精品解析：江苏省南京市宁海中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试卷

2024-2025学年高一下学期南京宁海中学3月月考数学试卷 一．单选题（共8小题） 1. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量共线的坐标表示计算可得. 【详解】因为，，且， 所以，解得． 故选：A． 2. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用两角和公式对已知等式整理求得的值，使之平方即可求得的值． 【详解】∵， ， ， ， 故选：． 3. 已知，是方程的两根，那么（ ）． A. 1 B. 2 C. -1 D. -2 【答案】C 【解析】 【分析】根据，是方程的两根，利用韦达定理得到，再利用两角和的正切公式求解. 【详解】解：因为，是方程的两根， 所以， 所以， 故选：C 4. 函数的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简函数为，结合正弦函数与二次函数的性质，即可求解. 【详解】由函数， 因为， 当时，可得；当时，可得， 所以函数的值域为. 故选：D. 5. 如图所示，在四边形中，,为的中点，且，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】 为 的中点， 而则 且 ，，则 故选C． 6. 已知锐角三角形边长分别为1，2， x，则x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形三边关系和余弦定理即可求出第三边的取值范围. 【详解】由题意，设三角形为， 由三角形的几何性质， ∴， ∵三角形是锐角三角形，， ∴只需要为锐角， ∵，即， ，即， 联立解得：， 故选：C. 7. 若（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用倍角公式结合区间内三角函数的符号，化简得，，据此即可求解. 【详解】， 因为，所以， 所以， 因为， 原式=. 故答案为：A. 8. 已知，且，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将转化为，然后由两角和与差的正弦公式展开化简，由，利用二倍角公式化简最后求解即可. 【详解】因为，所以， 所以， 化简得：， 所以， 又由，可得， 所以，即，所以， 所以，又，所以， 所以. 故选：A 二．多选题（共2小题） 9. 已知，，则下列命题正确的有（ ） A. 若，则 B. 的最大值为2 C. 存在 ，使得 D. 的最大值为3 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用向量垂直、数量积、模长等公式，对四个选项依次分析即可得出结果. 【详解】对于A，，则，，，故A错误. 对于B，，故B正确. 对于C，时，则与同向，设，则， ，故C正确. 对于D，， 当，最大值为，最大值为，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知角是斜三角形的三个内角，下列结论一定成立的有（ ） A. B. C. 若，则 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于AB，由结合诱导公式分析判断，对于C，利用正弦定理和三角形的性质分析判断，对于D，利用诱导公式与两角和的正切公式分析判断. 【详解】对于A，因为，所以，所以A正确， 对于B，因为，所以，所以B错误， 对于C，因为，所以由正弦定理可得， 因为在三角形中大边对大角，所以，所以C正确， 对于D，因为在斜三角形中，， 所以， 所以， 所以， 所以，所以D正确， 故选：ACD 11. 已知函数，则（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. 在上的最大值为3 D. 将的图象向左平移个单位长度，得到的新图象关于轴对称 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据辅助角公式及诱导公式化简，再计算可判断A，计算可判断B，由自变量范围求出范围，换元后利用对勾函数求最值可判断C，根据图象平移计算即可判断D. 【详解】. 因为，所以A错误. 因为 ， 所以的图象关于点对称，B正确. 若，则，所以， 因为函数在上单调递增，所以，C正确. ，则，且定义域关于原点对称， 所以为偶函数，其图象关于轴对称，D正确. 故选：BCD 三．填空题（共2小题） 12. 已知，则________. 【答案】 【解析】 【分析】以为整体，结合诱导公式和倍角公式运算求解. 【详解】由题意可得：. 故答案为：. 13. 已知平行四边形中，，点为边的中点，则的值为__________. 【答案】9 【解析】 【分析】根据四边形是菱形,可得,作于,是的四等分靠端,将代入即可求解. 【详解】 因为平行四边形中，， 所以四边形为边长为2的菱形，且， ，， 如图所示，作于，，， . 故答案为:9 14. 在中，，，，为边中点，，则的值为__． 【答案】 【解析】 【分析】找到两个基底，，然后用两个基底向量表示和，再通过向量的运算即可得 【详解】 ， ， ， 故答案为：． 四．解答题（共5小题） 15. 已知平面向量，，，，且与的夹角为． （1）求 （2）若与垂直，求k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量的平方等于模长的平方和数量积公式求解即可； （2）利用向量垂直数量积为0求解即可. 【小问1详解】 由题意可得 ， 所以. 【小问2详解】 因为向量与垂直， 所以， 解得. 16. 已知,，，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用已知条件，通过二倍角公式以及的范围，的值，即可求出的值． （2）求出，通过，利用两角和的余弦公式展开，代入函数值求解即可． 【小问1详解】 由题知：， 故 【小问2详解】 因为所以， 又，故 从而 17. 某小区要在一块扇形区域中修建一个矩形的游泳池．如图，在扇形OPQ中，半径，圆心角，C是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形．记，矩形ABCD的面积为． （1）将面积S表示为角的函数； （2）当角取何值时，S最大？并求出这个最大值． 【答案】（1）； （2），. 【解析】 【分析】（1）根据给定的图形，用的正余弦函数表示矩形的一组邻边即可列式作答. （2）利用（1）中函数，结合正弦函数的性质求解作答. 【小问1详解】 依题意，在中，，则， ，在中，，则， 因此， ， 所以面积S表示为角的函数是. 【小问2详解】 由（1）知，当时，，则当，即时，， 所以当时，. 18. 已知对任意平面向量，将绕其起点沿逆时针方向旋转角后得到向量，则叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点．已知平面内两点，． （1）将点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，求点的坐标； （2）已知向量，且满足对任意的角成立，试求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据新定义，利用平面向量的坐标运算即可求解（2）根据新定义以及平面向量数量积的坐标运算，将不等式恒成立问题分离参数转化成求最值即可求解 【小问1详解】 易得，， 由于将点绕点沿顺时针方向旋转后得到点， 依据题设定义，得． 所以． 设点的坐标为，则有， 从而 解得 ． 所以点的坐标为． 【小问2详解】 由（1）及题设，得． 因为， 所以 ． 因为不等式对任意的角恒成立， 即对任意的角恒成立， 记，则只须． 由于，所以， 所以， 所以， 显然，所以． 故所求实数的取值范围为是． 19. 定义函数的“源向量”为，非零向量的“伴随函数”为，其中为坐标原点． （1）若向量的“伴随函数”为，且，求的值； （2）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若函数的“源向量”为，且已知，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得，结合两角和的正弦公式化简，可得， ，然后利用诱导公式将化简为，进而根据二倍角的三角函数公式算出的值；. （2）由“源向量”的定义得出，所以，根据平面数量积的定义算出，再利用余弦定理算出，进而化简得到，然后利用基本不等式算出，再根据换元法与二次函数的性质，求出的取值范围.. 【小问1详解】 若向量的“伴随函数”为 则， 所以，可得， 所以 【小问2详解】 由于函数的“源向量”为， 所以，，所以， 在中，由余弦定理得：，整理得 即， 可得， 根据，解得，结合，得， 设，则， 可得， 相应的二次函数在区间上为减函数， 可知的最大值小于， 的最小值等于， 即的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年高一下学期南京宁海中学3月月考数学试卷 一．单选题（共8小题） 1. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，是方程的两根，那么（ ）． A. 1 B. 2 C. -1 D. -2 4. 函数的值域是（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，在四边形中，,为的中点，且，则 A. B. C. D. 6. 已知锐角三角形边长分别为1，2， x，则x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 不确定 7. 若（ ） A. B. C. D. 8. 已知，且，，则的值为（ ） A. B. C. D. 二．多选题（共2小题） 9. 已知，，则下列命题正确的有（ ） A. 若，则 B. 的最大值为2 C. 存在 ，使得 D. 的最大值为3 10. 已知角是斜三角形的三个内角，下列结论一定成立的有（ ） A. B. C. 若，则 D. 11. 已知函数，则（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. 在上的最大值为3 D. 将的图象向左平移个单位长度，得到的新图象关于轴对称 三．填空题（共2小题） 12. 已知，则________. 13. 已知平行四边形中，，点为边的中点，则的值为__________. 14. 在中，，，，为边中点，，则的值为__． 四．解答题（共5小题） 15. 已知平面向量，，，，且与的夹角为． （1）求 （2）若与垂直，求k的值． 16. 已知,，，． （1）求的值； （2）求的值． 17. 某小区要在一块扇形区域中修建一个矩形的游泳池．如图，在扇形OPQ中，半径，圆心角，C是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形．记，矩形ABCD的面积为． （1）将面积S表示为角的函数； （2）当角取何值时，S最大？并求出这个最大值． 18. 已知对任意平面向量，将绕其起点沿逆时针方向旋转角后得到向量，则叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点．已知平面内两点，． （1）将点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，求点的坐标； （2）已知向量，且满足对任意的角成立，试求实数的取值范围． 19. 定义函数的“源向量”为，非零向量的“伴随函数”为，其中为坐标原点． （1）若向量的“伴随函数”为，且，求的值； （2）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若函数的“源向量”为，且已知，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $