精品解析：北京市门头沟区2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷

北京市门头沟区2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷 一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 正比例函数的图象经过（　　） A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限 3. 下列曲线中，能表示y是x的函数的是（ ） A B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A B. C. D. 5. 下列条件中，能判定△ABC是直角三角形的一组条件是（ ） A. B. C D. 6. 竭午节来临之际，某班级举办了“端午文化我知道”的知识竞赛，小明的成绩为95分，超过了班级半数同学的成绩，分析得出这个结论所用的统计量是（ ） A. 方差 B. 平均分 C. 众数 D. 中位数 7. 下列条件不能判定平行四边形是正方形的是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 8. 如图1，在菱形中，，动点P从点A出发，沿，，匀速运动至点B，连接，．设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y与x之间的函数图象如图2所示，那么下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 菱形的面积 D. 当时，点P一定运动到的中点 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 计算： =_____． 10. 在二次根式，，，中，最简二次根式是________． 11. 已知，在一次函数图象上，且，写出一个满足条件的k的值________． 12. 在矩形中，对角线，相交于点O，，E为的中点．如果，那么的长是________．     13. 如图，函数与的图象交于点A，那么关于x，y的方程组的解是________． 14. 某学校规定学生的学期体育成绩满分为100，其中平时成绩占20%，期中成绩占30%，期末成绩占50%，小枫的三项成绩依次是95、90、80．小枫这学期的体育成绩是________． 15. 如图，的对角线，相交于点O，，．如果，，那么四边形的周长是________． 16. 如图，在四边形中，，点E在上，且，，取的中点P，连接，，，，给出下面三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是________． 三、解答题（本题共68分，第17～22随每小题5分，第23～26题每小题5分，第27～28题每小题5分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 当时，求的值． 19. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，． （1）画出该一次函数的图象，并求这个一次函数的解析式； （2）当时，的取值范围是 ； （3）如果点，那么的面积是 ． 20. 如图，在▱ABCD中，点E是AB边的中点，DE的延长线与CB的延长线交于点F．求证：BC=BF． 21. 已知：如图 1，直线，线段． 求作：矩形，使得点在直线的上方，且． 作法：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，交直线于点M，N； ②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在直线上方相交于点P，作射线；在射线上截取； ③以点B为圆心，线段a的长为半径画弧，再以点D为圆心，长为半径画弧，两弧在直线上方相交于点C； ④连接． ∴四边形为所求的矩形． （1）根据以上作法，使用直尺和圆规补全图2（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：∵， ∴四边形是平行四边形（）（填推理的依据）。 又 ∵由作图可知，， ∴， ∴平行四边形是矩形（ ）（填推理的依据）． 22. 如图，在四边形中，，点E在上，，平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接交于点O，如果E为的中点，且，，求的长． 23. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与函数的图象交于点． （1）求m和k的值； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值小于的值，直接写出n的取值范围． 24. 某公司为参加“2025年人形机器人半程马拉松赛”，对本公司生产的甲、乙两款人形机器人的满意度进行了测评，并从中各随机抽取20份测评结果，对数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．对甲、乙两款人形机器人满意度的评分数据： 甲款：65，67，76，77，78，79，85，85，85，85，88，89，90，90，94，94，97，98，98，100 乙款：68，69，78，78，78，79，79，86，87，88，88，88，89，89，89，97，98，98，99，99 对甲，乙两款人形机器人满意度的评分统计表： 人形机器人 平均数 中位数 众数 方差 甲款 86 86.5 m 93.9 乙款 86 n 88 81.4 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中 ， ； （2）根据以上数据，你认为哪款人形机器人的满意度更好，请说明理由； （3）此次测评中，有350人对甲款人形机器人进行评分，400人对乙款人形机器人进行评分，如果评分数据不低于90分被认定为“优秀”，请估计此次测评中对甲、乙两款人形机器人的满意度评分为“优秀”的共有多少人． 25. 五一期间，无人机灯光秀点亮某景区上空．其中，1号无人机从地面起飞，2号无人机从距离地面12米的高台起飞，两架无人机同时匀速上升，当上升12秒时，都停止上升开始表演．在上升过程中，记1号，2号两架无人机上升的时间为x（单位：秒）．1号无人机距离地面的竖直高度为（单位：米），2号无人机距离地面的竖直高度为（单位：米）．记录仪记录的部分数据如下： x/秒 0 1 2 3 4 7 12 y1/米 0 6 12 18 24 42 72 y2/米 12 16 20 24 28 40 60 （1）通过分析数据，发现可以用函数刻画与x，与x之间的关系．在同一平面直角坐标系中，已经画出与x的函数图象，请画出与x的函数图象； （2）根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当1号无人机上升5秒时，距离地面的竖直高度为 米； 当2号无人机距离地面的竖直高度为52米时，上升的时间为 秒； ②当1号，2号两架无人机上升 秒时，距离地面的竖直高度相同； ③当1号，2号两架无人机上升 秒时，距离地面的竖直高度相差4米． 26. 如图，在平面直角坐标系中，将点向上平移3个单位长度，得到点B，点B在直线上． （1）求m的值和点B的坐标； （2）如果一次函数的图象与线段有公共点，求k的取值范围． 27. 如图，在正方形中，E是延长线上一点，连接，O为的中点，过点E作于点F，连接．设． （1）依题意补全图形； （2）求的度数（用含α的式子表示）； （3）用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，A为平面内一点．对于点P和线段给出如下定义：如果线段的中点在线段上，则称点P是线段关于点A的“倍增点”． （1）如图1，，， ①如果，那么在点，，，中，线段关于点A的“倍增点”是 ； ②已知，如果点P是线段关于点“倍增点”，那么 ，a的取值范围是 ； （2）已知，点M，N在直线上，且．设点M的横坐标为n，如果在直线上存在点P，使点P是线段关于点A的“倍增点”，直接写出n的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市门头沟区2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷 一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是被开方数为非负数是解题的关键； 根据二次根式有意义的条件是被开方数不能为负数列式计算即可； 【详解】解：根据题意可知，， 即； 故选：B 2. 正比例函数的图象经过（　　） A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据正比例函数中k的符号即可确定正比例函数的图象经过的象限． 【详解】解：正比例函数中， 因此图象经过第一、三象限， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正比例函数的性质，熟记“当时，正比例函数的图象经过第二、四象限；当时，正比例函数的图象经过第一、三象限”是解决问题的关键． 3. 下列曲线中，能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查函数的概念，设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，据此进行判断即可． 【详解】解：A、对于x的每一个确定的值，y不一定有唯一的值与其对应，那么y不是x的函数，不符合题意； B、对于x的每一个确定的值，y不一定有唯一的值与其对应，那么y不是x的函数，不符合题意； C、对于x的每一个确定的值，y不一定有唯一的值与其对应，那么y不是x的函数，不符合题意； D、对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么y是x的函数，符合题意． 故选：D． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，平方根和平方运算的基本性质，逐一验证各选项的正确性即可. 【详解】解：选项A：， 根据平方与平方根的互逆关系，的平方即为，计算正确； 选项B：， 平方根的非负性要求，因此，而非，计算错误； 选项C：， 根号表示算术平方根，结果非负，故，而是方程的解，选项混淆了平方根与方程解的概念，计算错误； 选项D：， 平方运算结果非负，，而非，计算错误； 故选：A 5. 下列条件中，能判定△ABC是直角三角形的一组条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理解答即可． 【详解】解：A、∵， ∴设，，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，符合题意； B、∵任何三角形都有， ∴不一定是直角三角形，不符合题意； C、∵， ∴是等边三角形， ∴不是直角三角形，不符合题意； D、∵， ∴， ∴不是直角三角形，不符合题意； 故选：A． 6. 竭午节来临之际，某班级举办了“端午文化我知道”的知识竞赛，小明的成绩为95分，超过了班级半数同学的成绩，分析得出这个结论所用的统计量是（ ） A. 方差 B. 平均分 C. 众数 D. 中位数 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了统计量．根据中位数的意义即可求解． 【详解】解：某班级举办了“端午文化我知道”的知识竞赛，小明的成绩为95分，超过了班级半数同学的成绩，所用的统计量是中位数， 故选：D． 7. 下列条件不能判定平行四边形是正方形的是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正方形的判定，根据正方形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵平行四边形，， ∴平行四边形为矩形， ∵， ∴平行四边形为正方形；故选项A不符合题意； ∵平行四边形，， ∴平行四边形为菱形， ∴；不能判断平行四边形是正方形，故选项B符合题意； ∵∵平行四边形，， ∴平行四边形为菱形， ∵ ∴平行四边形为正方形；故选项C不符合题意； ∵平行四边形，， ∴平行四边形为矩形， ∵， ∴平行四边形为正方形；故选项D不符合题意； 故选B． 8. 如图1，在菱形中，，动点P从点A出发，沿，，匀速运动至点B，连接，．设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y与x之间的函数图象如图2所示，那么下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 菱形的面积 D. 当时，点P一定运动到的中点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据图1和图2判定为等边三角形，菱形的边长为2，解答即可． 【详解】解：由点P的运动可知，， 在菱形中，可得，即， 故A错误，不符合题意； 连接，在菱形中，，， ∴为等边三角形， ∴的面积，即， 故B正确，符合题意； ∴， 故C错误，不符合题意； 当时，x有两个值，即点P可能在上，也可能在上， 故D错误，不符合题意； 故选：B． 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 计算： =_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题利用二次根式的除法法则进行计算即可求出答案． 【详解】解： 故答案为． 【点睛】此题考查了二次根式的除法，此题较简单，解题时要利用二次根式的除法法则进行计算是本题的关键． 10. 在二次根式，，，中，最简二次根式是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的判定条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数的因数是整数，因式是整式．根据最简二次根式的判定条件逐个分析即可得解，熟练掌握最简二次根式的判定条件是解此题的关键． 【详解】解：，，，不是最简二次根式，是最简二次根式， 故答案为：． 11. 已知，在一次函数的图象上，且，写出一个满足条件的k的值________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数性质是关键．根据题意推知一次函数的增减性，由此可以得到k的取值范围，从而得到答案． 【详解】解：∵，在一次函数的图象上，且，， ∴一次函数y值随x的增大而减小， ∴． ∴符合题意． 故答案为：（答案不唯一）． 12. 在矩形中，对角线，相交于点O，，E为的中点．如果，那么的长是________．     【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；证是等边三角形，得，再证是的中位线，即可求解，熟练掌握矩形的性质和三角形中位线定理，证明为等边三角形是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：1． 13. 如图，函数与的图象交于点A，那么关于x，y的方程组的解是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组之间的关系，两一次函数的交点的横纵坐标即为两一次函数解析式联立得到的二元一次方程组的解，据此可得答案． 【详解】解：由函数图象可得点A的坐标为， ∵函数与的图象交于点A， ∴关于x，y的方程组的解是， 故答案为：． 14. 某学校规定学生的学期体育成绩满分为100，其中平时成绩占20%，期中成绩占30%，期末成绩占50%，小枫的三项成绩依次是95、90、80．小枫这学期的体育成绩是________． 【答案】86 【解析】 【分析】本题考查加权平均数，根据加权平均数的定义求解即可． 【详解】解：小枫这学期的体育成绩是， 故答案为：86． 15. 如图，的对角线，相交于点O，，．如果，，那么四边形的周长是________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定和性质．证明四边形是平行四边形可得结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴四边形的周长． 故答案为：5． 16. 如图，在四边形中，，点E在上，且，，取的中点P，连接，，，，给出下面三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是________． 【答案】③ 【解析】 【分析】①根据已知条件可依据“”判定和全等得，在中，根据得，由此即可对结论①进行判断； ②过点A作于点F，过点P作于点H，证明四边形是矩形得，在中，根据得，由此即可对结论②进行判断； ③过点A作于点F，延长交的延长线于点，取的中点，连接，证明，得到，，推出是的中位线，那么，，得到，结合，进而得到，在中，由勾股定理得：，进而得，由此即可对结论③进行判断，综上所述即可得出结论． 【详解】解：①在和中， ，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故结论①不正确； ②过点A作于点F，延长交的延长线于点，取的中点，连接，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故结论②不正确； ③过点A作于点F，延长交的延长线于点，取的中点，连接，如图所示： ， ， ，， ， ，， ， 是的中位线， ，， ， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 故结论③正确， 综上所述：正确结论的序号是③． 故答案为：③． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形中位线，平行的性质，勾股定理是解决问题的关键． 三、解答题（本题共68分，第17～22随每小题5分，第23～26题每小题5分，第27～28题每小题5分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式混合运算，平方差公式，先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解： ． 18. 当时，求的值． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式运算，代数式求值，把所求式子中的5写成，再把前三项结合并分解因式，然后把代入进行计算即可，解题关键是熟练掌握完全平方公式和二次根式的性质． 【详解】解：∵， ∴． 19. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，． （1）画出该一次函数的图象，并求这个一次函数的解析式； （2）当时，的取值范围是 ； （3）如果点，那么的面积是 ． 【答案】（1）见解析， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征待定系数法求一次函数解析式：求一次函数，则需要两组，的值． （1）利用描点法画出一次函数图象，然后利用待定系数法求出一次函数解析式； （2）先分别确定函数值为和所对应的自变量的值，然后根据一次函数的性质求解； （3）直接利用三角形面积公式计算． 【小问1详解】 解：如图， 把，分别代入得， 解得， 这个一次函数的解析式为； 【小问2详解】 当时，， 当时，， 解得， 当时，的取值范围是； 故答案为：； 【小问3详解】 ，，， 的面积． 故答案为：． 20. 如图，在▱ABCD中，点E是AB边的中点，DE的延长线与CB的延长线交于点F．求证：BC=BF． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】首先由平行四边形的性质可得AD=BC，再由全等三角形的判定定理AAS可证明△ADE≌△BFE由此可得AD=BF，进而可证明BC=BF． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ADBC，AD=BC， 又∵点F在CB的延长线上， ∴ADCF， ∴∠1=∠2． ∵点E是AB边的中点， ∴AE=BE． 在△ADE与△BFE中， ∵∠DEA=∠FEB，∠1=∠2，AE=BE， ∴△ADE≌△BFE（AAS）， ∴AD=BF， ∴BC=BF． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边、对顶角以及公共角． 21. 已知：如图 1，直线，线段． 求作：矩形，使得点在直线的上方，且． 作法：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，交直线于点M，N； ②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在直线上方相交于点P，作射线；在射线上截取； ③以点B为圆心，线段a的长为半径画弧，再以点D为圆心，长为半径画弧，两弧在直线上方相交于点C； ④连接． ∴四边形为所求的矩形． （1）根据以上作法，使用直尺和圆规补全图2（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：∵， ∴四边形是平行四边形（）（填推理的依据）。 又 ∵由作图可知，， ∴， ∴平行四边形是矩形（ ）（填推理的依据）． 【答案】（1）见解析 （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题考查作图—复杂作图、平行四边形的判定、矩形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据作法直接作图即可； （2）根据平行四边形的判定、矩形的判定填空即可． 【小问1详解】 解：如图所示． 【小问2详解】 证明：∵， ∴四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）， 又 ∵由作图可知，， ， ∴平行四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）． 故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形． 22. 如图，在四边形中，，点E在上，，平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接交于点O，如果E为的中点，且，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）6 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理，熟练掌握菱形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，根据平行线的性质得到，求得，得到，根据菱形的判定定理得到四边形是菱形； （2）根据菱形的性质得到，，再由得出，然后利用勾股定理求出即可得到结论． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵E为的中点， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 23. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与函数的图象交于点． （1）求m和k的值； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值小于的值，直接写出n的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，两条直线相交或平行问题，一次函数图象与系数的关系； （1）依据题意，由一次函数的图象与函数的图象交于点，则，且，进而计算可以得解； （2）方法一：依据题意，由当时，对于x的每一个值，函数的值小于的值，则，且，可得，且．故，进而计算可以得解； 方法二：在同一坐标系作出函数和图象，又当时，，再令，则，又当时，对于x的每一个值，函数的值小于的值，然后结合图象即可判断得解． 【小问1详解】 由题意，∵一次函数的图象与函数的图象交于点， ∴，且． ∴，； 【小问2详解】 解：方法一：∵当时，对于x的每一个值，函数的值小于的值， ∴，且． ∴，且． ∴． ∴． 方法二：在同一坐标系作出函数和的图象． 由题意得，当时，， ∴令，则． ∵当时，对于x的每一个值，函数的值小于的值， ∴结合图象可得，． 24. 某公司为参加“2025年人形机器人半程马拉松赛”，对本公司生产的甲、乙两款人形机器人的满意度进行了测评，并从中各随机抽取20份测评结果，对数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．对甲、乙两款人形机器人满意度的评分数据： 甲款：65，67，76，77，78，79，85，85，85，85，88，89，90，90，94，94，97，98，98，100 乙款：68，69，78，78，78，79，79，86，87，88，88，88，89，89，89，97，98，98，99，99 对甲，乙两款人形机器人满意度的评分统计表： 人形机器人 平均数 中位数 众数 方差 甲款 86 86.5 m 93.9 乙款 86 n 88 81.4 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中 ， ； （2）根据以上数据，你认为哪款人形机器人的满意度更好，请说明理由； （3）此次测评中，有350人对甲款人形机器人进行评分，400人对乙款人形机器人进行评分，如果评分数据不低于90分被认定为“优秀”，请估计此次测评中对甲、乙两款人形机器人的满意度评分为“优秀”的共有多少人． 【答案】（1）85，88 （2）乙款人形机器人的满意度更好，理由见解析 （3）240人 【解析】 【分析】本题考查了平均数的意义、求一组数据的中位数、求一组数据的众数、方差的意义，解题关键是理解各统计量的意义及求解方法． （1）分别根据众数和中位数的定义解答即可； （2）根据平均数、中位数、众数和方差的意义解答即可； （3）利用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：在甲款人形机器人满意度的评分数据中，85出现的次数最多，故众数； 把乙款人形机器人满意度的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数分别是88，88，故中位数， 故答案为：85，88； 【小问2详解】 解：乙款人形机器人的满意度更好，理由如下： 因为乙两款人形机器人满意度的评分的平均数相同，但乙款人形机器人的满意度评分的中位数和众数均高于甲款人形机器人，且方差小于甲款人形机器人，所以乙款人形机器人的满意度更好； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计此次测评中对甲、乙两款人形机器人的满意度评分为“优秀”的共有240人． 25. 五一期间，无人机灯光秀点亮某景区上空．其中，1号无人机从地面起飞，2号无人机从距离地面12米的高台起飞，两架无人机同时匀速上升，当上升12秒时，都停止上升开始表演．在上升过程中，记1号，2号两架无人机上升的时间为x（单位：秒）．1号无人机距离地面的竖直高度为（单位：米），2号无人机距离地面的竖直高度为（单位：米）．记录仪记录的部分数据如下： x/秒 0 1 2 3 4 7 12 y1/米 0 6 12 18 24 42 72 y2/米 12 16 20 24 28 40 60 （1）通过分析数据，发现可以用函数刻画与x，与x之间的关系．在同一平面直角坐标系中，已经画出与x的函数图象，请画出与x的函数图象； （2）根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当1号无人机上升5秒时，距离地面的竖直高度为 米； 当2号无人机距离地面的竖直高度为52米时，上升的时间为 秒； ②当1号，2号两架无人机上升 秒时，距离地面的竖直高度相同； ③当1号，2号两架无人机上升 秒时，距离地面的竖直高度相差4米． 【答案】（1）见解析 （2）①30，10；②6；③4或8 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，（1）描点并连线即可； （2）①根据路程等于速度乘时间分别写出y1与x，y2与x之间的函数关系式，当时，求出对应y1的值，当时，求出对应x的值即可； ②当时，列关于x的一元一次方程并求解即可； ③当时，列关于x的绝对值方程并求解即可． 【小问1详解】 解：用描点法画出y1与x的函数图象如图所示： 【小问2详解】 解：①1号无人机上升速度为6米/秒，则y1与x之间的函数关系式为， 当时，， ∴当1号无人机上升5秒时，距离地面的竖直高度为30米； 2号无人机上升速度为4米/秒，则y2与x之间的函数关系式为， 当时，得， 解得， ∴当2号无人机距离地面的竖直高度为52米时，上升的时间为10秒． 故答案为：30，10． ②当时，得， 解得， ∴当1号，2号两架无人机上升6秒时，距离地面的竖直高度相同． 故答案为：6． ③当时，得， 解得或， ∴当1号，2号两架无人机上升4秒或8秒时，距离地面的竖直高度相差4米． 故答案为：4或8． 26. 如图，在平面直角坐标系中，将点向上平移3个单位长度，得到点B，点B在直线上． （1）求m的值和点B的坐标； （2）如果一次函数的图象与线段有公共点，求k的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象与系数的关系、坐标与图形的变化﹣平移，熟练掌握以上知识点是关键． （1）先求出点B的坐标，再根据一次函数图象上点的坐标特征解答即可； （2）分别将点A、B的坐标代入解析式求出k值即可得到取值范围． 【小问1详解】 解：∵将点向上平移3个单位长度，得到点B， ∴， ∵点B在直线上， ∴， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：如图： 当一次函数的图象过点时，，解得； 当一次函数的图象过点时，，解得； ∴一次函数的图象与线段有公共点k的取值范围为：． 27. 如图，在正方形中，E是延长线上一点，连接，O为的中点，过点E作于点F，连接．设． （1）依题意补全图形； （2）求的度数（用含α的式子表示）； （3）用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析 （2） （3），证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意画出图形即可； （2）根据正方形的性质得到，得到，根据直角三角形的性质得到，求得，根据三角形外角的性质得到； （3）求得，连接，由O为的中点，得到，求得，得到是等腰直角三角形，得到，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 解：如图所示 【小问2详解】 ∵四边形是正方形， ∵O为的中点， ∴， ， ． 【小问3详解】 ．理由如下 证明：， ∴， 连接， ∵O为的中点， ∴ ， ， ， ∴是等腰直角三角形，且, ∴, 即, ∴或(不符合题意，舍去)， ∵， ， ∴． 【点评】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 28. 在平面直角坐标系中，A为平面内一点．对于点P和线段给出如下定义：如果线段的中点在线段上，则称点P是线段关于点A的“倍增点”． （1）如图1，，， ①如果，那么在点，，，中，线段关于点A的“倍增点”是 ； ②已知，如果点P是线段关于点的“倍增点”，那么 ，a的取值范围是 ； （2）已知，点M，N在直线上，且．设点M的横坐标为n，如果在直线上存在点P，使点P是线段关于点A的“倍增点”，直接写出n的取值范围． 【答案】（1）①，；②2， （2）或 【解析】 【分析】本题考查一次函数的综合应用，坐标与图形，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，理解“倍增点”的意义． （1）①根据“倍增点”的定义逐个判断即可； ②表示出的中点为，可知在线段上，故，，即可解得答案； （2）设，可得的中点为，由在直线上，有，解得，故，根据点M的横坐标为n，点M在直线上，点N在直线上，，可得或，当，时，，解得：；当，时，，解得：． 【小问1详解】 解：①∵，， ∴的中点为， ∵，， ∴的中点在线段上， ∴是线段关于点A的“倍增点”； ∵，， ∴的中点为， ∵，， ∴的中点不在线段上， ∴不是线段关于点A的“倍增点”； ∵，， ∴的中点为， ∵，， ∴的中点在线段上， ∴是线段关于点A的“倍增点”； ∵，， ∴的中点为， ∵，， ∴的中点不在线段上， ∴不是线段关于点A的“倍增点”； 故答案为：，； ②∵，， ∴的中点为， ∵点P是线段关于点A的“倍增点”， ∴在线段上， ∵，， ∴，， 解得：，； 故答案为：2，； 【小问2详解】 解：由P在直线上，设， ∵， ∴的中点为， ∵点P是线段关于点A的“倍增点”， ∴在线段上， ∵点M，N在直线上， ∴在直线上， ∴， 解得， ∴， ∵点M的横坐标为n，点M在直线上， ∴， ∵点N在直线上，， ∴或， 当，时， ∵在线段上， ∴， 解得：； 当，时， ∵在线段上， ∴， 解得：； ∴n的取值范围是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $