专题1.8 三角形（章节复习）知识梳理+28个高频易错考点讲练 共56题 同步培优讲练-2025-2026学年苏科版数学八年级上册

专题1.8 三角形（章节复习） （知识梳理+28个高频易错考点讲练 共56题） 考点讲练1：三角形的个数问题 5 考点讲练2：三角形的分类 5 考点讲练3：三角形三边关系的应用 6 考点讲练4：与三角形的高有关的计算 6 考点讲练5：根据三角形的中线求长度 6 考点讲练6：根据三角形的中线求面积 7 考点讲练7：三角形内角和定理的证明 8 考点讲练8：三角形折叠中的角度问题 9 考点讲练9：三角形内角和定理的应用 9 考点讲练10：利用全等图形求正方形网格中角度之和 11 考点讲练11：将已知图形分割成几个全等图形 11 考点讲练12：用SSS间接证明三角形全等 12 考点讲练13：全等的性质与SSS综合 12 考点讲练14：用SAS间接证明三角形全等 13 考点讲练15：全等的性质与SAS综合 14 考点讲练16：全等的性质与ASA综合 15 考点讲练17：全等的性质与HL综合 16 考点讲练18：灵活选用判定方法证明全等 17 考点讲练19：角平分线的判定定理 18 考点讲练20：作角平分线（尺规作图） 19 考点讲练21：线段垂直平分线的判定 20 考点讲练22：作已知线段的垂直平分线 20 考点讲练23：作垂线（尺规作图） 21 考点讲练24：倍长中线模型（全等三角形的辅助线问题） 22 考点讲练25：旋转模型（全等三角形的辅助线问题） 23 考点讲练26：垂线模型（全等三角形的辅助线问题） 24 考点讲练27：其他模型（全等三角形的辅助线问题） 25 考点讲练28：全等三角形的综合问题 26 知识点 重点归纳 常见易错点 三角形的 三边关系 三角形的任意两边之和大于第三边； 三角形的任意两边之差小于第三边。 判断三条线段能否构成三角形，只需要判断两条较短的线段之和是否大于第三边即可。 三角形的 边角关系 在同一个三角形中较大的边所对的角也比较大，可以简称为“大边对大角”； 在同一个三角形中，较大的角所对的边也比较大，可以简称为“大角对大边”。 “大边对大角”的使用有一个前提条件：必须在同一个三角形中 三角形的中线 在三角形中连接一个顶点与它的对边中点的线段叫做三角形的中线。 1.三角形的中线是线段； 2.三条中线的交点，一定在三角形的内部； 3.三角形的中线平分三角形的面积。 三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线做垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称为三角形高。 1.三角形的高线是线段； 2.三条高线交于一点，该点可能在三角形的内部，也可能在三角形的外部，也可能在顶点处。 三角形的 角平分线 三角形中一个内角的平分线与这个角对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 1.三角形的角平分线是线段； 2. 三条角平分线交于一点，该交点一定在三角形的内部。 全等三角形 1.全等三角形的定义: 两个能够重合的三角形叫做全等三角形。 2. 全等三角形的性质: 全等三角等三角应边相等，对应角相等。 3. 全等三角形的判定方法: 边角边、角边角、角角边、边边边、HL 4. 三角形的稳定性 全等三角形的所有对应元都相等； 全等三角形的周长相等、面积相等。 线段 垂直平分线 1.性质定理: 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 2.判定定理: 到现在两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 线段垂直平分线的性质定理和判定定理是互为逆命题的。 角平分线 1.性质定理: 角平分线上的点到角两边的距离相等。 2.判定定理: 到角两边距离相等的点在角的平分线上。 这里的角平分线与三角形的角平分线是不同的。三角形的角平分线是一条线段，此处的角平分线是一条射线。 等腰三角形 1. 定义 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 2. 性质 ①等边对等角； ②三线合一:顶角平分线、底边中线、底边上的高三线合一 ③等腰三角形是轴对称图形； 3. 判定 ①等角对等边； ②两条边相等； 三角形是轴对称图形，它的对称轴可能是一条，也可能是三条。当等腰三角形是底和腰不相等的时候，它只有一条对称轴；当底和腰相等的时候，也就是等边三角形的时候。它有三条对称轴。所以我们说等腰三角形有一条对称轴是不准确的。 等边三角形 1. 定义 有三条边相等的三角形叫做等边三角形。 2. 性质 ①三条边相等； ②三个角相等都等于60度； ③三线合一：顶角平分线、底边中线、底边上的高三线合一； ④是轴对称图形，有三条对称轴； 3. 判定 ①三条边相等的三角形是等边三角形； ②三个角相等的三角形是等边三角形； ③一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。 等边三角形具有等腰三角形所有的性质。是一种特殊的等腰三角形。 含30º角 直角三角形 30º角所对的直角边等于斜边的一半。 该性质有一个前提：直角三角形。 考点讲练1：三角形的个数问题 1．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，以点A为顶点的三角形有 个． 2．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）如图，中，线段，点A到射线的距离是2，在射线上取一点E，连接，设的长为d． ①当时，能作出 个； ②若只能作出唯一的一个，d的长取值范围是 ． 考点讲练2：三角形的分类 3．（2025·陕西延安·三模）如图，在中，，于点，交于点，则图中的直角三角形共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 4．（24-25七年级下·上海·期中）若的三个内角的比为，则的形状是 三角形．（填锐角、直角、钝角中的一个） 考点讲练3：三角形三边关系的应用 5．（24-25七年级下·上海闵行·期末）定义：如果一个三角形一边长为m，另一条边长为，那么我们把这个三角形叫做“特征三角形”，其中长为m的边叫作“特征边”．已知在特征三角形中，，边是特征边，那么边的长为 ． 6．（24-25七年级下·广东揭阳·阶段练习）已知：的三边长分别为a，b，c． (1)化简：； (2)若a，b，c满足，试判断的形状． 考点讲练4：与三角形的高有关的计算 7．（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·广东湛江·期中）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角的高，则．若，，，则的值为 考点讲练5：根据三角形的中线求长度 9．（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，E，G分别是，上的点，F，D是上的点，连接，，，，． (1)求证：； (2)若是的平分线，，，求的度数； (3)若的周长为，，当中线将分成周长差为的两部分，求的长． 10．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，在中，是高，是角平分线，是中线．则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 考点讲练6：根据三角形的中线求面积 11．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，点D、E、F分别在边上，E是的中点，，交于一点G，若，则的面积为 ． 12．（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，在中，已知点D、E、F分别为、、的中点，若阴影部分的面积为3，则的面积为（    ） A．12 B．16 C．18 D．20 考点讲练7：三角形内角和定理的证明 13．（24-25七年级下·山东泰安·期中）在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A．如图①所示，过三角形一边上点D作 B．如图②所示，过三角形内部一点P作 C．如图③所示，过点C作于点D D．如图④所示，过三角形外部一点P作 14．（24-25七年级下·山东济宁·期中）如图，已知三角形． (1)用直尺和三角尺作图：过点A画； (2)在（1）的条件下，求证：． 考点讲练8：三角形折叠中的角度问题 15．（21-22七年级下·四川成都·期末）如图，把三角形纸片折叠，使得点，点都与点重合，折痕分别为，，若，则 度． 16．（22-23七年级下·江苏宿迁·期中）如图，中，E是边上的点，先将沿着翻折，翻折后的边交于点D，又将△沿着翻折，点C恰好落在上的点G处，此时，则原三角形的的度数为 ． 考点讲练9：三角形内角和定理的应用 17．（24-25七年级下·山东济宁·期中）【特例研究】 （1）如图1，直线经过点，，，， ①求，，的度数 ②三角形三个内角，，度数的和为_____； 【拓广探索】 在小学，通过度量或剪拼的方法，可以验证一个三角形的内角和都等于．但是，由于测量常常有误差，这种“验证”不是“数学证明”，不能完全让人信服，因此需要用推理的方法进行证明．学习完平行线的性质后，我们可以借助平行线的性质来推理验证这一结论． 请根据（1）中的解题思路，尝试完成证明； （2）如图2，已知三角形，求证：； 【启发应用】 （3）如图3，在所示的“箭头”图形中，，，，直接写出的度数． 18．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）共享单车为市民的绿色出行提供了方便．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面平行，，，已知与平行，求的度数． 考点讲练10：利用全等图形求正方形网格中角度之和 19．（23-24八年级上·福建漳州·期末）如图，是由4个相同的小正方形组成的网格，其中与的关系是（    ） A． B． C． D． 