天津市四校2024-2025学年高一下学期7月期末联考数学试题

天津市四校2024-2025学年高一下学期7月期末联考数学试题 一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分.） 1. 是虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量.若与共线，则实数k的值为（ ） A. B. C. D. 3. 在中，三个内角为.若，则的值是（ ） A B. C. D. 4. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 正方形的边长为3，它是水平放置的一个平面图形的直观图（如图）.则原图形的周长是（ ） A. 12 B. 24 C. D. 6. 一个袋子中有大小和质地相同的个球，其中有个白色球（标号为和），个黑色球（标号为、和），从袋中不放回地依次随机取出个球，每次摸出一个球，设事件，“至少摸到一次白球”，“两次都摸到白球”，“两次都摸到黑球”，“两球颜色相同”，“两球颜色不同”.则下列说法错误的是（ ） A. 与互斥但不对立 B. 与互斥 C 与对立 D. 7. 某校高一数学备课组老师的年龄（单位：岁）分别为：37，31，42，32，41，46，45，48，35，53，则下列说法错误的是（ ） A. 该组数据极差为22 B. 如再增加一位41岁的老师，则该组数据的方差变大 C. 该组数据平均数为41 D. 该组数据的第60百分位数为43.5 8. 平行四边形中，分别在边上，，，与相交于点，记，，则（ ） A. B. C. D. 9. 在中，分别是角的对边，下列四个命题中正确的个数为（ ） ①若，则是等腰三角形； ②若，三角形面积，则三角形外接圆半径为； ③若点为内一点，且，则； ④在中，若有解，则的取值范围是. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本题共6小题，每题5分，共30分.） 10. 假设，且A与B相互独立，则______. 11. 已知向量满足，且，则___________. 12. 2025年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，为激发民众的爱国热情和民族自豪感，某地举办相关知识竞答活动.在决赛中，每轮活动由甲、乙各答一个问题，已知甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为.在每轮活动中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则乙在两轮活动中恰好答对一个问题的概率为______；两人在两轮活动中共答对3个问题的概率为______. 13. 已知；是夹角为的两个单位向量，若向量在上的投影向量为，则实数______. 14. 设是同一个半径为的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为______. 15. 已知平行四边形ABCD的两条对角线相交于点，其中点M在线段OB上且满足，则______，若点是线段AB上的动点，则的最大值为______. 三、解答题（本题共5题，共75分.） 16. 已知复数，且，a为实数. （1）求实数a的值； （2）若z为纯虚数，复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数b的取值范围. 17. 如图，在棱长为4的正方体中，E为棱BC的中点，F为棱的中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的平面角的正弦值； （3）求点到面的距离. 18. 2025年秋天将在天津举办上合组织峰会，为了加深师生对上合峰会的了解，天津某校举办了“上合组织峰会”知识竞赛，并将100名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）分成六段后得到如下频率分布直方图.观察图形信息，回答下列问题： （1）求a的值，并估计本次竞赛成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）估计这组数据的第75百分位数； （3）用分层抽样方法在分数落在内的师生中随机抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人的分数在内的概率. 19. 如图，在四棱锥中，是边长为2等边三角形，底面ABCD是等腰梯形，是PD的中点. （1）求证：平面PAB； （2）若， （i）求证：平面平面ABCD； （ii）求直线CE与底面ABCD所成角的余弦值. 20. 在中，为角对应的边，S为的面积，且满足如下条件：. （1）求角A； （2）若，求面积的最大值； （3）为锐角三角形，且，若恒成立，求实数的取值范围. 天津市四校2024-2025学年高一下学期7月期末联考数学试题 一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分.） 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】C 【9题答案】 【答案】B 二、填空题（本题共6小题，每题5分，共30分.） 【10题答案】 【答案】0.6## 【11题答案】 【答案】## 【12题答案】 【答案】 ①. ②. 【13题答案】 【答案】2 【14题答案】 【答案】## 【15题答案】 【答案】 ①. ## ②. ## 三、解答题（本题共5题，共75分.） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【18题答案】 【答案】（1），71 （2）82分 （3） 【19题答案】 【答案】（1）证明见解析； （2）（i）证明见解析；（ii）. 【20题答案】 【答案】（1） （2） （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $