精品解析：2025年新疆维吾尔自治区伊犁哈萨克自治州巩留县中考模拟预测数学试题

新疆维吾尔自治区 新疆生产建设兵团2025年初中学业水平考试数学试题卷 考生须知： 1．本试卷分为试题卷和答题卷两部分，试题卷共4页，答题卷共2页． 2．满分150分，考试时间120分钟． 3．考生必须在答题卷上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效． 一、单项选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分） 1. 数的产生和发展离不开生活和生产的需要，如果一个问题中出现具有相反意义的量，就可以用正数和负数分别表示它们．若收入8元记作元，则支出5元记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2. 下列有关学科的图标中，是中心对称图形的是（ ） A B. C. D. 3. 计算：（ ） A. B. C. D. 4. 正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，若点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图是一把折扇，扇面是由两条弧和两条线段所组成的封闭图形，是的一半．已知，，则扇面的周长为（ ）． A. 30 B. C. D. 7. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有垣高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸：瓠生其下，蔓日长一尺，问几何日相逢？瓜、瓠各长几何？大意是：已知墙高9尺，长在墙头的瓜蔓每天向下长7寸；同时，长在墙下的葫芦每天向上长1尺，问经过多少天两蔓相遇，此时瓜蔓、葫芦蔓的长度各为多少？（注：）设两蔓相遇时瓜蔓的长度为寸，葫芦蔓的长度为寸，则下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 在三角形的三个内角中，如果满足其中一个内角是另一个内角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”，其中内角称为“主智慧角”，内角称为“次智慧角”．如图，在中，，，为边上一点，连接．若是“智慧三角形”，且为“主智慧角”，为“次智慧角”，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图1，在菱形中，连接，动点从点出发沿折线匀速运动，回到点后停止．设点运动路程为，线段的长为，图2是与的函数关系的大致图象，点为第2段函数图象上的最低点，结合图象判断以下结论：①；②为等边三角形；③菱形的面积为；④最低点的坐标为．其中结论正确的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 10. “海葵一号”是我国自主设计建造的亚洲首艘圆筒型浮式生产储卸油装置，是集原油生产、存储、外输等功能于一体的海洋装备，最大储油量达6万吨．将数据用科学记数法表示应为______． 11. 关于一元二次方程有两个实数根，则的值可以是_____． 12. 某学校制作了甲、乙、丙三个简易机器人，为了从中挑选一个参加市级比赛，教师评委从“运动、感知、协同”三种能力的表现进行打分，得到如下统计表（单位：分）： 运动 感知 协同 甲 乙 丙 若“运动、感知、协同”三种能力按的权重进行打分，则它们的排名（从高到低）是____． 13. 如图1，小新计划用9个完全相同的三角形瓷砖按照如图2的方式围成一个正九边形瓷砖镶嵌在家里的卫生间做装饰，则_____． 14. 如图，在中，，，，，分别为边，上的任意一点，且．连接．若是直角三角形，则_____． 15. 如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接，，是线段上的动点（在上方）．若，则的最小值为_____． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中，． 17. （1）解分式方程：； （2）如图，已知，，请用无刻度的直尺和圆规，作以，为邻边的正方形．小新的作法如图1所示． ①试根据小新作法，求证：四边形为正方形； ②请在图2中，再作一个正方形（方法与图1不一样，保留作图痕迹，不需要证明）． 18. 某校开展“天文知识竞赛”活动，并从全校学生中抽取了若干学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（竞赛成绩用表示，总分为100分，共分成五个等级：：；：；：；：；：）．并绘制了如下尚不完整的统计图： c．抽取学生中等级C的成绩数据从小到大排列：70，71，72，73，74，76，76，77，78，78． 根据以上信息，回答下列问题： （1）该抽样的样本容量为______，抽取学生成绩的中位数是______； （2）全校1200名学生中，估计A等级有多少人； （3）将抽取学生中等级为C的10人按分数分为两个天文知识学习小组：75分以上的同学组成甲组．75分以下的同学组成乙组．若从甲乙两组中分别随机抽取一人代表小组，求他们的分数之差不低于8分的概率． 19. 如图，的对角线，交于点，是上一点，延长至点，使得，与交于点，恰好是的中点． （1）求证：； （2）连接，，当时，求证：四边形是矩形． 20. 在校园科技节活动中，学校布置了一项挑战任务：精准测量学校教学楼的高度．任务一发布，来自各个班级的数学学习小组纷纷踊跃参与，某小组进行了以下实践活动： （1）准备测量工具 ①测角仪；②皮尺． （2）实地测量数据 ①测量示意图如图所示； ②测量数据如下：教学楼前台阶的斜坡的长为米，坡比，在离点，米的点处，测得教学楼顶端的仰角为； ③测量数据说明：点，，，在同一平面内，． （3）计算教学楼的高度 请根据以上数据，计算教学楼的高度．（参考数据：，，，，结果精确到米） 21. 新疆纸皮核桃，皮薄如纸，以易取整仁而得名，富含蛋白质、钙、磷、铁等矿物质和微量元素及维生素，具有极高的营养价值．某商贸公司经销甲、乙两个品种的纸皮核桃，甲品种纸皮核桃进价为16元/千克；乙品种纸皮核桃的进货总金额（单位：元）与乙品种纸皮核桃的进货量（单位：千克）之间的关系如图所示，经过试销，在城市销售甲、乙两个品种纸皮核桃的售价分别为20元/千克和25元/千克．某日，该商贸公司收购了甲、乙两个品种的纸皮核桃共1000千克，其中乙品种的收购量不低于200千克，且不高于500千克． （1）求乙品种纸皮核桃的进货总金额与进货量之间的函数解析式； （2）从收购点运到商场其他各种费用还需要1800元，且收购的纸皮核桃能够全部卖完，该商贸公司收购多少千克乙种纸皮核桃可获得最大利润，最大利润是多少？ （3）在（2）的基础上，商场把两种核桃混合售卖，并把最大利润的让利给购买者，那么纸皮核桃的销售价应定为多少？（结果保留整数） 22. 如图，是的直径，点是弧的中点，是上一点，连接交于点，点是延长线上一点，且，连接，，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 23. 【问题情境】 在“数学活动”课上，老师提出如下问题：将图1中两个全等的直角三角形纸板和重合放置，其中，，．将绕点顺时针旋转，旋转角为（）． 【数学思考】 （1）如图2，当的直角顶点刚好落在边上时，的延长线交于点，试探究与的数量关系，并说明理由； 【深入探究】 （2）老师将继续绕点顺时针旋转到图3位置，作射线交于点．试探究与的数量关系，并说明理由； （3）如图4，在绕点顺时针旋转的过程中，连接，，当是一个以为直角边的直角三角形时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新疆维吾尔自治区 新疆生产建设兵团2025年初中学业水平考试数学试题卷 考生须知： 1．本试卷分为试题卷和答题卷两部分，试题卷共4页，答题卷共2页． 2．满分150分，考试时间120分钟． 3．考生必须在答题卷上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效． 一、单项选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分） 1. 数的产生和发展离不开生活和生产的需要，如果一个问题中出现具有相反意义的量，就可以用正数和负数分别表示它们．若收入8元记作元，则支出5元记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相反意义的量，熟练掌握正负数表示相反意义的量是解题的关键．由题意得，收入记作正，则支出记作负，据此即可解答． 【详解】解：若收入8元记作元，则支出5元记作元． 故选：C． 2. 下列有关学科的图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．根据中心对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、此图不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、此图是中心对称图形，故此选项符合题意； C、此图不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、此图不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：B． 3. 计算：（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式．根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可． 【详解】解：， 故选：C． 4. 正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，若点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质、正比例函数的图象和性质．