20．（22-23八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知方格纸中是9个相同的小正方形，则的度数为 ． 考点讲练11：将已知图形分割成几个全等图形 21．（24-25八年级上·安徽安庆·阶段练习）请模仿示例，沿着图中虚线，将下面的图形分成两个全等的图形（要求：用2种不同的方法，在图中画出粗实线）． 示例 22．（22-23七年级下·广东·期中）知识重现：“能够完全重合的两个图形叫做全等图形．” 理解应用：我们可以把的正方形网格图形划分为两个全等图形． 范例：如图1 和图2是两种不同的划分方法，其中图3 与图1视为同一种划分方法． 要求：请你再提供2种与上面不同的划分方法，分别在图4 中画出来． （请将所划分的两个全等图形之一用铅笔描黑） 考点讲练12：用SSS间接证明三角形全等 23．（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图，在四边形中，，点分别在边上，，，连接． (1)求证：平分； (2)若，求四边形的面积； (3)猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 24．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，点在直线上，分别以线段的端点为圆心，以（小于线段）长为半径画弧，分别交直线、线段于点，再以点为圆心，以长为半径画弧交前面的弧于点，画射线．若的平分线交直线于点，，则的度数为 ．    考点讲练13：全等的性质与SSS综合 25．（24-25八年级上·重庆南川·期末）如图，在中，为边上一点，为边上一点，且，连接，为的中点．连接并延长，交于点，在上截取点，使，连接，若． (1)求证：； (2)求证：． 26．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）已知：如图，，点、、在同一条直线上．，且． (1)求证：； (2)求的度数． 考点讲练14：用SAS间接证明三角形全等 27．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在中，点为的中点，．若点在线段上以的速度从点向终点运动，同时点在线段上从点向终点运动． (1)若点的速度与点的速度相等，经后，请说明； (2)若点的速度与点的速度不相等，当点的速度为多少时，能够使； 28．（21-22七年级上·山东泰安·阶段练习）如图，已知点、是内两点，且，，，． (1)求证：≌； (2)延长、交于点，若，，求的度数． 考点讲练15：全等的性质与SAS综合 29．（21-22七年级下·四川成都·期末）已知：如图，点，，在同一条直线上，，，， (1)求证：； (2)若，，求的长． 30．（24-25七年级下·四川达州·期中）如图，在中，，是高，E是外一点，，，若，，求的面积．小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在上截取，连接．根据小颖的思路可得的面积为 ． 考点讲练16：全等的性质与ASA综合 31．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图①，在中，，，过点C在外作直线l，于点M，于点N． (1)试说明：； (2)如图②，将（1）中条件改为（），，请问（1）中的结论是否还成立？请说明理由. (3)如图③，在中，点D为上一点，，，，，请直接写出的长． 32．（24-25七年级下·上海普陀·期末）如图，在中，，、分别是、的平分线，、交于点，过点作交的延长线于点、交于点． (1)求证：； (2)、、之间有怎样的数量关系，请说明理由． 考点讲练17：全等的性质与HL综合 33．（24-25八年级上·湖北咸宁·期中）如图，中，于点D，，点E在上，且． (1)求证：； (2)延长交于点F，求的度数． 34．（24-25八年级上·广东汕头·期中）如图，，垂足为点A，射线，垂足为点B，，．动点E从A点出发以的速度沿射线运动，动点D在射线上，随着E点运动而运动，始终保持．若点E的运动时间为t秒，则当 秒时，与全等． 考点讲练18：灵活选用判定方法证明全等 35．如图1，已知和关于直线对称；在射线上取点E，连接，，如图2；在射线上取点F连接，，如图3，依此规律，第n个图形中全等三角形的对数是（　　） A．n B． C． D． 36．（24-25八年级上·浙江金华·期中）数学课上，老师提出了一个问题：如图，已知，，请补充一个条件，使得．三位同学展示了自己补充的条件： 甲补充条件，全等的判定依据是； 乙补充条件，全等的判定依据是 ； 丙补充条件 ，全等的判定依据是． (1)请补全乙、丙同学展示的答案； (2)请在甲、乙、丙三位同学中任选一种情况，写出完整的全等证明过程． 考点讲练19：角平分线的判定定理 37．（24-25八年级上·广西玉林·期中）如图，在和中，，，，．连接，交于点M，连接．下列结论：①，②，③，④平分．其中正确的结论有（    ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 38．（21-22八年级上·湖北宜昌·期中）如图1，在四边形中，边AD∥BC，，点为对角线上一点，且． （1）求证：； （2）连结交于点，为上一点，连结并延长交于点，且． ①连结，如图2，试判断的形状，并说明理由； ②连结，如图3，求证：平分． 考点讲练20：作角平分线（尺规作图） 39．（23-24七年级下·福建漳州·期中）已知：如图，是的角平分线． (1)在边求作点E，使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，请画出的平分线，点F在上，并证明：． 40．如图，下面是利用尺规作∠AOB的平分线OC的作法： （1）以O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点D，E； （2）分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内交于点C； （3）画射线OC，射线OC就是∠AOB的平分线． 在用尺规作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是（　　） A．ASA B．SAS C．SSS D．AAS 考点讲练21：线段垂直平分线的判定 41．如图，以的顶点O圆心，适当长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D．再分别以点C、D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点E，作射线OE，连接CD，则下列说法错误的是(    ) A．射线OE是的平分线 B．是等腰三角形 C．OE垂直平分线段CD D．O、E两点关于CD所在直线对称 42．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=25°，按以下步骤作图：①分别以A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点；②作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE= ． 考点讲练22：作已知线段的垂直平分线 43．（22-23八年级上·山西临汾·期末）按要求完成尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，并完成计算． 已知：在中，，． (1)作边上的高，作的平分线，与相交于点． (2)求所作图形中的度数． 44．（21-22八年级上·福建泉州·期末）如图，点M，N到直线l的距离为MA，ND，垂足分别为A，D，B为AD的中点，作MN的垂直平分线交直线l于点C，连接MB，MC，NC，，现给出下列结论：①；②；③MB平分；④若，，则．其中正确的是 ． 考点讲练23：作垂线（尺规作图） 45．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图1所示，已知线段，，求作，使，，小明的作法如图2所示，下列说法中一定正确的是（   ） A．作的依据为 B．弧是以长为半径画的 C．弧是以A为圆心，为半径画的 D．弧是以长为半径画的 46．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）如图，在中，D是上一点（），按要求完成下列各小题．（保留作图痕迹，不写作法，标明各顶点字母） (1)连接，求作（点E在线段上；点F在线段的右侧），使得； (2)作图依据______． 考点讲练24：倍长中线模型（全等三角形的辅助线问题） 47．（24-25八年级上·北京·期中）老师在某节数学课上提出了如下问题：在中，，，求边上的中线的取值范围．某小组经过组内合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）： ①延长中线至点Q，使得； ②连接，把集中在中； ③利用三角形的三边关系，可得． 请根据该小组的方法思考，回答下列问题： (1)直接写出的取值范围是___________； (2)解题时，条件中若出现“中点”、“中线”等字样，可以考虑“倍长中线”，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 如图2，是的中线，，，，用等式表示和的数量关系并证明． 48．（24-25八年级上·江西赣州·阶段练习）【特例感知】 如图1，在中，，求边上的中线的取值范围． （1）中线的取值范围是______． 【类比迁移】 （2）如图2，在四边形中，为的中点，点在上，，，求证：平分． 【拓展应用】 （3） 如图3，在中，是边上的中线，E是上一点，连接并延长交于点F，，求证：． 考点讲练25：旋转模型（全等三角形的辅助线问题） 49．（23-24八年级上·山东临沂·期中）【基本模型】 （1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【模型运用】 （2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 50．（21-22八年级上·江苏宿迁·阶段练习）在中，，，直线经过点C，且于点D，于点E．    (1)当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：①；②； (2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，试问、、具有怎样的等量关系，并加以证明； (3)当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？（请直接写出这个等量关系，不需要证明）． 考点讲练26：垂线模型（全等三角形的辅助线问题） 51．（22-23八年级上·广东江门·阶段练习）已知，中，，，直线m过点A，且于D，于E，当直线m绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现． (1)当直线m绕点A旋转至图2位置时，问：与、的关系如何？请予证明； (2)直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证明） 52．（21-22九年级上·黑龙江牡丹江·期末）平面内有一等腰直角三角板（∠ACB＝90°）和一直线MN．过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．当点E与点A重合时（如图1），易证：AF+BF＝2CE． (1)当三角板绕点A顺时针旋转至图2的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明． (2)当三角板绕点A顺时针旋转至图3的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明． 考点讲练27：其他模型（全等三角形的辅助线问题） 53．（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，若，可求得、、之间的数量关系为________．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程） （2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，若，判断、、之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由． 54．（22-23八年级上·重庆綦江·期末）如图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为  边上一动点，当的值最小时，的度数是（    ） A．118° B．125° C．136° D．124° 考点讲练28：全等三角形的综合问题 55．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，，，于点，于点，、分别是、上的点，且，下列结论中①，②，③平分，④平分，⑤．其中正确的结论是（   ） A．②③⑤ B．①③④ C．①③⑤ D．①④⑤ 56．已知，平分，平分， (1)求的度数． (2)如图2，过点E的直线交射线于点C，交射线于点D，求证：； (3)如图3，过点E的直线交射线的反向延长线于点C，交射线于点D，，，求的面积 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.8 三角形（章节复习） （知识梳理+28个高频易错考点讲练 共56题） 考点讲练1：三角形的个数问题 5 考点讲练2：三角形的分类 6 考点讲练3：三角形三边关系的应用 7 考点讲练4：与三角形的高有关的计算 8 考点讲练5：根据三角形的中线求长度 9 考点讲练6：根据三角形的中线求面积 11 考点讲练7：三角形内角和定理的证明 13 考点讲练8：三角形折叠中的角度问题 15 考点讲练9：三角形内角和定理的应用 17 考点讲练10：利用全等图形求正方形网格中角度之和 19 考点讲练11：将已知图形分割成几个全等图形 21 考点讲练12：用SSS间接证明三角形全等 22 考点讲练13：全等的性质与SSS综合 24 考点讲练14：用SAS间接证明三角形全等 26 考点讲练15：全等的性质与SAS综合 29 考点讲练16：全等的性质与ASA综合 30 考点讲练17：全等的性质与HL综合 34 考点讲练18：灵活选用判定方法证明全等 35 考点讲练19：角平分线的判定定理 38 考点讲练20：作角平分线（尺规作图） 41 考点讲练21：线段垂直平分线的判定 42 考点讲练22：作已知线段的垂直平分线 44 考点讲练23：作垂线（尺规作图） 47 考点讲练24：倍长中线模型（全等三角形的辅助线问题） 49 考点讲练25：旋转模型（全等三角形的辅助线问题） 53 考点讲练26：垂线模型（全等三角形的辅助线问题） 57 考点讲练27：其他模型（全等三角形的辅助线问题） 60 考点讲练28：全等三角形的综合问题 63 知识点 重点归纳 常见易错点 三角形的 三边关系 三角形的任意两边之和大于第三边； 三角形的任意两边之差小于第三边。 判断三条线段能否构成三角形，只需要判断两条较短的线段之和是否大于第三边即可。 三角形的 边角关系 在同一个三角形中较大的边所对的角也比较大，可以简称为“大边对大角”； 在同一个三角形中，较大的角所对的边也比较大，可以简称为“大角对大边”。 “大边对大角”的使用有一个前提条件：必须在同一个三角形中 三角形的中线 在三角形中连接一个顶点与它的对边中点的线段叫做三角形的中线。 1.三角形的中线是线段； 2.三条中线的交点，一定在三角形的内部； 3.三角形的中线平分三角形的面积。 三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线做垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称为三角形高。 1.三角形的高线是线段； 2.三条高线交于一点，该点可能在三角形的内部，也可能在三角形的外部，也可能在顶点处。 三角形的 角平分线 三角形中一个内角的平分线与这个角对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 1.三角形的角平分线是线段； 2. 三条角平分线交于一点，该交点一定在三角形的内部。 全等三角形 1.全等三角形的定义: 两个能够重合的三角形叫做全等三角形。 2. 全等三角形的性质: 全等三角等三角应边相等，对应角相等。 3. 全等三角形的判定方法: 边角边、角边角、角角边、边边边、HL 4. 三角形的稳定性 全等三角形的所有对应元都相等； 全等三角形的周长相等、面积相等。 线段 垂直平分线 1.性质定理: 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 2.判定定理: 到现在两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 线段垂直平分线的性质定理和判定定理是互为逆命题的。 角平分线 1.性质定理: 角平分线上的点到角两边的距离相等。 2.判定定理: 到角两边距离相等的点在角的平分线上。 这里的角平分线与三角形的角平分线是不同的。三角形的角平分线是一条线段，此处的角平分线是一条射线。 等腰三角形 1. 定义 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 2. 性质 ①等边对等角； ②三线合一:顶角平分线、底边中线、底边上的高三线合一 ③等腰三角形是轴对称图形； 3. 判定 ①等角对等边； ②两条边相等； 三角形是轴对称图形，它的对称轴可能是一条，也可能是三条。当等腰三角形是底和腰不相等的时候，它只有一条对称轴；当底和腰相等的时候，也就是等边三角形的时候。它有三条对称轴。所以我们说等腰三角形有一条对称轴是不准确的。 等边三角形 1. 定义 有三条边相等的三角形叫做等边三角形。 2. 性质 ①三条边相等； ②三个角相等都等于60度； ③三线合一：顶角平分线、底边中线、底边上的高三线合一； ④是轴对称图形，有三条对称轴； 3. 判定 ①三条边相等的三角形是等边三角形； ②三个角相等的三角形是等边三角形； ③一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。 等边三角形具有等腰三角形所有的性质。是一种特殊的等腰三角形。 含30º角 直角三角形 30º角所对的直角边等于斜边的一半。 该性质有一个前提：直角三角形。 考点讲练1：三角形的个数问题 1．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，以点A为顶点的三角形有 个． 【答案】4 【思路引导】本题考查三角形，解答本题的关键要明确：由不共线的三条线段首尾相连围成的封闭图形是三角形．根据三角形的定义即可解答． 【规范解答】解：以点A为顶点的三角形有，，，， ∴以点A为顶点的三角形有4个， 故答案为：4． 2．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）如图，中，线段，点A到射线的距离是2，在射线上取一点E，连接，设的长为d． ①当时，能作出 个； ②若只能作出唯一的一个，d的长取值范围是 ． 【答案】 2/两 或 【思路引导】此题考查了点到直线的距离、三角形的定义等知识．根据垂线段最短进行解答即可． 【规范解答】解：①∵点A到射线的距离是2，设的长为d． ∴当时，， ∴能作出2个； 故答案为：2 ②若只能作出唯一的一个，d的长取值范围是或， 故答案为：或 考点讲练2：三角形的分类 3．（2025·陕西延安·三模）如图，在中，，于点，交于点，则图中的直角三角形共有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【思路引导】本题考查了直角三角形的定义，垂线的定义，平行线的性质，根据得、是直角三角形，再根据，得，即可得、是直角三角形，进而可得结论． 【规范解答】解：∵， ∴是直角三角形，， ∵于点， ∴、是直角三角形， ∵，， ∴， ∴、是直角三角形， 综上，直角三角形有、、、、，一共5个， 故选：C． 4．（24-25七年级下·上海·期中）若的三个内角的比为，则的形状是 三角形．（填锐角、直角、钝角中的一个） 【答案】直角 【思路引导】本题考查了三角形的内角和定理以及三角形的分类，先根据三角形的内角和定理求出中最大角的度数，然后根据三角形的分类求解即可． 【规范解答】解：∵的三个内角的比为， ∴中最大角为， ∴的形状是直角三角形， 故答案为：直角． 考点讲练3：三角形三边关系的应用 5．（24-25七年级下·上海闵行·期末）定义：如果一个三角形一边长为m，另一条边长为，那么我们把这个三角形叫做“特征三角形”，其中长为m的边叫作“特征边”．已知在特征三角形中，，边是特征边，那么边的长为 ． 【答案】3 【思路引导】本题考查了新定义，掌握三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 先根据三角形三边关系求出，再根据“特征边”的定义分类讨论求解即可． 【规范解答】解：由题意得，， ∴， 若，则（舍）； 若，则， ∴边的长为3， 故答案为：3． 6．（24-25七年级下·广东揭阳·阶段练习）已知：的三边长分别为a，b，c． (1)化简：； (2)若a，b，c满足，试判断的形状． 【答案】(1) (2)等边三角形 【思路引导】本题考查的是化简绝对值，整式的加减运算，非负数的性质，三角形三边关系的应用； （1）结合三角形的三边关系化简绝对值，再合并同类项即可； （2）由非负数的性质证明，从而可得结论． 【规范解答】（1）解：∵ 三边长， ∴ ∴ ． ； （2）解：∵且，， ∴且 ∴且，即 ∴等边三角形． 考点讲练4：与三角形的高有关的计算 7．（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了中线、角平分线和中线的定义，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．分别根据三角形的中线意义和性质可判断B和D；根据三角形高的定义，直角三角形两锐角互余判断A；根据三角形角平分线的意义可判断C． 【规范解答】解：∵是中线， ∴，故D选项不正确，不符合题意； ∴，故B选项正确，符合题意； ∵是高， ∴， ∴，故A选项不正确，不符合题意； ∵是角平分线， ∴，故C选项不正确，不符合题意； 故选：B． 8．（24-25八年级上·广东湛江·期中）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，是锐角的高，则．若，，，则的值为 【答案】5 【思路引导】本题主要考查了与三角形的高有关的计算问题，直接根据公式代值进行计算即可． 【规范解答】解：∵，， ∴ 故答案为：5 考点讲练5：根据三角形的中线求长度 9．（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，E，G分别是，上的点，F，D是上的点，连接，，，，． (1)求证：； (2)若是的平分线，，，求的度数； (3)若的周长为，，当中线将分成周长差为的两部分，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【思路引导】（1）由两直线平行，内错角相等得出，再根据题意可得出，最后根据同旁内角互补，两直线平行，即可得出； （2）根据题意可求出的大小，再根据角平分线的定义，得出，最后根据三角形外角的性质，即可求出的大小； （3）设，则，得出，，分两种情况：当时，当时，分别列出方程，求出x的值，再求出结果即可． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴． （3）解：∵的周长为，， ∴设，则， ∵是的中线， ∴， 则， ， 当时，， 解得：， ∴； 当时，， 解得：， ∴； 综上可知：或． 10．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，在中，是高，是角平分线，是中线．则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据三角形的角平分线、中线和高的概念判断． 本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的概念是解题的关键． 【规范解答】∵是的中线， ∴，A说法正确，不符合题意； ∵是角平分线， ∴，B说法正确，不符合题意； ∵是高， ∴， ∴，C说法正确，不符合题意； ∵， ∴，D说法错误，符合题意． 故选：D． 考点讲练6：根据三角形的中线求面积 11．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，点D、E、F分别在边上，E是的中点，，交于一点G，若，则的面积为 ． 【答案】 【思路引导】此题主要考查了三角形的面积的求法，以及三角形的中线的特征，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；（2）两个三角形的高相同时，面积的比等于它们的底边的比．根据中线平分三角形面积和两个三角形的高相同时，面积的比等于它们的底边的比进行解答即可． 【规范解答】解：∵，E是的中点， ∴，， 设， ∵， ∴，， ∴ ∵ ∴ 解得， ∴，， 则 设，则， ∵， ∴ 解得， 即的面积为， 故答案为： 12．（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，在中，已知点D、E、F分别为、、的中点，若阴影部分的面积为3，则的面积为（    ） A．12 B．16 C．18 D．20 【答案】A 【思路引导】本题考查了求有关三角形中线的面积问题，由三角形的面积得，，，即可求解；掌握三角形中线将三角形面积平分是解题的关键． 【规范解答】解：点D、E、F分别为、、的中点， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 考点讲练7：三角形内角和定理的证明 13．（24-25七年级下·山东泰安·期中）在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A．如图①所示，过三角形一边上点D作 B．如图②所示，过三角形内部一点P作 C．如图③所示，过点C作于点D D．如图④所示，过三角形外部一点P作 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了三角形内角和定理的证明，平行线的性质，由平行线的性质可得，，则，由平角的定义得到，则，据此可判断A；由平行线的性质可得，同理可得，据此可判断B；设交于O，根据平行线的性质可得，，，， ，再由，即可判断D；C中根据现有条件无法证明． 【规范解答】解：A、∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，故A不符合题意； B、∵ ∴， ∵， ∴同A选项中的证明方法可得， ∴，故B不符合题意； C、根据现有条件无法证明，故C符合题意； D、设交于O， ∵， ∴， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴，故D不符合题意； 故选；C． 14．（24-25七年级下·山东济宁·期中）如图，已知三角形． (1)用直尺和三角尺作图：过点A画； (2)在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 【思路引导】本题考查了平行线的作法，平行线的性质，及平角的性质，熟悉相关性质是解题的关键． （1）平移过点A，画即可； （2）利用平行线的性质，推出，，再利用平角的性质即可求证． 【规范解答】（1）解：如图，直线即为所求： （2）证明：， ，， ， ， 即． 考点讲练8：三角形折叠中的角度问题 15．（21-22七年级下·四川成都·期末）如图，把三角形纸片折叠，使得点，点都与点重合，折痕分别为，，若，则 度． 【答案】 【思路引导】本题考查了三角形的内角和，以及折叠的性质，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键． 根据三角形的内角和得到，再根据折叠的性质可得，即可求解． 【规范解答】解：， ， 三角形纸片折叠，使得点、都与点A重合， ， ， ， 故答案为：． 16．（22-23七年级下·江苏宿迁·期中）如图，中，E是边上的点，先将沿着翻折，翻折后的边交于点D，又将△沿着翻折，点C恰好落在上的点G处，此时，则原三角形的的度数为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，根据折叠的性质可得，则，再根据三角形内角和定理得到，解方程即可得到答案． 【规范解答】解：由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 考点讲练9：三角形内角和定理的应用 17．（24-25七年级下·山东济宁·期中）【特例研究】 （1）如图1，直线经过点，，，， ①求，，的度数 ②三角形三个内角，，度数的和为_____； 【拓广探索】 在小学，通过度量或剪拼的方法，可以验证一个三角形的内角和都等于．但是，由于测量常常有误差，这种“验证”不是“数学证明”，不能完全让人信服，因此需要用推理的方法进行证明．学习完平行线的性质后，我们可以借助平行线的性质来推理验证这一结论． 请根据（1）中的解题思路，尝试完成证明； （2）如图2，已知三角形，求证：； 【启发应用】 （3）如图3，在所示的“箭头”图形中，，，，直接写出的度数． 【答案】（1）①，；②；（2）见解析；（3） 【思路引导】本题主要考查平行线的判定与性质，三角形内角和定理和三角形外角的性质等知识，熟练掌握三角形内角和定理是关键． （1）①由平行线的性质和平角的定义进行解答即可；②由平行线的性质和平角的定义进行解答即可； （2）过点C作直线，则，根据平角的定义即可证明结论； （3）延长分别交于点H，Q，根据三角形外角的性质求出过点G作，则，得，从而可求出． 【规范解答】（1）解：①解：∵，，， ∴， ∴ ②∵， ∴， ∴ 故答案为： （2）证明：如图，过点C作直线， ∴， ∴ （3）解：延长分别交于点H，Q，如图， ∵，， ∴ 过点G作， ∵， ∴， ∴， ∴， 18．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）共享单车为市民的绿色出行提供了方便．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面平行，，，已知与平行，求的度数． 【答案】 【思路引导】本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，三角形内角和定理，由题意可得，进而根据平行线的性质和三角形内角和定理解答即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键． 【规范解答】解：∵都与地面平行， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵与平行， ∴． 考点讲练10：利用全等图形求正方形网格中角度之和 19．（23-24八年级上·福建漳州·期末）如图，是由4个相同的小正方形组成的网格，其中与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意证明，得到，由得到． 【规范解答】解：如图， ，，， ， ， ， ∴， 故选：B． 20．（22-23八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知方格纸中是9个相同的小正方形，则的度数为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了利用全等的性质求网格中的角度，三角形外角的性质，等腰直角三角形的性质，得出是解题的关键．观察图形可知与所在的直角三角形全等，则，根据外角的性质卡得，即可求解． 【规范解答】解：观察图形可知与所在的直角三角形全等（两直角边分别为1和2）， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 考点讲练11：将已知图形分割成几个全等图形 21．（24-25八年级上·安徽安庆·阶段练习）请模仿示例，沿着图中虚线，将下面的图形分成两个全等的图形（要求：用2种不同的方法，在图中画出粗实线）． 示例 【答案】见解析 【思路引导】本题考查了查全等图形的定义，熟练掌握相关概念是解题的关键．根据全等图形的定义：对应边都相等，对应角都相等的图形进行构造即可． 【规范解答】解：如图所示： 22．（22-23七年级下·广东·期中）知识重现：“能够完全重合的两个图形叫做全等图形．” 理解应用：我们可以把的正方形网格图形划分为两个全等图形． 范例：如图1 和图2是两种不同的划分方法，其中图3 与图1视为同一种划分方法． 要求：请你再提供2种与上面不同的划分方法，分别在图4 中画出来． （请将所划分的两个全等图形之一用铅笔描黑） 【答案】见解析（答案不唯一） 【思路引导】本题考查了全等图形的概念，根据能够完全重合的图形为全等图形，在图中画出即可，熟知全等图形的概念是解题的关键． 【规范解答】解：如图所示： （答案不唯一）． 考点讲练12：用SSS间接证明三角形全等 23．（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图，在四边形中，，点分别在边上，，，连接． (1)求证：平分； (2)若，求四边形的面积； (3)猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)见详解 (2)48 (3) 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质等知识，证明、是解题关键． （1）利用“”证明，由全等三角形的性质可得，即可证明结论； （2）利用“”证明，由全等三角形的性质可得，，进而可知，然后由四边形的面积求解即可； （3）由可得，结合，可得，再结合即可证明结论． 【规范解答】（1）证明：∵在和中， ， ∴， ∴， ∴平分； （2）∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形的面积； （3）∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴． 24．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，点在直线上，分别以线段的端点为圆心，以（小于线段）长为半径画弧，分别交直线、线段于点，再以点为圆心，以长为半径画弧交前面的弧于点，画射线．若的平分线交直线于点，，则的度数为 ．    【答案】/35度 【思路引导】本题主要考查了尺规作图、全等三角形的判定与性质、平行线的判定及性质、角平分线的性质等知识，能看懂尺规作图，熟练掌握全等三角形的性质及判定和平行线的性质及判定是解题的关键．连接，，结合尺规作图，利用“”证明，由全等三角形的性质可得，进而证明，可知，然后根据角平分线的定义，即可获得答案． 【规范解答】解：连接，，    由作图可知，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：． 考点讲练13：全等的性质与SSS综合 25．（24-25八年级上·重庆南川·期末）如图，在中，为边上一点，为边上一点，且，连接，为的中点．连接并延长，交于点，在上截取点，使，连接，若． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）根据为的中点得，进而可依据判定和全等； （2）根据和全等得，则，再根据平行线的性质得，然后依据判定和全等，则，进而得，由此即可得出结论， 【规范解答】（1）证明：点是的中点， ， 在和中， ， ； （2）证明：， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 26．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）已知：如图，，点、、在同一条直线上．，且． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了全等三角形的的判定与性质、外角的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据“”即可证明； （2）根据得出，根据外角的定义得到，即可求解． 【规范解答】（1）证明：在和中， ， ； （2）解： 设、相交于点， ， ， 又，， ， ， ． 考点讲练14：用SAS间接证明三角形全等 27．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在中，点为的中点，．若点在线段上以的速度从点向终点运动，同时点在线段上从点向终点运动． (1)若点的速度与点的速度相等，经后，请说明； (2)若点的速度与点的速度不相等，当点的速度为多少时，能够使； 【答案】(1)见解析 (2)点的速度为 【思路引导】此题考查全等三角形的判定与性质，解题关键在于掌握三角形全等的判定定理． （1）先求得，，则可判断； （2）由得，求出点的运动时间，进而可求出点运动的速度． 【规范解答】（1）解：点的速度与点的速度相等，都是， 经1s后，， ， ， ， 点为的中点，， ， ， 在和中，， ∴； （2）解：， ， 点是的中点，， ， 点的运动时间为：， 点运动的时间为， 点运动的速度是：， 当点的速度为时，能够使； 28．（21-22七年级上·山东泰安·阶段练习）如图，已知点、是内两点，且，，，． (1)求证：≌； (2)延长、交于点，若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【思路引导】此题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，正确的找出全等三角形的对应边和对应角是解题的关键． （1）先由推导出，再根据全等三角形的判定定理“”证明； （2）由求得，再由全等三角形的对应角相等求得，则，再由求得的度数． 【规范解答】（1）， ， ， 在和中， ， ∴≌． （2）， ， ， ． 考点讲练15：全等的性质与SAS综合 29．（21-22七年级下·四川成都·期末）已知：如图，点，，在同一条直线上，，，， (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【思路引导】此题考查了平行线的性质，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先由得到，然后证明出，即可得到； （2）首先由全等三角形的性质得到，，然后求解即可． 【规范解答】（1）∵ ∴ ∵，， ∴ ∴； （2）∵ ∴， ∴． 30．（24-25七年级下·四川达州·期中）如图，在中，，是高，E是外一点，，，若，，求的面积．小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在上截取，连接．根据小颖的思路可得的面积为 ． 【答案】64 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质；先通过等量代换推出，再利用“边角边”证明，再通过求出的面积即可． 【规范解答】解：∵是的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 考点讲练16：全等的性质与ASA综合 31．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图①，在中，，，过点C在外作直线l，于点M，于点N． (1)试说明：； (2)如图②，将（1）中条件改为（），，请问（1）中的结论是否还成立？请说明理由. (3)如图③，在中，点D为上一点，，，，，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)成立，见解析 (3)8 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，一线三等角模型证明全等，解题关键是熟悉一线三等角模型． （1）先证明，再根据全等三角形的性质得出，，从而根据，可得； （2）先判定成立，再说理由，先证明，再根据全等三角形的性质得出，，结合，可得； （3）先证明，再根据全等三角形的性质得出，，根据，，，可求得． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∴， 又， ， ，， ， ； （2）成立， 理由：，， ， 又∵，， ， ，， 又， ； （3），，， ， 又，， ， ，， ，，， ． 32．（24-25七年级下·上海普陀·期末）如图，在中，，、分别是、的平分线，、交于点，过点作交的延长线于点、交于点． (1)求证：； (2)、、之间有怎样的数量关系，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键。 （1）由角平分线的定义得到，由垂线的性质可得．导角证明，则可利用证明． （2）由全等三角形的性质得到，证明，得到，再由线段的和差关系可得结论． 【规范解答】（1）证明：分别是的平分线， ． ， ． 又， ． 同理，． ． 在和中， ． （2）解：，理由如下： 由（1）得， ∴， 在和中， ， ． ． ， ． 考点讲练17：全等的性质与HL综合 33．（24-25八年级上·湖北咸宁·期中）如图，中，于点D，，点E在上，且． (1)求证：； (2)延长交于点F，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据垂直的定义得到，根据全等三角形的判定定理得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到，于是得到结论． 【规范解答】（1）证明：在和中 ∴ （2）解：∵， ∴． 又∵， ∴， 即． 34．（24-25八年级上·广东汕头·期中）如图，，垂足为点A，射线，垂足为点B，，．动点E从A点出发以的速度沿射线运动，动点D在射线上，随着E点运动而运动，始终保持．若点E的运动时间为t秒，则当 秒时，与全等． 【答案】3或7或10 【思路引导】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，学会分类是解题的关键．分情况，当E在线段上，或当E在线段延长线上，由即可求解． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∵， 当E在线段上时， 若， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 若， ∴， ∴， ∴（舍去）， 当E在线段延长线上时， 若， ∴， ∵， ∴， 若， ∴， ∵， ∴， ∴当或7或10秒时，与全等． 故答案为：3或7或10． 考点讲练18：灵活选用判定方法证明全等 35．如图1，已知和关于直线对称；在射线上取点E，连接，，如图2；在射线上取点F连接，，如图3，依此规律，第n个图形中全等三角形的对数是（　　） A．n B． C． D． 【答案】C 【思路引导】此题主要考查了三角形全等的判定以及规律的归纳，解题的关键是根据条件证出图形中有几对三角形全等，然后寻找规律．根据条件可得图1中有1对三角形全等；图2中可证出，，有3对三角形全等；图3中有6对三角形全等，根据数据可分析出第n个图形中全等三角形的对数． 【规范解答】解：∵和关于直线对称， ∴，， 在与中， ， ∴． ∴图1中有1对三角形全等； 同理图2中，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴图2中有对三角形全等； 同理：图3中有对三角形全等； 由此发现：第n个图形中全等三角形的对数是． 故选：C． 36．（24-25八年级上·浙江金华·期中）数学课上，老师提出了一个问题：如图，已知，，请补充一个条件，使得．三位同学展示了自己补充的条件： 甲补充条件，全等的判定依据是； 乙补充条件，全等的判定依据是 ； 丙补充条件 ，全等的判定依据是． (1)请补全乙、丙同学展示的答案； (2)请在甲、乙、丙三位同学中任选一种情况，写出完整的全等证明过程． 【答案】(1)； (2)见解析 【思路引导】本题主要考查了补充一个条件判定三角形全等．熟练掌握全等三角形判定定理，是解题的关键． （1）根据已知，，乙补充的条件是，可知全等的判定依据是，根据丙全等的判定依据是，可知丙补充条件是， （2）甲补充，结合，，得；乙补充，结合已知得；丙补充，结合已知得． 【规范解答】（1）乙：∵，，， ∴； 丙：∵，，， ∴． 故答案为：；． （2）甲：∵，，， ∴； 乙：∵，，， ∴； 丙：∵，，， ∴． 考点讲练19：角平分线的判定定理 37．（24-25八年级上·广西玉林·期中）如图，在和中，，，，．连接，交于点M，连接．下列结论：①，②，③，④平分．其中正确的结论有（    ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【思路引导】此题考查了全等三角形的判定及性质，角平分线的性质定理，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 根据，推出，根据三角形内角和判断①；证明，判断③正确；根据全等的性质得到，推出即可判断④；根据外角的性质及④的结论，可判断③． 【规范解答】解： ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，，故③正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； 过点O作于E，于F， ∵， ∴，， ∴， ∴平分，故④正确； ∴， ∵,,且, ∴．故②错误； 综上所述正确的有①③④． 故选：D． 38．（21-22八年级上·湖北宜昌·期中）如图1，在四边形中，边AD∥BC，，点为对角线上一点，且． （1）求证：； （2）连结交于点，为上一点，连结并延长交于点，且． ①连结，如图2，试判断的形状，并说明理由； ②连结，如图3，求证：平分． 【答案】（1）证明过程见解析；（2）①证明过程见解析；②是等边三角形，证明过程见解析 【思路引导】（1）根据等边三角形的性质和平行线的性质判定即可； （2）①根据已知条件证明即可判断；②过点A作，，证明，即可得解； 【规范解答】（1）∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵AD∥BC， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）①是等边三角形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴，   又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形； ②过点A作，， ∴， 由①可得，， ∴， ∴， ∴平分； 【考点剖析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，角平分线的判定，准确分析证明是解题的关键． 考点讲练20：作角平分线（尺规作图） 39．（23-24七年级下·福建漳州·期中）已知：如图，是的角平分线． (1)在边求作点E，使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，请画出的平分线，点F在上，并证明：． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析，证明见解析 【思路引导】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，平行线的尺规作图： （1）根据平行线的尺规作图方法作图即可； （2）先根据题意作图，再根据平行线的性质和角平分线的定义证明，即可证明． 【规范解答】（1）解：如图所示，点E即为所求； （2）解：如图所示，点F即为所求， ∵， ∴， ∵是的角平分线，平分， ∴， ∴， ∴． 40．如图，下面是利用尺规作∠AOB的平分线OC的作法： （1）以O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点D，E； （2）分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内交于点C； （3）画射线OC，射线OC就是∠AOB的平分线． 在用尺规作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是（　　） A．ASA B．SAS C．SSS D．AAS 【答案】C 【思路引导】连接EC，DC，根据作图的过程证明三角形全等即可；， 【规范解答】 【考点剖析】本题主要考查了角平分线作图和全等三角形的判定，准确分析证明是解题的关键． 考点讲练21：线段垂直平分线的判定 41．如图，以的顶点O圆心，适当长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D．再分别以点C、D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点E，作射线OE，连接CD，则下列说法错误的是(    ) A．射线OE是的平分线 B．是等腰三角形 C．OE垂直平分线段CD D．O、E两点关于CD所在直线对称 【答案】D 【思路引导】连接CE、DE，根据作图得到OC=OD、CE=DE，利用SSS证得△EOC≌△EOD从而证明得到射线OE平分∠AOB，判断A正确；根据作图得到OC=OD，判断B正确；根据作图得到OC=OD，由A得到射线OE平分∠AOB，根据等腰三角形三线合一的性质得到OE是CD的垂直平分线，判断C正确；根据作图不能得出CD平分OE，判断D错误． 【规范解答】A、连接CE、DE，根据作图得到OC=OD、CE=DE， 又OE是公共边， ∴△EOC≌△EOD(SSS)， ∴∠AOE=∠BOE，即射线OE是∠AOB的平分线，故A选项正确，不符合题意； B、根据作图得到OC=OD， ∴△COD是等腰三角形，故B选项正确，不符合题意； C、根据作图得到OC=OD， 又∵射线OE平分∠AOB， ∴OE是CD的垂直平分线，故C选项正确，不符合题意； D、根据作图不能得出CD平分OE， ∴CD不是OE的平分线， ∴O、E两点关于CD所在直线不对称，故D选项错误，符合题意， 故选D． 【考点剖析】本题考查了解平分线的作法，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，轴对称的判定等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键. 42．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=25°，按以下步骤作图：①分别以A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点；②作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则∠CBE= ． 【答案】40° 【思路引导】先利用互余计算出∠ABC=65°，再利用基本作图得到MN垂直平分AB，所以EA=EB，从而得到∠EBA=∠A=25°，然后计算∠ABC-∠EBA即可． 【规范解答】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=25° ∴∠ABC=90°-25°=65°， 由作法得MN垂直平分AB， ∴EA=EB， ∴∠EBA=∠A=25°， ∴∠CBE=∠ABC-∠EBA=65°-25°=40°． 故答案为40°． 【考点剖析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质． 考点讲练22：作已知线段的垂直平分线 43．（22-23八年级上·山西临汾·期末）按要求完成尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，并完成计算． 已知：在中，，． (1)作边上的高，作的平分线，与相交于点． (2)求所作图形中的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（1）利用基本作图，过点作于，再利用基本作图作的平分线， 与相交于点； （2）首先根据直角三角形两锐角互余计算出，再根据角平分线的性质得出，根据同角的余角相等得，最后根据三角形内角和定理即可得出结果． 【规范解答】（1）如图，线段是边上的高，线段是的角平分线． （2） ，， ，， 是的角平分线， ， 线段是边上的高， ， ， ， ． 【考点剖析】本题主要考查了作图——基本作图，也考查了三角形内角和定理，角平分线性质，熟练掌握基本几何图形的性质是解本题的关键． 44．（21-22八年级上·福建泉州·期末）如图，点M，N到直线l的距离为MA，ND，垂足分别为A，D，B为AD的中点，作MN的垂直平分线交直线l于点C，连接MB，MC，NC，，现给出下列结论：①；②；③MB平分；④若，，则．其中正确的是 ． 【答案】①② 【思路引导】①根据线段垂直平分线的性质可得CM=CN，进而解题； ②结合①利用HL证明； ③连接MD，根据MA≠MD≠MB,即可得MB不平分； ④根据勾股定理可得ND=12，结合②可得AC=ND=12，据此解题． 【规范解答】解：①是的垂直平分线上的点 ， 故①正确； ②在与中， 故②正确； ③如图，连接MD 为的中点， 不平分， 故③错误； ④ 故④错误， 综上所述，正确的是①② 故答案为：①②． 【考点剖析】本题考查全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法． 考点讲练23：作垂线（尺规作图） 45．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图1所示，已知线段，，求作，使，，小明的作法如图2所示，下列说法中一定正确的是（   ） A．作的依据为 B．弧是以长为半径画的 C．弧是以A为圆心，为半径画的 D．弧是以长为半径画的 【答案】A 【思路引导】本题尺规作图的步骤以及全等三角形的判定定理，熟悉掌握尺规作图原理是解决本题的关键． 根据作图痕迹可得，先在射线上截取，再分别以B，C为顶点，在线段的两端，利用作一个角等于已知角的方法，作，从而可得出所要求的三角形， 【规范解答】A、根据作图知，，，，这里，，及夹边来作，所以依据为，故选项正确，符合题意； B、弧是以点B为圆心，长为半径画的，故选项错误，不符合题意； C、弧是以B为圆心，为半径画的，故选项错误，不符合题意； D、弧是以长为半径画的，故选项错误，不符合题意． 故选：A． 46．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）如图，在中，D是上一点（），按要求完成下列各小题．（保留作图痕迹，不写作法，标明各顶点字母） (1)连接，求作（点E在线段上；点F在线段的右侧），使得； (2)作图依据______． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定及基本的作图方法． （1）在上截取，延长，在延长线上截取，连接，则即为所作； （2）根据全等三角形的判定证明即可． 【规范解答】（1）解：如图所示，在上截取，延长，在延长线上截取，连接， （2）解：在和中， ， ∴， ∴即为所求． 故答案为：． 考点讲练24：倍长中线模型（全等三角形的辅助线问题） 47．（24-25八年级上·北京·期中）老师在某节数学课上提出了如下问题：在中，，，求边上的中线的取值范围．某小组经过组内合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）： ①延长中线至点Q，使得； ②连接，把集中在中； ③利用三角形的三边关系，可得． 请根据该小组的方法思考，回答下列问题： (1)直接写出的取值范围是___________； (2)解题时，条件中若出现“中点”、“中线”等字样，可以考虑“倍长中线”，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 如图2，是的中线，，，，用等式表示和的数量关系并证明． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【思路引导】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，等腰直角三角形，关键是“倍长中线”，构造全等三角形． （1）延长中线至点Q，使；连接，得到，判定，推出，由三角形三边关系定理得，即可得到， （2）延长到K，使，连接，得到，判定，即可解决问题． 【规范解答】（1）解：如图1，延长中线至点Q，使；连接， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 由三角形三边关系定理得：， ∴， ∴， 故答案为：． （2）如图2，，理由如下： 延长到K，使，连接， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 48．（24-25八年级上·江西赣州·阶段练习）【特例感知】 如图1，在中，，求边上的中线的取值范围． （1）中线的取值范围是______． 【类比迁移】 （2）如图2，在四边形中，为的中点，点在上，，，求证：平分． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，是边上的中线，E是上一点，连接并延长交于点F，，求证：． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析 【思路引导】本题考查了三角形综合题和倍长中线问题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边关系等知识． （1）延长到，使得，连接，得出，根据三角形三边关系即可求解； （2）延长交延长线于，得到，得到，，进而求得，可证明结论； （3）延长到点，使得 ，连接，得出，从而得到，，进而得到从而证明． 【规范解答】（1）解：如图1，延长到点，使得，连接． 为边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ， ， 即， ； 故答案为：； （2）证明：如图2，延长交的延长线于点， ， ， ，， 为的中点， ， ， ，， ， ， 即， 平分； （3）证明：如图3，延长到点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 考点讲练25：旋转模型（全等三角形的辅助线问题） 49．（23-24八年级上·山东临沂·期中）【基本模型】 （1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【模型运用】 （2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1），证明见解析（2），证明见解析 【思路引导】本题主要考查全等三角形的判定和性质．本题蕴含半角模型，遇到半角经常要通过旋转构造全等三角形． （1）结论：．将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，然后求出，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解； （2）结论：，证明方法同法（1）． 【规范解答】解：（1）结论：． 理由：如图1，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：，，， ∴，即：三点共线， ， ∴， ∴， ， 在和中， ， ， ， 又， ． （2）结论：． 理由：如图2，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：， 同法（1）可得：， ， 又， ． 50．（21-22八年级上·江苏宿迁·阶段练习）在中，，，直线经过点C，且于点D，于点E．    (1)当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：①；②； (2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，试问、、具有怎样的等量关系，并加以证明； (3)当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？（请直接写出这个等量关系，不需要证明）． 【答案】(1)①见详解②见详解 (2)，证明见详解 (3) 【思路引导】（1）①由，得，而于D，于E，则，根据等角的余角相等得到，易得；②因为，所以，，即可得到； （2）根据等角的余角相等得到，易得，得到，，所以； （3）、、具有的等量关系为：；证明的方法与（2）相同． 【规范解答】（1）证明：①∵， ∴， 因为于D，于E， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ②由①知， ∴，， ∴； （2）解：， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （3）解：结论：． 与（2）同法可得， ∴，， ∴． 【考点剖析】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角．也考查了直角三角形全等的判定与性质． 考点讲练26：垂线模型（全等三角形的辅助线问题） 51．（22-23八年级上·广东江门·阶段练习）已知，中，，，直线m过点A，且于D，于E，当直线m绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现． (1)当直线m绕点A旋转至图2位置时，问：与、的关系如何？请予证明； (2)直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证明） 【答案】(1)，证明见解析； (2)，，． 【思路引导】（1）利用条件证明， 再结合线段的和差可得出结论； （2）根据图，可得、、存在3种不同的数量关系； 【规范解答】（1）证明：如图2， ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴（AAS）， ∴， ∵， ∴． （2）直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在3种不同的数量关系：，，． 如图1时，， 如图2时，， 如图3时，，（证明同理） 【考点剖析】本题主要考查三角形全等，注意证三角形全等的方法及三角形全等后的性质． 52．（21-22九年级上·黑龙江牡丹江·期末）平面内有一等腰直角三角板（∠ACB＝90°）和一直线MN．过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．当点E与点A重合时（如图1），易证：AF+BF＝2CE． (1)当三角板绕点A顺时针旋转至图2的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明． (2)当三角板绕点A顺时针旋转至图3的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明． 【答案】(1)AF+BF=2CE仍成立 (2)AF-BF=2CE 【思路引导】（1）过B作BH⊥CE于点H，可证△ACE≌△CBH，通过线段的等量代换可得结论； （2）过点B作BG⊥CE，交CE的延长线于点G，△ACE≌△CBG，通过线段的等量代换可得答案． 【规范解答】（1）解：图2，AF+BF=2CE仍成立，                            证明：如图，过B作BH⊥CE于点H， ∵∠BCH+∠ACE=90°， 又∵在直角△ACE中，∠ACE+∠CAE=90°， ∴∠CAE=∠BCH， 又∵AC=BC，∠AEC=∠BHC=90° ∴△ACE≌△CBH． ∴CH=AE，BF=HE，CE=BH， ∴AF+BF=AE+EF+BF=CH+EF+HE=CE+EF=2EC． （2）解：不成立，线段AF、BF、CE之间的数量关系为：AF-BF=2CE 证明：如图，过点B作BG⊥CE，交CE的延长线于点G， ∵∠BCG+∠ACE=90°， 又∵在直角△ACE中，∠ACE+∠CAE=90°， ∴∠CAE=∠BCG， 又∵AC=BC，∠AEC=∠BGC=90° ∴△ACE≌△CBG． ∴CG=AE，BF=GE，CE=BG， ∴AF-BF=AE+EF-BF=CG+EF-GE=CE+EF=2EC． 【考点剖析】本题考查全等三角形的判定，根据题意正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 考点讲练27：其他模型（全等三角形的辅助线问题） 53．（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，若，可求得、、之间的数量关系为________．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程） （2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，若，判断、、之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由． 【答案】（1）；（2）．理由见解析． 【思路引导】（1）线段、、之间的数量关系是．如图，延长至，使，连接，利用全等三角形的性质解决问题即可． （2）结论：．如图中，在上截取，连接，证明，推出，，再证明，可得结论． 【规范解答】（1）解：线段、、之间的数量关系是． 如图，延长至，使，连接， ∵，，即：， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． （2）结论：． 理由：在上截取，连接， ∵，， ∴， 在与中，， ∴， ∴，，则， ∴ ∵，， ∴， 在与中，， ∴， ∴， 即， 即， ∴． 【考点剖析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 54．（22-23八年级上·重庆綦江·期末）如图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为  边上一动点，当的值最小时，的度数是（    ） A．118° B．125° C．136° D．124° 【答案】D 【思路引导】先在上截取，连接，证明，得出，说明，找出当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，根据三角形外角的性质可得答案． 【规范解答】解：在上截取，连接，如图： ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，如图： ∵，， ∴． 故选：D． 【考点剖析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，三角形内角和定理与三角形的外角的性质，解题的关键是找出使最小时点P的位置． 考点讲练28：全等三角形的综合问题 55．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，，，于点，于点，、分别是、上的点，且，下列结论中①，②，③平分，④平分，⑤．其中正确的结论是（   ） A．②③⑤ B．①③④ C．①③⑤ D．①④⑤ 【答案】C 【思路引导】此题重点考查角平分线的定义，线段的和差运算，角的和差运算，全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线并且证明是解题的关键．连接，可证明，得到，故① 正确；由E、F分别是上的任意点，可知与不一定相等，与也不一定全等，可判断，②错误；延长到点G，使，连接，先证明得，由，，可以推导出，则，即可证明，得，因为，所以，可判断③正确，因为，所以，可判断⑤正确；由平分结合，推出与题干互相矛盾，可得④错误． 【规范解答】解：如图所示，连接， ∵于点于点D， ∴， ∵，， ∴， ∴，故①正确； ∵与不一定相等， ∴与不一定全等，故②错误； 延长到点G，使，连接，则， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，   ∴ ∴， ∴平分，故③⑤正确； 若平分，而， ∴，与题干信息矛盾，故④错误； 故选C. 56．已知，平分，平分， (1)求的度数． (2)如图2，过点E的直线交射线于点C，交射线于点D，求证：； (3)如图3，过点E的直线交射线的反向延长线于点C，交射线于点D，，，求的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【思路引导】（1）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，于是得到结论； （2）在上截取，连接，根据全等三角形的性质得到，，等量代换即可得到结论； （3）延长交于F，根据全等三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，设，，根据，即可得到结论． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； （2）证明：在上截取，连接， ∵平分， ∴ 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：延长交于F， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴设，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为8． 【考点剖析】本题考查的是角平分线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，垂线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键． 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $$