】．一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是（   ） A． B． C． D．或 【变式1】．已知等腰三角形的底边长为8，腰长是一元二次方程的一根，则这个等腰三角形的周长是（    ） A．16 B．19 C．22 D．16或22 【变式2】．等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（   ） A．19或14 B．14或16 C．19 D．14 题型08 换元法 【典例1】．解方程：． 解：设，则原方程可化为，得． 当时，即，解得：； 当时，即，解得：． 故原方程的解为． 上述解法称为“整体换元法”．请用“整体换元法”解方程：． 【变式1】．换元法解方程：． 【变式2】．阅读下列材料： 解方程， 解：设，则原方程化为， 解得，． 当时，，解得：； 当时，，解得． 原方程的解为：，，，． 以上解一元二次方程的方法叫做换元法，通过换元法达到了降次或者简化方程的目的，这体现了数学中的转化思想． (1)请用上述方法解下列方程：； (2)已知实数，满足，求的值． 题型09 新定义、材料题 【典例1】．定义，若，则的值为 ． 【变式1】．阅读材料：若是的一个因式，我们不难得到，易知．现在我们用另一种方法来求的值：观察上面的等式，可以发现当时，，也就是说是方程的一个根，由此可以得到，解得． 问题：若是的一个因式，请运用上述方法求出的值． 题型10 分类讨论 【典例1】．解方程的解是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．关于 的一元二次方程 的两实根都是整数，则整数 p的取值可以有（ ） A．2个 B．4个 C．6个 D．无数个 一、单选题 1．方程的解是（    ） A． B． C． D． 2．用配方法解一元二次方程，则方程可变形为（   ） A． B． C． D． 3．用配方法解方程时，应该把方程两边同时（    ） A．减36 B．加36 C．减9 D．加9 4．若关于的方程是由配方后得到的，则a、b的值分别为（   ） A．4，2 B． C． D． 5．关于的方程，下列说法正确的是（   ） A．当时，有两个解 B．有两个解 C．当时，有两个解 D．当时，方程无实根 6．已知，则比较P，Q的大小关系为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．用配方法解方程，方程的解为 ． 8．王老师在批改作业时发现，一位同学在用配方法解一元二次方程时，配方后等号右边的数字不小心被墨水污染了如下：▊．若该方程的一个根为，则另一个根为 ． 9．若方程的两根为，则方程的两根为 ． 10．已知实数满足，则 ． 11．已知关于的一元二次方程的根为，那么关于的一元二次方程的解为 ． 12．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，，，记，则其面积．这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若，，则此三角形面积的最大值是 ． 三、解答题 13．用直接开平方法解下列方程： (1)． (2)． 14．用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 15．用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 16．下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． ． 解：二次项系数化为1，得，第一步         移项，得，第二步 配方，得，第三步 变形，得，第四步 开方，得，第五步 解得，，第六步 (1)上面小明同学的解法中运用“配方法”将一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想是______，其中“配方法”依据的一个数学公式是______； (2)上述解题过程，从第______步开始出现错误，请写出正确的解答过程． 17．用配方法证明：二次三项式的值一定小于0． 18．（1）已知，，求的值． （2）已知，求的值； （3）用配方法求代数式的最小值． 19．形如的代数式叫做完全平方式，有些代数式可以通过配方得到完全平方式，我们把这种组成完全平方式的变形过程叫做配方．配方在某些求代数式最值问题、解方程等都有广泛的应用． 例如：，可得：当时，代数式有最小值，最小值为2．请回答下列问题： (1)当取何值时，代数式有最小值，最小值为多少． (2)某中学准备在校园里靠墙围一个长方形花园篱笆，如图，围墙的长为，篱笆的长为，当为多少米时，围成的长方形花园面积最大，求出最大面积． 20．先阅读，再解答：由阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法可以解决一些数学问题．比如运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解． 例： 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题： (1)分解因式：； (2)求多项式的最小值； (3)已知是的三边长，且满足，求的周长． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题21.3 特殊的一元二次方程的解法—因式分解法 教学目标 1. 理解并掌握用因式分解法解方程的依据； 2. 会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程； 3. 掌握因式分解法的应用。 教学重难点 1.重点 （1）理解两个因式的积为0； （2）利用因式分解法解一元二次方程； （3）因式分解法解一元二次方程的应用。 2.难点 （1）含较大数字的因式的因式分解； （2）分类讨论； 知识点1 因式分解法解一元二次方程 1.两个因式的积为0 我们知道，如果两个因式的积等于0,那么这两个因式中至少有一个等于0; 反之，如果两个因式中至少有一个等于0,那么这两个因式的积也等于0. 数学语言：当A·B=0时，必有A=0或B=0; 反之，当A=0或B=0时，必有A·B=0. 2.解方程 x2-3x=0 方程左边提取公因式x，得x(x-3)=0 由此得x=0或x-3=0 解得x=0或x=3 所以原方程的根是x1=0，x2=3 3.因式分解法：可以发现，上述解法中，通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积等于0的形式，从而把解一元二次方程的问题转化为解一元一次方程的问题. 像上面这样解一元二次方程的方法叫作因式分解法. 因式分解法适用于解某些特殊的一元二次方程. 要点：把方程化成一边为0，另一边是两个一次因式的乘积的形式，然后使每一个一次因式等于0，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原一元二次方程的解. 4.常用的因式分解法 　　　提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 要点： （1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次 因式的积； （2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式. *5.写出满足条件的一元二次方程 若一元二次方程的根是x1=m，x2=n，则该一元二次方程为a（x-m）（x-n）=0（a≠0）； 我们可以理解它为“两根式”一元二次方程。 【即学即练】 1．用适当的方法求解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法； （1）把方程化为，再进一步求解即可； （2）把方程化为，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：， ∴， ∴或， 解得：，； （2）解：， ∴， ∴， ∴或， 解得：，； 2．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用因式分解法可得，再进一步解方程即可求解； （2）利用因式分解法可得，再进一步解方程即可求解． 【详解】（1）解：， ∴， ∴或， 解得：，； （2）解：， ∴， ∴， 解得：. 3．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元二次方程，掌握因式分解法是关键． （1）运用因式分解法求解即可； （2）将原式变形得整理得，运用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， 因式分解得，， ∴或， ∴； （2）解：， 等式两边同时除以2得，， 整理得，， 因式分解得，，即， ∴或， ∴． 4．用因式分解法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解法是解题的关键： （1）利用平方差公式法进行因式分解后，求解即可； （2）利用完全平方公式进行因式分解后，求解即可． 【详解】（1）解：原方程可化为． 因式分解，得， 即， 解得． （2）因式分解，得， 即， 解得． 5．用因式分解法解下列方程： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查解一元二次方程-因式分解法，解题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤． （1）先把等号右边变形为0，再将左边分解因式，即可解出未知数的值； （2）先把等号右边变形为0，再将左边分解因式，即可解出未知数的值． （3）先把等号右边变形为0，再将左边分解因式，即可解出未知数的值． 【详解】（1）解： 移项，得． 因式分解，得， 即， 解得． （2）解： 整理，得． 因式分解，得， 解得． （3）解： 整理，得． 因式分解，得， 解得． 6．一元二次方程的根是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，掌握求解的方法是解题的关键； 原方程变形后，利用因式分解法求解即可． 【详解】解：方程可变形为：， 即为， ∴或， ∴． 故选：C． 7．方程的两个根为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方程利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 此题考查了解一元二次方程−因式分解法，熟练掌握因式分解法是解本题的关键． 【详解】解： ∴或 解得： 故选：B． 8．方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为 ． 【答案】10或11 【分析】此题考查了解一元二次方程因式分解法，等腰三角形的定义，利用因式分解法求出方程的解得到的值，确定出底与腰，即可求出周长．熟练掌握因式分解法是解本题的关键． 【详解】解：， ， 解得：，， 若3为底，4为腰，三角形三边为3，4，4，周长为； 若3为腰，4为底，三角形三边为3，3，4，周长为． 则这个三角形的周长为10或11， 故答案为：10或11． 9．如果一元二次方程的两个根恰好是一个等腰三角形的两条边长，那么这个等腰三角形的周长为 ． 【答案】20 【分析】先解一元二次方程，根据根的情况可知有两种方式，用三角形三边关系排除一组后即可得出三角形周长．本题考查等腰三角形的定义，解一元二次方程，三角形三边关系．不要忽略了用三角形三边关系判断能否构成三角形． 【详解】解：∵， ∴ 则， 即， ∵4，4，8不能构成三角形， ∴这个等腰三角形的三边成为8，8，4， ∴ ∴周长为20． 故答案为：20． 题型01 因式分解法解一元二次方程 【典例1】．用适当的方法解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)，； (2)， 【分析】将左边利用十字相乘法因式分解，继而可得两个关于的一元一次方程，分别求解即可得出答案； 先移项，再将左边利用提公因式法因式分解，继而可得两个关于的一元一次方程，分别求解即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， 则或， 解得，， 所以，原方程的解为，； （2）解： ， 则， 或， 解得，． 所以，原方程的解为，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握和运用一元二次方程的解法是解决本题的关键． 【变式1】．用因式分解法解下列方程： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查解一元二次方程-因式分解法，解题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤． （1）先把等号右边变形为0，再将左边分解因式，即可解出未知数的值； （2）先把等号右边变形为0，再将左边分解因式，即可解出未知数的值． （3）先把等号右边变形为0，再将左边分解因式，即可解出未知数的值． 【详解】（1）解： 移项，得． 因式分解，得， 即， 解得． （2）解： 整理，得． 因式分解，得， 解得． （3）解： 整理，得． 因式分解，得， 解得． 【变式2】．用因式分解法解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （1）先移项，然后提公因式即可解答本题； （2）方程变形后，利用因式分解法求出解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 或， 解得，； （2）解：， ， ， ， 或， 解得，． 【变式3】．用因式分解法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)， 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解题关键． （1）利用因式分解法进行求解即可； （2）利用因式分解法进行求解即可； （3）利用因式分解法进行求解即可； （4）利用因式分解法进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2） 原方程可化为， ， 或， ； （3）， ， ； （4） 原方程可化为， 或， ，． 题型02 辨析因式分解法解一元二次方程 【典例1】．一元二次方程的两个根为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握因式分解法解一元二次方程． 运用因式分解可得，计算出答案． 【详解】解： ∴ ∴ 故选：D． 【变式1】．方程的解是（     ） A． B． 或 C． D． 或 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程．熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ∴， 解得，或， 故选：B． 【变式2】．方程的根为（    ） A． B． C．， D．无实数根 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，解题的关键是熟知因式分解法． 【详解】解：， ， ， 或， 解得：， 故选：C． 【变式3】．方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法解答即可求解，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，， 故选：． 题型03 因式分解法解一元二次方程易错题 【典例1】．方程(x＋1)(x－3)＝5的解是    (    ) A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝4， x2＝－2 C．x1＝－1， x2 ＝3 D．x1＝－4， x2＝2 【答案】B 【分析】先把一元二次方程展开合并，再根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴x-4=0或x+2=0， ∴． 故选B． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，掌握十字相乘因式分解，是解题的关键． 【变式1】．用因式分解法解方程，下列方法中正确的是（    ） A．(2x－2)(3x－4)=0 ， ∴2x－2=0或3x－4=0 B．(x+3)(x－1)=1 ，∴x+3=0或x－1=1 C．(x－2)(x－3)=2×3 ， ∴x－2=2或x－3=3 D．x(x+2)=0 ，∴x+2=0 【答案】A 【分析】用因式分解法时，方程的右边为0，才可以达到化为两个一次方程的目的． 【详解】A：等式右边为0，分解正确，符合题意； B：等式右边≠0，不符合题意； C：等式右边≠0，不符合题意； D：x(x+2)=0 ，∴x+2=0或x=0； 故答案为：A 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，用因式分解法时，方程的右边必须为0，根据两个因式的积等于0，则这两个因式中至少有一个为0，才能将方程降次为两个一元一次方程． 题型04 分析解答过程 【典例1】．解方程：，小滨的解答如下： 解：原方程可化简为：⋯第一步 方程两边同时除以，得：⋯第二步 你认为小滨的解答是否正确？如不正确，第 步出错，请你写出正确的解答过程。 【答案】二 【分析】此题考查了解一元二次方程一因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 方程解答不正确，两边除以时，没有考虑为的情况，写出正确过程即可． 【详解】解：不正确． 正确的解答过程如下：， ⋯第一步， ⋯第二步 则或， 解得，， ∴第二步出错， 故答案为：二． 【变式1】．小李与小王两位同学解方程的过程如下框：你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“”；若错误请在框内打“”，并写出正确的解答过程． 小李： 解：两边同除以，得 ， 则． 小王： 解：移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得，． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法． 利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：两个都错：； ， ， ， ， ，． 【变式2】．下面是小明用因式分解法解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的问题． 解一元二次方程： 解：原方程可以化为：第一步 两边同时除以得：第二步 系数化为1，得：第三步 任务： (1)小明的解法是不正确的，他从第_________步开始出现了错误； (2)请你继续用因式分解法完成这个方程的正确解题过程． 【答案】(1)二 (2)或，过程见解析 【分析】本题考查了解一元二次方程——因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法． （1）第二步不符合等式的性质； （2）先移项得到，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程． 【详解】（1）解：他从第二步开始出现了错误， 故答案为：二； （2）解： 或， 解得：或． 题型05 因式分解法解一元二次方程与二次根式 【典例1】．若，则的值可以是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．先把原式变形为，解出方程，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 整理得：， 解得：， 由题意得：， ∴， ∴． 故选：D 【变式1】．已知m，n是一元二次方程的两根，则的值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，二次根式的化简，先解方程可得，，再由，从而可得答案． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故选：D． 题型06 因式分解法解一元二次方程的代数应用 【典例1】．如果代数式与的值相等，那么x= ． 【答案】2 【分析】由题可得，整理得到即解出即可． 【详解】解：根据题意得 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解此题的关键． 【变式1】．若是关于的一元二次方程，则的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解法，理解一元二次方程的定义和解法是解答关键． 根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数是，二次项系数不为，含有一个未知数的整式方程列出方程来求解． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ， 解得或． 故答案为：或． 【变式2】．若分式的值为0，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式值为0的条件；一元二次方程的解法，根据分式的值为0，则分母不为0，分子为0进行计算即可． 【详解】解：∵的值为0， ， 解得， ∴x的值为， 故答案为： 【变式3】．在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（　　） A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0 【答案】B 【分析】分别按照看错的情况构建出一元二次方程，再舍去错误信息，从而可得正确答案. 【详解】解： 小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1， 所以此时方程为： 即： 小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4， 所以此时方程为： 即： 从而正确的方程是： 故选： 【点睛】本题考查的是根据一元二次方程的根构建一元二次方程，掌握利用一元二次方程的根构建方程的方法是解题的关键. 【变式4】．关于的一元二次方程有一个根为0，则的值为（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解，把代入原方程，求出的值，再根据一元二次方程的定义得出，即可解答． 【详解】解：关于的一元二次方程有一个根为， ，且， 解得：， 故选：B． 【变式5】．已知关于x的一元二次方程（a，b，c为常数，且），此方程的解为，．则关于x的一元二次方程的解为 ． 【答案】或/或 【分析】将和分别代入，可求得，，之间的等量关系，代入一元二次方程即可消去参数，从而解一元二次方程即可． 【详解】解：一元二次方程的解为，， ，解得， 一元二次方程可化为， ， ， 解得，． 一元二次方程的解为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，解决本题的关键是利用一元二次方程的解求得，，之间的等量关系，从而代入求解． 题型07 因式分解法解一元二次方程的几何应用 【典例1】．一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，解题的关键是掌握三角形的三边关系，等腰三角形的性质，要注意分情况讨论求解．利用因式分解法求出的值，再根据等腰三角形的性质分情况讨论求解． 【详解】解：， ， 或， ，， 当是腰时，三角形的三边分别为、、，能组成三角形，周长为； 当是腰时，三角形的三边分别为、、，能组成三角形，周长为； 该等腰三角形的周长是或， 故选：D． 【变式1】．已知等腰三角形的底边长为8，腰长是一元二次方程的一根，则这个等腰三角形的周长是（    ） A．16 B．19 C．22 D．16或22 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，三边关系，等腰三角形的定义，先解出，再结合等腰三角形的底边长为8，腰长是一元二次方程的一根，且，则腰长是，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∵等腰三角形的底边长为8，腰长是一元二次方程的一根，且， ∴腰长是， ∴这个等腰三角形的周长是， 故选：C． 【变式2】．等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（   ） A．19或14 B．14或16 C．19 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得，，根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为，腰长为，进而即可求出三角形的周长，掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：由方程得，，， ∵，不能构成三角形， ∴等腰三角形的底边长为，腰长为， ∴这个三角形的周长为， 故选：C． 题型08 换元法 【典例1】．解方程：． 解：设，则原方程可化为，得． 当时，即，解得：； 当时，即，解得：． 故原方程的解为． 上述解法称为“整体换元法”．请用“整体换元法”解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的基本方法以及整体换元思想是解题的关键．根据“整体换元法” 设，则原方程可化为：，解新的一元二次方程，解出未知数后代入即可求解原方程的解． 【详解】解：设，则原方程可化为， ，解得． 当时，即，解得：； 当时，即，解得：． 故原方程的解为． 【变式1】．换元法解方程：． 【答案】，， 【分析】本题主要考查利用整体思想及换元法、因式分解法求一元二次方程的根，能够熟练运用式子相乘以及整体思想是解题关键设，则，解方程得到或，带回后再解一元二次方程求解未知数的值即可． 【详解】解：设．则． 解得或． 当时，，即． 解得． 当时，，即． 解得，． 综上所述，原方程的解为，，． 【变式2】．阅读下列材料： 解方程， 解：设，则原方程化为， 解得，． 当时，，解得：； 当时，，解得． 原方程的解为：，，，． 以上解一元二次方程的方法叫做换元法，通过换元法达到了降次或者简化方程的目的，这体现了数学中的转化思想． (1)请用上述方法解下列方程：； (2)已知实数，满足，求的值． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题主要考查了运用换元法解方程．解决本题的关键是读懂阅读材料中的解题思路，通过换元的方法降低方程的次数，从而达到简化方程的目的，使解方程更容易． （1）设，则原方程可化为，利用因式分解法求出未知数的值，从而把一元二次方程转化为两个一元一次主程，通过解一元一次方程求出原方程的解； （2）设，则原方程化为，通过解一元二次方程求出的值，即可得到的值，根据平方的非负性把不符合条件的解舍去． 【详解】（1）解： 设， 则原方程可化为， 分解因式可得：， 解得：，， 当时，可得：， 解得：， 当时，可得：， 解得：， 原方程的解为，； （2）解：， 整理得：， 设， 则原方程化为， 整理得：， 分解因式可得：， 解得：，， 当时，， 当时，(不符合题意，舍去)， ． 题型09 新定义、材料题 【典例1】．定义，若，则的值为 ． 【答案】0或4/4或0 【分析】本题考查了新定义，涉及解一元二次方程，正确理解新定义，运用分类讨论的思想是解题的关键． 当时，；当时，，再解方程即可，注意检验的值是否符合讨论的前提条件． 【详解】解：当时，， 经检验，符合题意； 当时，， 解得：或（舍）， 综上，的值为0或4， 故答案为：0或4． 【变式1】．阅读材料：若是的一个因式，我们不难得到，易知．现在我们用另一种方法来求的值：观察上面的等式，可以发现当时，，也就是说是方程的一个根，由此可以得到，解得． 问题：若是的一个因式，请运用上述方法求出的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，分解因式的应用，主要考查学生的计算能力和理解能力． 求出，代入方程，即可求出． 【详解】解：是的一个因式， ∴是 的一个根， 把代入方程得： ， ． 题型10 分类讨论 【典例1】．解方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分类讨论：当x≥0时，原方程化为：x2-x-2=0；当x＜0时，原方程化为：x2+x-2=0，然后分别利用因式分解法解两一元二次方程即可． 【详解】解：当x≥0时，原方程化为x2-x-2=0， 因式分解得(x-2)(x+1)=0， 解得：x1=2或x2=-1（不合题意舍去）； 当x≤0时，原方程化为x2+x-2=0， 因式分解得(x+2)(x-1)=0， 解得：x1=-2或x2=1（不合题意舍去）； 所以，原方程的根是x1=2，x2=-2． 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，绝对值的代数意义，以及解一元二次方程-分解因式法，分类讨论是解本题的关键． 【变式1】．关于 的一元二次方程 的两实根都是整数，则整数 p的取值可以有（ ） A．2个 B．4个 C．6个 D．无数个 【答案】D 【分析】求得和为，积为p的所有整数解，也就求得了p的个数． 【详解】解：由；；；；；，…， 可得或或或或；或；或，…， 则p的个数无数个， 故选：D． 【点睛】本题考查求有整数解的一元二次方程系数的问题；用到的知识点为：有整数解的一元二次方程的常数项分解的2个数的和应等于一次项是系数，积等于常数项． 一、单选题 1．一元二次方程的解为（   ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，将方程整理为标准形式后，通过因式分解法求解即可． 【详解】解∶原方程变形为 ∴， ∴， 解得：， 故选∶C． 2．一元二次方程的根是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程．将原方程整理为标准二次方程形式，通过因式分解或求根公式求解． 【详解】解：， 整理得：， 移项得：， 提公因式得：， 即：， 解得：， 故选：C． 3．下列一元二次方程最适合用因式分解法来解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解解一元二次方程．判断各选项是否适合因式分解法，需观察方程是否能整理为两个一次因式乘积等于0的形式． 【详解】解：A：，展开后为，无法直接分解为两个一次因式相乘，需用公式法，不适合因式分解． B：，移项得，提取公因子，得，可直接分解为两个一次方程，适合因式分解法． C：，常数项无法分解为两数之积为且和为5的整数，需用公式法，不适合因式分解． D：，化简后为，适合直接开平方法，无需因式分解． 综上，选项B的方程结构最便于因式分解法求解． 故选：B． 4．下列说法：①不能用因式分解法求解；②使用因式分解法求解较简单；③方程的解是；④方程的解是．其中，不正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了关于一元二次方程的解法及相关概念，熟练掌握因式分解法是解题的关键，逐一分析四个说法的正确性即可． 【详解】解：①中：方程移项为，可因式分解为，解为，因此能用因式分解法，①错误； ②中：方程，不能直接因式分解求解，需要展开为，再进行计算，所以因式分解法不简单，②错误； ③中：方程，当或时，等式左边，，可得或不是方程的解，③错误； ④中：方程移项变形为，解为或，④错误． 综上，四个说法均不正确，不正确的个数为4， 故选：D． 5．已知是一元二次方程的一个解，则的值是（   ） A．或1 B．0 C．0或1 D．0或 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据题意可得：把代入方程中得：，从而整理得：，然后解方程即可． 【详解】解：把代入方程中得： ， 整理得：， ， 解得：或， 故选：A． 6．已知是实数，且满足，则的值为（  ） A．3 B．3或 C．或6 D．6 【答案】A 【分析】此题主要考查了换元法解一元二次方程．先设，再把原方程变形为，再根据因式分解法求出y的值，即可得出的值．在解题时要注意当时，此方程无解，解题的关键是利用换元法将原方程变形． 【详解】解：设， 原方程变为． ∴． ∴，． 当时，方程的判别式，存在实数解． 当时，方程的判别式，无实数解． ∴满足条件． 故选：A． 7．已知关于的方程与有相同的解，则与之间的等量关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程，首先解两个方程，找到它们的解，再根据有相同解的条件建立关于和的关系式． 【详解】解：解方程，得和． 解方程，得． 若是第二个方程的解，则． 若是第二个方程的解，则． ∴或， ∴或即． 故选：D． 8．若是两个实数，定义一种运算“”：，则方程的实数根是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了新定义运算与一元二次方程的求解，解题的关键是根据新定义将方程转化为常规一元二次方程． 根据新定义运算“Δ”，将方程转化为一元二次方程，再通过因式分解法求解． 【详解】根据定义，． 原方程化为： 移项并整理得： 提取公因式： 解得： 或，即 或． 因此，方程的实数根为，， 故选：C． 二、填空题 9．方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解． 【详解】解：， 则， ∴， ∴或， 解得：， 故答案为：． 10．方程（y﹣2）（y﹣3）＝12解为 ． 【答案】， 【分析】将方程转化为一般形式，再根据因式分解法求解即可． 【详解】解： 化简得： 解得， 故答案为， 【点睛】此题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握因式分解法求解一元二次方程是解题的关键． 11．方程的根是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 先将方程整理成一般形式，然后利用因式分解法解方程即可． 【详解】解： 解得， 故答案为：，． 12．已知一元二次方程的两根为：，则这个方程是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的求解的逆向应用，解该题的关键是要掌握因式分解法解一元二次方程时，灵活分解因式．根据一元二次方程的根的定义以及一元二次方程的解法，利用因式分解法解一元二次方程的方法求出即可． 【详解】解：一元二次方程的两根为：， 这个方程是：， ． 故答案为：． 13．已知为等腰三角形，它的两条边的长度分别是方程的两个根，那么该三角形的周长是 ． 【答案】6 【分析】先求得的两个根，根据等腰三角形分类计算即可． 【详解】∵， ∴ 解得， ∴为等腰三角形三边长为或（不存在，因,故舍去）， ∴为等腰三角形周长为， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，等腰三角形的性质，三角形的存在性，熟练掌握解方程，等腰三角形的分类是解题的关键． 14．方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，把看做一个整体，把方程左边因式分解得到，则可推出，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 15．方程的根为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先利用平方差公式把原方程变形为，进而提取公因式分解因式得到，据此解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或， 故答案为：或． 16．新定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．若是“倍根方程”，则 ． 【答案】或 【分析】考查一元二次方程的根以及新定义“倍根方程”的意义，熟练掌握“倍根方程”的意义是解决问题的关键；通过解方程得到该方程的根，结合“倍根方程”的定义进行解答即可． 【详解】解：解方程，可得， ∵是“倍根方程”， ∴当是6 的2倍时，即有， 当6是的 2 倍时，即有． 故答案为：或． 三、解答题 17．用因式分解法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）提公因式法分解因式，把方程的左边变形，进而解出方程； （2）先移项，然后运用完全平方公式因式分解，进而解出方程； （3）先移项，再提公因式法分解因式，把方程的左边变形，进而解出方程； （4）先移项，然后运用平方差公式因式分解，再提公因式，进而解出方程． 【详解】（1）解：， ， ∴或， ∴，； （2）， ∴， ∴， ∴； （3）， ， ， ∴或， ∴，； （4）， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． 18．用十字相乘法解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】根据因式分解法求解即可. 【详解】（1）解：方程可以化为：， ∴或， ∴，； （2）解：方程可以化为：， ∴或， ∴，； （3）解：方程可以化为：， ∴或， ∴，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程－因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． 19．用因式分解法解下列关于x的方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1），；（2），；（3），；（4），． 【分析】（1）移项后提取公因式； （2）使用平方差公式； （3）等式右边用平方差公式分解，然后移项提取公因式； （4）前面三项可以用完全平方公式分解，然后用平方差公式． 【详解】解：（1）， ， ， 则有或， 解得：，； （2）， ， ， 则有或， 解得：，； （3）， ， ， ， 则有或， 解得：，； （4）， ， ， 则有或， 解得：，． 【点睛】本题考查用因式分解法解一元二次方程，需要先将等式右边变成0，然后观察等式左边，采用适当的方法进行因式分解，最后由每个因式等于0求出方程的根． 20．阅读第（1）题的解题过程，再解答第（2）题： （1）例：解方程． 解：当时，原方程可化为． 解得：，（不合题意，舍去） 当时，原方程可化为． 解得：，（不合题意，舍去） 原方程的解是，． （2）请参照上例例题的解法，解方程． 【答案】， 【分析】仿照第（1）题的解题过程，分两种情况：当时，当时，分别进行计算即可解答． 【详解】解：当时，即时， 原方程可化为：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去），； 当时，即时， 原方程可化为：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去），； 原方程的解是，． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，解一元二次方程﹣因式分解法，理解例（1）的解法是解题的关键． 21．数学项目化学习课上，小白和小青在讨论许老师出的一道求值问题： 已知非零实数a，b同时满足等式，求的值． 小白：哈哈！结果为正数．          小青：x，y不一定相等哦． 结合他们的对话，请解答下列问题： (1)当时，①求x的值．②求的值． (2)若，则_____________． 【答案】(1)①，② (2) 【分析】（1）将代入方程，然后解一元二次方程求解； （2）联立方程组，运用加减消元法并结合完全平方公式，求得和的值，然后将原式通分化简，代入求解． 【详解】（1）解：①当时，， 整理得， ， 解得， ②； （2）当时，联立方程组得 将，得： 整理，得：， ， 又∵ ∴， 将①+②，得：， 整理，得：， ∴ ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查分式的化简求值及完全平方公式的运用，解一元二次方程，掌握完全平方公式的公式结构和分式的化简计算法则准确计算是解题关键． 22．阅读下面材料： 材料一：分解因式是将一个多项式化为若干个整式积的形式的变形，“十字相乘法”可把某些二次三项式分解为两个一次式的乘积，具体做法如下：对关于，的二次三项式，如图1，将项系数，作为第一列，项系数，作为第二列，若恰好等于项的系数，那么可直接分解因式为： 示例1：分解因式： 解：如图2，其中，，而； ∴； 示例2：分解因式：． 解：如图3，其中，，而； ∴； 材料二：关于，的二次多项式也可以用“十字相乘法”分解为两个一次式的乘积．如图4，将作为一列，作为第二列，作为第三列，若，，，即第1、2列，第1、3列和第2、3列都满足十字相乘规则，则原式分解因式的结果为：；     示例3：分解因式：． 解：如图5，其中，，； 满足，； ∴ 请根据上述材料，完成下列问题： （1）分解因式： ； ； （2）若，，均为整数，且关于，的二次多项式可用“十字相乘法”分解为两个一次式的乘积，求出的值，并求出关于，的方程的整数解． 【答案】（1），；（2），和 【分析】（1）①直接用十字相乘法分解因式；②把某个字母看成常数用十字相乘法分解即可； （2）用十字相乘法把能分解的集中情况全部列出求出m值． 【详解】解：（1）①1=1×1，2=1×2，3=1×1+1×2， ∴原式=； ②1=1×1，6=（-2）×（-3），-20=5×（-4） 满足（-5）=1×（-2）+1×（-3），1=1×5+1×（-4），2=（-2）×5+（-3）×（-4） ∴原式=； （2）①   ②     ∴ ∴ 当时， 或，（舍）， 当时， 或，或（舍） 综上所述，方程的整数解有和； 方法二： 或． 【点睛】本题考查了因式分解的方法——十字相乘法，弄清题目中的十字相乘的方法是解题关键． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$