天津市四校2024-2025学年高一下学期7月期末联考数学试题

20242025学年度第二学期期末考试 高一数学参考答案 一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分.） 2 3 5 6 7 8 D B B C B 二、填空题（本题共6小题，每题5分，共30分.） 10.0.6 11. 12. 1 2 25 100 13.2 14 243V5 16 4v7 32 3 三、解答题（本题共5题，共75分.） 16.(14分)【详解】 ()z=a-2i_(a-200-.a-2-a+2i …3分 1+i(1-i)(1+i) 2 z卡2 :a-2y+a+2y=4 …5分 × .a=±2 …6分 (II),z为纯虚数，∴.a-2=0,且a+2≠0 …7分 ∴.a=2 …8分 z=-21 2=25 …9分 i2025=i50641=i …10分 名=(b-i25)(3+2)=(6-i)-(3+21)=3b+2+(2b-3)i …11分 高一数学参考答案第1页共7页 3b+2>0 因为复数3，在复平面内对应的点位于第四象限，则 …13分 2b-3<01 3 解得- 2 <b< 因此，实数b的取值范围是 23 3 2 3'2 …14分 17.(15分)【详解】 (I)以A为原点，AB,AD,A4分别为x,y,:轴，建立如图空间直角坐标系， 则A(0,0,0),A(0,0,4),B(4,0,0),C(4,4,0),D(0,4,0),C(4,4,4)D(0,4,4), …2分 因为E为棱BC的中点，F为棱CD的中点，所以E(4,2,0),F(2,4,0), 所以D,F=(2,0,-4),AC=(4,4,0),4E=(4,2,4) …4分 设平面A4C的一个法向量为n=(x片，)，A4=(0,0,4) 则 n4C=4x+4片=0 n…A4=43=0 令x=1,则n=(1,-1,0), 6分 BD=(4,4,0) n//BD …7分 BD⊥平面AAC …8分 (II)设平面AEC的一个法向量为m=(x2》2,), 高一数学参考答案第2页共7页 则 m·4C=4%+4乃=0 m·4E=4x+2为-4红2=01 令为=2，则m=(2,-2,1), …10分 由(I)知平面AAC的法向量为n=(1,-l,0) n-m 4_22 则os同产同3x万等，1分 所以二面角4-4G-台的正弦值为一cos可-子…12分 (III)设点D到面AEA的距离为h '0-44B=Yg-A40 1.h-S 4S440 …13分 3 吉45-写48 解得： h=8 …15分 3 5 (注：其它方法酌情给分) 18.(15分)【详解】 (I)根据频率分布直方图可知：10(2a+3a+3a+6a+5a+a)=1,1分 即a=0.005: …2分 估计本次竞赛成绩的平均分为 x=0.05×(2×45+3×55+3×65+6×75+5×85+1×95)=714分 (II)由图中前四组面积之和为：(2+3+3+6)×0.005×10=0.7，…4分 图中前五组面积之和为：(2+3+3+6+5)×0.005×10=0.95,6分 故这组数据的第75百分位数在第五组数据中， 高一数学参考答案第3页共7页 设这组数据的第75百分位数为m, 则有0.7+5×0.005(m-80)=0.75,…7分 故m=82,即估计这组数据的第75百分位数为82分；…8分 (III)用分层抽样的方法在分数在[60,80)内的师生中抽取一个容量为6的样本， 其中分数在[60,70)的人数为2，分别记为a、b,分数在[70,80)的人数为4， 分别记为A,B,C,D …10分 从6人中任取2人，所有的基本事件有：ab、aA、aB、aC、aD、bA、bB、bC、 bD、AB、AC、AD、BC、BD、CD,共15种， …12分 其中，事件“从6人中任取2人，至多有1人的分数在[70,80)内”所包含的基本事 件有：ab、aA、aB、aC、aD、bA、bB、bC、bD,共9种，…14分 故所求概率为P=9.3 15分 155 19.(15分)【详解】 (I)证明：取PA中点F,连接EF、BF, E是PD的中点.PE=ED,PF=AF, 怎EF∥D,F=AD=1,…2分 :AD//BC,BC=1,.∴EF∥BC,EF=BC,∴，四边形EFBC是平行四边形， CE∥BF,CEt平面PAB,BFC平面PAB, ∴.CE∥平面PAB…4分 (Ⅱ)(1)在等腰梯形ABCD中AD//BC,过点B作BG⊥AD交AD于点G, AD=2,BC=1,∠BAD=60,可知AB=1, 在△ABD中由余弦定理可得BD=√5， 高一数学参考答案第4页共7页 .AD2=AB2+BD2,AB⊥BD,…6分 AB⊥PB,PB∩BD=B, PBC平面PBD,BDC平面PBD, ∴，AB⊥平面PBD,…7分 ,ABC平面ABCD, ∴.平面PBD⊥平面ABCD.…8分 (i)过点E作EH⊥BD于点H,连接CH, ,平面PBD⊥平面ABCD, 平面PBD∩平面ABCD=BD,EHC平面PBD, .EH⊥平面ABCD, …9分 ,:CH是斜线CE在平面ABCD上的射影 ……10分 ∴.∠ECH是CE与底面ABCD所成的角，…11分 在R1△PBA中，PA=2,AB=1,得PB=√5， BF=PA=1,所以CE=1 在△PBD中，PB=BD=√5，PD=2,E是PD的中点，得BE=√2， 在R△BDE中，EH=BE·DE。6 BD 3 …14分 ·cos∠ECH=CH。V5 C正=了，即直线4B与底面4BCD成角的余弦值为5 …15分 高一数学参考答案第5页共7页 20.(16分)【详解】 (I)因为bsin B-asin A= 25 sin C sin B) 所以bsin B-asin A=bsinC1- sin C sin B' …1分 由正弦定理得-a产c个-引 ……2分 整理得b2+c2-a2=bc, 由余弦定理得cosA=分+c2-a21 …3分 2bc 又4e(0,小，所以A= ……4分 (I)由AD=4B,2AC 4 得：3AD=AB+2AC=AD+DB+2AD+DC), 33 则BD=2DC, …5分 3*26csim4=5 21 bc, …6分 32 6 由余弦定理a2=b2+c2-2 bc cosA可得：b2+c2-bc=9, …7分 因为b2+c2≥2bc,所以9≥2bc-bc,所以bc≤9， …8分 当且仅当b=c=3时等号成立， 从而SAD= 535 -bc≤ 62 所以A1BD面积的最大值为3 …9分 高一数学参考答案第6页共7页 ()由a=√5，A=及正弦定理可得：b=2sinB,c=2sinC, 2 ,A+B+C=π ∴B=二π-C 3 *…10分 0C-3coC 64 inCiCc 6 inCincinC-) 2 9 -sin'C-2sinC+3 …12分 2 :△ABC为锐角三角形 0<2π-C< 3 2 0<c<号 <C<I 6 2<sinC<l …13分 令1=siCe( …14分 A0=-2+3爵数0在（台上单调遥流，在后上单调道消 *…15分 ..( 23 15 实数入的取值范围是（一-0， …16分 高一数学参考答案第7页共7页 2024~2025学年度第二学期期末四校联考 高一数学 一、选择题(本题共9小题，每题5分，共45分.) 1. i是虚数单位，则 ( ) 2.已知向量 若 与共线，则实数k的值为( ) A. D. 3. 在△ABC中, 三个内角为A, B, C.若sinA:sinB:sinC=3:5:7, 则cosB的值是( ) A. 4.已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列结论正确的是( ) A.若m∥n, m∥α, 则n∥α B. 若α∥β, m⊂α, n⊂β, 则m∥n C.若α⊥β,β⊥γ, 则α∥β D.若m∥n, α∥β, m⊥α, 则n⊥β 5.正方形O'A'B'C'的边长为3，它是水平放置的一个平面图形的直观图(如图)。则原图形的周长是( ) A. 12 B. 24 C. 4 6.一个袋子中有大小和质地相同的5个球 ，其中有2个白色球(标号为1和2)，3个黑色球(标号为3、4和5)，从袋中不放回地依次随机取出2个球，每次摸出一个球，设事件，M=“至少摸到一次白球”，N=“两次都摸到白球”，P=“两次都摸到黑球”，Q=“两球颜色相同”，T=“两球颜色不同”.则下列说法错误的是( ) A. Q与T互斥但不对立 B. N与P互斥 C. M与P对立 D. N∪P=Q 高一数学试卷 第1页 共6页 7. 某校高一数学备课组老师的年龄(单位: 岁)分别为: 37, 31, 42,32, 41, 46, 45,48, 35, 53, 则下列说法错误的是( ) A.该组数据极差为22 B.如再增加一位41岁的老师，则该组数据的方差变大 C.该组数据平均数为41 D.该组数据的第60百分位数为43.5 8.在平行四边形ABCD中,E,F分别在边AD,CD上, AF与BE相交于点G，记 则 9.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，下列四个命题中正确的个数为( ) ①若bcosC+ccosB=b, 则△ABC是等腰三角形; ②若b=3, A=120°, 三角形面积 则三角形外接圆半径为 ③若点M 为△ABC内一点,且 则 ④在△ABC中, B=60°, b= 若△ABC有解，则a的取值范围是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题(本题共6小题，每题5分，共30分.) 10. 假设P(A)=0.5, P(B)=0.2且A与B相互独立, 则P(A∪B)= . 11.已知向量满足 且 则 高一数学试卷 第2页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 12.2025年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，为激发民众的爱国热情和民族自豪感，某地举办相关知识竞答活动.在决赛中，每轮活动由甲、乙各答一个问题，已知甲每轮答对的概率为 ，乙每轮答对的概率为 在每轮活动中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则乙在两轮活动中恰好答对一个问题的概率为 ；两人在两轮活动中共答对3个问题的概率为 . 13. 已知,;是夹角为60°的两个单位向量，若向量 在上的投影向量为3,则实数m= . 14.设A，B，C，D是同一个半径为3的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为 则三棱锥D-ABC体积的最大值为 . 15.已知平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O， 其中点M 在线段OB 上且满足 则 若点N 是线段AB上的动点，则 的最大值为 . 三、解答题(本题共5题，共75分.) 16. (14分) 已知复数 且|z|=2, a为实数. (I)求实数a的值； (II)若z为纯虚数，复数 在复平面内对应的点在第四象限， 求实数b的取值范围. 高一数学试卷 第3 页 共6页 学科网（北京）股份有限公司 17. (15分)如图，在棱长为4的正方体 中，E为棱BC的中点，F 为棱CD的中点.(I) 求证: (II)求二面角 的平面角的正弦值； 18.(15分)2025年秋天将在天津举办上合组织峰会，为了加深师生对上合峰会的了解，天津某校举办了“上合组织峰会”知识竞赛，并将100名师生的竞赛成绩(满分100分，成绩取整数) 分成六段[40,50)、[50,60)、... 、[90,100)后得到如下频率分布直方图.观察图形信息，回答下列问题：(III) 求点. 到面 的距离. (I)求a的值，并估计本次竞赛成绩的平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； (II)估计这组数据的第75百分位数； (III)用分层抽样的方法在分数落在[60，80)内的师生中随机抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人的分数在[70，80)内的概率. 高一数学试卷 第4页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 19.(15分)如图,在四棱锥. 中， 是边长为2的等边三角形，底面ABCD是等腰梯形， E是PD的中点. (Ⅰ) 求证: CE∥平面PAB; (Ⅱ)若. (i)求证：平面 (ii)求直线CE 与底面ABCD所成角的余弦值. 高一数学试卷 第5页 共6页 学科网（北京）股份有限公司 20. (16分) 在△ABC中, a,b,c为角A,B,C对应的边, S为 的面积，且满足如下条件： (I)求角A； (II)若 求△ABD面积的最大值； (III) △ABC为锐角三角形, 且 若 恒成立，求实数λ的取值范围. 高一数学试卷 第6页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $$