第10讲等式与方程（3大知识点+5大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年七年级上册数学（苏科版2024）

第10讲等式与方程（3大知识点+5大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 判断各式是否是方程 典型例题二 等式的性质1、2 典型例题三 列方程 典型例题四 判断是否是方程的解 典型例题五 已知方程的解，求参数 知识点一：等式的基本性质 1、等式的基本性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式. 若，那么. 2、等式的基本性质2：等式两边都乘（或除以）同一个不为0的数，所得的结果仍是等式. 若，那么；若，那么. 3、等式的基本性质是等式变形的依据，等式两边的变形必须完全相同，等式才能成立，否则就会破坏相等关系. 4、等式的两个性质： （1）等式的传递性：若，，则； （2）等式的对称性：若，则. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）下列等式变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键：等式两边同时加上或减去一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式两边仍然成立，等式两边同时除以一个不为0的数或式子等式仍然成立． 【详解】解：A、若，则，原式变形错误，不符合题意； B、若，则，原式变形错误，不符合题意； C、若，则，原式变形正确，符合题意； D、若，则，原式变形错误，不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）下列变形中，正确的是（      ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．解题的关键是熟练掌握等式的性质：等式两边同时加上或减去同一个数等式性质不变，等式两边同时乘以或除以同一个不为0的数等式仍然成立． 【详解】解：若，则或，故选项A不符合题意； 若，则，故选项B不符合题意； 当时，若，则，故选项C不符合题意； 若，则，故选项D符合题意； 故选：D． 3．（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）把方程写成用含的代数式表示的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用等式的性质对等式进行变形，掌握等式的性质是解题的关键．要用含的代数式表示，就要把方程中含有的项和常数项移到方程的右边，再把的系数化为即可． 【详解】解：， 移项得：， 解得：， 故选：D． 知识点二：方程 1、 方程：含有未知数的等式叫作方程； 2、 方程必备的两个条件：①是等式；②含有未知数； 3、 方程一定是等式，等式不一定是方程. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·浙江衢州·阶段练习）下面式子中，不是方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了方程的定义， 根据方程的定义，含有未知数的等式叫做方程，逐一分析各选项是否符合条件． 【详解】解：因为，含有未知数，且是等式，属于方程，所以A不符合题意； 因为，含有未知数，且是等式，属于方程，所以B不符合题意； 因为，虽然含有未知数，但为不等式，不符合方程的定义，所以C符合题意； 因为，含有未知数，且是等式，属于方程，所以D不符合题意． 故选：C． 2．（24-25七年级上·浙江绍兴·阶段练习）下列式子中，是方程的是（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．①②③ B．①②④ C．①③⑤ D．①④⑤ 【答案】D 【分析】本题主要考查了方程的定义，含有未知数的等式叫做方程，据此求解即可． 【详解】解：根据方程的定义可得，①④⑤是方程，②③⑥不是方程， 故选：D． 3．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）下列方程中， 是一元一次方程．（写编号） ①；②；③；④． 【答案】②③ 【分析】根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程，据此逐一进行判断即可得到答案． 【详解】解：根据一元一次方程的定义可知： ①，不是一元一次方程，不符合题意； ②，是一元一次方程，符合题意； ③，是一元一次方程，符合题意； ④，不是一元一次方程，不符合题意； 故答案为：②③． 知识点三：方程的解和解方程 1.方程的解：能使方程两边的值相等的未知数的值叫做方程的解. 2.解方程：求方程的解得过程叫做解方程. （1）方程的解与解方程是两个不同的概念，方程的解是一个具体的数值，而解方程是求方程的解的过程； （2）方程的解是通过解方程求得的. 3.方程的解可能不止一个（如和都是方程的解），也有可能无解（如无解）. 4.检验一个数是不是方程的解，不能将所给的数值直接代入方程中，而是要把这个数分别代入方程的左右两边，当左边＝右边时，这个数是方程的解，当左边≠右边时，这个数就不是方程的解. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·浙江舟山·阶段练习）若方程的解是，则β的值为（   ） A． B．4 C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解的应用，能得出关于的一元一次方程是解此题的关键．把代入方程计算即可求出的值． 【详解】解：把代入方程得：， 解得：， 故选：D． 2．（24-25七年级上·浙江湖州·阶段练习）检验下列各数是不是方程的解． (1) ； (2) ； (3) ． 【答案】(1)不是 (2)是 (3)不是 【分析】本题考查了方程的解． （1）将代入，看左边是否等于右边，即可判断； （2）将代入，看左边是否等于右边，即可判断； （3）将代入，看左边是否等于右边，即可判断． 【详解】（1）解：当时， 左边，右边， 因为左边右边， 所以不是方程的解； （2）解：当时， 左边，右边， 因为左边右边， 所以是方程的解； （3）解：当时， 左边，右边， 因为左边右边， 所以不是方程的解． 3．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）若是方程的解，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，代数式求值，熟练掌握知识点是解题的关键． 由是方程的解，代入求出，再把代入即可求解． 【详解】解：∵是方程的解， ∴，解得：， ∴， 故答案为：． 【典型例题一 判断各式是否是方程】 1．（2024七年级上·江苏·专题练习）下列式子中，方程的个数是（    ） ①；②；③；④；⑤； A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查方程的定义，掌握含有未知数的等式叫做方程是解题的关键． 根据方程的定义求解即可． 【详解】解：①中不含有未知数，不是方程； ②不是等式，不是方程； ③、④符合方程的定义； ⑤是代数式，不是等式，不是方程； 综上，方程有2个． 故本题选：A． 2．（23-24七年级上·全国·课堂例题）判断下列各式是不是方程，不是方程的说明理由． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)不是方程，见解析 (2)是方程 (3)不是方程，见解析 (4)不是方程，见解析 (5)是方程 (6)不是方程，见解析 【分析】（1）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （2）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （3）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （4）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （5）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （6）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得． 【详解】（1）解：不是方程，理由是：不含未知数． （2）解：是方程． （3）解：不是方程，理由是：不是等式． （4）解：不是方程，理由是：不是等式． （5）解：是方程． （6）解：不是方程，理由是：不含未知数． 【点睛】本题考查了方程，熟记方程的概念是解题关键． 1．（2023七年级上·全国·专题练习）下列各式中，属于方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了方程的定义，含有未知数的等式是方程，据此可得答案． 【详解】解：根据方程的定义可知，四个选项中，只有D选项中的式子是方程， 故选：D． 2．（2024七年级上·浙江·专题练习）给出下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是方程的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查了方程的定义，熟练掌握方程的定义是解题的关键：含有未知数的等式叫做方程，方程的定义有两层含义：方程必须是一个等式，即是用等号连接而成的式子；方程中必有若干个待确定的数，即未知的字母，这些字母就是未知数．方程与等式的区别与联系如下： 概念及其特点 区别 联系 方程 含有未知数的等式叫做方程．一个式子是方程，要满足两个条件：一是等式，二是含有未知数 方程一定是等式，并且是含有未知数的等式 方程是特殊的等式 等式 用等号来表示相等关系的式子叫做等式．等式的主体是相等关系 等式不一定是方程，因为等式不一定含有未知数 方程和等式的关系是从属关系，且有不可逆性 根据方程的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：是方程； 是不等式，不是方程； 是方程； 是方程； 可化简为，化简后不含有未知数，不是方程； 是方程； 是方程，共个， 故选：． 3．（2023七年级上·江苏·专题练习）下列式子：①；②；③；④；⑤，其中是方程的是 ．（填序号） 【答案】①④⑤ 【分析】本题考查方程的定义：含有未知数的等式叫方程．根据方程的定义逐个判定即可． 【详解】解：①符合方程定义，故①是方程； ②没有未知数，故②不是方程； ③不是等式，故③不是方程； ④符合方程定义，故④是方程； ⑤符合方程定义，故⑤是方程； ∴是方程的有①④⑤． 故答案为：①④⑤． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）下面式子中，是方程的是______；①；②；③；④． 【答案】①④ 【分析】本题考查了方程的概念．含有未知数的等式叫作方程，据此判断即可． 【详解】解：①，④符合方程的概念，是方程． ②不是等式，③不含未知数，都不是方程． 故答案为：①④． 【典型例题二 等式的性质1、2】 1．（24-25七年级上·江苏南通·期末）若，则下列等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键． 根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立； 等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立． 【详解】解：A、两边同时加，，一定成立； B、两边同时减，，一定成立； C、两边同时乘，，一定成立； D、两边同时除以，需，若，式子无意义，因此不一定成立； 故选：D． 2．（24-25七年级下·全国·假期作业）观察思考：下图中号天平的右边盘里应该放几个苹果？ 【答案】个 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，由号天平可知：个苹果个梨；由号天平可知：个梨个菠萝；可得：号天平：个菠萝个梨个梨个梨． 【详解】解：号天平：个苹果个梨， 个苹果个梨， 号天平：个梨个菠萝个梨， 个梨个菠萝， 号天平：个菠萝个梨个梨个梨， 个梨个苹果个苹果， 答：号天平的右边盘里应该放个苹果． 1．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）已知，则下列变形不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等式的基本性质，需注意分母不能为零的情况，根据不等式的基本性质意义判断即可； 【详解】解：：等式两边同乘，无论是否为0，等式成立（若，两边均为0，仍成立），故A正确． ：当时，分母为0，此式无意义，故B错误． ：等式两边同加，故C正确． ：等式两边同减，故D正确． 故选B． 2．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）下列方程的变形过程中，不正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】C 【分析】本题考查的是等式的基本性质，掌握移项变号，是解题的关键．根据等式的基本性质，进行移项，合并同类项，系数化“1”逐一判断即可． 【详解】解∶A．由，两边同除以5，得，变形正确； B．由，两边同乘，得，变形正确； C．由，移项时应将移到左边，得，但选项C写为，符号错误，变形不正确； D．由，移项得，变形正确， 故选∶C． 3．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）把方程写成用含有x的代数式表示y的形式，得 ． 【答案】 【分析】根据等式的性质，把方程变形，得出用含有x的代数式表示y即可． 本题考查了等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 方程两边同时除以，得． 故答案为：． 4．（24-25八年级下·河南郑州·阶段练习）已知：， 试比较和的大小，并说明理由． 将下面的解题过程补充完整． 解：_______， 理由如下： ， _______（不等式的基本性质2）． _______（不等式的基本性质1）． 【答案】＜；； 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 利用不等式的基本性质进行分析解答即可． 【详解】解：，理由如下： ， （不等式的基本性质2）． （不等式的基本性质1）． 【典型例题三 列方程】 1．（22-23七年级上·江苏南通·期中）根据“的倍与的和比的少”可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意列出方程即可求解． 【详解】根据题意列方程：， 故选：D． 【点睛】本题考查了根据题意列方程，正确理解题意是解题关键． 2．（24-25七年级下·全国·假期作业）根据题意设未知数，并列出方程． (1)一个数的倍比它的倍多，求这个数； (2)从的木条上截去段同样长的木条，还剩下长的短木条，截去的木条每段长为多少？ (3)如图，小颖种了一株树苗，开始时树苗高为，栽种后每周长高约，大约几周后树苗长高到？ 【答案】(1)设这个数为，； (2)设截去的木条每段长为，； (3)设大约周后树苗长高到，． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到等量关系列出方程是解题的关键． （）设这个数为，根据题意列出方程即可； （）设截去的木条每段长为，根据题意列出方程即可； （）设大约周后树苗长高到，根据题意列出方程即可． 【详解】（1）解：设这个数为， 根据题意得，； （2）解：设截去的木条每段长为， 根据题意得，； （3）解：设大约周后树苗长高到， 根据题意得，． 1．（24-25七年级上·浙江温州·期末）学校组织植树活动，已知在甲处植树的有23人，在乙处植树的有17人，现调20人去支援，使在甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍，设应调往甲处x人，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出调往乙处人，再根据甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍列出方程即可． 【详解】解：由题意得：调往乙处人， 则可列方程为， 故选：B． 【点睛】本题考查了列一元一次方程，找准等量关系是解题关键． 2．（23-24七年级上·江苏南通·期末）根据“x的3倍与5的和比x的多2”可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意列出方程即可求解． 【详解】由题意列方程得 ． 故选：B． 【点睛】本题考查了根据题意列方程，正确理解题意是解题关键． 3．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）一个长方形花坛，长比宽多，面积为，该花坛长为多少？若设花坛的长为，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程，等量关系比较明显，利用长方形的面积得出方程是解题关键．设出长方形的长，然后表示出长方形的宽，利用长方形的面积计算方法列出方程求解即可． 【详解】解：设花坛的长为， 根 据 题 意 得 ：， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·河北邯郸·阶段练习）列等式表示： (1)x的2倍与的差是1； (2)y的相反数与x的一半的和是3． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了列一元一次方程，解题的关键是； （1）x的2倍与与的差可表示为，据此建立等式即可； （2）y的相反数与x的一半的和可表示为，据此建立等式即可． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：根据题意，得． 【典型例题四 判断是否是方程的解】 1．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）当的取值不同时，整式（其中,是常数）的值也不同，部分对应值如下表所示：则关于的方程的解为（   ） 0 1 4 2 0 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查方程的解，根据表格数据直接求解即可． 【详解】解：由表格数据，当时，，即， ∴关于的方程的解为， 故选：A． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）检验下列各小题括号内字母的值是否是相应方程的解 (1)，（，）； (2)，（，） 【答案】(1)见解析； (2)见解析 【分析】本题考查了方程的解的定义，熟练掌握方程的解得定义是解题的关键． （1）方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，把括号内的数分别代入已知方程，进行一一验证即可． （2）方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，把括号内的数分别代入已知方程，进行一一验证即可． 【详解】（1）解：把代入方程，左边，右边，左边右边，即是该方程的解； 把代入方程，左边，右边，左边右边，即不是该方程的解； （2）解：把代入方程，左边，右边，左边右边，即不是该方程的解； 把代入方程，左边，右边，左边右边，即是该方程的解． 1．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）下列各数，是方程的解的是（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查方程的解，把各个选项中的数代入计算逐一判断即可． 【详解】解：A、把代入得左边，不符合题意； B、把代入得左边，不符合题意； C、把代入得左边，符合题意； D、把代入得左边，不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级上·江苏常州·期末）下列方程中，解为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解题关键是熟练掌握一元一次方程解的定义，把分别代入各个选项中的方程，分别求出方程的左边和右边，然后根据一元一次方程解的定义进行计算，并判断即可． 【详解】解：把代入中，左边，右边， 左边右边， 不是此选项方程的解，故此选项不符合题意； 把代入，左边，右边， 左边=右边， 是此选项方程的解，故此选项符合题意； 把代入，左边，右边， 左边右边， 不是此选项方程的解，故此选项不符合题意； 把代入，左边，右边， 左边右边， 不是此选项方程的解，故此选项不符合题意； 故选：． 3．（24-25七年级上·江苏南京·期末）代数式的值随着x的取值的变化而变化．下表是当x取不同的值时对应的代数式的值： x 0 1 0 4 8 则关于x的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查方程的解，根据方程的解是使方程成立的未知数的值，结合表格，即可得出结果． 【详解】解：∵ ∴ 由表格可知：当时，，即：， 故的解是． 故答案为：． 4．（24-25七年级上·河南商丘·阶段练习）判断下列方程后面所给出的数，哪些是方程的解． (1)，（，）； (2)，（，）． 【答案】(1)，不是原方程的解；，是原方程的解 (2)，不是原方程的解；，是原方程的解 【分析】本题考查的是方程的解的含义，判断方程的解； （1）把，分别代入，由方程左右两边的值是否相等可得答案； （2）把，分别代入，由方程左右两边的值是否相等可得答案； 【详解】（1）解：（1）将代入原方程， ∵左边，右边， ∴左边≠右边， ∴不是原方程的解； 将代入原方程， ∵左边，右边， ∴左边＝右边， ∴是原方程的解； 将代入原方程， ∵左边，右边， ∴左边＝右边， ∴是原方程的解； 将代入原方程， ∵左边，右边， ∴左边≠右边， ∴不是原方程的解； （2）解：将代入原方程， ∵左边，右边， ∴左边≠右边， ∴不是原方程的解； 将代入原方程， ∵左边，右边， ∴左边＝右边， ∴是原方程的解； 将代入原方程， ∵左边，右边， ∴左边≠右边， ∴不是原方程的解； 将代入原方程， ∵左边，右边， ∴左边＝右边， ∴是原方程的解． 【典型例题五 已知方程的解，求参数】 1．（2025·湖南岳阳·模拟预测）关于的一元一次方程的解为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解，把代入一元一次方程，得到关于的一元一次方程，解方程求出的值即可． 【详解】解：把代入一元一次方程， 可得：， 解得：． 故选：A． 2．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）如果是关于的方程的解，求的值． 【答案】21 【分析】本题考查了一元一次方程的解，代数式求值．熟练掌握一元一次方程的解，整体代入是解题的关键．由题意知，，整理得，，根据，代值求解即可． 【详解】解：由题意知，， 整理得，， ∴． 1．（2025·贵州·中考真题）已知是关于的方程的解，则的值为（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的解，将已知解代入方程，解关于m的一元一次方程即可． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴ ∴ 故选C． 2．（24-25七年级下·四川眉山·期中）已知是关于的方程的解，则关于的方程的解是                                     （  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了已知方程的解，求参数；将代入得：，解得：；据此即可求解． 【详解】解：将代入得：， 解得：； 将代入方程，得：， 解得：， 故选：C． 3．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）若关于的方程的解是，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，求代数式的值，先根据一元一次方程的解的定义求出，然后整体代入求解即可． 【详解】解∶∵方程的解是， ∴， ∴， ∴， 故答案为∶ ． 4．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）阅读理解：勤奋好学的小丽发明了降次小魔方，如图，可以将二次多项式降次为一次多项式．规则为：将二次多项式M的二次项指数与二次项系数相乘，其积作为一次多项式N的一次项系数，二次多项式M的一次项系数作为一次多项式N的常数项，二次多项式M的常数项变为0．如，二次多项式经过小魔方后，可以降次为一次多项式． 理解应用： （1）若，经过小魔方后的多项式______． （2）若，经过小魔方后的多项式记为B，若的结果中不含一次项，求常数m的值； 拓展应用： （3）若（a、b为常数），经过小魔方后的多项式记为B，若方程有无数个解，分别求a、b的值． 【答案】（1）；（2）；（3）， 【分析】本题考查了多项式的定义，整式加减的应用，解一元一次方程，理解题干中的多项式处理方法是解题关键． （1）根据已知处理方法求解即可； （2）根据已知处理方法得到多项式B，然后根据的结果中不含一次项，得出关于m的方程，解方程即可； （3）根据已知处理方法得到多项式B，进而得到，根据方程有无数个解可得出，，求解即可． 【详解】解：（1）若，经过小魔方后的多项式， 故答案为：； （2）由题意得：，， ∵结果中不含一次项， ∴， 解得； （3），， 又 ∴， ∴， ∵方程有无数个解， ∴方程有无数个解， ∴，， ∴，． 1．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）下列方程中，是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的定义：一元一次方程应同时满足三个条件:①只含有一个未知数；②未知数的次数是1；③整式方程．根据一元一次方程的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A、未知数的次数是2，不是一元一次方程，故该选项不符合题意； B、只含有一个未知数，未知数的次数是1，是整式方程 ，是一元一次方程，故该选项符合题意； C、有两个未知数，不是一元一次方程，故该选项不符合题意； D、不是整式方程，不是一元一次方程，故该选项不符合题意； 故选：B． 2．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列方程中，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的概念，一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式． 根据一元一次方程的概念进行判断． 【详解】解：A、该方程中含有两个未知数，不是一元一次方程，故本选项不符合题意； B、该方程不是整式方程，故本选项不符合题意； C、该方程符合一元一次方程的定义，故本选项符合题意； D、该方程中未知数的次数是2，不是一元一次方程，故本选项错误． 故选C． 3．（24-25七年级上·江苏南通·开学考试）如果，那么用含有y的代数式表示应该为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等式的基本性质． 根据等式的基本性质进行解答． 【详解】解：在等式的两边同时加上，得， 在等式的两边同时乘，得， 在等式的两边同时减去1，得， 故选：C． 4．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）下列方程中，解是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，牢记方程的解的定义“使方程中等号左右两边相等的未知数的值，就是方程的解”是解题的关键． 分别将依次代入每个方程，若等式左右两边相等，则为方程的解． 【详解】解：分别将依次代入每个方程， A. 左边，右边， 左边右边， 不是方程的解； B. 左边，右边， 左边右边， 不是方程的解； C. 左边，右边， 左边右边， 不是方程的解； D. 左边，右边， 左边右边， 是方程的解； 故选：． 5．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）已知，则m，n满足的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质．熟练掌握等式的性质是解题的关键． 根据等式的性质求解作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 6．（23-24七年级上·江苏南通·期中）下列运用等式的性质，变形不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），等式仍成立；等式的两边同时乘以同一个数，或除以同一个不为0的数（或式子），等式仍成立． 【详解】解：A、若，则，此选项正确； B、若，则，此选项正确； C、若，当时，则，此选项错误； D、若，则，此选项正确； 故选：C． 7．（22-23七年级上·江苏无锡·期中）下列变形不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质，等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或整式），等式仍成立；等式的两边同时乘以同一个数（或整式），等式仍成立，等式的两边都除以同一个不为0数（或整式），等式仍成立，逐项分析判断即可求解． 【详解】解： A． 若，则 ，故该选项正确，不符合题意；     B． 若，则 ，故该选项正确，不符合题意； C． 若，当时，则，故该选项不正确，符合题意；     D． 若 ，则，故该选项正确，不符合题意； 故选：C． 8．（23-24七年级上·江苏镇江·阶段练习）整式的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时对应的整式的值：则关于的方程的解为(   ) 0 1 2 3 0 4 8 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了方程的解的定义，正确理解的意义是解题的关键． 【详解】根据表可以得到当时，． 故选D． 9．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）方程可变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等式的性质，解一元一次方程．方程等号的左边的每一项的分子分母同乘以10即可得． 【详解】解：， 方程等号的左边的每一项的分子分母同乘以10，得， 故选：A． 10．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）下列变形中，不正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，解题的关键是掌握等式的性质一：等式两边同时加上或者是减去同一个整式，等式仍然成立．性质二：等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立．据此逐个判断即可． 【详解】解：A、若，则，故A正确，不符合题意； B、若，，则，故B不正确，符合题意； C、若，则，故C正确，不符合题意； D、若，则，故D正确，不符合题意； 故选：B． 11．（24-25七年级上·江苏连云港·阶段练习）已知是关于x的一元一次方程，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为1的整式方程是一元一次方程．根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为1的整式方程是一元一次方程；即可进行解答． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程， ∴， ∴． 故答案为：． 12．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）已知关于的一元一次方程的解为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义，将代入方程，得到关于的一元一次方程，解方程即可求得的值． 【详解】解：把代入得：， 解得：， 故答案为：． 13．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）已知是关于的方程的解，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程的解，将代入方程，解关于的方程，即可求解；理解方程的解是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 解得：， 故答案：． 14．（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）若关于x的方程的解是，则 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了分式方程的解，把代入分式方程即可求解． 【详解】解：把代入得：， 故答案为：． 15．（23-24七年级上·江苏镇江·期末）代数式的值随x取值的变化而变化，下表是当x取不同值时对应的整式的值： x 0 9 6 3 0 则关于x的方程的解为 【答案】 【分析】本题主要考查了等式的性质，一元一次方程的解，根据等式的性质得到，再由表格中的数据即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ 由表格可知当时，， ∴关于x的方程的解为， 故答案为：． 16．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）利用等式的基本性质，将下面的等式变形为（为常数）的形式． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键． （1）等式两边同时加上，之后等式两边同时除以即可得到答案； （2）等式两边同时加上，之后等式两边同时减去，最后等式两边同时除以即可得到答案 ． 【详解】（1）， ， ， ， ． （2）， ， ， ， ， ． 17．（2024七年级上·江苏·专题练习）回答下列问题，并说明变形的根据： (1)怎样从等式得到等式？ (2)怎样从等式得到等式？ (3)怎样从等式得到等式？ 【答案】(1)两边同时减去， (2)两边同时除以5； (3)见解析 【分析】本题考查了等式的性质，性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． （1）根据等式的性质1可得到答案； （2）根据等式的性质2可得到答案； （3）根据等式的性质2可得到答案； 【详解】（1）解：两边同时减去， 等式得到； （2）解：两边同时除以5， 等式得到； （3）解：两边同时乘以8， 等式得到． 18．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）小明在学习了等式的基本性质后，对等式进行变形，得出“”的错误结论，但他找不到错误原因，聪明的你能帮助他找到原因吗？小明的具体过程如表所示： 将等式变形 两边同时加，得（第①步） 两边同时除以，得（第②步） (1)第______步等式变形产生错误； (2)请分析产生错误的原因，写出等式正确变形过程，求出的值． 【答案】(1)； (2)产生错误的原因：等式两边同时除以字母时，没有考虑字母是否为；的值为． 【分析】（）根据等式的性质可知错误发生在第步； （）根据等式的基本性质即可解答； 本题考查了等式的基本性质，掌握等式的基本性质是解题的关键． 【详解】（1）解：第步等式变形产生错误， 故答案为：； （2）解：产生错误的原因：等式两边同时除以字母时，没有考虑字母是否为． 正确过程： 两边同时加，得， 两边同时减，得， 两边同时除以，得． 19．（2023九年级上·江苏·专题练习）方程的解相同，求的值． 【答案】 【分析】依据等式的性质，即可求解． 【详解】解：将左右两边同时乘以3，得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键． 20．（2024七年级上·江苏·专题练习）判断是不是方程的解． 【答案】见解析 【分析】将代入方程两边判断求解即可． 【详解】将代入方程的左边，得方程左边， 将代入方程的右边，得方程右边， ∵左边＝右边， ∴是方程的解． 【点睛】此题考查了一元一次方程的解的概念，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的解的概念． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲等式与方程（3大知识点+5大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 判断各式是否是方程 典型例题二 等式的性质1、2 典型例题三 列方程 典型例题四 判断是否是方程的解 典型例题五 已知方程的解，求参数 知识点一：等式的基本性质 1、等式的基本性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式. 若，那么. 2、等式的基本性质2：等式两边都乘（或除以）同一个不为0的数，所得的结果仍是等式. 若，那么；若，那么. 3、等式的基本性质是等式变形的依据，等式两边的变形必须完全相同，等式才能成立，否则就会破坏相等关系. 4、等式的两个性质： （1）等式的传递性：若，，则； （2）等式的对称性：若，则. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）下列等式变形正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）下列变形中，正确的是（      ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）把方程写成用含的代数式表示的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 知识点二：方程 1、 方程：含有未知数的等式叫作方程； 2、 方程必备的两个条件：①是等式；②含有未知数； 3、 方程一定是等式，等式不一定是方程. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·浙江衢州·阶段练习）下面式子中，不是方程的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·浙江绍兴·阶段练习）下列式子中，是方程的是（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．①②③ B．①②④ C．①③⑤ D．①④⑤ 3．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）下列方程中， 是一元一次方程．（写编号） ①；②；③；④． 知识点三：方程的解和解方程 1.方程的解：能使方程两边的值相等的未知数的值叫做方程的解. 2.解方程：求方程的解得过程叫做解方程. （1）方程的解与解方程是两个不同的概念，方程的解是一个具体的数值，而解方程是求方程的解的过程； （2）方程的解是通过解方程求得的. 3.方程的解可能不止一个（如和都是方程的解），也有可能无解（如无解）. 4.检验一个数是不是方程的解，不能将所给的数值直接代入方程中，而是要把这个数分别代入方程的左右两边，当左边＝右边时，这个数是方程的解，当左边≠右边时，这个数就不是方程的解. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·浙江舟山·阶段练习）若方程的解是，则β的值为（   ） A． B．4 C．0 D． 2．（24-25七年级上·浙江湖州·阶段练习）检验下列各数是不是方程的解． (1) ； (2) ； (3) ． 3．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）若是方程的解，则代数式的值为 ． 【典型例题一 判断各式是否是方程】 1．（2024七年级上·江苏·专题练习）下列式子中，方程的个数是（    ） ①；②；③；④；⑤； A．2 B．3 C．4 D．5 2．（23-24七年级上·全国·课堂例题）判断下列各式是不是方程，不是方程的说明理由． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 1．（2023七年级上·全国·专题练习）下列各式中，属于方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024七年级上·浙江·专题练习）给出下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是方程的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3．（2023七年级上·江苏·专题练习）下列式子：①；②；③；④；⑤，其中是方程的是 ．（填序号） 4．（2024七年级上·全国·专题练习）下面式子中，是方程的是______；①；②；③；④． 【典型例题二 等式的性质1、2】 1．（24-25七年级上·江苏南通·期末）若，则下列等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·假期作业）观察思考：下图中号天平的右边盘里应该放几个苹果？ 1．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）已知，则下列变形不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）下列方程的变形过程中，不正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 3．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）把方程写成用含有x的代数式表示y的形式，得 ． 4．（24-25八年级下·河南郑州·阶段练习）已知：， 试比较和的大小，并说明理由． 将下面的解题过程补充完整． 解：_______， 理由如下： ， _______（不等式的基本性质2）． _______（不等式的基本性质1） 【典型例题三 列方程】 1．（22-23七年级上·江苏南通·期中）根据“的倍与的和比的少”可列方程（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·假期作业）根据题意设未知数，并列出方程． (1)一个数的倍比它的倍多，求这个数； (2)从的木条上截去段同样长的木条，还剩下长的短木条，截去的木条每段长为多少？ (3)如图，小颖种了一株树苗，开始时树苗高为，栽种后每周长高约，大约几周后树苗长高到？ 1．（24-25七年级上·浙江温州·期末）学校组织植树活动，已知在甲处植树的有23人，在乙处植树的有17人，现调20人去支援，使在甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍，设应调往甲处x人，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·江苏南通·期末）根据“x的3倍与5的和比x的多2”可列方程（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）一个长方形花坛，长比宽多，面积为，该花坛长为多少？若设花坛的长为，则可列方程为 ． 4．（24-25七年级上·河北邯郸·阶段练习）列等式表示： (1)x的2倍与的差是1； (2)y的相反数与x的一半的和是3． 【典型例题四 判断是否是方程的解】 1．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）当的取值不同时，整式（其中,是常数）的值也不同，部分对应值如下表所示：则关于的方程的解为（   ） 0 1 4 2 0 A． B． C． D． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）检验下列各小题括号内字母的值是否是相应方程的解 (1)，（，）； (2)，（，） 1．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）下列各数，是方程的解的是（   ） A．0 B．1 C． D． 2．（24-25七年级上·江苏常州·期末）下列方程中，解为的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·江苏南京·期末）代数式的值随着x的取值的变化而变化．下表是当x取不同的值时对应的代数式的值： x 0 1 0 4 8 则关于x的方程的解是 ． 4．（24-25七年级上·河南商丘·阶段练习）判断下列方程后面所给出的数，哪些是方程的解． (1)，（，）； (2)，（，）． 【典型例题五 已知方程的解，求参数】 1．（2025·湖南岳阳·模拟预测）关于的一元一次方程的解为，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）如果是关于的方程的解，求的值． 1．（2025·贵州·中考真题）已知是关于的方程的解，则的值为（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（24-25七年级下·四川眉山·期中）已知是关于的方程的解，则关于的方程的解是                                     （  ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）若关于的方程的解是，则代数式的值为 ． 4．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）阅读理解：勤奋好学的小丽发明了降次小魔方，如图，可以将二次多项式降次为一次多项式．规则为：将二次多项式M的二次项指数与二次项系数相乘，其积作为一次多项式N的一次项系数，二次多项式M的一次项系数作为一次多项式N的常数项，二次多项式M的常数项变为0．如，二次多项式经过小魔方后，可以降次为一次多项式． 理解应用： （1）若，经过小魔方后的多项式______． （2）若，经过小魔方后的多项式记为B，若的结果中不含一次项，求常数m的值； 拓展应用： （3） 若（a、b为常数），经过小魔方后的多项式记为B，若方程有无数个解，分别求a、b的值． 1．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）下列方程中，是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）下列方程中，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·江苏南通·开学考试）如果，那么用含有y的代数式表示应该为（　　） A． B． C． D． 4．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）下列方程中，解是的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）已知，则m，n满足的关系是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24七年级上·江苏南通·期中）下列运用等式的性质，变形不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．（22-23七年级上·江苏无锡·期中）下列变形不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．（23-24七年级上·江苏镇江·阶段练习）整式的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时对应的整式的值：则关于的方程的解为(   ) 0 1 2 3 -8 0 4 8 A． B． C． D． 9．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）方程可变形为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）下列变形中，不正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．（24-25七年级上·江苏连云港·阶段练习）已知是关于x的一元一次方程，则m的值为 ． 12．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）已知关于的一元一次方程的解为，则 ． 13．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）已知是关于的方程的解，则 ． 14．（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）若关于x的方程的解是，则 ． 15．（23-24七年级上·江苏镇江·期末）代数式的值随x取值的变化而变化，下表是当x取不同值时对应的整式的值： x 0 9 6 3 0 则关于x的方程的解为 16．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）利用等式的基本性质，将下面的等式变形为（为常数）的形式． (1) (2) 17．（2024七年级上·江苏·专题练习）回答下列问题，并说明变形的根据： (1)怎样从等式得到等式？ (2)怎样从等式得到等式？ (3)怎样从等式得到等式？ 18．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）小明在学习了等式的基本性质后，对等式进行变形，得出“”的错误结论，但他找不到错误原因，聪明的你能帮助他找到原因吗？小明的具体过程如表所示： 将等式变形 两边同时加，得（第①步） 两边同时除以，得（第②步） (1)第______步等式变形产生错误； (2)请分析产生错误的原因，写出等式正确变形过程，求出的值． 19． （2023九年级上·江苏·专题练习）方程的解相同，求的值． 20．（2024七年级上·江苏·专题练习）判断是不是方程的解． 学科网（北京）股份有限公司 $$