先求得点的坐标为，再根据两函数的图象分别关于坐标原点对称，即可求解点A的对称． 【详解】解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴， ∴点的坐标为， ∵正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点， ∴点A与点B的坐标关于原点对称， ∵点B的坐标为， ∴点A的坐标为． 故选：A． 5. 如图，，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理和数轴的定义，根据数轴知，点B所表示的数为，由勾股定理得，进而得，即可确定A的值． 【详解】解：由数轴知，点B所表示的数为， 由勾股定理知， ∵， ∴， ∴A到原点的距离为， 又∵点A在点的左侧， ∴点A所表示的数为， 故选：C． 6. 如图是一把折扇，扇面是由两条弧和两条线段所组成的封闭图形，是的一半．已知，，则扇面的周长为（ ）． A. 30 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式，线段中点的计算，正确掌握弧长公式是解题的关键． 根据题意得到，再结合弧长公式求解，即可解题． 【详解】解：是的一半．， ， ， ， ， 扇面的周长为， 故选：B． 7. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有垣高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸：瓠生其下，蔓日长一尺，问几何日相逢？瓜、瓠各长几何？大意是：已知墙高9尺，长在墙头的瓜蔓每天向下长7寸；同时，长在墙下的葫芦每天向上长1尺，问经过多少天两蔓相遇，此时瓜蔓、葫芦蔓的长度各为多少？（注：）设两蔓相遇时瓜蔓的长度为寸，葫芦蔓的长度为寸，则下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是行程问题中的相遇，读懂题意，找出数量关系，列出二元一次方程组是解答关键． 设两蔓相遇时瓜蔓的长度为寸，葫芦蔓的长度为寸，根据两蔓相遇时，它们的长度之和等于高度寸，两蔓生长天数相同来列出方程求解． 【详解】解：1尺寸， 高9尺就是寸， 所以． 故选：D． 8. 在三角形的三个内角中，如果满足其中一个内角是另一个内角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”，其中内角称为“主智慧角”，内角称为“次智慧角”．如图，在中，，，为边上一点，连接．若是“智慧三角形”，且为“主智慧角”，为“次智慧角”，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质．利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得，利用“智慧三角形”的定义求得，再利用三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵为“主智慧角”，为“次智慧角”， ∴， ∴， 故选：C． 9. 如图1，在菱形中，连接，动点从点出发沿折线匀速运动，回到点后停止．设点运动的路程为，线段的长为，图2是与的函数关系的大致图象，点为第2段函数图象上的最低点，结合图象判断以下结论：①；②为等边三角形；③菱形的面积为；④最低点的坐标为．其中结论正确的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图像，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等等．根据题意求得，得到和为等边三角形，作于点，利用勾股定理求得，据此求解可得结论． 【详解】解：∵菱形， ∴， 当点P运动到点B处时，，即， 当点P运动到点D处时，，所以，故①正确； ∴， ∴和为等边三角形，故②正确； 作于点， ∵， ∴， ∴， ∴菱形的面积为，故③错误； 当点P运动到点H处时，，， ∴最低点的坐标为，故④正确； 综上，①②④正确； 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 10. “海葵一号”是我国自主设计建造的亚洲首艘圆筒型浮式生产储卸油装置，是集原油生产、存储、外输等功能于一体的海洋装备，最大储油量达6万吨．将数据用科学记数法表示应为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：将数据用科学记数法表示应为； 故答案为：． 11. 关于的一元二次方程有两个实数根，则的值可以是_____． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】此题考查了根的判别式，掌握一元二次方程的定义，以及一元二次方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键． 根据一元二次方程的定义，得，根据方程有两个实数根，得出，求出的取值范围即可得出答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程， ∴， ∵方程有两个实数根， ∴， 解得：， ∴的取值范围是且，则的值可以是（答案不唯一） 故答案为：（答案不唯一）． 12. 某学校制作了甲、乙、丙三个简易机器人，为了从中挑选一个参加市级比赛，教师评委从“运动、感知、协同”三种能力表现进行打分，得到如下统计表（单位：分）： 运动 感知 协同 甲 乙 丙 若“运动、感知、协同”三种能力按权重进行打分，则它们的排名（从高到低）是____． 【答案】甲、乙、丙 【解析】 【分析】本题考查了求加权平均数，根据题意分别求得甲、乙、丙的平均分，即可求解． 【详解】解：甲的得分为： 乙的得分为： 丙的得分为： ∵ ∴它们的排名（从高到低）是甲、乙、丙 故答案为：甲、乙、丙． 13. 如图1，小新计划用9个完全相同的三角形瓷砖按照如图2的方式围成一个正九边形瓷砖镶嵌在家里的卫生间做装饰，则_____． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的外角，掌握正多边形的外角和为且每一个外角都相等是解题的关键．根据，即可求解． 【详解】解：∵是正九边形的一个外角， ∴ 故答案为：． 14. 如图，在中，，，，，分别为边，上的任意一点，且．连接．若是直角三角形，则_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了含度角的直角三角形的性质，分，两种情况分析，分别画出图形，根据含度角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：当时， ∵，， ∴， ∴ ∴， 又∵ ∴， ∴， 当时， 如图 ∵，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：或． 15. 如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接，，是线段上的动点（在上方）．若，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称求线段和的最值问题，勾股定理，二次函数的性质，将线段和进行转化是解题的关键；根据抛物线的解析式得出坐标，进而可得是等腰直角三角形，作点关于的对称点，以为邻边构造平行四边形，得出的坐标，根据，进而根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：∵对于抛物线，令， 则，即， 解得或，所以．则， 令，则，所以．则， ∵ ∴是等腰直角三角形， 如图，作点关于的对称点，以为邻边构造平行四边形 ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴到为向左平移1个单位，向上平移1个单位， ∴到为向左平移1个单位，向上平移1个单位，则 ∴ ∴当在上时，取得最小值 ∴ 即的最小值为． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）；（2）； 【解析】 【分析】本题考查整式的化简求值和实数的混合运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则． （1）先运算零指数幂、负整数指数幂、立方根，化简绝对值，然后合并解答即可． （2）根据完全平方公式与平方差公式进行化简，然后将，代入化简结果，即可求解． 【详解】解：（1） ； （2） 当，时，原式． 17. （1）解分式方程：； （2）如图，已知，，请用无刻度的直尺和圆规，作以，为邻边的正方形．小新的作法如图1所示． ①试根据小新的作法，求证：四边形为正方形； ②请在图2中，再作一个正方形（方法与图1不一样，保留作图痕迹，不需要证明）． 【答案】（1）；（2）①见解析；②见解析 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，作正方形，正方形的判定定理；熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）方程两边同时乘以，化为整式方程，解方程，并检验，即可求解； （2）①根据作图可得得出四边形是菱形，结合，得出四边形为正方形； ②连接，作的垂直平分线，在的垂直平分线上截取，根据得出四边形是平行四边形，根据作图可得，结合已知，即可得四边形为正方形． 【详解】（1）解： 方程两边同时乘以，得， 解得： 经检验，是原方程的解； （2）①根据作图可得 又∵， ∴ ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形为正方形； ②如图，连接，作的垂直平分线，在的垂直平分线上截取， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形为正方形； 18. 某校开展“天文知识竞赛”活动，并从全校学生中抽取了若干学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（竞赛成绩用表示，总分为100分，共分成五个等级：：；：；：；：；：）．并绘制了如下尚不完整的统计图： c．抽取学生中等级C的成绩数据从小到大排列：70，71，72，73，74，76，76，77，78，78． 根据以上信息，回答下列问题： （1）该抽样的样本容量为______，抽取学生成绩的中位数是______； （2）全校1200名学生中，估计A等级有多少人； （3）将抽取学生中等级为C的10人按分数分为两个天文知识学习小组：75分以上的同学组成甲组．75分以下的同学组成乙组．若从甲乙两组中分别随机抽取一人代表小组，求他们的分数之差不低于8分的概率． 【答案】（1）， （2）200名 （3） 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图、中位数、用样本估计总体及列表法求概率，能够读懂统计图，掌握用样本估计总体是解答本题的关键． （1）由组频数及其圆心角所占比例可得样本容量，再根据中位数的定义求解即可； （2）总人数乘以样本中等级人数所占比例即可； （3）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：该抽样的样本容量为， 抽取学生成绩的中位数为第和个数的平均数，即， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：全校名学生中，等级的人数可以估计为（名）， 故答案为：名； 【小问3详解】 列表如下： 70 71 72 73 74 76 6 5 4 3 2 76 6 5 4 3 2 77 7 6 5 4 3 78 8 7 6 5 4 78 8 7 6 5 4 由表知，共有25种等可能结果，其中他们的分数之差不低于8分的只有2种结果， 所以他们的分数之差不低于8分的概率为． 19. 如图，的对角线，交于点，是上一点，延长至点，使得，与交于点，恰好是的中点． （1）求证：； （2）连接，，当时，求证：四边形是矩形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了矩形判定、平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，掌握三角形全等的判定及平行四边形的性质运用是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质可得，结合已知可得是的中位线，则，根据平行四边形的性质得出，又是的中点，进而根据即可证明； （2）根据全等三角形的性质可得，结合得出，四边形是平行四边形，根据已知可得四边形的对角线相等，即可得证． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 又∵是的中点， ∴ ∴ 【小问2详解】 证明：∵ ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴ ∴四边形是矩形． 20. 在校园科技节活动中，学校布置了一项挑战任务：精准测量学校教学楼的高度．任务一发布，来自各个班级的数学学习小组纷纷踊跃参与，某小组进行了以下实践活动： （1）准备测量工具 ①测角仪；②皮尺． （2）实地测量数据 ①测量示意图如图所示； ②测量数据如下：教学楼前台阶的斜坡的长为米，坡比，在离点，米的点处，测得教学楼顶端的仰角为； ③测量数据说明：点，，，在同一平面内，． （3）计算教学楼高度 请根据以上数据，计算教学楼的高度．（参考数据：，，，，结果精确到米） 【答案】教学楼的高度为米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用；延长交于点，根据坡比得出（米） ，（米），在中，，列出方程解方程，即可求解． 详解】解：延长交于点，如图， 的坡度， ， 设，则， ∴， ∵的长为米， ∴， 解得：， ∴（米），（米） 在中，， 即， ， 解得米． 答：教学楼的高度为米． 21. 新疆纸皮核桃，皮薄如纸，以易取整仁而得名，富含蛋白质、钙、磷、铁等矿物质和微量元素及维生素，具有极高的营养价值．某商贸公司经销甲、乙两个品种的纸皮核桃，甲品种纸皮核桃进价为16元/千克；乙品种纸皮核桃的进货总金额（单位：元）与乙品种纸皮核桃的进货量（单位：千克）之间的关系如图所示，经过试销，在城市销售甲、乙两个品种纸皮核桃的售价分别为20元/千克和25元/千克．某日，该商贸公司收购了甲、乙两个品种的纸皮核桃共1000千克，其中乙品种的收购量不低于200千克，且不高于500千克． （1）求乙品种纸皮核桃的进货总金额与进货量之间的函数解析式； （2）从收购点运到商场的其他各种费用还需要1800元，且收购的纸皮核桃能够全部卖完，该商贸公司收购多少千克乙种纸皮核桃可获得最大利润，最大利润是多少？ （3）在（2）的基础上，商场把两种核桃混合售卖，并把最大利润的让利给购买者，那么纸皮核桃的销售价应定为多少？（结果保留整数） 【答案】（1） （2）最大利润元 （3）22元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键； （1）将，代入，待定系数法求解析式即可求解； （2）设销售完甲、乙两个品种的纸皮核桃所获总利润为w元，根据题意得出关于的一次函数，根据一次函数的性质，即可求解； （3）根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：当时，设关于的函数表达式为， 将，分别代入得， 解得：， 即关于的函数表达式为； 【小问2详解】 解：∵乙品种的收购量不低于200千克，且不高于500千克 ∴ ∵收购了甲、乙两个品种的纸皮核桃共1000千克，乙品种纸皮核桃的进货量x千克， ∴甲品种纸皮核桃的进货量千克， ∵甲品种纸皮核桃进价为16元/千克，甲品种纸皮核桃的售价为20元/千克， ∴甲品种纸皮核桃利润为4/千克， ∵乙品种纸皮核桃的售价为25/千克，从收购点运到商场的其他各种费用还需要1800元， 设销售完甲、乙两个品种的纸皮核桃所获总利润为w元， ∴， ∴w随x增大而增大， 即当时，w取得最大值，此时甲500千克，乙500千克． 【小问3详解】 设纸皮核桃的销售价为元/千克，根据题意得 解得： 答：纸皮核桃的销售价为元/千克 22. 如图，是的直径，点是弧的中点，是上一点，连接交于点，点是延长线上一点，且，连接，，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）的半径为 【解析】 【分析】本题考查圆的切线判定以及利用相似三角形和三角函数求解圆半径，解题关键是通过角的等量代换证明切线，利用圆周角定理、相似三角形性质和三角函数关系计算半径。 （1）连接，，利用得到角相等，结合圆的半径相等及点是半圆中点推出，通过角的等量代换得出，依据切线判定定理证明结论。 （2）利用同弧所对圆周角相等得，结合已知得到的值，由直径所对圆周角是直角构建直角三角形，通过角的等量关系证明，根据相似三角形对应边成比例及已知的值求出、，进而得出，得到圆的半径。 【小问1详解】 证明：连接，，如图， ， ， ， ， ， 点是半圆的中点， ， ． ，即， ． 为的半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：是的切线； ∴ ∴ ∵ ∴ 是的直径， ， ∴ ∴ ， 在中， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的半径为． 23. 【问题情境】 在“数学活动”课上，老师提出如下问题：将图1中两个全等的直角三角形纸板和重合放置，其中，，．将绕点顺时针旋转，旋转角为（）． 【数学思考】 （1）如图2，当的直角顶点刚好落在边上时，的延长线交于点，试探究与的数量关系，并说明理由； 【深入探究】 （2）老师将继续绕点顺时针旋转到图3位置，作射线交于点．试探究与的数量关系，并说明理由； （3）如图4，在绕点顺时针旋转的过程中，连接，，当是一个以为直角边的直角三角形时，请直接写出的长． 【答案】（1），见解析；（2），理由见解析；（3）或 【解析】 【分析】（1）解法1连接，证明即可； 解法2 根据勾股定理，得，得到，利用三角函数求得的长度，比较解答即可． （2）过点E作，交的延长线于点G，则，根据旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，余角的性质，三角形全等的判定和性质，证明即可． （3）当，根据旋转的性质，得，取的中点N，连接，交于点P，利用等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例定理，三角函数的应用解答即可；当，根据旋转的性质，得，取的中点M，连接，交于点Q，则，根据矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例定理解答即可． 【详解】（1）解：解法1：连接， ∵ ∴， ∴． 解法2：根据题意，得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：过点E作，交的延长线于点G， 则， ∵继续绕点顺时针旋转到如图位置，作射线交于点． ∴，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点是的中点． （3）解：当， 根据旋转的性质，得， 取的中点N，连接，交于点P， 则， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴ ∴， 解得； 当， 根据旋转的性质，得， 取的中点M，连接，交于点Q， 则， ∴，四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，三角形中位线定理的应用，三角函数的应用，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $