专题1.2 全等三角形【导图+知识卡片+知识梳理+4个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共41题】-2026-2027学年苏科版数学八年级上册同步培优精讲练

本讲义聚焦苏科版八年级上册全等三角形核心知识点，系统梳理全等三角形的定义（平移、翻折、旋转后能重合）及性质（对应边、角、元素相等），通过思维导图与知识卡片构建从概念到性质的学习支架，并延伸出图形全等判断、分割全等图形等4类题型讲练。 资料亮点在于以几何直观呈现知识脉络，题型讲练中典例与变式结合培养推理意识，中考真题演练与基础夯实、培优拔高分层训练强化应用意识。课中辅助教师系统授课，课后助力学生针对性巩固，有效查漏补缺。

null 专题1.2 全等三角形『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+4个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共41题） 【苏科版数学新教材•八年级上册】 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 全等三角形 2 知识点二 全等三角形的性质 2 题型讲练 3 题型一 图形的全等 3 题型二 将已知图形分割成几个全等图形(全等图形) 4 题型三 全等三角形的概念 5 题型四 全等三角形的性质 6 中考真题演练 7 难度分层训练 9 【基础夯实】 9 【培优拔高】 12 知识点一 全等三角形 1. 全等三角形的定义 一个三角形经过平移、轴对称或旋转变换后得到另一个三角形，这两个三角形可以重合. 我们把两个能完全重合的三角形叫作全等三角形. 2. 三种常见的全等类型 (1)平移型 (2)翻折型 (3)旋转型 特别解读： 对应边、对应角是两个全等三角形中对应的两条边、对应的两个角；对边、对角是同一个三角形中的边和角，“对边”是指三角形中某个角所对的边，“对角”是指三角形中某条边所对的角. 知识点二 全等三角形的性质 1. 性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等. 几何语言：如图1.2 -4，∵△ABC≌△DEF ∴ AB＝DE，BC＝EF， AC＝DF，∠A＝∠D， ∠B＝∠E，∠C＝∠F. 2. 拓展：全等三角形的对应元素相等. 全等三角形中的对应元素包括对应边、对应角、对应边上的中线、对应边上的高、对应角的平分线、周长、面积等. 要点提醒 应用全等三角形的性质时，要先确定两个条件： 1. 两个三角形全等； 2. 找准对应元素. 题型一 图形的全等 【典例精讲】（25-26八年级上·山西吕梁·期末）下列各组中的两个图形属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26八年级上·广西防城港·期末）下列各组中的两个图形属于全等形的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26八年级上·全国·单元复习）对于两个图形，有下列结论：①两个图形的周长相等；②两个图形的面积相等；③两个图形的周长和面积都相等；④两个图形的形状相同，大小也相同．其中能得到这两个图形全等的结论共有______个． 【变式训练3】如图，四边形与四边形全等，则________，________，________，________． 题型二 将已知图形分割成几个全等图形(全等图形) 【典例精讲】在如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为1．沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形．在所有的分割方案中，最长分割线的长度等于______． 【变式训练1】（24-25八年级上·黑龙江·单元测试）下列图标中，不是由全等形组合成的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（23-24八年级上·广西钦州·期中）如图，四边形是由8个全等梯形拼接而成，其中，，则的长为（　　）    A．10.8 B．9.6 C．7.2 D．4.8 【变式训练3】（2024八年级上·江苏·专题练习）从图（1）和（2）中分别找出两组全等形，并写出对应边和对应角． 题型三 全等三角形的概念 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·期中）如图，已知．写出对应边、对应角． 【变式训练1】（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，若沿直线对折，与重合，则________，的对应边是________，的对应边是________，的对应角是________，的对应角是________． 【变式训练2】（24-25八年级上·陕西西安·期末）“如果两个三角形的周长相等，那么这两个三角形全等．”是______命题．（填“真”或“假”） 【变式训练3】（25-26八年级上·重庆北碚·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．两个等边三角形一定全等 B．两个全等三角形的周长相等 C．面积相等的两个三角形一定全等 D．三个角对应相等的两个三角形全等 题型四 全等三角形的性质 【典例精讲】（25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测）若如图所示的两个三角形全等，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26八年级上·甘肃临夏·阶段检测）如图，，点与，与分别是对应顶点，且测得，，则长为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25八年级上·江西吉安·期中）如图，，点E在边上，若，则线段的长是 _______． 