精品解析：广东省清远市英德市2024-2025学年下学期七年级期末数学试卷

广东省清远市英德市2024-2025学年下学期七年级期末数学试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. “一片甲骨惊天下”，安阳殷墟出土的甲骨文是我国目前发现最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉．下列甲骨文字是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 将花生油滴入水中，油会浮在水面上，这个事件是（ ） A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 随机事件 D. 以上都不正确 3. 人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 垂线段最短 C. 两直线平行，内错角相等 D. 三角形具有稳定性 4. 如图，过点P作直线的平行线，可作的平行线有（ ）     A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 无数条 5. 如图，如果，那么，其依据可以简单说成（ ） A. 两直线平行，内错角相等 B. 内错角相等，两直线平行 C. 两直线平行，同位角相等 D. 同位角相等，两直线平行 6. 如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕l，则l是△ABC的（ ） A 中线 B. 中位线 C. 高线 D. 角平分线 7. 1687年，牛顿通过观察苹果落地现象，发现任何物体之间都有相互吸引力，从而提出万有引力定律，下面的哪一幅图可以大致刻画出苹果整个下落过程中（即落地前）的速度变化情况（　　） A. B. C. D. 8. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，与关于直线对称，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，从边长为的大正方形纸片中剪去一个边长为的小正方形，剩余部分（如图2）沿虚线剪开，按图3方式拼接成一个长方形（无缝隙不重合）则该长方形的面积为（ ） A. 9 B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 计算：_______． 12. 小杨在一个不透明的箱子里摸乒乓球，其中黄的有个，白的有个，那么一次摸到黄球的概率为________． 13. 如图，若，，则________度． 14. 如图，将平面镜放置在桌面上，光线经过平面镜反射形成光线．已知，，，则的度数为 ________ ． 15. 如图，，，若要用判定，还需要一个条件，则这个条件是__________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每题7分，共21分． 16. 如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠B，∠C＝60°，求∠D的度数． 17. 已知：如图，线段、、．求作：，使得，，．(保留作图痕迹，不写作法) 18. 第一小组同学们要测量池塘两端A，B距离，先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘直接到达点A和B；再连接并分别延长到点D，E，使；连接．你认为第一小组同学们这样设计得到的线段与有什么样的数量关系？并说明理由． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顾《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． （1）如图1，若点A和点B分别在直线l两侧，请作出示意图，在直线l上找到点C，使得有最小值，并说明作图依据： ； （2）如图2，若点A和点B在直线l的同侧，请在直线l上作出点P，使得有最小值，并说明理由． 21. 【阅读材料】 两个两位数相乘，如果这两个两位数的个位数字相同，十位数字的和是，对于这种特殊关系的两位数相乘，计算结果与原来的两位数数位上的数字有一些特殊的关联．例如：，它们乘积的前两位是，等于，它们乘积的后两位是，等于，用速算方法计算可得：，，它们乘积的前两位是12，等于，它们乘积的后两位是9，等于，不足两位，就将9写在个位，十位上写0，用速算方法计算可得：．该速算方法可以用我们所学的数学知识说明其合理性． （1）观察与归纳：观察上述例子，请以这种速算方法计算 ； （2）推理与解释： ①对于这种特殊关系的两位数相乘，设其中一个两位数的十位数字为a，个位数字是b（a表示1～9的整数、b表示0～9的整数），则该两位数可表示为，另一个两位数可表示为 ； ②用速算方法计算这两个两位数相乘得到的结果可以表示为： ； ③请运用所学知识，说明满足条件的两个两位数相乘可以用上述速算方法计算结果的理由． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 如图1，已知点P在直线l外，利用如下方法也可以作出过点P与直线l平行的直线： 在直线l上任取一点A，以点A为圆心，以的长为半径作弧，交直线l于点B；以点P为圆心，以的长为半径作弧；以点A为圆心，以的长为半径作弧，交前弧于点C；作直线，则． （1）这种作法用到了哪些你学过的基本尺规作图？（提示：连接PA） （2）请说明这种作平行线方法道理． （3）连接，，，则与相等吗？请说明理由． 23. （1）提出问题：如图1，在中，，点正好落在直线上，则、的关系为 　　． （2）探究问题：①如图2，在中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． ②如图3，将①中的条件改为：在中，，、、三点都在上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问①中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）解决问题：如图4，直线经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若，，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求此时的值．（直接写出结果） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 广东省清远市英德市2024-2025学年下学期七年级期末数学试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. “一片甲骨惊天下”，安阳殷墟出土的甲骨文是我国目前发现最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉．下列甲骨文字是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A. ，不是轴对称图形； B. ，是轴对称图形； C. ，不是轴对称图形； D. ，不是轴对称图形． 故选：B． 2. 将花生油滴入水中，油会浮在水面上，这个事件是（ ） A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 随机事件 D. 以上都不正确 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，根据花生油的物理性质判断事件类型即可，熟练掌握必然事件指在一定条件下必然发生的事件是解此题的关键． 【详解】解：花生油的密度小于水的密度，根据物理常识，当油滴入水中时，由于密度差异，油必定会上浮至水面， 因此，该事件属于必然事件， 故选：A． 3. 人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（ ） A. 两点之间，线段最短 B 垂线段最短 C. 两直线平行，内错角相等 D. 三角形具有稳定性 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了三角形的性质，关键是根据三角形的稳定性解答． 根据三角形的稳定性解答即可． 【详解】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性， 故选：D． 4. 如图，过点P作直线的平行线，可作的平行线有（ ）     A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 无数条 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行公理，根据过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行求解即可． 【详解】解，∵过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行， ∴过点P作直线的平行线，可作的平行线有1条， 故选：A 5. 如图，如果，那么，其依据可以简单说成（ ） A. 两直线平行，内错角相等 B. 内错角相等，两直线平行 C. 两直线平行，同位角相等 D. 同位角相等，两直线平行 【答案】D 【解析】 【分析】根据“同位角相等，两直线平行”即可得． 【详解】解：因为与是一对相等的同位角，得出结论是， 所以其依据可以简单说成同位角相等，两直线平行， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题关键． 6. 如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕l，则l是△ABC的（ ） A. 中线 B. 中位线 C. 高线 D. 角平分线 【答案】D 【解析】 【分析】根据折叠的性质可得，作出选择即可． 【详解】解：如图， ∵由折叠的性质可知， ∴AD是的角平分线， 故选：D． 【点睛】本题考查折叠的性质和角平分线的定义，理解角平分线的定义是解答本题的关键． 7. 1687年，牛顿通过观察苹果落地的现象，发现任何物体之间都有相互吸引力，从而提出万有引力定律，下面的哪一幅图可以大致刻画出苹果整个下落过程中（即落地前）的速度变化情况（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程成为解答本题的关键．根据自由落体运动速度与事件的关系进行判定即可． 【详解】解：苹果从树上落下来，基本是自由落体运动， 即，g为定值，故v与t成正比例函数，v随t的增大而增大． 符合条件的只有选项B． 故选：B． 8. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查积的乘方、单项式除以单项式，完全平方公式，同底数幂的乘法，根据以上运算法则逐项判断解答即可． 【详解】解：A. ，原计算错误； B. ，原计算错误； C. ，计算正确； D. ，原计算错误； 故选：C． 9. 如图，与关于直线对称，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据对称的两个图形全等求得的度数，然后在中利用三角形内角和求解． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，理解轴对称的两个图形全等是关键． 10. 如图1，从边长为的大正方形纸片中剪去一个边长为的小正方形，剩余部分（如图2）沿虚线剪开，按图3方式拼接成一个长方形（无缝隙不重合）则该长方形的面积为（ ） A. 9 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由图形可知，长方形的长为两正方形的和，宽为两长方形的差，据此可得答案． 【详解】解：根据题意，长方形的面积为： [（a＋5）＋（a＋2）][（a＋5）−（a＋2）] ＝3（2a＋7） ＝6a＋21， 故选：D． 【点睛】本题主要考查平方差公式的几何背景，根据图形的变化得出面积的等量关系是解题的关键． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 计算：_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查单项式与多项式的乘法，熟练掌握单项式与多项式的乘法法则是解题的关键．利用单项式与多项式的乘法法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 小杨在一个不透明的箱子里摸乒乓球，其中黄的有个，白的有个，那么一次摸到黄球的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式求概率，由一个不透明的袋中装有除颜色外完全相同的4个白球和2个黄球，直接利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：∵由一个不透明的袋中装有除颜色外完全相同的4个白球和2个黄球， ∴一次摸到黄球的概率为 故答案为：． 13. 如图，若，，则________度． 【答案】136 【解析】 【分析】先根据，得出，进而得出，即可得出答案． 【详解】解： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：136． 【点睛】本题考查平行线的判定与性质，掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 14. 如图，将平面镜放置在桌面上，光线经过平面镜反射形成光线．已知，，，则的度数为 ________ ． 【答案】##35度 【解析】 【分析】本题考查垂直的定义，角的计算． 由垂直的定义得到，而，即可得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，，，若要用判定，还需要一个条件，则这个条件是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定方法，根据“”的证明三角形全等的方法即可解答． 【详解】解：∵，， ∴当时，用判定， ∴添加的条件是． 故答案为： 三、解答题（一）：本大题共3小题，每题7分，共21分． 16. 如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠B，∠C＝60°，求∠D的度数． 【答案】60° 【解析】 【分析】由∠A＝∠B先判断，再利用平行线的性质可得答案． 【详解】解∵∠A＝∠B ， ∴（内错角相等，两直线平行） ∴∠D＝∠C（两直线平行，内错角相等） ∵∠C＝60°， ∴∠D＝60°． 【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，掌握“内错角相等，两直线平行以及两直线平行，内错角相等”是解本题的关键． 17. 已知：如图，线段、、．求作：，使得，，．(保留作图痕迹，不写作法) 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了作图-作三角形，首先画，再以为圆心，为半径画弧，以为圆心，为半径画弧，两弧交于一点，连接，，即可得到． 【详解】解：如图所示，就是所求的三角形． 18. 第一小组同学们要测量池塘两端A，B的距离，先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘直接到达点A和B；再连接并分别延长到点D，E，使；连接．你认为第一小组同学们这样设计得到的线段与有什么样的数量关系？并说明理由． 【答案】，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形在实际生活中的应用，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证是解题的关键． 直接利用证明即可得结论． 【详解】解：， 理由： 由题意知， 在和中， ， ∴， ∴． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19 先化简，再求值：，其中． 【答案】，7． 【解析】 【分析】先计算完全平方公式、平方差公式，再计算整式的加减法，然后将代入求值即可得． 【详解】解：原式， ， 将代入得：原式． 【点睛】本题考查了整式的化简求值，熟记完全平方公式和平方差公式是解题关键． 20. “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顾《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． （1）如图1，若点A和点B分别在直线l的两侧，请作出示意图，在直线l上找到点C，使得有最小值，并说明作图依据： ； （2）如图2，若点A和点B在直线l的同侧，请在直线l上作出点P，使得有最小值，并说明理由． 【答案】（1）两点之间线段最短 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图﹣应用与设计作图，轴对称﹣最短问题. （1）根据两点之间线段最短解决问题； （2）利用轴对称解决最短问题，作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，连接，点P即为所求． 【小问1详解】 解：如图1中，点C即为所求，依据是两点之间线段最短． 故答案为：两点之间线段最短； 【小问2详解】 如图2中，点P即为所求． 理由：在直线l上任意取一点，连接， ． ∵A，关于直线l对称， ∴，， ∵， ∴点P即为所求的点P． 21. 阅读材料】 两个两位数相乘，如果这两个两位数的个位数字相同，十位数字的和是，对于这种特殊关系的两位数相乘，计算结果与原来的两位数数位上的数字有一些特殊的关联．例如：，它们乘积的前两位是，等于，它们乘积的后两位是，等于，用速算方法计算可得：，，它们乘积的前两位是12，等于，它们乘积的后两位是9，等于，不足两位，就将9写在个位，十位上写0，用速算方法计算可得：．该速算方法可以用我们所学的数学知识说明其合理性． （1）观察与归纳：观察上述例子，请以这种速算方法计算 ； （2）推理与解释： ①对于这种特殊关系的两位数相乘，设其中一个两位数的十位数字为a，个位数字是b（a表示1～9的整数、b表示0～9的整数），则该两位数可表示为，另一个两位数可表示为 ； ②用速算方法计算这两个两位数相乘得到的结果可以表示为： ； ③请运用所学知识，说明满足条件两个两位数相乘可以用上述速算方法计算结果的理由． 【答案】（1） （2）①；②；③见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式及有理数的混合运算，理解题中所给计算方式是解题的关键．（1）根据题中所给计算方法进行计算即可；（2）根据所设未知数，用含a，b的代数式表示出另一个两位数，结合题中所给计算方法发现规律并说明理由即可． 【小问1详解】 解：结果的前两位为：，后两位是， 所以， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①由题意可得，另一个两位数的十位数字为，个位数字为b， 则另一个两位数可表示为：， 故答案为：； ②由题中所给速算方法可得，这两位数相乘可得到结果可以表示为：， 故答案为：； ③等号左边， 等号右边， 所以左边=右边， 因此这个等式成立，说明满足条件的两个两位数相乘可以用上述速算方法计算结果． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 如图1，已知点P在直线l外，利用如下方法也可以作出过点P与直线l平行的直线： 在直线l上任取一点A，以点A为圆心，以的长为半径作弧，交直线l于点B；以点P为圆心，以的长为半径作弧；以点A为圆心，以的长为半径作弧，交前弧于点C；作直线，则． （1）这种作法用到了哪些你学过的基本尺规作图？（提示：连接PA） （2）请说明这种作平行线方法的道理． （3）连接，，，则与相等吗？请说明理由． 【答案】（1）用到了作一条线段等于已知线段 （2）见解析 （3），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查作图﹣复杂作图，平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据五种基本作图判断即可； （2）利用全等三角形的判定和性质以及平行线的判定证明即可； （3）利用全等三角形的性质证明． 【小问1详解】 解：用到了作一条线段等于已知线段； 【小问2详解】 理由：连接，， 由作图可知，， ， ， ， ； 【小问3详解】 结论：． 理由：由（2）可知， ． 23. （1）提出问题：如图1，在中，，点正好落在直线上，则、的关系为 　　． （2）探究问题：①如图2，在中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． ②如图3，将①中的条件改为：在中，，、、三点都在上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问①中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）解决问题：如图4，直线经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若，，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求此时的值．（直接写出结果） 【答案】（1）；（2）①，理由见解析；②成立．证明见解析；（3）当或或时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等判定与性质、等角的余角相等、三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． （1）利用平角的定义即可求解； （2）①先证明出，得出，，即可得出结果； ②证明出，得出，，即可得出结论； （3）由以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等．可知，而，的表示由，的位置决定，故需要对，的位置分当在上，在上时或当在上，在上时，或当到达，在上时，分别讨论． 【详解】解：（1），， ， 故答案为：； （2）①，理由如下： 直线，直线， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：； ②成立．证明如下： 如图2， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）①当在上，在上时，即， ，， 以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． ， ， ； ②当在上，在上时，即， ，， ， ， ； ③当到达，在上时，即， ，， ， ， ． 综上所述，当或或时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$