第一章 第4节 基本不等式（Word教参）-【百汇大课堂】2026年高考数学总复习上册·第1轮（浙江专用）

第4节　基本不等式 1．掌握基本不等式≤(a＞0，b＞0)，结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题． 2．掌握基本不等式在实际生活中的应用． [对应学生用书P10] 一、基本不等式：≤(a>0，b>0) 1．基本不等式成立的条件：a>0，b>0. 2．等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立． 二、算术平均数与几何平均数 设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 三、利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则： 1．如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值是2．(简记：积定和最小) 2．如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值是S2．(简记：和定积最大) 谨防2个失误点 (1)在运用基本不等式时，要特别注意等号成立的条件，尤其是题目中多次使用基本不等式，等式的条件必须相同，否则可能会造成错误． (2)尽量对式子进行化简、变形，再利用一次基本不等式求最值． 几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R). (2)＋≥2(a，b同号). (3)ab≤()2(a，b∈R). (4)≥()2(a，b∈R). (5)基本不等式链 ≤≤≤(a>0，b>0). 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 一、教材典题改编 1．(苏教版必修第一册P59T4改编)设a＞0，则9a＋的最小值为(　　) A． 4 B．5 C．6 D．7 C　解析：9a＋≥2＝6.当且仅当9a＝，即a＝时，等号成立． 2．(人教B版必修第一册P73例1改编)若x<0，则x＋(　　) A． 有最小值，且最小值为2 B． 有最大值，且最大值为2 C． 有最小值，且最小值为－2 D． 有最大值，且最大值为－2 D　解析：因为x<0，则－x＞0，所以－(x＋)＝(－x)＋(－)≥2＝2，当且仅当x＝－1时，等号成立，所以x＋≤－2. 3．[人教A版必修第一册P46例3(2)改编]矩形两边长分别为a，b，且a＋2b＝6，则矩形面积的最大值是(　　) A． 4 B． C． D．2 B　解析：依题意可得a，b＞0，则6＝a＋2b≥2＝2·，当且仅当a＝2b时，等号成立，所以ab≤＝，则矩形面积的最大值为. 4．[人教A版必修第一册P48习题2.2T1(2)改编]函数y＝x(3－2x)(0≤x≤1)的最大值是 ． 答案：　解析：因为0≤x≤1，所以3－2x＞0，所以y＝·2x·(3－2x)≤[]2＝，当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立． 二、易误易混澄清 1．(应用基本不等式忽略“正”)函数y＝1－2x－(x<0)的最小值为 ． 答案：1＋2　解析：因为x<0，所以y＝1－2x－＝1＋(－2x)＋(－)≥1＋2＝1＋2，当且仅当－2x＝－，即x＝－时，等号成立，故y的最小值为1＋2. 2．(连续使用基本不等式时忽略等号成立的一致性)设x>0，y>0，x＋2y＝5，则的最小值为 ． 答案：4　解析：∵x>0，y>0，∴>0.∵x＋2y＝5，∴＝＝＝2＋≥2＝4，当且仅当即或时，等号成立，∴的最小值为4. 第一课时　基本不等式 [对应学生用书P11] 考点一　对基本不等式的理解及简单应用 [例1] (1)若0<a<b，则下列不等式一定成立的是(　　) A．b>>a> B．b>>>a C．b>>>a D．b>a>> (2)(2025·扬州期末)若a>b>1，x＝ln ，y＝(ln a＋ln b)，z＝，则(　　) A．x<z<y B．y<z<x C．z<x<y D．z<y<x (1)C　(2)D　解析：(1)∵0<a<b，∴2b>a＋b，∴b>>.∵b>a>0，∴ab>a2，∴>a.故b>>>a. (2)由a>b>1，得ln a>ln b>0，所以(ln a＋ln b)>，即y>z.由>，得ln >ln ＝(ln a＋ln b)，即x>y.综上可得，x>y>z. 基本不等式的两个关注点 (1)注意基本不等式成立的条件是a>0，b>0，若a<0，b<0，应先转化为－a>0，－b>0，再运用基本不等式求解． (2)“当且仅当a＝b时，等号成立”的含义是“a＝b”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误． 训练1 (1)(2025·贵阳期末)若x∈R，则“x>0”是“≥2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 C　解析：当x>0时，由基本不等式可得x＋≥2，当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立；当≥2时，≥0，即≥0，解得x>0.所以“x>0”是“≥2”的充要条件． (2)《几何原本》中的几何代数法研究代数问题，这种方法是后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形证明，也称为无字证明．现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC＝a，BC＝b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆，过点C作AB的垂线交半圆于点D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为点E，则该图形可以完成的无字证明为(　　) A．≤(a>0，b>0) B．a2＋b2≥2ab(a>0，b>0) C．≥(a>0，b>0) D．≥(a>0，b>0) C　解析：根据图形，利用射影定理得CD2＝DE·OD，又OD＝AB＝(a＋b)，CD2＝AC·CB＝ab，所以DE＝＝.因为OD≥CD，所以≥(a>0，b>0).因为CD≥DE，所以≥＝(a>0，b>0). 考点二　利用基本不等式求最值 考向1　配凑法求最值 [例2] (1)已知x＞2，则函数y＝x＋的最小值是(　　) A．2 B．2＋2 C．2 D．＋2 (2)已知正实数a，b满足a＋4b＝1，则ab的最大值为 ． 答案：(1)D　(2)　解析：(1)由题意可知，x－2＞0，∴y＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝＋2，当且仅当x－2＝，即x＝2＋时，等号成立，∴函数y＝x＋(x＞2)的最小值为＋2. (2)正实数a，b满足a＋4b＝1，则ab＝×a·4b≤×()2＝，当且仅当a＝4b，即a＝，b＝时，等号成立． 配凑法求最值的实质及关键点 配凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．配凑法的实质是代数式的灵活变形，配系数、凑常数是关键． 训练2 (2024·眉州模拟)设b>0，ab＋b＝1，则a2b的最小值为(　　) A．0 B．1 C．2 D．4 A　解析：因为b>0，ab＋b＝1，所以b＝，所以a＋1>0，所以a2b＝＝＝a＋1＋－2≥2－2＝0，当且仅当a＋1＝，即a＝0时，等号成立，故a2b的最小值为0. 考向2　常值代换法求最值 [例3] (1)已知实数x>0，y>0满足x＋y＝xy，则x＋4y的最小值为(　　) A．8 B．9 C．7 D．10 (2)已知0<x<1，则＋的最小值是 ． 答案：(1)B　(2)9　解析：(1)将x＋y＝xy两边同时除以xy，得＋＝1，则x＋4y＝(x＋4y)·(＋)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即x＝2y＝3时，等号成立，故x＋4y的最小值为9. (2)由0<x<1，得1－x>0，则＋＝(＋)[x＋(1－x)]＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即x＝时，等号成立，所以＋的最小值是9. 常值代换法求解最值的基本步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1； (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式； (4)利用基本不等式求解最值． 训练3 (2025·保定模拟)已知a>0，b>0，且a＋b＝2，则＋的最小值是(　　) A．2 B．4 C． D．9 C　解析：因为a＋b＝2，所以(a＋1)＋(b＋1)＝4，则＋＝[(a＋1)＋(b＋1)]·(＋)＝[＋＋10]≥×(2×4＋10)＝，当且仅当＝，即a＝，b＝时，等号成立，故＋的最小值为. 考向3　消元法求最值 [例4] 已知正数x，y满足x2＋2xy－1＝0，则3x2＋4y2的最小值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 B　解析：根据题意可得2xy＝1－x2，因为x>0，所以y＝＝－，由y＝－>0，可得x2<1，即0<x<1，所以3x2＋4y2＝3x2＋4(－)2＝4x2＋－2≥2－2＝2，当且仅当4x2＝，即x＝时，等号成立，所以3x2＋4y2的最小值为2. 通过消元法利用基本不等式求最值的策略 当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值． 训练4 设正实数x，y，z满足4x2－3xy＋y2－z＝0，则的最大值为(　　) A．0 B．2 C．1 D．3 C　解析：由题意得z＝4x2－3xy＋y2，则＝＝≤＝1，当且仅当＝，即y＝2x>0时，等号成立．故的最大值为1. 与基本不等式模型结构相似的对勾函数模型 如图，对于函数f(x)＝x＋，k＞0，x∈[a，b]，[a，b]⊆(0，＋∞). (1)当∈[a，b]时，f(x)＝x＋≥2，f(x)min＝f()＝＋＝2； (2)当＜a时，f(x)＝x＋在区间[a，b]上单调递增，f(x)min＝f(a)＝a＋； (3)当＞b时，f(x)＝x＋在区间[a，b]上单调递减，f(x)min＝f(b)＝b＋. 因此，只有当∈[a，b]时，才能使用基本不等式求最值，而当∉[a，b]时只能利用对勾函数的单调性求最值． [例] 函数f(x)＝x2＋的最小值是 ． 答案：　解析：f(x)＝x2＋＝x2＋2＋－2，令x2＋2＝t(t≥2)，则有f(t)＝t＋－2，由对勾函数的性质知，f(t)在[2，＋∞)上单调递增，所以当t＝2时，f(t)min＝，即当x＝0时，f(x)min＝. 训练 函数f(x)＝的值域为 ． 答案：[，＋∞)　解析：由于f(x)＝＝＝＋，令＝t，则t≥且y＝t＋. 由于y＝t＋在[1，＋∞)内单调递增，所以y＝t＋在[，＋∞)内单调递增，故当t＝时，y＝t＋取最小值＋＝.故f(x)的值域为[，＋∞). [课时训练(4)见P178] 第二课时　基本不等式的综合应用 [对应学生用书P14] 考点一　与基本不等式有关的恒(能)成立问题 [例1] (1)(2025·杭州期末)若正实数x，y满足(x－1)(y－4)＝4，且x＋≥a2－3a恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A． {a|－1<a<4} B．{a|－1≤a≤4} C．{a|－4≤a≤1} D．{a|－4<a<1} (2)若x>0，不等式>m2－m有解，则实数m的取值范围是 ． 答案：(1)B　(2)(－1，2)　解析：(1)因为正实数x，y满足(x－1)(y－4)＝4，即xy＝4x＋y，所以＋＝1，所以x＋＝(x＋)(＋)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当＝，即y＝8，x＝2时，等号成立．因为正实数x，y满足(x－1)·(y－4)＝4，且x＋≥a2－3a恒成立，所以a2－3a≤4，解得－1≤a≤4，即实数a的取值范围是{a|－1≤a≤4}． (2)因为x>0，所以＝≤＝2，当且仅当x＝，即x＝2时，等号成立，所以()max＝2，所以m2－m<2，即(m＋1)(m－2)<0，解得－1<m<2，所以实数m的取值范围是(－1，2). 恒(能)成立问题的解题思路 (1)∃x∈M，使得f(x)≥a，等价于f(x)max≥a； (2)∃x∈M，使得f(x)≤a，等价于f(x)min≤a； (3)∀x∈M，使得f(x)≥a，等价于f(x)min≥a； (4)∀x∈M，使得f(x)≤a，等价于f(x)max≤a. 训练1 (2025·忻州模拟)已知a2＋b2＝k，若＋≥1恒成立，则k的最大值为(　　) A．4 B．5 C．24 D．25 C　解析：∵a2＋b2＝k，∴a2＋(b2＋1)＝k＋1，∴(k＋1)·(＋)＝[a2＋(b2＋1)](＋)＝＋＋13≥2＋13＝25，当且仅当＝，即3a2＝2(b2＋1)＝(k＋1)时，等号成立，即＋≥，由题意可得≥1，又k>0，解得0<k≤24，故k的最大值为24. 考点二　基本不等式的实际应用 [例2] 当下的电动汽车越来越普及，可以通过固定的充电桩进行充电．某商场计划在地下停车场安装公共充电桩，以满足顾客的需求．据市场分析，公共充电桩的历年总利润y(单位：万元)与运营年数x(x是正整数)成二次函数关系，运营三年时总利润为20万元，运营六年时总利润最大，为110万元． (1)求出y关于x的函数关系式； (2)求运营的年平均总利润的最大值(注：年平均总利润＝历年总利润/运营年数). 解：(1)因为投入运营六年时总利润最大，为110万元，即二次函数的图象开口向下，且顶点坐标为(6，110)， 所以可设函数为y＝a(x－6)2＋110(a<0). 又运营三年时总利润为20万元，即20＝a(3－6)2＋110，解得a＝－10，则y＝－10(x－6)2＋110，即y＝－10x2＋120x－250(x∈N*). (2)由(1)得年平均总利润为＝－10(x＋)＋120≤－20＋120＝20，当且仅当x＝，即x＝5时，等号成立， 所以运营的年平均总利润的最大值为20万元． 利用基本不等式解决实际问题的步骤 (1)理解题意，设变量．设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数． (2)建立相应的函数关系式．把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题． (3)变形函数，创造利用基本不等式的条件，求出函数的最大值或最小值． 训练2 一家物流公司计划建立仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月的土地占地费y1(单位：万元)与仓库到车站的距离x(单位：km)成反比，每月的库存货物费y2(单位：万元)与仓库到车站的距离x(单位：km)成正比．若在距离车站10 km处建立仓库，则每月的土地占地费和库存货物费分别为4万元和16万元，则要使两项费用之和最小，仓库到车站的距离应为 km. 答案：5　解析：根据题意，设y1＝(x>0，k1>0)，y2＝k2x(x>0，k2>0)，则解得所以y1＝(x>0)，y2＝(x>0)，所以y1＋y2＝＋≥2＝16，当且仅当＝，即x＝5时，等号成立，故要使两项费用之和最小，仓库到车站的距离应为5 km. 考点三　基本不等式与其他知识交汇的最值问题 [例3] (1)若直线ax－by－2＝0(a>0，b>0)被圆x2＋y2－2x＋2y＋1＝0截得的弦长为2，则＋的最小值为(　　) A． B．4 C． D．2 (2)已知向量a＝(3，－2)，b＝(x，y－1)，且a∥b，若x，y均为正数，则＋的最小值是(　　) A． B． C．8 D．24 (1)D　(2)C　解析：(1)由题意，把圆的方程化为标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，可得圆心坐标为(1，－1)，半径r＝1，因为直线ax－by－2＝0被圆截得的弦长为2，所以直线ax－by－2＝0必过圆心(1，－1)，代入可得a＋b＝2，又a>0，b>0，则＋＝·(＋)·(a＋b)＝·(2＋＋)≥·(2＋2)＝2，当且仅当＝，即a＝b＝1时，等号成立，所以＋的最小值为2. (2)因为a∥b，所以3(y－1)＝－2x，整理得2x＋3y＝3，所以＋＝(2x＋3y)(＋)＝(12＋＋)≥(12＋2)＝8，当且仅当＝，即x＝，y＝时，等号成立，所以＋的最小值为8. 利用基本不等式解决知识交汇问题的关键点 基本不等式常作为工具，与函数、导数、数列、三角函数、向量、复数、简易逻辑问题、立体几何、解析几何、实际问题、新定义问题等考点交汇，解决问题的关键是发现和或积为定值这一前提条件． 训练3 (1)双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为，离心率为e，则的最小值为(　　) A． B． C．2 D． A　解析：因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为，所以＝tan ＝，所以b＝a，c＝＝2a.所以＝＝＋≥2＝，当且仅当＝，即a＝时，等号成立． (2)(2024·揭阳联考)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a＝2，a2＝2b2＋c2，则△ABC的面积的最大值是 ． 答案：　解析：由余弦定理，可得b2＋c2－2bc cos A＝2b2＋c2，化简得cos A＝－，则sin A＝，则△ABC的面积S＝bc·sin A＝＝≤＝＝，当且仅当3b＝，即c2＝b2时，等号成立． [课时训练(5)见P181] 学科网（北京）股份有限公司 $$