【变式训练3】（25-26八年级上·福建福州·阶段检测）如图，，，，则的长是 _______ ． 【真题演练1】（2025·广东梅州·中考真题）下列命题是假命题的是（    ） A．对顶角相等 B．全等三角形对应角相等 C．同位角相等 D．两点之间，线段最短 【真题演练2】（2025·山西运城·中考真题）下列命题中是假命题的是（   ） A．对顶角相等 B．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 C．同角（或等角）的余角相等 D．全等三角形的对应边相等、对应角相等 【真题演练3】（2025·重庆大足·中考真题）如图，，若，，则等于______． 【真题演练4】（2025·浙江宁波·中考真题）如图所示，，且点在同一条直线上． (1)试判断与的位置关系，并说明理由． (2)线段与线段相等吗？说明理由． 【真题演练5】（2025·江苏无锡·中考真题）如图1，在中，，，，，动点P从点A出发，以的速度沿着三角形的边运动，回到点A时停止，设运动时间为． (1)当时，______； (2)当点P在上运动时： ①______（用含t的式子表示） ②当的周长被线段分为相等的两部分时，求t的值； (3)若的面积等于面积的一半，求t的值； (4)如图3，在中，，，，．如图2，在的边上有另一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿边运动，回到点A时停止；若在运动过程中的某一时刻，和全等，请直接写出此时点Q的运动速度． 【基础夯实】 1．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在和中，点B，E，C，F在同一条直线上，和交于点G．若，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）下列命题的逆命题是真命题的是（    ） A．如果两个角是直角，那么它们相等 B．若，则 C．两直线平行，内错角相等 D．全等三角形的对应角相等 3．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）如图，已知线段米，于点，米，于，点从点向运动，每秒走1米，点从点向运动，每秒走2米，、同时从出发，则出发秒后，在线段上有一点，使与全等，则的值为（   ） A． B．5或10 C．10 D．或10 4．（25-26八年级上·湖北荆州·期末）图，，，，点P在线段上以的速度由点向点运动．同时，点在线段上由点向点运动，设运动时间为，则______ （用含有t的式子表示）；当与全等时，点的运动速度为________． 5．（2025八年级上·上海·专题练习）如图，在中，，，，现有两个动点和同时从点出发，分别在三角形三边按照逆时针和顺时针方向围绕三角形运动一圈后回到初始位置，其中点的速度为，设运动时间为．在中，，，．在两点运动过程中的某一时刻，恰好有（顶点分别与顶点D、对应），则点的运动速度为______． 6．（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，，点在线段上，，则的度数为______． 7．（25-26八年级上·贵州安顺·期末）如图，，，，点在线段上以秒的速度由点向点运动，同时，点从点出发沿射线运动，若经过秒后，与全等，则的值是_____． 8．在的网格中（每个小网格都是边长为1的正方形），的三个顶点都在格点上．         (1)在图1中，画一个格点，使与全等，并且使点P在内部； (2)在图2中，画一个格点，使与全等，并且使的一个顶点在一边的垂直平分线上． 9．（25-26八年级上·河南漯河·期末）综合与探究． 【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如，由图可以得到，基于此，请解答下列问题． 【直接应用】（1）若，，求的值． 【类比应用】（2）若，则_____． 【知识迁移】（3）将两块全等的特制直角三角板（）按如图所示的方式放置，其中点，，在同一直线上，点，，也在同一直线上，连接，．若，，求一块直角三角板的面积． 10．（24-25八年级上·青海海东·期末）如图，在中，，，点在上，且；点从出发以每秒的速度向点运动，同时，点从出发向点运动，设运动时间为秒，连接、． (1)用含t的式子表示、； (2)若点N的运动速度也为每秒，t为何值时，； (3)若点N的运动速度和点M的速度不相等，要使，则点N的运动速度为多少？全等时t为多少？ 【培优拔高】 1．（25-26八年级上·山东青岛·期末）下列是假命题的是（    ） A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．两直线平行，同位角相等 C．全等三角形的面积相等 D．同角的余角相等 2．（25-26八年级上·江西南昌·期末）如图，在锐角中，，，为上一动点，将，分别沿，向外翻折，得到，，连接，当 面积的最小值为8时，则的面积为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 3．（25-26八年级上·贵州遵义·阶段检测）给出下列说法：①三角形的三条高都在三角形的内部；②周长相等的两个三角形全等；③全等三角形的面积相等；④成轴对称的两个图形一定全等；⑤全等的两个图形一定成轴对称．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图，，垂足为A，厘米，厘米，射线，垂足为B，一动点P从点A出发以3厘米/秒的速度沿射线运动，同时动点D从点B出发沿射线运动．设点D运动的速度为v厘米/秒，当_____厘米/秒时，能够在某一时刻使与全等． 5．（25-26八年级上·四川绵阳·期中）如图，等腰中，，，，点为中点，如果点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上由点C向点A运动．当与全等时，点Q的运动速度为____． 6．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点D匀速运动，若与在某一时刻全等，则点Q运动速度为______． 7．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，已知，，点在线段上，若，，则的长为______． 8．（25-26八年级上·山东临沂·期末）【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题： (1)【直接应用】 若，，求的值． (2)【类比应用】 ①若，则______． ②若满足，求的值． (3)【知识迁移】 两块全等的特制直角三角形板（）如图2所示放置，其中，，在同一直线上，连接，．若，，求一块直角三角形板的面积． 9．（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）【阅读理解】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题： 【类比应用】 （1）①若，，则的值为_________； ②若，则_________； 【迁移应用】 （2）两块完全相同的特制直角三角板如图2所示放置，其中A，O，D在一直线上，连接AC，BD，若，，求一块三角板的面积． 10．（24-25八年级上·江苏常州·阶段检测）如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)如图①，当时，___________； (2)如图①当___________时，的面积等于面积的一半； (3)如图②，在中，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止，在两点运动过程中的某时刻，恰好，求点的运动速度． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $null 专题1.2 全等三角形『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+4个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共41题） 【苏科版数学新教材•八年级上册】 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 全等三角形 2 知识点二 全等三角形的性质 2 题型讲练 3 题型一 图形的全等 3 题型二 将已知图形分割成几个全等图形(全等图形) 5 题型三 全等三角形的概念 7 题型四 全等三角形的性质 9 中考真题演练 11 难度分层训练 15 【基础夯实】 15 【培优拔高】 23 知识点一 全等三角形 1. 全等三角形的定义 一个三角形经过平移、轴对称或旋转变换后得到另一个三角形，这两个三角形可以重合. 我们把两个能完全重合的三角形叫作全等三角形. 2. 三种常见的全等类型 (1)平移型 (2)翻折型 (3)旋转型 特别解读： 对应边、对应角是两个全等三角形中对应的两条边、对应的两个角；对边、对角是同一个三角形中的边和角，“对边”是指三角形中某个角所对的边，“对角”是指三角形中某条边所对的角. 知识点二 全等三角形的性质 1. 性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等. 几何语言：如图1.2 -4，∵△ABC≌△DEF ∴ AB＝DE，BC＝EF， AC＝DF，∠A＝∠D， ∠B＝∠E，∠C＝∠F. 2. 拓展：全等三角形的对应元素相等. 全等三角形中的对应元素包括对应边、对应角、对应边上的中线、对应边上的高、对应角的平分线、周长、面积等. 要点提醒 应用全等三角形的性质时，要先确定两个条件： 1. 两个三角形全等； 2. 找准对应元素. 题型一 图形的全等 【典例精讲】（25-26八年级上·山西吕梁·期末）下列各组中的两个图形属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等图形的识别，能够完全重合的两个图形叫做全等图形，据此求解即可． 【详解】解：由题意知，选项A、B、D中的两个图形不能重合，故不是全等图形，而选项C中的两个图形能够完全重合，是全等图形； 故选：C． 【变式训练1】（25-26八年级上·广西防城港·期末）下列各组中的两个图形属于全等形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等形的定义，关键是理解全等形需要形状和大小都完全相同，能够完全重合． 【详解】解：根据全等形的定义，能够完全重合的两个图形是全等形，即形状和大小都完全相同． 选项A中，一个是圆形，一个是方形，形状不同，不是全等形； 选项B中，一个是六边形，一个是五边形，形状不同，不是全等形； 选项C中，两个三角形大小不同，不是全等形； 选项D中，两个心形的形状和大小都完全相同，能够完全重合，是全等形； 故选：D． 【变式训练2】（25-26八年级上·全国·单元复习）对于两个图形，有下列结论：①两个图形的周长相等；②两个图形的面积相等；③两个图形的周长和面积都相等；④两个图形的形状相同，大小也相同．其中能得到这两个图形全等的结论共有______个． 【答案】1 【分析】本题考查了全等形的概念，熟练掌握能够完全重合的两个图形叫做全等形．强调能够完全重合，对各项进行验证可得答案． 【详解】解：①周长相等的两个图形不一定重合，所以不一定全等； ②面积相等的两个图形不一定重合，所以不一定全等； ③如果周长相同面积相同而形状不同，则不全等， ④两个图形的形状相同，大小也相等，则二者一定重合，正确． 所以只有1个正确， 故答案为：1． 【变式训练3】如图，四边形与四边形全等，则________，________，________，________． 【答案】 ； ； ； ． 【分析】本题考查了全等图形的性质，如果两个图形全等，那么这两个图形的对应角相等、对应边相等． 【详解】解：四边形与四边形全等， ，，，． 故答案为：；；； ． 题型二 将已知图形分割成几个全等图形(全等图形) 【典例精讲】在如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为1．沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形．在所有的分割方案中，最长分割线的长度等于______． 【答案】7 【分析】沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形，画出所有的分割方案，即可得到最长分割线的长度． 【详解】解：分割方案如图所示： 由图可得，最长分割线的长度等于7． 故答案为：7． 【变式训练1】（24-25八年级上·黑龙江·单元测试）下列图标中，不是由全等形组合成的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等图形的概念分析即可． 本题考查了全等图形，熟练掌握能够完全重合的两个图形是全等图形是解题的关键． 【详解】解：A、该图像是由四个全等的图形构成，故该选项不符合题意； B、该图像是由五个全等的图形构成，故该选项不符合题意； C、该图像不是由全等图形构成，故该选项符合题意； D、该图像是由两个全等的图形构成，故该选项不符合题意； 故选：C． 【变式训练2】（23-24八年级上·广西钦州·期中）如图，四边形是由8个全等梯形拼接而成，其中，，则的长为（　　）    A．10.8 B．9.6 C．7.2 D．4.8 【答案】B 【分析】本题考查了全等图形的性质，由图形知，所示的图案是由梯形和七个与它全等的梯形拼接而成，根据全等图形的性质有是解决问题的关键． 【详解】解：∵四边形为梯形，上底，下底，四边形是由8个全等梯形拼接而成， ∴． 故选：B． 【变式训练3】（2024八年级上·江苏·专题练习）从图（1）和（2）中分别找出两组全等形，并写出对应边和对应角． 【答案】见解析 【分析】根据全等图形的定义判断即可．本题考查全等图形，解题的关键是理解全等图形的定义． 【详解】解：图（1）中，四边形四边形， 对应边: 对应角: 四边形四边形． 对应边: 对应角: 图（2）中，， 对应边: 对应角: 对应边: 对应角: 题型三 全等三角形的概念 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·期中）如图，已知．写出对应边、对应角． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的对应边与对应角．把两个全等的三角形重叠到一起时，重合的顶点叫作对应顶点，重合的边叫作对应边，重合的角叫作对应角．据此即可解答． 【详解】解：对应边：与，与，与； 对应角：与，与，与． 【变式训练1】（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，若沿直线对折，与重合，则________，的对应边是________，的对应边是________，的对应角是________，的对应角是________． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换及全等三角形的相关概念，解题的关键是掌握翻折的性质及找全等三角形对应边、角的方法． 根据翻折的性质解答即可． 【详解】解：若沿直线对折，与重合，则，的对应边是，的对应边是，的对应角是，的对应角是， 故答案为：，，，，． 【变式训练2】（24-25八年级上·陕西西安·期末）“如果两个三角形的周长相等，那么这两个三角形全等．”是______命题．（填“真”或“假”） 【答案】假 【分析】本题主要考查了全等三角形的定义，判断命题的真假，熟练掌握全等三角形的定义是解题的关键．根据全等三角形的定义，即可求解． 【详解】解：周长相等，无法判定三角形全等， 则“如果两个三角形的周长相等，那么这两个三角形全等，”是假命题． 故答案为：假． 【变式训练3】（25-26八年级上·重庆北碚·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．两个等边三角形一定全等 B．两个全等三角形的周长相等 C．面积相等的两个三角形一定全等 D．三个角对应相等的两个三角形全等 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的定义和性质判断各选项的正确性． 【详解】解：∵全等三角形的对应边相等， ∴它们的周长相等，故B正确； A项两个等边三角形可能大小不同，不一定全等； C项面积相等的三角形形状可能不同，不一定全等； D项三个角对应相等的三角形相似，但不一定全等， 故选：B． 题型四 全等三角形的性质 【典例精讲】（25-26八年级上·安徽安庆·阶段检测）若如图所示的两个三角形全等，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的对应角相等，进行求解即可. 【详解】解：∵两个三角形全等，且的两条邻边分别为， ∴. 【变式训练1】（25-26八年级上·甘肃临夏·阶段检测）如图，，点与，与分别是对应顶点，且测得，，则长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴ 【变式训练2】（24-25八年级上·江西吉安·期中）如图，，点E在边上，若，则线段的长是 _______． 【答案】15 【分析】由全等三角形的性质推出，求出，即可得到的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式训练3】（25-26八年级上·福建福州·阶段检测）如图，，，，则的长是 _______ ． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴ ∵， ∴ 【真题演练1】（2025·广东梅州·中考真题）下列命题是假命题的是（    ） A．对顶角相等 B．全等三角形对应角相等 C．同位角相等 D．两点之间，线段最短 【答案】C 【详解】解：∵对顶角相等是对顶角的基本性质， ∴A是真命题，不符合题意； ∵全等三角形对应角相等是全等三角形的基本性质， ∴B是真命题，不符合题意； ∵只有当两直线平行时，同位角才相等，原命题缺少两直线平行的前提条件，结论不成立， ∴C是假命题，符合题意； ∵两点之间，线段最短是基本线段公理， ∴D是真命题，不符合题意． 【真题演练2】（2025·山西运城·中考真题）下列命题中是假命题的是（   ） A．对顶角相等 B．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 C．同角（或等角）的余角相等 D．全等三角形的对应边相等、对应角相等 【答案】B 【分析】本题考查常见几何命题的真假判断，结合相关几何性质逐一判断，即可找出假命题． 【详解】解；∵对顶角的性质为对顶角相等，∴A是真命题； ∵只有两条平行直线被第三条直线所截时，内错角才相等，该命题未说明两条直线平行，∴B是假命题； ∵根据余角的性质，同角(或等角)的余角相等，∴C是真命题； ∵根据全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等对应角相等，∴D是真命题； 综上，假命题为B选项． 【真题演练3】（2025·重庆大足·中考真题）如图，，若，，则等于______． 【答案】 【分析】根据全等三角形的性质得到，即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【真题演练4】（2025·浙江宁波·中考真题）如图所示，，且点在同一条直线上． (1)试判断与的位置关系，并说明理由． (2)线段与线段相等吗？说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】（）由全等三角形的性质得，再根据平行线的判定即可求证； （）利用全等三角形的性质解答即可求证； 本题考查了全等三角形的性质，平行线的判定，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， 即． 【真题演练5】（2025·江苏无锡·中考真题）如图1，在中，，，，，动点P从点A出发，以的速度沿着三角形的边运动，回到点A时停止，设运动时间为． (1)当时，______； (2)当点P在上运动时： ①______（用含t的式子表示） ②当的周长被线段分为相等的两部分时，求t的值； (3)若的面积等于面积的一半，求t的值； (4)如图3，在中，，，，．如图2，在的边上有另一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿边运动，回到点A时停止；若在运动过程中的某一时刻，和全等，请直接写出此时点Q的运动速度． 【答案】(1)6 (2)①；② (3)或 (4)或或或 【分析】本题考查三角形中的动点问题，全等三角形的性质，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想求解，是解题的关键： （1）根据路程等于速度乘以时间，列出代数式即可； （2）①根据求解即可． ②根据题意，易得，即点的路程等于三角形周长的一半，列出方程进行计算即可； （3）分点为的中点和点为的中点两种情况，进行求解即可； （4）分，两种情况，再分点在上和点在上，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：当时，； 故答案为：6； （2）解：①当点在边上，； ②由题意，得：， ∴， 解得：； 故答案为：6； （3）解：①当点为的中点时，为的中线，则：， ； ②当点为的中点时，为的中线，则：， ； 综上：或； （4）解：①当，则：， 当点在上时，，解得：， ∴点的速度为：； 当点在上时，则：， ∴点的速度为：； ②当时，则：， 当点在上时，，解得：， ∴点的速度为：； 当点在上时，则：， ∴点的速度为：； 综上：点的速度为或或或． 【基础夯实】 1．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在和中，点B，E，C，F在同一条直线上，和交于点G．若，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，由等腰三角形的性质得到，由全等三角形的性质推出，判定，推出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 2．（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）下列命题的逆命题是真命题的是（    ） A．如果两个角是直角，那么它们相等 B．若，则 C．两直线平行，内错角相等 D．全等三角形的对应角相等 【答案】C 【分析】本题考查了判断命题的真假，平行线的性质，全等三角形的判定和性质等，分别写出各命题的逆命题，再判断真假即可 【详解】解：A、如果两个角是直角，那么它们相等的逆命题为：如果两个角相等，那么它们是直角，该命题为假命题，不符合题意； B、若，则的逆命题为：若，则；，但，该命题为假命题，不符合题意； C、两直线平行，内错角相等的逆命题为：内错角相等，两直线平行；该命题为真命题，符合题意； D、全等三角形的对应角相等的逆命题为：对应角相等的两个三角形全等，该命题为假命题，不符合题意； 故选：C 3．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）如图，已知线段米，于点，米，于，点从点向运动，每秒走1米，点从点向运动，每秒走2米，、同时从出发，则出发秒后，在线段上有一点，使与全等，则的值为（   ） A． B．5或10 C．10 D．或10 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．根据题意，分类讨论：当时，，；当时，，；由全等三角形性质计算的值是否符合题意，即可求解． 【详解】解：点从点向运动，每秒走1米，点从点向运动，每秒走2米，、同时从出发，则出发秒后， ∴米，米， ∴（米）， 当时，，， ∴， 解得，， 此时，不符合题意，舍去； 当时，，， ∴， 解得，， 此时，符合题意； 综上所述，与全等，的值为， 故选：A ． 4．（25-26八年级上·湖北荆州·期末）图，，，，点P在线段上以的速度由点向点运动．同时，点在线段上由点向点运动，设运动时间为，则______ （用含有t的式子表示）；当与全等时，点的运动速度为________． 【答案】 2或3 【分析】本题考查了动点几何、全等三角形的性质，设点的运动速度为时，有，，，当与全等时，需要分和两种情况讨论，根据全等三角形对应边相等，可得关于、的方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：设点的运动速度为时，与全等， 则有，，， 当时， 可得：，， ，， ， 解得：， 点的运动速度为； 当时， 可得：，， ， 解得：， 点的运动速度为； 综上所述，点的运动速度为或． 故答案为：；或． 5．（2025八年级上·上海·专题练习）如图，在中，，，，现有两个动点和同时从点出发，分别在三角形三边按照逆时针和顺时针方向围绕三角形运动一圈后回到初始位置，其中点的速度为，设运动时间为．在中，，，．在两点运动过程中的某一时刻，恰好有（顶点分别与顶点D、对应），则点的运动速度为______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，勾股定理，根据题意分两种情况进行分析，利用全等三角形的性质得出点所走的路程，进而可求出的运动时间，即的运动时间，再利用“速度路程时间”求解即可，掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题关键． 【详解】解：∵，，， ∴， 同理得：， 设点的运动速度为，分情况讨论如下： 当点在上, 点在上，时， ∴，， ∴， 解得：； 当点在上, 点在上, 时， ∴，， ∴点的路程为，点的路程为， ∴， 解得：， 故答案为：或． 6．（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，，点在线段上，，则的度数为______． 【答案】/44度 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质得出，所以，从而得到，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·贵州安顺·期末）如图，，，，点在线段上以秒的速度由点向点运动，同时，点从点出发沿射线运动，若经过秒后，与全等，则的值是_____． 【答案】或4 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当和②当时，利用全等三角形对应边相等，列出方程即可求解． 【详解】解：由题意知，，， ，， ①当时， ， ， ； ②当时， ∴， ， ， 综上，当的值是或4时，能够使与全等， 故答案为：或4． 8．在的网格中（每个小网格都是边长为1的正方形），的三个顶点都在格点上．         (1)在图1中，画一个格点，使与全等，并且使点P在内部； (2)在图2中，画一个格点，使与全等，并且使的一个顶点在一边的垂直平分线上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据全等三角形的性质作图即可； （2）根据网格特点作出的垂直平分线，再根据全等三角形的性质作图即可． 【详解】（1）解：所求图形，如图所示； （2）解：直线l是的垂直平分线，所求三角形如图所示． 9．（25-26八年级上·河南漯河·期末）综合与探究． 【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如，由图可以得到，基于此，请解答下列问题． 【直接应用】（1）若，，求的值． 【类比应用】（2）若，则_____． 【知识迁移】（3）将两块全等的特制直角三角板（）按如图所示的方式放置，其中点，，在同一直线上，点，，也在同一直线上，连接，．若，，求一块直角三角板的面积． 【答案】（）；（）；（）一块直角三角板的面积为． 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，全等三角形的性质，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （）利用完全平方公式解决问题即可； （）设，则，由，即，可得 ； （）由，得，，，又点，，在同一直线上，点，，也在同一直线上，所以，，设，，利用面积关系，构建方程组求解． 【详解】解：（）∵，，， ∴， ∴； （），则， ∵，即， ∴， 故答案为：； （）∵， ∴，，， ∵点，，在同一直线上，点，，也在同一直线上， ∴，， 设，， ∵， 又∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 答：一块直角三角板的面积为． 10．（24-25八年级上·青海海东·期末）如图，在中，，，点在上，且；点从出发以每秒的速度向点运动，同时，点从出发向点运动，设运动时间为秒，连接、． (1)用含t的式子表示、； (2)若点N的运动速度也为每秒，t为何值时，； (3)若点N的运动速度和点M的速度不相等，要使，则点N的运动速度为多少？全等时t为多少？ 【答案】(1)，； (2)； (3)点N的速度为每秒，全等时 【分析】本题考查了全等三角形的性质，解一元一次方程，列代数式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意列代数式即可； （）由点的运动速度也为每秒，则，，再由，则，所以，然后求解即可； （）由点的运动速度和点的速度不相等，则，，则，，即为中点，所以，然后求解即可； 【详解】（1）解：由题意得：，； （2）解：∵点的运动速度也为每秒， ∴，， ∵； ∴， ∴，解得， ∴时，； （3）解：由点的运动速度和点的速度不相等，则， ∵， ∴，， ∴为中点， ∴，解得：， ∴点的速度为每秒． 【培优拔高】 1．（25-26八年级上·山东青岛·期末）下列是假命题的是（    ） A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．两直线平行，同位角相等 C．全等三角形的面积相等 D．同角的余角相等 【答案】A 【分析】本题主要考查命题与定理知识．根据平行公理、平行线的性质、全等三角形的性质、余角的性质，逐一判断各选项命题的真假即可． 【详解】解：A、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原命题为假命题，该选项符合题意； B、两直线平行，同位角相等，为真命题，该选项不符合题意； C、全等三角形的面积相等，为真命题，该选项不符合题意； D、同角的余角相等，为真命题，该选项不符合题意； 故选：A． 2．（25-26八年级上·江西南昌·期末）如图，在锐角中，，，为上一动点，将，分别沿，向外翻折，得到，，连接，当 面积的最小值为8时，则的面积为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的折叠问题，全等三角形的性质和三角形的最小面积，解题的关键是弄清楚什么时候三角形的面积最小． 由将，分别沿，向外翻折至，可得：，由，得，面积，当取最小值时面积的最小即可求解． 【详解】解： ，分别沿，向外翻折至，， ，， ，，， ， ， 面积， 当取最小值时，的面积最小， 在中，当为边的高，即垂直时，最小， 此时，面积的最小值为：， 解得：， ， 故选：D． 3．（25-26八年级上·贵州遵义·阶段检测）给出下列说法：①三角形的三条高都在三角形的内部；②周长相等的两个三角形全等；③全等三角形的面积相等；④成轴对称的两个图形一定全等；⑤全等的两个图形一定成轴对称．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的高、全等三角形的定义等知识点．根据三角形的高、全等三角形的定义逐个判定，最后统计即可解答． 【详解】解：钝角三角形有两条高在三角形的外部，故①错误； 周长相等的三角形不一定全等，故②错误； 全等三角形的面积一定相等，即③正确； 成轴对称的两个图形一定全等，但全等的两个图形不一定成轴对称，故④正确，⑤错误． 综上正确的只有2个． 故选：B． 4．（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）如图，，垂足为A，厘米，厘米，射线，垂足为B，一动点P从点A出发以3厘米/秒的速度沿射线运动，同时动点D从点B出发沿射线运动．设点D运动的速度为v厘米/秒，当_____厘米/秒时，能够在某一时刻使与全等． 【答案】或2或6 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，设点P运动的时间为秒，则厘米，厘米，厘米，当点P在线段上时，只有这种情况，当点P在的延长线上时，只存在和两种情况，据此根据全等三角形的性质建立方程组求解即可． 【详解】解：设点P运动的时间为秒，则厘米，厘米，厘米， ∵，， ∴， 当点P在线段上时， ∵， ∴此时只有这种情况， ∴厘米，厘米， ∴， 解得； 当点P在的延长线上时，， ∴只存在和两种情况， 当时，则厘米，厘米， ∴， 解得； 当时，则厘米，厘米， ∴， 解得； 综上所述，v的值为或2或6． 故答案为：或2或6． 5．（25-26八年级上·四川绵阳·期中）如图，等腰中，，，，点为中点，如果点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上由点C向点A运动．当与全等时，点Q的运动速度为____． 【答案】2或 【分析】本题考查了全等三角形的对应边相等的性质，等边对等角的性质．根据等边对等角可得，然后表示出，再根据全等三角形对应边相等，分①、是对应边，②与是对应边两种情况讨论求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 设点P、Q的运动时间为t， ， ∵， ∴， ∵与全等， ∴或， ①当时，， 解得：， 则， 故点Q的运动速度为：； ②当时， ∵， ∴，， ∴（秒）． 故点Q的运动速度为． 故答案为：2或． 6．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点D匀速运动，若与在某一时刻全等，则点Q运动速度为______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，设点P运动时间为t秒，点Q运动速度为，则，，根据，可得或，再根据全等三角形的性质分类讨论，即可求解． 【详解】解：设点P运动时间为t秒，点Q运动速度为，则，， ∴ ， ∵， ∴或， 当时，，， ∴，解得：， ∴ ，解得：； 当时，，， ∴ ，解得：； 综上所述，点Q运动速度为 或． 故答案为： 或． 7．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，已知，，点在线段上，若，，则的长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理，熟练掌握全等三角形的对应边和对应角相等是解题的关键． 利用全等三角形的性质得到对应边和角的关系，连接，通过角度推导证明，再结合等腰直角三角形的性质，运用勾股定理求解AD的长度． 【详解】解：连接． ， ，，，，， ，即， 是等腰直角三角形，， ∴， 又，， 是等腰直角三角形，， 在中，，， 由勾股定理得：， 是等腰直角三角形，，且，即， ， ∴（负值舍去）， 故答案为： 8．（25-26八年级上·山东临沂·期末）【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题： (1)【直接应用】 若，，求的值． (2)【类比应用】 ①若，则______． ②若满足，求的值． (3)【知识迁移】 两块全等的特制直角三角形板（）如图2所示放置，其中，，在同一直线上，连接，．若，，求一块直角三角形板的面积． 【答案】(1) (2)①；② (3)30 【分析】本题考查的是完全平方公式及其变形的应用，全等三角形的性质，三角形面积的计算，完全平方公式在几何图形中的应用，熟练地运用完全平方公式的几个变形是解本题的关键． （1）把，，代入，从而可得答案； （2）①先求出，根据求出结果即可； ②先求出，再利用完全平方公式变形求值即可； （3）先证明，，，三点共线，由可得，，结合已知条件可得，，再利用求出，从而计算答案． 【详解】（1）解：，，， ， 解得，； （2）解：①， ， ； 故答案为：3； ②， ， ； （3）解：，，三点共线，且， ， ， ，，三点共线， ， ， ，， ，， ，， ， ， ， 即一块直角三角板的面积为30． 9．（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）【阅读理解】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题： 【类比应用】 （1）①若，，则的值为_________； ②若，则_________； 【迁移应用】 （2）两块完全相同的特制直角三角板如图2所示放置，其中A，O，D在一直线上，连接AC，BD，若，，求一块三角板的面积． 【答案】（1）①；②13；（2）22 【分析】本题考查了根据完全平方公式变形求解，整体数学思想等知识． （1）①根据，得到，进而求出，进一步求出，即可求出； ②根据，得到，把变形为，整体代入即可求解； （2）由题意得，设，即可得到，进而得到，再求出，即可求出． 【详解】解：（1）①∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； ②∵， ∴， 即， ∴． 故答案为：13 （2）由题意得， ∴设， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．（24-25八年级上·江苏常州·阶段检测）如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)如图①，当时，___________； (2)如图①当___________时，的面积等于面积的一半； (3)如图②，在中，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止，在两点运动过程中的某时刻，恰好，求点的运动速度． 【答案】(1)4 (2)或 (3)点的运动速度为或时，在两点运动过程中的某时刻，． 【分析】本题主要考查全等三角形的性质及三角形面积、一元一次方程的几何应用，分类讨论思想，掌握全等三角形的性质及分情况讨论是解题的关键． （1）当时，点在线段上，则点的运动距离即为的长； （2）先求出，进而得出，分两种情况讨论：当点在上时，，利用三角形面积公式求解即可；解得：；当点在上时，过点作于点，此时，先利用等面积法求出，再利用三角形面积公式求解即可； （3）分两种情况讨论：①当点在上，点在上；②当点在上，点在上，根据全等三角形的性质，得到，，再分别求出点的运动时间，进而求出点的运动速度即可． 【详解】（1）解：由题意可知，当时，点的运动距离为， ， 当时，点在线段上，此时， 故答案为：； （2）解：在中，，，，， ， 的面积等于面积的一半， 当点在上时，如图，此时， ， 解得：； 当点在上时，如图，过点作于点，此时， ， ， ， ， ， 解得：， 综上可知，当或时，的面积等于面积的一半， 故答案为：或； （3）解：∵，，，，，，，， ∴， ①当点在上，点在上， 当时， ，， 点的运动时间， 点的运动速度为； ②当点在上，点在上， 当时， ，， 点的运动时间， 点的运动速度为； 综上可知，点的运动速度为或时，在两点运动过程中的某时刻，． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $