3.3探索与表达规律（共2课时） 作业单2025-2026学年北师大版数学七年级上册

2025-2026学年北师大版数学七年级上册 3.3探索与表达规律 第1课时 作业单 【基础知识】 1.(2025·重庆市·月考试卷)如图，小育用同样大小的黑色棋子摆放“上”字，其中第个图形中有颗棋子，第个图形中有颗棋子，第个图形中有颗棋子，，按此规律，则第个图形中，棋子的个数为(    ) A.B. C. D. 2.(2025·黑龙江省·单元测试)观察下列一组数：，，，，，，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第个数是      ． A. B. C. D. 3.(2025·黑龙江省哈尔滨市·模拟题)观察下列四个三角形内的数，确定的值(    ) A. B. C. D. 4.(2025·重庆市市辖区·期末考试)如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第个图形中有个圆，第个图形中有个圆，第个图形中有个圆，第个图形中有个圆，按此规律排列下去，第个图形中圆的个数是(    ) A. B. C. D. 5.(2025·江苏省无锡市·其他类型)我国南宋数学家杨辉所著的详解九章算术一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，即展开式系数的规律： 以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式的系数和是(    ) A. B. C. D. 6.(2025·山东省潍坊市·期末考试)根据整式的相关知识可知，，，，，，则的个位数字为(    ) A. B. C. D. 7.(2025·浙江省杭州市·期末考试)当分别取值，，，，，，，，时，计算代数式的值，将所得结果相加，其和等于______． 8.(2025·山东省淄博市·期末考试)图中的圆点是有规律地从里到外逐层排列的设为第层为正整数圆点的个数，则当时，的值为______． （T8图） （T10图） 9.(2025·广东省珠海市·期末考试)如图，下列是一组有规律的图案，它们由边长相同的小正方形组成，按照这样的规律，第个图案中涂有阴影的小正方形的数量是____个．用含有的式子表示 【提升知识】 10.(2025·湖南省长沙市·期末考试)在数学游艺会上，杨老师准备了张同样的卡片，上面分别写有，，，，，游戏规则是：将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上如图这五张卡片分别记为，，，，杨老师依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数最大． 如表是小明抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和． 卡片编号 ， ， ， ， ， 两数的和 则编号为______的卡片上的数最大． 11.(2025·北京市市辖区·期末考试)用长度相同的小木棍分别从左到右连续搭建一排三角形图和一排正方形图，图中搭建个三角形需要根小木棍，搭建个三角形需要根小木棍，搭建个三角形需要根小木棍，图中搭建个正方形需要根小木棍，搭建个正方形需要根小木棍，搭建个正方形需要根小木棍，． 按上述方式搭建了一排三角形和一排正方形，如果所用的小木棍根数恰好相等，且三角形的个数比正方形的个数多个，那么搭建了______个三角形，搭建这排世三角形用了______根小木棍； 如果按上述方式搭建个三角形和个正方形一共用了根小木棍，且，那么的值为______． 12.(2025·湖南省娄底市·模拟题)烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第种如图有个氢原子，第种如图有个氢原子，第种如图有个氢原子，按照这一规律，第种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是(    ) A. B. C. D. 13.(2025·广东省广州市·其他类型)如图，在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都为整数的点称为整点，观察图中每个正方形实线四条边上的整点的个数，假如按如图规律继续画正方形实线，请你猜测由里向外第个正方形实线的四条边上的整点共有_______个． 14.(2025·广东省梅州市·期末考试)观察下列各式： ； ； ； 猜想： ______； 利用中的猜想计算： ______； 计算； 若，求的值． 【拓展知识】 15.(2025·重庆市市辖区·其他类型)用表示十位数字为，个位数字为的两位数，其中，且是整数例如，当时，表示的两位数是． 当时， 当时， 请仿照上面的等式，用含的式子表示：           若与的差为，则          ． 2025-2026学年北师大版数学七年级上册 3.3探索与表达规律 第2课时 作业单 学科网（北京）股份有限公司 【基础知识】 1.(2025·广西壮族自治区钦州市·其他类型)如图，动点按图中箭头所示方向运动，第次从原点运动到点，第次运动到，第次运动到点，，按这样的规律运动，则第次运动到点(    ) A. B. C. D. 2.(2025·湖南省·同步练习)用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第个图案中有个圆圈，第个图案中有个圆圈，第个图案中有个圆圈，第个图案中有个圆圈，，按此规律排列下去，则第个图案中圆圈的个数为(    ) A. B. C. D. 3.(2025·重庆市市辖区·期末考试)如图，下列图形均是由完全相同的小圆点按照一定规律所组成的，第个图形中一共有个小圆点，第个图形中一共有个小圆点，第个图形中一共有个小圆点，，按此规律排列下去，第个图形中小圆点的个数是(    ) A. B. C. D. 4.(2025·青海省·历年真题)如图是谢尔宾斯基地毯图案的形成过程按此规律下去，第个图形中黑色三角形的个数是______． 5.(2025·广东省梅州市·期末考试)如图，用大小相同的小正方形拼图，第个图是一个小正方形，第个图由个小正方形拼成；第个图由个小正方形拼成，依此规律，则第个图由______个小正方形拼成． 6.(2025·安徽省合肥市·期末考试)观察下列等式： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 根据上述规律，解决下列问题． 请直接写出第个等式：______． 请猜想第个等式，并说明理由． 7.(2025·广东省佛山市·期末考试)观察下面算式的规律，解决问题： ；；；． 根据以上规律写出第个等式：______； 通过上面的算式，小明得出了一个结论：两个相差的奇数的平方差一定是的倍数请你证明这个结论． 8.(2025·河北省石家庄市·模拟题)甲乙两人做一个数字游戏，规则如下： 步骤一：甲写出一个正整数 步骤二：乙计算：； 步骤三：甲再根据，写出； 两个人继续交替写出新的整式，新的整式都在前一个等式的基础上加． 根据观察到的规律请你将表格补充完整： 甲根据观察发现：与的差为 当时，验证甲的结论； 请你通过计算判断甲的结论是否正确． 【提升知识】 9.(2025·重庆市县·期末考试)对于个互不相等的实数：，，，，，先将每两个数作差求绝对值，将这些绝对值的和记为例如三个互不相等的实数：，，，，，，则现有下列判断：对于四个实数：，，，，计算得；对于三个实数：，，，若，则或；对于从小到大排列的三个实数：，，，则计算的结果是唯一的其中正确的个数有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 10.(2025·江苏省南通市·模拟题)设是一个四位数，若这个数是的倍数，则，，，之间的关系式可以是(    ) A. B. C. D. 11.(2025·宁夏回族自治区银川市·模拟题)观察下列等式：，，，，，根据其中规律可得的结果的个位数字是____． 12.(2025·四川省·模拟题)黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位上的数字各不相同计算中可放在百位，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数例如：若选的数为，则，再将这个新数按上述方式重新排列，再相减这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”，该“卡普雷卡尔黑洞数”为           13.(2025·山东省泰安市·期中考试)将连续的偶数，，，排列成如下的数表，用十字框框出个数． 将十字框上下左右平移，但一定要框住数列中的个数，若设中间的数为，用含的代数式表示十字框中五个数之和； 十字框中五个数之和能等于吗？能等于吗？请说明理由． 【拓展知识】 14.(2025·山东省淄博市·期末考试)探究题：如图所示是将连续的偶数排成的数表的一部分： 问： 十字框中的五个数的平均数与中间数有什么关系？ 若将十字框上下或左右平移，可框住另外的五个数，这五个数的和能等于吗？请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 2025-2026学年北师大版数学七年级上册 3.3探索与表达规律 第1课时 作业单答案 1.【答案】  【解析】解：第个图形中有颗棋子， 第个图形中有颗棋子颗， 第个图形中有颗棋子颗， ， 以此类推，第个图形中，棋子的个数为， 故选：． 第个图形比第个图形多颗棋子，第个图形比第个图形多颗棋子，依次得出规律，计算即可． 本题考查图形类规律探索，发现规律是关键． 2.【答案】  【解析】略 3.【答案】  【解析】略 4.【答案】  【解析】解：因为第个图形中一共有个圆， 第个图形中一共有个圆， 第个图形中一共有个圆， 第个图形中一共有个圆； 可得第个图形中圆的个数是； 所以第个图形中圆的个数， 故选：． 根据图形的排列规律得到第个图形中圆的个数是据此计算即可． 本题考查图形的变换规律，根据图形的排列规律得到第个图形中圆的个数是是解决本题的关键． 5.【答案】  【解析】解：当，时，， 展开式的系数和是． 6.【答案】  【解析】解： ， ，，，，，，，，， ， 的个位数字为， 的个位数字为， 故选：． 根据题干中的规律将原式变形并计算，然后根据尾数特征即可求得答案． 本题考查数式规律问题，尾数特征，将原式进行正确地变形是解题的关键． 7.【答案】  【解析】解：当时，原式， 当时，原式， 当时，原式， 当时，原式， 当时，原式， 当时，原式， 那么当取互为倒数的两个数时，它们的和为， 因此所得结果相加可得， 故答案为：． 将，，，，，分别代入分式计算后总结规律，然后再算它们的和即可． 本题考查数式规律问题及分式的值，结合已知条件总结出规律是解题的关键． 8.【答案】  【解析】解：设为第层为正整数圆点的个数， ，，， 对于每一个的值，都有唯一的值和它相对应，可以发现：圆点个数是所在层数的倍， ， 故答案为：． 根据题意，找出每一层圆点的变化规律，并归纳公式即可． 此题考查规律型：图形的变化类，找出规律并归纳公式是解决此题的关键． 9.【答案】  【解析】解：由图形可知： 第个图案有涂有阴影的小正方形的个数为：， 第个图案有涂有阴影的小正方形的个数为：， 第个图案有涂有阴影的小正方形的个数为：， ， 第个图案有涂有阴影的小正方形的个数为：， 故答案为：． 通过分析图案个数与涂有阴影的小正方形的个数之间的关系即可得出结论． 本题主要考查了图形与数字的变化规律，列代数式，通过分析找到图案个数与涂有阴影的小正方形的个数之间的关系是解题的关键． 10.【答案】  【解析】解：设，，，，卡片上对应的数分别为，，，，， 则，，，，，，得， 所以，，得， 所以，，得， 所以，，得， 所以，，得， 所以， 所以，且， 所以卡片上的数最大； 故答案为：． 由题意得到关于的方程，然后作差利用不等式的性质，最后根据题意得结论． 本题考查了规律型：数字的变化类，解题的关键是找到规律． 11.【答案】，；   或．  【解析】搭建个三角形需要根小木棍， 搭建个三角形需要根小木棍，搭建个三角形需要根小木棍，； 则搭建个三角形需要根小木棍； 搭建个正方形需要根小木棍， 搭建个正方形需要根小木棍， 搭建个正方形需要根小木棍，； 则搭建个正方形需要根小木棍； 设搭建个三角形，个正方形是，所用的小木棍根数恰好相等， 则，解得：，则， 故搭建了个三角形，搭建这排三角形用了根小木棍； 故答案为：，； 根据题意：，即，解得：， ，为正整数，且， 或， 或． 故答案为：或． 根据已有图形，找出搭建三角形和正方形个数与小木棍的数量关系，再根据所用的小木棍根数恰好相等，且三角形的个数比正方形的个数多个，建立方程求解即可； 根据关系式，结合题意列出二元一次方程，再根据，为正整数，且，即可解答． 本题考查图形类规律探究，列代数式，一元一次方程的应用，二元一次方程的应用，确定图形规律，正确的列出代数式，是解题的关键． 12.【答案】  【解析】略 13.【答案】  【解析】解：第一个正方形有个整数点 第个正方形有个整数点 第个正方形有个整数点 第个正方形有个整数点， 所以第个正方形有个整数点． 故答案为：． 观察图形，分别计算出前三个正方形各边上的整点数的和，可得出第一个正方形各边上共有个整点，第二个正方形有个，第三个正方形有个，根据以上分析可以发现第个正方形的整数点有个，据此规律进行解答即可． 本题主要考查点的坐标规律问题，运用特殊到一般的推理归纳的思想． 14.【答案】；   ；  ；   ．  【解析】由题干中的等式可得， 故答案为：； ， 故答案为：； ， ， 则 ； ， ， ， ， ， ， ． 根据题干中的等式总结规律即可； 将原式变形后利用所得规律计算即可； 先计算的值，再计算的值， 因式分解后求得的值后代入原式计算即可． 本题考查数式规律问题，结合已知条件总结出正确的规律是解题的关键． 15.【答案】   【解析】解：根据观察可得，， 故答案为：； 依题意有，， 整理得，， 解得，， ，且是整数， ， 故答案为：． 2025-2026学年北师大版数学七年级上册 3.3探索与表达规律 第2课时 作业单答案 1.【答案】  【解析】解：第次从原点运动到点， 第次运动到点， 第次运动到点， 第次从原点运动到点， 第次运动到点， 第运动到点， 第运动到点， ， 发现规律：每次运动为一个循环，点的纵坐标依次为，，，，且每运动依次，点的横坐标加， ， 第次运动到点； 故选：． 2.【答案】  【解析】略 3.【答案】  【解析】解：根据题意得：第个图形中有个小圆点， 第个图形中有个小圆点， 第个图形中有个小圆点， ， 按此规律排列下去，第个图形中小圆点的个数是， 故选：． 找规律，写出原点个数与序号之间的关系式，计算即可． 本题考查了找规律，代数式求值，解题的关键是由已知图形找到找到规律． 4.【答案】或  【解析】解：第个图案中有个， 第个图案中有个， 第个图案中有个， 第个图案中有个， ， 按此规律，第个图案中有个涂有阴影的三角形． 故答案为：或． 找到图形的变化规律，即可得出答案． 本题考查了图形的变化类问题，正确找出规律是解题的关键． 5.【答案】  【解析】解：第个图形中小正方形的个数为：； 第个图形中小正方形的个数为； 第个图形中小正方形的个数为， ， 第个图形中小正方形的个数为：， 故答案为：． 由题意不难得出第个图形中小正方形的个数为：． 本题是主要考查图形的变化规律，解答的关键是得出第个图形中小正方形的个数是． 6.【答案】；  ，见解析．  【解析】． 故答案为：． 第个等式：． 理由：左边右边， 所以猜想结果正确． 观察等式，即可求解； 由各个等式结构即可得出规律． 本题是与分式有关的规律问题．确定各分式分子、分母的规律即可． 7.【答案】；  见解析．  【解析】解：， ， ， ， 第个等式为：， 故答案为：； 证明：设两个连续的奇数为，， 则 ， 为整数， 两个连续奇数的平方差是的倍数． 根据题目中给出的式子，总结规律，得出第个等式即可； 设两个连续的奇数为，，根据平方差公式进行运算，得出，再进行判断即可． 本题主要考查了数字规律探索，整式乘法混合运算的应用，解题的关键是熟练掌握平方差公式． 8.【答案】见解析；   见详解； 见详解．  【解析】， ， 当时，， 当时，， 当时，，， 补充表格 当时，， ， ； 甲的结论正确， 甲的结论正确，理由如下： ． 根据题意，分别将，，代入和，即可求解； 将代入，即可求解；计算即可求解． 本题考查了代数式求值，完全平方公式的计算，整式的加减运算，熟练掌握以上知识点是关键． 9.【答案】  【解析】解：计算四个数、、、的两两差绝对值之和．一共有对：，，，，，，总和为， 得，故正确； 设三个数为、、，求时的值，差的绝对值为、、， 根据题意可得：， 整理得：，当时，，，可得：，解得：； 当时，，，可得：，解得：； 当时，，，整理得：，可得：，故不成立； 当和均满足互不相等，故正确； ：从小到大排列的三个数、、，计算，差的绝对值分别为、、，和为， 计算结果仅与首尾数差有关，与中间数无关，故正确． 综上，三个判断均正确， 故选：． 根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算，即可判定；根据“差绝对值运算”的运算方法列方程，分情况解方程求出的值，再进行判断即可；首先根据“差绝对值运算”的运算方法，化简绝对值符号，即可判定． 本题考查了新定义运算，化简绝对值符号，整式的加减运算，解题的关键是掌握相关知识． 10.【答案】  【解析】【分析】 本题考查整除规律，掌握倍数的特征：一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被整除，则这个数是的倍数，直接求解即可得到答案． 【解答】 解：一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被整除，则这个数是的倍数， 设是一个四位数，是的倍数， 则， 故选：． 11.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查了数字变化规律问题，正确得出尾数变化规律是解题关键．首先得出尾数变化规律，进而得出的结果的个位数字． 【解答】 解：，，，，，，， 个位数个数一循环， ， ， 的结果的个位数字是：． 故答案为：． 12.【答案】  【解析】本题考查了有理数的减法、数字类变化规律，选取题干中的数据，按照题意进行计算，直到出现循环出现的数即可． 【详解】解：若选的数为，则， 以下按照上述规则继续计算： ， ， ， ， 该“卡普雷卡尔黑洞数”为， 故答案为：． 13.【答案】；  不能等于，不能等于，理由见解析．  【解析】设中间的数为， 则十字框中五个数之和为， 十字框中五个数之和为； 不能等于，不能等于，理由如下： 设十字框中五个数之和等于，则， 解得：，此时不是整数，不符合题意，舍去； 设十字框中五个数之和等于，则， 解得：，此时不是偶数，不符合题意，舍去； 十字框中五个数之和不能等于，不能等于． 设中间的数为，由图可得十字框中五个数分别为、、、、，将这五个数相加即可求解； 设十字框中五个数之和等于和，求出对应的值，再根据题意即可解答． 本题考查了列代数式、一元一次方程的应用，理解题意正确列出代数式是解题的关键． 14.【答案】相等；   这五个数的和能等于，理由见解答．  【解析】根据题意得： ， ， 十字框中的五个数的平均数与中间数相等； 这五个数的和能等于，理由如下： 设中间的数为，则另外四个数分别为，，，， 根据题意得：， 解得：， 在第二列，符合题意， 这五个数的和能等于． 求出十字框中的五个数的平均数，再将其与中间数比较后，即可得出结论； 这五个数的和能等于，设中间的数为，则另外四个数分别为，，，，根据这五个数的和等于，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，再结合在第二列，即可得出这五个数的和能等于． 本题考查了一元一次方程的应用以及规律型：数字的变化类，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． $$